Re[Escriba texto] [Escriba texto] [Escriba texto]
Teorema de Pitágoras Problemas de aplicación
En el siguiente documento se desarrolla el Teorema de Pitágoras a través de la resolución de
problemas de la vida cotidiana en donde sea necesaria su aplicación.
REVISTA DIGITAL: Aprendamos Matema ticas
Nú mero2
Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.
1 INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
Gran parte del conocimiento matemático fue desarrollado en civilizaciones antiguas como
Babilonia, Grecia, Egipto, China, India, árabe y Maya. Cada una desarrolló su propio sistema de
Numeración, y se interesaron por resolver problemas propios de la época.
La civilización griega nace alrededor de dos mil ochocientos años a.C, fue cuna de grandes
matemáticos y pensadores como Thales de Mileto, Pitágoras de Samos y Aristóteles, entre otros.
Los siglos cinco y cuatro a.C. corresponden al apogeo de grandes ciudades como Esparta y Atenas.
Ellos se preocuparon por resolver problemas de área y volumen de distintas figuras y cuerpos, lo
cual se ve reflejado en su asombrosa arquitectura, con edificios como el Partenón y el Erecteion.
Figura N°1: Partenón y Erecteion
Pitágoras (1582 – 1500 a.C) fue un matemático, músico y filósofo
griego nacido en la Isla de Samos. Cerca del año 1530 se estableció en la
isla de Crotona, al sur de Italia, en donde fundó su escuela Pitagórica. Él
y sus discípulos constituyeron una secta en la cual, el principio
fundamental era que todas las cosas están constituidas por números. El
pentagrama fue el símbolo secreto que los identificaba, ver figura N°2.
La música fue fundamental para ellos, ya que les permitió conectar las
matemáticas y el arte, precisamente, encontraron la proporción
numérica en que se basan las armonías musicales. Figura N°2: Pentagrama
Otro aporte importantísimo de esta escuela a la humanidad, fue el
descubrimiento de los números Irracionales, mateniéndolo por mucho tiempo
en secreto. Sin embargo, se dice que Hipaso de Metaponto, uno de sus
miembros, rompió el silencio, y ante tal acto de desobediencia, fue expulsado y
ejecutado; aunque también existen otras versiones, como una en donde se dice
que los pitagóricos hicieron una tumba con su nombre, indicando que estaba
muerto para ellos. Además, su estudio de la Escuela Pitagórica en el área de la
geometría es sumamente valioso, uno de sus legados más reconocidos es el
famoso Teorema de Pitágoras, que a continuación nos proponemos estudiar.
Figura N°3: Pitágoras
Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.
2 ÍNDICE
ÍNDICE
Introducción……………………………………………………………………………………………….1
1. Chocolates y Matemáticas…………….…………………………….………………………………3
2. Generalizando un poco: El Teorema de Pitágoras…….……………………………….5
3. Cálculo de medidas: Problemas de aplicación
3.1 Comparando velocidades………………..………………………………………………6
3.2 Acceso para todos…………………………………………………………………………..7
4. Movilicemos lo aprendido…………………………………………………………………………10
5. Bibliografía……………………………………………………………………………………………..11
Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.
3 Chocolates y Matemáticas
Chocolates y Matemáticas
Considere la siguiente situación:
“El papá de Anita y Susanita compró tres chocolates de forma cuadrada en el
supermercado. Cuando llegó a su casa, los colocó sobre una mesa y, en ese instante, se
percató de que se podía formar un triángulo rectángulo con los lados de los chocolates,
tal como se muestra en la figura N°4:
Figura 4: Barras de chocolate
Él quiso sacar provecho de esta situación, midió los lados de cada chocolate
determinando que sus medidas eran 3cm, 4cm y 5cm, respectivamente. Luego
llamó a sus dos hijas y les dijo: __”Chicas, aquí hay tres chocolates, uno pequeño,
uno mediano y uno grande, una de ustedes puede elegir el chocolate grande y
la otra el mediano junto con el pequeño, ¿Qué opción prefieren?”__
De acuerdo con la situación planteada anteriormente, conteste:
1. ¿Cuál de las opciones que plantea el papá es la más conveniente? ¿por qué?
2. Si Anita elige comerse el chocolate grande, y Susanita los otros dos, ¿Cuál de las dos come
mayor cantidad?
3. ¿Podrías utilizar un procedimiento matemático que verifique tu respuesta anterior?
Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.
4 Chocolates y Matemáticas
Comprobando resultados
Una estrategia que se puede implementar en la resolución del problema anterior es determinar el
área de cada chocolate y compararlas. Veamos:
Primero que nada, recordemos que para calcular el área de
un cuadrado debemos elevar al cuadrado el lado, es decir:
𝐴∎ = ℓ2
Ahora sí, calculemos el área del cuadrado pequeño 𝐴1:
𝐴1 = 32 = 9
Luego el área del cuadrado mediano 𝐴2:
𝐴2 = 42 = 16
Después el área del cuadrado grande 𝐴3: Figura N°5
𝐴3 = 52 = 25
Finalmente, sumamos las áreas correspondientes al cuadrado mediano y pequeña, para comprar
dicha suma con el área del cuadrado más grande:
𝐴1 + 𝐴2 = 9 + 16 = 25
Es decir: 𝐴1 + 𝐴2 = 𝐴3
Por lo tanto, Anita y Susanita comieron igual cantidad de chocolates.
∎
Del problema anterior se desprende el siguiente resultado:
32 + 42 = 52
Donde, 3 y 4 son los catetos del triángulo rectángulo y 5 es la
hipotenusa.
Figura N°6
Al elevar al cuadrado cada uno de los lados de un triángulo rectángulo
llegamos a la siguiente conclusión: La suma de los cuadrados de los
dos lados menores es igual que el cuadrado del lado mayor.
Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.
5 Generalizando un poco: El Teorema de Pitágoras
Generalizando un poco: El Teorema de Pitágoras
En el problema denominado “Chocolates y Matemáticas”, se probó que la suma de las
áreas correspondientes a los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo,
es equivalente al área del cuadrado descrito por la hipotenusa de dicho triángulo.
¿Se podrá generalizar tal afirmación?, es decir, ¿tal propiedad se cumple para todo
triángulo rectángulo? Bien, para dar respuesta a estas interrogantes a continuación se
presenta el Teorema de Pitágoras:
Figura N°7
Vemos que cuando decimos “la suma de los cuadrados de los catetos”, estamos hablando
de la suma de las áreas de los cuadrados que se forman con los catetos, y cuando indicamos “es
igual que el cuadrado de la hipotenusa”, corresponde al área del cuadrado determinado por la
hipotenusa.
Entonces, Teorema de Pitágoras nos permite generalizar los resultados obtenidos en el
problema de los chocolates y las matemáticas, es decir, en todo triángulo rectángulo siempre se
cumple que la suma de las áreas correspondientes a los cuadrados construidos sobre los catetos
de un triángulo rectángulo es equivalente al área del cuadrado descrito por la hipotenusa de
dicho triángulo.
Por ejemplo:
TEOREMA DE PITÁGORAS
“En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los
catetos es igual que el cuadrado de la hipotenusa”
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.
6 Cálculo de medidas: Problemas de aplicación
52 + 122 = 132
125 + 144 = 169
169 = 169
Figura N°8
Cálculo de medidas: Problemas de aplicación
1. Comparando velocidades
Un avión alza vuelo desde cierto punto en una pista de aterrizaje, 30 segundos después, al
pasar sobre un árbol que se encuentra a 400m del punto de despegue, se encuentra una
altura de 300m; mientras que otro avión que despega del mismo punto, tarda 40
segundos en pasar sobre el mismo árbol, pero a una altura 100m mayor que el anterior.
Ver figura 9
A partir de la información anterior, conteste:
a. ¿La distancia recorrida por los dos aviones es la misma?
b. ¿Cuál es la distancia recorrida por ambas aviones?
c. ¿En cuál de ellos la velocidad es mayor?
Figura N°9
Solución:
Para la primera interrogante, por simple observación, la distancia que recorre el avión
que vuela a una altura mayor, es mayor que la distancia recorrida por el otro, sin embargo, es
preciso comprobar tal afirmación.
Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.
7 Cálculo de medidas: Problemas de aplicación
Eliminamos el cuadrado de la
variable sacando raíz cuadrada
al otro miembro de la ecuación.
Primero que nada debemos acomodar los datos dados en el enunciado, para ello,
construimos un par de triángulos rectángulos que nos permitan visualizar la información para cada
avión. Ver figuras N°10 y N°11.
Figura N°10 Figura N°11
En las figuras anteriores se muestran un par de triángulos rectángulos con las respectivas
medidas de sus catetos y las hipotenusas son incógnitas, precisamente, ellas representan la
distancia recorrida por los aviones, según cada caso. Entonces, el problema requiere del cálculo de
las hipotenusas de ambos triángulos, pero ¿Cómo hacerlo?
Es aquí donde aplicamos el Teorema de Pitágoras que analizamos en el apartado anterior,
el cual nos indica que la suma de los cuadrados de los catetos es igual que el cuadrado de la
hipotenusa. Es decir:
3002 + 4002 = 𝑥2 Para el triángulo de la figura N°10.
4002 + 4002 = 𝑦2 Para el triángulo de la figura N°11.
Ahora bien, tan solo nos queda despejar las incógnitas de ambas ecuaciones:
3002 + 4002 = 𝑥2 4002 + 4002 = 𝑦2
90000 + 160000 = 𝑥2 160000 + 160000 = 𝑦2
250 000 = 𝑥2 320 000 = 𝑦2
√250 000 = 𝑥 √320 000 = 𝑦
500 = 𝑥 400√2 = 𝑦
Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.
8 Cálculo de medidas: Problemas de aplicación
De esta forma, tenemos que el primer avión ha recorrido 500m en 30 segundos, mientras
que el otro 400√2𝑚, aproximadamente 565,69𝑚 en 40segundos, es decir la distancia recorrida
por el segundo es mayor que la distancia recorrida por el primero.
Finalmente, necesitamos saber las velocidades de ambos para saber cuál de ellos va más
rápido que el otro. Recordemos que la velocidad es la distancia recorrida entre el tiempo
transcurrido (𝑣 =𝑑
𝑡), por lo cual se cumple que:
Velocidad del primer avión = 𝑣1 =500𝑚
30𝑠≈ 16,67𝑚/𝑠
Velocidad del segundo avión = 𝑣2 =400√2𝑚
40𝑠≈ 14,14𝑚/𝑠
Por lo tanto, la velocidad del primer avión es mayor que la velocidad del segundo.
∎
2. Acceso para todos
Cierto grupo de ingenieros hizo un estudio sobre la accesibilidad de las distintas áreas del
colegio, para todos los miembros de la comunidad educativa. En tal estudio se indicó que las
rampas construidas no son las apropiadas, ya que su pendiente (inclinación) es muy grande, por lo
cual, para la rampa que da acceso al pabellón de matemáticas sugirieron que su longitud fuera de
al menos 6m.
Si se instala dicha rampa, trabajando con las condiciones sugeridas, y sabiendo que la
altura del terreno es de 1m, ¿Cuál es la distancia que existirá desde dónde empieza la rampa,
hasta el pie de la terraza?
Figura N°13
Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.
9
Solución:
De nuevo hacemos un bosquejo de la situación planteada, tal como lo muestra la figura
N°12.
Figura N°13
En este caso, conocemos la medida de la hipotenusa (longitud de la rampa), un cateto
(altura del terreno), y falta determinar el otro cateto, es decir la distancia desde dónde inicia la
rampa y el pie de la terraza, para ello también empleamos el Teorema de Pitágoras, en este caso
tenemos:
12 + 𝑥2 = 62
Despejamos 𝑥 en la ecuación anterior:
1 + 𝑥2 = 36
𝑥2 = 36 − 1
𝑥2 = 35
𝑥 = √35 ≈ 5,92
Por lo tanto, la distancia que existirá desde dónde empieza la rampa, hasta el pie de
la terraza será, aproximadamente, 5,92m.
∎
Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.
10 MOVILICEMOS LO APRENDIDO
MOVILICEMOS LO APRENDIDO
A continuación se le presentan distintos problemas que requieren de la aplicación del
teorema de Pitágoras para su solución, resuelva cada uno de ellos.
a) Un corredor recorre desde su casa 1500m hacia el norte, luego dobla hacia el oeste y
camina 2000m más. ¿Cuál es la distancia más corta que debe recorrer para devolverse
hasta su punto de partida?
b) Una princesa se encontraba en la torre de un palacio, cuando llegó un príncipe valiente a
rescatarla. Si la ventana de la torre está a 6m de altura y la longitud de la escalera es de
10m, ¿a qué distancia se debe colocar la escalera con respecto a la torre, para que esta
llegue a la ventana donde está la princesa?
c) Desde lo alto del mástil principal de un barco pesquero, de 3m de altura, se amarra una
cuerda hasta cierto punto de la cubierta, ubicado a 2m del pie del mástil. ¿Cuál es la
longitud de la cuerda?
d) Si un cable tensor de 15m de longitud, se amarra desde lo alto de un poste hasta un punto
en el suelo ubicado a 9m del pie del poste, ¿cuál es la altura del poste?
e) Dos ciclistas parten de un punto al mismo tiempo. Si ambos viajan a la misma velocidad
pero uno hacia el este y el otro hacia el sur, y después de media hora la distancia entre
ellos es de 10√2𝑘𝑚, determine:
La distancia recorrida por cada ciclista.
La velocidad de cada uno de ellos.
Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.
11 BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA
Carlomorino. (2010) A pentagram. [Figura] Recuperado de:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagramm_2.svg
Galilea (2005) Pitagora. [Figura] Recuperado de:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AKapitolinischer_Pythagoras.jpg
Gurica. (2009) Tree. [Figura] Recuperado de: http://openclipart.org/detail/21735/tree-by-
gurica
Harrieta171 (2006) Athènes Parthénon. [Figura] Recuperado de:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:2006_01_21_Ath%C3%A8nes_Parth%C3
%A9non.JPG
MM. (2006) Erechteion, seen from SW. [Figura] Recuperado de:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:AteneEretteoDaSW.jpg
Russel. (2010) Plane. [Figura] Recuperado de: http://openclipart.org/detail/74371/plane-by-
russel
Sherman, P. (s.f ) Frog thinking. [Figura] Recuperado de:
http://www.wpclipart.com/cartoon/animals/frog/frog_2/frog_thinking.jpg
Sherman, P. (s.f) Happy guy with mustache. [Figura] Recuperado de:
http://www.wpclipart.com/cartoon/people/men_cartoons/more_men/happy_guy_wit
h_mustache.jpg
Sherman, P . (s.f) Smiley green alien wow. [Figura] Recuperado de:
http://www.wpclipart.com/smiley/alien_smiley/smiley_green_alien_wow.jpg
Sherman, P. (s.f) Two little girl. [Figura] Recuperado de:
http://www.wpclipart.com/cartoon/people/kids/girl_cartoons/two_little_girl_friends.
jpg
Aprendamos Matemática | Mag. Karla Montero S.
12 BIBLIOGRAFÍA
Slate aple benji park. (2011) [Figura] Recuperado de: http://www.public-domain-
photos.com/free-cliparts/education/other/slate-apple_benji_park_01-2630.htm