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Conjuntos libres y ligadosEspacios vectoriales de dimension finita
Cambio de baseSubespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectorialesEstudios de Ingenierıa
Juan Gabriel Gomila
Frogames
10 de febrero de 2016
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
Conjuntos libres y ligadosEspacios vectoriales de dimension finita
Cambio de baseSubespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Indice1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
2 Espacios vectoriales de dimension finitaEspacios vectorialesSistema generadorBase de un espacio vectorialDimension y coordenadas de una base
3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespacio vectorial
5 Bases ortogonales y ortonormalesMetodo de diagonalizacion de Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
Conjuntos libres y ligadosEspacios vectoriales de dimension finita
Cambio de baseSubespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
1 Conjuntos libres y ligadosCombinaciones linealesDependencia eindependencia linealRango de un conjunto devectores
2 Espacios vectoriales dedimension finita
Espacios vectorialesSistema generadorBase de un espaciovectorial
Dimension y coordenadasde una base
3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial
5 Bases ortogonales yortonormales
Metodo de diagonalizacionde Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de unvector sobre un subespacio
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Conjuntos libres y ligadosEspacios vectoriales de dimension finita
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Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
1 Conjuntos libres y ligadosCombinaciones linealesDependencia eindependencia linealRango de un conjunto devectores
2 Espacios vectoriales dedimension finita
Espacios vectorialesSistema generadorBase de un espaciovectorial
Dimension y coordenadasde una base
3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial
5 Bases ortogonales yortonormales
Metodo de diagonalizacionde Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de unvector sobre un subespacio
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Conjuntos libres y ligadosEspacios vectoriales de dimension finita
Cambio de baseSubespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
Combinaciones lineales
Combinacion lineal
Recuerdese que dados p vectores ~u1, ~u2, · · · , ~up ∈ Kn y losescalares α1, α1, · · · , αp ∈ K una combinacion lineal de esos pvectores es un vector dado por una expresion de la forma:
α1~u1 + α2~u2 + · · ·+ αp~up ∈ Kn
Ejercicios
Expresese el vector (2,−4) como una combinacion lineal de losvectores (1, 1) y (−2, 0).
Sol:(2,−4) = −4(1, 1)− 3(−2, 0).
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Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
Combinaciones lineales
Ejercicios
Expresese el vector (4,−11) como una combinacion de los vectores(2,−3) y (4,−6).
Sol: no tiene solucion.
Ejercicios
Expresese el vector (4,−11) como una combinacion de los vectores(2,−1) y (1, 4).
Sol:(4,−11) = 3(2,−1)− 2(1, 4).
Ejercicios
Pruebese que el vector (1, 0) no se puede expresar como unacombinacion lineal de (2,−3) y (4,−6)
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Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
Combinaciones lineales
Ejercicios
Expresese el vector (4,−5, 6) como una combinacin lineal de losvectores (2,−3, 5) y (−1, 3, 2).
Sol: no tiene solucion
Ejercicios
Expresese el vector (4,−5, 7) como una combinacion lineal de losvectores (0,−3, 5), (1, 0,−3) y (−1, 3, 4).
Sol:(4,−5, 7) = 319 (0,−3, 5) 52
9 (1, 0,−3) + 169 (−1, 3, 4).
Ejercicios
Expresese, si es posible, el vector (0, 0, 0) como una combinacionlineal de (−1, 3, 1), (1, 0,−3) y (−1, 3, 4), distinta de (0, 0, 0).
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Bases ortogonales y ortonormales
Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
Dependencia e independencia lineal
Dependencia lineal
Dados el conjunto ed vectores ~u1, ~u2, · · · , ~up ∈ Kn dıcese que sonlinealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar comouna combinacion lineal del resto. Son LD si:
∃1 ≤ i ≤ p :∑k 6=i
αk~uk = ~ui
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Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
1 Conjuntos libres y ligadosCombinaciones linealesDependencia eindependencia linealRango de un conjunto devectores
2 Espacios vectoriales dedimension finita
Espacios vectorialesSistema generadorBase de un espaciovectorial
Dimension y coordenadasde una base
3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial
5 Bases ortogonales yortonormales
Metodo de diagonalizacionde Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de unvector sobre un subespacio
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Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
Dependencia e independencia lineal
Ejercicios
Dıgase si el conjunto de vectores (2,−4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 0) eslinealmente dependiente.
Ejercicios
Dıgase si el conjunto de vectores (−1, 6, 5), (1, 0,−3) y (−1, 3, 4)es linealmente dependiente.
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Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
Dependencia e independencia lineal
Independencia lineal (II)
Dado el conjunto de vectores ~u1, ~u2, · · · , ~up ∈ Kn dıcese que sonlinealmente dependientes si la ecuacion vectorial
p∑i=1
αi ~ui = ~0
tiene infinitas soluciones, y por tanto los escalares αi ∈ K puedentener valores no nulos.
Ejercicios
Dıgase si el conjunto de vectores (2,−4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 0) eslinealmente dependiente.
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Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
Dependencia e independencia lineal
Independencia lineal
Dado el conjunto de vectores ~u1, ~u2, · · · , ~up ∈ Kn dıcese que sonlinealmente independientes si no es posible expresarlos como unacombinacion lineal del resto. Son LI si:
6 ∃1 ≤ i ≤ p :∑k 6=i
αk~uk = ~ui
Ejercicios
Dıgase si el conjunto de vectores (2,−4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 1) eslinealmente independiente.
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Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
Dependencia e independencia lineal
Dependencia lineal (II)
Dado el conjunto de vectores ~u1, ~u2, · · · , ~up ∈ Kn dıcese que sonlinealmente independientes si la ecuacion vectorial
p∑i=1
αi ~ui = ~0
tiene como unica solucion la solucion trivial, es decirαi = 0∀1 ≤ i ≤ p.
Ejercicios
Dıgase si el conjunto de vectores (2,−4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 1) eslinealmente independiente.
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Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
Dependencia e independencia lineal
Ejercicios
Demuestrese que el conjunto (1, 1) y (1, 0) es LI.
Ejercicios
Demuestrese que el conjunto (1, 1) y (0, 1) es LI.
Ejercicios
Demuestrese que el conjunto (1, 1), (1, 0) y (0, 1) es LD.
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Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
1 Conjuntos libres y ligadosCombinaciones linealesDependencia eindependencia linealRango de un conjunto devectores
2 Espacios vectoriales dedimension finita
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Dimension y coordenadasde una base
3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial
5 Bases ortogonales yortonormales
Metodo de diagonalizacionde Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de unvector sobre un subespacio
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Combinaciones linealesDependencia e independencia linealRango de un conjunto de vectores
Rango de un conjunto de vectores
Definicion
Dado el conjunto de vectores ~u1, ~u2, · · · , ~up ∈ Kn, dıcese quetienen rango r ≤ p si existe como mınimo un subconjunto de rvectores linealmente independientes entre ellos y no existe ningunode r + 1 vectores que sea linealmente independiente. Es decir, es elnumero maximo de vectores linealmente independientes quepueden extraerse del conjunto.
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Rango de un conjunto de vectores
Un metodo para calcular el rango de un conjunto de vectoresconsiste en construir una matriz utilizando los vectores comocolumnas (o filas) y definir el rango de la matriz como el rango desus vectores columna (o fila). Ya se ha aprendido como calcular elrango de una matriz en el Tema 1. Ahora se pondra en practicapara calcular el rango de vectores.
Definicion
El rango de una matriz A coincide con el numero de vectores fila ocolumna linealmente independientes.
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3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial
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Metodo de diagonalizacionde Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de unvector sobre un subespacio
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2 Espacios vectoriales dedimension finita
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3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
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Espacios vectoriales
Hasta ahora se han visto ejemplos de espacios de R2 y R3, pero lagran mayorıa de definiciones que se han presentado se han dadopara espacios Kn arbitrarios. Veremos que la estructura de estosespacios es una de las mas importantes en el mundo del algebra: elespacio vectorial.
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Espacios vectoriales
Definicion
Un espacio vectorial sobre un cuerpo K es un conjunto E no vacıoy cerrado con las siguientes operaciones definidas:
1 Ley de composicion interna
∀~x , ~y ∈ E ⇒ ~x + ~y ∈ E
2 Ley de composicion externa
∀~x ∈ E , α ∈ K ⇒ α~x ∈ E
que cumplen las siguientes condiciones:
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Espacios vectoriales
Definicion
La ley de composicion interna ha de cumplir:
Propiedad conmutativa: ~x + ~y = ~y + ~x∀~x , ~y ∈ E
Propiedad asociativa:
~x + (~y + ~z) = (~x + ~y) + ~z∀~x , ~y , ~z ∈ E
Elemento neutro de la suma: ∃~0 ∈ E : ~x +~0 = ~x∀~x ∈ E
Existencia del opuesto: ∀~x ∈ E∃ − ~x ∈ E : ~x + (−~x) = ~0
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Espacios vectoriales
Definicion
La ley de composicion externa ha de cumplir:
Propiedad asociativa: α(β~x) = (αβ)~x∀~x ∈ E , α, β ∈ KElemento neutro del producto: ∃1 ∈ K : 1~x = ~x∀~x ∈ E
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma devectores:
α(~x + ~y) = α~x + α~y∀~x , ~y ∈ E , α ∈ K
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma deescalares:
(α + β)~x = α~x + β~x∀~x ,∈ E , α, β ∈ K
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Espacios vectoriales
Ejemplos de espacios vectoriales
El espacio Rn formado por los vectores de n componentes(x1, x2, · · · , xn)
El conjunto Pn(K) = {anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 : ai ∈K ∀0 ≤ i ≤ n}.El espacio M2×2(K) de las matrices 2× 2 con coeficientessobre K.
El conjunto de las matrices continuas definidas sobre uncuerpo K
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Espacios vectoriales
No son espacios vectoriales
El conjunto de matrices 3× 2 con coeficientes enteros(M3×2(Z))
El conjunto de polinomios de grado exactamente igual a 3 concoeficientes reales.
¿Por que?
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3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial
5 Bases ortogonales yortonormales
Metodo de diagonalizacionde Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de unvector sobre un subespacio
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Sistema generador
Definicion
Dado un conjunto de vectores ~u1, ~u2, · · · , ~un ∈ E dıcese queforman un sistema generador del espacio vectorial E si cualquiervector ~u ∈ E se puede expresar como una combinacion lineal deellos, es decir:
∀~u ∈ E , ∃α1, α2, · · · , αn : ~u =n∑
i=1
αi ~ui
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Sistema generador
Ejercicio 1
a Expresese el vector (−5, 15) como una combinacion lineal de(1,−3) y (2,−6).
b Expresese el vector (a, b) como una combinacion lineal de(1,−3) y (2,−6).
c ¿Se puede formar con los vectores (1,−3) y (2,−6) unsistema generador de R2? ¿Por que?
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Sistema generador
Ejercicio 2
a Expresese el vector (4,−11) como una combinacion lineal de(2,−1) y (1, 4).
b Expresese el vector (a, b) como una combinacion lineal de(2,−1) y (1, 4).
c ¿Se puede formar con los vectores (1,−3) y (2,−6) unsistema generador de R2? ¿Por que?
d Obtengase el vector (−7, 3) como una combinacion lineal de(2,−1) y (1, 4).
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Sistema generador
Ejercicio 3
a Razonese si los vectores (1, 1), (−2, 3) y (0,−1) forman unsistema generador de R2.
b Obtengase el vector (−7, 3) como una combinacion lineal de(1, 1), (−2, 3) y (0,−1).
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Ejercicio 4
a Compruebese si los vectores del ejercicio 2, (2,−1) y (1, 4)son LI.
b Compruebese si los vectores del ejercicio 3, (1, 1), (−2, 3) y(0,−1) son LI.
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Base de un espacio vectorial
Cuando se tiene un conjunto de vectores que son sistemagenerador de un espacio vectorial E y sean ademas LI, dıcese queestos vectores constituyen una base del espacio.
Definicion
Dıcese que un conjunto de vectores ~u1, ~u2, · · · , ~un ∈ E son unabase de E si:
~u1, ~u2, · · · , ~un es un sistema generador de E .
~u1, ~u2, · · · , ~un son linealmente independientes.
Por ejemplo, los vectores del ejercicio 2 son una base de R2, peroen cambio los del ejercicio 3 no son una base de R2.
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Base de un espacio vectorial
Teorema
Si ~u1, ~u2, · · · , ~un ∈ E es una base del espacio vectorial E , entoncescualquier vector ~u ∈ E se puede expresar como una combinacionlineal de ~u1, ~u2, · · · , ~un de manera unica.
∀~u ∈ E , ∃! α1, α2, · · · , αn ∈ K : ~u =n∑
i=1
αi ~ui
Corolario
Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismonumero de vectores.
Por ejemplo, las bases de K2 tienen 2 elementos, las de K3 tienen3...
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Base de un espacio vectorial
Ejercicios
Determınese si los vectores (2,−4, 0), (1, 1, 1) y (-1,2,0) formanuna base de R3.
Sol: no, ya que son LD.
Ejercicios
Determınese si los vectores (2, 1, 0), (1,−1, 1) y (0,2,-3) formanuna base de R3.
Sol: sı, ya que son 3 vectores LI de R3.
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Base de un espacio vectorial
Un espacio vectorial tiene infinitas bases. En cada espacio vectorialhay una que tiene unas caracterısticas especiales. La denominadabase canonica.
La base canonica
En R2, la base canonica es {~e1, ~e2} con
~e1 = (1, 0), ~e2 = (0, 1)
En R3, la base canonica es {~e1, ~e2, ~e3} con
~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1)
Notese que los vectores de la base canonica son unitarios yortogonales entre sı.
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Dimension de una base
Como el numero de elementos de una base de un espacio vectorialdado E es unico, tiene sentido definir la dimension de E .
Dimension de un espacio vectorial
Dado un espacio vectorial E , se define su dimension dim(E ) comoel numero de vectores que conforman cualquiera de sus bases.
Por ejemplo, R2 tiene dimension 2 ya que las bases tienen 2elementos, R3 tiene dimension 3, etc...
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Coordenadas de un vector en una base
Coordenadas
Dado un espacio vectorial E con una base B = {~u1, ~u2, · · · , ~un} yun vector ~u ∈ E , se sabe que existen unos unicos escalaresα1, α2, · · · , αn tales que:
~u = α1~u1 + α2~u2 + · · ·+ αn~un
estos escalares se denominan coordenadas del vector ~u en la baseB.
~u = (α1, α2, · · · , αn)B
Cada vector tiene coordenadas unicas en cada base del espacio alque pertenece, pero como hay infinitas bases, tendra infinitosconjuntos de coordenadas asociadas.
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Coordenadas de un vector en una base
Ejercicios
Dadas las dos bases B1 = {(2, 4, 0), (1, 0, 1), (−1, 2, 0)} yB2 = {(2, 1, 0), (1,−1, 1), (0, 2,−3)} calculense las coordenadasdel vector ~u = (3,−5, 1) en ambas bases.
Sol
~u =
(−1
8, 1,−9
4
)B1
= (−2, 7, 2)B2
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Espacios vectorialesSistema generadorBase de un espacio vectorialDimension y coordenadas de una base
Coordenadas de un vector en una base
Si se nos facilitan las coordenadas de un vector sin especificar labase, se sobreentiende que se trata de la base canonica. Tambienreciben el nombre de coordenadas cartesianas y son las que en elTema 2 hemos definido como las componentes de un vector.
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
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Cambio de baseSubespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Se sabe que todo vector de un espacio vectorial tiene asociado unconjunto de escalares que dependen de la base y que se denominancoordenadas o componentes del vector en esa base. Tambienhemos visto que estas coordenadas son unicas en cada base perodistintas cuando cambian de base.Partiendo de este punto el problema que se nos plantea es el decalcular las coordenadas de un vector en cierta base B dadas lascoordenadas del mismo en otra base B.Si una de las dos bases es la canonica ya hemos visto que elproblema es relativamente sencillo, vease el ultimo ejercicio de laseccion anterior. Si las dos bases son arbitrarias, se necesitaraconocer la relacion entre ambas bases y la resolucion sera un pocomas elaborada.
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Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Ejercicios
Dado el vector ~u de coordenadas (−2, 3, 5)B en la base:
B = {(2, 4, 0), (1, 0, 1), (−1, 2, 0)}
Calculense sus coordenadas en la base canonica C .
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Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Solucion
(−2, 3, 5)B = −2 · (2, 4, 0)C + 3 · (1, 0, 1)C + 5 · (−1, 2, 0)C
= (−6, 2, 3)C = −6 · (1, 0, 0) + 2 · (0, 1, 0) + 3 · (0, 0, 1)
Sol~u = (−6, 2, 3)C
Donde C es la base canonica del espacio.
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Ejercicio
Dadas las bases Bu = {~u1, ~u2, ~u3} y Bv = {~uv , ~uv , ~uv} de unespacio vectorial de dimension 3 sabemos que:
~v1 = 2~u1 − ~u2 + ~u3
~v2 = − ~u2 + 2~u3
~v3 = −~u1 + ~u2 − 3~u3
¿Cuales son las coordenadas de los vectores ~vi en a base Bu?¿Y las de ~ui en la base Bv? (Pista: empleese Gauss).Calculense las coordenadas del vector ~x en la base Bu sabiendo queen la base Bv tiene coordeadas (1,−1, 0).
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Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Solucion
Segun la definicion, las coordenadas de ~vi en Bu, son los escalaresque acompanan a los vectores ~u1, ~u2, ~u3 que genera vi :
~v1 = 2~u1 + (−1)~u2 + 1~u3 = (2,−1, 1)Bu
~v2 = 0~u1 + (−1)~u2 + 2~u3 = (0,−1, 2)Bu
~v3 = (−1)~u1 + 1~u2 + (−3)~u3 = (−1, 1,−3)Bu
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Solucion
Para calcular las coordenadas de los vectores de Bu en la base Bv ,se han de expresar los vectores ~ui como una combinacion lineal delos vectores ~vi . Notese que la relacion del enunciado se provee conel orden cambiado. Queda hallar los ~ui en funcion de los ~vi , cosaque se puede hacer empleando Gauss con ~ui como incognita y ~vicomo terminos independientes. La solucion se obtiene al operarsistema:
~u1 =
(1
3,−2
3,−1
3
), ~u2 =
(−2
3,−5
3,−4
3
), ~u3 =
(−1
3,−1
3,−2
3
)
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Solucion
Se sabe que ~x = (1,−1, 0)Bv = 1~v1 + (−1)~v2 + 0~v3,
~x = 1(2~u1 − ~u2 + ~u3) + (−1)(−~u2 + 2~u3) + 0(−~u1 + ~u2 − 3~u3)
= 2~u1 − ~u3 = (2, 0,−1)Bu
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Solucion
Notese pues que:
2~u1 − ~u3 = ~v1 + (−1)~v2
Ası se puede decir que si se conocen explıcitamente lascoordenadas de ~vi i de ~ui en la base canonica, y las sustituimos enla expresion anterior, se obtendra una igualdad: las coordenadas delvector ~x en la base canonica.
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Cambio de base
Ejercicios
Dadas las bases Bu = {~u1, ~u2, ~u3} y Bv = {~uv , ~uv , ~uv} de unespacio vectorial de dimension 3 y sabiendose que:
~v1 = 2~u1 − ~u2 + ~u3
~v2 = − ~u2 + 2~u3
~v3 = −~u1 + ~u2 − 3~u3
Considerese el vector ~x = (2, 0,−1)Bu y calculense sus coordenadasen la base Bv .
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Solucion
~x = a~v1 + b~v2 + c~v3 =
a(2~u1 − ~u2 + ~u3) + b(−~u2 + 2~u3) + c(−~u1 + ~u2 − 3~u3) =
(2a− c)~u1 + (−a− b − c)~u2 + (a + 2b − 3c)~u3
Deberıa ser:~x = 2~u1 + 0~u2 + (−1)~u3
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales resultante de igularambas expresiones (ya que las coordenadas de un vector en unabase son unicas) se obtiene:
~x = (1,−1, 0)Bv = (2, 0,−1)Bu
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
En los ejercicios anteriores se ha visto que la notacion paraexpresar las coordenadas de un vector se puede hacer en forma dematriz fila o columna. Si se conocen las coordenadas de un vectoren una base se pueden emplear las operaciones matriciales yaconocidas para pasar de una base a otra sin mayor complicacion.
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Tenganse los vectores de la base Bv en la base Bu dados por:~v1 = 2~u1 − ~u2 + ~u3
~v2 = − ~u2 + 2~u3
~v3 = −~u1 + ~u2 − 3~u3
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Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Expresion que en forma matricial tiene la forma (I): 2 −1 10 −1 2−1 1 −3
· ~u1
~u2
~u3
=
~v1
~v2
~v3
(~u1 ~u2 ~u3
)·
2 0 −1−1 −1 11 2 −3
=(~v1 ~v2 ~v3
)En la matriz superior, las filas son las coordenadas de los vectores~v1, ~v2 i ~v3 en la base Bu. En la matriz inferior, las columnas son lascoordenadas de los vectores ~v1, ~v2 i ~v3 en la base Bu.
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Por otro lado, se puede expresar el vector ~x en ambas bases de lasiguiente manera:
~x = 1~v1+(−1)~v2+0~v3 = (~v1, ~v2, ~v3)
1−10
Bv
= (1,−1, 0)
~v1
~v2
~v3
~x = 2~u1+0~u2+(−1)~u3 = (~u1, ~u2, ~u3)
20−1
Bu
= (2, 0,−1)
~u1
~u2
~u3
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Como ya se sabe, el resultado de operar en ambas expresionesserıan las coordenadas del vector en la base canonica (porunicidad), por lo tanto se pueden igualar las expresiones:
~x = (~v1, ~v2, ~v3)
1−10
Bv
= (~u1, ~u2, ~u3)
20−1
Bu
o
~x = (2, 0,−1)
~u1
~u2
~u3
= (1,−1, 0)
~v1
~v2
~v3
2~u1 − ~u3 = 1~v1 + (1)~v2 + 0~v3 (eq 2)
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Empleando las relaciones establecidas por (I):
(~u1 ~u2 ~u3
)·
2 0 −1−1 −1 11 2 −3
=(~v1 ~v2 ~v3
)Y sustituyendo en la ecuacion (II):
~x = (~v1, ~v2, ~v3)
1−10
Bv
= (~u1, ~u2, ~u3)
20−1
Bu
Se obtiene:
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
Se obtiene:
~x =(~u1 ~u2 ~u3
)·
2 0 −1−1 −1 11 2 −3
1−10
Bv
=
(~u1 ~u2 ~u3
)·
20−1
Bu
Si se comparan ambos miembros se halla que por unicidad decoordenadas de un vector en la misma base (en este caso Bu):
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Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
2 0 −1−1 −1 11 2 −3
1−10
Bv
=
20−1
Bu
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Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
1 Conjuntos libres y ligadosCombinaciones linealesDependencia eindependencia linealRango de un conjunto devectores
2 Espacios vectoriales dedimension finita
Espacios vectorialesSistema generadorBase de un espaciovectorial
Dimension y coordenadasde una base
3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial
5 Bases ortogonales yortonormales
Metodo de diagonalizacionde Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de unvector sobre un subespacio
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Cambio de baseSubespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
En general
Dado un vector ~x de coordenades Xv (vector columna) en la baseBv (vector fila) y las coordenadas Xu (vector columna) en la baseBu (vector fila) entonces se puede escribir:
~x = Bv · Xv = Bu · Xu
Si la relacion entre las bases dadas por Bu · P = Bv se sustituyenen la expresion del vector ~x :
~x = (Bu · P) · Xv = Bu · Xu
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Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
En general
Empleando la propiedad asociativa:
~x = Bu · (P · Xv ) = Bu · Xu
Se obtiene que Xu = P · Xv
La matriz P se denomina la matriz de cambio de base Bv a la baseBu.
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Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Cambio de base
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Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Matriz de cambio de base
Matriz de cambio de base
Dado un espacio vectorial de dimension n y dos bases diferentes Bu
y Bv . Se denomina matriz de cambio de base de Bv a Bu a lamatriz P las columnas de la cual son las coordenadas de la baseBv en la base Bu.
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Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Matriz de cambio de base
Ejercicios
Dadas las bases Bu = {~u1, ~u2, ~u3} y Bv = {~v1, ~v2, ~v3}, y el vector ~xde coordenadas (2, 1, 0) en la base Bv , calculense sus coordenadasen la base Bu sabiendo que:
~v1 = 2~u1 − ~u2 + ~u3
~v2 = − ~u2 + 2~u3
~v3 = −~u1 + ~u2 − 3~u3
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Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Matriz de cambio de base
Sol
P =
2 0 −1−1 −1 11 2 −3
Donde Bv = Bu · P
~x = (4,−3, 4)Bu
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El cambio de baseMatriz de cambio de base
Matriz de cambio de base
Ejercicios
Expresese el vector (−1, 0, 4) de la base canonica en la baseB = {(1, 3,−1), (−1, 1, 0), (0, 2, 0)} de R3 calculando previamentela matriz de cambio de base necesaria.
Pista: P es la matriz que porta la base canonica a B, la cual tienecomo columnas los vectores de la base canonica expresados en labase B. este problema es mas sencillo si se busca la matriz Q queporta B a la base canonica (sus columnas seran los vectores de Ben la base canonica que son ellos mismos) y que resulta ser lainversa de P.
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Bases ortogonales y ortonormales
El cambio de baseMatriz de cambio de base
Matriz de cambio de base
Sol
P = Q−1 =
0 0 −1−1 0 −11/2 1/2 2
Donde XB = P · Xe
~x =
(−4,−3,
15
2
)B
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Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
1 Conjuntos libres y ligadosCombinaciones linealesDependencia eindependencia linealRango de un conjunto devectores
2 Espacios vectoriales dedimension finita
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Dimension y coordenadasde una base
3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial
5 Bases ortogonales yortonormales
Metodo de diagonalizacionde Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de unvector sobre un subespacio
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Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
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2 Espacios vectoriales dedimension finita
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Dimension y coordenadasde una base
3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial
5 Bases ortogonales yortonormales
Metodo de diagonalizacionde Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de unvector sobre un subespacio
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Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Definicion
Sea F ⊆ E un subconjunto no vacıo del espacio vectorial E sobreun cuerpo K. Dıcese que F es un subespacio vectorial de E si ysolo si se verifica:
La suma de dos elementos de F es otro elemento F
∀~x , ~y ∈ F ⇒ ~x + ~y ∈ F
El producto de un escalar por un elemento F es otro elementode F
∀~x ∈ F , α ∈ K⇒ α~x ∈ F
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Cambio de baseSubespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Subespacios triviales
Si E es un K-espacio vectorial, se verifica siempre que E y {0} sonsubespacios vectoriales de E . Se denominan subespacios vectorialestriviales o impropios.
Corolario
Si S es un subespacio vectorial de E , entonces ~0 ∈ S .
Este corolario solo se puede emplear recıprocamente ya que si secomprueba que por alguna razon ~0 /∈ S , entonces este conjunto nopuede ser nunca un subespacio vectorial.
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Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Ejercicios
Compruebese que el siguiente conjunto es un subespacio vectorialde R3:
F = {(x , y , z) ∈ R3 : x + y + z = 0}
Nota: compruebese primero si F contiene el vector cero y, si ası es,compruebense las dos condiciones de la definicion de subespacio.
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Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Ecuaciones de un subespacio vectorial
Un subespacio vectorial F de un espacio vectorial E quedaidentificado si:
Se conoce una base de F
Se conoce un sistema generador de F
A partir de sus ecuaciones parametricas
A partir de las equacions cartesianas o implıcitas (un sistemahomogeneo las incognitas del cual son las coordenadas delvector generico).
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Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Ejercicios
Identifıquese el subespacio F del ejercicio anterior de todas lasformas posibles:
F = {(x , y , z) ∈ R3 : x + y + z = 0}
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Bases ortogonales y ortonormales
Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Obtener una base de un subespacio vectorial
Se parte de las ecuaciones parametricas del subespacio.
Se expresa el vector generico como combinacion lineal devectores.
En primer lugar se consiguen tantos sumandos comoparametros tenga el subespacio y se separan en vectoresdiferentesSe extrae un escalar de cada uno de los vectores y se dejaexpresado como combinacion lineal
Los vectores que aparecen en la combinacion lineal son unsistema generador del subespacio.
Se extrae del conjunto de vectores un subconjunto linealmenteindependiente con tantos vectores como indique el rango. Setiene ası una base del subespacio.
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Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Ejercicios
Obtengase la dimension, las ecuaciones parametricas y una basedel subespacio F1 dado por:
F1 = {(x , y , z) ∈ R3 : 2x−y + 3z = 0,−x +y−z = 0, x−2y = 0}
Pista: Comiencese por hacer Gauss al sistema de ecuacioneslineales.
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Concepto de subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Ejercicios
Obtengase la dimension, las ecuaciones parametricas y una basedel subespacio F2 dado por:
F2 = {(α + β, α + β, α + β + γ, 0) : α, β, γ ∈ R}
Pista: Comiencese por hacer Gauss al sistema de ecuacioneslineales.
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Metodo de diagonalizacion de Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
1 Conjuntos libres y ligadosCombinaciones linealesDependencia eindependencia linealRango de un conjunto devectores
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Dimension y coordenadasde una base
3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial
5 Bases ortogonales yortonormales
Metodo de diagonalizacionde Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de unvector sobre un subespacio
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Bases ortogonales y ortonormales
Metodo de diagonalizacion de Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
Bases ortogonales y ortonormales
Base ortogonal
Dada una base B = {~u1, ~u2, · · · , ~un} de un espacio vectorial E ,dıcese ortogonal si sus elementos son ortogonales dos a dos:
~ui · ~uj = 0∀i 6= j
Base ortonormal
Dada una base B = {~u1, ~u2, · · · , ~un} de un espacio vectorial E ,dıcese ortonormal si sus elementos son ortogonales dos a dos yademas son unitarios:
~ui · ~uj = 0 ∀i 6= j
~ui · ~ui = 1 ∀iJuan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales
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Metodo de diagonalizacion de Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
1 Conjuntos libres y ligadosCombinaciones linealesDependencia eindependencia linealRango de un conjunto devectores
2 Espacios vectoriales dedimension finita
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Dimension y coordenadasde una base
3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial
5 Bases ortogonales yortonormales
Metodo de diagonalizacionde Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de unvector sobre un subespacio
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Metodo de diagonalizacion de Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
Metodo de diagonalizacion de Gram-Schmidt
Este metodo permite contruir una base ortogonal a partir de unabase cualquiera del espacio vectorial. Primero se realizara lacontruccion para un espacio vectorial de dos dimensiones:
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Metodo de diagonalizacion de Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
Metodo de diagonalizacion de Gram-Schmidt
Caso 2D
Sea B = {~v1, ~v2} una base de un espacio vectorial de dosdimensiones. A partir de los vectores de esta base se construira unanueva B = {~w1, ~w2} que sera ortogonal y del mismo espacio.
1 Se toma ~w1 = ~v1 como primer vector de la nueva base.
2 El segundo vector sera una combinacion lineal ~v1 y ~v2 paraasegurarse de que la nueva base genera el mismo subespaciovectorial. Ası, se descompone:
~v2 = ~u1 + ~u2 : ~u1||~v1 ~u2 ⊥ ~v1
En particular ~u2 = ~v2 − t~v1 = ~v2 − t ~w1 y sera el siguientevector de nuestra nueva base: ~w2. Solo resta encontrar t.
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Metodo de diagonalizacion de Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
Metodo de diagonalizacion de Gram-Schmidt
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Metodo de diagonalizacion de Gram-Schmidt
Caso 2D
Se tiene que ~w1 ⊥ ~w2. Se impone la condicion de que~w2 = ~v2 − t ~w1 y el producto escalar con ~w1 = ~v1 ha de ser cero:
~w1 · ~w2 = ~w1 · (~v2 − t ~w1) = ~w1 · ~v2 − ~w1~w1 = 0
Por lo tanto:
t =~w1 · ~v2
~w1 · ~w1
~w2 = ~v2 −~w1 · ~v2
~w1 · ~w1~w1
Entonces Br = {~w1, ~w2} es una base ortogonal que genera elmismo subespacio que B = {~v1, ~v2}.
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Metodo de diagonalizacion de Gram-Schmidt
Caso general
Sea B = {~v1, ~v2, · · · , ~vn} una base de un espacio vectorial de ndimensiones E . A partir de los vectores de esta base se construirauna nueva Br = {~w1, ~w2, · · · , ~wn} que sera ortogonal y del mismoespacio.
1 Se toma ~w1 = ~v1 como primer vector de la nueva base.
2 El segundo vector sera una combinacion lineal ~v1 y ~v2 de laforma ~w2 = ~v2 − t ~w1, al cual se impondra la condicion de que~w1 ⊥ ~w2. Operando se obtiene:
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Metodo de diagonalizacion de Gram-SchmidtProyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
Metodo de diagonalizacion de Gram-Schmidt
Caso general
t =~w1 · ~v2
~w1 · ~w1
~w2 = ~v2 −~w1 · ~v2
~w1 · ~w1~w1
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Conjuntos libres y ligadosEspacios vectoriales de dimension finita
Cambio de baseSubespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
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Metodo de diagonalizacion de Gram-Schmidt
Caso general
Sea B = {~v1, ~v2, · · · , ~vn} una base de un espacio vectorial de ndimensiones E . A partir de los vectores de esta base se construirauna nueva Br = {~w1, ~w2, · · · , ~wn} que sera ortogonal de E .
3 Para calcular el tercer vector, se procede de la misma forma:el tercer vector ~w3 sera una combinacion lineal de ~v1, ~v2 y ~v3
de la forma ~w2 = ~v3 − t1~w1 − t2~w2, a la cual se impondran lascondiciones ~w1 ⊥ ~w3 i ~w2 ⊥ ~w3 . Operando se obtiene:
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Metodo de diagonalizacion de Gram-Schmidt
Caso general
t1 =~w1 · ~v3
~w1 · ~w1t2 =
~w2 · ~v2
~w2 · ~w2
~w3 = ~v3 −~w1 · ~v3
~w1 · ~w1~w1 −
~w2 · ~v3
~w2 · ~w2~w2
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Caso general
4 Analogamente:
~w4 = ~v4 −~w1 · ~v4
~w1 · ~w1~w1 −
~w2 · ~v4
~w2 · ~w2~w2 −
~w3 · ~v4
~w3 · ~w3~w3
n Y con el fin de hallar el ultimo:
~wn = ~vn −n−1∑i=1
~wi · ~vn~wi · ~wi
~wi
n+1 Finalmente, si se designa una base ortonormal, basta dividircada vector por su norma.
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Metodo de diagonalizacion de Gram-Schmidt
Ejercicios
Calculese una base ortogonal del subespacio vectorial generado porlos vectores
~u1 = (1, 1, 0, 1), ~u2 = (0, 0, 1, 1), ~u3 = (2, 0,−1, 0)
Sol:(1, 1, 0, 1), (1, 1,−3,−2), (1,−1, 0, 0)
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Cambio de baseSubespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
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1 Conjuntos libres y ligadosCombinaciones linealesDependencia eindependencia linealRango de un conjunto devectores
2 Espacios vectoriales dedimension finita
Espacios vectorialesSistema generadorBase de un espaciovectorial
Dimension y coordenadasde una base
3 Cambio de baseEl cambio de baseMatriz de cambio de base
4 Subespacios vectorialesConcepto de subespaciovectorial
5 Bases ortogonales yortonormales
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Bases ortogonales y ortonormales
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Vector ortogonal a un subespacio
Vector ortogonal a un subespacio
Un vector ~u ∈ E es ortogonal a un subespacio vectorial S ⊆ E si ysolo si:
~u · ~x = 0 ∀ ~x ∈ S
Teorema
Un vector ~u ∈ E es ortogonal a un subespacio vectorial S ⊆ E si ysolo si es ortogonal a todos los vectores de una base de S .
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Proyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
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Teorema
Dos subespacios V y W de E son ortogonales si:
∀~x ∈ V ∀~y ∈W ⇒ ~x · ~y = 0
Teorema
Para que dos subespacios V y W sean ortogonales, es suficientecon que los vectores de una base de V sean ortogonales a losvectores de una base de W .
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Proyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
Projeccion ortogonal
Como se recordara, el vector proyeccion ortogonal de un vector ~usobre otro ~v , se expresa como:
P~u(~v) =~u · ~v~v · ~v
~v =~u · ~v||~v ||2
~v
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Proyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
Proyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
Dado S un subespacio vectorial de un espacio vectorial E , todovector ~u ∈ E se descompone de manera unica en:
~u = ~uS + ~u0
Con ~uS ∈ S y ~u0 ∈ S⊥. En particular, el vector ~uS ∈ S sedenomina vector proyeccion ortogonal de ~u sobre S .
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Proyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
Proyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio
Si se toma en S una base ortogonal {~s1, ~s2, · · · , ~sr}, la proyeccionde ~u sobre S viene dada por:
P~u(~v) = ~uS =r∑
i=1
~u · ~si||~si ||2
~si
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