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7/30/2019 Tema 8-Momento de La Fuerza
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La Esttica es la parte de la Mecnica que estudia el equilibrio de los cuerpos sometidos a laaccin de fuerzas.
ESTTICA DE CUERPOS RGIDOS
Hasta ahora, habamos estudiado a los cuerpos como si fueran partculas.Pero, esto no siempre es posible.
Muchas veces se deben tratar como una combinacin de varias partculas.
Esto implica que debe tomarse en cuenta el tamao y, a veces, la forma del objeto.
Tambin se debe tomar en cuenta que las fuerzas pueden actuar en diversos lugares del
objeto, por lo que tienen distintos puntos de apli cacin.
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Cuerpo rgido: Es un cuerpo que no se deforma.
Con esto en mente, se define es un concepto de cuerpo indeformable ideal.
Y, aunque en la realidad todos los cuerpos son deformables, si las deformacin pueden ser
despreciables para la apli cacin, se consideran indeformables.
Para fines del estudio elemental de la mecnica se puede considerar que objetos son
cuerpos indeformables.
En lo que sigue, consideraremos el estudio de la esttica de los cuerpos rgidos.
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Las fuerzas que actan en un cuerpo rgido pueden dividirse en dos grupos fuerzas externas
e internas.
Las fuerzas externasrepresentan la accin que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo
rgido.
Son responsables del comportamiento externo del cuerpo rgido.
Causan que el cuerpo se mueva o se aseguran de que se mantenga en reposo.
Lasfuerzas in ternas
son las que mantienen unidas a las partculas que forman el cuerpo
rgido.
Si la estructura est formada por varias partes, tambin se llama fuerzas internas a las
que mantienen unidas a esas partes.
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Ejemplos de fuerzas externas:
Las fuerzas que aplican sobre un mvil para ponerlo en movimiento.
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Supongamos que un camin se descompuso y es necesario moverlo. Se jala el camin
usando una cuerda.
Las fuerzas externas que actan sobre el camin se pueden dibujar representar mediante undiagrama de cuerpo libre.
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Peso del camin W: Representa el efecto de atraccin gravitacional de la Tierra sobre todas
y cada una de las partculas que lo forman.
W mueve el camin hacia abajo y su punto de aplicacin se llama centro de gravedad
Fuerzas de reaccin: El piso se opone al movimiento del camin hacia abajo (ley de accin
y reaccin) por medio de las reaccionesR1 y R2.
La fuerza F: Representa el efecto de la tensin de la cuerda por la accin del jaln de los
hombres y tiene como punto de aplicacin el punto donde se encuentra unida la cuerda al
camin.
Fuerzas de fr iccin f, diferentes fuerzas que surge en oposicin al movimiento, con puntos
de aplicacin correspondientes al efecto.
WR1
R2
F
f
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Principio de transitividad: El efecto de una fuerza sobre un cuerpo rgido permaneceinalterable si dicha fuerza se mueve a lo largo de su lnea de accin.
Entonces, las fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido se representan mediante vectores
deslizantes. Es decir, vectores que se pueden mover sobre la lnea de accin de la fuerza.
Por lo que el punto de aplicacin no es importante.
F
=
F
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Dos fuerzas deslizadas sobre su lnea de accin son equivalentes.
Dos fuerzas son equi valentes, si para fines del comportamiento externo, la aplicacin de las
fuerzas equivalentes manifiesta el mismo resultado.
WR1 R2
F
f
WR1 R2
F
f=
=
BA
P2P1
BA
P2P1 =
BA
=
BA
P2P1
BA
P2P1 =BA
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1. En el estudio de la esttica, los objetos reales pueden considerarse como partculas?
(a) Si, por qu?(b) No, por qu?
(c) Algunas veces, bajo qu condiciones?
2. En que circunstancias un objeto se considera indeformable? Explique su respuesta.
(a) En cualquier situacin, independientemente de la aplicacin.
(b) En ninguna aplicacin.(c) Para las aplicaciones en las que deformaciones pueden despreciarse.
3. Qu son las fuerzas externas? Explique su respuesta.
(a) Son las fuerzas ejercidas por otros cuerpos sobre el cuerpo rgido.
(b) Son las que mantienen unidas a las partculas que forman el cuerpo rgido.
(c) Ninguna de las anteriores.
4. Si la estructura est formada por varias partes, cmo se llama las fuerzas que mantienen
unidas a esas partes? Explique su respuesta.
(a) Fuerzas de gravedad. (b) Fuerzas internas.
(c) Fuerza natural. (d) Fuerzas externas.
Ejercicio en clase, para hacerlo ahora. (10 minutos)
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El estudio de la esttica de los cuerpos rgidos se basa en los tres principios siguientes:
La ley del paralelogramo para la suma devectores.
La primera ley de Newton: Un cuerpopermanece es su estado de reposo o
movimiento uniforme si la fuerza neta que
acta sobre l es cero.
El principio de transmitividad de las fuerzas: El efecto de una fuerza sobre un cuerporgido permanece inalterable si dicha fuerza se mueve a lo largo de su lnea de accin.
A
B
A
B
R=A+B
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La fuerza es un vector definido por su magnitud y direccin.
Para tomar en cuenta el efecto antes mencionado se define el
FrMO
Pero el efecto de una fuerza F sobre un cuerpo rgido tambin depende de su punto de
aplicacin.
La posicin del punto de aplicacin tambin
es un vector r cuyo origen es un punto de
referencia fijo, O, y cuya punta se encuentra
en el punto de aplicacin A de la fuerza.
El vector de posicin r y la fuerza F definen
un plano.
Momento de la fuerza F con respecto a O
F
OAd
Fr
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OA
F
r
FdsenFrMO
Si d es la distancia perpendicular del punto
de referencia a la lnea de accin
MO
El momento de la fuerza es un vector
perpendicular al plano formado por r y F,
con magnitud MO=rFsen
, y sentidodefinido por a regla de la mano derecha.
FrMO
d
senrd
Las dimensiones del momento de la fuerza son: distancia por fuerza
Las unidades en el SI son: m N=kg m2/s2
MO mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar el cuerpo rgido alrededor de un eje fijo
dirigido a lo largo de MO.
F
Md O
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Dos fuerzas son equivalentes si, y slo si, son iguales y, adems, tienen momentos igualesrespecto a un punto O.
00 'MMy'FF
Si estas ecuaciones se cumplen para cierto punto O, se cumplirn para cualquier otro punto
P.
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Estructuras bidimensionales: Las estructuras bidimensionales y las fuerzas que actansobre ellas pueden representarse fcilmente. Por lo que su anlisis se simplifica.
Apunta hacia adentro del plano si es como
en la figura 2 .
Por ejemplo, si una fuerza F acta sobre una
placa rgida.
El momento de la fuerza con respecto a un
punto O, MO, tiene una magnitud MO=Fd,
perpendicular al plano de la placa.
El sentido del momento de la fuerza con
respecto a un punto O, MO, se elige de
acuerdo a la regla de la mano derecha.
Apunta hacia fuera del plano, si es como en
la figura 1.
O
F
dMO
Figura 1
OF
dMO
Figura 2En ambos casos el cuerpo rgido gira: en la
figura 1 el ngulo es positivo, en la figura 2
es negativo.
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Teorema de Varignon: El momento con respecto a un punto dado O de la resultante de
varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con
respecto al mismo punto O.
N
1i
ON
1i
iiO iMFrFrM
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18 cm
35 cm
A
B
F
30
Ejemplo 1. Una fuerza de 120 N acta sobe una mnsula como se muestra en la figura.Determinar el momento de la fuerza respecto al punto B.
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18 cm
35 cm
A
B
F
30
Respuesta:
FrM BAB
jm18.0im35.0rBA
jN60iN360
jN120iN120
j
30senN120i
30cosN120F
21
2
3
kmN71.39kN360m18.0N60m35.00N60N360
0m18.0m35.0
kji
FrM BAB
rAB
MB=39.71 N m
y
x
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Ejemplo 2. Una placa rectangular de 20 cm de ancho por 50 cm de largo, est apoyada pormnsulas en los puntos A y B y por un alambre CD, como se muestra en la figura. Se sabe
que la tensin en el alambre es de 250 N, determine el momento con respecto a A de la
fuerza ejercida por el alambre en en punto C.
AB
C
D
15cm
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AB
C
D
15cm
CDACA FrM
jm20.0im10.0
jcm20icm10rAC
x
y
z
rAC
km15.0jm20.0im40.0
kcm15jcm20icm40LCD
LCD
m0.47m15.0m20.0m40.0L 222CD
k32.0j42.0i85.0m47.0
km15.0jm20.0im40.0
L
LL
CD
CDCD
kN5.79jN106iN212
k32.0j43.0i85.0N250LFF CDCDCD
FCD
k
mN8.31j
mN95.7i
mN9.15
N212m20.0N106m10.0k
N212m0N5.79m10.0j
N106m0N5.79m20.0i
N5.79N106N212
0m20.0m10.0
kji
FrM CDACA
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Ejemplo 3. Determine el momento respecto al origen O de la fuerza
kN5.5jN3iN5.7F
acta en el punto A cuyo vector de posicin es
km1jm75.0im2r
kmN625.10jmN4imN125.7
mN5.775.032k
.715.52j
315.575.0i
5.535.7
175.02
kji
FrMO
Respuesta:
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Ejemplo 4: Una fuerza vertical de 50 N seaplica en el centro de una placa que est
unida a una flecha en el punto O (ver figura).
50 N
A
O75
(a) Encuentre el momento de la fuerza de 50
N con respecto a O;
(b) Determine la fuerza horizontal aplicada
en A que origina el mismo momento del
inciso (a);
(c) Calcule la fuerza mnima aplicada en A
que origina el mismo momento del inciso (a).
(d) Qu tan lejos de la flecha debe actuar
una fuerza vertical de 120 N para originar el
mismo momento del inciso (a)?
(e) Diga si alguna de las fuerzas obtenida enlos incisos (a), (b), (c) y (d) es equivalente a
la fuerza original.
(f) Encuentre el momento de la fuerza con
respecto a O, si la fuerza del inciso (d) se
aplica horizontalmente.
(g) Determine el momento de la fuerza con
respecto a O si la fuerza de magnitud igual al
inciso d) se aplica formando un ngulo de
30 respecto a la horizontal.
Tarea para entregar el da lunes 1 de abrilde 2013 al inicio de la sesin de clase.
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(a) Momento de la fuerza de 50 N respecto a O. (Mtodo 1)
50 N
A
O75
r
m0.7775senm80.0y
m0.2175cosm80.0x
75,m80.075,cm80r
N50F
0F
270,N50F
y
x
kmN10.35
N5075cosm0.80k
0N500
075senm0.8075cosm0.80
kji
FrMO
Entonces, MO=10.35 N m,
MO
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(a) Momento de la fuerza de 50 N respecto a O. (Mtodo 2)
La lnea de accin de la fuerza es vertical.
m80.0
d
cm80
d75cos
La magnitud del momento de la fuerza de 50
N respecto a O es
mN35.1075cosmN40
75cosm80.0N50dFMO
50 N
A
O
75
MO
d
As que la distancia perpendicular a la lnea
de accin de la fuerza es horizontal
m21.075cosm80.0d
Entonces, MO=10.35 N m,
La direccin de MO es perpendicular al
plano de la palanca y apunta hacia adentro
del plano.
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(b) Fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo momento del inciso (a);
(Mtodo 1)
A
O75
F
MO
75
r
m0.7775senm80.0ym0.2175cosm80.0x
75,m80.075,cm80r
0F
FF
0,FF
y
x
k
mN10.35k
Fm0.7727
75senm0.80Fk
00F
075senm0.8075cosm0.80
kji
FrMO
N3939.13m0.7727
mN35.10F
mN10.35Fm2071.0
Entonces, F=13.3939 N,
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(b) Fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo momento del inciso (a);
(Mtodo 2)
m80.0
d75sen
La magnitud del momento de la fuerza
horizontal es la misma que la del inciso (a),
MO=10.35 N m, entonces
dMFdFM 0O
Entonces, F=13.3939 N,
A
O75
F
MO
La lnea de accin de la fuerza es horizontal.
As que la distancia perpendicular a la lneade accin de la fuerza es vertical.
d m77.075senm80.0d
N3939.13m7727.0
mN35.10F
75
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(c) Fuerza mnima aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O del inciso
(a)
N94.12m8.0
mN35.10F
d
MFdFM OO
A
O75
r
MO
F
La fuerza mnima debe ser perpendicular al
vector de posicin.
Entonces, la lnea de accin de la fuerza es
perpendicular al vector de posicin.
As que la distancia perpendicular a la lnea
de accin de la fuerza es la magnitud delvector de posicin.
La magnitud del momento de la fuerza
horizontal es la misma que la del inciso (a),
MO=10.35 N m, entonces
75
15
Entonces, F=12.94 N, 15
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(d) Qu tan lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de 120 N para originar el
mismo momento con respecto a O del inciso (a)?
F
MddFM OO
cm63.8m0.0863N120
mN35.10d
Entonces, el punto de aplicacin de la fuerza
debe estar a 33.32 cm de O hacia arriba en el
eje OA.
A
O 75
r
MO
F
C
La lnea de accin de la fuerza es vertical.
As que la distancia perpendicular a la lnea
de accin de la fuerza es horizontal
d
La magnitud del momento de la fuerza
horizontal es la misma que la del inciso (a),
MO=10.35 N m, entonces
cm32.33m0.333275cos
dr
r
d75cos
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(a) F=50 N, MO=10.35 N m,
(b) F=13.44 N, MO=10.35 N m,
(e) Diga si alguna de las fuerzas obtenida en los incisos (a), (b), (c) y (d) es equivalente a la
fuerza original.
(c) F=12.94 N, 15 MO=10.35 N m,
(d) F=120 N, 75 MO=10.35 N m,
Ninguna de las fuerzas es equivalente a otra.
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(f) El momento de la fuerza con respecto a O, si la fuerza del inciso (d) se aplica
horizontalmente.
mN38.63m0.3219N120dFMO
A
O
75
MO
F
C
La lnea de accin de la fuerza es horizontal.
As que la distancia perpendicular a la lnea
de accin de la fuerza es vertical, la cual es
dLa magnitud de la fuerza horizontal es lamisma que la del inciso (d), F=120 N,entonces
cm19.32m0.3219dm3332.0
d75sen
La direccin de MO es perpendicular al
plano de la palanca y apunta hacia adentro
del plano.
Entonces, MO=38.63 N m,
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(g) el momento de la fuerza con respecto a O si la fuerza de magnitud igual al inciso (d) se
aplica formando un ngulo de 30 respecto a la horizontal.
A
O75
MO
F
C 30
La lnea de accin de la fuerza tiene una
inclinacin de 30 con la horizontal.
As que la distancia perpendicular a la lnea
de accin de la fuerza est a 60 respecto de
la horizontal y es
60
60
m2356.045coscm3332.0dm3332.0
d
cm32.33
d45cos
dLa magnitud de la fuerza es la misma que ladel inciso (d), F=120 N, entonces
mN28.2730m0.2356N120dFMO
La direccin de MO es perpendicular al
plano de la palanca y apunta hacia adentro
del plano.
Entonces MO= N m
60
45