Electricidad y Magnetismo - Grupo 21.1
Curso 2010/2011
Campo - Álgebra Vectorial 1
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-1
Tema 1: Introducción
� Concepto de campo
� Repaso de álgebra vectorial
� Sistemas de coordenadas
�Cartesiano
�Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
� Operadores vectoriales.
�Gradiente
�Divergencia
�Rotacional
�Derivada temporal
�Combinación de operadores: Laplaciana
�Expresiones con operadores
�Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos.
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-2
Escalares y Vectores
• Escalar:
– Magnitud determinada por un número.
– Ejemplos: Longitud, masa, tiempo, …
• Vector:
– Magnitud determinada por un número (módulo), una dirección y un sentido.
– Ejemplos: Velocidad, fuerza, aceleración, …
VectoraA
EscalaraA
aA
rrAr
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Campo - Álgebra Vectorial 2
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-3
Concepto de campo
• Un campo es la descripción de determinadas propiedades de los puntos del espacio.
• Campo Escalar.
– Se puede describir con sólo un número para cada punto.
– Se representa por medio de una función de la posición.
– Ejemplos: Temperatura de un medio. Altura del terreno. Potencial Electrostático...
• Campo Vectorial.
– Para cada punto la propiedad varía con la dirección considerada.
– Requiere una función vectorial: un vector que cambia con cada punto del espacio.
– Ejemplos: La velocidad de un fluido. La fuerza de la gravedad...
• El campo electromagnético requiere al menos dos vectores.
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-4
Representación de campos escalares
0
10
20
30
0
10
20
30
-2
-1
0
1
2
Representacion 3D
5 10 15 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Isotímicas
z xe x y= − −2 2
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Campo - Álgebra Vectorial 3
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-5
Representación de campos escalares
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-6
Representación de campos vectoriales
-2 -1 0 1 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Vectores
ρ
Z
Líneas de campo
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Campo - Álgebra Vectorial 4
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-7
Representación de campos vectoriales
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-8
Representación de campos vectoriales
• Campo eléctrico en un coaxial • Campo magnético en un coaxial
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Campo - Álgebra Vectorial 5
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-9
Álgebra vectorial: Suma Vectorial
• Suma de vectores:
– Propiedad Conmutativa: - Propiedad Asociativa:
Ar
CBArrr
++
Br
Ar
BArr
+
Br
Br
Ar
Cr
Ar
BArr
+
Br
ABBArrrr
+=+ ( ) ( )CBACBArrrrrr
++=++
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-10
Álgebra vectorial: Producto por un escalar
• Producto por un escalar:
– Es multiplicar su módulo por el escalar:
– Propiedades:
Ar
( ) ( )
( ) BABA
AAA
AA
AA
rrrr
rrr
rr
rr
αααααααααααα
ββββααααββββαααα
αβαβαβαβββββαααα
αααααααα
+=+
+=+
=
=
)(
Ar
αααα
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Campo - Álgebra Vectorial 6
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-11
Álgebra Vectorial: Producto escalar.
• El producto escalar de dos vectores es:
Es un escalar.
• Propiedades:
ααααcosBABArrrr
=⋅Ar
Br
αααα
( )( ) ( ) ( )BABABA
CABACBA
ABBA
rrrrrr
rrrrrrr
rrrr
αααααααααααα ⋅=⋅=⋅
⋅+⋅=+⋅
⋅=⋅
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-12
Álgebra Vectorial: Producto escalar (2)
• Obtención del módulo de un vector:
• Vectores unitarios:
– Los de módulo unidad:
– Obtención de un vector unitario
ααααcosBABArrrr
=⋅
Ar
Br
αααα
002
≥⋅=⇒==⋅ AAAAAAAArrrrrrrr
cos
11 =⋅⇔= aaarrr
=
⇒
⋅=
≠
Aa
a
AA
Aa
Arr
r
rr
r
r
r
//
10
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Campo - Álgebra Vectorial 7
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-13
Álgebra Vectorial: Producto escalar (3)
• Signo del producto escalar:
• Propiedad:
ααααcosBABArrrr
=⋅
Ar
Br
0>⋅ BArr
Ar
Br
αααα
0<⋅ BArr
Ar
Br
2ππππαααα =
0=⋅ BArr
αααα
BA
B
A
BArr
r
r
rr
⊥⇒
≠
≠
=⋅
0
0
0
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-14
Bases y componentes
• Base ortonormal:
– Vectores unitarios ortogonales que permiten construir cualquier vector (del espacio correspondiente) por combinación lineal.
– Componentes:
zAyAxAA
zz
zyyy
zxyxxx
zyxBase zyx ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆ,ˆ,ˆ: ++=⇒
=⋅
=⋅=⋅
=⋅=⋅=⋅
⇒r
1
01
001
( )
z
y
xzyx
AzA
AyA
AxzAyAxAxA
=⋅
=⋅
=⋅++=⋅
ˆ
ˆ
ˆˆˆˆˆ
r
r
r
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Campo - Álgebra Vectorial 8
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-15
• La componente de un vector en una dirección se puede obtener con el producto escalar por el unitario en esa dirección:
• Si la componente de una magnitud en una dirección sigue esta regla, es una vector. Si no la sigue, no es un vector
– Por ejemplo no es un vector
ϕ+ϕ==⇒
ϕ+ϕ=
+=sencosˆ·
ˆsenˆcosˆ
ˆˆ
yxuyx AAuAA
yxu
yAxAA rr
ϕ+ϕ= sencos2
yxu BBBB
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-16
Álgebra Vectorial: Producto Vectorial
• El producto vectorial de dos vectores:
– Es otro vector:
– Ortogonal a los operandos:
–
– Orientado según la regla del tornilloal girar el primero hacia el segundo
Ar
Br
αααα
BArr
×
ααααsenBABArrrr
=×
Br
Ar
ααααααααsenB
r
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Campo - Álgebra Vectorial 9
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-17
Álgebra Vectorial: Producto Vectorial (2)
• Propiedades:
( )( ) ( ) ( )
0
0
=×
=×⇒
×=×=×
×+×=+×
×−=×
AA
BABA
BABABA
CABACBA
ABBA
rr
rrrr
rrrrrr
rrrrrrr
rrrr
//
αααααααααααα Ar
Br
BArr
×
BArr
×−
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-18
Álgebra Vectorial: Producto Vectorial (3)
• Propiedades:
– En un sistema dextrógiro o a derechas
xy
z
( ) ( ) ( )zBABAyBABAxBABA
BBB
AAA
zyx
BA
xzyyxzzyx
xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
−+−+−=
==×
=×=×=×
rr
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Campo - Álgebra Vectorial 10
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-19
Álgebra vectorial: Productos triples
( ) ( )CBACBArrrrrr
⋅≠⋅
Ar
BArr
×
Cr
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CBACBA
ACBBCACBA
CBABCACBA rrrrrr
rrrrrrrrr
rrrrrrrrr
××≠××⇒
⋅−⋅=××
⋅−⋅=××
( ) ( ) ( )→×⋅=×⋅=×⋅ BACACBCBArrrrrrrrr
Br
( ) ( ) ( )( ) ( )( )CBDADBCADCBArrrrrrrrrrrr
⋅⋅−⋅⋅=×⋅×
Producto Mixto
Doble Producto vectorial
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-20
Álgebra vectorial: Diferenciación
• Derivada de un vector:
• Propiedades:
( ) ( ) ( )α∆
∆=
α∆α−α∆+α
=αα
→α∆→α∆
AAA
d
Adrrrr
00
limlim
zd
dAy
d
dAx
d
dA
d
Ad zyx ˆˆˆαααααααααααααααα
++=
r
( ) ( )
( ) ( )α
×+×α
=×αα
+α
=α
α⋅+⋅
α=⋅
αα+
α=+
α
d
BdAB
d
AdBA
d
d
d
AdmA
d
dmAm
d
dd
BdAB
d
AdBA
d
d
d
Bd
d
AdBA
d
d
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
rrrr
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Campo - Álgebra Vectorial 11
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-21
Álgebra vectorial: Diferenciación (2)
• Diferencial de un vector en cartesianas:
zdAydAxdA
zdd
dAyd
d
dAxd
d
dA
dd
AdAd
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
++=
=++=
==
αααααααα
αααααααα
αααααααα
αααααααα
rr
J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-22
Álgebra Vectorial: Integración
• Definición como límite de una suma:
• Evaluación en cartesianas:
( ) ( )( )1
1
−=
∞→−= ∑∫ ii
N
ii
N
b
a
AdA ααααααααββββααααααααrr
limiii
NN ba
ααααββββαααα
αααααααααααααααα
≤≤
=≤≤≤=
−
−
1
110L
∫∫∫∫ ++=b
a
z
b
a
y
b
a
x
b
a
dAzdAydAxdA αααααααααααααααα ˆˆˆr