TeoJuegos

IntroduccionJuego Star Trek

Teoría de Juegos CuánticosConclusiones

Caso Práctico de

Teoría de Juegos CuánticosAnálisis Clásico VS Análisis Cuántico

Víctor Mejí[email protected]

Escuela Politécnica Nacional

Viernes 16 de abril del 2010

Víctor Mejía Física Aplicada a las Finanzas



Temas a tratar...

1 Introduccion

2 Juego Star Trek

3 Teoría de Juegos Cuánticos

4 Conclusiones




Introduccion

La teoría de juegos ha alcanzado grandes logros en el análisis lainteracción de los actores financieros en situaciones complejas.




Teoría de Juegos

En la teoría clásica se han analizado los escenarios económicosmás representativos, encontrando soluciones generales queimplican el concepto de equilibrio.

Dilema del Prisionero

Duopolio de mercado en base de productos de Cournot.

Duopolio de mercado en base de precios de Bertrand.

Duopolio de Stackelberg.




Dilema del Prisionero

Ejemplo de juego clásico con dos equilibrios de Nash, uno deellos inestable.




Duopolio de mercado en base de productos de

Cournot

Considera las acciones de los otros agentes del mercado comoun dato, sin tener en cuenta la influencia de sus propiasacciones. Comportamiento “ingenuo”




Duopolio de mercado en base de precios de

Bertrand

Considera las acciones de los agentes enfocadas a una batallapor precios y no por productos. Comportamiento “agresivo”




Duopolio de Stackelberg

Considera las acciones del lider del mercado el cual es seguidopor un competidor a la espera de sus decisiones.Comportamiento “Simon say”




Juego a analizar hoy...

Primero Picard coloca un electrón con el espín Arriba ycambia de turno; le toca a Q luego Picard y finalmente mueveQ; cada uno decide darle o no la vuelta al espín del electrón. Qgana si al final el espín del electrón esta “arriba”.




Voltear o No Voltear

Tanto Picard como Q, no pueden saber si el otro volteó o noel espín del electrón. Es un juego de información incompleta.Solamente al final les está permitido mirar (medir) el estadodel electrón para saber quien ha ganado.




Un juego de prueba

El juego siempre comienza con el electrón con su espín“Arriba”




Un juego de prueba

El primer turno es de Q, quien decide voltear el electrón,dejando su espín en estado “Abajo”




Un juego de prueba

El segundo turno es de Picard, quien decide no voltear elelectrón, dejando que su espín se mantenga en estado “Abajo”




Un juego de prueba

El tercer y último turno es de Q, quien decide no voltear elelectrón, dejándolo finalmente en el estado “Abajo”.

En este juego de prueba, Picard ha ganado.Víctor Mejía Física Aplicada a las Finanzas



Un juego de prueba

El desarrollo de este juego de prueba puede ser representadopor la siguiente cadena:

U ↑ D ↓ D ↓ D ↓




La matriz de pagos

Si representamos con 1 la ganancia y con -1 la pérdida,podemos elaborar la siguiente matriz de pagos con todas lasposibilidades de Picard y Q:

QNN NF FN FF

PicardN -1, 1 1,-1 1,-1 -1, 1

F 1,-1 -1, 1 -1, 1 1,-1




Análisis Clásico

De acuerdo con las herramientas del análisis clásico de teoríade juegos, no existen estrategias dominantes y tampoco existeun equilibrio de Nash en estrategias puras.

QNN NF FN FF

PicardN -1, 1 1,-1 1,-1 -1, 1

F 1,-1 -1, 1 -1, 1 1,-1




Estrategias Míxtas

El teorema de Nash garantiza la existencia de al menos unequilibrio de Nash en estrategias mixtas. En este juego existenmúltiples equilibrios de Nash, determinados por las siguientesdistribuciones de probabilidad:

EN =

{

1

2,1

2, p(NN),

1

2− p(NN),

1

2− p(FF ), p(FF )

}




Estrategias como matrices

Es natural definir un espacio vectorial V de dos dimensionescon bases (U,D) y representar las estrategias de los jugadorespor matrices de dos por dos. Para la estrategia de voltear elespín tenemos:

F =

(

0 11 0

)

Y para la estrategia de no voltear el espín estará representadapor la siguiente matriz:

N =

(

1 00 1

)




Estrategias mescladas

Una estrategia mezclada consiste en una combinación lineal deF y N, la cual actúa como una matriz de 2x2:

(

1 − p p

p 1 − p

)

Si el jugador voltea el espín con probabilidad p ∈ [0, 1]. Unasecuencia de acciones mezcladas pone el estado del electrón enuna combinación lineal convexa

aU + (1 − a)D, 0 ≤ a ≤ 1




Notación cuántica de las estados Up y Down

En la notación estándar de Dirac la base de V está escrita así:

(|U〉 , |D〉)

Un estado cuántico puro para el electrón es una combinaciónlineal de la siguiente forma:

a |U〉+ b |D〉 , a, b ∈ C , aa + bb = 1

lo cual significa que si el espín es medido, el electrón estará enel estado arriba con probabilidad aa.




Primera acción de Q en el juego

Puesto que el electrón empieza en el estado |U〉, este es elestado del electrón si la primera acción de Q es la operaciónunitaria:

U1 = U(a, b) =

(

a b

b −b

)




El turno de Picard

Picard esta usando una estrategia probabilística clásica en lacual es voltea el espín con probabilidad p. Después de suacción el electrón está en un estado cuántico mezclado, enotras palabras, están en el estado puro

b |U〉+ a |D〉

con probabilidad p, y en el estado puro

a |U〉+ b |D〉

con probabilidad 1 − p.




Resultado del primer turno

El electrón empieza en el estado puro:

ρ0 = |U〉〈U|

y la primera acción de Q aplicarlo al estado puro:

ρ1 = U1ρ0U1 =

(

aa ab

ba bb

)




Resultado del segundo turno

Los acciones mezcladas de Picard actúan en esta matriz dedensidad, no como una matriz estocástica de un estadoprobabilístico, sino como una combinación lineal convexadeterminista de transformaciones:

ρ2 = pFρ1F + (1 − p)Nρ1N =

(

pbb + (1 − p)aa pba + (1 − p)ab

pab + (1 − p)ba paa + (1 − p)bb

)




Resultado del tercer turno

Puesto que Q no puede hacer nada mejor para ganar conprobabilidad 1, esta es su estrategia cuántica óptima:

[pF + (1 − p)N], [U(1√2,

1√2),U(

1√2,

1√2)]

la cual es un equilibrio mezclado cuántico con valor -1 paraPicard, y es por ello que pierde todas las ocasiones.




Juego de dos jugadores

Un juego cuántico de dos jugadores se representa mediante lossiguientes elementos:

(H, ρ, SA, SB ,PA,PB)

H Es el espacio asociado de Hilbert del sistema físico querepresenta al juego.

ρ Es el estado inicial del sistema físico y pertenece alconjunto de todos los posibles estados en el espacioasociado.

SA, SB Son los conjuntos de las posibles operaciones cuánticasque se pueden aplicar al sistema físico.

PA,PB Son las funciones de utilidad de cada uno de los jugadores.Víctor Mejía Física Aplicada a las Finanzas



Estrategia cuántica

Los elementos de los conjuntos SA, SB se denominanestrategias cuánticas, y representan sendas operaciones físicasque se pueden realizar sobre el sistema para alterar su estado.

sA ∈ SA, sB ∈ SB

El juego inicia en el estado ρ y mediante la aplicación de laestrategia (sA, sB) cambia al estado σ cuyo pago estárepresentada por el par (PA,PB).

ρ −→ (sA, sB) −→ σ =⇒ (PA,PB)




Dominación Cuántica

El concepto clásico de estrategias estrictamente dominadas semantiene en los juegos cuánticos. Una estrategia cuántica sAse denomina una estrategia cuántica dominada por laestrategia sB , si se cumple que:

PA(sA, s′

B) ≥ PA(s

′

A, s ′

B)

A la pareja de estrategias (sA, sB) se la llama un equilibrio deestrategias cuánticas dominantes, si cada una de lasestrategias son estrategias cuánticas dominantes.




Equilibrio de Nash en Estrategias Cuánticas

Una combinación de estrategias (s∗A, s∗

B) se llama Equilibrio de

Nash si se cumple simultáneamente que:

PA(sA, sB) ≥ PA(s∗

A, sB)

y

PB(sA, sB) ≥ PA(sA, s∗

B)

La estrategia de Nash (s∗A, s∗

B) en estrategias cuánticas es la

mejor respuesta que puedan elegir los jugadores en un juegocuántico.




Moraleja

La lección del ejemplo anterior es que la teoría cuántica nosofrece, al menos para este tipo de juegos, una clara ventajasobre las estrategias clásicas. Por lo tanto, es una propuestapráctica y válida para el campo de la teoría de juegos. En elnuevo campo de teoría de juegos cuánticos, hay dos preguntasque guían la investigación:

Bajo que condiciones un jugador puede tener ventaja alutilizar estrategias cuánticas,

Qué tipos de juegos pueden clasificarse comoexclusivamente juegos cuánticos, sin contrapartida clásica.




Investigación en Economía

Definición de tipos de juegos y casos de estrategias donde serequieren nuevos puntos de vista. Las soluciones clásicas hanalcanzado un límite o no son capaces de dar respuestasóptimas.




Investigación en Física

Construcción de modelos cuánticos más cercanos a lascondiciones de los juegos económicos, que reflejen lascomplejas interrelaciones entre los agentes y sus beneficios.




Investigación en Computación

Creación de algoritmos y programas más eficientes y rápidospara el cálculo numérico que requieren las soluciones de losjuegos cuánticos. Disminuir notablemente el poder de cálculorequerido actualmente para la complejidad NP




Temas tratados

1 Introduccion

2 Juego Star Trek

3 Teoría de Juegos Cuánticos

4 Conclusiones




Caso Práctico de

Teoría de Juegos CuánticosAnálisis Clásico VS Análisis Cuántico

Víctor Mejí[email protected]

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Viernes 16 de abril del 2010


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