Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Tema 2Aplicaciones lineales.
Diagonalización
Emilio Muñoz Velasco
Universidad de MalagaDepartamento de Matemática Aplicada
Álgebra Lineal. Escuela Ing. Industriales
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 1 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Ejemplo de motivaciónDiagonalización
La matriz de tensiones de una determinada pieza es
A =
−0.0196 0.0105 −0.00500.0105 0.0080 −0.0068−0.0050 −0.0068 0.0115
Calcula sus direcciones principales.
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 2 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Aplicación lineal
Definición
Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un mismo cuerpo K,llamamos aplicación lineal, AL, de V en W a una función f : V → Wque verifica:
f (~u + ~v) = f (~u) + f (~v) ∀~u, ~v ∈ Vf (λ~v) = λf (~v) ∀λ ∈ K, ∀~v ∈ V
Si V = W entonces la aplicación lineal se llama endomorfismo.
Idea clave:
Las aplicaciones lineales son funciones entre espacios vectorialesque respetan la estructura de espacio vectorial, es decir, respetanla suma y producto por escalares. Por tanto, las AL respetan lascombinaciones lineales, es decir:
f (λ~u + µ~v) = λf (~u) + µf (~v) ∀λ, µ ∈ K, ∀~u, ~v ∈ V
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 3 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Ejemplos
• La función f : R2 → R3, definida porf (x , y) = (x − y ,0,2x + 5y) es una AL.
• f : R3 → R2 tal que f (x , y , z) = (x − y + 1,0) no esuna AL.
• f : R2 → R2 tal que f (x , y) = (x2,2x − y) no esuna AL.
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 4 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Propiedades de las AL
Teorema:
Dada una AL f : V → W , se verifica:
• f respeta los vectores nulos, es decir, transforma el vectornulo de V en el nulo de W .
• f respeta los subespacios, es decir, si K es SV de V ,entonces f (K ) es SV de W .
• f respeta los sistemas generadores, es decir, si {v1, . . . vk}es SG del subespacio K , entonces {f (v1), . . . f (vk )} es SGdel subespacio f (K ).
• f respeta la dependencia lineal, es decir, si {v1, . . . vk} es LD,entonces {f (v1), . . . f (vk )} es LD.
Ojo:
La aplicaciones lineales no respetan la independencia lineal.Por ejemplo, dada la AL f : R2 → R2 tal que f (x , y) = (x + y , 0),se tiene que {(1, 0), (0, 1)} es LI y, sin embargo, {f (1, 0), f (0, 1)} ={(1, 0), (1, 0)} no es LI.
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 5 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Núcleo e imagen de una ALDefinición
Sea f : V → W una AL. Llamamos núcleo de f , denotado por Ker f , alconjunto de vectores del espacio de partida V cuya imagen es el vectornulo del espacio de llegada W .
Ker f = {~v ∈ V | f (~v) = ~0W }
Llamamos imagen de f , denotada Im f , al conjunto de vectores del espaciode llegada W que son imagen de algún vector del espacio de partida V , esdecir:Im f = {~w ∈ W | ∃~v ∈ V verificando f (~v) = ~w}
Idea:
• Para obtener las cartesianas de Ker f utilizamos directamente ladefinición.
• Para calcular un SG de Im f calculamos la imagende cualquier SG del espacio de partida, por ejemplo,de la base canónica.
Ojo:
Para obtener las ecuaciones Ker f y de Im f necesitamos la fórmula de f .
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 6 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Ejemplo Ker f
Scanned with CamScanner
2
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 7 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Ejemplo Im f
Dada f : R3 → R2 definida por f (x , y , x) = (2x − z,0),vamos a calcular las ecuaciones de Im f :
Scanned with CamScanner
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 8 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Definición
• Una AL se llama inyectiva si vectores distintos tienensiempre imágenes distintas.
• Una AL se dice sobreyectiva si Im f = W .
• Las AL inyectivas y sobreyectivas, se llaman biyectivas.También se dice que son isomorfismos.
Teorema:
Si f : V → W es una AL, se tiene que:
• Ker f es un subespacio vectorial de V .
• Im f es un subespacio vectorial de W .
• dim Ker f + dim Im f = dim V .
• f es inyectiva si y sólo si dim Ker f = 0.
• f es sobreyectiva si y sólo si dim Im f = dim W .
Idea clave:
Las AL inyectivas respetan la independencia lineal. Como conse-cuencia, un isomorfismo f : V → W transforma cualquier base delsubespacio U de V en una base del subespacio f (U) de W .
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 9 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Matriz de una AL
Ideas clave
• Las AL lineales se pueden representar mediante matrices.Para ello, necesitamos una base en el espacio de partida yuna base en el espacio de llegada.
• La matriz A de la AL f : V → W respecto de las bases B1 deV y B2 de W , nos da la ecuación Y = AX , donde X son lascoordenadas de cualquier vector ~v respecto de B1, mientrasque Y son las coordenadas de f (~v) respecto de B2.
• La matriz de f respecto de las bases B1 y B2 tiene porcolumnas las coordenadas de las imagenes de los vectoresde B1 respecto de B2.
• Si V tiene dimensión n y W tiene dimensión m, entonces Atiene tamaño m × n.
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 10 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
¿Cómo obtener la matriz de una AL?
Scanned with CamScanner
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 11 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Ejemplo
Scanned with CamScanner
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 12 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Cambio de base para ALTeorema:
Sea f : V → W una AL. Supongamos que la matriz de f respectode las bases B1 (de V ) y B2 (de W ) es A. Entonces la matriz def respecto de las bases B3 (de V ) y B4 (de W ) es H = Q−1AP,siendo P la matriz de cambio de base de B3 a B1, y Q la matriz decambio de base de B4 a B2.
V f−→ W
B1A B2
↑P ↑Q
B3H=Q−1AP B4
Idea de la demostración:
Escribimos la ecuación matricial de f respecto de B1 y B2 comoY = AX (∗) y la ec. de f respecto de B3 y B4 como Z = HT (∗∗).Usando las ecuaciones de cambio de base tenemos que X = PTy que Y = QZ . Sustituyendo en (∗) tenemos que QZ = APT ydespejando obtenemos Z = (Q−1AP)T . Por tanto, comparandocon (∗∗), obtenemos H = Q−1AP.
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 13 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Ejemplo cambio de base ALSabiendo que la matriz de f : R3 → R2 respecto de las basesB1 = {(1, 1, 0), (0, 1, 3), (0, 4, 7)} y B2 = {(1, 3), (0, 5)} es
A =
(2 −3 −7− 6
595
215
), vamos a calcular la matriz de f respecto de
B3 = {(2, 1, 0), (0, 1, 3), (0, 0,−5)} y B4 = {(−1, 5), (0,−3)}.
Scanned with CamScanner
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 14 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
¿Qué significa diagonalizaruna matriz cuadrada o un endomorfismo?
Utilidad:
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que tiene ceros fuerade la diagonal principal.Las matrices diagonales son útiles porque es fácil operar con ellas:• Si D es una matriz diagonal, entonces la potencia Dn se
obtiene elevando a n los elementos de la diagonal.
• Si D es inversible, su inversa se obtiene haciendo losinversos de los elementos de la diagonal.
• El determinante de una matriz diagonal es el producto de loselementos de la diagonal.
Idea clave:
• Toda matriz cuadrada representa un endomorfismo, es decir,una AL de un espacio vectorial en sí mismo.
• Diagonalizar una matriz (endomorfismo) consiste enencontrar una base B adecuada respecto de la cual elendomorfismo f se representa por una matriz diagonal D.
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 15 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
¿Cómo diagonalizar una matriz?Autovalores y autovectores
Idea clave:
Para que un vector ~v pertenezca a la base adecuada B que nos dela representación diagonal, tiene que cumplirse que f (~v) = λ~v , esdecir, A~v = λ~v .
Definición
Dado un endomorfismo f : V → V con matriz asociada A, un vectorno nulo ~v que verifica f (~v) = λ~v , o equivalentemente, A~v = λ~v , sellama autovector de f (o de A) asociado al autovalor λ.
Idea clave:
• Para encontrar los autovalores (y autovectores) de A,utilizamos que A~v = λ~v , que es equivalente a (A− λI)~v = ~0.
• Para que existan autovectores, el sistema homogéneo(A− λI)~v = ~0 tiene que ser CI, es decir, det(A− λI) = 0.
• Los autovalores de A son los valores de λ que hacen que elsistema sea CI, y los autovectores asociados a cadaautovalor son las soluciones no nulas de dicho sistema.
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 16 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Matrices (endomorfismos) diagonalizablesDefinición
Un endomorfismo f : V → V es diagonalizable si existe una baseB de todo V formada por autovectores.Si A es la matriz de f respecto de la base canónica BC , diremosque A es diagonalizable. En este caso, la matriz de f respecto dela base B es una matriz diagonal D. La matriz de cambio de baseP se llama también matriz de paso. Como hemos realizado uncambio de base, la relación entre A y D es D = P−1AP.
V f−→ V
BCA BC
↑P ↑P
BD=P−1AP B
Ojo:
Todas las matrices no son diagonalizables. Por ejemplo, la matriz
A =
(1 10 1
)no es diagonalizable, ya que no existe una base de
todo R2 formada por autovectores de esa matriz.
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 17 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Aplicaciones de la diagonalización
Utilidad:
• La potencia (y la inversa) An de una matriz diagonalizable A,se puede obtener utilizando que existen D diagonal y Pinversible tales que D = P−1AP. Despejando A, tenemosA = PDP−1. Por tanto:
An = PD(P−1P)DP−1 . . .PD(P−1P)DP−1 = PDnP−1
• La diagonalización se utiliza en Cálculo para obtenermáximos y mínimos de funciones de varias variables.
• Utilizaremos la diagonalización para representar, de unaforma más sencilla, las ecuaciones de las cónicas y lascuádricas.
• La diagonalización sirve para resolver un tipo especial deecuaciones diferenciales.
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 18 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
¿Cuándo es diagonalizable una matriz?Definición
• Se llama ecuación característica a det(A− λI) = 0, mientrasque det(A− λI) se denomina polinomio característico.
• El subespacio vectorial no nulo Eλ formado por losautovectores asociados al autovalor λ se llama subespaciopropio asociado a λ.
• Se llama multiplicidad algebraica, ma(λ) de un autovalor λ ala multiplicidad de λ como solución de la ec. característica.
• Se llama multiplicidad geométrica, mg(λ) de un autovalor λ ala dimensión del subespacio propio Eλ.
Teorema:
Sea f : V → V un endomorfismo de un espacio vectorial V dedimensión n. Si los autovalores distintos de f son λ1, λ2, . . . , λp ∈ Kentonces f es diagonalizable si y sólo si se verifican:
1 ma(λ1) + ma(λ2) + . . .+ ma(λp) = n
2 ma(λi) = mg(λi) i = 1, . . . , p
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 19 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Resultados interesantesTeorema:
Sea f : V → V un endomorfismo de un espacio vectorial V dedimensión n. Entonces se tiene:
• Para todo autovalor λ de f , se tiene que 1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ).• Si {v1, v2, . . . , vk} es un conjunto de autovectores de f asociados,
respectivamente, a autovalores distintos {λ1, λ2, . . . , λk}, entoncesel conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es LI.
• Si f tiene n autovalores distintos, entonces es diagonalizable.• Las matrices simétricas son siempre diagonalizables.
Idea clave:
Para diagonalizar un endomorfismo f : V → V , calculamos una base decada uno de los subespacios propios asociados a sus autovalores. f esdiagonalizable si y sólo si uniendo los vectores de dichas bases obtenemosuna base de todo el espacio vectorial V . Al unir todas estas bases, hacemosla suma directa de todos los subespacios propios.
Ojo:
Existen matrices diagonalizables que no tienen todos los autovalores distintos.
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 20 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Ejemplo de matriz diagonalizableCálculo de autovalores y autovectores
Scann
ed wit
h Cam
Scann
er
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 21 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Ejemplo de matriz diagonalizableSolución y comprobación
Scan
ned
with
Cam
Scan
ner
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 22 / 23
Tema 2Aplicaciones
lineales.Diagonalización
E. MuñozVelasco
Aplicaciones ala Ingeniería
AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades
Núcleo e Imagen
Matriz de una AL
Cambio de base
DiagonalizaciónIdeas y definiciones
Diagonalizando
Teoremas
Ejemplo de matriz no diagonalizable
Sc
an
ned
wit
h C
am
Sca
nn
er
E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 23 / 23