tema 7_PROBLEMAS MÉTRICOS

7/24/2019 tema 7_PROBLEMAS MTRICOS

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Pxina 178

Diagonal dun ortoedro

I) = = 3

II) = = 13

III) = 9,49

Distancia entre dous puntos

PQ= = = 4,58

Pxina 179

Distancia dun punto a unha recta

Seguindo o proceso anterior, calcula a distancia do punto P(8, 6, 12) recta r:

r:

Describe o proceso que seguiras para calcular a distancia dun punto P a unplano , de modo que, finalmente, se reduza clculo da distancia entredous puntos.

Ecuacin del plano que contiene a Py es perpendicular a r:

0 (x 8) 1 (y 6) + 2 (z 12) = 0; es decir, : y+ 2z 18 = 0 Punto, Q, de corte de ry :

(1 ) + 2(7 + 2) 18 = 0

1 + + 14 + 4 18 = 0

5 5 = 0 = 1

El punto es Q(2, 0, 9).

Calculamos la distancia:

dist(P, r) = dist(P, Q) = |

PQ|= |(6, 6, 3)| = = = 98136 + 36 + 9

x= 2y= 1 z= 7 + 2

2142 + 22 + 12(5 1)2 + (5 3)2 + (7 6)2

9072 + 42 + 5216942 + 122 + 32

922 + 12 + 22

Unidade 7. Problemas mtricos 1

PROBLEMAS MTRICOS7


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Distancia dun punto a un plano

Calcula, paso a paso, a distancia do punto P(4, 35, 70) plano : 5y+ 12z 1 = 0

Hallamos la ecuacin de la recta, r, que pasa porPy es perpendicular a .

Obtenemos el punto, Q, de interseccin de ry .

La distancia de P a es igual a la distancia entrePy Q.

Para el punto y el plano dados:

Recta, r, que pasa por Py es perpendicular a :

r:

Punto, Q, de interseccin de ry :

5(35 + 5) + 12(70 + 12) 1 = 0

175 + 25+ 840 + 144 1 = 0

169+ 1014 = 0 = 6

El punto es Q(4, 5, 2).

Calculamos la distancia:

dist(P, ) = dist(P, Q) = |

PQ|= |(0, 30, 72)| = = = 78

Pxina 180

1. Obtn as ecuacins paramtricas da recta que pasa por (1, 0, 7) e perpendi-cular plano 5x 3z+ 4 = 0.

El vector normal al plano, n(5, 0, 3), es un vector direccin de la recta r que bus-camos. Por tanto las ecuaciones paramtricas son:

r:

2. Calcula a ecuacin implcita do plano que pasa por (1, 3, 5) e perpendicular recta:

= = z1

y+ 7 6

x 2

5

x= 1 + 5y= 0z= 7 3

6084900 + 5184

x= 4y= 35 + 5z= 70 + 12


Q

P

r


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Si el plano que buscamos, , es perpendicular a la recta dada, un vector normal alplano es el vector direccin de la recta: (5, 6, 1). Por tanto, la ecuacin de es:

5 (x 1) 6 (y+ 3) + 1 (z 5) = 0 5x 6y+ z 28 = 0

3. Obtn a ecuacin do plano paralelo 5xy+ 4 = 0 que pasa por (1, 0, 3).

Si son paralelos, el vector normal es el mismo, (5, 1, 0). Por tanto, la ecuacin delplano que buscamos es: 5 (x 1) y+ 0 (z+ 3) = 0 5xy 5 = 0

4. Calcula a ecuacin do plano perpendicular recta r e que pasa por (5, 7, 2).

r:

Si el plano que buscamos, , es perpendicular a r, un vector normal al plano es elvector direccin de la recta: (5, 2, 6)

Por tanto, la ecuacin de es:

5 (x 5) + 2 (y+ 7) 6 (z+ 2) = 0 5x+ 2y 6z 23 = 0

Pxina 181

5. Calcula a ecuacin do plano que contn a r e paralelo a s:

r: s:

El plano pasa por (5, 1, 8) y es paralelo a (1, 0, 2) y a (3, 1, 4). Un vector normalalplano es:

(1, 0, 2) (3, 1, 4) = (2, 2, 1)

La ecuacin del plano es: 2(x 5) + 2(y+ 1) 1(z 8) = 0; es decir: 2x+ 2y z= 0

6. Obtn as ecuacins paramtricas da recta paralela a r que pasa porP(0, 1, 3):

r:

Un vector direccin de la recta es: (3, 5, 7) (1, 2, 1) = (9, 4, 1)

Las ecuaciones paramtricas son:x= 9y= 1 + 4z= 3

3x 5y+ 7z 4 = 0x 2y+ z+ 1 = 0

x= 4 + 3y= 3 z= 5 + 4

x= 5 + y= 1z= 8 + 2

x= 3 + 5y= 1 + 2z= 4 6



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Pxina 183

1. Calcula o ngulo que forma a recta: = = co plano

x+ 3y z+ 1 = 0.Llamamos 90 al ngulo formado por las direcciones de

d y

n sin tener en

cuenta sus sentidos.

d(7, 1, 3) // r

n(1, 3, 1)

cos(90 ) = = = 0,039

90 = 87 45' 1'' = 2 14' 59''

2. Determina a ecuacin da recta r que pasa polo punto A e perpendicular plano :

A (3, 0, 1) : 2x 3y z+ 1 = 0

Un vector direccin de la recta es el vector normal al plano: (2, 3, 1).

Las ecuaciones paramtricas de r son:

Pxina 185

1. Calcula razoadamente a distancia de P(5, 6, 6) recta r: (5, 2 , ).

Faino por cada un dos tres mtodos aprendidos.

Solucin, obteniendo previamente el punto P':

Plano, , que pasa por Py es perpendicular a r:

5(x 5) 1(y 6) + 1(z 6) = 0

es decir: : 5xy+ z 25 = 0

Interseccin, P', de y r:

5(5) (2 ) + 25 = 0

25 2 + + 25 = 0

27 27 = 0 = 1

El punto es P'(5, 1, 1).

x= 3 + 2y= 3z= 1

1

649|7 3 3|

59

11

|d

n|

d

n

z 2

3

y

1

x 3

7


PP'

r


5/59

Distancia entre Py r:

dist(P, r) = dist(P,P') = |

PP'|= |(0, 5, 5)|= = 5 7,07

Segundo mtodo:R(5, 2 , ) es un punto genrico de la recta r.

El vector

RP(5 5, 4 +, 6 ) es variable.

El vector que nos interesa es perpendicular a la recta.Por tanto, cumple:

(5, 1, 1)

RP= 0; es decir:

5(5 5) 1(4 + ) + 1(6 ) = 0

25 25 4 + 6 = 027+ 27 = 0 = 1

El resto, es igual que con el mtodo anterior.

Solucin directa a partir del producto vectorial:

dist(P, r) = =

RP

d = (5, 4, 6) (5, 1, 1) = (10, 25, 25)

|

RPd|= =

|d|= =

dist(P, r) = = = 5 7,07

Pxina 186

2. Calcula a distancia do punto P(8, 5, 6) plano : x+ 2y 2z+ 3 = 0.

dist(P, ) = = = 11 u

3. Calcula a distancia dos puntos Q(3, 0, 3) e R(0, 0, 0) plano do exercicio an-terior.

dist(Q, ) = = 0 (Q ) dist(R, ) = = 133

|3 6 + 3|3

333

|8 + 10 + 12 + 3|

1 + 4 + 4

2501350

27

2725 + 1 + 1

1350100 + 625 + 625

|

RPd|

d

reaBase

250


R

P

P'

r

rP(5, 6, 6)

R(0, 2, 0)

d(5,1, 1)


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Pxina 188

4. Calcula a distancia entre as das rectas dadas mediante cada un dos tres mto-dos aprendidos:

r: s:

Primer mtodo:

Hallamos el plano, , que contiene a ry es paralelo a s:

(12, 0, 5) (0, 1, 0) = (5, 0, 12)

El punto (13, 2, 8) es de r, y, por tanto, de .

Ecuacin de : 5(x13) + 0(y2) + 12(z8) = 0, es decir:

5x+ 12z31 = 0

dist(r,s) = dist(s, ) = dist [(6, 6,9), ] = = = 13

Segundo mtodo:

Punto genrico de r: R(13 + 12, 2, 8 + 5)

Punto genrico de s: S(6, 6 + ,9)

Un vector genrico que tenga su origen en ry su extremo en s es:

RS= (712, 4 + ,175)

De todos los posibles vectores

RS, buscamos aquel que sea perpendicular a las dosrectas:

RS (12, 0, 5) = 0 169169 = 0 =1

RS (0, 1, 0) = 0 4 + = 0 =4

Sustituyendo en r y en s, obtenemos los puntos R y S: R(1, 2, 3), S(6, 2,9).

dist(r,s) = dist(R, S) = |(5, 0,12)|= = = 13

Tercer mtodo:

dist(r,s) = =

R(13, 2, 8)d(12, 0, 5)

S(6, 6,9)d'(0, 1, 0)

RS(7, 4,17)

|[

RS,d,

d']|

d

d'

Volumen del paraleleppedorea de la base

16925 + 144

16913

|3010831|

25 + 144

(12, 0, 5) // r(0, 1, 0) //s

x= 6y= 6 + z= 9

x= 13 + 12y= 2z= 8 + 5



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[

RS,d,

d'] = =169 Volumen = 169

|d

d'|= |(5, 0, 12)|= = = 13

Por tanto: dist(r,s) = = 13

5. Calcula a distancia entre as das rectas dadas mediante tres mtodos distintos:

r: s:

Primer mtodo:Hallamos el plano, , que contiene a ry es paralelo a s:

(5,1, 1) (7,5,5) = (10, 32, 18) // (5, 16,9)

El punto (0, 2, 0) es de r, y, por tanto, de .

Ecuacin de : 5(x0) + 16(y2)9(z0) = 0, es decir:

5x+ 16y9z32 = 0

dist(r,s) = dist(s, ) = dist[(5, 1, 1), ] = = 0

(Las rectas ry s se cortan).

Segundo mtodo:

Punto genrico de r: R(5, 2, )

Punto genrico de s: S(5 + 7, 15, 15)

Un vector genrico que tenga su origen en ry su extremo en s es:

RS= (5 + 75,15 + , 15)

De todos los posibles vectores

RS, buscamos aquel que sea perpendicular a las dosrectas:

RS (5,1, 1) = 0 27 + 3527= 0 = 0

RS (7,5,5) = 0 35 + 9935= 0 = 1

Sustituyendo en ry en s, obtenemos los puntos Ry S: R(5, 1, 1), S(5, 1, 1).

dist(r,s) = dist(R, S) = 0

|25 + 16932|25 + 256 + 81

(5,1, 1) // r(7,5,5) //s

x= 5 + 7y= 1 5z= 1 5

x= 5y= 2 z=

16913

16925 + 144

7 4 1712 0 50 1 0



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Tercer mtodo:

dist(r,s) = =

R(0, 2, 0) d(5,1, 1)

S(5, 1, 1)d'(7,5,5)

RS(5,1, 1)

[

RS,d,

d'] = = 0 (las dos primeras filas son iguales).

Por tanto: dist(r,s) = 0

Pxina 189

6. Calcula a distancia entre a recta e o plano:

r: (1 3, 2 + , 1 ) : x+ 3y= 0

d

n =3 + 3 = 0

dn r//

Puesto que la recta es paralela al plano (o, acaso, contenida en l), la distancia de ra se obtiene calculando la distancia de cualquier punto de r a :

dist(r, ) = dist[(1, 2, 1), ] = = 2,21

7. Calcula a distancia entre os planos: :y 5z+ 4 = 0 e ': 2y 10z= 0

Los planos son paralelos, pues sus coeficientes son proporcionales. Por tanto, la dis-tancia entre ellos es la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro:

P(0, 5, 1) es un punto de '. Por tanto:

dist(, ') = dist(P, ) = = 0,78

Pxina 191

1. Calcula a rea do tringulo que ten os seus vrtices nestes puntos: A (1, 3, 5),B(2, 5, 8) e C(5, 1, 11)

AB

AC= (26, 28,10)

|

AB

AC|= =

rea del tringulo = 19,75 u215602

1560262 + 282 + 102

AB(1, 2, 3)

AC(4,2,16)

4

26|55 + 4|

1 + 25

7

10

|1 + 6|

1 + 9

d (3, 1,1) // rn(1, 3, 0)

5 1 15 1 17 5 5

|[

RS,d,

d']|

d

d'




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2. Calcula o volume dun tetraedro que ten como vrtices A (2, 1, 4), B(1, 0, 2),C(4, 3, 2) e D(1, 5, 6).

AB(1,1,2)

AC(2, 2,2)

AD(1, 4, 2)

[

AB,

AC,

AD] =

=30

Volumen = = 5 u3

Pxina 192

1. Calcula o L. X. dos puntos que equidistan de:

a)A (4, 1, 7) y B(2, 5, 1)b) : x+y+ z 2 = 0 y ': xy+ z 2 = 0

c) : x 3y+ 2z 8 = 0 y ': x 3y+ 2z= 0

a)dist(X,A) = dist(X,B)

=

x28x+ 16 +y2 + 2y+ 1 + z214z+ 49 =x2 + 4x+ 4 +y210y+ 25 + z22z+ 1

12x+ 12y12z+ 36 = 0 xy+ z3 = 0

Es el plano mediador del segmento AB.

b)dist(X, ) = dist(X, ')

= Dos posibilidades:

x+y+ z2 = xy+ z2 2y= 0 y= 0

x+y+ z2 =x+yz+ 2 2x+ 2z4 = 0 x+ z2 = 0

Son los planos bisectores de los ngulos diedros formados por y '. Los dos pla-nos obtenidos se cortan en la recta r determinada por los puntos (1, 0, 1) y (0, 0, 2),al igual que y '. Adems, son perpendiculares, pues (0, 1, 0) (1, 0, 1) = 0.

c)dist(X, ) = dist(X, ')

= Dos posibilidades:

x3y+ 2z8 = x3y+ 2z 8 = 0 Imposible.

x3y+ 2z8 =x+ 3y2z 2x6y+ 4z8 = 0 x3y+ 2z4 = 0

Los planos y ' son paralelos. El plano obtenido es tambin paralelo a ellos.

|x3y+ 2z|

1 + 9 + 4|x3y+ 2z8|

1 + 9 + 4

|xy+ z2|

3|x+y+ z2|

3

(x+ 2)2 + (y5)2 + (z1)2(x4)2 + (y+ 1)2 + (z7)2

306

1 1 22 2 21 4 2



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Pxina 193

2. Pescuda se x2 +y2 + z2 + 2x 10y+ 25 = 0 corresponde ecuacin dunha es-fera, e calcula o seu centro e o seu raio.

r= ( )2 + ( )2 + ( )2D= = 1Es una esfera de radio 1. Su centro es (1, 5, 0).

3. Calcula o raio da circunferencia na que o plano 4x 3z 33 = 0 corta a es-fera (x 2)2 + (y+ 5)2 + z2 = 169.

La esfera tiene el centro en Q(2,5, 0) y su radio es R= 13.

La distancia de Q al plano es: d= = = 5

Por tanto: r= = = = 12

El radio de la circunferencia es 12.

4. Calcula o lugar xeomtrico dos puntos do espacio cunha suma de cadrados dedistancias a O(0, 0, 0) e Q(10, 0, 0) que 68. Tras efectuar os clculos, com-proba que a superficie resulta ser unha esfera de centro (5, 0, 0) e raio 3.

(x2 +y2 + z2) + [(x10)2 +y2 + z2] = 68

x2

+y2

+ z2

+x2

20x+ 100 +y2

+ z2

= 682x2 + 2y2 + 2z220x+ 32 = 0

x2 +y2 + z210x+ 16 = 0

x210x+ 25 +y2 + z29 = 0

(x5)2 +y2 + z2 = 9

Es una esfera de centro (5, 0, 0) y radio 3.

Pxina 194

5. Calcula o L. X. dos puntos cunha suma de distancias a F(0, 0, 5) e F'(0, 0, 5)que 26.

dist(X,F) + dist(X,F') = 26

+ = 26

= 26

x2 +y2 + (z5)2 = 676 +x2 +y2 + (z+ 5)252

52 = 676 +x2 +y2 + z2 + 25 + 10zx2y2z225 + 10z

52 = 20z+ 676x2 +y2 + (z+ 5)2x2 +y2 + (z+ 5)2

x2 +y2 + (z+ 5)2x2 +y2 + (z+ 5)2x2 +y2 + (z5)2

x2 +y2 + (z+ 5)2x2 +y2 + (z5)2

14416925R2d2

255

|8033|

16 + 9

1 + 25 + 025C2

B

2A

2



11/59

13 = 5z+ 169

169 [x2 +y2 + (z+ 5)2] = 25z2 + 1690z+ 28561

169 [x2 +y2 + z2 + 10z+ 25] = 25z2 + 1690z+ 28561

169x2 + 169y2 + 169z2 + 1 690z+ 4225 = 25z2 + 1 690z+ 28561

169x2 + 169y2 + 144z2 = 24336

+ + = 1

Es un elipsoide.

6. Calcula o L. X. dos puntos cunha diferencia de distancias aF(5, 0, 0) e F'(5,0, 0) que 6.

|dist(X,F)dist(X,F')|= 6

= 6

= 6 +

x210x+ 25 +y2 + z2 = 36 + (x+ 5)2 +y2 + z2 12

x210x+ 25 +y2 + z2 = 36 +x2 + 10x+ 25 +y2 +z2 12

12 = 20x+ 36

3 = 5x+ 9

9[x2 + 10x+ 25 +y2 + z2] = 25x2 + 90x+ 81

9x2 + 90x+ 225 + 9y2 + 9z2 = 25x2 + 90x+ 81

16x2 + 9y2 + 9z2 =144

= 1

Es un hiperboloide.

7. Calcula o L. X. dos puntos que equidistan do plano x+ = 0 e do punto

( , 0, 0). A que se parece a ecuacin obtida?dist(X,F) = dist(X, ), donde :x+ = 0 y F( , 0, 0).

(x )2 +y2 + z2 = x+ x2 x+ +y2 + z2 =x2 + x+

x=y2 + z2

Es un paraboloide. Su ecuacin es muy similar a la de una parbola.

116

12

116

12

14

14

14

14

1

4

14

z2

16y2

16x2

9

(x+ 5)2 +y2 + z2

(x+ 5)2 +y2 + z2

(x+ 5)2 +y2 + z2

(x+ 5)2 +y2 + z2

(x+ 5)2 +y2 + z2(x5)2 +y2 + z2

(x+ 5)2 +y2 + z2(x5)2 +y2 + z2

z2

169y2

144x2

144

x2 +y2 + (z+ 5)2



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S

Pxina 201

EXERCICIOS E PROBLEMAS PROPOSTOS

PARA PRACTICAR

1 Estudia a posicin das rectas r e s e calcula o ngulo que forman:

r: s:

dr= (1,1, 0) (0, 1, 1) = (1,1, 1); P(3, 0, 15)

ds= (3, 2, 5); P'(0, 1,14)

PP'(3, 1,29)

|M'|= = 0; = 1 0. Las rectas se cortan en un punto.El ngulo que forman es: cos = = = 0 = 90

2 Calcular, en cada caso, o ngulo que forma a recta e o plano:

a) r: = = : x 2y z+ 1 = 0

b)r: x= , y= 1 + 2, z= 2 : 2xy+ z= 0

c) r: = = : x+ z= 17

a)d(2, 4, 2); n(1,2,1)

cos(90 ) = = = = 1 90 = 0 = 90

Observacin: Los vectoresd y

n tienen la misma direccin; luego la recta y el

plano son perpendiculares, es decir, = 90.

b)d(1, 2, 0);

n(2,1, 1)

cos(90 ) = = = 0 90 = 90 = 0|22 + 0|

5

6

|d

n|

d

n

1212|282|24 6|

d

n|

d

n

z

1

y 3

1

x 1

2

z

2

y+ 3

4

x+ 1

2

0

dr

ds

dr

ds

dr

ds

1 31 2

1 3 31 2 11 5 29

x= 3y= 1 + 2z= 14 + 5

xy = 3y + z = 15


S


13/59

S

c)d(2, 1, 1);

n(1, 0, 1)

cos(90 ) = = = = =

90 = 30 = 60

3 Calcula o ngulo que forman os planos : z= 3 e : xy+ 2z+ 4 = 0.

n(0, 0, 1);

n(1,1, 2)

cos = = = 0,816 = 35 15' 52''

4 Calcula a rea de cada un dos tringulos:

a)A (2, 7, 3), B(1, 5, 4), C(7, 0, 11)

b)A (3, 7, 4), B(1, 2, 5), C(5, 11, 6)

Xustifica a solucin do segundo.

a)

AB(1,12, 1);

AC(5,7, 8)

rea = = = 56,08 u2

b)

AB(4, 9, 1);

AC(8, 18, 2)

Las coordenadas son proporcionales, luego los puntos estn alineados:

|

AB

AC|= 0

5 Calcula a distancia do punto dado recta, nos seguintes casos:

a) P(0, 7, 0); r:

b)P(1, 0, 0); r: x 1 = = z

c)A (1, 2, 3); r: x = 0y = 0

y + 1

2

x= 5 + 4y= 5 + z= 10 + 3

125792

|(89, 13, 67)|2

|

AB

AC|2

2

16

n

n

n

n

32

3

23

3

12

|2 + 1|

6

2

|d

n|

d

n


S


14/59

S

a) R(5, 5,10) r;d(4, 1, 3) // r

RP(5, 2, 10)

RPd = (5, 2, 10) (4, 1, 3) = (4, 25,3)

dist(P, r) = = = = = 5

b) R(1,1, 0) r;d(1, 2, 1) // r

RP(0, 1, 0)

RPd = (0, 1, 0) (1, 2, 1) = (1, 0,1)

dist(P, r) = = = = 0,577

c) R(0, 0, 1) r; d(0, 0, 1) // r

RA(1, 2, 2)

RAd = (1, 2, 2) (0, 0, 1) = (2,1, 0)

dist(A, r) = = = = 2,24

6 Calcula a distancia entre as rectas, estudiando antes a sa posicin relativa:

r: s:

dr(12, 0, 5); P(13, 2, 8)ds(0, 1, 0); P'(6, 6,9)

PP'(7, 4,17)

=169 0 Las rectas se cruzan.dist(r,s) = = = =

= = = 13

7 Calcula, en cada caso, o volume do tetraedro con vrtices:

a) (2, 1, 4); (1, 0, 2); (4, 3, 2); (1, 5, 6)

b) (4, 1, 2); (2, 0, 1); (2, 3, 4); (6, 5, 1)

16913

169

169

169|(5, 0, 12)|

|[

PP',

dr,

ds]|

dr

ds


12 0 70 1 45 0 17

x= 6y= 6 + z= 9

x= 13 + 12y= 2z= 8 + 5

551

|

RAd|

d

reaBase

1

326

|

RPd|

d

reaBase

2565026

|

RPd|

d

reaBase



15/59

a) A(2, 1, 4) B(1, 0, 2) C(4, 3, 2) D(1, 5, 6)

AB(1,1,2)

AC(2, 2,2)

AD(1, 4, 2)

=30 Volumen = 30 = 5 u3

b) A(4, 1, 2) B(2, 0, 1) C(2, 3, 4) D(6, 5, 1)

AB(2,1,1)

AC(2, 2, 2)

AD(2, 4,1)

= 30 Volumen = 30 = 5 u3

8 Calcula a rea total e o volume do tetraedro de vrtices:

A (2, 3, 1), B(4, 1, 2), C(6, 3, 7), D(5, 4, 8)

rea del tringulo ABC:

AB

AC= (2,2,3) (4, 0, 6) = (12,24, 8)

rea = = = = 14 u2

rea del tringulo ABD:

AB

AD= (2,2,3) (7,7, 7) = (35, 7,28)

rea = = 22,68 u2

rea del tringulo ACD:

AC

AD= (4, 0, 6) (7,7, 7) = (42,70,28)

rea = = 43,15 u2

rea del tringulo BCD:

BC

BD= (2, 2, 9) (9,5, 10) = (65,101, 8)

rea = = 60,19 u2

rea total = 14 + 22,68 + 43,15 + 60,19 = 140,02 u2

Volumen:

AB(2,2,3)

AC(4, 0, 6)

AD(7,7, 7)

= 308 Volumen = 51,33 u330662 2 34 0 6

7 7 7

144902

|

BC

BD|

2

74482

|

AC

AD|

2

20582

|

AB

AD|

2

282

7842

|

AB

AC|

2

16

2 1 11 2 22 4 1

16

1 1 2

2 2 21 4 2



16/59

S

9 Calcula a mnima distancia entre os seguintes pares de rectas:

a) b)

a) d(2, 2,3); P(4,5,1)d'(3,1,5); P'(5, 4, 5)

PP'(9, 9, 6)

=78 0 Las rectas se cruzan.

dist= = = =

= = 5,1

b) d(1,2,7); P(1, 1, 5)

d': (2,3, 0) (3,1, 0) = (0, 0, 7) // (0, 0, 1) =

d'; P'( , , 0)

PP'( , ,5)

= 0 Las rectas se cruzan.dist= = = =

= 1,21

10 Calcula a distancia entre as rectas:

r: s:

dividindo o volume dun paraleleppedo entre a rea da sa base.

dr(12, 0, 1); P(13, 2, 8)ds(0, 1, 0); P'(6, 6,9)

PP'(7, 4,17)

x= 6y= 6 + z= 9

x= 13 + 12y= 2z= 8 +

19/7

5

19/7|(2,1, 0)|

|[

PP',d,

d']|

d

d'


197

1 0 8/72 0 3/77 1 5

37

87

47

17

78

234

78|(13,1, 8)|

|[

PP',d,

d']|

d d'


2 3 92 1 9

3 5 6

2x 3y + 2 = 03x y+ 1 = 0

x= 1 + y= 1 2

z= 5 7

x= 5 3y= 4

z= 5 5

x= 4 2y= 5 + 2

z= 1 3



17/59

=197 0 Las rectas se cruzan.dist(r,s) = = = =

= 16,36

11 Calcula o volume do tetraedro determinado polos eixos coordenados e oplano: 6x 5y+ 3z 1 = 0

Lembra que V = 1/3 rea base altura.

Neste caso moi sinxelo obter ambas por ser un tetraedro con tres arestas perpen-

diculares entre si.

Faino tamn utilizando o producto mixto e comproba que obts o mesmo resultado.

Hallamos los vrtices:

x=y= 0 z= A (0, 0, )y= z= 0 x= B( , 0, 0)x= z= 0 y= C(0, , 0)O(0, 0, 0)

Calculamos el volumen:

V= ( ) = u3 Lo calculamos utilizando el producto mixto:

V= |[

OA,

OB,

OC]|= | |= u3

12 Calcula a ecuacin do plano perpendicular recta = =

e que pasa polo punto (1, 1, 0), e calcula o volume da figura limitada poloplano anterior e os tres planos coordenados.

Un vector normal al plano esn(2, 3, 4).

La ecuacin del plano es: 2(x+ 1) + 3(y1) + 4(z 0) = 0

2x+ 3y+ 4z1 = 0

z

4

y 4

3

x+ 3

2

1540

0 0 1/31/6 0 00 1/5 0

16

16

1540

15

16

13

12

13

15

15

16

16

13

13

197

145

197|(1, 0, 12)|

|[

PP',

dr,

ds]|

dr

ds


12 0 10 1 0

7 4 17


S

S


18/59

S

Calculamos los vrtices:

x=y= 0 z= A(0, 0, )y= z= 0 x= B(

, 0, 0

)x= z= 0 y= C(0, , 0)O(0, 0, 0)

Volumen = ( ) = u3

Pxina 202

13 Determina a ecuacin da recta que pasa por P(1, 2, 2) e perpendicular srectas r1 e r2:

r1: r2:

Obtenemos los vectores direccin de las rectas r1 y r2:

r1: (1, 2,3) (1, 2,1) = (4,2, 0) d1(2,1, 0)

r2: (3,1, 3) (1, 4, 0) = (12, 3, 13) =d2

La recta que buscamos ha de ser perpendicular a r1 y a r2:

(2,1, 0) (12, 3, 13) = (26,52,12) d(13, 26, 6)

Como pasa por el punto P(1, 2, 2), sus ecuaciones son:

o bien = =

Esfera

14 Di cles das seguintes ecuacins corresponden a esferas e di o seu centro e o

seu raio:

a) x2 +y2 2x+ 4y 8 = 0

b)2x2 2y2 + 2z2 + 4x 16 = 0

c) 2x2 + 2y2 + 2z2 + 4x 16 = 0

d)x2 + 3y2 + z2 2xz 4 = 0

e) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x 12z 3 = 0

f) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x 12z 30 = 0

g) 2x2 + 2y2 + 2z2 4x+ 6y 3/2 = 0

z26

y2

26x1

13

x= 1 + 13y= 2 + 26z= 2 + 6

3x y+ 3z = 0x+ 4y 2 = 0

x+ 2y 3z 1 = 0x+ 2y z = 0

1144

13

12

14

16

13

13

12

12

14

14



19/59

a) No tiene trmino en z2. No es una esfera.

b) Los coeficientes de x2,y2, z2 no son iguales, luego no es una esfera.

c) Los coeficientes de x2,y2, z2 son iguales. Dividimos la ecuacin entre 2:x2 +y2 + z2 + 2x8 = 0

( )2 + ( )2 + ( )2D= 1 + 0 + 0(8) = 9 radio = = 3Centro = ( , , ) = (1, 0, 0)

d) Los coeficientes de x2,y2, z2 no son iguales, luego no es una esfera.

e) Los coeficientes de x2,y2, z2 son iguales. Dividimos la ecuacin entre 3:

x2 +y2 + z2 + 2x4z1 = 0

( )2 + ( )2 + ( )2D= 1 + 0 + 4(1) = 6 radio =Centro = ( , , ) = (1, 0, 2)

f) Los coeficientes de x2,y2, z2 son iguales. Dividimos la ecuacin entre 3:

x2 +y2 + z2 + 2x4z10 = 0

( )2

+

( )2

+

( )2

D= 1 + 0 + 4(10) = 15 radio =

Centro = ( , , ) = (1, 0, 2)g) Los coeficientes de x2,y2, z2 son iguales. Dividimos la ecuacin entre 2:

x2 +y2 + z22x+ 3y = 0

( )2 + ( )2 + ( )2D= 1 + + 0( ) = 4 radio = 2Centro = ( , , ) = (1, , 0)

15 Calcula a ecuacin das seguintes esferas:

a) Centro (1, 0, 5) e raio 1.

b)Dimetro A(3, 4, 2), B(5, 2, 0).

c) Centro (4, 2, 3) e tanxente plano x z= 0.

d) Centro (3, 1, 2) e tanxente plano YZ.

32

C

2B

2A

2

34

94

C

2B

2A

2

34

C

2B

2A

2

15C

2B

2A

2

C

2B

2A

2

6C2

B

2A

2

C

2B

2A

2

9C2

B

2A

2



20/59

a) (x1)2 +y2 + (z+ 5)2 = 1, o bien, x2 +y2 + z22x+ 10z+ 25 = 0

b) El centro es el punto medio de AB: C= ( , , ) = (4,1, 1)El radio es la distancia de C a uno de los puntos: |

AC| = =

La ecuacin es: (x4)2 + (y+ 1)2 + (z1)2 = 11, o bien:

x2 +y2 + z28x+ 2y2z+ 7 = 0

c) El radio es la distancia del centro C(4,2, 3) al plano :xz= 0:

r= dist(C, ) = = r2 =

La ecuacin ser: (x4)2 + (y+ 2)2 + (z3)2 = , o bien:

x2 +y2 + z28x+ 4y6z+ = 0

2x2 + 2y2 + 2z216x+ 8y12z+ 57 = 0

d) El plano YZ es el plano :x= 0.

El radio es la distancia del centro C(3,1, 2) al plano : r= dist(C, ) = 3

La ecuacin ser: (x3)2 + (y+ 1)2 + (z2)2 = 9, o bien:

x2 +y2 + z26x+ 2y4z+ 5 = 0

16 Calcula o lugar xeomtrico dos puntos nos que a distancia punto (2, 1, 4) igual a 7.

Es una esfera de centro (2,1, 4) y radio 7:

(x2)2 + (y+ 1)2 + (z4)2 = 49, o bien, x2 +y2 + z24x+ 2y8z28 = 0

PARA RESOLVER

17 Calcula a ecuacin do plano que contn a recta r:

e ortogonal plano : 2xy+ 3z+ 1 = 0.

Obtn tamn as ecuacins paramtricas da recta determinada por e .

Obtenemos un punto y un vector direccin de la recta r:

P(1,1, 1) r P(1,1, 1)

(1, 1,1) (1, 2, 1) = (3,2, 1) =d // r

d(3,2, 1) //

x+ y z+ 1 = 0x+ 2y+ z = 0

572

12

12

1

2|43|

2

1112 + 32 + 12

2 + 02

4 + 22

3 + 52


S


21/59

S

Si es ortogonal a , el vector normal de es paralelo a :n(2,1, 3) (2,1, 3) //

Obtenemos un vector normal a : (3,2, 1) (2,1, 3) = (5,7, 1) (5, 7,1)

La ecuacin del plano es: 5(x1) + 7(y+ 1)1(z1) = 0

5x+ 7yz+ 3 = 0

Ecuaciones paramtricas de la recta determinada por y :

Vector direccin de la recta: (5, 7,1) (2,1, 3) = (20,17,19)

Punto de la recta:

R(0, , )

Ecuaciones de la recta:

18 Dados a recta r: = = e o plano : x + 3y 3z + 3 = 0,

calcula o plano que contn a r e perpendicular a .

r: = = P(0, 1,1);d(2,1, 3)

:x+ 3y3z+ 3 = 0 n(1, 3,3)

El plano serparalelo ad y a

n y contendra P.

Un vector normal ser: (2,1, 3) (1, 3,3) = (6, 9, 7) (6,9,7)

La ecuacin del plano es: 6(x 0)9(y1)7(z+ 1) = 0

6x9y7z+ 2 = 0

19 Determina a perpendicular comn s rectas:

r: s: x 2 = 0y+ 3 = 0

x+ y = z+ 4x+ 2y= 7

z+ 1

3

y1

1

x

2

z+ 1

3

1 y

1

x

2

x= 201

y=1721

z=192

12

12

1y=

21

z=2

x= 0 7y z+ 3 = 0y+ 3z+ 1 = 0

: 5x+ 7y z+ 3 = 0: 2x y+ 3z+ 1 = 0


S


22/59

Escribimos las dos rectas en forma paramtrica:

r:

r: Un punto genrico de r es: R(1 + 2, 3, )

s: s: Un punto genrico de s es: S(2,3, )

Un vector genrico de origen en r y extremo en s es:

RS(12,6 + , )

Este vector debe ser perpendicular a ry a s:

5+ 8 = 0 = ; =

As:

R( , , )S(2,3, )

La perpendicular comn a las rectas es:

20 a) Calcula p para que as rectas r1 e r2 sexan perpendiculares:

r1: = = r2: = =

b)Calcula o seu punto de interseccin e a ecuacin do plano que as contn.

a) (4,2, 2) (1,p1, 3) = 42p + 2 + 6 = 122p = 0 p = 6

b)r1: r2:x= 1 + y= 6 + 5z= 3 + 3

x= 4y= 12z= 2

z 33

ypp 1

x 11

z2

y 12

x4

x= 2 + y=3 + 2z= 8/5

85

85

75

215

85

85

RS (2,1, 1) = 0 24+ 6+ = 0 6+ + 8 = 0

RS (0, 0, 1) = 0 = 0 =

x= 2y=3z=

x2 = 0y+ 3 = 0

x= 1 + 2y= 3z=

Restando la 1-a ecuacin a la 2-a: y= 3zx= 72y= 72(3z) = 1 + 2z

x+ y= z+ 4x+ 2y= 7


S

RS

( , , 0

)

d(1, 2, 0)

22

5

11

5


23/59

S

Punto de interseccin:

Sumando las dos ltimas ecuaciones:

1 = 9 + 8 8 = 8 =1

= = = 0

1-a ecuacin: 4 0 = 11. Luego = 0, =1.

Sustituyendo = 0 en las ecuaciones de r1 (o bien =1 en las de r2),obtenemos el punto de corte: (0, 1, 0).

Ecuacin del plano que las contiene:

(4,2, 2) (1, 5, 3) = (16,10, 22) (8, 5,11) es un vector normal al plano.

Ecuacin: 8(x0) + 5(y1)11(z0) = 0

8x+ 5y11z5 = 0

21 Dados a recta r: e o plano : x + 2y + 3z 1 = 0,

calcula a ecuacin dunha recta situada no plano , que pase polo puntoP(2, 1, 1) e sexa perpendicular a r.

Un vector direccin de r es: (1, 0,2) (0, 1,1) = (2, 1, 1)

La recta que buscamos ha de ser perpendicular a (2, 1, 1) y perpendicular a (1, 2, 3)(pues estsituada en el plano ). Un vector direccin de la recta es:

(2, 1, 1) (1, 2, 3) = (1,5, 3)

El punto P(2, 1,1) pertenece al plano y debe pertenecer a la recta buscada. Lue-go la recta es:

22 Calcula a ecuacin da recta que pasa polo punto (1, 2, 1) e corta perpendicu-

larmente recta: r:

Escribimos r en forma paramtrica:

r: xyz= 1 y=xz1 = 2zz1 = 12z

x+ z= 2 x= 2z

xy z= 1x+ z= 2

x= 2 + y= 15

z=1 + 3

x 2z+ 3= 0y z 4 = 0

332

3 + 32

4= 1 + 12= 6 + 5

2= 3 + 3


S


24/59

r: Un punto genrico de r es: R(2, 12, )

Si llamamos al punto P(1, 2, 1), el vector

PR ha deser perpendicular a r, es decir, perpendicular ad(1,2, 1).

Por tanto, como

PR(1 ,12,1 +):

PRd = 0 (1,12,1 +) (1,2, 1) = 0

1 + + 2 + 41 + = 0 6= 0 = 0

La recta que buscamos pasa por el punto P(1, 2, 1) y por el punto Q(2, 1, 0)(Q se obtiene sustituyendo = 0 en las ecuaciones de r).

Un vector direccin ser:

PQ(12,1,1)

La recta es:

23 Os vrtices do tringulo ABC son os puntos de corte do plano 2x+ y 3z= 6cos eixes coordenados. Obtn a ecuacin da altura que parte do vrtice B queest no eixe OY.

Los vrtices del tringulo son:

y= z= 0 2x= 6 x= 3 A(3, 0, 0)x= z= 0 y= 6 B(0, 6, 0)

x=y= 0 3z= 6 z=2 C(0, 0,2)

Debemos hallar la ecuacin de la altura que parte de B.

Su vector direccind(a, b, c) debe ser:

Ortogonal a

AC

ACd = 0

Ortogonal al vector normal del plano ABC, es decir, del plano 2x+y3z= 6,puesto que la altura debe estar contenida en dicho plano (2, 1,3)

d = 0

Luego tenemos que:

ACd = 0 (3, 0,2) (a, b, c) = 0 3a + 2c = 0

(2, 1,3) d = 0 (2, 1,3) (a, b, c) = 0 2a + b3c = 0

Soluciones: (2t, 13t, 3t) Si t=1,d(2,13,3)

Ecuacin de la altura que pasa por B:

x= 2y= 613z=3

x= 1 + y= 2z= 1

x= 2y= 12z=


S

rP(1, 2, 1)

R

Q

d


25/59

S

24 Calcula o punto P da recta r: = = que equidiste dos planos:

: x+y+ z= 3 e :

Un punto genrico de la recta r es: R(1 + 2,1 +, 3)

Escribimos el plano en forma implcita:

= 0 :x+yz3 = 0 La distancia de R a y a ha de ser la misma: dist(R, ) = dist(R, )

= , es decir:

|6+ 3|= 3

Hay dos soluciones: P(1,1, 0) y P'(1,2,3)

Pxina 203

25 Sexa a recta de interseccin dos planos ax+ 9y 3z= 8 e x+ ay z= 0.

Determina o valor de a para que:

a) Os dous planos sexan paralelos.

b)Os dous planos sexan perpendiculares.

c) A recta r corte o plano OXY nun punto que tea como distancia orixede coordenadas .

a) Las coordenadas de (a, 9,3) y (1, a,1) han de ser proporcionales:

= = a = 3

b) Los vectores normales han de ser perpendiculares:

(a, 9,3) (1, a,1) = a + 9a + 3 = 10a + 3 = 0 a =

c) El plano OXY es el plano z= 0. Hallamos el punto de corte de r con el pla-no OXY:

|A|= = a29a 91 a

ax+ 9y= 8x+ ay= 0

ax+ 9y3z= 8x+ ay z= 0

z= 0

310

a 3= a = 31 19 3= a = 3a 1

31

9a

a1

2

6+ 3 = 3 6= 0 = 06+ 3 =3 6=6 =1

|1 + 21 + 33|

1 + 1 + 1

|1 + 21 + + 3+ 3|

1 + 1 + 1

x+ 3 1 0y 1 1

z+ 6 0 1

x= 3 +

y= + z= 6 +

z

3

y+ 1

1

x 1

2


S


26/59

(El problema solo tiene solucin si a29 0, es decir, si a 3 y a3. Sia = 3 o a =3, el sistema es incompatible).

|Ax|= = 8a; |Ay|= =8

x= ; y= ; z= 0

El punto de corte es P( , , 0). Su distancia al origen ha de ser :

dist(P, O) = ( )2 + ( )2 =

( )2

+

( )2

= 2

= 2

64a2 + 64 = 2(a4 + 8118a2) 64a2 + 64 = 2a4 + 16236a2

0 = 2a4100a2 + 98 a450a2 + 49 = 0

a2 = = = =

Hay cuatro soluciones: a1 =7, a2 = 7, a3 =1, a4 = 1

26 Obtn a ecuacin do plano que contn a recta de ecuacins paramtricas(1 + 3, 1 + 2, 2 + ) e perpendicular plano 2x+y 3z+ 4 = 0.

Determina tamn o ngulo formado pola recta e o plano dados.

Un vector normal al plano es: (3, 2, 1) (2, 1,3) = (7, 11,1) (7,11, 1)

Un punto del plano es (1, 1, 2) (pues contiene a la recta).

La ecuacin del plano ser:

7(x+ 1)11(y1) + 1(z2) = 0

7x11y+ z+ 16 = 0

ngulo formado por la recta y el plano dados:d(3, 2, 1);

n(2, 1,3)

cos(90 ) = = = = 0,357

90 = 69 4' 31'' = 20 55' 29''

514

6 + 23

14

14

|d

n|

d

n

a2 = 49 a = 7a2 = 1 a = 1

50 482

50 23042

50 25001962

64a2 + 64

(a29)28

a29

8a

a29

28a29

8a

a29

28a29

8a

a29

8a29

8a

a29

a 81 0

8 90 a


S


27/59

S

27 Dado un cubo (hexaedro regular) de lado 6 cm, calcula a mnima distanciadunha diagonal do cubo a unha diagonal dunha das sas caras, sabendo queas rectas de ambas diagonais se cruzan.

Debuxa o cubo cun vrtice na orixe e os contiguos sobre os eixes coordenados.

La diagonal del cubo pasa por O(0, 0, 0) ypor C(6, 6, 6):

r:

La diagonal de la cara pasa por A(6, 0, 6) ypor B(6, 6, 0):

s:

dist(r,s) = =

[d,

d',

OA] = =6d

d' = (1, 1, 1) (0, 1,1) = (2, 1, 1) |

d

d'|=

Por tanto: dist(r,s) = =

28 Calcula a ecuacin do plano que ten como punto mis prximo orixe (1, 3, 2).

Si el punto ms prximo al origen es P(1, 3, 2), el vector

OP(1, 3, 2) es normalal plano. Por tanto, la ecuacin del plano es:

1(x1) + 3(y3) + 2(z2) = 0

x+ 3y+ 2z14 = 0

29 Determina, razoadamente, se as rectas:

r: s:

se cortan ou se cruzan. Calcula tamn o coseno do ngulo que forman as s-as direccins.

Obtenemos un punto y un vector direccin de cada una de las dos rectas:dr: (1, 1,2) (2,1, 1) = (1,5,3)

dr(1, 5, 3); P(0,1, 0)

2x+y z 1 = 0xy 2z+ 1 = 0

x+y 2z+ 1 = 02xy+ z 1 = 0

66

6

6

1 1 10 1 16 0 6

|[d,

d',

OA]|

d

d'


x= 6y= z= 6

x= y= z=


S

S

Y

Z

(0, 0, 6)

(0, 6, 0)

(6, 0, 0)

X

B

AC

O


28/59

ds: (2, 1,1) (1,1,2) = (3, 3,3)

ds(1,1, 1); P'(0, 1, 0)

PP'(0, 2, 0)

= 4 0 Las rectas se cruzan.

cos = = = = 0,0976

30 Determina as condicins que deben cumprir a e b para que estes tresplanos: ax+ z 1 = 0, x+ bz+ 2 = 0, x+ 3y+ 2z 3 = 0 se corten nunpunto.

Facendo a = 2 e b = 1, obtn as ecuacins paramtricas da recta de-terminada polos dous primeiros, as como o ngulo que esta forma coterceiro.

Para que los tres planos se corten en un punto, el sistema hade tener solucin nica, es decir:

=3(ab1) 0 ab 1

Se

a= 2 y

b= 1

, la recta determinada por los dos primeros planos es:

Ecuaciones paramtricas:

ngulo que forma la recta con el 3erplano:d(0, 1, 0)

n( , 3, 2)

cos(90 ) = = = = 90 = 45 = 45

31 a) Encontra os puntos de r: que disten do plano

: 2xy+ 2z+ 1 = 0.

b) Obtn os puntos de que distan dos puntos calculados no apartado

anterior.

13

13

x+y = 0x z= 0

22

3

323

118|d n|

d

n

5

x= 3y= z=5

Restando:x3 = 0 x= 3z=2x=23 =5

2x+ z1 = 0x+ z+ 2 = 0

a 0 11 0 b

5 3 2

ax + z= 1x +bz=2

5x+ 3y+ 2z= 3

5

1

105|15 + 3|

35

3

dr

ds

dr

ds

1 1 05 1 23 1 0



29/59

a) Escribimos r en forma paramtrica:

r: Un punto de r es de la forma R(,, )

dist(R, ) = = =

Hay dos puntos: (0, 0, 0) y ( , , )b) Los dos puntos obtenidos estn a distancia de .

Se trata de encontrar la proyeccin de estos puntos sobre el plano .

Para (0, 0, 0):

Obtenemos la recta que pasa por (0, 0, 0) y es perpendicular a :

Hallamos el punto de corte de esta recta con :

4+ + 4+ 1 = 0 9=1 =

El punto es

( , ,

).

Para ( , , ):Hallamos la recta que pasa por este punto y es perpendicular a :

Obtenemos el punto de corte de esta recta con :2 ( + 2)( ) + 2 ( + 2) + 1 = 0 + 4 + + 4+ 1 = 0

91 = 0 =

El punto es ( , , ).8451345845

19

45

25

45

25

25

25

x=2/5 + 2y= 2/5 z=2/5 + 2

25

25

25

29

19

29

19

x= 2y=z= 2

13

25

25

25

5+ 1 = 1 = 05+ 1 =1 =2/5

13

|5+ 1|3

|2+ + 2+ 1|

4 + 1 + 4

x= y=

z=

y=xz= x



30/59

S

S

32 Sexan os puntos P(3, 1, 5) e Q(1, 7, 3). Polo punto medio do segmentoPQ trazamos un plano perpendicular a ese segmento. Este plano corta oseixes coordenados nos puntos A, B e C.

a) Escribe a ecuacin de .

b)Calcula a rea do tringulo ABC.

a) El plano es perpendicular al vector

PQ(4, 6,2); un vector normal al plano es(2,3, 1).

Pasa por el punto medio del segmento PQ: M(1, 4, 4).

La ecuacin del plano es: 2(x1)3(y4) + 1(z4) = 0

: 2x3y+ z+ 6 = 0

b) Hallamos los vrtices del tringulo:

y= z= 0 2x+ 6 = 0 x=3 A(3, 0, 0)x = z= 0 3y+ 6 = 0 y= 2 B(0, 2, 0)

x=y= 0 z+ 6 = 0 z=6 C(0, 0,6)

AB(3, 2, 0)

AC(3, 0,6)

AB

AC= (12, 18,6) |

AB

AC|=

rea = = 11,22 u2

33 Calcula o volume dun cubo que ten arestas sobre cada unha das rectasr e s:

r: s: = =

Hallamos la posicin relativa de las dos rectas:dr= (2, 6,1); P(1,2,1)ds= (13, 2, 14); P'(0, 8, 6)

PP'(1, 10, 7)

=1014 Las rectas se cruzan. La arista del cubo es la distancia entre las dos rectas:

dist(r,s) = = = =

= = arista del cubo1014

14553

1014|(86,41,74)|

1014

dr

ds


2 13 16 2 10

1 14 7

z 6

14

y 8

2

x

13

x= 1 + 2ty= 2 + 6tz= 1 t

5042

|

AB

AC|

2

504



31/59

S

El volumen del cubo es:

V= ( )3 593,86 u334 Determina a ecuacin continua da recta r que perpendicular e corta as

rectas s e t de ecuacins:

s: (1 + 2, 2 , 1 + ) t: (4 + , 6 + , 5 2)

Un vector genrico de origen en sy extremo en t es:

ST(32+, 4 + + , 42)

Este vector ha de ser perpendicular a las dos rectas:

= 1, = 0

La recta que buscamos, corta a s en S(3, 1, 2), y corta a t en T(4, 6, 5).

Un vector direccin es

ST(1, 5, 3).

Su ecuacin continua es: = =

35 Calcula os puntos simtricos de P(1, 2, 3) respecto do plano

: x 3y 2z+ 4 = 0 e respecto da recta r:

Simtrico respecto del plano:

Ecuacin de la recta que pasa por Py es perpendicular a :

Punto de corte de con la recta anterior:

(1 +)3(23)2(32) + 4 = 0

1 + 6 + 96 + 4+ 4 = 0

147 = 0 =

La recta y el plano se cortan en ( , , 2). Este es el punto medio del segmentoPP', siendo P' el simtrico de P respecto del plano . Luego, si P'(x,y,z),

entonces: ( , , ) = ( , , 2) P'(2,1, 1)1232z+ 32y+ 22x+ 12

12

32

12

x= 1 + y= 23z= 32

xy + 3= 04x z = 0

z23

y1

5x3

1

ST (2,1, 1) = 0 64+ 24 + 42 = 0 6+ = 6

ST (1, 1,2) = 0 32+ + 4 + + 8 + 2+ 4 = 0 + 6 = 1

1014

14553



32/59

Simtrico respecto de la recta:

Escribimos la recta en paramtricas:

r:

Hallamos la ecuacin del plano perpendicular a r que pasa por P:

1(x1) + 1(y2) + 4(z3) = 0

x+y+ 4z15 = 0

Obtenemos el punto de interseccin de la recta r con el plano:

+ 3 + + 1615 = 0

1812 = 0 =

El punto de corte es ( , , ). Este es el punto medio del segmento PP'',siendo P'' el simtrico de P respecto de la recta r. As, si P''(a, b, c), en-

tonces: ( , , ) = ( , , ) P''( , , )36 Calcula a distancia entre o punto P(2, 1, 3) e a recta r:

Escribimos la recta r en forma paramtrica:

r:

Hallamos la ecuacin del plano que pasa por Py es perpendicular a r:

2(x2) + 3(y1) + 1(z3) = 0

: 2x+ 3y+ z10 = 0

Obtenemos el punto de corte de r con :

2(1 + 2) + 3(1 + 3) + 10 = 0

2 + 43 + 9+ 10 = 0

1411 = 0 =

El punto de corte es Q( , , ). Calculamos la distancia:

dist(P, r) = dist(P, Q) = |

PQ|= ( , , ) = = 2,317514

1050196

3114

514

47

1114

1914

187

1114

x= 1 + 2y=1 + 3z=

Restando: x= 1 + 2zy=x+ z2 =1 + 3z

2xy= 3 + zxy= 2z

2xy z 3 = 0xy+ z 2 = 0

73

163

13

83

113

23

c + 32

b+ 22

a + 12

83

113

23

2

3

x=

y= 3 + z= 4

xy+ 3 = 0 y=x+ 34xz= 0 z= 4x


S


33/59

37 Dados os puntos A(1, 5, 2), B(4, 0, 1) e C(3, 2, 0):

a) Proba que son os vrtices dun tringulo.

b)Calcula a lonxitude do segmento que determina o punto B e a sa pro-

xeccin sobre AC.a) Hay que probar que los puntos no estn alineados.

Sus coordenadas no son proporcionales, luego los puntos noestn alineados. Son los vrtices de un tringulo.

b) Obtenemos la ecuacin del lado AC:

r:

Hallamos el plano que pasa por By es perpendicular a r:

4(x4)3(y0) + 2(z1) = 0

:4x3y+ 2z+ 14 = 0

Obtenemos el punto de interseccin de r con :

4(34)3(23) + 4+ 14 = 0

12 + 166 + 9+ 4+ 14 = 0

29+ 20 = 0 =

El punto (proyeccin de B sobre AC) es: B'

(, ,

) La longitud del segmento es la distancia entre By B':|

B'B|= ( , , ) = = 6,34De otra forma:

h = = = = 6,34

Pxina 204

38 Determina a ecuacin dun plano paralelo plano da ecuacinx 2y+ 3z+ 6 = 0 e que dista 12 unidades da orixe.

Un plano paralelo a x2y+ 3z+ 6 = 0 es de la forma :x2y+ 3z+ k= 0. Te-nemos que hallar k para que la distancia al origen sea de 12 unidades:

dist [(0, 0, 0), ] = = = 12

Hay dos planos: x2y+ 3z+ 12 = 0 y x2y+ 3z12 = 01414

k= 1214k=1214

|k|

14|k|

1 + 4 + 9

116629

|(1, 18, 29)|

16 + 9 + 4

AC

AB

AC

reaBase

116629

33814841

6929

11829

12329

4029

11829

729

2029

x=34y= 23z= 2

AB(3,5, 3)

AC(4,3, 2)


S

S

B

A

C

h


34/59

39 Un cadrado ten un dos seus lados sobre a recta r:

e outro lado sobre s: = =

a) Calcula a rea do cadrado.

b)Encontra catro puntos (dous en r e dous en s) que poidan ser os vrti-ces dun cadrado, se un deles (0, 0, 0).

a) Escribimos la recta r en forma paramtrica:

(3, 2, 2) (1,2, 2) = (8,4,8) // (2,1,2)

r: dr(2,1,2); P(0, 0, 0)

ds(2,1,2); las dos rectas tienen la misma direccin; adems P(0, 0, 0) r,pero P(0, 0, 0) s. Las rectas son paralelas.

El lado del cuadrado es la distancia entre lasdos rectas.

dist(r,s) = dist(P,s) = = =

= = = =

= lado del cuadrado

Por tanto: rea = ( )2 = 10 u2

b) Obtenemos los vrtices que pueden estar en r:

Un punto de r es (2,,2):

dist(P, Q) = =

92 = 10 =

Hay dos posibles vrtices:

Q( , , ); R( , , ) Obtenemos P': Un punto de s es de la forma: S(3 + 2, 1,52)

PSds= 0 (3 + 2, 1,52) (2,1,2) = 0

6 + 41 + + 10 + 4 = 0 9 =15 =

P'( , , )53831353

2103

103

2103

2103

103

2103

103

1042 + 2 + 42

10

10909

|(7,4,5)|

4 + 1 + 4

|

PQds|

ds

reaBase

x= 2y=z=2

z+ 5

2

y 1

1

x 3

2

3x+ 2y+ 2z= 0x 2y+ 2z= 0


P(0, 0, 0)

Q(3, 1,5)

ds(2,1,2)

r

s

l

P(0, 0, 0)

10

r

R

Q

R'

P'

Q'

s

S


35/59

Si Q'(x,y, z), como

PQ=

P'Q', entonces:

( , , ) = (x+ ,y , z+ )Q'( , , )

Si R'(a, b, c), como

PR=

P'R', entonces:

( , , ) = (a + , b , c + )R'( , , )

Los dos cuadrados son PQQ'P'y PRR'P'.

40 Estudia a posicin relativa das rectas r e s e calcula o ngulo queforman:

r: = = s:

dr(2, 3, 4); P(1, 0, 0)

ds(1, 2, 3); P'(3, 3, 4)

PP'(2, 3, 4) =dr

Las dos rectas se cortan en el punto (3, 3, 4).

ngulo que forman:

cos = = = = 0,99 = 6 58' 57''

41 Sexa r1 a recta que pasa por A (2, 4, 0) e B(6, 2, 0) e sexa r2 a recta quepasa por C(0, 0, 7) e D(3, 2, 0).

Obtn de maneira razoada, a distancia entre r1 e r2.

Escribimos las rectas en forma paramtrica:

r1:

AB(4,2, 0) // (2,1, 0)

r1:x= 2 + 2y= 4z= 0

20

4062 + 6 + 12

2

9

1

4

dr

ds

dr

ds

x= 3 + y= 3 + 2z= 4 + 3

z

4

y

3

x 1

2

5 + 2103

8 + 103

21013

53

83

13

2103

103

2103

52103

8103

21013

53

83

13

2103

103

2103


S

S


36/59

r2:

CD(3, 2,7)

r2:

Estudiamos la posicin relativa de r1 y r2:

AC(2,4, 7)

=21 0 Las rectas se cruzan. Hallamos la distancia entre r1 y r2:

dist(r1, r2) = = =

= = 1,22

42 Calcula a ecuacin xeral do plano determinado polos puntos A(1, 1, 1),B(2, 0, 1), C(1, 2, 0), e calcula o volume do tetraedro que limita cos pla-nos cartesianos.

Son paralelos al plano.

La ecuacin del plano es:

= 0 5x+ 3y9z+ 1 = 0Vrtices del tetraedro: O(0, 0, 0)

y= z= 0 5x=1 x= A ( , 0, 0)x= z= 0 3y=1 y= B(0, , 0)x=y= 0 9z=1 z= C(0, 0, )Volumen = ( ) = u3181019131516

19

19

13

13

15

15

x1 3 0y1 1 3z1 2 1

AB(3,1,2)

AC(0,3,1)

21

29421

|(7, 14, 7)|

21

|(2,1, 0) (3, 2,7)|Volumen del paraleleppedo

rea de la base

2 3 21 2 40 7 7

x= 3y= 2z= 77


S


37/59

43 Calcula a distancia entre as seguintes rectas:

r: s:

Escribimos las rectas en forma paramtrica:

r: r:

s: s:

Estudiamos la posicin relativa de las dos rectas:dr(1, 1, 1); P(2,4, 0)ds(1,1, 1); P'(0, 0, 0)

PP'(2, 4, 0)

= 4 0 Las rectas se cruzan. Hallamos la distancia entre las rectas:

dist(r,s) = = =

= = = = = = 1,41

44 Sexan os puntos P(5, 1, 3) e Q(3, 7 ,1). Polo punto medio do segmentoPQ trazamos un plano perpendicular dito segmento.

Este plano corta os eixes coordenados nos puntos A, B e C:

a) Escribe a ecuacin do plano .

b)Calcula o volume do tetraedro de vrtices O, A, B e C (O a orixe de

3).

a) El plano es perpendicular a

PQ(2, 6,4) // (1,3, 2). Pasa por el punto mediodel segmento PQ: M= (4, 4, 1).

La ecuacin del plano es: 1(x4)3(y4) + 2(z1) = 0

:x3y+ 2z+ 6 = 0

22

24

224

84

4 + 44

|(2, 0,2)|

4|(1, 1, 1) (1,1, 1)|


1 1 21 1 41 1 0

x= y=z=

xz= 0 x= zy+ z= 0 y=z

x=2 +y=4 + z=

xz=2 x=2 +zyz=4 y=4 + z

x z= 0y+ z= 0

x z= 2y z= 4


S

S


38/59

b) Hallamos los vrtices del tetraedro:

y= z= 0 x+ 6 = 0 x=6 A(6, 0, 0)

x= z= 0 3y+ 6 = 0 y= 2 B(0, 2, 0)

x=y= 0 2z+ 6 = 0 z=3 C(0, 0,3)

Volumen = (6 2 3) = 6 u3

45 Calcula o punto do plano de ecuacin x z= 3 que est mis cerca do pun-to P(3, 1, 4), as como a distancia entre o punto P e o plano dado.

Hallamos la ecuacin de la recta perpendicular al plano que pasa por P(3, 1, 4):

r:

El punto que buscamos es el punto de corte de ry el plano:

(3 +)(4) = 3

3 +4 += 3 2= 4 = 2

El punto es P'(5, 1, 2)

La distancia entre Py el plano es igual a la distancia entre Py P':

dist(P,P') = |

PP'|= |(2, 0,2)|= = 2,83

46 Considranse os puntos P(2, 1, 1), Q(1, 4, 1) e R(1, 3, 1):

a) Comproba que non estn aliados e calcula a rea do tringulo que deter-minan.

b)Se desde o punto V(1, 1, 1) se trazan rectas a cada un dos puntos P, Q eR, obtense unha pirmide. Calcula a altura desa pirmide e o seu volume.

a) No tiene las coordenadas proporcionales; luego los puntos noestn alineados.

PQ PR= (2, 0, 1) |PQ PR|= =

rea = 1,12 u2

b) La altura es la distancia de V al plano determinado por P, Qy R.

Un vector normal al plano es

PQ

PR= (2, 0, 1). La ecuacin del plano es:

2(x2) + 1(z+ 1) = 0

: 2x+ z3 = 0

52

54 + 1

PQ(1, 3, 2)

PR(1, 2, 2)

84 + 4

x= 3 + y= 1

z= 4

16


S

S


39/59

Altura = dist(V, ) = =

Volumen = [rea base altura] = = 1 u3

47 Calcula o volume dun paraleleppedo de bases ABCD e EFGH sabendo queA (1, 0, 0), B(2, 3, 0), C( 4, 0, 5) e E(7, 6, 3).

Calcula as coordenadas dos restantes vrtices do paraleleppedo.

Hallamos las coordenadas de los restantes vrtices:

Vrtice D(d1, d2, d3):

BA =

CD (1,3, 0) = (d14, d2, d35)

D(3,3, 5)

Vrtice F(f1,f2,f3):

AE=

BF (6, 6, 3) = (f12,f23,f3)

F(8, 9, 3)

Vrtice G(g1,g2,g3) y vrtice H(h1, h2, h3):

AE=

CG (6, 6, 3) = (g14,g2,g35) G(10, 6, 8)

AE=

DH (6, 6, 3) = (h13, h2 + 3, h35) H(9, 3, 8)

AB(1, 3, 0)

AD(2,3, 5),

AE(6, 6, 3)

[

AB,

AD,

AE] = = 33 Volumen = 33 u348 Dadas as rectas:

r: = = s:

determina a posicin relativa de ambas rectas e a rea dun dos cadrados,que ten dous dos seus lados sobre r e s.

Escribimos la recta s en forma paramtrica:

s:x= y= 1 + 2z= 3 +

Sumando: 2y=24x y= 1 + 2xz= 2x+y= 3 +x

y+ z= 2xyz=43x

xy+ z= 23xy z= 4

z 2

1

y+ 1

2

x 1

1

1 3 02 3 56 6 3

2

5

5

2

1

3

2

5|213|

5


S

S

C(4, 0, 5)

B(2, 3, 0)A(1, 0, 0)

E(7, 6, 3)

D

H G

F


40/59

Estudiamos la posicin relativa de las dos rectas:dr(1, 2, 1); P(1,1, 2)ds

(1, 2, 1); Q(0, 1, 3)

Las rectas tienen la misma direccin; Pr, pero Ps; luego las rectas ry sson paralelas.

El lado del cuadrado es igual a la distancia entre las rectas ry s.

QP(1,2,1)

QPds= (1,2,1) (1, 2, 1) = (0,2, 4)

dist(r,s) = dist(P,s) = = =

= = =

El rea del cuadrado es:

rea = ( )2 = u249 Dadas as rectas r e s:

r: = = s:

Calcula os puntos que dan a mesma distancia e determina a ecuacin da per-pendicular comen a r e s.

Un punto genrico de r es R(3 + 2, , 1 + )

Un punto genrico de s es S(,,)

Un vector genrico de origen en ry extremo en s es:

RS(32+ ,,1)

Este vector debe ser perpendicular a ry a s:

RS (2, 1, 1) = 0 67 = 0 =

RS (1,1,1) = 0 2 + 3 = 0 =

Los puntos que dan la mnima distancia son:

R( , , ) y S( , , )232323167623

23

76

x= y= z=

z 11

y1

x 32

103

103

103

206

4 + 161 + 4 + 1

|(0,2, 4)||(1, 2, 1)|

|

QPds|

ds


S

P(1,1, 2)

Q(0, 1, 3)

ds(1, 2, 1)

r

s

l


41/59

La perpendicular comn es la recta que pasa por Ry S:

RS(0, , ) d(0, 1,1)x=

La recta es: y= +

z=

50 Obtn a ecuacin da proxeccin ortogonal r' da rectar: = =

= sobre o plano : x 3y+ 2z+ 12 = 0.

La proyeccin ortogonal de r sobre es la recta interseccin del plano conotro plano , perpendicular a y que contiene a r.

P(1, 1, 2);dr(2, 1, 2);

n(1,3, 2)

dr

n = (2, 1, 2) (1,3, 2) = (8,2,7)

La ecuacin de es: 8(x1)2(y1)7(z2) = 0

: 8x2y7z+ 8 = 0

La proyeccin ortogonal de r sobre es:

r':

Pxina 205

51 Os puntos P(0, 1, 0) e Q(1, 1, 1) son dous vrtices dun tringulo, e o

terceiro, S, pertence recta r: . A recta que contn a P e a S

perpendicular recta r.

a) Determina as coordenadas de S.

b)Calcula a rea do tringulo PQS.

a)

PSdr

PSdr= 0

(4, 1, 1) (0, 1, 0) = 1 = 0 = 1

S(4, 1, 1)

b)

PS(4, 0, 1)

PQ(1, 0, 1)

PS

PQ= (4, 0, 1) (1, 0, 1) = (0,5, 0)

rea = = = 2,5 u252

|

PS

PQ|

2

x= 4z= 1

x3y+ 2z+ 12 = 0

8x2y7z+ 8 = 0

z 2

2

y 1

1

x 1

2

16

76

23

12

12


S

S

P(0, 1, 0)

S(4, , 1)

Q(1, 1, 1)

dr(0, 1, 0)

r


42/59

S

52 Considera un cadrado que ten como centro o punto C(1, 1, 1) e ten un dosseus lados na recta:

r: = =

a) Calcula o ecuacin do plano no que se encontra o cadrado.

b)Calcula a lonxitude do lado do cadrado.

a) Es el plano, , que contiene a Cy a r:dr(1, 1, 0); P(2, 1, 1) r.

C(1, 1,1)

PC(1, 0,2) //

Un vector normal al plano es:n = (1, 1, 0) (1, 0, 2) = (2,2,1)

La ecuacin del plano es:

2(x1)2(y1)1(z+ 1) = 0

2x2yz1 = 0

b) La distancia de C a r es la mitad del lado delcuadrado.

dr

PC = (1, 1, 0) (1, 0,2) = (2, 2, 1)

|dr|= =

dist(C, r) = = = = =

= lado del cuadrado = l= 3 4,24

53 Na figura adxunta, calcula o ngulo que forma a recta BCcoa recta que une B co punto medio do lado AD.

Vamos a considerar el cubo de lado 1 con un vrtice en el origen:

As: A (1, 0, 0) B(1, 1, 1) C(0, 1, 0) D(1, 0, 1) M(1, 0, )

BC(1, 0,1);

BM(0,1, )cos = = =

= 0,316 = 71 33' 54''1

10

1/2

2

5/4

BC

BM

BC

BM

12

12

2322

l2

322

3

292

4 + 4 + 12

|dr

PC|

dr

21 + 1

z 1

0

y 1

1

x 2

1


C

l/2

r

C(1, 1,1)

P(2, 1, 1)

dr(1, 1, 0)

r

A

DB

C

Y

Z

X

BD

M

A

C


43/59

54 Sexa a recta r:

a) Determina a ecuacin da recta s que corta perpendicularmente a r e pa-sa por (0, 2, 2) e as coordenadas do punto P interseccin de r e s.

b) Calcula a ecuacin do plano que contn a r e s e a da recta t per-pendicular a polo punto P.

c) Se Q calquera punto de t, explica, sen facer ningn clculo, qu rela-cin hai entre as distancias de Q a r, a s e a .

a) Escribimos r en forma paramtrica:

r:

Un punto genrico de r es R(, 1, 1 + ).

AR ha de ser perpendicular a r; es decir:

ARdr = 0

(,1,1 +) (1,1, 1) = 0

+ 1 + 1 + = 0 3= 0 = 0

R(0, 1, 1)

La recta s pasa por A (0, 2, 2) y por R(0, 1, 1).

RA(0, 1, 1) s:

El punto de interseccin de ry s es P(0, 1, 1).

b) Ecuacin del plano que contiene a ry a s:n = (1,1, 1) (0, 1, 1) = (2,1, 1); P(0, 1, 1)

2(x0)1(y1) + 1(z1) = 0

:2xy+ z= 0

Ecuacin de la recta t perpendicular a por el punto P:

t:

c) Si Qt dist(Q, r) = dist(Q,s) = dist(Q, ) = dist(Q,P)

Las tres distancias coinciden con la distancia de Q al punto P, luego las tresson iguales entre s.

x=2y= 1z= 1 +

x= 0y= 1 + z= 1 +

x= y= 1z= 1 +

3x+ 2yz1 = 0 z= 3x+ 2y1 = 1 +x

x+ y 1 = 0 y= 1x

3x+ 2y z 1 = 0x+ y 1 = 0


S

A(0, 2, 2)

R(, 1, 1 + )

P

dr(1,1, 1)

r


44/59

S


55 a) Calcula a distancia do punto P(1, 1, 3) recta que pasa polos puntosQ(1, 2, 1) e R(1, 0, 1).

b) Encontra todos os puntos S do plano determinado por P, Q e R de ma-neira que o cuadriltero de vrtices P, Q, R e S sexa un paralelogramo.

a) Si r es la recta que pasa por R y por Q;entonces:

dist(P, r) = =

RP

RQ= (10, 0, 0)

dist(P, r) = = = = = 3,54 u

b) Hay dos posibilidades: que Py Q sean vrtices consecutivos, o que lo sean Py R.

Si Py Q son consecutivos, obtenemos S1 (x,y, z):

QP=

RS1 (0,3, 2) = (x1,y, z+ 1)

S1(1,3, 1)

Si Py R son consecutivos, obtenemos S2 (a, b, c):

RP=

QS2 (0,1, 4) = (a1, b2, c1)S2(1, 1, 5)

56 Calcula o plano da familia: mx+y+ z (m+ 1) = 0 que est situado a dis-tancia 1 da orixe.

Hallamos la distancia del origen, (0, 0, 0), al plano y la igualamos a 1:

dist= = = 1

|m + 1|= (m + 1)2 = m2 + 2 m2 + 1 + 2m = m2 + 2

2m = 1 m =

El plano es: x+y+ z = 0; es decir: x+ 2y+ 2z3 = 0

57 Calcula o lugar xeomtrico dos puntos P(x, y, z) que equidistan dos puntosA(1, 1, 0) e B(2, 3, 4). Comproba que obts un plano perpendicular a

AB

e que pasa polo punto medio de AB.

32

12

12

m2 + 2

|m + 1|

m2 + 2|m 0 + 0 + 0(m + 1)|

m2 + 1 + 1

5

210

2210

810

4 + 4|(10, 0, 0)|

|(0, 2, 2)|

RP(0,1, 4)

RQ(0, 2, 2)

RP

RQ

RQ

reaBase

P

h

R

Q

r

P

S1

S2

R

Q

S


45/59

S

Si P(x,y, z) es un punto del lugar geomtrico: dist(P,A) = dist(P,B)

=

x

2

2x+ 1 +y2

+ 2y+ 1 + z2

=x2

4x+ 4 +y2

6y+ 9 + z2

+ 8z+ 16

: 2x+ 8y8z27 = 0 Ecuacin de un plano.

Veamos que es perpendicular a

AB:

AB= (1, 4,4)

Vector normal al plano n(2, 8,8) //

AB

Luego

AB .

Comprobamos que pasa por el punto medio de AB:

M= ( , , ) = ( , 1,2)2 ( ) + 8 18 (2)27 = 0 M

El plano es elplano mediador del segmento AB.

58 Calcula o lugar xeomtrico dos puntos que equidistan dos planos se-guintes:

: 3x+y 2z+ 1 = 0

: x 3y+ 2z 3 = 0

Hai das solucins. Son os planos bisectores do diedro que determinan e .

Si P(x,y, z) es un punto del lugar geomtrico:

dist(P, ) = dist(P, ) =

|3x+y2z+ 1|= |x3y+ 2z3|

Son losplanos bisectores del diedro que determinan y .

59 Obtn as ecuacins do lugar xeomtrico de todos os puntos do plano x=yque distan 1 do plano 2xy+ 2z= 2.

Si P es un punto del plano x=y, entonces es de la forma P(x,x, z). La distan-cia de P al plano dado ha de ser igual a 1, es decir:

3x+y2z+ 1 =x3y+ 2z3 2x+ 4y4z+ 4 = 0 x+ 2y2z+ 2 = 03x+y2z+ 1 =x+ 3y2z+ 3 4x2y2 = 0 2xy1 = 0

|x3y+ 2z3|

1 + 9 + 4|3x+y2z+ 1|

9 + 1 + 4

32

32

042

1 + 32

1 + 22

(x2)2 + (y3)2 + (z+ 4)2(x1)2 + (y+ 1)2 + z2



46/59

= = 1

|x+ 2z2|= 3

Son dos rectas: r: s:

60 a) Calcula o lugar xeomtrico dos puntos que equidistan dos planos deecuacins 3x 4y+ 5 = 0 e 2x 2y+ z+ 9 = 0.

b) Que puntos do eixe OY equidistan de ambos planos?

a) Si P(x,y, z) es uno de los puntos del lugar geomtrico, entonces:

=

=

3|3x4y+ 5|= 5|2x2y+ z+ 9|

Son los planos bisectoresdel diedro que determinan los dos planos dados.

b) Un punto del eje OY es de la forma Q(0,y, 0). La distancia de Q a cada unode los planos ha de ser la misma, es decir:

= =

3|4y+ 5| = 5|2y+ 9|

Hay dos puntos: Q1(0,15, 0) y Q2(0, , 0)

61 Calcula o conxunto de puntos de 3 que estn a igual distancia de P(1, 2,5) e Q(3, 4, 1). A que distancia se encontra o punto P dese conxunto?

3011

12y+ 15 =10y+ 45 2y= 30 y=1530

12y+ 15 = 10y45 22y=60 y= 11

|2y+ 9|3

|4y+ 5|5

|2y+ 9|

4 + 4 + 1|4y+ 5|

9 + 16

9x12y+ 15 = 10x10y+ 5z+ 45 x+ 2y+ 5z+ 30 = 0

9x12y+ 15 =10x+ 10y5z45 19x22y+ 5z+ 60 = 0

|2x2y+ z+ 9|3

|3x4y+ 5|5

|2x2y+ z+ 9|

4 + 4 + 1|3x4y+ 5|

9 + 16

x+ 2z+ 1 = 0x=y

x+ 2z5 = 0x=y

x+ 2z2 = 3 x+ 2z5 = 0

x+ 2z2 =3 x+ 2z+ 1 = 0

|x+ 2z2|3

|2xx+ 2z2|

4 + 1 + 4


S

S


47/59

Si A(x,y, z) es un punto del conjunto, su distancia a Py a Q ha de ser la mis-ma, es decir: dist(A,P) = dist(A, Q)

=

x2 + 2x+ 1 +y24y+ 4 + z210z+ 25 =

=x2 + 6x+ 9 +y28y+ 16 + z22z+ 1 4x+ 4y8z+ 4 = 0

:xy+ 2z1 = 0

Es elplano mediadordel segmento que une Py Q.

La distancia de P a dicho plano serigual a la mitad de la distancia entre Py Q:

dist(P, Q) = |

PQ|= |(2, 2,4)|= = = 2

dist(P, ) = = 2,45

62 Calcula a ecuacin da esfera que pasa por: A (1, 1, 1), B(1, 2, 1), C(1, 1, 2),D(2, 1, 1).

La ecuacin es de la forma x2 +y2 + z2 + ax+ by+ cz+ d= 0.

Sustituimos cada uno de los cuatro puntos en la ecuacin:

La ecuacin es: x2 +y2 + z23x3y3z+ 6 = 0

63 a) Obtn a ecuacin do plano tanxente esfera x2 +y2 + z2 2x 4y+ 4 = 0no punto P(1, 2, 1).

b) Cal o punto diametralmente oposto a P na esfera dada?

a) El punto P es un punto de la esfera.El centro de la esfera es C(1, 2, 0).

El plano que buscamos pasa por Py es perpendicular al vector

CP(0, 0, 1). Suecuacin es: 0 (x1) + 0 (y2) + 1 (z1) = 0, es decir: z1 = 0

b) Es el simtrico de P respecto del centro de la esfera. Si llamamos P'(x,y, z) alpunto que buscamos, C es el punto medio del segmento PP', es decir:

( , , ) = (1, 2, 0) P'(1, 2,1)1 + z22 +y21 +x2

a =3

b=3c =3d= 6

1 + 1 + 1 + a + b+ c + d= 0 a + b+ c + d=3

1 + 4 + 1 + a + 2b+ c + d= 0 a + 2b+ c + d=61 + 1 + 4 + a + b+ 2c + d= 0 a + b+ 2c + d=64 + 1 + 1 + 2a + b+ c + d= 0 2a + b+ c + d=6

6262

6244 + 4 + 16

(x+ 3)2 + (y4)2 + (z1)2(x+ 1)2 + (y2)2 + (z5)2



48/59

64 Calcula a ecuacin da esfera tanxente s planos x 2z 8 = 0 e2x z+ 5 = 0 e que ten o seu centro na recta:

r:

El centro de la esfera es de la forma C(2, 0, z) (pues pertenece a la recta r).

La distancia del centro a cada uno de los planos es la misma. Adem s, esta distan-cia es el radio de la esfera:

= =

|2z10|= |z+ 1|

Hay dos soluciones:

1-a)C1(2, 0,11) Radio =

Ecuacin: (x+ 2)2 +y2 + (z+ 11)2 =

2-a)C2(2, 0,3) Radio =

Ecuacin: (x+ 2)2 +y2 + (z+ 3)2 =

Pxina 206

65 A esfera (x 3)2 + (y+ 2)2 + (z 1)2 = 25 corta o plano 2x 2y+ z 2 = 0nunha circunferencia. Calcula o seu centro e o seu raio.

Obtengamos el centro de la circunferencia:

El centro de la esfera es P(3,2, 1).

La recta que pasa por Py es perpendicu-lar al plano es:

El punto de corte de esta recta con el planodado es el centro de la circunferencia:

2(3 + 2)2(22) + (1 +)2 = 0

6 + 4+ 4 + 4+ 1 + 2 = 0 9+ 9 = 0 =1

Q(1, 0, 0)

x= 3 + 2y=22z= 1 +

165

4

5

1445

12

5

2z10 =z+ 1 z=11 C1(2, 0,11)

2z10 = z1 3z= 9 z=3 C2

(2, 0,3)

|z+ 1|

5|2z10|

5|4z+ 5|

4 + 1|22z8|

1 + 4

x= 2

y= 0


rd

n

P

Q

R


49/59

Calculamos el radio de la circunferencia:

La distancia entre los centros Py Q es:

d= |

QP|= |(2,2, 1)| = = 3

El radio de la esfera es R= 5.

Luego el radio de la circunferencia es: r= = = = 4

66 a) Obtn a ecuacin da esfera que pasa polos puntos A(4, 1, 3) e B(3, 2, 1)e que ten o seu centro na recta:

= =

b) Cal a ecuacin do plano tanxente en B a esa esfera?

a) Escribimos la recta en paramtricas:

Como el centro pertenece a esta recta, es de la forma C(8 + 2, 3 +,4)

La distancia de C a los puntos A y B ha de ser la misma. Adems, esta dis-tancia es el radio de la esfera:

dist(A, C) = dist(B, C) |

AC|= |

BC|

|(2+ 4, + 2,1)|= |(2+ 5, + 1,5)|

=

42 + 16 + 16+ 2 + 4 + 4+ 2 + 1 + 2=

= 42 + 25 + 20+ 2 + 1 + 2+ 2 + 25 + 10

10= 30 =3 C(2, 0,1)

|

AC|= |

BC| = 3 = radio de la esfera.

La ecuacin es: (x2)2 +y2 + (z+ 1)2 = 9, o bien:

x2 +y2 + z24x+ 2z4 = 0

b) Un vector normal al plano es

CB= (1, 2, 2).

El plano pasa por B(3, 2, 1). Su ecuacin es:

1 (x3) + 2 (y2) + 2 (z1) = 0

x3 + 2y4 + 2z2 = 0

x+ 2y+ 2z9 = 0

67 Calcula o lugar xeomtrico dos puntos que teen de distancia a A(2, 3, 4) odobre da distancia a B(3, 1, 2).

(2+ 5)2 + (+ 1)2 + (5)2(2+ 4)2 + (+ 2)2 + (1)2

x= 8 + 2y= 3 + z=4

z+ 4

1

y 3

1

x 8

2

16259R2d2

4 + 4 + 1



50/59

Si P(x,y, z) es un punto del lugar geomtrico, debe cumplir:

dist(P,A) = 2dist(P,B)

= 2

x2 + 4x+ 4 +y26y+ 9 + z28z+ 16 = 2[x26x+ 9 +y2 + 2y+ 1 + z2 + 4z+ 4]

x2 +y2 + z2 + 4x6y8z+ 29 = 2x2 + 2y2 + 2z212x+ 4y+ 8z+ 28

x2 +y2 + z216x+ 10y+ 16z1 = 0

Es una esfera de centro (8,5,8) y radio 12,4.

68 Dados A(4, 2, 0) e B(2, 6, 4), calcula o lugar xeomtrico dos puntos Ptales que

PA sexa perpendicular a

PB.


han de ser perpendiculares, es decir:

AP

BP= 0 (x4) (x2) + (y2) (y6) + z(z+ 4) = 0

x26x+ 8 +y28y+ 12 + z2 + 4z= 0

x2 +y2 + z26x8y+ 4z+ 20 = 0

Es una esfera de centro (3, 4,2) y radio 3.

69 Calcula o lugar xeomtrico dos puntos que teen como suma de distancias a(2, 0, 0) e (2, 0, 0) o valor de 6.


+ = 6

= 6

x24x+ 4 +y2 + z2 = 36 +x2 + 4x+ 4 +y2 + z212

12 = 8x+ 363 = 2x+ 9

9[x2 + 4x+ 4 +y2 + z2] = 4x2 + 36x+ 81

9x2 + 36x+ 36 + 9y2 + 9z2 = 4x2 + 36x+ 81

5x2 + 9y2 + 9z2 = 45

+ + = 1

Es un elipsoide.

z2

5y2

5x2

9

(x+ 2)2 +y2 + z2(x+ 2)

2

+y2

+ z2

(x+ 2)2 +y2 + z2

(x+ 2)2 +y2 + z2(x2)2 +y2 + z2

(x+ 2)2 +y2 + z2(x2)2 +y2 + z2

AP(x4,y2, z)

BP (x2,y6, z+ 4)

154

(x3)2 + (y+ 1)2 + (z+ 2)2(x+ 2)2 + (y3)2 + (z4)2



51/59

70 Calcula o lugar xeomtrico dos puntos que equidistan de (0, 0, 3) e do planoz= 3.

Sea P(x,y, z) un punto del lugar geomtrico pedido. Entonces:

d= (P, (0, 0, 3)) = d(P, {z=3})

= = |z+ 3|

Por tanto:

x2 +y2 + (z3)2 = (z + 3)2

x2 +y2 + z26z+ 9 = z2 + 6z+ 9

x2 +y212z= 0

Se trata de un paraboloide.

71 Calcula o lugar xeomtrico dos puntos que teen como diferencia de dis-tancias a (0, 5, 0) e (0, 5, 0) o valor de 4.


| |= 4

= 4

= 4 +

x2 +y210y+ 25 + z2 = 16 +x2 +y2 + 10y+ 25 + z2 8

8 = 20y+ 16

2 = 5y+ 4

4(x2 +y2 + 10y+ 25 + z2) = 25y2 + 40y+ 16

4x2 + 4y2 + 40y+ 100 + 4z2 = 25y2 + 40y+ 16

4x221y2 + 4z2 =84

+ = 1

Es un hiperboloide.

72 Cal o lugar xeomtrico dos puntos nos que a suma de distancias s pun-tos (2, 3, 4) e (2, 3, 4) igual a 8?

+ = 8

(x2)2 + (y3)2 + (z4)2 = 64 + (x2)2 + (y+ 3)2 + (z4)2

16 (x2)2 + (y+ 3)2 + (z4)2

(x2)2 + (y + 3)2 + (z4)2(x2)2 + (y3)2 + (z4)2

z2

21y2

4x2

21

x2 +y2 + 10y+ 25 +z2

x2 +y2 + 10y+ 25 +z2

x2 +y2 + 10y+ 25 +z2

x2 +y2 + 10y+ 25 +z2x2 +y210y+ 25 +z2

x2 +y2 + 10y+ 25 +z2x2 +y210y+ 25 +z2

x2 + (y+ 5)2 + z2x2 + (y5)2 + z2

|z+ 3|

1x2 +y2 + (z3)2



52/59

16 = 64 + 12y

4 = 16 + 3y

16 (x24x+ 4 +y2 + 6y+ 9 + z28z+ 16) = 256 + 96y+ 9y2

16x2+ 7y2 + 16z264x128z+ 208 = 0

Se trata de un elipsoide.

73 Cal o lugar xeomtrico dos puntos nos que a diferencia de distancia spuntos (4, 3, 1) e (4, 3, 1) igual a 6?

= 6

4x9 = 3

7x29y29z2 + 54y+ 18z153 =0

Se trata de un hiperboloide.

74 Calcula o lugar xeomtrico dos puntos que equidistan do plano x=y e dopunto (0, 2, 1).

d(P,) = d(P, Q) =

( )2=x2 +y2 + 4y+ 4 + z22z+ 1

x2 +y22xy= 2x2 + 2y2 + 8y+ 8 + 2z24z+ 2

x2 +y2 + 2z2 + 2xy+ 8y4z+ 10 = 0

Se trata de unparaboloide.

CUESTINS TERICAS

75 A ecuacin ax+ by+ cz+ d= 0 representa un plano do espacio. Explica qucaracterstica ten ese plano en cada un destes casos:

I) a= 0, b = 0 II) b = 0, c= 0

III) a= 0, c= 0 IV) d= 0

I) Es perpendicular al eje OZ. (Paralelo al plano OXY).

II) Es perpendicular al eje OX. (Paralelo al plano OYZ).

III)Es perpendicular al eje OY. (Paralelo al plano OXZ).

IV)Pasa por el origen, (0, 0, 0).

76 Define a proxeccin ortogonal dun punto P sobre un plano e explica oprocedemento que empregaras para obtela.

|xy|

2

(x2+ (y+ 2)2 + (z1)2|xy|

2

(x4)2 + (y3)2 + (z1)2

(x4)2 + (y3)2 + (z1)2(x+ 4)2 + (y3)2 + (z1)2

(x2)2 + (y+ 3)2 + (z4)2

(x2)2 + (y+ 3)2 + (z4)2



53/59

La proyeccin ortogonal de un punto, P, sobre un plano, , es un punto, P',

tal que el vector

PP' es perpendicular a . Un procedimiento para obtener P'

sera el siguiente:

Se halla la recta, r, perpendicular a que pasa por P. El punto de corte entrery es el punto buscado, P'.

77 Dada unha recta r e un punto P dela, cantas rectas perpendiculares a rque pasen polo punto P se poden trazar?

Infinitas. Todas las que, pasando por P, estn contenidas en el plano perpendicu-lar a r que pasa por P.

78 Dado o plano : x 3y+ 2z 1 = 0, escribe as condicins que deben cumpriras coordenadas dun vector

v (a, b, c) para que tea a direccin dalgunha

recta contida no plano.

v(a, b, c) debe ser perpendicular al vector normal del plano , n(1,3, 2); es de-cir: (a, b, c) (1,3, 2) = a3b+ 2c = 0

79 Xustifica que a distancia do punto A (x2, y2, z2) recta

= = se pode calcular mediante a frmula:

d(A, r) =

Llamamos P(x1,y1, z1) yd(a, b, c). P es un punto

de la recta y d un vector direccin de esta.

La distancia de A a la recta r es igual a la altura del

paralelogramo determinado por

PA yd, es decir:

dist(A, r) = = =

=

80 Sexa r a recta determinada polo punto A e o vector dr e s a recta deter-minada polo punto B e o vector

ds. Sabemos que r e s se cruzan.

a) Xustifica que a distancia entre r e s se pode calcular as:

d(r, s) =

b)Xustifica que a perpendicular comn a r e s se pode obter as:

det(AX,

dr,

dr

ds) = 0

det(BX,

ds,

dr

ds) = 0

[AB,

dr,

ds]

dr

ds

(x2x1,y2y1, z2z1) (a, b, c)

a2 + b2 + c2

|

PAd|

d

rea paralelogramoBase

(x2 x1,y2y1, z2 z1,) (a, b, c)

a2 + b2 + c2

z z1c

yy1b

x x1a


P

h

A r

d


54/59

S

a)dist(r,s) = altura del paraleleppedo determinado por:

AB,dr y

ds= =

b) La recta, p, perpendicular a ry a s, tiene por vector direccindr

ds. Esta

recta, p, es la interseccin de los planos y , siendo:

: Plano que contiene a sy al vectordr

ds; es decir:

: det(

AX,dr,

dr

ds) = 0, donde X= (x,y, z)

: Plano que contiene a ry al vectordr

ds, es decir:

: det(

BX,ds,

dr

ds) = 0

Por tanto: p:

81 Se A (x1,y1, z1) un punto do plano: ax+ by+ cz+ d= 0, e B(x2,y2, z2)un punto tal que

AB (a, b, c) = 0, demostra que B .

AB (a, b, c) = 0 a(x2x1) + b(y2y1) + c(z2z1) = 0

(ax2 + by2 + cz2)(ax1 + by1 + cz1) = 0

d (pues A )

ax2 + by2 + cz2 + d= 0 B

Pxina 207

PARA PROFUNDAR

82 Os puntos P(1, 1, 1) e Q(3, 3, 3) son dous vrtices opostos dun cadradoque est contido nun plano perpendicular plano de ecuacin x+ y= 0.

a) Calcula os vrtices restantes.

b)Calcula o permetro do cadrado.

a) Los otros dos vrtices, Ry S, pertenecen a la mediatrizdel segmento PQ.

La mediatriz del segmento PQ tiene como vector direc-cin el vector normal al plano x+y= 0; es decir, (1, 1, 0).

Pasa por el punto medio del segmento PQ, es decir, porM(2,2, 2). Luego la ecuacin de la mediatriz es:

r:x= 2 +y=2 + z= 2

det(

AX,dr,

dr

ds) = 0

det(

BX, ds,dr

ds) = 0

|[

AB,dr,

ds]|

dr

ds

Volumenrea de la base


R Q

SP


55/59

Un punto de r es de la forma R(2 + ,2 + , 2).

Buscamos R tal que

PR

QR= 0 (es decir

PR

QR):

PR QR= 21 + 211 = 223 = 0

= =

= =

Los vrtices son: R

(, , 2

)y S

(, , 2

)b) La longitud de la diagonal es:d= |

PQ|= |(2,2, 2)|=

d2 = l2 + l2 d2 = 2l2 12 = 2l2 l=

El permetro ser: P= 4

83 Dados os puntos A (a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c), proba que a distancia, d,da orixe de coordenadas plano ABCverifica:

= + +

El plano que pasa por A,By C es:

: + + = 1 (vase ejercicio 55 de la unidad 6),

es decir: : x+ y + z1 = 0

As, si O(0, 0, 0), entonces:

dist(O, ) === d

+ + = + + = 1d2

1

c21

b21

a21d

1

c21

b21

a2

1c

1b

1a

z

c

y

bx

a

1c2

1b2

1a2

1d2

6

6

12

46

2

46

2

4 + 6

2

4 + 6

2

62

32

62

32

PR(1 + ,1 + , 1)QR(1 +, 1 +,1)


l

l

d

Q

P

0 + 0 + 01 1

( )2 + ( )2 + ( )2 + + 1c21b21a21c1b1a

1c

1b

1a


56/59

84 Dadas as rectas r, s e t:

r: s: t:

Calcula as coordenadas dun punto P que est na recta t e que determinacoa recta s un plano que contn a r.

Escribimos las ecuaciones de r,sy t en forma paramtrica:

r: s: t:

Hallamos la ecuacin del plano, , que contiene a ry a s:

Las rectas r y s se cortan en el punto (2, 2, 2), luego el plano contiene aeste punto.

Un vector normal al plano es:dr

ds= (0, 1, 1) (1,1,2) = (1, 1,1)

n(1,1, 1)

Luego el plano es: : 1(x+ 2)1(y2) + 1(z2) = 0

:xy+ z+ 2 = 0

P es el punto de corte de con la recta t:

k(1k) + k+ 2 = 0 k+ 1 + k+ k+ 2 = 0 3k+ 3 = 0 k=1

El punto es P(1, 0,1)

85 Calcula as interseccins da superficie + + = 1 cos planos

coordenados. Que figuras obts? Como se chama a superficie dada?

+ + = 1

Con x= 0: + = 1 Elipse de semiejes 4 y 3

Con y= 0: + = 1 Elipse de semiejes 5 y 3

Con z= 0: + = 1 Elipse de semiejes 5 y 4

Es un elipsoide.

y2

16x2

25

z2

9x2

25

z29

y216

z2

9y2

16x2

25

z2

9y2

16x2

25

x= ky=1kz= k

x= y=z=22

x=2y= z=

x z= 0y+ z= 1

2x+ z = 2x+y = 0

x = 2y z= 0



57/59

86 Calcula o centro e as lonxitudes dos eixes do elipsoide

2x2 + 3y2 + z2 8x+ 6y 4z 3 = 0

2x2 + 3y2 + z28x+ 6y4z3 = 0

2 (x24x+ 4) + 3 (y2 + 2y+ 1) + (z24z+ 4) = 3 + 8 + 3 + 4

2 (x2)2 + 3 (y+ 1)2 + (z2)2 = 18

+ = 1

Centro: (2,1, 2)

Semiejes: 3, y = 3

87 Calcula as interseccins da superficie + = 1 os planos coor-

denados, e describe qu tipo de curvas obts. Como se chama a

superficie dada?

+ = 1

Con x= 0: = 1 Hiprbola, semieje real 2

Con y= 0: + = 1 Hiprbola, semieje real 3

Con z= 0: + = 1 Elipse de semiejes 3 y 2

Es un hiperboloide.

PARA PENSAR UN POUCO MIS

88 Feixe de planos

A recta r: a interseccin dos planos e .

O conxunto de todos os planos que conteen a r chmase FEIXE DE PLANOS dearesta r, e a sa expresin analtica : a(2x+ 3y z 4) + b (x 2y+ z+ 1) = 0

: 2x+ 3y z 4 = 0: x 2y+ z+ 1 = 0

y2

4x2

9

z2

16x2

9

z2

16y2

4

z2

16y2

4x2

9

z2

16

y2

4

x2

9

2186

(z2)2

18(y+ 1)2

6(x2)2

9


x

z

y

r


58/59

Para cada par de valores de a e b (excepto para a= 0 e b = 0) obtense aecuacin dun plano do feixe.

a) Calcula o plano do feixe que pasa pola orixe de coordenadas.

b)Para qu valor de kun dos planos do feixe perpendicular recta

t: = = ? Cal eses plano do feixe?

c) Calcula dous puntos que pertenzan a todos os planos do feixe anterior.

d)Pon a expresin do feixe de planos que ten como aresta a recta s:

s: = =

e) Cal dos planos deste feixe dista mis da orixe de coordenadas?

a) El trmino independiente sercero: 4a + b= 0 b= 4a. Luego:

a(2x+ 3yz4) + 4a(x2y+ z+ 1) = 0; es decir:

2x+ 3yz4 + 4(x2y+ z+ 1) = 0

2x+ 3yz4 + 4x8y+ 4z+ 4 = 0

6x5y+ 3z= 0

b) Un plano del haz es:

(2a + b)x+ (3a2b)y+ (a + b)z+ (4a + b) = 0

Un vector normal al plano es: n (2a + b, 3a2b,a + b)

Para que el plano sea perpendicular a la recta, el vector normal del plano y elvector direccin de la recta han de ser paralelos, es decir, sus coordenadas de-ben ser proporcionales:

= =

11(2

k+ 3) + (

k3) = 0

22

k33 +

k3 = 0

21k36 = 0 k= = k=

El plano del haz es:

11b(2x+ 3yz4) + b(x2y+ z+ 1) = 0

11(2x+ 3yz4) + (x2y+ z+ 1) = 0

22x33y+ 11z+ 44 +x2y+ z+ 1 = 0

21x35y+ 12z+ 45 = 0

127

127

3621

a + 11b= 0 a =11b(2k+ 3)a + (k3)b= 0

10a + 5b = 9a6b2ka + kb=3a + 3b

a + bk

3a2b5

2a + b3

z 3

1

y+ 1

2

x 5

3

z

k

y 2

5

x

3



59/59

Otra resolucin:

Si la recta es perpendicular a un cierto plano del haz, serperpendicular a todaslas rectas contenidas en ese plano, y, en concreto, a la recta r, arista del haz.

Vector direccin de r:

d = (2, 3,1) (1,2, 1) = (1,3,7)Vector direccin de t:

d' = (3, 5, k)

d

d' = 0 (1,3,7) (3, 5, k) = 3157k= 0 k=

A partir de aqu, obtendramos la relacin entre a y b, y el plano del haz co-mo en el caso anterior.

c) Los puntos que pertenecen a todos los planos del haz son los puntos de la rectar. Por ejemplo: (1, 0,2) y (0, 3, 5).

d) Escribimos la recta s en forma implcita:

= 2x+ 10 = 3y+ 3 2x3y+ 7 = 0

= x5 = 3z9 x3z+ 4 = 0

s:

La expresin del haz de planos cuya arista es s es:

a(2x+ 3y7) + b(x3z+ 4) = 0

e) Es el plano que contiene a la recta (puesto que es del haz) y es perpendicular aOO', siendo O(0, 0, 0) y O' la proyeccin de O sobre la recta.

Lo calculamos en el caso de la recta s:

Un punto genrico de la recta s es:

P(5 + 3,12, 3 +)

Un vector direccin de s esds(3,2, 1).

El vector

OP ha de ser perpendicular ads:

OPds = 0 3(5 + 3)2(12) + (3 +) = 0

15 + 9+ 2 + 4+ 3 + = 0 14+ 20 = 0 = =

Luego: O'( , , ); y el vector normal al plano es OO'( , , ); o1171375711713757

107

2014

2x+ 3y 7 = 0x3z+ 4 = 0

z31

x53

y+ 1

2x5

3

127

O(0, 0, 0)

P

d

s

s

O'

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tema 7_PROBLEMAS MÉTRICOS

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