Date post: | 25-Nov-2015 |
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Sistemas DinmicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas.
Ttulo
DIAGRAMAS DE BLOQUES,
FLUJOGRAMAS
Y SUS OPERACIONES
TEMA I
Universidad de OrienteNcleo de Anzotegui
Escuela de Ingeniera y Ciencias Aplicadas
Sistemas DinmicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 2
DIAGRAMAS DE BLOQUES, DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEAL
TEMA I Objetivos
Objetivo Terminal:
Aplicar las tcnicas de diagramas de bloques y flujogramas en larepresentacin y clculo de relaciones entre variables dentro de lossistemas de control.
Objetivos Especficos:
Identificar las descripciones de sistemas de control por medio de diagramasde bloques.
Identificar las descripciones de sistemas de control por medio de diagramasde flujo de seal.
Aplicar la tcnica de reduccin de diagramas de bloques en el clculo derelaciones entre variables dentro de los sistemas de control.
Aplicar la frmula de ganancia de mason en el clculo de relaciones entrevariables dentro de los sistemas de control.
Convertir diagramas de bloques a flujogramas y viceversa.
Sistemas DinmicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 3
TEMA I Contenido
Elementos de un diagrama de bloques.
Ejemplos de diagramas de bloques.
Elementos de un diagrama de flujo de seales o flujogramas.
Ejemplos de diagramas de flujo de seal o flujogramas
Algebra de bloques
Aplicacin del algebra de bloques en la reduccin de bloques
Clculo de funciones de transferencia por reduccin de diagramas de bloques.
Frmula de ganancia de mason.
Elementos de la frmula de ganancia de mason.
Definicin de lazos individuales.
Definicin de lazos disjuntos.
Definicin de Trayectos directos.
Clculo de relaciones entre variables o funciones de transferencia.
Transformacin de diagramas de bloques en flujogramas.
Transformacin de flujogramas en diagramas de bloques.
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Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 4
Representan en forma grfica las funciones realizadas por los componentes queforman parte de una planta o proceso industrial. En l tambin se indica el flujo delas seales que intervienen.
BLOQUE FUNCIONAL:Representacin o smbolo de algn elementode la planta o proceso o controlador.
SUMADOR:Representan operaciones de adicin osustraccin de las seales que intervienen.Tambin se les llama comparadores. (laadicin o sustraccin depende del signocon que la seales entran)
BIFURCACION:Representan puntos de ruptura de unaseal especfica. Puntos de toma de seal.
G(s)
G(s)
+- +-- +
-
+
-
++
+
Diagramas de Bloques
Elementos de un Diagrama de Bloques
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Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 5
(s+3) +-1
(s+4)+--
Entrada
2(s)
s+5
2s-6
Diagramas de Bloques
Ejemplos de Diagramas de Bloques
G1(s) +- G2(s)+--
H3(s)
H1(s)
Entrada
H2(s)
+
G1(s) G2(s)+--
H3(s)
H1(s)
Y(s)
H2(s)
+-+ G3(s) +-
+
H4(s) H5(s)
R(s)
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Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 6
Medio grfico para representar las relaciones de entrada salida de unconjunto de elementos
Nodos: (Representa a una variable o seal)Puntos de unin que se utilizan para representar las variables de unsistema de control. Pueden representar la salida de una bifurcacin osuma de los diagramas de bloques.
Ramas:Segmentos lineales que conectan a dos nodos. Tienen ganancias(transmitancias) y direcciones asociadas a ellas. La seal que pasa por unarama, slo se puede transmitir en la direccin de la flecha.
Transmitancias:Representan una funcin de trasferencia, ganancia o constante, asociadasa las ramas.
Flechas:Indican la direccin de las seales en una rama.
s .s+5
G(s)
Grficas de Flujo de Seal o Flujogramas
Flujogramas:
Elementos que de un Diagrama de Flujo de Seales:
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Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 7
LAZOS (L):Caminos o trayectos cerrados con direccin y sentido,
sin pasar ms de una vez por un mismo punto o nodo. Laganancia del lazo es el producto de todas lastransmitancias de las ramas involucradas.
LAZOS DISJUNTOS:Son aquellos Lazos que no tienen ningn nodo ni otro
elemento en comn. Su ganancia es el producto de todaslas transmitancias de las ramas involucradas
TRAYECTOS DIRECTOS (T):Caminos o trayectos desde un nodo de inicio hasta un
nodo de salida, a travs de ramas con la misma direccin,sin pasar mas de una vez por un mismo nodo. Su gananciaes el producto de todas las transmitancias de las ramasinvolucradas
Grficas de Flujo de Seal o Flujogramas
Otros Elementos dentro de un Flujograma
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Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 8
1 1/S 0.25S 1.25 1/SS .
S+1
-1/4 -4.25
1/s
0.75
S+1
0.45
Y(s)R(s) 1
1 1
1 S+1 5S 0.2 5S
s_
s+2
2S -3
-4/S
12
S+1 0.15S
C(s)X(s) 1
0.752
R(s) Y(s)
Ejemplos de Flujogramas
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Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 9
Trasformacin de Diagrama De Bloques a Flujograma
Premisas Generales:
Los sumadores de un DDB sern Nodos en el Flujograma.
Las bifurcaciones presentes en el DDB, sern nodos delflujograma
Las ganancias de los bloques funcionales, representantransmitancias en el Flujograma.
Los signos presentes en los sumadores presentes en elDDB, deben transferirse a las transmitancias en elflujograma.
Los puntos de seal de entrada y/o salida se puedenconsiderar como nodos del flujograma.
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Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 10
Trasformacin de Diagrama De Bloques a Flujograma
G1(s) +- G2(s)+--
H2(s)
H1(s)
R(s) Y(s)
1 G1 G2 1
-H1
-1
-H2
Y(s)R(s)
Ejemplo
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Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas.
Transformacin de Flujograma a Diagrama de Bloques
Premisas Generales
Las Transmitancias sern bloques funcionales del Diagramade Bloques.
Los Nodos del Flujograma sern:
a) Sumadores: Si entran varias seales y una o variasseales salen
b) Bifurcaciones: Si entra una sola seal y salen varias
Los signos asociados a las transmitancias se deben transferira los sumadores en el diag. de Bolques, en los caso que aplique.
Diap. I - 11
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Tema I: Diag Bloques, Flujogramas.
Transformacin de Flujograma a Diagrama de Bloques
Ejemplo
Diap. I - 12
1 1/S S (s+1) 1/S
-1/4
0.75
Y(s)R(s)
-1 1
1/s
S+1
-+-R(s) 1
s ++ s (s+1) 1
s
1
4
0.75
1
s
(s+1)
++
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Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 13
Se basa en el uso del lgebra de bloques para agrupar y sustituir partes de undiagrama inicial por equivalentes reducidos. Realizando esto en forma sucesiva, selogra llevar el problema inicial a un slo resultado o bloque, el cual representar lafuncin de transferencia entre las seales involucradas.
+- ++A
B
A-B A-B+C
C
++ +-A
C
A+C A-B+C
B
12
+-A
B
A-B+C+C
+- +A
C
A-B A-B+C
B
+
3
A AG1G1(s) G2(s)
AG1G2A
AG2G2(s) G1(s)
AG1G2AG1
G1(s) G2(s)AG1G2
4
G1(s)G2(s)AG1G2
5AG1
G1(s)A
++
G2(s)
AG1+ AG2
G1(s)+G2(s)
AG1+ AG26
AGG(s)
A+-
AG-B
B
+-A
G(s)AG-B
1/G(s) B
A-B/G
B/G
Reduccin de Diagramas de Bloques
Algebra de diagramas de bloques: Representa las equivalencia que existen entre un conjunto de elementos de un
diagrama de bloques agrupados en una forma especfica.
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Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 14
7
+-A G(s)
AG-BG
B
A-B
AGG(s)A +-
AG-BG
BGG(s)B
8AG
G(s)A
AG
AG
AGG(s)
A
G(s)AG
9AG
G(s)A
A
AGG(s)
A AG
A1/G(s)
10
A A-B
A-B
+-B
A
A-B
+-
+
B
-
B
A-B
11AG1+AG2
G1(s)A
G2(s)AG2
+-A
G2(s)G1(s)
+-
AG1+AG2G1(s)
AG1 +-A
G(s)B
H(s) B
12
+-
AH(s)
AG-B
B
G(s). 1 . H(s)
+-A
G(s)B
H(s) B
13
G(s) .1G(s)H(s)
BA
14
G(s) .G(s)+H(s)
BA+-A BG(s)
H(s)
Reduccin de Diagramas de Bloques Alg. De Bloques
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Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 15
G1(s)+--
H1(s)
G2(s) .1+G2(s)H2(s)
Cascada
R(s)
Y(s)
+--
H1(s)
G1(s)G2(s) .1+G2(s)H2(s)
R(s) Y(s)
G1(s) +- G2(s)+--
H2(s)
H1(s)
R(s)Realimentacin
Y(s)Y(s)
R(s)
+-
H1(s)
G1(s)G2(s) .1+G2(s)H2(s)
+-
Realimentacin
H1(s)
R(s) Y(s)
+- G1(s)G2(s) .
1+G2(s)H2(s))()(1
)()(1
)()(1
)()(
21
21
21
21
sHsG
sGsG
sHsG
sGsG
G1(s) +-+--
H2(s)
H1(s)
R(s) Y(s)
G2(s)
Ejemplo de Reduccin de Diagramas de Bloques
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Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 16
H1(s)
R(s)
Y(s)
+- G1(s)G2(s) .
1+G2(s)H2(s) )()()()(1
)()(
2121
21
sHsGsGsG
sGsG
Realimentacin
Y(s)G1(s)G2(s) .1+G2(s)H2(s) )(
)()()()(1
)()(1
)()()()(1
)()(
1
2121
21
2121
21
sHsHsGsGsG
sGsG
sHsGsGsG
sGsG
R(s)
Y(s)R(s)
)()()()()()(1
)()(
1212121
21
sHGsGsHsGsGsG
sGsG
Solucin
Ejemplo de Reduccin de Diagramas de Bloques
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Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 17
Permite la determinacin de las relaciones entrada-salida o entre seales deun flujograma mediante cierta inspeccin.
kkT
sR
sY
)(
)(
Elementos de la frmula de Ganancia de MasonTk : K-simo trayecto directo desde R(s) (entrada) hasta Y(s) (salida).
Ganancia entre Y(s) y R(s).
k : K-simo cofactor del determinante para cada trayecto directo.: Determinante del flujograma.
Las siguientes ecuaciones se aplican para determinar Tk , k y
Trayecto:Tk = Ganancias de los trayectos directos que van desde R(s) a Y(s)
54321
GGGGGTk
Frmula de Ganancia de Mason
Frmula de Ganancia de Mason en el Clculo de Funciones de transferencias
1 1/S 0.25S 1.25 1/SS .
S+1
-1/4 -4.25
1/s
0.7
5
S+1
0.4
5
Y(s)R(s) 1
1 1
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Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 18
gfedfedcbak LLLLLLLLLL1
*
L : Lazo que no toca al trayecto K
Cofactor:
k = 1 - de lazos individuales que no tocan al k-simo trayecto directo+Sumatoria de lazos disjuntos que no tocan al k-simo trayecto directo- Sumatoria del producto de grupos de tres lazos que no se toquen entreellos y que no tocan al k-simo trayecto directo+ Sumatoria del producto de grupos de cuatro lazos que no se toquenentre ellos y que no tocan al k-simo trayecto directo - ...
Determinante:= 1 - Sumatoria de lazos individuales + Sumatoria de lazos disjuntos
- Sumatoria del producto de grupos de tres lazos que no se toquen + - Sumatoria del producto de grupos de cuatro lazos que no se toquen + ...
gfedfedcba
LLLLLLLLLL1
Frmula de Ganancia de Mason
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Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 19
L3T1
L2L1
L4
s 1/s 0.25s 2.5 1/s
s
s+1
2s -4.25
1/s
0.75
0.45
Y(s)R(s) 1
11
Y(s)
R(s)=?
Ejemplo 1 de Frmula de Ganancia de Mason
Ejemplo de Aplicacin de la frmula Mason en el clculo de funcin de transferencia
Para la aplicacin de la frmula hay que hallar primero todos los lazos y trayectos.
L5
Trayectorias Directas Tk: (caminos desde la entrada hasta la salida)
)1(625.01
1
15.225.0
11
s
s
s
s
ss
ssT
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Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 20
EJEMPLO (Cont)
Lazos individuales La:
ssss
L 25.125.225.01
1
1125.2)25.4.(
1
15.225.0
2
s
s
s
s
ssL
ssL 468.075.05.225.03
24
1625.01
11
15.225.0
1
ssss
sL
)1(
1281.01
145.0
1
15.225.0
15
ssss
s
ss
sL
Lazos Disjuntos LbLc:
No existen lazos disjuntos ya que todos los lazos individuales tienen al menos un nodo en comn.
Productos Triples de lazos LbLcLd: No hay
Ejemplo 1 de Frmula de Ganancia de Mason (cont)
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Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 21
Determinante del flujograma ( )
gfedfedcba
LLLLLLLLLL1
En este problema los trminos de sumas de productos dobles, triples en adelante son cero por tanto el determinante se transforma en :
aL1
Sustituyendo las ganancias se obtiene la expresin para el determinante
)(154321
LLLLL
)1(
1281.0
1625.0468.0
1125.225.11
2sss
ss
ss
)1(
281.0)1(625.0))1((468.0125.2))1((25.11
2
222
ss
ssssssssss
)1(
281.0625.0625.0468.0468.0125.225.125.1
2
3433423
ss
sssssssss
Agrupando trminos semejantes se obtiene:
)1(
625.0906.0843.2718.1
2
234
ss
ssss
Ejemplo 1 de Frmula de Ganancia de Mason (cont)
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Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 22
Cofactores del Determinante del flujograma ( k )
Habrn tantos cofactores como trayectos directos existan.En este ejemplo existe slo un trayecto directo, por tanto hay nada mas un cofactor ( 1)
El cofactor es igual al pero sin los lazos que tocan al trayecto. Todos los lazos tocan alnico trayecto, por tanto: )(1
543211LLLLL
11
Aplicando la Frmula de Mason
kkT
sR
sY
)(
)( 11
)(
)( T
sR
sY
)1(
625.0906.0843.2718.1
1)1(
0625
)(
)(
2
234
ss
ssss
s
s
sR
sY
625.0906.0843.2718.1
625.0
234
3
ssss
s
625.0906.0843.2718.1
625.0
)(
)(
234
3
ssss
s
sR
sY
Ejemplo 1 de Frmula de Ganancia de Mason (cont)
Sistemas DinmicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 23
1 G1 G2 1
-H1
-1
-H2
Y(s)R(s)
T1
L1
L2L3
Ejemplo 2 de Frmula de Ganancia de Mason
Trayectorias Directas Tk: (caminos desde la entrada hasta la salida)
2121111 GGGGT
Lazos individuales La:
1211211HGGHGGL
22222HGHGL
212131 GGGGL
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Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computacin y Sistemas
Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 24
Lazos Disjuntos LbLc ,Triples LbLcLd , etc :
No existen lazos disjuntos ya que todos los lazos individuales tienen al menos un nodo en comn.
Determinante del flujograma
Este problema los trminos de sumas de productos dobles, triples en adelante tambin son cero por tanto el determinante se transforma en :
aL1
)(1321
LLL
Ejemplo 2 de Frmula de Ganancia de Mason (cont)
gfedfedcba
LLLLLLLLLL1
0 0 0
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Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 25
Sustituyendo las ganancias se obtiene la expresin para el determinante
)(12122121
GGHGHGG
21221211 GGHGHGG
Cofactores del Determinante del flujograma
Habrn tantos cofactores como trayectos directos existan.En este ejemplo existe slo un trayento directo, por tanto hay nada mas un cofactor ( 1)El cofactor es igual al pero sin los lazos que tocan al trayecto T1. Por tanto, 1 queda dela siguiente forma ya que todos los lazos tocan al trayecto 1:
)(13211
LLL
11
Ejemplo 2 de Frmula de Ganancia de Mason (cont)
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Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 26
Ejemplo 2 de Frmula de Ganancia de Mason (cont)
Finalmente se Aplica la Frmula de Mason
kkT
sR
sY
)(
)(
11
)(
)( T
sR
sY
2122121
21
1
)1()(
)(
)(
GGHGHGG
GG
sR
sY
)(1)(
)(
12112
21
GHHGG
GG
sR
sYSolucin