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ANTECEDENTES

1. INTRODUCCIÓN Geometría (del griego geô, 'tierra'; metrein, 'medir'),

rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su

forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el

cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de

cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica,

geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más

dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.

2. GEOMETRÍA DEMOSTRATIVA PRIMITIVA

El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los

primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del

tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los

edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto,

Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI

a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica

al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría

empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado

de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y

sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento

matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero

arbitrarios.

Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los

matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia

más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de

puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos

axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de

cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de

la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de

los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría

demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus

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correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el

matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El texto de Euclides, a

pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría

hasta casi nuestros días.

3. PRIMEROS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o

figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás.

Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga

que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos

iguales. Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega

se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que

intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen

doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un

cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo

(dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones

es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo

no fue finalmente demostrada hasta 1882.

Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas

conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades

fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias

físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son

fundamentalmente cónicas.

Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable

número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de

ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por

superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método

para calcular una aproximación del valor de pi (ð), la proporción entre el diámetro

y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3

10/70 y 3 10/71.

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CAPÍTULO 1

1. INTRODUCCIÓN Ángulo, porción de plano determinada por dos

semirrectas con origen común.

Las semirrectas que lo forman se llaman lados del ángulo y el punto común,

vértice. Lo que caracteriza a un ángulo es la apertura de sus lados. Si los lados

de un ángulo á están más abiertos que los de otro â decimos que á es mayor

que â.

Dos mismas semirrectas con origen común determinan dos ángulos distintos: el

menor de ellos se llama ángulo convexo y el mayor, cóncavo:

El ángulo convexo no contiene en su interior a las semirrectas opuestas a sus

lados, mientras que el ángulo cóncavo sí las contiene.

Si los dos lados del ángulo son semirrectas de la misma recta, el ángulo que

forman se llama ángulo llano:

Se llama ángulo completo a aquel cuyos dos lados coinciden, y que está

formado por todo el plano.

Los ángulos convexos son menores que un ángulo llano, mientras que los

cóncavos son mayores que un llano.

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Un ángulo recto es el ángulo convexo que tiene sus lados perpendiculares. Los

ángulos convexos mayores que uno recto se llaman obtusos y los menores,

agudos.

Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un lado y el vértice común y están

en distintos semiplanos. En la figura, los ángulos aVb y bVc son consecutivos:

Transportar un ángulo es dibujar otro con la misma apertura que el primero y en

el lugar que se desee. Para ello se puede utilizar el transportador de ángulos,

que es una plantilla graduada con la que se pueden medir ángulos. También se

puede transportar un ángulo aVb a otro lugar del plano con vértice V’ y lado a’

del siguiente modo:

Se abre el compás con un cierto radio y se trazan sendos arcos con centros en V

y en V’. El primero determina dos puntos A y B en los lados de aVb. La distancia

d, entre A y B, se lleva con el compás al segundo arco, determinando así el

punto B’ por el que pasa el segundo lado b’ del ángulo a’V’b’.

Dos ángulos son iguales si al superponerlos (es decir, al transportar uno sobre

otro) coinciden.

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Para sumar dos ángulos se transporta uno de ellos situándolo consecutivo al

otro. El ángulo formado por los lados exteriores es el ángulo suma:

Dos ángulos convexos se llaman opuestos por el vértice si sus lados son

semirrectas opuestas:

Dos ángulos consecutivos cuyos lados exteriores son semirrectas opuestas se

llaman adyacentes:

Al cortar dos rectas paralelas, r y s, por otra recta t se forman ocho ángulos entre

los cuales se dan las siguientes relaciones de igualdad:

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Opuestos por el vértice:

Correspondientes:

Alternos internos:

Alternos externos:

2. MEDIDA DE ÁNGULOS Medir un ángulo es compararlo con otro

que se toma como unidad. La unidad de medida de ángulo más usual es el

grado sexagesimal, que consiste en 1/360 del ángulo completo. La medida de un

ángulo en grados sexagesimales se designa mediante el símbolo ( º ) . Por

ejemplo, un ángulo de 56º.

Un ángulo llano tiene 90º. Los ángulo agudos tienen menos de 90º y los obtusos

más de 90º, pero menos de 180º.

Si la medida de un ángulo es á, su complementario será 90º - á, y su

suplementario 180º - á.

El grado sexagesimal tiene submúltiplos: el minuto, 1/60 de grado, y el segundo,

1/60 de minuto, es decir, 1/3.600 de grado. El minuto se designa ( ‘ ) y el

segundo ( “ ). De tal modo que la medida de un ángulo en grados, minutos y

Hay otras unidades de medida de ángulo, como el grado centesimal y el radián.

El grado centesimal es una centésima de ángulo recto. Sus submúltiplos son el

minuto centesimal (una centésima de grado) y el segundo centesimal (una

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centésima de segundo). Un ángulo dado en grados, minutos y segundos

centesimales se expresaría así: 96g 34m 85s. Estas unidades de medida están

prácticamente en desuso.

El radián (rad) es un ángulo que abarca un arco cuya longitud es igual al radio

con el que ha sido trazado. Su relación con el grado sexagesimal es la siguiente:

180º = ð

unidad de medida de ángulos se utiliza en matemáticas avanzadas.

En el ejército se utiliza la milésima artillera, que es 1/1.600 de ángulo recto y,

aproximadamente, una milésima de radián.

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CAPÍTULO 2

1. INTRODUCCIÓN Triángulo (figura), polígono de tres lados. Según la

longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, si sus tres lados

son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escalenos, si los tres lados

son distintos.

La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son,

necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u

obtuso. Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene

una ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es

obtuso.

2. ALTURAS DE UN TRIÁNGULO

Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento

perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama

altura. Un triángulo tiene, pues, tres bases a, b, c, y las tres alturas

correspondientes, ha, hb y hc.

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual

al producto de los dos segmentos en que la divide:

h2 = m · n

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Esta relación se conoce como teorema de la altura.

Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto

llamado ortocentro. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al

triángulo.

En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser considerado como base y

como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo

es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del

triángulo.

3. MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO

Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que unen un

vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo

se cortan en un punto que se llama baricentro.

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El baricentro corta a cada mediana en dos segmentos, uno de ellos la mitad del

otro.

4. CIRCUNFERENCIA INSCRITA

Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto que se

llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a

los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor circunferencia contenida en el

triángulo.

5. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA Las mediatrices de los lados de un

triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro porque es centro de la

circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo. Esta es la

menor circunferencia que contiene al triángulo

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CAPÍTULO 3

Paralelogramo, cuadrilátero cuyos dos pares de lados opuestos son iguales entre sí. Las propiedades características de los paralelogramos son:

los pares de lados opuestos son iguales;

los pares de ángulos opuestos son iguales;

cada dos ángulos contiguos son suplementarios;

sus dos diagonales se cortan en sus puntos medios.

Los cuadrados, los rectángulos, los rombos y los romboides son

paralelogramos, y sus características son:

Cuadrados: sus cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos son rectos.

Rectángulos: sus cuatro ángulos son rectos.

Rombos: sus cuatro lados son iguales.

Romboides: sus cuatro lados no son iguales y no tienen ningún ángulo recto.

Según la clasificación anterior, los cuadrados son rectángulos y rombos.

En un paralelogramo se llama base a cualquiera de sus lados y altura a

la distancia entre la base y su lado paralelo. El área del paralelogramo es

el producto de la base por la altura.

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Definiciones

Paralelogramo: cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos

Rombo: paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales

Rectángulo: paralelogramo que tiene sus 4 ángulos iguales

Cuadrado: paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales y sus 4 ángulos iguales

Propiedades de los Paralelogramos

1ra. Propiedad.- En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios.

2da. Propiedad.- En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.

3ra. Propiedad.- En todo paralelogramo las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.

4ta. Propiedad.- La diagonal de un paralelogramo lo divide en 2 triángulos congruentes

5ta. Propiedad.- Las diagonales de un rectángulos son iguales.

6ta. Propiedad.- Las diagonales de un rombo son perpendiculares y mediatrices entre sí y además bisectrices son de sus ángulos.

7ta. Propiedad.- Las diagonales de un cuadrado son iguales, perpendiculares y mediatrices entre sí y además son bisectrices de sus ángulos.

Propiedades de las diagonales

Paralelogramos Rectángulos Rombos Cuadrados

Se bisecan entre sí

Son congruentes

Son

perpendiculares

Bisecan los ángulos del vértice

Forman 2 pares de triángulos

congruentes

Forman 4 triángulos congruentes

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CAPÍTULO 4

1. INTRODUCCIÓN Circunferencia, en geometría, curva

plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto

fijo, llamado centro de la circunferencia. No se debe confundir con el

círculo (superficie), aunque ambos conceptos están estrechamente

relacionados. La circunferencia pertenece a la clase de curvas

conocidas como cónicas, pues una circunferencia se puede definir

como la intersección de una superficie cónica con un plano

perpendicular a su eje.

Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos

están en la circunferencia se denomina diámetro. Un radio es un

segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. Una cuerda

es un segmento rectilíneo cuyos extremos son dos puntos de la

circunferencia. Un arco de circunferencia es la parte de ésta que está

delimitada por dos puntos. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice

es el centro y cuyos lados son dos radios.

La proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es

una constante, representada por el símbolo ð, o pi. Es una de las

constantes matemáticas más importantes y desempeña un papel

fundamental en muchos cálculos y demostraciones en matemáticas,

física y otras ciencias, así como en ingeniería. Pi es aproximadamente

3,141592, aunque considerar 3,1416, o incluso 3,14, es suficiente para

la mayoría de los cálculos. El matemático griego Arquímedes encontró

que el valor de ð estaba entre 3 + y 3 + .

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El centro de la circunferencia es centro de simetría, y cualquier

diámetro es eje de simetría.

2. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA

CIRCUNFERENCIA

Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, si no se cortan

(no tienen ningún punto en común), tangentes, si sólo se tocan en un

punto (punto de tangencia), y secantes si tienen dos puntos comunes.

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que

une el centro con el punto de tangencia.

3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias también pueden no tocarse, ser tangentes o ser

secantes según tengan ninguno, uno o dos puntos comunes,

respectivamente. Sin embargo, se pueden precisar más las posiciones

relativas de dos circunferencias según la distancia entre sus centros, d,

y las longitudes de sus radios, r1 y r2:Exteriores: si no tienen puntos

comunes y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus

radios.

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Tangentes exteriores: si tienen un punto común y la distancia entre

sus centros es igual a la suma de sus radios.

Secantes: si tienen dos puntos comunes.

Tangentes interiores: si tienen un punto común y la distancia entre

sus centros es igual a la diferencia de sus radios.

Interior una a la otra: si no tienen ningún punto común y la distancia

entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios.

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Concéntricas: si tienen el mismo centro.

4. CIRCUNFERENCIAS Y POLÍGONOS

La circunferencia inscrita en un polígono regular es la que tiene su

centro en el del polígono y es tangente a todos sus lados. Su radio es

igual a la apotema del polígono.

La circunferencia circunscrita a un polígono regular es la que pasa por

todos sus vértices.

Los triángulos, aunque no sean regulares, tienen siempre

circunferencia inscrita (tangente a sus tres lados) y circunscrita (que

pasa por sus tres vértices). Se llama circunferencia exinscrita a un

triángulo, a la que es tangente a uno de sus lados y a las

prolongaciones de los otros dos.

5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Como ya se ha dicho anteriormente, un ángulo central de una

circunferencia es el que tiene su vértice en el centro de ésta. La

medida de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

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Un ángulo inscrito en una circunferencia es aquel cuyo vértice está

sobre ella y cuyos lados la cortan en sendos puntos. La medida de un

ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Un ángulo semiinscrito en una circunferencia es aquel cuyo vértice, V,

está sobre ella, uno de sus lados la corta y el otro es tangente en V. La

medida de un ángulo semiincrito es la mitad de la del arco que abarca.

En una circunferencia, un ángulo interior es el que tiene su vértice en

el interior de la misma. Su medida es la mitad de la suma de la medida

del arco que abarcan sus lados con el arco que abarcan sus

prolongaciones.

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Un ángulo exterior a una circunferencia es el que tiene su vértice en el

exterior de la misma. Su medida es la semidiferencia de los dos arcos

que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

Algunos de los elementos de una circunferencia son: diámetro,

radio, cuerda y arco. Para experimentar con las propiedades de la

circunferencia, se ata un hilo alrededor de una lata y se mide la

longitud del hilo (longitud de la circunferencia). Utilizando el hilo, se

divide la tapa de la lata en dos partes iguales y se mide la longitud

(diámetro de la tapa). Se divide el valor medido de la circunferencia

(C) por el del diámetro (D); si se repite varias veces esta operación

con distintos objetos circulares, se obtiene siempre un cociente C :D

alrededor de 3:1, sean los círculos grandes o pequeños. Este

cociente se representa con el símbolo ð.

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5

1. Diametro. Es la cuerda que interseca dos puntos de la circunferencia pasando por un punto medio.

2. Radio. Una línea que va del centro del círculos a cualquier punto de la circunferencia.

3. Cuerda. Es el segmento determinado por dos puntos de la circunferencia. 4. Arco. Es una parte de la circunferencia determinado por dos puntos. 5. Secante. Es la recta que pasa por dos puntos de la circunferencia. 6. Tangente. Es la recta que pasa por un punto de la circunferencia.

6

2

4

3

1

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CAPÍTULO 5

1. INTRODUCCIÓN Polígono, porción de plano limitada por una

línea poligonal cerrada. Un polígono queda determinado por sus lados, que son

los segmentos de la poligonal, y por sus ángulos, que son los que forman cada

dos lados consecutivos. El perímetro de un polígono es la suma de las

longitudes de todos sus lados.

El polígono de tres lados se llama triángulo, el de cuatro cuadrilátero, el de cinco

pentágono, el de seis hexágono y, en general, se denomina n-ágono al polígono

de n lados.

Se llama ángulo interior o, simplemente, ángulo del polígono, al que forman dos

lados consecutivos, y ángulo exterior al que forma cada lado con la prolongación

de un lado contiguo. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados

es 180º(n – 2).

Un polígono de n lados tiene n(n – 3)/2 diagonales.

2. POLÍGONO REGULAR

Es el que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales. El triángulo regular

se llama equilátero y el cuadrilátero regular, cuadrado.

Todos los polígonos regulares tienen una circunferencia circunscrita, que pasa

por todos sus vértices, y una circunferencia inscrita, que es tangente a todos sus

lados. El centro de ambas circunferencias, que es el mismo, se llama centro del

polígono. El radio del polígono es el de la circunferencia circunscrita. El radio de

la circunferencia inscrita es la apotema del polígono.

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El radio, R, la apotema, a, y la mitad del lado, l/2, de un polígono regular forman

un triángulo rectángulo:

Por tanto, se cumple que R2 = a2 + (l/2)2

El ángulo interior de un n-ágono regular mide 180º(n – 2)/n. El área de un

polígono regular de n lados de longitud l y apotema a es A = n·l·a/2.1

El polígono, figura plana limitada por al menos tres rectas, toma diferentes formas según el número de lados. Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales entre sí. Esta figura muestra ocho polígonos regulares y sus nombres.

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CAPÍTULO 6

1. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes

entre sus lados.

Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman

catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema

de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo

rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de

los catetos:

a2 = b2 + c2

Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema

del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por

su proyección sobre ella, es decir,

c2 = a · m, b2 = a · n

.

2. CIRCUNFERENCIAS EXINSCRITAS La bisectriz interior de un ángulo se

corta con las dos bisectrices exteriores de los otros dos ángulos en un punto

llamado exincentro, y que es centro de una circunferencia (exinscrita) tangente a

un lado y a la prolongación de los otros dos.

Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas.

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8. ÁREA DE UN TRIÁNGULO El área de un triángulo de lados a, b, c, y

alturas correspondientes ha, hb y hc es:

A = (1/2)a · ha = (1/2)b · hb = (1/2)c · hc

Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el área se puede calcular

mediante la siguente fórmula, llamada fórmula de Herón:

en donde p = (a + b + c)/2 es el semiperímetro del triángulo