Date post: | 18-Apr-2015 |
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Tema 10
Las curvas de costes
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Introducción
• En este tema vamos a estudiar las curvas de costes
• Hablaremos de costes variables, costes medios y costes marginales
• Veremos las relaciones entre todos ellos y la distinción entre curvas de costes a corto y a largo plazo
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Costes fijos
• Los costes fijos de una empresa, F, son los costes totales de sus factores fijos en el corto plazo
• La empresa debe pagar los costes fijos independientemente de la cantidad que produzca
• Ejemplo: alquiler de los edificios
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Costes variables
• Los costes variables, cv(y), son los costes de los factores variables. Cambian en función de la cantidad producida
• Ejemplo: los salarios, el coste de las materias primas, etc
• Los costes totales de la empresa c(y) son la suma de costes variables y fijos:
c(y) = cv(y) + F
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Costes variables
• La función de coste medio mide el coste por unidad producida
• De la misma forma definimos la función de coste variable medio y la de coste fijo medio
)()(
)()()(
yCFMeyCVMe
y
F
y
yc
y
ycyCMe v
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Costes fijos medios
• La curva de coste fijo medio, CFMe(y) es muy fácil de construir
• Cuando la producción y es baja, los costes fijos medios son elevados
• A medida que aumenta la producción y, los costes fijos medios decrecen
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Costes fijos medios
y
CFMe(y) = F/y
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Costes variables medios
• Si pasamos de y = 0 a y = 1, los costes variables medios son simplemente los costes de producir esa primera unidad
• A medida que y aumenta, es posible que los CVMe disminuyan, si podemos organizar la producción de forma más eficiente
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Costes variables medios
• Para niveles de producción elevados, no obstante, los CVMe serán crecientes
• La razón es la existencia de factores fijos que acaban limitando la capacidad de crecimiento
• La forma típica de los CVMe es una función creciente
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Costes variables medios
y
CVMe(y)
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Costes medios
• La curva de costes medios CMe(y) es la suma de las curvas CFMe(y) y CVMe(y)
• Por lo tanto, la curva CMe(y) primero decrece debido a que los CFMe(y) son decrecientes
• A partir de cierto punto, se vuelve creciente por efecto de los CVMe(y)
• Tiene forma de U
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Costes medios
y
CMe(y)
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Costes marginales
• El coste marginal mide el cambio en los costes cuando cambia la producción
• En concreto:
• Para obtener los costes marginales, podíamos haber usado los costes variables
y
ycyyc
y
ycyCM
)()()()(
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Costes marginales• La razón es que si varía la producción
sólo cambian los costes variables• Si la función de costes es derivable, los
costes marginales se calculan: CM(y) = c(y)/y
• Para representar los costes marginales, primero vemos que CM(1) = CVMe(1)
• CM(1) es lo que cuesta producir la primera unidad (pasar de 0 a 1)
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Costes marginales
• Si producimos una cantidad para la que los CVMe son decrecientes, debe ocurrir que CM < CVMe
• La razón es que si los CVMe son decrecientes, los costes de cada unidad adicional deben ser menores que la media anterior a ese punto
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Costes marginales
• Lo vemos con un ejemplo. Supongamos que CM(1) = CVMe(1) = 10 euros
• Como los CVMe son decrecientes, supongamos que CVMe(2) = 9
• Esto quiere decir que CV(2) = 18 y, por lo tanto, CM(2) = 8
• Vemos que CM(2) < CVMe(2)
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Costes marginales
• De la misma forma, si los CVMe son crecientes, entonces CM > CVMe
• En total, en la parte decreciente de CVMe, los CM están por debajo de los CVMe y en la parte creciente de los CVMe los CM están por encima
• Por lo tanto, los CM cortan a los CVMe en su punto mínimo
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Curvas de Coste
y
CVMeCM
19
Curvas de Coste
y
CVMeCM
CMe
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Un ejemplo• Supongamos que queremos poner en
marcha un colegio• Sólo necesitamos 2 factores: un edificio y
profesores• El alquiler del edificio cuesta 100,000
euros al año y el sueldo de un profesor son 20,000 euros
• Supongamos que necesitamos un profesor por cada 20 estudiantes
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Un ejemplo
• Si llamamos y al número de estudiantes, nuestra función de costes es:
c(y) = 100,000+1,000y
• Si y = 20, necesitamos 1 profesor, etc.
• El CM es 1,000, ¿por qué?
• El CMe con 20 estudiantes es 6,000 mientras que con 100 es 2,000
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Costes marginales y variables
• Vamos a ver que el área debajo de la curva de CM hasta y representa el coste variable de producir y
• El CM mide el coste de una unidad adicional. Si sumamos todos esos costes acabamos obteniendo el coste total de producir, excepto los costes fijos
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Costes marginales y variables
• Podemos escribir: cv(y) = [cv(y) - cv(y-1)] + [cv(y-1) - cv(y-2)] +…+ [cv(1) - cv(0)]
• Como cv(0) = 0: cv(y) = CM(y-1) + CM(y-2) +..+ CM(0)
• Cada término es un rectángulo de base 1 y de altura CM(y)
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Costes marginales y variables
CM(y)
yCostes variables
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Un ejemplo
• La función de costes es c(y) = y2+1
• Entonces, cv(y) = y2, cf(y) = 1
• Además:– CVMe(y) = y2/y = y– CFMe(y) = 1/y– CMe(y) = y2+1 /y = y+ 1/y– CM(y) = 2y
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Representación
CVMe
CM
2
1
CMe
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Ejemplo: dos fábricas• Tenemos dos fábricas con costes de
producción diferentes, c1(y1) y c2(y2)
• Si queremos producir y, ¿cuánto deberíamos producir en cada una?
• El problema es elegir y1 e y2 tal que:
Min c1(y1) + c2(y2)
sujeto a y1+y2=y
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Dos fábricas
• La solución es producir de forma que el coste marginal sea el mismo en ambas
• Supongamos que CM1(y1) = 10y1 y que CM2(y2) = 20y2. Si queremos producir y=15, lo óptimo es (y1=10, y2=5) ya que CM1(10) = CM2(5) = 100
• Imaginemos qué ocurre si elegimos (y1’=14, y2’=1)
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Dos fábricas
• Vemos que CM1(14) = 140 que es mayor que CM2(1) = 20
• Si pasamos una unidad de la planta 1 a la planta 2, en la primera el coste se reduce en 140 mientras que en la segunda sólo aumenta en 20
• No era una solución óptima
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y2*
c
y1*
CM2CM1
Dos fábricas
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Costes a largo plazo• A largo plazo la empresa puede ajustar
las cantidades de todos los factores
• Puede haber aún costes casi fijos, ya que quizá tenga que pagar algunos costes para producir
• No obstante, la empresa siempre puede decidir no producir con lo que sus costes serían cero
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Costes a largo plazo• Imaginemos que el factor fijo a corto
plazo es el tamaño de la planta, al que llamamos k
• El coste a corto plazo es cs(y, k). Además llamamos k(y) al tamaño de planta óptimo cuando queremos producir la cantidad y
• La función de costes a largo plazo es cs(y, k(y))
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Costes a largo plazo• La razón es que los costes a largo
plazo nos dicen cuáles son los costes de producción cuando la empresa elige de forma óptima el tamaño de planta
• De otra forma, los costes a largo plazo c(y) se pueden escribir:
c(y) = cs(y, k(y))
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Costes a largo plazo
• Para el nivel de producción y* el tamaño de planta óptima es k* = k(y*)
• La función de costes a C/P es cs(y, k*) y la de L/P es c(y) = cs(y, k(y))
• Siempre se cumple que el coste a C/P de producir y debe ser al menos tan grande como a L/P. Es decir:
cs(y, k(y)) c(y)
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Costes a largo plazo
• Además, para un nivel concreto de producción y*:
cs(y, k*) =c(y*)
• Esto es porque para producir y* el tamaño de planta óptimo es k*
• La relación entre costes totales a C/P y a L/P también nos determinan la relación entre costes medios a C/P y a L/P
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Costes medios a largo plazo
• En concreto: CMes(y, k*) CMe(y) CMes(y*, k*) =CMe(y*)
• Por tanto, la curva de coste medio a corto plazo está siempre por encima de la de largo plazo, excepto en y* donde ambas son tangentes
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Costes medios a largo plazo
CMeL(y)
y
CMes(y,k*)
y*
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Costes medios a largo plazo
• De la misma forma, para cualquier otro nivel de producción y1, y2,…, yn podemos construir un gráfico similar
• Obtenemos una curva de coste total medio a largo plazo que es la envolvente de las curvas de coste total medio a corto plazo
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Costes medios a largo plazo
CMeL
y
CMeS
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Costes marginales a largo plazo
• El coste marginal a largo plazo para un nivel de producción y es igual al coste marginal a corto plazo correspondiente al tamaño de planta óptimo para producir y
• Para cada nivel de y primero buscamos la curva de CMe a corto plazo y después localizamos el CM correspondiente
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Costes marginales a largo plazo
CMeL
y
CMs
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Costes marginales a largo plazo
CMeL
CML
y
CMs