Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
1/42Tema 1: Oscilaciones
Tema 1: Oscilaciones
Fátima Masot Conde
Ing. Industrial 2006/07
Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
2/42Tema 1: Oscilaciones
1. Movimiento Armónico Simple.
• Características.
• Representación Matemática.
2. Energía del M.A.S.
3. Algunos Sistemas Oscilantes.
• Péndulo Simple.
• Péndulo Físico.
• Masa+Muelle
4. Oscilaciones Amortiguadas.
5. Oscilaciones Forzadas.
Tema 1: Oscilaciones
Índice:
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3/42Tema 1: Oscilaciones
Cuando un sistema
estable pierde su
posición de equilibrio.
Movimiento Armónico Simple
EjemplosEjemplos
• Cuerdas instrumentos musicales
• Oscilación de barcos sobre el agua
• Relojes de péndulo
¿Cuándo ocurre?¿Cuándo ocurre?
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4/42Tema 1: Oscilaciones
Es el más básico del Movimiento Oscilatorio
Movimiento
forzado
Sistemas Ideales
(sin rozamiento)
Sistemas Reales
Movimiento
amortiguado
Oscilador perfecto
sin pérdidas
Movimiento Armónico Simple
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5/42Tema 1: Oscilaciones
Fx = −Kx
Ecuación diferencial, característica del M.A.S.
Fuerza
restauradora
2º grado
d2x
dt2= −K
mx = −ω2x
Movimiento Armónico Simple
Características
desplazamiento
Cte del muelle (rigidez)
Ley de Hooke
−Kx = max = md2x
dt2(Newton)
Este sistema estable responde con
esta fuerza de recuperación cuando
se separa de su posición de
equilibrio:
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6/42Tema 1: Oscilaciones
Fase (inicial)Amplitud
x(t) = A cos(ωt+ δ)
Movimiento Armónico Simple
Su solución:
verifica la ecuación del MAS. Comprobémoslo
donde
(ésta se saca directamente
de la ecuación dif.-es el
factor multiplicativo de x-.)
ω = =K
mes la ‘frecuencia angular’
,A δ = son ctes a determinar
y
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7/42Tema 1: Oscilaciones
Comprobación:
v(t) =
a(t) = = −ω2x
dxdt= −Aω sin(ωt+ δ)
d2xdt2
= −Aω2 cos(ωt+ δ)
Movimiento Armónico Simple
A, δ, se determinan por las condiciones iniciales
¿Qué son las
condiciones
iniciales?
Las condiciones que se tienen de veloc.
y desplazamiento en el instante t=0
x(t)
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8/42Tema 1: Oscilaciones
t = 0
Movimiento Armónico Simple
¿Cómo se determinan A y δde las condiciones iniciales?
0
0
22 0
0 2
-Aωsinδ=
x Acosδ
A= x +ω
tanω δ= −v
v
A sólo es condición
inicial (= x0 ) si v
0= 0
Cuidado:
x0 = x(t = 0) = A cos(ωt+ δ)
¯t=0
= A cos δ
v0 =dx
dt
¯t=0
= − Aω sin(ωt+ δ)
¯t=0
= −Aω sin δ
Dos ecuaciones con dos incógnitas, A
y δ, que se despejan, conocidas v0 y x0
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9/42Tema 1: Oscilaciones
El MAS es un movimiento periódico:
Período de repetición
T = 2πω
x(t) = x(t+ T )
Movimiento Armónico Simple
El movimiento se repite en
las mismas condiciones de
desplazamiento y velocidad
-A ) = = - Asin( sin( )t t Tω ω δ ω ω ω δ+ + +…
x(t)= x(t +T)
x(t)= x(t +T)
[ ] ( )cos( cos ( ) cost t T t Tω δ ω δ ω ω δ+ + + + +A ) = A = A
Ambas se verifican si 2ω π=T
x(t)= = x(t +T)
x(t)= = x(t +T)
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10/42Tema 1: Oscilaciones
T = 2πω
Relación entre el período
y la frecuencia angular
f = 1T= ω
2π
Si sólo tenemos un MAS, siempre podemos tomar
D=0 , eligiendo adecuadamente nuestro origen de
tiempos. En ese caso:
Movimiento Armónico Simple
(s)
rad/s
ciclosHz =
s
0δ =
La frecuencia lineal:
x(t) = A cosωt
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11/42Tema 1: Oscilaciones
Movimiento Armónico Simple
Desplazamiento MAS
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12/42Tema 1: Oscilaciones
Movimiento Armónico Simple
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13/42Tema 1: Oscilaciones
Movimiento Armónico Simple
d2xdt2 = −Aω2 cos(ωt+ δ)a(t) =
v(t) = dxdt = −Aω sin(ωt+ δ)
x(t)
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14/42Tema 1: Oscilaciones
Partícula que se mueve sobre una
circunferencia, con velocidad cte.
x(t) = A cos(ωt+ δ)
θ = ωt+ δ
Es un MASEs un MAS
MAS y Movimiento Circular
La proyección sobre el eje x:La proyección sobre el eje x:
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15/42Tema 1: Oscilaciones
Energía potencial:
= 12KA
2 =Cte
Energía cinética:
=1
ETOTAL = U + Ec =12KA
2[cos2(ωt+ δ) + sin2(ωt+ δ)]
U = 12Kx
2 = 12KA
2 cos2(ωt+ δ)
Ec =12mv
2 = 12mA
2ω2 sin2(ωt+ δ)
−Kx
Energía del MAS
Para: -F = K x
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16/42Tema 1: Oscilaciones
En función del tiempo En función del espacio
Energía del MAS
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17/42Tema 1: Oscilaciones
• Péndulo simple
• Péndulo físico
• Objeto + Muelle vertical
• Péndulo simple
• Péndulo físico
• Objeto + Muelle vertical
Algunos sistemas oscilantes
Los sistemas oscilantes que vamos a ver:
En clase de
problemas
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18/42Tema 1: Oscilaciones
• En qué consiste
Ángulo desplazado
Longitud del
arco recorrido
Como s = Lφd2s
dt2= L
d2φ
dt2
Sistema IDEAL
“casi” MAS
Péndulo simple
Cuerda longitud L
Masa m
• Fuerzas que actúan: mg y T
−mg sinφ = md2s
dt2
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19/42Tema 1: Oscilaciones
Tampoco
es un M.A.S.
d2φ
dt2= − g
Lφ
(infinitésimos equivalentes)
M.A.S.
Conclusión:Conclusión:El movimiento de un péndulo es
aproximadamente armónico simple
para pequeños desplazamientos
angulares.
Péndulo simple
Sin embargo, para
ángulos pequeños,
sinφ φ
d2φ
dt2= − g
Lsinφ
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20/42Tema 1: Oscilaciones
Reescribiendo de la forma habitual
T no depende de la masa
Esto también sale por
análisis dimensional:
Péndulo simple
d2φ
dt2= −ω2φ
ω =
rg
L
T =2π
ω= 2π
sL
gEcuación de este sistema
Con:
Período del péndulo
[T ] = s,
s[L]
[g]= s
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21/42Tema 1: Oscilaciones
Solución: φ = φ0 cos(ωt+ δ)
Amplitud angular, [rd] ó grados
Fuera de esa aproximación, (oscilaciones de gran amplitud):
=
2πpL/g
T = T (φ0) M.A.S.
Péndulo simple
(para φ)
T = T0
"1 +
1
22sin2
1
2φ0 +
1
22
µ3
4
¶2sin4
1
2φ0 + · · ·
#
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22/42Tema 1: Oscilaciones
¿Qué es?Cuerpo rígido que gira
alrededor de un eje
que no pase por su C.M.
d2φ
dt2= −MgD
Isinφ ≈ −MgD
Iφ = −ω2φ
M.A.S.
τ = Iα
Péndulo físico
El momento de la
fuerza (Mg)
alrededor de ese eje:
−MgD sinφ = I d2φ
dt2
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23/42Tema 1: Oscilaciones
Comprobar que el péndulo
simple también lo verifica, con
Para oscilaciones de gran
amplitud, vale la misma
fórmula que dimos en el
péndulo simple, con:
T0 = 2π
sI
MgD
Péndulo físico
ω =
rMgD
I
T =2π
ω= 2π
sI
MgD
Para este sistema:
2I ML
D L
==
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24/42Tema 1: Oscilaciones
• Pierde energía por rozamiento.
• No mantiene su amplitud.
Ejemplo: Columpio que se para
(subamortiguamiento)
• Subamortiguamiento (amortiguamiento débil).
• Sobreamortiguamiento (amortiguamiento fuerte).
• Amortiguamiento crítico.
• Subamortiguamiento (amortiguamiento débil).
• Sobreamortiguamiento (amortiguamiento fuerte).
• Amortiguamiento crítico.
Oscilaciones amortiguadas
Casos:Casos:
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25/42Tema 1: Oscilaciones
Subamortiguamiento
La fuerza de amortiguación se modela con
una fuerza proporcional a la velocidad.
Cte > 0
(sistema con amortiguación lineal)
Ecuación diferencial
del movimiento
subamortiguado.
−Kx− bdxdt= m
d2x
dt2
F a = −bv
Oscilaciones amortiguadas
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26/42Tema 1: Oscilaciones
τ =m
b
Subamortiguamiento
Oscilaciones amortiguadas
Solución:
ω0 = ω0
s1 −
µb
2mω0
¶2
x(t) = A0e−( b
2m)t cos(ω0t+ δ)
donde:
amplitud instante inicial
frecuencia del caso no
amortiguado=
m
bτ =
A(t)
A(t) = A0e−t/2τ
cte de
tiempo
/K m
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27/42Tema 1: Oscilaciones
bc = constante de
amortiguamiento crítico
El sistema no oscila.
(sistema sobreamortiguado)
El sistema vuelve a su posición
de equilibrio, sin oscilar, en el
tiempo más breve posible.
AMORT. CRÍTICO
Si 0 'ω ω→cb < b DÉBILMENTE AMORTIGUADO
≥ cb bSi
cb = bSi
Oscilaciones amortiguadas
ω0 = 0 cuando b = 2mω0
El sistema oscila, con una
frecuencia algo menor que
la natural, ω0
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28/42Tema 1: Oscilaciones
E =1
2KA2 =
1
2mω2A2 =
1
2mω2A20e
−t/τ = E0e−t/τ
=E0
La Energía de un oscilador amortiguado
disminuye exponencialmente con el tiempo
La Energía de un oscilador amortiguado
disminuye exponencialmente con el tiempo
A = A0e−t2τ
Energía del oscilador amortiguado
Cuando t = τ, A2 =A20e
La energıa disminuyeen un factor 1/e
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29/42Tema 1: Oscilaciones
Factor de calidad del oscilador amortiguado
(adimensional)
interviene en la nueva frecuencia amortiguada:
ω0 = ω0
s1−
µ1
2Q
¶2Q = ω0τ
Y se puede relacionar con la pérdida de energía
por ciclo:
dE = −1τE0e
−t/τ dt = −1τE dt
Oscilaciones amortiguadas
El factor de calidad:
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30/42Tema 1: Oscilaciones
En un ciclo:
amortiguamiento débil
O sea:Q =
2π
(∆E/E)ciclo
Factor de calidad del oscilador amortiguado
Oscilaciones amortiguadas
Q es inversamente proporcional a la
pérdida relativa de energía por ciclo
Q es inversamente proporcional a la
pérdida relativa de energía por ciclo
µ∆E
E
¶ciclo
=T
τ' 2π
ω0τ=2π
Q
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31/42Tema 1: Oscilaciones
El sistema oscilante tiende
naturalmente a detenerse debido
a las pérdidas
Ejemplo: Un columpio
• Si no se le suministra energía
al mismo ritmo que la pierde, su
amplitud disminuye.
• Si se le suministra más energía de
la que pierde, su amplitud aumenta.
Oscilaciones forzadas
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32/42Tema 1: Oscilaciones
• Si se suministra la misma
energía que pierde (al mismo
ritmo), la amplitud se
mantiene constante (estado
estacionario)
Una forma de
suministrar la energía
Una forma de
suministrar la energía
Oscilaciones forzadas
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33/42Tema 1: Oscilaciones
Podemos modelar la fuerza impulsora como:
F (t) = F0 sen(ωt)
−Kx− bdxdt+ F0 sen(ωt) = m
d2x
dt2
Ecuación del movimiento oscilatorio forzado:
Opuestas al desplazamientoA favor del desplazamiento
F (t)
Fuerza
recuperadora Amortiguamiento Fuerza impulsora
(Newton)XF = ma
Oscilaciones forzadas
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34/42Tema 1: Oscilaciones
Comparativa de movimientos
F (t) − bv −
• No tiene amortiguación y
no necesita ser forzada
• Su frecuencia es la
frecuencia 'natural'
• Su amplitud es constante
• No tiene amortiguación y
no necesita ser forzada
• Su frecuencia es la
frecuencia 'natural'
• Su amplitud es constante
ω0 =pK/m
Oscilación ideal
Kx = ma
Oscilaciones forzadas
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35/42Tema 1: Oscilaciones
F (t)
• Tiende a pararse, debido al amortiguamiento
• Frecuencia
• Su amplitud disminuye exponencialmente
ω0 6= ω0; ω0 = ω0
s1−
µb
2mω0
¶2Oscilación
amortiguada
− Kx =bv ma−
depende de la
frecuencia natural
Comparativa de movimientos
Oscilaciones forzadas
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36/42Tema 1: Oscilaciones
F (t) − Kx =bv ma−
• Sigue oscilando, mientras actúe F(t)
• Frecuencia, igual a la de la fuerza impulsora
• Su amplitud depende de y de ωω0
Oscilación
forzada
Comparativa de movimientos
Oscilaciones forzadas
ω
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37/42Tema 1: Oscilaciones
Solución a este sistema (régimen estacionario):
x(t) = A cos(ωt− δ)
A =F0p
m2(ω20 − ω2)2 + b2ω2Su cte. de fase
Amplitud de la fuerza impulsora
masa del oscilador
frecuencia natural
frecuencia impulsora
El sistema oscila con la
misma frecuencia que la
fuerza impulsora
El sistema oscila con la
misma frecuencia que la
fuerza impulsora
cte. amortiguación
Oscilaciones forzadas
ω
Su amplitud:
tan δ =bω
m(ω20 − ω2)
menos
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38/42Tema 1: Oscilaciones
Interpretación de la solución. Curvas de resonancia
Diagrama de la
amplitud en función de
la frecuencia de la
fuerza impulsora.
Parámetro: Constante de
amortiguación, b.
Oscilaciones forzadas
Cuanto más grande es el amort. b, el pico viene a ensancharse, se
hace menos agudo y se desplaza hacia frecuencias más bajas. Si
desaparece completamente
ω/ω0
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39/42Tema 1: Oscilaciones
Interpretación de la solución. Curvas de resonancia
Oscilaciones forzadas
Diagrama de la potencia
media transmitida en
función de la frecuencia
de la fuerza.
Parámetro: Factor de
calidad, Q.
QÀ (amort. pequeño) Resonancia alta y aguda
(amort. grande) Resonancia ancha y pequeñaQ¿
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40/42Tema 1: Oscilaciones
∆ω: Anchura de la curva de
resonancia, a la mitad de
la altura máxima.
QÀPara∆ω
ω0=1
Q
medida de la
agudeza de
la resonancia
Interpretación de la solución. Curvas de resonancia
Oscilaciones forzadas
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41/42Tema 1: Oscilaciones
• Caminar con un recipiente de agua
• Columpio
• Puentes (marchas marciales sobre puentes)
Ejemplo histórico: Puente de Angres (1880)
Ejemplos de resonancia
Esto no ocurre en la práctica, pero puede llegar a tener
un valor suficientemente grande como para que el sistema
se deteriore, 710 0P
Oscilaciones forzadas
Potencia del oscilador sin forzar
Cuando Q→∞ (sistema ideal), Pmax →∞
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42/42Tema 1: Oscilaciones
Bibliografía
•Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté
(vol. II)
•Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II)
•Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley.
•Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.
Pearson Education (vol. II)
Fotografías y Figuras, cortesía de
Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté
Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.
Pearson Education