Tema 6: ÁlgebraMatemáticas 1oESO
Departamento de MatemáticasI.E.S. Los Neveros
Guillermo Sánchez-Gadeo Medina
Curso 2019/20
Índice
1 IntroducciónHistoria
2 Lenguaje algebraicoTraducción al lenguaje algebraico
3 Expresiones algebraicasClasificaciónMonomiosSuma y resta de monomiosProducto y división de monomios
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
HistoriaIntroducción
Como curiosidad (no hay que sabérselo) para introducirel tema repasaremos unos pocos apuntes históricos queya comentamos en clase.
El origen del álgebra se remonta a tiempos de lacivilización babilónica (sobre el 3000 a.C.) pero de formaretórica (sin usar el lenguaje que usamos hoy en día).
El padre del álgeba actual es Mohammed Ibn MusaAl-Khwarizmi (780-850).
Álgebra proviene de al-jabr que significa reduccion.
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
HistoriaIntroducción
Figura: Sello con el retrato deAl-Khwarizmi
Figura: Fragmento manuscritopor Al-Khwarizmi.
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Lenguaje algebraico
En matemáticas es muy habitual que se nos presentensituaciones en las que hay que trabajar considerandonúmeros cuyo valor es desconocido. Es aquí dónde elálgebra toma un papel fundamental.
Definición.- (Álgebra)
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia elcomportamiento de expresiones con números y letras.
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Traducción al lenguaje algebraicoLenguaje algebraico
Debemos tomarnos el aprendizaje del lenguajealgebraico como si de un idioma nuevo se tratase. Portanto, es fundamental saber traducir enunciados denuestro lenguaje ordinario a expresiones algebraicas.
Lenguaje ordinario Lenguaje numéricoCuatro más el doble de siete −→ 4 + 2 · 7
Lenguaje ordinario Lenguaje algebraicoCuatro más el doble de un número → 4 + 2x
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Traducción al lenguaje algebraicoLenguaje algebraico
Debemos tomarnos el aprendizaje del lenguajealgebraico como si de un idioma nuevo se tratase. Portanto, es fundamental saber traducir enunciados denuestro lenguaje ordinario a expresiones algebraicas.
Lenguaje ordinario Lenguaje numéricoCuatro más el doble de siete −→ 4 + 2 · 7
Lenguaje ordinario Lenguaje algebraicoCuatro más el doble de un número → 4 + 2x
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Traducción al lenguaje algebraicoLenguaje algebraico
Debemos tomarnos el aprendizaje del lenguajealgebraico como si de un idioma nuevo se tratase. Portanto, es fundamental saber traducir enunciados denuestro lenguaje ordinario a expresiones algebraicas.
Lenguaje ordinario Lenguaje numéricoCuatro más el doble de siete −→ 4 + 2 · 7
Lenguaje ordinario Lenguaje algebraicoCuatro más el doble de un número → 4 + 2x
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Traducción al lenguaje algebraicoLenguaje algebraico
Ejemplos básicos:
Lenguaje ordinario Lenguaje algebraicoUn número x
Otro número distinto yDos números consecutivos x , (x + 1)La suma de dos números x + y
La diferencia de dos números x − yEl triple de un número 3x
La tercera parte de un número13
x
El cuadrado de un número x2
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Traducción al lenguaje algebraicoLenguaje algebraico
Nota importante:
Como venimos diciendo, el lenguaje algebraico es comoun idioma, y por tanto, hay que tener en cuenta el ordende las palabras a la hora de traducir.
Del mismo modo que no es lo mismo decir me río en elbaño que me baño en el río, no es lo mismo decir elcuadrado de la suma de dos números que la suma de dosnúmeros al cuadrado. Veámoslo.
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Traducción al lenguaje algebraicoLenguaje algebraico
Nota importante:
El cuadrado de la suma de dos números −→ (x + y)2.
La suma de dos números al cuadrado −→ x2 + y2.
y evidentemente, (x + y)2 6= x2 + y2.
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Expresiones algebraicas
Definición.- (Expresión algebraica)
Una expresión algebraica es una expresión matemáticaformada por números, letras y operaciones.
Son expresiones algebraicas las siguientes:
3x + 7
12
x2y − 4y
a · b2
α3 − β2 + γ
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Expresiones algebraicas
Definición.- (Expresión algebraica)
Una expresión algebraica es una expresión matemáticaformada por números, letras y operaciones.
Son expresiones algebraicas las siguientes:
3x + 7
12
x2y − 4y
a · b2
α3 − β2 + γ
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 10/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Valor numéricoExpresiones algebraicas
Definición.- (Valor numérico)
El valor numérico de una expresión algebraica es elvalor que toma cuando se sustituyen las letras pornúmeros conocidos.
Ejemplo.-
Si tenemos la expresión algebraica 7x2y − 4(x − 1) yqueremos conocer su valor numérico cuando x = 2 ey = 3 tenemos que cambiar las letras por esos valores yaconocidos:
7x2y − 4(x − 1) x=2−−→y=3
7 · 22 · 3− 4(2− 1) = 80
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 11/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Valor numéricoExpresiones algebraicas
Definición.- (Valor numérico)
El valor numérico de una expresión algebraica es elvalor que toma cuando se sustituyen las letras pornúmeros conocidos.
Ejemplo.-
Si tenemos la expresión algebraica 7x2y − 4(x − 1) yqueremos conocer su valor numérico cuando x = 2 ey = 3 tenemos que cambiar las letras por esos valores yaconocidos:
7x2y − 4(x − 1) x=2−−→y=3
7 · 22 · 3− 4(2− 1) = 80
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 11/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
ClasificaciónExpresiones algebraicas
Podemos clasificar las expresiones algebraicas según elnúmero de términos que tengan.
Recordamos que los términos se separan por sumas orestas. Veamos algunos ejemplos:
3x︸︷︷︸1
+ 7︸︷︷︸2
(2 términos)
12
x2y︸ ︷︷ ︸1
− 4y︸︷︷︸2
(2 términos)
a · b2︸ ︷︷ ︸1
(1 término)
α3︸︷︷︸1
− β2︸︷︷︸2
+ γ︸︷︷︸3
(3 términos)
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
ClasificaciónExpresiones algebraicas
Podemos clasificar las expresiones algebraicas según elnúmero de términos que tengan.
Recordamos que los términos se separan por sumas orestas. Veamos algunos ejemplos:
3x︸︷︷︸1
+ 7︸︷︷︸2
(2 términos)
12
x2y︸ ︷︷ ︸1
− 4y︸︷︷︸2
(2 términos)
a · b2︸ ︷︷ ︸1
(1 término)
α3︸︷︷︸1
− β2︸︷︷︸2
+ γ︸︷︷︸3
(3 términos)
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 12/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
ClasificaciónExpresiones algebraicas
Clasificación de expresiones algebraicas
Monomio: expresión algebraica formada por un únicotérmino. (No hay sumas ni restas)
Binomio: expresión algebraica formada por dostérminos. (Solo una suma o resta)
Polinomio: expresión algebraica formada por más dedos términos.
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
MonomiosExpresiones algebraicas
De todos los tipos de expresiones algebraicas, losmonomios son los más sencillos.
Los monomios están formados por el producto de unnúmero, que llamaremos coeficiente y una o variasletras, esto es la parte literal.
2x2 −4xy 12
ab3
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 14/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
MonomiosExpresiones algebraicas
De todos los tipos de expresiones algebraicas, losmonomios son los más sencillos.
Los monomios están formados por el producto de unnúmero, que llamaremos coeficiente y una o variasletras, esto es la parte literal.
2x2 −4xy 12
ab3
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 14/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
MonomiosExpresiones algebraicas
De todos los tipos de expresiones algebraicas, losmonomios son los más sencillos.
Los monomios están formados por el producto de unnúmero, que llamaremos coeficiente y una o variasletras, esto es la parte literal.
2 x2 −4 xy 12
ab3
Coeficiente Parte literal
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 15/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
MonomiosExpresiones algebraicas
Además de coeficiente y parte literal, otra característicade los monomios es su grado. Para conocerlo debemosdiferenciar dos casos:
1 Cuando el monomio tiene una sola letra el grado delmonomio es el exponente al que está elevado dichaletra.
2x 2 −→ El monomio tiene grado 2
−5x = −5x 1 −→ El monomio tiene grado 1
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IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
MonomiosExpresiones algebraicas
Además de coeficiente y parte literal, otra característicade los monomios es su grado. Para conocerlo debemosdiferenciar dos casos:
2 Cuando el monomio tiene más de una letra el grado delmonomio es la suma de los exponentes de cada letra.
2x 2 y 2 −→ Grado 2 + 2 = 4
−αβγ = −α 1 β 1 γ 1 −→ Grado 1 + 1 + 1 = 3
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Hasta aquí llegamos explicando en clase.
A partir de aquí se presentanconceptos nuevos del tema.
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Suma y resta de monomiosExpresiones algebraicas
En multitud de ocasiones se nos presentan expresionesalgebraicas complejas, formadas por varios monomiosque se pueden reducir o simplificar mediante operacionesde sumas y restas.
Propiedad
Dos monomios se pueden sumar o restar cuando sonsemejantes, es decir, cuando tienen la misma parteliteral.
Nota: cuando los monomios no son semejantes laoperación se deja indicada.
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 19/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Suma y resta de monomiosExpresiones algebraicas
Supongamos que tenemos la siguiente expresión:
4x2y︸︷︷︸+ 3 xy︸︷︷︸+ 3x2y︸︷︷︸− 2 xy︸︷︷︸Por tanto se puede reducir la expresión agrupando pormonomios semejantes, de modo que:
4x2y + 3xy + 3x2y − 2xy = 7x2y + xy
Esto es más sencillo de entender si nos lo llevamos a unlenguaje más cotidiano:
4 uvas +3 peras +3 uvas −2 peras = 7 uvas +1 pera
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 20/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Suma y resta de monomiosExpresiones algebraicas
Supongamos que tenemos la siguiente expresión:
4x2y︸︷︷︸+ 3 xy︸︷︷︸+ 3x2y︸︷︷︸− 2 xy︸︷︷︸Por tanto se puede reducir la expresión agrupando pormonomios semejantes, de modo que:
4x2y + 3xy + 3x2y − 2xy = 7x2y + xy
Esto es más sencillo de entender si nos lo llevamos a unlenguaje más cotidiano:
4 uvas +3 peras +3 uvas −2 peras = 7 uvas +1 pera
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 20/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Producto y división de monomiosExpresiones algebraicas
Además de sumas y restas también se pueden efectuarmultiplicaciones y divisiones de monomios, pero en estecaso sin importar que sean o no semejantes.
Propiedad
Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplicanpor un lado los coeficientes y por otro las partes literales.
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 21/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Producto y división de monomiosExpresiones algebraicas
Ejemplos de producto:
2 x · 3 x = 2 · 3 · x · x = 6 x2
32
x · (−2 xy) =32· (−2) · x · xy = −3 x2y
4 ( 2 a − 2 b ) = 4 · 2 a − 4 · 2 b = 8 a − 8 b
Recuerda: al multiplicar dos potencias con la misma basese suman sus exponentes, es decir:
22 · 24 = 22+4 = 26 x·x3 = x1+3 = x4
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 22/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Producto y división de monomiosExpresiones algebraicas
Ejemplos de producto:
2 x · 3 x = 2 · 3 · x · x = 6 x2
32
x · (−2 xy) =32· (−2) · x · xy = −3 x2y
4 ( 2 a − 2 b ) = 4 · 2 a − 4 · 2 b = 8 a − 8 b
Recuerda: al multiplicar dos potencias con la misma basese suman sus exponentes, es decir:
22 · 24 = 22+4 = 26 x·x3 = x1+3 = x4
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 22/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Producto y división de monomiosExpresiones algebraicas
Ejemplos de división:
3 x : 6 x =3 · x
6 · x=
3
6· Z
x
Zx=
1
2(Un número)
−8 xy2 : 2 xy =−8 · xy2
2 · xy=−8
2·ZxyA2
ZZZZxy= −4 y
(Un monomio)
3 xy2 : 15 x2y =3 · xy2
15 · x2y=
3
15·ZxyA2
xA2SSy=
1 · y
5 · x
(Una fracción algebraica)
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 23/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Producto y división de monomiosExpresiones algebraicas
Recuerda: al dividir dos potencias con la misma base secancelan sus exponentes, es decir:
22
23 =S2 ·S2
S2 ·S2 · 2=
12
x2
x=
Zx · xZx
= x
Propiedad
El producto de dos monomios es siempre otromonomio.
La división de dos monomios puede ser un número,otro monomio o una fracción algebraica.
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 24/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Producto y división de monomiosExpresiones algebraicas
Recuerda: al dividir dos potencias con la misma base secancelan sus exponentes, es decir:
22
23 =S2 ·S2
S2 ·S2 · 2=
12
x2
x=
Zx · xZx
= x
Propiedad
El producto de dos monomios es siempre otromonomio.
La división de dos monomios puede ser un número,otro monomio o una fracción algebraica.
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 24/26
IntroducciónHistoria
LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico
ExpresionesalgebraicasClasificación
Monomios
Suma y resta demonomios
Producto y división demonomios
Ejercicios
Para practicar las operaciones con monomios debéisrealizar los siguientes ejercicios:
Página 121Ejercicio 25Ejercicio 26
Página 123Ejercicio 29Ejercicio 34
Como siempre os digo, para cualquier duda escribidmeun correo a la dirección [email protected].
Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 25/26
Continuará...