Autotransformadores

Un autotransformador es simplemente un transformador ordinario que tiene los arrollamientos primario y secundario conectado en serie.Su comportamiento es completamente análogo al del transformador ordinario y realiza las mismas funciones de transformar tensiones, corrientes e impedancias.

𝒁 𝑳

𝐸1

𝑉 2

𝑉 1

𝐼 1

𝑁1

𝑁 2𝐼 2

𝐼𝐿

∅

Ventajas de los Autotransformadores

• Dimensiones mas reducidas• Costos mas bajo• Eficiencia mas alta• Corriente de excitación mas reducida• Mejor regulación

𝒁 𝑳

𝐸1

𝑉 2

𝑉 1

𝐼 1

𝑁1

𝑁 2𝐼 2

𝐼𝐿

∅

Desventajas de los Autotransformadores

* Elevada corriente de cortocircuito debido a la disminución de su impedancia de cortocircuito.• Conexión Eléctrica entre el primario y secundario, esta desventaja es

muy importante y limita el uso del autotransformador,

𝒁 𝑳

𝐸1

𝑉 2

𝑉 1

𝐼 1

𝑁1

𝑁 2𝐼 2

𝐼𝐿

∅

Aplicaciones de los Autotransformadores

• La principal aplicación es que se usa como regulador de tensión en distribución eléctrica

• También se usa para el arranque de motores eléctricos de Inducción.

EL Autotransformador Ideal

Si aplicamos la Ley de Inducción electromagnética se cumple que :

𝑒1=𝑁 1𝑑∅𝑑𝑡

Dividiendo estas ecuaciones

𝑒1

𝑣2

=𝑁1

𝑁 2

Relación de voltajes

𝐼 1𝐸1

𝐸2

𝐼 2 𝐼𝐿𝑍 𝐿

𝑁1

𝑁 2

𝑉 1

𝑉 2

EL Autotransformador Ideal

En forma vectorial

𝐸1

𝑉 2

=𝑁 1

𝑁 2

𝑉 1=𝑉 2+𝐸1

𝑉 1=𝑉 2+𝑁1

𝑁2

𝑉2

𝐸1=𝑁1

𝑁2

𝑉 2 𝑉 1

𝑉 2

=(1+𝑁 1

𝑁 2)

𝑉 1

𝑉 2

=𝑁 1+𝑁2

𝑁 2

𝑎 ′ =𝑁 1+𝑁2

𝑁2

del autotransformador

𝐼 1𝐸1

𝐸2

𝐼 2 𝐼𝐿𝑍 𝐿

𝑁1

𝑁 2

𝑉 1

𝑉 2

𝑉 1

𝑉 2

=𝑁 1+𝑁2

𝑁 2

𝑉 1

𝑉 2

=𝑎′

EL Autotransformador Ideal

Relación de corrientes

La fuerza magnetomotriz resultante de las dos bobinas son iguales

𝑁1 𝐼 1=𝑁 2 𝐼 2

𝐼1

𝐼2

=𝑁 2

𝑁1

……..(1)

……(2)

𝐼𝐿=𝐼 1+𝑁1 𝐼 1

𝑁2

𝐼𝐿=𝐼 1(𝑁1+𝑁 2

𝑁2)

𝐼𝐿𝐼1

=𝑎′

𝐼𝐿𝐼1

=𝑁1+𝑁2

𝑁 2

𝐼 1𝐸1

𝐸2

𝐼 2 𝐼𝐿𝑍𝐿

𝑁1

𝑁 2

𝑉 1

𝑉 2

Despejando

También :

Reemplazando (1) en (2)

EL Autotransformador Ideal

Impedancia equivalente

La impedancia equivalente del autotransformadorVista desde la entrada sera :

𝑍 𝑒𝑞1=𝑉 1

𝐼 1

….. (1)

Teniendo presente que 𝑍 𝐿=𝑉 2

𝐼𝐿…(2)

Dividiendo (1) entre (2)

𝑍𝑒𝑞1

𝑍 𝐿=

𝑉 1

𝐼 1

𝑉 2

𝐼𝐿

=𝑉 1 𝐼𝐿𝑉 2 𝐼 1

Donde : 𝑉 1

𝑉 2

=𝑎 ′𝐼𝐿𝐼1

𝑎 ′

Reemplazando: 𝑍𝑒𝑞1

𝑍𝐿=𝑎 ′ 2

𝑍 𝑒𝑞1=𝑎 ′2𝑍 𝐿

𝐼 1𝐸1

𝐸2

𝐼 2 𝐼𝐿𝑍𝐿

𝑁1

𝑁 2

𝑉 1

𝑉 2

EL Autotransformador Ideal

Potencia nominal aparente

En un autotransformador la potencia aparente de entrada es igual a la potenciaAparente e salida

𝑆𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎=𝑆𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝑉 1 𝐼 1=𝑉 2 𝐼𝐿

𝐼 1𝐸1

𝐸2

𝐼 2 𝐼𝐿𝑍𝐿

𝑁1

𝑁 2

𝑉 1

𝑉 2

Comportamiento de un transformador como autotransformador

Si un transformador convencional se conecta como si fuera un autotransformadorEste puede entregar mucho mas potencia que la nominal que se definio originalmente

Supongamos que tenemos un transformador T y conectamos su primario y secundarioEn serie obtenemos :

𝐼 1

𝐸1

𝐸2

𝐼 2 𝐼𝐿𝑍𝐿

𝑁1

𝑁 2 𝑉 2

𝑍𝐿

𝐼 2

𝑉 1+𝑉 2𝑁1 𝑁 2𝑉 1

𝑉 2

𝐼 1

Comportamiento de un transformador como autotransformador

Primeramente la relacion de transformacionEn el autotransformador pasa a ser :

𝑎′=𝑁1+𝑁 2

𝑁 2

=1+𝑎

La potencia aparente en los bobinados delTransformador es :

𝑆𝑇=𝐼 1𝑉 1

𝑆𝑇=𝐼 2𝑉 2

𝐼 1=𝑆𝑇𝑉 1

𝐼 2=𝑆𝑇𝑉 2

Funcionando como autotransformadorSe cumple que :

𝐼𝐿=𝐼 1+𝐼 2

La potencia aparente del autotransformador sera :

𝑆𝑎𝑢𝑡=𝑉 2 𝐼 𝐿=𝑉2 ( 𝐼 1+𝐼 2)

𝑆𝑎𝑢𝑡=𝑉 2 𝐼 1+𝑉 2 𝐼 2

Siendo :𝑆𝑇=𝑉 2 𝐼 2

Dividiendo esta dos ultimas ecuaciones

𝑆𝑎𝑢𝑡𝑆𝑇

=𝑉 2 𝐼 1

𝑉 2 𝐼 2

+1

𝐼 1

𝐼 2 𝐼𝐿𝑍𝐿

𝑁1

𝑁 2

𝑉 1+𝑉 2

𝑉 2

Comportamiento de un transformador como autotransformador

𝑆𝑎𝑢𝑡𝑆𝑇

=𝐼1

𝐼2

+1

𝑆𝑎𝑢𝑡𝑆𝑇

=𝑁2

𝑁1

+1

𝑆𝑎𝑢𝑡𝑆𝑇

= 1𝑎

+1

𝑆𝑎𝑢𝑡=𝑆𝑇( 1𝑎

+1)

𝐼1

𝐼2

=𝑁 2

𝑁1

𝑁2

𝑁1

= 1𝑎

𝐼 1

𝐼 2 𝐼𝐿𝑍𝐿

𝑁1

𝑁 2

𝑉 1+𝑉 2

𝑉 2

Circuito equivalente real exacto del Autotransformador

𝑉 1

𝑍𝐿

𝐼𝑒

𝑏1g1

𝐼 𝑟 𝐼𝑚

𝐼 2

𝑉 2

𝑁1

𝑁 2

𝐼 1

𝐸1

=

𝑉 2 𝐼𝐿

𝑅1 𝑗𝑋 1

𝑅2𝑗𝑋 2

𝐼𝐿𝑎 ′

Circuito equivalente referido al primario del autotransformador

𝑉 1

𝑍𝐿

𝐼𝑒

𝑏1g1

𝐼 𝑟 𝐼𝑚

𝑉 2

𝐼 1

𝑎′𝑉 2

𝑁1

𝑁 2

𝑅1 𝑗𝑋 1

𝑎 ′ 2𝑅2 𝑗𝑎 ′2 𝑋 2

𝐼𝐿𝑎 ′

𝐼𝐿

Circuito equivalente aproximado referido al primario del autotransformador

𝑉 1

𝑍𝐿

𝐼𝑒

𝑏1g1

𝐼 𝑟 𝐼𝑚

𝑉 2

𝐼 1

𝑎′𝑉 2

𝑁1

𝑁 2

𝑅1 𝑗𝑋 1

𝐼𝐿𝑎 ′

𝑍 𝑒𝑞1=𝑅1+ 𝑗 𝑋 1+𝑎 ′ 2𝑅2+ 𝑗 𝑎 ′ 2𝑋 2

𝑍 𝑒𝑞1=(𝑅1+𝑎 ′ 2𝑅2 )+ j (𝑋 1+𝑎 ′2 𝑋 2 )

𝐼𝐿

𝑎 ′ 2𝑅2 𝑗𝑎 ′2 𝑋 2

Circuito equivalente aproximado referido al primario del Autotransformador

𝑉 1

𝑍𝐿

𝐼𝑒

𝑏1g1

𝐼 𝑟 𝐼𝑚

𝐼𝐿 𝑉 2

𝑁1

𝑁 2

𝑍 𝑒𝑞1𝐼 1

𝐼𝐿𝑎 ′

𝑎 ′ 𝑉 2

=

Del cto equivalente podemos deducir las siguientes ecuaciones:

𝑉 1=𝑍 𝑒𝑞1 .

𝐼𝐿𝑎 ′

+𝑎′𝑉 2

𝐼 1=𝐼 𝑒+𝐼𝐿𝑎 ′

𝑍 𝑒𝑞1=𝑎′ 2

𝑍𝑒𝑞2

Prueba en vacío del autotransformador

𝑾 𝟏J U

𝑨𝟏

𝑽 𝟏

ABIERTO

Regulador de tensión

Lee la tensión nominal del primario

Lee la corriente de excitación ó vacío del primario

Lee las pérdidas en el Hierro

A partir de los siguientes valores leídos de podemos calcular los siguientes parámetros:

Cálculo de la conductancia del Primario :

Lectura de Instrumentos:

𝑨𝟏

𝑽 𝟏

𝑾 𝟏

JU

g1=∆ 𝑃 𝑓𝑒𝑉 𝑁1

2

𝑦 1=𝐼 𝑒1

𝑉𝑁1

𝑏1=√𝑦12 − g1

2

𝑦 12=g1

2+𝑏12

Calculo de la admitancia del primario :

Calculo de la susceptancia del primario :

Ensayo en vacío

Cálculo de la corriente de pérdidas del primario

𝐼 𝑟1=

∆𝑃 𝑓𝑒𝑉𝑁 1

Cálculo de la corriente de magnetización del primario :

𝐼𝑒1

2=𝐼 𝑟1

2+𝐼𝑚1

2 𝐼𝑚1=√𝐼𝑒1

2− 𝐼𝑟 1

2

Haciendo uso de las siguientes formulas también podemos hallar estos parámetros:

∆ 𝑃 𝑓𝑒=𝑉 𝑁1𝐼𝑒1

cos𝜃

cos𝜃=∆𝑃 𝑓𝑒𝑉𝑁1

𝐼𝑒1

𝜃=𝑎𝑟𝑐 cos( ∆ 𝑃 𝑓𝑒𝑉 𝑁1

𝐼𝑒1)

𝑦 1=𝐼 𝑒1

𝑉𝑁1

−𝜃

ABIERTO

CIRCUITO EQUIVALENTE CON LA PRUEBA DE VACIO

Al no haber corriente de carga, sólo fluirá la corriente de excitación.

Las pérdidas por efecto joule en el cable se desprecian, puesto que la corriente de excitación al ser bastante pequeña no produce caída de tensión en las resistencias y .

𝑉 1

𝐼𝑒

𝑏1g1

𝐼 𝑟 𝐼𝑚

=0𝑉 2

𝑁1

𝑁 2

𝐼 𝑒

𝐸1

𝑉 2 𝐼𝐿=0

𝑅1 𝑗𝑋 1

𝑅2𝑗𝑋 2

00

Ī 𝑒1

Ī𝑚1Ī 𝑟1

g1 𝑏1

𝑦 1

𝑉 𝑁 1

El circuito queda como: 𝐼𝑒1=𝐼 𝑟1

+𝐼𝑚1

𝑦 1=𝐼𝑒1

𝑉𝑁 1

En módulo:

𝐼𝑒1

2=𝐼 𝑟1

2+𝐼𝑚1

2

𝑦 1=g1 − 𝑗𝑏1

CIRCUITO EQUIVALENTE CON LA PRUEBA DE VACIO

Tambien :

Prueba en cortocircuito del autotransformador

𝑾 𝟏J U

𝑨𝟏

𝑽 𝟏

Corto circuito

Regulador de tension

Lectura de Instrumentos:

𝑨𝟏

𝑽 𝟏

𝑾 𝟏J U

𝑍 𝑒𝑞1=𝑉 𝐶𝐶1

𝐼𝑁 1

A partir de la medición de estos parámetros podemos hallar :

Lee pérdidas en el cobre

Lee la corriente nominal del primario

Lee la tensión de cortocircuito del primario

* Impedancia equivalente del primario :

𝑅𝑒𝑞1=

∆𝑃𝐶𝑢𝐼𝑁 1

2

𝑋𝑒𝑞1=√𝑍𝑒𝑞1

2−𝑅𝑒𝑞1

2

𝑅1=𝑅𝑒𝑞1

2𝑅2=

𝑅𝑒𝑞1

2𝑎 ′ 2

𝑋 2=𝑋𝑒𝑞1

2𝑎 ′ 2

Resistencia equivalente del primario

Reactancia equivalente del primario

Resistencia del primario y secundario

Reactancia del primario y secundario

Haciendo uso de las siguientes formulas también podemos hallar estos parámetros:

∆ 𝑃𝐶𝑢=𝑉 𝐶𝐶1𝐼 𝑁1

cos𝜃

cos𝜃=∆ 𝑃𝐶𝑢𝑉 𝐶𝐶1

𝐼𝑁 1

𝑅𝑒𝑞1=𝑅1+𝑎

′ 2𝑅2

𝑋𝑒𝑞1=𝑋 1+𝑎 ′2 𝑋 2

𝑍 𝑒𝑞1=𝑅𝑒𝑞1

+ 𝑗 𝑋𝑒𝑞1

𝑉 𝑐𝑐1

𝑁1

𝑁 2

𝐼𝑁 1

𝐼𝑁 2

𝑅1 𝑗𝑋 1

𝑅2𝑗𝑋 2

Circuito equivalente con la prueba de cortocircuito

Corto circuito

REGULACIÓNLa regulación de voltaje a plena carga es la magnitud que compara el voltaje entregado por el transformador en vacío con el voltaje entregado a plena carga.

Donde: Tensión secundario del autotransformador en vacío.

Tensión secundario del autotransformador a plena carga.

𝑟=𝑉 𝑂 2−𝑉 2

𝑉 2

…(1)

REGULACIÓN PORCENTUAL

Sabemos:

Luego la regulacion porcentual es :

𝑟=𝑉 𝑂 2−𝑉 2

𝑉 2

𝑉 1

𝑉 𝑂2

=𝑎

% 𝑟=

𝑉 1

𝑎−𝑉 2

𝑉 2

𝑥 100……(2)

𝑟=𝐼2 (𝑅𝑒𝑞2

cos𝜃𝐿+𝑋𝑒𝑞2sen𝜃𝐿)

𝑉 2

+12 ( 𝐼 2𝑋𝑒𝑞2

cos𝜃𝐿− 𝐼 2𝑅𝑒𝑞2sen𝜃𝐿

𝑉 2)

2

𝐼 2=𝐼 𝑁2

𝑉 2=𝑉 𝑁2

𝑅𝑒𝑞2=𝑅1

𝑎2 +𝑅2

𝑋𝑒𝑞2=𝑋 1

𝑎2 +𝑋 2

𝑍 𝑒𝑞2=𝑅𝑒𝑞2

+ 𝑗 𝑋𝑒𝑞2

EXPRESION ANALÍTICA DE LA REGULACIÓN

…….(4)

𝑟=𝐼1 (𝑅𝑒𝑞1

cos𝜃𝐿+𝑋𝑒𝑞1sen𝜃𝐿 )

𝑉 1

+12 ( 𝐼 1𝑋𝑒𝑞1

cos𝜃𝐿− 𝐼 1𝑅𝑒𝑞1sen𝜃𝐿

𝑉 1)

2

𝐼 1=𝐼𝑁 1

𝑉 1=𝑉 𝑁1

+

+

𝑍 𝑒𝑞1=𝑅𝑒𝑞1

+ 𝑗 𝑋𝑒𝑞1

EXPRESION ANALÍTICA DE LA REGULACIÓN

…….(4)

Expresión analítica de la regulación con parámetros del primario

𝑟=𝐼 2

𝑉 2

𝑍𝑒𝑞2cos (∅−𝜃𝐿)+ 1

2 ( 𝐼 2

𝑉 2

𝑍 𝑒𝑞2)2

𝑠𝑒𝑛2 (∅−𝜃𝐿)

𝐼 2=𝐼 𝑁2

∅

𝑍 𝑒𝑞2 𝑋𝑒𝑞2

𝑅𝑒𝑞2

cos∅=𝑅𝑒𝑞2

𝑍𝑒𝑞2

Donde: = ángulo de impedancia = ángulo de la carga

EXPRESION DE LA REGULACION CONSIDERANDO EL ANGULO DELA IMPEDANCIA EQUIVALENTE DEL AUTOTRANSFORMADOR REFERIDOAL SECUNDARIO

𝑉 2=𝑉 𝑁2

También:

𝑟=𝐼 1

𝑉 1

𝑍𝑒𝑞1cos (∅ −𝜃𝐿)+ 1

2 ( 𝐼 1

𝑉 1

𝑍𝑒𝑞1)2

𝑠𝑖𝑛2 (∅ −𝜃𝐿)

𝐼 1=𝐼𝑁 1

𝑉 1=𝑉 𝑁1

∅

𝑍 𝑒𝑞1 𝑋𝑒𝑞1

𝑅𝑒𝑞1

cos∅=𝑅𝑒𝑞1

𝑍𝑒𝑞1

Donde: = ángulo de impedancia = ángulo de la carga

EXPRESIÓN DE LA REGULACIÓN CON LA PRUEBA DE CORTOCIRCUITO

Para todas las formulas de regulación debemos tener presente:

para cargas inductivas (atraso)

para cargas capacitivas (adelanto)

para regulación máxima

;

;

EFICIENCIA (

ɳ=𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

=𝑃 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎+∆ 𝑃 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

ɳ=𝑆2 cos𝜃𝐿

𝑆2 cos𝜃𝐿+∆ 𝑃𝑐𝑢+∆ 𝑃 𝑓𝑒=

𝑉 2 𝐼 2cos𝜃𝐿𝑉 2 𝐼 2 cos𝜃𝐿+∆ 𝑃𝑐𝑢+∆ 𝑃 𝑓𝑒

EFICIENCIA A PLENA CARGA

ɳ𝑝𝑐=𝑆𝑁 2

cos𝜃𝐿𝑆𝑁2

cos𝜃𝐿+∆ 𝑃𝑐𝑢+∆ 𝑃 𝑓𝑒𝑆𝑁 2

=𝑆𝑁1

Ejemplo :Se tiene un transformador de 100KVA de 5000/10000V, 60 Hz y que tenemos Que hacerlo funcionar como autotransformador para acoplar circuitos de 15000 y 10000V. Determinar :a)La potencia aparente que entrega trabajando como autotransformadorb) La eficiencia como transformador si sus perdidas totales es de 3KW y su factor de potencia unitario.c) La eficiencia trabajando como autotransformador

SOLUCION :

Como transformador

Como autotransformador

𝑉 1=5000 𝑉 2=10000

a = = 0.5

𝑉 2=10000

𝑉 1=15000

5000

10000

𝑁1

𝑁 2

= 1.5

𝐼 1=20 𝐴 𝐼 2=10 𝐴

𝑍𝐿

𝐼 1=20 𝐴

𝐼 2=10 𝐴

𝐼𝐿=30 𝐴

Calculo de las corrientes

𝐼 1=100000

5000=20 𝐴

𝐼 2=10000010000

=10 𝐴

𝐼𝐿=20+10=30 𝐴

𝑆𝑎𝑢𝑡=𝑉 2 𝐼 𝐿

30

𝑆𝑎𝑢𝑡=300𝐾𝑉𝐴

También podemos aplicar

𝑆𝑎𝑢𝑡=𝑆𝑡(1+ 1𝑎)

𝑆𝑎𝑢𝑡=100(1+ 10.5 )

𝑆𝑎𝑢𝑡=300𝐾𝑉𝐴

b)𝜂𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓=

𝑃 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

=𝑆𝑇 𝑐𝑜𝑠∅

∆ 𝑃 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠+𝑃𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

= 0.97

c) = 0.99