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7/17/2019 Teorema de Euler
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Teorema de Euler
Para el teorema referido a las relaciones numéricas en un poliedro, véase Teorema de poliedros de Euler .
Para el teorema referido a las funciones homogéneas, véase Teorema de Euler sobrefunciones homogéneas.
Leonhard Euler (1707-1783).
En teoría de números el teorema de Euler , también conocido como teorema de Euler-Fermat, es uno reerente a números com!uestos an"lo#o al 1 !e$ue%o teorema de &ermat, 'como tal airma una !ro!osicin sobre la diisibilidad de los números enteros. El teorema
establece $ue*
Si y son enteros primos relativos, entonces divide al entero
Leonhard Euler (1736)
sin embar#o, es m"s común encontrarlo con notacin moderna en la si#uiente orma*
Si y son enteros primos relativos, entonces .
Leonhard Euler (1736)
donde es la uncin + de Euler
Índice
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7/17/2019 Teorema de Euler
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• 1 &uncin + de Euler
• /on#ruencias
• 3 rueba del teorema de Euler
• 2elacin con el eorema de &ermat
• 4 2eerencias
o 4.1 5e !ueden consultar
Funcin ! de Eulereditar
Artículo principal:*&uncin + de Eulalio
| Funcin ! de Eulalio""
5i es un número acío, la cantidad de retrasadas enteras entre ' $ue son !rimos
relatios con se denota como *
Valor
de
Coprimos con
entre y Función
1 1 1
2 1 1
3 1,2 2
4 1,3 2
5 1,2,3,4 4
6 1,5 2
7 1,2,3,4,5,6 6
8 1,3,5,7 4
+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+ 1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
7/17/2019 Teorema de Euler
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9 1,2,4,5,7,8 6
10 1,3,7,9 4
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60
6 la uncin se le conoce como la funcin de Euler . al uncin es multiplicativa*si ' son !rimos relatios, entonces
.
odemos eriicarlo con la tabla dada arriba*
"on#ruenciaseditar
Artículo principal: /on#ruencia
El otro conce!to inolucrado en el teorema de Euler es elde con#ruencia. En teoría de números, se dice $ue dosnúmeros , son congruentes res!ecto a un mdulo ,cuando diide al entero . La con#ruencia de, res!ecto al mdulo se simbolia
como
La con#ruencia de números se com!orta de manerasimilar a una i#ualdad (ormalmente, es una relacin dee$uialencia)*
•
5i entonces*
' !ara cual$uier entero . Esdecir, se !uede sumar o multi!licar una mismacantidad a ambos lados de una con#ruencia ' se!resera la relacin.
• 5i ' enton
ces . Es otras !alabras, larelacin, como toda relacin de e$uialencia, estransitia.
• /omo cual$uier otra relacin de e$uialencia,
si ,
entonces , es decir, la relacin
es simétrica. 6dem"s, !aratodo entero , es decir, la relacin es releia.
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9n e:em!lo sencillo !ara entender la aritmética concon#ruencias lo !ro!orciona un relo: de manecillas, 'a$ue las horas en un relo: se com!ortan comocon#ruencias mdulo 1. or e:em!lo, las 14 ' las 3horas son indicadas !or la misma !osicin en el relo:;esta e$uialencia se escribiría como
•
' se obtiene de $ue 1 diide a 14-3.
5i ahora el relo: marca las 4, dentro de 30 horas marcar"las 11, !or$ue 1 diide a 34-11 < ' así*
• .
9na !articularidad de las con#ruencias, $ue la dierenciade la i#ualdad común es $ue, aun$ue !odemos sumar omulti!licar una misma cantidad a ambos lados de una
con#ruencia !reser"ndola, no !odemos hacer lo mismocon una diisin*
• , !ues = diide a -1;
sin embar#o no es cierto $ue .
5in embar#o, ha' un caso es!ecial en el $ue sí es !osibleeectuar tal cancelacin* cuando el actor ' el mduloson !rimos relatios*
• >ado $ue ' el m"imo
común diisor de 4 ' = es 1 (es decir, son !rimosrelatios), entonces !odemos cancelar el 4 '
obtener .
odas estas !ro!iedades aritméticas se !ueden obtenercon sencille si se tiene en cuenta $ue las con#ruenciasson relaciones de diisibilidad.
$rue%a del teorema de Eulereditar
La !rueba ori#inal del teorema de Euler, en notacinmoderna, se desarrolla en los si#uientes !asos.
asos !enerales "#emplo con n $ 8% a $ 3
Consideremos el conjunto P de los enteros
menores que n y coprimos con nConsideremos el conjunto P = 1,3,5,7!
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"ultipliquemos c#d# elemento del conjunto P por
a p#r# $orm#r el conjunto %Construimos el conjunto % = 3,9,15,21!
&os elementos del conjunto % son con'ruentes #
los del elemento P (en di$erente orden)*
3+3 (mod 8), 9+1 (mod 8), 15+7 (mod 8), 21+5
(mod 8)
e# u el producto de los elementos de P, y se# v el
producto de los elementos de % u= 1-3-5-7 = 105, v=3-9-15-21=8505
&os n.meros u y v son con'ruentes pues sus
$#ctores son con'ruentes/ v+u (mod n)8505+105 (mod 8)
l entero v es i'u#l # u multiplic#do por a(n)/v=u·a(n)
= 3-9-15-21 = (3-1)(3-3)(3-5)(3-7) = 34- (1-3-5-7)= 3(8)-105
C#ncel#mos el $#ctor u en l# con'ruenci# v≡u
(mod n)/ u·aφ(n) ≡u (mod n)3(8)-105+105 (mod 8)
Concluimos #φ( n )+1 (mod n) 3(8) +1 (mod 8)
Es im!ortante recalcar $ue la cancelacin slo es !osible
!uesto $ue u ' n son !rimos relatios. >e manera similar,el tercer !aso (los elementos de ? son con#ruentes a losde ) slo !uede obtenerse debido a$ue a ' n son !rimos relatios.
@tra manera de demostrar el teorema de Euler es erlocomo corolario del teorema de La#ran#e. Este teoremadice $ue si# es un #ru!o con $ elementos entonces a$ %e,siendo e el neutro del #ru!o #. En nuestro caso, el#ru!o # sería el de los enteros inertibles mdulo n; el
tama%o de este #ru!o es :ustamente .
>e hecho, la !rimera demostracin $ue se dio del
teorema de Euler !uede ada!tarse "cilmente !ara !robar el teorema de La#ran#e en el caso de los #ru!osabelianos.
9na a!licacin del teorema de Euler es en la resolucinde ecuaciones de con#ruencia.
or e:em!lo, se desea encontrar todos los números & $uesatisacen
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en otras !alabras, todos los números $ue almulti!licarlos !or 4, de:an residuo en la diisin !or1. @ de otra orma, todos los números tales $ue1 diida a 4-.
El Teorema de Euler dice $ue
!or lo $ue, multi!licando ambos lados de la
ecuacin !or *
Entonces, la conclusin es $ue, cual$uier
número $ue al diidirse !or 1 ten#a residuo10, ser" una solucin de la ecuacin. 5e!uede eriicar con un e:em!lo. 5i se diide3 entre 1, el residuo es 10, !or lo$ue debe uncionar como solucin.ara eriicarlo, se diide 3A4<170 entre 1,obtenemos un cociente 1 ' un residuo ,como se es!eraba.
&elacin con el Teorema deFermateditar
Artículo principal: e$ue%o teorema de &ermat
El eorema de Euler es una #eneraliacindel teorema de &ermat $ue establece*
Si es un n'mero primo y es un entero, entonces divide al n'mero
$ierre de Ferm
&ermat estableci tal resultado en una carta a&rénicle de Bess', !ero como era usual en él,omiti la !rueba del mismo*
out nomre premier mesure in$#illilement une des puiss#nces 1 de quelque pro'ression que ce soit, et
lepos#nt de l# dite puiss#nce est sousmultiple du
nomre premier donn 1* (***) t cette proposition est
'nr#lement r#ie en toutes pro'ressions et en tous
nomres premiers de quoi je ous enoierois l#
dmonstr#tion, si je n:#ppr;endois d:<tre trop lon'*
odo n.mero primo mide un# de l#s potenuno de cu#lquier pro'resin en l# que el e
un m.ltiplo del primo d#do menos uno* (*
proposicin es 'ener#lmente ciert# p#r# to
pro'resiones y todos los n.meros primos
l# prue#, si no temiese que es dem#si#do
ierre de &ermat
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Co ue sino hasta $ue Euler !rob suteorema, $ue $ued demostrado el resultadode &ermat, !ues es un corolario del teoremade Euler. En notacin de con#ruencias, elteorema de &ermat establece $ue
Si es un n'mero primo y es un entero no divisi%le por ,entonces .
$ierre de Ferm
En la airmacin ori#inal de &ermat, no sehace e!lícita la su!osicin de $ue 'son !rimos relatios. >ado $ue si es unnúmero !rimo, todos los
números son !rimosrelatios con , se cum!le
$ue ' !or tanto el teoremade &ermat es una consecuencia directa delteorema de Euler. or ésta ran al teoremade Euler se le conoce en ocasiones comoteorema de Euler-&ermat.
&e*erenciaseditar
1. Doler arriba Fones, Burton G.* Heoríade los númerosI Editorial &. rillas, 5,6.Jéico !"#. 4K
Se pueden consultar editar
• 6ndres, Meor#e E. (1KK). 'umber
Theor( . >oer. 0-8=-=84-8.
• /ohn, Nare' (1K80). Advanced 'umber
Theor( . >oer. 0-8=-=03-O.
• ErdPs, aul; 5ur"n'i, Fanos(003). Topics in the theor( ofnumbers (a ed. edicin). Ce QorR*5!rin#er. 0-387-K430.
• 6mabda Ber#eron; >aid Ghite(17). Hranscri!cin de la carta de ierrede &ermat a &rénicle de Bess'.I (!d)./onsultado el de se!tiembre de 007.
/ate#orías*
• eoremas de teoría de números
• 6ritmética modular
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• eoremas e!nimos de las matem"ticas
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