Problemas (10-22)

Tema 2. teoría cinética de gases

Calcular la velocidad de escape de la superficie de un planeta de radio R.

a) ¿Cuál es el valor para la Tierra ? R = 6.37·106 m, g = 9.81 m s-2

b) ¿Y para Marte ? R = 3.38·106 m, mMarte/mTierra = 0.108

c) ¿A qué temperaturas tienen el hidrógeno, el helio y el oxígeno velocidades

medias iguales a las velocidades de escape?

d) ¿Qué proporción de moléculas tienen suficiente velocidad para escapar

cuando la temperatura es (a) 240 K, (b) 1500 K?

Este tipo de cálculos es muy importante para explicar la composición de las

atmósferas planetarias.

TCG10.-

Rvescape ?

½ m1 v2 = WR → ∞

∞

2

21

r

mGmrF dW drrF

W

drr

mGm

R

2

21

r

mGm 21

r

2

1

22

R

Gmvescape

2

22

1

2R

GmggR

m2

m1

TCG10.-

2

1

22

R

Gmvescape

2

22

1

2R

GmggR

a) Tierra, R = 6.37·106 m, g = 9.81 m s-2

b) Marte, R = 3.38·106 m, mMarte/mTierra = 0.108

14.11179 msvescape

2

2

R

GmgMarte

2

2

Tierra

Tierra

Marte

Marte

Tierra

Marte

R

m

R

m

g

g

15.5041 msvescape

Calcular la velocidad de escape de la superficie de un planeta de radio R.

a) ¿Cuál es el valor para la Tierra, R = 6.37·106 m, g = 9.81 m s-2?

b) ¿Y para Marte ? R = 3.38·106 m, mMarte/mTierra = 0.108

c) ¿A qué temperaturas tienen el hidrógeno, el helio y el oxígeno velocidades

medias iguales a las velocidades de escape?

d) ¿Qué proporción de moléculas tienen suficiente velocidad para escapar

cuando la temperatura es (a) 240 K, (b) 1500 K?

Este tipo de cálculos es muy importante para explicar la composición de las

atmósferas planetarias.

TCG10.-

c)

Calcular la velocidad de escape de la superficie de un planeta de radio R.

a) ¿Cuál es el valor para la Tierra, R = 6.37·106 m, g = 9.81 m s-2?

b) ¿Y para Marte ? R = 3.38·106 m, mMarte/mTierra = 0.108

c) ¿A qué temperaturas tienen el hidrógeno, el helio y el oxígeno velocidades

medias iguales a las velocidades de escape?

d) ¿Qué proporción de moléculas tienen suficiente velocidad para escapar

cuando la temperatura es (a) 240 K, (b) 1500 K?

Este tipo de cálculos es muy importante para explicar la composición de las

atmósferas planetarias.

2

1

8

M

RTv

escapevv

R

MvT

escape

8

2

T (K) H2 He O2

Tierra 11899 23627 188877

Marte 2420 4806 38416

TCG10.-

d)

Calcular la velocidad de escape de la superficie de un planeta de radio R.

a) ¿Cuál es el valor para la Tierra, R = 6.37·106 m, g = 9.81 m s-2?

b) ¿Y para Marte ? R = 3.38·106 m, mMarte/mTierra = 0.108

c) ¿A qué temperaturas tienen el hidrógeno, el helio y el oxígeno velocidades

medias iguales a las velocidades de escape?

d) ¿Qué proporción de moléculas tienen suficiente velocidad para escapar

cuando la temperatura es (a) 240 K, (b) 1500 K?

Este tipo de cálculos es muy importante para explicar la composición de las

atmósferas planetarias.

N

vvN escape

dvvG

escapev

dvvG

escapev

0

1

22

1 xxexfer

xferxe x 221

escapevRT

Mx

2

1

2

T = 240KTierraH2

9456.74.11179240·31451.8·2

10·016.2 2

13

x 19456.7 fer

N

vvN escape 279456.7 10·45.319456.72

12 e

TCG10-

d)

Calcular la velocidad de escape de la superficie de un planeta de radio R.

a) ¿Cuál es el valor para la Tierra, R = 6.37·106 m, g = 9.81 m s-2?

b) ¿Y para Marte ? R = 3.38·106 m, mMarte/mTierra = 0.108

c) ¿A qué temperaturas tienen el hidrógeno, el helio y el oxígeno velocidades

medias iguales a las velocidades de escape?

d) ¿Qué proporción de moléculas tienen suficiente velocidad para escapar

cuando la temperatura es (a) 240 K, (b) 1500 K?

Este tipo de cálculos es muy importante para explicar la composición de las

atmósferas planetarias.

N

vvN escape

dvvG

escapev

dvvG

escapev

0

1

22

1 xxexfer

xferxe x 221

escapevkT

mx

2

1

2

H2 He O2

Tierra 3.7E-27 4.6E-54 0

Marte 1.14E-5 4.9E-11 5E-88

H2 He O2

1.5E-4 1.0E-8 3E-69

0.2499 0.0428 4.5E-14

240 K 1500K N

vvN escape

TCG11.- Calcular <v3> para las moléculas de un gas ideal.

¿Es <v3> igual a <v><v2>?

dvvGvv0

33

dvevkT

mkT

mv

2

0

52

32

24

32

3

2

24

m

kT

kT

m

2

32

7

2

m

kT

2n

kT

ma

2

3

22

!2

kT

m

2vv2

32

3

2

1

2·338

m

kT

m

kT

m

kT

xhxgxhxg

TCG12.- Determinar la proporción entre (a) las velocidades medias y (b) las

energías cinéticas traslacionales medias de las moléculas de H2 y los átomos

de Hg a 20 °C

v2

1

8

M

RT

Hg

H

v

v2

2

1

2HM

HgM975.9

016.2

6.200 2

1

Tf

trasE 2

2

1vm

2

33

2

1 kT

m

kTm

Hgtras

Htras

E

E2 1 Tf

TCG13.- Obtener la energía de traslación molecular media a partir de la distribución de

Maxwell expresada como distribución de energías.

dEEGN

dNE traskT

E

trastras dEeEkT

EGtras

2

12

3

12

trastrastrastras dEEGEE0

traskT

E

tras dEeE

kT

tras

02

3

2

3

2

xdxex

kT

kT

x

22

02

3

2

2

3

dxex

kT

kT

x

0

4

2

3

2

4

kT

kT

kT 2

3

1!22

!44

2

5

5

2

1

2

3

2n

kTa

1

2

1

trasEx 2xEtras xdxdEtras 2

TCG14.- La presión de vapor de la plata a 2000 °C es de 170 torr. Calcular los gramos

de plata que colisionan por unidad de área (cm2) y de tiempo (s) de las paredes de

un recipiente que contiene plata en equilibrio con su vapor a 2000 °C .

Ag(l)

Ag(g)v

V

NZP

4

1 número de partículas que

colisionan por s y por m2

kT

P

RT

nN

V

N A

2

1

8

4

1

M

RT

kT

PZP

2

1

2 MRT

PN A

13 ·10·868.107 molKgM Ag

1131451.8 molJKR

KT 15.227312310·02214.6 molNA

Paatm

Pa

Torr

atmTorrP 8.22664

1

101325·

760

1·170

122610·2060.1 sm1216.2 sgcm

MN

ZgAv

P ·1

TCG15.-Se diseño un haz atómico para funcionar con: (a) cadmio, (b) mercurio. La

fuente es un horno mantenido a 380 K, en el que hay una rendija de 1 cm · 10-3 cm.

La presión de vapor del Cd a esa temperatura es 0.13 Pa y la del Hg 152 kPa.

¿Cuál es la corriente atómica (número de átomos por unidad de tiempo) en los haces?

Cd(l)

Cd(g)

vV

NAZAE P

·

4

1· número de partículas que

salen por A por s

kT

P

RT

nN

V

N A

PZAE ·

A

MRT

PN A

2

1

2

11110·657.1 s

12010·451.1 s

Cd:

Hg:

13 ·10·41.112 molKgMCd

1131451.8 molJKR

KT 38012310·02214.6 molNA

PaPCd 13.013 ·10·59.200 molKgMHg

PaPHg

310·152 2710 mA

A

TCG16.- Para determinar la presión de vapor del germanio a 1000 °C, se utilizó una

celda de Knudsen. La pérdida de masa a través de un orificio de 0.5 mm de radio

alcanzó el valor de 4.3·10-2 mg en un tiempo de dos horas. ¿Cuál es la presión de

vapor del germanio a 1000 °C? Suponer que el gas es monoatómico.

Ge (l)

Ge (g) tmAZw P ··· pérdida de masa a través

de A en un t

w

tmA

MRT

PN A ··

2 2

1

tA

MRT

PM·

2 2

1

2

1

2

·

M

RT

tA

wP

13 ·10·61.72 molKgMGe

1131451.8 molJKR

KT 15.127312310·02214.6 molNA

Kgw 810·3.4

2232 10·5.0·· mrA

sht 72002

PaP 310·278.7

A

TCG17.- Un vehículo espacial con un volumen interno de 3.0 m3 choca con un

meteorito originándose un orificio de 0.1mm de radio. Si la presión del oxígeno dentro

del vehículo es inicialmente de 0.8 atm y su temperatura de 298K,

¿cuánto tiempo tardará la presión en reducirse a 0.7atm?

AZP·

número de moléculas que escapan en un t

A

mkT

P

V

kT

2

1

2

dt

dN

variación de la presión en un t

dt

dP

dt

dN

V

kT

V

dNkT AZ

V

kTP·

2

1

2 m

kT

V

PA

dt

dP 2

1

2

M

RT

V

PA

tP

P

dtM

RT

V

A

P

dP

0

2

1

20

P

P0

t

0

tM

RT

V

A

P

P 2

1

0 2ln

P

P

RT

M

A

Vt 0

2

1

ln2

hst 91.3110·1487.1 5

La temperatura media de la superficie de Marte es 220 K y la presión es 4.7

torr. La atmósfera marciana está compuesta principalmente por CO2 y N2, con

pequeñas cantidades de Ar, O2, CO, H2O y Ne. Considerando sólo los dos

componentes principales, se puede aproximar la composición de la atmósfera

marciana como x(CO2) ≈ 0.97 y x(N2) ≈ 0.03. Los diámetros de colisión son 4.6 Å

para el CO2 y 3.7 Å para el N2. Para la atmósfera de la superficie marciana,

calcular:

(a) la frecuencia de colisión de una determinada molécula de CO2 con otras

moléculas de CO2;

(b) la frecuencia de colisión de una determinada molécula de N2 con moléculas de

CO2;

(c) el número de colisiones por segundo de una determinada molécula de N2;

(d) el número de colisiones CO2-N2 por segundo en 1.0 cm3;

(e) el número total de colisiones por segundo en 1 cm3.

TCG18.-

La temperatura media de la superficie de Marte es 220 K y la presión es 4.7

torr. La atmósfera marciana está compuesta principalmente por CO2 y N2, con

pequeñas cantidades de Ar, O2, CO, H2O y Ne. Considerando sólo los dos

componentes principales, se puede aproximar la composición de la atmósfera

marciana como x(CO2) ≈ 0.97 y x(N2) ≈ 0.03. Los diámetros de colisión son 4.6 Å

para el CO2 y 3.7 Å para el N2. Para la atmósfera de la superficie marciana,

calcular:

(a) la frecuencia de colisión de una determinada molécula de CO2 con otras

moléculas de CO2;

TCG18.-

11z

V

N

M

RTd 1

2

1

1

2

1

82

1131451.8 molJKR

13 ·10·00.442

molKgMCO

V

N1 RT

NP A1

RT

PNx A1

172

1

1

210

11 10·12.6·6.626·97.08

10·6.42

s

RT

NPa

M

RTmz A

KT 220

PaP 6.626

97.02COx

0

A6.42COd

TCG18.-

12z

RT

NP

MM

RTd A2

2

1

21

2

12

118

1131451.8 molJKR

13 ·10·00.442

molKgMCO

V

N2 RT

NP A2

RT

PNx A2

(b) la frecuencia de colisión de una determinada molécula de N2 con moléculas de

CO2;

15.47.36.42

112 d

13 ·10·00.282

molKgMN

1710·65.5 s

0

A7.32Nd

97.02Nx

0

A6.42COd

(c) el número de colisiones por segundo de una determinada molécula de N2; TCG18.-

1211 zz

RT

NP

M

RTd A2

2

1

2

2

2

82

1776 10·80.510·65.510·54.1 s

(d) el número de colisiones CO2-N2 por segundo en 1.0 cm3;

12Z 212

212

121 z

RT

NPz

V

Nz

V

N A

1329723

10·51.310·65.5·220·31451.8

10·022.6·6.626·03.0 sm 132310·51.3 scm

(e) el número total de colisiones por segundo en 1 cm3.

221211 ZZZ

1324

111

11 10·12.62

1 scmzRT

NPZ A

1323

122

12 10·51.32

1 scmzRT

NPZ A

1321

222

22 10·78.42

1 scmzRT

NPZ A

132410·48.6 scm

Calcular el número total de colisiones por segundo y por cm3 en la atmósfera

terrestre a 25 °C y 1 atm entre:

(a) moléculas de oxígeno;

(b) moléculas de nitrógeno;

(c) moléculas de oxígeno y de nitrógeno. Utilizar los siguientes radios

moleculares r(O2) = 178 pm y r(N2) = 185pm

TCG19.-

11Z

2

12

1

1

2

1

8

2

1

RT

NP

M

RT A

1131451.8 molJKR

V

Nb RT

NP Ab

RT

PNx Ab

13 ·10·00.282

molKgMN

78.02Nx

133310·31.3 sm

mpmN

1010·7.3185·22

mpmO

1010·56.3178·22

21.0

2Ox

KT 298

12Z 1334212

1

21

2

12 10·66.2118

sm

RT

NP

RT

NP

MM

RTd AA

22Z 133410·32.5 sm

Calcular el número total de colisiones por segundo y por cm3 en la atmósfera

terrestre a 25 °C y 1 atm entre:

(a) moléculas de oxígeno;

(b) moléculas de nitrógeno;

(c) moléculas de oxígeno y de nitrógeno. Utilizar los siguientes radios

moleculares r(O2) = 178 pm y r(N2) = 185pm

TCG19.-

11Z

2

12

1

1

2

1

8

2

1

RT

NP

M

RT A

133310·31.3 sm

12Z 1334212

1

21

2

12 10·66.2118

sm

RT

NP

RT

NP

MM

RTd AA

22Z 133410·32.5 sm

número total de colisiones por cm3 y s : 13281334 10·31.810·31.8 scmsm

Para el N2(g) con un diámetro de colisión de 3.7 Å, calcular el recorrido libre

medio a 300 K y: (a) 1.00 bar; (b) 1.00 torr; (c) 1.0 ·10-6 torr (presión típica de

“vacío”).

TCG20.-

APN

RT

d 2

12

1

(a) 1.00 bar

Pa510·00.1

m810·81.6

(b) 1.00 torr

Pa32.133

m510·11.5

(c) 1.00·10-6 torr Pa32.133

m1.51

recipientelongitud

moléculaladetamaño

más choques

con el recipiente

que entre ellas

¿más/menos?

La velocidad de la reacción H2 + I2 → 2HI depende de las colisiones entre

las distintas especies en la mezcla de reacción. Calcular las frecuencias de

colisión para los encuentros: (a) H2 + H2; (b) I2 + I2; (c) H2 + I2, para un gas a 400

K y 1 atm con cantidades equimoleculares de ambos componentes. Las

secciones eficaces de colisión son (H2) ≈ 0.27 nm2.y (I2) ≈ 1.2 nm2.

TCG21.-

11Z

2

12

1

1

2

1

8

2

1

RT

NP

M

RTd A

133410·29.3 sm

22Z 133410·30.1 sm

12Z 1335212

1

21

2

12 10·13.1118

sm

RT

NP

RT

NP

MM

RTd AA

1131451.8 molJKR

13 ·10·016.22

molKgMH

2

2·

IH

HI

dd

PaatmPH 5.506625.02

13 ·10·808.2532

molKgM I

2182 10·27.0·22

mdHH

2182 10·2.1·

22mdII

(a) Calcular Z (frecuencia total de colisión) para el N2 a 1 atm y 300 K,

suponiendo que la molécula es esférica y que su diámetro es 3.7 Å. (b) Calcular

el tiempo medio entre colisiones. (c) En este tiempo, ¿cuántas oscilaciones

realiza la molécula de N2? Suponer que las moléculas de nitrógeno se

comportan como osciladores armónicos con frecuencia 2360 cm-1. (d) ¿Cuántas

rotaciones realiza la molécula durante ese tiempo? La longitud de enlace de

equilibrio es 1.0976 Å.

TCG22.-

11Z

2

12

1

1

2

1

8

2

1

RT

NP

M

RTd A

133410·67.8 sm

PaatmPb 01325.11

13 ·10·00.282

molKgMN

mdN

1010·7.32

KT 300

(b) Calcular el tiempo medio entre colisiones.

V

NzZ 1

11112

1

19

1

11

1

1111 10·09.722 sNP

RTZ

N

VZz

A

sz

t 10

11

10·41.11

(c) En este tiempo, ¿cuántas oscilaciones realiza la molécula de N2? Suponer

que las moléculas de nitrógeno se comportan como osciladores armónicos con

frecuencia 2360 cm-1.

TCG22.-

12360 cme11310·075.7 sc ee

esoscilacion9981· teesoscilacionºn

(d) ¿Cuántas rotaciones realiza la molécula durante ese tiempo? La longitud de

enlace de equilibrio es 1.0976 Å.

kTkTkTErot 2

1

2

1molécula diatómica:

2

2

1Iw

2

1

2

2

1

22

R

kT

I

kTw

N

NN

NN mmm

mm

2

1

rotacionesºn 12

21

2

N

10·69.7·

2m

4kT

t

denlace