Teoria de Circuitos II

Teoría de Circuitos II

Módulo I:

Grafos Orientados

Autores: Yutze Chow

Etienne Cassignol

Flujos de señal

Traducción: Juan Emilio D´Amici

Capítulo 1

Introducción

Desde el punto de vista matemático, un circuito se puede describir por un sistema de ecuaciones lineales. La solución algebraica se puede obtener tanto como por el método del determinante como también por susti-tuciones sucesivas.

Estos métodos algebraicos al fin de cuentas no revelan en la mayoría de los casos el fenómeno físico que existe en el sistema o circuito analizado. La forma ideal de resolver el problema tendría que estar relaciona-do, en cada uno de sus pasos, con la situación física correspondiente; y para la mayoría de nosotros un gráfi-co sería de mucha ayuda en la resolución algebraica del mismo.

La necesidad de un sistema lineal la satisfizo Mason, quien introdujo los grafos de flujo de señal, los cua-les son nuestro principal asunto en esta monografía. Mediante una ligera modificación de las convenciones en los grafos de Mason, Coates pudo introducir una nueva forma de grafo conveniente para el cálculo directo de la ganancia. Sin embargo, nosotros aquí proponemos otro grafo, llamado N-grafo, el cual no sólo agrupa las propuestas de Mason y Coates sino que presenta algunas ventajas.

Este enfoque de los sistemas lineales fue en realidad incorporado en los diagramas de bloque, antes de la aparición de los flujos de señal. Los diagramas de bloque eran en sí de difícil manipulación, aunque, como veremos luego, esto fue principalmente porque su convención era menos conveniente que la de flujos de se-ñal.

Desde el punto de vista de la teoría de circuitos, un circuito lineal puede ser convenientemente analizado en detalle desde su configuración topológica, conjuntamente con algunas leyes básicas del análisis de circui-tos. Los flujos de señal son una propuesta de este tipo. En estos diagramas las diferentes variables del circuito se representan por nodos (por ejemplo: corrientes, tensiones, flujos, etc.), los cuales se encuentran unidos por remas con uno determinado sentido, si existiera alguna relación entre estas variables en el circuito.

Desde el punto de vista matemático, los flujos de señal son una transformación del método del determi-nante por un método topológico. Esto fue desarrollado por muchos autores (3,4,5), y será comprendido por el lector después de nuestro análisis del llamado “Método de duplicación de nodos”.

Capítulo 2

Diagramas de flujo de señal

2.1. Introducción

Supongamos que estamos interesados en un sistema lineal que puede ser descripto matemáticamente por el siguiente sistema de ecuaciones:

donde x0 es la fuente y x1, x2,..., xn son las variables dependientes del sistema. En general en el conjunto de parámetros del sistema, los coeficientes tij son integrodiferenciales. Las ecuaciones se transforman en alge-braicas mediante la transformación de Laplace, con las condiciones iniciales; que modifican los términos tio xo, etc.

Ahora, una representación topológica de un sistema como el (2.1) puede ser realizado por medio de un flujo de señal el cual se encuentra regido por las definiciones y reglas que se establecen en las siguientes sec-ciones. La correspondiente topología entonces, se denomina diagrama de flujo de señal del sistema.

Algunas veces por claridad al grafo correspondiente al sistema completo se lo llama grafo completo, y a cualquier subgrafo de aquel se lo llama grafo parcial del sistema. Sin embargo, en general, se los llama sim-plemente grafos, sin especificarlos como completos o parciales, si no se comete ninguna ambigüedad.

2.2. Definición de nodos, ramas y transmitancias (a) Variables dependientes o independientes son representadas por nodos. (b) Cuando exista alguna relación entre nodos, dada tanto por los parámetros del sistema (esto es impedancia

de la red) o por las leyes físicas que gobiernan al sistema (esto es la Ley de Ohm, de Kirchhoff, etc.), en-tonces se usarán ramas para representar esas relaciones existentes.

Una rama tiene las siguientes propiedades: (i) es una línea recta que une dos nodos; (ii) posee una magnitud que se la denomina transmitancia especificada por un símbolo o número adjunto

el cual es la relación entre los dos nodos; (iii) posee una determinada dirección la cual se indica por una flecha.

La figura 2.1 es un ejemplo de una rama uniendo los nodos x1 y x2, a través de la transmitancia t21. Esta rama, la cual comienza en el nodo x1 y termina en el nodo x2, será denotada por el símbolo x1x2 FIG. 2.1 Rama x1x2

∑=

==n

jjij nixt

0

),...,2,1(0)1.2(

(c) Cuando una rama tiene su flecha apuntando hacia un nodo, llamamos a ésta rama entrante de ese nodo. Cuando una rama sale de un nodo la llamaremos rama saliente de ese nodo.

(d) Un nodo cadena es un nodo el cual tiene una sola rama entrante y una sola rama saliente. Un ejemplo se da en la figura 2.2

FIG. 2.2. Nodo cadena xc

2.3. Dos reglas básicas para el diagrama de flujo Regla para una única rama FIG. 2.3 Regla para una única rama Regla para muchas ramas entrantes FIG. 2.4 Regla para muchas ramas entrantes

Observación: se prefiere usar t21 para representar una transmitancia para la rama x1x2, desde x1 a x2, porque es compatible con la expresión de la impedancia como se puede ver en la figura 2.5 FIG. 2.5 Ley de Ohm

Estas dos reglas son fundamentales en la construcción de bloques de flujo de señal, por la cual podremos derivar todas las operaciones necesarias. Esto se verá más adelante.

2.4. Regla de adición y multiplicación en los diagramas de flujo Regla de adición

Supóngase que tenemos el diagrama de flujo de la figura 2.6 correspondiente a la expresión x2=t21x1+t´21x1 FIG. 2.6 Dos ramas en paralelo

Esta expresión algebraica se puede escribir como

que se corresponde con el gráfico de la figura 2.7

El gráfico de la figura 2.7 representa la combinación de las ramas del gráfico de la figura 2.6, o podemos decir que el gráfico de la figura 2.7 muestra el agrupamiento de los factores. FIG. 2.7 Combinación de dos ramas en paralelo

Entonces podremos decir que: Adición: las ramas en paralelo se pueden reemplazar por una única rama cuya transmitancia es la suma de las transmitancias de las ramas originales, si las ramas tienen el mismo sentido. Regla de multiplicación

Es importante conocer la correspondencia que existe entre los gráficos de flujo de señal y el método alge-braico multiplicaciones sucesivas. Consideremos el ejemplo dado en la figura 2.8. FIG. 2.8 Dos ecuaciones simultáneas

Combinando las dos ramas de la figura 2.8, obtenemos el gráfico de la figura 2.9. FIG. 2.9 Dos ramas en serie

( ) 121212 ' xttx +=

Las dos relaciones de la figura 2.9 pueden ser escritas como x3=t32t21x1 y el correspondiente gráfico de flu-jo de señal se da en la figura 2.10, el cual representa la multiplicación de las ramas de la figura 2.9 FIG. 2.10 Combinación de dos ramas en serie

Ya que el nodo x2 no se encuentra en la figura 2.10, podemos decir que este nodo fue eliminado. Veremos que la regla de multiplicación es esencial en la eliminación de nodos en los gráficos de flujo de señal.

Entonces podemos decir que: Multiplicación: las ramas en serie pueden ser reemplazadas por una única rama cuya transmitancia es igual al producto de las transmitancia de las ramas originales, si todos los nodos intermedios son nodos cadena.

2.5. Más definiciones para los elementos de los gráficos de flujo de señal

Debemos recalcar que las definiciones o convenciones descriptas en las anteriores secciones no están aún completas, aquí introducimos las siguientes: (a) Un nodo fuente es un nodo el cual tiene solamente ramas salientes; se dice que es simple si tiene una solo

rama saliente. (b) Un nodo sumidero es un nodo el cual tiene solamente ramas entrantes; un nodo sumidero simple tiene

sólo una rama entrante.

Un ejemplo de un nodo fuente y un nodo sumidero se da en la figura 2.11. FIG. 2.11 Ejemplo de nodo fuente y nodo sumidero (c) Un bucle es un subgrafo continuo el cual contiene solamente nodos cadenas, como el que se muestra en al

figura 2.12. La ganancia del bucle se define como el producto de todas las transmitancias que concierne al bucle. La ganancia del bucle, T, es t14t21t32t43.

FIG. 2.12 Bucle x1x2x3x4x1 (d) Un autobucle es un bucle el cual contiene solamente un nodo cadena. La transmitancia del autobucle se la

llama a veces auto-transmitancia.

Un ejemplo se da en la figura 2.13 en la cual t22 es la transmitancia del autobucle x2x2. La formación de un bucle de este tipo se discutirá en la sección 4.4.

FIG. 2.13 Autobucle x2x2 con una auto-transmitancia t22

Para un gráfico de flujo de señal, representamos a un autobucle por un punto dentro de un círculo como muestra la figura 2.13, con su transmitancia escrita en paréntesis. El sufijo f se usa para distinguirlo del uso de corchetes. Esta convención es muy conveniente ya que podemos considerar al autobucle como una pro-piedad del nodo. Esto se verá más claro luego en nuestra discusión sobre ‘Duplicación de nodos’(sección 4.4.). (e) Un camino es un subgrafo conexo el cual contiene un solo nodo fuente y un nodo sumidero además de

nodos cadenas, como se muestra en la figura 2.14. Por un grafo conexo se entiende aquel en el cual es po-sible ir desde cualquier nodo del grafo a cualquier otro nodo a través de las sus ramas

FIG. 2.14 Un camino (f) Un camino se denomina camino directo si el nodo fuente y el nodo sumidero que contiene son el nodo

fuente y el nodo sumidero del gráfico completo del sistema (figura 2.15). FIG. 2.15 Un camino directo

Ahora estudiemos el ejemplo del grafo que se muestra en la figura 2.16. Éste consiste de cinco (5) nodos, seis (6) ramas, y un (1) autobucle. A cada nodo se le ha asignado una variable distinta y a cada rama su transmitancia como puede verse en la figura 2.16. Un autobucle se adjunta al nodo x1 con una transmitancia t11. FIG. 2.16 Un ejemplo de grafo de flujo de señal

Para analizar los elementos involucrados en la figura en el lenguaje de flujos de señal, encontramos, de nuestra anteriores definiciones, que hay (i) Cinco nodos (xo, x1, x2, x3, x4) (ii) Seis ramas (xox1, x1x2, x2x4, x1x3, x3x2, x2x3) (iii) Dos caminos directos (xox1x2x4, xox1x3x2x4) (iv) Un bucle y un autobucle (x2x3x2, x1x1)

Observación: en la figura 2.18 el bucle x2x3x2 no es en realidad un autobucle, mientras que x1x1 si es un

autobucle; de acuerdo con la definición de que sólo después de la eliminación de x2 el bucle x2x3x2 se conver-tirá en autobucle. FIG. 2.17 Un camino directo (líneas llena) FIG. 2.18 Un bucle x2x3x2 y un autobucle x1x1 (líneas llena) (g) Nodos esenciales y no esenciales. Un nodo esencial es aquel asociado con un autobucle. Un nodo esen-

cial aislado es un nodo cadena, ya que tiene solamente una rama entrante y una saliente que empieza y termina en el mismo nodo, como se ve en la figura 2.19.

FIG. 2.19 Un nodo esencial aislado es un nodo cadena

Un nodo no esencial es aquel que no está asociado a un autobucle. Es evidente que un nodo cadena es un ejemplo particular de un nodo esencial. (h) Grafo esencial y no esencial. Un grafo esencial contiene solamente nodos esenciales además de nodos

fuente y sumidero. El número de nodos esenciales que contiene tal grafo se denomina el orden del siste-ma por Mason (1). Un grafo no esencial puede contener ambos, nodos esenciales y no esenciales además de nodos fuente y sumidero.

FIG. 2.20 Un grafo esencial

FIG. 2.21 Un grafo no esencial (i) La regla de la auto-transformación. Tomemos primero la ecuación x2=t21x1+t22x2 como un ejemplo de

autobucle, el cual corresponde al grafo de la figura 2.22. FIG. 2.22 Un autobucle

Un segundo ejemplo es el sistema de ecuaciones x3=t32x2 y x2=t21x1+t22x2, que corresponde al grafo de la figura 2.23, en el cual el autobucle puede admitir la transformación que se muestra en la figura 2.24. FIG. 2.23 Un autobucle FIG. 2.24 Autotransformación

Esta transformación se la denomina auto-transformación, y es de suma importancia en la teoría de la re-alimentación. Este autobucle es la simple consecuencia de la reducción del circuito de realimentación, que se verá en la sección 4.4.

Entonces podremos decir que: Un nodo esencial con una rama entrante se puede transformar en un nodo no esencial dividiendo la transmi-tancia de la rama entrante original por el factor (1-tab), donde tab es la transmitancia del autobucle adjunto al nodo esencial

2.6. Clasificación de los grafos de flujo de señal

Debido a subsecuente discusión en esta monografía es conveniente, que introduzcamos aquí una simple clasificación de los grafos de flujo de señal basados en el concepto de la realimentación (a) Un grafo en cascada es un grafo el cual no contiene bucles (o caminos cerrados). Por ejemplo, si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

3432424

2321313

1212

xtxtx

xtxtx

xtx

+=+=

=

con x1 como nodo-fuente, correspondiente grafo es un grafo en cascada (figura 2.25). FIG. 2.25 Un grafo cascada

Matemáticamente, obtenemos por sustitución directa

La reducción del grafo en cascada (que será discutido luego), conduce a una forma residual que contiene

solamente el nodo fuente y el nodo sumidero como muestra la figura 2.26. FIG. 2.26 Forma residual del grafo cascada. (b) Un grafo realimentado se define como aquel que contiene al menos un bucle.

Supóngase el siguiente sistema de ecuaciones:

donde x1 es el nodo fuente, correspondiendo el grafo de la figura 2.27. FIG. 2.27 Un grafo realimentado

Por sustitución directa, tenemos, matemáticamente:

Adviértase que a veces x3 no se puede resolver con operaciones explícitas.

( ) ( )[ ]( )

( )2132433143214241

141

121324331432142

1213213143121424

donde tttttttt

xt

xttttttt

xttxttxttx

++≡

=

++=++=

3332321313

3231212

xtxtxtx

xtxtx

++=+=

[ ]( ) ( )

),( 31

33323321213231

333323121321313

xxdefunción

xtttxttt

xtxtxttxtx

=+++=

+++=

Capítulo 3

Métodos para la construcción de grafos de flujo de señal

3.1. Introducción

En este capítulo, veremos dos métodos para la construcción de grafos. El primero, llamado ‘método direc-to’, es útil cuando se trata de un sistema sencillo. El segundo método, llamado ‘método de los nodos-nulos o ceros’, es a veces más conveniente que el anterior cuando se trata de sistemas más grandes y complejos. Fi-nalmente, se introduce los grafos-C que modificando algunas convenciones gráficas se facilita el cálculo di-recto de la ganancia del sistema (los cuales se discutirán en el Capítulo 5).

Estos dos métodos son algo formales y no serán necesarios si el sistema en cuestión sea sencillo. Cuando el lector se haya familiarizado con los grafos de flujo de señal querrá construir los grafos por inspección dire-cta del circuito, por lo que estos métodos se podrán usar como verificación del grafo construido por sola ins-pección.

En los capítulos siguientes, por simplicidad los grafos se construirán por simple inspección.

3.2. El método directo

Para facilitar la construcción del grafo de flujo de señal de un sistema, será conveniente rearreglar el sis-tema de ecuaciones dado en una forma más usual.

Supóngase que el sistema de ecuaciones que describe el sistema es el siguiente:

donde xj (j≠0) es la variable dependiente y xo la variable independiente (o fuente). El método directo consiste en escribir el sistema de ecuaciones dado en la siguiente forma:

donde aij≡-tij/tii o, en una simple notación, como

donde el apóstrofe sobre el signo de sumatoria significa que j se suma para todos los valores del 1 al n excep-tuando el i-ésimo. La razón por la cual se reescribe el sistema de ecuaciones en esta forma será explicado en detalle en la sección 3.4 (esta convención sólo se aplicará para este método directo).

∑=

==n

jjij nixt

0

),...,2,1(0

∑≠=

==n

ijj

jiji nixax0

),...,2,1(')1.3(

∑=

==n

jjiji nixax

0

),...,2,1(')2.3(

FIG. 3.1. El grafo de la ec.(3.4 a) FIG. 3.2.El grafo de las ecs(3.4 a) y (3.4 b) Para ilustrar este método, tomemos el siguiente sistema de ecuaciones:

donde x0 es la variable independiente o nodo fuente el grafo de flujo de señal (esto es, el generador de tensión o de corriente del circuito). De acuerdo con lo expresado por este método anteriormente, pondremos como primer paso las ecuaciones (3.3 a) y (3.3 b) en la forma estándar (3.1):

Para construir el grafo, podemos empezar por la primera ecuación para así obtener un grafo parcial como

el de la figura 3.1. Luego completamos el grafo tomando la ecuación (3.4 b). Así, el grafo completo se muestra en la figura

3.2.

3.3. Aplicación de los grafos de flujo de señal a algunos circuitos

Ejemplo 3.1 Válvula de vacío seguidor de cátodo

Como primer caso de la aplicación del método de grafos de flujo de señal a un circuito eléctrico, tomamos el caso de una válvu-la de vacío seguidor de emisor común se muestra en la figura 3.3. Veremos entonces, como se construye el grafo asociado a este circuito. FIG. 3.3. Diagrama esquemático de un tubo de vacío seguidor de cátodo.

0)3.3(

0)3.3(

020222121

010212111

=++

=++xtxtxtb

xtxtxta

122

210

22

202

211

120

11

101

)4.3(

)4.3(

xt

tx

t

txb

y

xt

tx

t

txa

−−=

−−=

Solución. Las ecuaciones que describen el circuito son las siguientes:

que corresponde al circuito equivalente que se muestra en la figura 3.4 FIG. 3.4. Circuito equivalente incremental lineal de la figura 3.3.

Para ver como se construye el grafo a partir del sistema de ecuaciones, ilustramos el esquema paso a paso en la figura 3.5 El grafo de la figura 3.5, muestra que la rama de realimentación e2eg, en el grafo de flujo de señal del seguidor de cátodo tiene una transmitancia de valor unidad, esto es, que la salida es realimentada a la entrada. FIG. 3.5. Grafo del seguidor de cátodo de la figura 3.3.

( ) 1

2

21

)5.3(

−+=

=

−=

pkgki

kk

g

rRe

iRe

eee

µ

Observación. En el análisis anterior, no es necesario anotar las correspondientes ecuaciones algebraicas en la construcción del grafo cuando se ha dominado la técnica. Aquí lo hacemos por razones de claridad.

Ejemplo 3.2. Amplificador BJT mono etapa

En la figura 3.6 se muestra un típico transistor a emisor común, donde v1 y v2 son las respectivas tensiones de entrada y salida respectivamente y Zl la impedancia de carga. Construiremos el grafo de flujo de señal de este amplificador FIG. 3.6. Diagrama esquemático de un amplificador a transistor. FIG. 3.7. Circuito equivalente lineal incremental.

Solución. El circuito equivalente del amplificador se muestra en la figura 3.7. El sistema de ecuaciones lineales para este circui-to equivalente es el siguiente:

Por claridad, mostramos todos los pasos en la construcción del grafo en la figura 3.8. El último grafo en esta figura muestra la rama de realimentación v2v11, que posee una transmitancia de valor –h12

22

2221212

11111

212111

)6.3(

iZv

vhihi

hvi

vhvv

l−=

+=

=

−=−

FIG. 3.8. Grafo del amplificador a transistor de la Fig. 3.6.

Ejemplo 3.3 Amplificador de válvula de vacío realimentada

La figura 3.9 representa un amplificador de válvula de vacío realimentada con una carga Zl, alimentado a su vez por un genera-dor de tensión es con una impedancia interna Zs. FIG. 3.9. Amplificador de tubo de vacío realimentado.

Este amplificador tiene dos caminos de realimentación, una realimentación serie Zk y una paralelo Zf. Encontrar entonces, el grafo de flujo de señal de este amplificador.

Solución. La figura 3.10 muestra el circuito equivalente del amplificador FIG. 3.10. Circuito equivalente del amplificador realimentado de la Fig. 3.9.

De la figura 3.10 y de acuerdo a las leyes de Kirchhoff, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones:

De acuerdo al primer método (directo) para la construcción de grafos reescribiremos las ecuaciones de la siguiente manera:

De este sistema de ecuaciones el grafo del circuito es el que se muestra en la figura 3.11

FIG. 3.11. Grafo del amplificador realimentado de la Fig. 3.9.

( )( ) ( )( )( ) ( )

0

0

0)7.3(

0

0

0 =−

=++−++

=+−−+

=−−+−+++

=−++

pl

gfpkplkp

gsgpkfgk

gsgpkpfkpgf

fgsgss

iZe

eirZiZZr

eiZiZiZZ

eiZiZriZrZZ

iZiZZe

µ

µ

( )( )[ ]( )

( )[ ]

lkp

kpgfgs

pl

fpkgp

fgksgpkg

pkpsggf

fgss

ZZrZ

ZrZZZZZZ

iZe

ZirZei

iZZiZiZe

ZiZriZei

ZiZei

++=

+++=+=

=

++−=

+−+=

+++=

+−=

−

−

−

3

21

0

13

12

11

,con

)8.3(

µ

µ

Ejemplo 3.4

Nuestro último ejemplo será un amplificador de dos etapas el cual se muestra en la figura 3.12. Construir entonces, el grafo de

flujo de señal. FIG. 3.12. Amplificador realimentado de dos etapas.

Solución. El circuito equivalente de este amplificador es el que se muestra en la figura 3.13 FIG. 3.13. Circuito equivalente del amplificador realimentado de la Fig. 3.12.

De las seis mallas del circuito equivalente obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

( )( )

( )0

0

0

0)9.3(

0

0

222

3222222

112

2213

113111

1311

=+

=−−+

=+

=+++

=−+++

=−++

iRe

ireirR

iRe

iRiRiRR

eiRiRrR

eiRiRe

pgp

g

kkf

gkkp

kkg

µ

µ

las cuales pueden ser reescritas como:

El grafo de este sistema es el que se muestra en la figura 3.14 FIG. 3.14. Grafo del amplificador de dos etapas de la Fig.3.12.

3.4. El método de los nodos-nulos o ceros

Volviendo atrás, estaríamos tentados a hacernos el siguiente cuestionamiento. Nosotros sabemos que cada una de las ecuaciones (3.2 a y 3.2 b) corresponden a grafos parciales, por lo que: ¿Cuál sería la relación entre estos del grafos y el grafo completo el cual contiene ambas ecuaciones?. Esto es, queremos saber cual es la forma esquemática de combinar estos dos grafos en uno solo. Aunque nosotros sabemos que no existe difi-cultad en la construcción de un grafo de una ecuación, la combinación de cualquiera de estos dos grafos no puede ser hecha por la sola unión de nodos iguales: eso llevaría, la mayoría de las veces, a un grafo incorrec-to. Como ejemplo vamos a reescribir las ecuaciones (3.2 a) y (3.2 b) de la siguiente forma:

Los grafos para estas ecuaciones son los que se dan en las figuras 3.15 y 3.16, respectivamente:

FIG. 3.15. Grafo de la Ec.(3.11a) FIG. 3.16. Grafo de la Ec.(3.11b)

( )[ ]( )[ ]

( )( )222

12232222

112

12231

1111113

3111

)10.3(

iRe

rRirei

iRe

RiRiRRi

RiRrRei

iRiRee

pppg

g

kkf

kkpg

kkg

−=

++=

−=

−+−=

++−=

−−=

−

−

−

µ

µ

( )

221

220

21

201

2121110101

)11.3(

1)11.3(

xt

tx

t

txb

xtxtxtxa

−−=

+++=

Estos grafos muestran que si nosotros simplemente unimos los nodos con el mismo sufijo para combinar los grafos, esto nos llevará a un resultado incorrecto. Para evitar esto, ya introdujimos el método directo, por el cual las ecuaciones deben escribirse de la siguiente forma:

para que el grafo pueda ser construido en forma correcta

Otra forma de realizar estos es por medio del llamado método de los nodos-nulos o ceros. Para ilustrar es-te método pondremos primero todos los términos de las ecuaciones a la izquierda del signo igual. Por lo que las ecuaciones (3.11 a) y (3.11 b) se vuelven:

las cuales muestran simetría con respecto a todas las variables x1, x2 y aún x0. Ahora, pongamos atención a los ceros de la derecha en las ecuaciones (3.12 a) y (3.12 b)

Este método consiste simplemente en considerar a estos ceros como variables; los nodos nulos (en lugar de considerar los ceros como números). Para clarificar este concepto, denotaremos los ceros como N1 y N2. Podemos entonces así reescribir las ecuaciones (3.12 a) y (3.12 b) como:

donde N1 ≡ 0 y N2 ≡ 0

Los grafos correspondientes se muestran en las figuras 3.17 y 3.18, respectivamente. Podemos así combi-nar los dos grafos con el solo hecho de hacer coincidir los nodos, como se muestra en la figura 3.19 FIG. 3.17. Grafo de la Ec.(3.13a) FIG. 3.18. Grafo de la Ec.(3.13b) FIG. 3.19. Grafo de la Ecs.(3.13a) y (3.13b)

∑=j

jiji xax '

0)12.3(

0)12.3(

222121020

212111010

=++

=++xtxtxtb

xtxtxta

2222121020

1212111010

)13.3(

)13.3(

Nxtxtxtb

Nxtxtxta

=++=++

Esta situación se puede generalizar a un sistema de ecuaciones. Por lo cual, tomemos el siguiente sistema de ecuaciones:

el cual puede ser escrito como.

donde los Nj son los diferentes nodos nulos

Es fácil de observar, en el grafo, que los nodos Nj tendrán sólo ramas entrantes.(por lo tanto estos nodos se pueden llamar nodos nulos sumideros).

Por el otro lado, los nodos xj que representan las variables xj sólo tendrán ramas salientes (por lo tanto se los llamará nodos-fuentes secundarios para distinguirlos del nodo fuente x0).

Los coeficientes akj representan las transmitancias de las ramas que conectan los nodos xj con los nodos nulos Nk. Bajo estas convenciones sólo un único grafo puede ser construido a partir de la ecuación (3.15). este grafo se lo denominará, de acá en más, como el grafo de los nodos nulos (6) o grafo-N.

Como ilustración de este método, tomemos el amplificador BJT que se vio en la sección 3.3 Las ecuaciones que describen a este amplificador pueden ser escritas ahora en la siguiente forma:

El grafo correspondiente se puede obtener fácilmente uniendo los nodos, y combinando así los grafos par-

ciales construimos el grafo-N que se muestra en la figura 3.20 FIG. 3.20. Grafo-N del amplificador a transistores de la Fig.3.6.

Este ejemplo revela una ventaja de este método: un grafo-N muestra simetría con respecto a todos los no-dos fuentes (sean primarios o secundarios). En un problema donde la fuente no se encuentra especificada a priori, cualquiera de los nodos puede ser elegido como nodo fuente. Esto se deduce de las expresiones mate-

∑=

==n

jjkj nkxa

0

),...,2,1(0)14.3(

nnnnnn

nn

nn

Nxaxaxa

Nxaxaxa

Nxaxaxa

≡=+++

≡=+++≡=+++

0...

............

............)15.3(

0...

0...

1100

22121020

11111010

422

32221212

211111

1121211

0

0

0)16.3(

0

Nizv

Nvhihi

Nvih

Nvvhv

l ≡=+≡=−−≡=−

≡=−+

máticas, ya que si tenemos un sistema de n ecuaciones con (n+1) variables, podremos tomar cualquier varia-ble como nodo fuente si ésta no fue especificada antes.

En contraste, en un grafo de flujo de señal o grafo-C (el cual discutiremos en la sección 3.7), diferentes nodos fuentes nos fuerzan a dibujar distintos grafos de señal. Por esta razón, los grafos –N son muy útiles cuando se trata de calcular y transformar los parámetros de un circuito (Capítulo 8).

3.5. Teorema de los nodos-nulos

Antes demostrar la relación existente entre los grafos de flujo de señal y los grafos-N, vamos a introducir un teorema sobre los nodos nulos.

Teorema

Si x0xN es una rama que une en forma directa el nodo fuente x0 y el nodo nulo xN y se le invirtiera su senti-do, la misma experimentará un cambio en su transmitancia de valor:

Mas aún, tal inversión de sentido transforma el nodo nulo en un nodo no nulo.

Prueba. Consideremos un grafo como el que se muestra en la figura 3.21 en el cual el nodo fuente x0 y el

nodo nulo xN se dibujan explícitamente en el grafo. FIG. 3.21. Grafo dado.

Ya que el nodo xN se dio como un nodo nulo, todas las ramas asociadas a él pueden ser removidas para que el nodo nulo pueda ser considerado como nodo nulo sumidero, como se muestra en la figura 3.22

−=

original

ramaladeciatransmetan

tidodecambiada

ramaladeciatransmitan/1

sen)17.3(

FIG. 3.22. Grafo de la Fig. 3.21 con xN = 0.

Así, las ecuaciones serán como sigue:

Pero la ecuación (3.18) puede ser también escrita como.

FIG. 3.23. Grafo de la Fig. 3.22 después de invertir el sentido de la rama x0xN. la cual corresponde al grafo de la figura 3.23. Es fácil de ver que el nuevo nodo xN’ ya no es más un nodo nulo sino que ahora tiene el valor

ya que

0)18.3( 00 ≡=++ NkNkjNjN xxtxtxt

( )kNkjNjN xtxttx +−= −100

)19.3(

00')20.3( xtx NN −=

)20.3(

)23.3(')21.3(

00 ecuaciónladext

figuraladextxtx

N

kNkjNjN

−=

+=

Esto completa la prueba del teorema anterior. Este teorema será útil en la transformación de un grafo-N en un grafo del flujo de señal, y además puede

facilitar el estudio de los parámetros de un circuito, lo cual será discutido en el Capítulo 8.

3.6. Transformación de un grafo-N en un grafo de flujo de señal

Para obtener un grafo de flujo de señal a partir de un grafo-N es suficiente tomar el siguiente simple paso: por cada nodo nulo, invertimos el sentido de una y solo una rama entrante.

Ejemplo 3.5

Como primer ejemplo, consideremos el grafo-N de la figura 3.20. Por lo queremos obtener un grafo de flujo de señal de él.

Solución. La solución no es única, pero dependerá de que ramas elegimos para invertirles su sentido. Por ejemplo, podemos trabajar con el nodo N1; entonces tanto la rama v11N1 como la v2N1 pueden ser invertidas, por lo que se obtiene el grafo de flujo de señal de la figura 3.24 FIG. 3.24. Grafo obtenido del grafo-N de la Fig. 3.20.

Los nuevos nodos son denotados por N1’, N2’, etc., los cuales no son ya más nodos nulos. Así, por medio de la regla de multi-plicación introducida en el Capitulo 2, podremos obtener el grafo de flujo de señal de la figura 3.24.

Ejemplo 3.6

Constrúyase el grafo de flujo de señal del amplificador de dos etapas de la figura 3.12 por el método del grafo-N.

Solución. Del circuito equivalente de la figura 3.12, podemos escribir las ecuaciones de malla donde los nodos Nj se introducen para reemplazar los ceros. FIG. 3.25. Grafo de la Fig. 3.24 luego de algunas reducciones elementales.

De este sistema de ecuaciones, obtenemos el grafo-N de la figura 3.26 FIG. 3.26. Grafo-N del amplificador realimentado de dos etapas de la Fig. 3.12.

Aplicando el mismo método que antes, podemos construir el grafo de flujo de señal como en la figura 3.27 FIG. 3.27. Grafo obtenido del grafo-N de la Fig. 3.26.

3.7. Transformación de un grafo-N en un grafo-C

Para obtener en forma directa la ganancia de un sistema, existe una representación gráfica que resulta de mucha utilidad, y el cual difiere sólo en sus convenciones con los grafos ya utilizados. Para evitar confusión en la terminología, recordamos al lector que los grafos que se vieron en la sección 3.2 se los denomina grafos de flujo de señal, mientras que los que se vieron en la sección 3.4 se los denomina grafo-N. Los grafos que veremos ahora serán siempre referidos como grafos-C, debido a las modificaciones en las convenciones in-troducidas por Coates (3).

( )( )

( )6222

53222222

4112

32213

2113111

11311

)22.3(

NiRe

NireirR

NiRe

NiRiRiRR

NeiRiRrR

NeiRiRe

pgp

g

kkf

gkkp

kkg

=+

=−−+

=+

=+++

=−+++

=−++

µ

µ

Definición

Un grafo-C es un grafo derivado de un grafo-N haciendo coincidir cada nodo nulo con un nodo-fuente se-cundario del grafo-N. Después de realizado esto, los nuevos nodos se los designará con la variable del nodo fuente secundario original.

Comentarios. (i) cuando dos nodos coincidan, la rama común a ambos se volverá autobucle, y su transmitancia se denotará ahora con un símbolo entre paréntesis con un sufijo c (esto es, [t]c) para denostar que se está tratando con un grafo-C (para los grafos de flujo de señal usamos [t]f). (ii) los nodos-fuentes secundarios se definen simplemente como aquellos nodos con ramas entrantes. Estos nodos no son en realidad fuentes reales o físicas: ellos caracterizan a un grafo-N.

Ejemplo 3.7

Encuéntrese el grafo-C a partir del grafo-N de la figura 3.20

Solución. La respuesta no será única ya que existen diferentes formas de hacer que los nodos coincidan como se requiere. Pri-mero, consideremos v1 de la figura 3.20 como fuente y superpongamos los nodos de la siguiente forma

Así se obtiene el grafo-C de la figura 3.28 FIG. 3.28. Grafo-C obtenido del grafo-N de la Fig. 3.20.

Por otro lado, podemos elegir otra forma diferente de superponer los nodos. Tomaremos la siguiente combinación

42

32

21

111

Nconv

Nconi

Nconi

Nconv

42

32

211

11

Nconi

Nconv

Nconv

Nconi

Por lo tanto, tendremos el grafo-C de la figura 3.29 FIG. 3.29. Grafo-C obtenido del grafo-N de la Fig. 3.20.

Observación. Es importante hacer notar que podemos elegir además una fuente distinta Por ejemplo, considerando el mismo grafo de la figura 3.20, podemos elegir i1 (en lugar de v1) como fuente. Físicamente, esto significa un generador de corriente en vez de un generador de tensión como entrada. En este caso, el grafo-C se obtiene haciendo coincidir los nodos (v1, N1), (v1, N2), (i2, N3) y (v2, N4) (figura 3.30). Comparando la figura 3.30 con la 3.20 se puede ver la simetría que poseen los grafos-N que no la tienen los grafos-C. FIG. 3.30. Grafo-C obtenido del grafo-N de la Fig.3.20.

3.8. Transformación de un grafo de flujo de señal en un grafo-C

Veremos en el capítulo 5 que un grafo-C es mucho más útil que el correspondiente grafo de flujo de señal en el cálculo directo de la ganancia del sistema. Por los que, en general es preferible trabajar con en grafo-C en este sentido.

Ahora se verá como un grafo-C puede obtenerse de un grafo de flujo de señal (y viceversa). La transformación se puede hacer de la siguiente manera:

(i)La auto-transmitancia de un nodo no esencial [ajj]f en un grafo de flujo de señal se transforma en [ajj – 1]c en el grafo-C (ii) Todos los nodos no esenciales (excepto el nodo fuente) en un grafo de flujo de señal en este nuevo grafo se transforman en nodos esenciales con una transmitancia [-1]c. (iii) Lo demás queda sin cambios.

Estas afirmaciones se pueden combinar en:

[ ] [ ]cjjfjj aa 1)23.3( −→

donde, por nodo esencial, consideramos simplemente [ajj]f = 0, dando [- 1]c para el grafo-C. Similarmente para realizar la transformación inversa, tenemos las siguientes reglas:

(i) La auto-transmitancia de un nodo esencial [ajj]c en un grafo-C se transforma en [ajj + 1]f en el grafo de flujo de señal correspondiente. (ii) Todos los nodos esenciales (excepto el nodo fuente) en un grafo-C se transforman en nodo esencial con una transmitancia [1]f en el grafo de flujo de señal correspondiente. (iii) Lo demás queda sin cambiar

Podemos poner estas afirmaciones en una sola:

Se dan dos ejemplos para visualizar estas transformaciones:

Ejemplo 3.8

Del grafo de flujo de señal de la figura 3.31, encontrar el correspondiente grafo-C FIG. 3.31. Grafo de flujo de señal.

Solución. Siguiendo las reglas dadas en (3.23), podemos en forma sencilla construir el grafo-C de la figura 3.32 que correspon-de al grafo de flujo de señal de la figura 3.31 FIG. 3.32. Grafo-C correspondiente al grafo de flujo de señal de la Fig. 3.31.

Ejemplo 3.9 Encuéntrese el grafo de flujo de señal correspondiente al grafo-C de la figura 3.33

FIG. 3.33. Grafo-C.

[ ] [ ]fjjcjj aa 1)24.3( +→

Solución. Aplicando la ecuación (3.24) obtenemos el grafo de flujo de señal de la figura 3.34 FIG. 3.34. Grafo correspondiente al grafo-C de la Fig. 3.33.

Capítulo 4

Reducción de un grafo de flujo de señal

4.1. Introducción

La reducción de un grafo de flujo de señal puede ser definida como simplificación topológica del mismo, en el sentido que el grafo reducido contendrá menos nodos y menos ramas. Así, esto será equivalente a la simplificación por medio sucesivas sustituciones algebraicas en el sistema de ecuaciones. La reducción de un grafo de flujo de señal es a menudo muy útil para el análisis de un sistema o cualquier estudio en general, y además lo ayudo a uno a observar las propiedades topológicas de un grafo. La técnica de reducción (1,2)que usualmente se usa, está basada en la búsqueda de distintas señales a través de los caminos entre un nodo o diferentes nodos. Los errores que puedan ocurrir serán debidos a la complejidad de los grafos, y además este tipo de procedimiento no es sistemático por lo que depende esencialmente de la experiencia que uno tenga en resolver grafos de flujo de señal. Por estas razones, introducimos aquí un método sistemático basado en la transformación (5) llamada ‘Duplicación de nodo’. Sucesivas aplicaciones de este método reducirán automá-ticamente cualquier grafo de flujo de señal a un grafo esencial.

Este método también se podrá aplicar a grafos esenciales, así la ganancia del sistema podrá ser evaluado estrictamente por de reducciones. Una forma más elegante de calcular la ganancia es usando fórmulas direc-tas.

4.2. Duplicación de nodos no esenciales

El método de ‘duplicación de nodo’ aplicado a un nodo no esencial (un nodo no asociado a un autobucle) se define en el figura 4.1 y se pude generalizar para cualquier número de ramas. Obviamente, este tipo de transformación puede realizarse sobre una rama saliente específica y dejar el resto como estaba antes. FIG. 4.1. Duplicación del nodo r en los nodos r' y r''.

La justificación de esta transformación está en el simple hecho que la parte izquierda de la figura 4.1 co-rresponde a una ecuación matricial

la cual puede ser escrita en forma separada como:

el cual corresponde a la parte derecha de la figura 4.1 FIG. 4.2. Duplicación del nodo r en los subnodos r1, r2 y r3.

Evidentemente los nodos r’ y r’’ representan la misma variable que la representa el nodo r; así podemos llamar a este tipo de transformación ‘duplicación idéntica de nodos’. La contracara de esta transformación, la cual es también muy útil en la reducción de grafos de flujo de señal, se muestra en la figura 4.2. Para distin-guir esto del caso de la figura 4.1 podemos llamarla ‘subduplicación de nodos’, ya que los nuevos nodos r1, r2, r3 no representan más la misma variable como r la hace. La justificación de esta transformación surge de la consideración directa de las diferentes formas de representar el sistema, esto es, por una solo matriz o la suma de matrices.

Ejemplo 4.1. Derivación de una transformación por medio de la duplicación de nodos

Eliminar el nodo r del grafo de flujo de señal de la figura 4.3

z

y

x

ecebea

dcdbda

v

u.)1.4( =

z

y

x

cbadu .)2.4( =

z

y

x

cbaev .)3.4( =

FIG. 4.3. Transformación por medio de duplicación de nodos.

Solución. Los pasos que se ilustran que se corresponden con el grafo de la figura 4.3 son los siguientes: (a) Grafo dado (b) Duplicación del nodo r en el r’ y r’’ (c) Subduplicación del nodo r’ y r’’ (d) Reducir por medio de la regla de multiplicación

En la práctica, podemos aplicar esta transformación en forma directa del paso (a) al (d), sin necesidad de ir por los pasos inter-medios.

4.3. Duplicación de nodos esenciales

En el caso anterior, solamente nodos no esenciales fueron considerados. Afortunadamente esta transfor-mación puede ser aplicada también a los nodos esenciales (nodos asociados a autobucles) como se ilustra en la figura 4.4

FIG. 4.4. Duplicación de un nodo esencial

Este caso es muy similar al caso de nodos esenciales. Denotaremos que las correspondientes ecuaciones matriciales para la parte izquierda de la figura 4.4 son las siguientes:

y

las cuales pueden ser escritas alternativamente como:

la cual corresponde a la parte derecha de la figura 4.4.

Existen dos hechos interesantes; primero, que cualquier diagrama esencial puede estar supeditado a cual-quier otra transformación topológica si uno quisiera, segundo, que la violación del orden del sistema es una consecuencia de la duplicación de nodos de aquellos nodos esenciales. Es bueno que exista la primera cues-tión ya que podremos cambiar la forma topológica de aquellos diagramas esenciales a nuestro gusto. La se-gunda, sin embargo, significa que tendremos que redefinir el orden del grafo de flujo de señal o restringirnos a la consideración del orden del orden del sistema en el grafo antes de cualquier duplicación de nodos haga-mos sobre nodos esenciales. Por la que adoptaremos el segundo punto de vista.

r

z

y

x

hba =.)4.4(

rd

c

v

u.)5.4( =

y

xba

hd

c

v

u...)6.4(

1

1

−=

4.4. La formación de autobucles

Un autobucle se crea usualmente a través de los siguientes pasos:

FIG. 4.5. Grafo dado.

La duplicación del nodo x2 transforma el grafo de la figura 4.5 en el grafo de la figura 4.6 FIG. 4.6. Grafo de la Fig.4.5 después de la duplicación del nodo x2.

Por medio de la regla de multiplicación el bucle x1x2x1 de la figura 4.6 puede ser reducido al autobucle x1x1 de la figura 4.7, con la transmitancia t11. FIG. 4.7. Grafo esencial del grafo de la Fig. 4.5.

Otra reducción por auto-transformación (comenzada en la sección 2.5 si ninguna prueba) resulta en el gra-fo final de la figura 4.8. FIG. 4.8. Reducción del grafo esencial de la Fig. 4.7 por auto-transformación.

La regla de auto-transformación usada en el paso anterior se dejará sin prueba aquí. La justificación de es-to triba en la eliminación de x1 de las ecuaciones (4.7) y (4.8), esto es,

1212

21

21110101

)8.4(

)7.4(

xtx

xttxtx

=+= −

11

2110

0

2

1)9.4(

t

tt

x

x

−=

x2/x0 es justamente t20 como se definió en el grafo de la figura 4.8. Esto completa la prueba de la regla auto-transformación expuesta en la sección 2.5.

4.5. Algunos ejemplos de reducción

Ejemplo 4.2. Ganancia de un amplificador mono etapa

Calcular la ganancia del amplificador mono etapa de la sección 3.3 por reducción. Solución. Los pasos que se muestran en la figura 4.9 son los siguientes:

(a) Grafo dado (b) Duplicación del nodo V11 en V11’ y V11’’. (c) Eliminación de v11’ y v11’’ por las reglas de multiplicación y adición. (d) Eliminación de i2 repitiendo los pasos (b) y (c). (e) Cálculo de la ganancia por medio de la regla de auto-transformación.

Observación. En el último paso, la ganancia del amplificador fue escrita en términos cuantitativos de α y β los cuales tienen las siguientes interpretaciones físicas: α: la ganancia del amplificador a lazo abierto β: el porcentaje de realimentación del sistema. FIG. 4.9. Reducción de un grafo.

Ejemplo 4.3. Reducción de un dado grafo

Solución. La figura 4.10 muestra los siguientes pasos:

(a) Grafo dado (b) Eliminación de x1 (c) Eliminación de x2 FIG. 4.10. Ejemplo de reducción.

En el último paso de la figura 4.10 obtuvimos un grafo esencial del cual la ganancia, T, puede ser fácilmente evaluada como si-gue:

2442142142144144

243214213234

104110214240

10213230

44

403430

0

3

donde

1

tttttttt

trtttt

tttttt

tttt

t

ttt

x

xT

+≡

≡

+≡

≡

−+=≡

+

+

FIG. 4.11. Ejemplo de reducción.

Ejemplo 4.4. Duplicación de nodos

Reducir el grafo dado por duplicación de nodos esenciales. Solución. Los pasos mostrados en la figura 4.11 son los siguientes:

(a) Grafo dado (b) Duplicación del nodo x2 en x2’ y x2’’.

(c) Eliminación de x2’ donde (d) Duplicación de x2’ y eliminación de uno de los nodos duplicados. (e) Transformación del bucle x4x2’’’x4 en el autobucle x4x4. (f) Reducción del grafo esencial por medio de la auto-transformación.

Ejemplo 4.5. Ganancia de una amplificador de tres etapas

Encontrar la ganancia del amplificador de tres etapas de la figura 4.12

( )( ) 1

22243234

122213231

1

1

−

−

−+≡

−+≡

ttttb

tttta

FIG. 4.12. Ejemplo de reducción.

Solución. Los pasos ilustrados en la figura 4.12 son los siguientes: (a) Grafo dado (b) Eliminación de x2 (c) Eliminación de x4 (d) Duplicación de x3 en x3’ y x3’’ (e) Eliminación de x3’ y x3’’ (f) Ganancia del sistema.

4.6. Observación del método de reducción de grafos de flujo de señal

Con todos los ejemplos vistos en las secciones anteriores, dimos detalles precisos de los diferentes pasos tomados, especialmente acerca de la duplicación de nodos. Esto fue en beneficio de los que recién comienzan por lo siguiente: en la práctica la mayoría de los pasos son omitidos en el grafo, aun mentalmente, y el grafo aparece más natural y elegante.

Finalmente, aunque la reducción de un grafo nos dé la ganancia del sistema, es a veces más conveniente calcular este por aplicación directa de la expresión de ganancia de Mason y Coates después, o sin ninguna reducción. Esto será discutido en detalle en el siguiente capítulo.

4.7. Reducción de grafos-C

Un grafo-C puede ser fácilmente reducido por el método de duplicación de nodos para ambos nodos, esenciales y no esenciales, exactamente en la misma forma que para grafos de flujo de señal. Más aun, las reglas de multiplicación y adición son también las mismas. Sin embargo, la regla auto-transformación es un tanto diferente en los grafos-C; ver figura 4.13 FIG. 4.13. La auto-transformación para un grafo-C.

Se exhorta al lector a que verifique estas afirmaciones. Para ilustrar el método, dos ejemplos de reducción de grafos-C se dan más abajo.

Ejemplo 4.6

Para el grafo-C del amplificador mono etapa de la figura 3.28, calcular la ganancia por medio de la reducción. FIG. 4.14. Ejemplo de reducción de un grafo-C.

Solución. Los pasos que se ilustran en la figura 4.14 son los siguientes: (a) Grafo-C dado (b) Eliminación de i1 por medio de las reglas de auto-transformación y multiplicación. (c) Duplicación del nodo v11 en v11’ y v11’’. (d) Eliminación de v11’ y v11’’ por las reglas de multiplicación, adición y auto-transformación. (e) Eliminación de i2 repitiendo los pasos (c) y (d). (f) Ganancia: G ≡ v2/v1 = -h21 Zl / (h11 + Zl ∆h) con ∆h ≡ h11 h22 – h12 h21.

Ejemplo 4.7

Calcular la ganancia G ≡ x4/x1 del grafo-C que se muestra en la figura 4.15, por reducción. FIG. 4.15. Grafo-C dado.

Solución. Los pasos que se ilustran en la figura 4.16 son los siguientes: (a) Duplicación del nodo x2 en x2’ y x2’’. (b) Duplicación del nodo x2’ y x2’’, y eliminación de estos dos nodos por las reglas de multiplicación, adición y auto-

transformación. (c) Eliminación de x3 (d) Ganancia: G ≡x4/x1 = -t41/t44

FIG.4.16. Ejemplo de reducción del grafo-C de la Fig. 4.15.

Capítulo 5

Cálculo de la ganancia por métodos directos

5.1. Introducción

En los ejemplos que se discutieron en el Capítulo 4, la ganancia del sistema era calculada por medio de métodos de reducción. Vamos a ver ahora que la ganancia puede ser calculada también por métodos directos sin necesidad de ninguna reducción.

Existen dos métodos directos:

(1) Fórmula de Mason, la cual se aplica a grafos de flujo de señal. (2) Fórmula de Coates, la cual se aplica a grafos-C.

Se presentan algunos ejemplos del cálculo de la ganancia en las últimas secciones, y además se comparan

los tres métodos hasta ahora conocidos, estos son los dos métodos directos y el método de reducción. Primero se transforman los grafos-N en grafos de flujo de señal y luego se aplica el método de Mason o Coates. [Re-cientemente otro autor ha desarrollado un método directo para grafos-N, referencia (4)]

5.2. Algunas definiciones útiles

En todas las secciones que siguen, llamaremos al nodo xi, el nodo de prueba cuando evaluemos la ganan-cia del sistema (Gio ≡ xi/xo) entre xo y xi. Muchas definiciones se introducen ahora para facilitarnos las subsecuentes discusiones sobre el cálculo de la ganancia por el método directo, usando la notación Γ = para un grafo completo un grafo dado.

Definiciones (a) Γ0, grafo inicial de Γ: es un grafo que se obtiene de Γ removiendo el nodo fuente de Γ. (b) El grafo cadena de Γ: es un grafo que se obtiene de Γ removiendo algunas ramas y nodos tales como el

nodo fuente y el nodo de prueba de Γ que ahora se convierten en una fuente simple y en un sumidero simple. Los otros nodos, si no han sido removidos intencionalmente, serán nodos cadena.

(c) El grafo cadena de Γ0: es un grafo que se obtiene de Γ0 removiendo algunas ramas y nodos, todos aque-llos nodos, todos aquellos nodos, que no han sido removidos intencionalmente, serán nodos cadena.

(d) El grafo cadena completo de Γ. es un grafo cadena el cual necesariamente contiene todos los nodos origi-nales que se encuentran el grafo Γ dado.

(e) El grafo cadena completo de Γ0: es un grafo cadena el cual necesariamente contiene todos los nodos ori-ginales que se encuentran en el Γ0. El nodo prueba debería convertirse en un nodo cadena en lugar de un sumidero simple.

(f) Bucles aislados: si dos bucles no tienen ningún nodo en común.

Ejemplos de las anteriores definiciones El grafo inicial, Γ0

Sea Γ (grafo completo) el grafo dado en la figura 5.1(a), por lo que el grafo inicial, Γ0, se puede construir como se muestra en la figura 5.1(b), removiendo el nodo fuente e0 de Γ. FIG. 5.1. (a) El grafo completo, Γ. (b) El grafo inicial, Γ0 El grafo cadena de Γ

Γ se da en la figura 5.2, con x1 como fuente. Es útil repetir aquí que será con el nodo prueba, con el cual haremos el cálculo de la ganancia con respecto a la fuente del sistema. FIG. 5.2. El grafo completo Γ

Por lo tanto, los grafos cadena serán diferentes obviamente para los distintos nodos de prueba que elija-mos. Tomemos entonces x5 de la figura 5.2 como nodo de prueba: los posibles grafos cadena en este caso son los que se muestran en la figura 5.3 FIG. 5.3. Los siete posibles grafos cadena del Γ dado en la Fig. 5.2, con x5 como el nodo prueba.

El grafo cadena completo de Γ

Tomando Γ como el grafo de la figura 5.4 y considerando x5 como el nodo prueba, podremos construir el grafo cadena completo de Γ como se muestra en la figura 5.5 FIG. 5.4. El Γ dado FIG. 5.5. Grafos-cadena completos, con x5 considerado como nodo prueba.

Si en lugar de x5 consideramos como nodo prueba x4 tendremos todos los grafos de la figura 5.6 FIG. 5.6. Grafos-cadena completos, con x4 considerado como nodo de prueba.

Bucle aislados

La figura 5.7 muestra todos los posibles casos de bucles aislados de Γ dado en la figura 5.4 Observación. El lector podría sugerir que no siempre es posible construir un grafo cadena completo de Γ,

de cualquier grafo dado. FIG. 5.7. Ejemplo de casos posibles de bucles aislados involucrados en Γ de la Fig. 5.4.

Por ejemplo, tomemos el grafo Γ de la figura 5.8 el cual no puede dar un grafo cadena completo de cuan-do x1 se considera como nodo prueba. FIG. 5.8. Un ejemplo de Γ.

Sin embargo, es importante darse cuenta que si el grafo Γ de la figura 5.8 fuera un grafo-C, entonces la ecuación algebraica correspondiente para el nodo x1 sería:

la cual da x1 en términos de x0. La otra ecuación para x2 pone la siguiente restricción con respecto a las transmitancias:

y además no nos da información acerca de x2. Tal grafo-C, Γ, no es un grafo completo en el sentido que x2 no puede ser resuelto por medio de Γ. En la práctica esto nunca pasará ya que siempre tenemos un grafo com-pleto para un problema. Si en cambio el Γ de la figura 5.8 es el grafo dado, el problema se puede resolver hasta por inspección. Esto condice con el hecho de que un grafo cadena completo con x1 como el nodo prue-ba es imposible. La razón por la cual tal situación pueda existir es simplemente que nunca necesitaremos de un grafo-cadena completo para la aplicación de la fórmula de ganancia de Mason para el cálculo directo de la ganancia. (Esto será obvio cuando veamos la fórmula más tarde). De hecho, para grafos de flujo de señal,

0111010 =+ xtxt

02120

1110 =tt

tt

necesitaremos solamente de grafos cadena para aplicar la fórmula de Mason. Por lo que, no es necesario in-cluir nodos de Γ.

5.3. Fórmula de la ganancia de Coates

Aquí se esbozan los conceptos de la fórmula de ganancia de Coates que aplicaremos luego a algunos ejemplos simples:

Para un sistema de ecuaciones lineales descripto como:

la ganancia Gs0 ≡ xs/x0 puede ser calculada desde un grafo-C como:

donde Lv = el número de bucles contenidos en el grafo para el v-ésimo término. Lu = el número de bucles contenidos en el grafo para el u-ésimo término. ΠΠv = el producto de todas las ganancias de bucle y la ganancia del camino directo contenido en el v-ésimo grafo cadena completo (incluyendo la fuente). ΠΠu

0= el producto de las ganancias de bucle de todos los bucles contenidos en el u-ésimo grafo cadena com-pleto.

Ejemplo 5.1

Dado el grafo-C completo, Γ de la figura 5.9, encontrar la ganancia G10 = x1/x0 por medio de la fórmula de Coates FIG. 5.9. Un ejemplo de Γ.

Solución. Primero, calculemos G10 = x1/x0 considerando x1 como el nodo prueba. Para calcular el denominador de la fórmula de Coates, ecuación (5.2), construimos el grafo inicial del dado Γ removiendo la fuente x0. Dicho grafo se muestra en la figura 5.10 FIG. 5.10. El grafo inicial Γ0.

∑=

==n

jjij nixa

0

),...,2,1(0)1.5(

∑ ∏

∑ ∏−

−=

uu

Lu

vv

Lv

sG00

.)(

.)()2.5(

El grafo-cadena completo de Γ0 se muestra en la figura 5.11(a) y (b). Por lo tanto el denominador es ahora evaluado de la figura 5.11 como

FIG. 5.11. Grafo cadena completo de Γ0.

Como numerador, consideraremos primero x1 como nodo prueba en el cálculo de G10. Los distintos grafos cadena completos se dan en la figura 5.12 (en este caso sólo dos posibles grafos). FIG. 5.12. Grafos-cadena completos de Γ.

Por lo tanto, el numerador, de acuerdo con la figura 5.12, está dado por:

Combinando (5.3) y (5.4), obtenemos:

Para encontrar G30, aconsejamos tomar a x3 como el nodo de prueba. Esto se deja como ejercicio al lector.

21122211

12211

20 )()(.)()3.5(

aaaa

aaL

uu

u

−=

−+−=−∑ ∏

22102012

20120

22101 )()(.)()4.5(

aaaa

aaaaLv

v

u

−=

−+−=− ∏∑

21122211

22102012

0

110)5.5(

aaaa

aaaa

x

xG

−

−=≡

Ejemplo 5.2

Si el grafo-C, Γ, del sistema lineal es el de la figura 5.13, encontrar la ganancia G30 de este sistema. FIG. 5.13. Grafo completo de un dado sistema.

Solución. Para calcular el denominador de la fórmula de Coates construimos el grafo inicial Γ0, el cual se muestra en la figura 5.14, removiendo la fuente del Γ de la figura 5.13. FIG. 5.14. El grafo inicial Γ0 del sistema dado en la Fig. 5.13.

Los diferentes grafos cadena de Γ0 se construyeron como se muestra en la figura 5.15. El denominador de Coates se da, de acuerdo con la figura 5.15, como:

FIG.5.15. Diferentes grafos-cadena completos de Γ0.

312312332112322311332211

3123121

3321122

3223112

33221130 )()()()(.)()6.5(

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaLu

u

u

−++−=

−+−+−+−=− ∏∑

Para el numerador de Coates para obtener G30, construimos el grafo cadena completo como se muestra en la figura 5.16, con x3 como el nodo prueba. Estos grafos dan el siguiente resultado:

FIG. 5.16. Grafo-cadena completo de Γ.

Substituyendo (5.6) y (5.7) en (5.2), obtenemos:

5.4. Prueba de la fórmula de Coates

Nuestra prueba de la fórmula de Coates está basada en la teoría del determinante. De la ecuación (5.1), te-nemos un sistema de ecuaciones el cual describe a dado sistema:

donde x0 es la fuente (o variable independiente) del sistema.

En forma matricial, la ecuación (5.9) puede ser escrita como: o simplemente

312210322110302112302211

3122101

3221100

3021121

3022112 )()()()(.)1()7.5(

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaavLv

−+−=

−+−+−+−=−∑ ∏

312312332112322311332211

312210322110302112302211

0

330)8.5(

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

x

xG

−++−

−+−=≡

∑=

==n

jjij nixa

0

),...,2,1(0)9.5(

0

10

0

1

1

111

·

·

·

·

·

·

·

···

·····

·····

·····

···

)10.5(

nnnnn

n

a

a

x

x

x

aa

aa

=

−−

−−

00~~.ˆ)11.5( axxa =

A través de la fórmula de Cramer obtenemos la solución:

Cálculo del denominador

Tómese del sistema de ecuaciones los n primeros números primos en su orden natural, esto es:

Introducimos ahora otro conjunto de números ordenados a través de diferentes permutaciones de los ele-mentos de N como: donde la relación entre N y U se da como

En (5.15) la permutación PU lleva el sufijo U para indicar la permutación particular que da U. Así, para di-

ferentes conjunto de números, U’, la permutación se denotará por PU’. Es bien conocido en la teoría de los determinantes que D de la ecuación (5.12) puede ser escrita explíci-

tamente como:

donde el símbolo de permutación se define como:

con r igual al número de intercambio de pares de los elementos involucrados en PU.

El punto clave de este análisis ahora radica en los diferentes resultados de U para diferentes P. Como pro-pósito presente será más conveniente referir cada paso de permutación como un intercambio de pares de nú-meros, para distinguirlo de la serie de permutaciones cuyo resultado final es denotado por P en la ecuación (5.15). En el siguiente análisis el producto de (5.16) siempre estará escrito de acuerdo con el orden de p, por razones de claridad.

0

000

0

~por ˆde ésima-s

columna la den sustituciópor forma se cual la matriz la de tedeterminan el

ˆ de tedeterminan el

nodoalnodoeldesdeganancialaes/donde

/)12.5(

aa

D

aD

xxxxG

DDG

s

sss

ss

===

=

nN ,...,3,2,1)13.5( =

nuuuuU ,...,,,)14.5( 321=

NPU U=)15.5(

∏∑=

−=n

pppu

nuuu

n aD

Udiferenteslostodosdesuma 1

,...,2

,1

.)()16.5( E

r

nuuu )(,...,

2,

1 −≡E

Los términos involucrados en la ecuación (5.16) pueden ser separados en los siguientes casos de acuerdo con el mínimo número de intercambio de pares necesarios para transformar N en una particular U. Entonces tenemos: Ningún intercambio de pares

Existe una sola posible U, esto es, U = N. Esto da el término:

La figura 5.17 muestra el correspondiente grafo-C de este término el cual consiste en todos los nodos del

grafo completo excepto la fuente x0. Solamente los autobucles se presentan en este factor. El signo de este término se encuentra claramente determinado por el número total de autobucles presentes; positivo (negativo) aun si el número total es impar. FIG. 5.17. El grafo-C correspondiente a la Ec.(5.17). Un intercambio de pares

Existen nC2 diferentes U, por lo que tenemos en este caso n (n – 1)/ 2 términos. Un término típico es

el cual corresponde al grafo-C que se muestra en la figura 5.18. Se observa que el término es un producto de todas las ganancias de bucle con el signo algebraico ( – )L, donde FIG. 5.18. El grafo-C correspondiente a la Ec.(5.18). L es el número total de bucles. Es fácil de ver porque, ya que en este caso ( – )L = ( – )n-1 = ( – )n( – ) como se requiere por (5.18). Intercambio de dos pares

Como siguiente ilustración, discutiremos ahora un caso simple el cual puede ser visto de dos maneras di-ferentes: A. Dos pares con ningún elemento en común

nnn aaaa ,···)()17.5( 332211−

nnsffsn aaaaa ,···,···,···)()()18.5( 2211−−

nngtfsn aaasfaaaa ···············)()()19.5( tg2211

2−−

donde el intercambio de pares se realiza entre (f,s) y (g,t) respectivamente. El gráfico correspondiente se muestra en la figura 5.19, y el término obviamente es el producto de todas las ganancias de bucle con el signo ( – )L. FIG. 5.19. El grafo-C correspondiente a la Ec.(5.19). B. Dos pares con un elemento en común

Existen dos posibles formas de realizar el intercambio de pares:

(1) Primero el par (s,f), luego (f,m), o primero (s,m), luego (s,f); estos intercambios nos dan el siguiente tér-mino:

la cual tiene el grafo-C de la figura 5.20. Obviamente, este término es un producto de todas las ganancias de bucle con el signo algebraico ( – )L. FIG. 5.20. El grafo-C correspondiente a la Ec.(5.20). (2) Primero el par (f, m), luego (s, f), o primero (s, f), luego (s, m): estos intercambios dan un término:

con un grafo-C que se muestra en la figura 5.21. Esto muestra que (5.21) es otra vez un producto de todas las ganancias de bucle con el signo ( – )L. FIG. 5.21. El grafo-C correspondiente a la Ec.(5.20). Conclusión General

Siguiendo las definiciones dadas en la sección 5.2, concluiremos lo siguiente acerca de D:

nnmffssmn aaaaaa ············)()()20.5( 2211

2−−

nnmsfmsfn aaaaaa ············)()()21.5( 2211

2−−

El conjunto de términos de D corresponde al conjunto de los diferentes grafos cadena completos del sis-tema inicial. Aunque esto haya quedado muy claro gracias al análisis anterior, daremos los argumentos para ello: Razonamiento. (1) Todos los nodos deben ser incluidos (por lo que también los grafos-cadena completos), ya que una per-turbación nunca destruye números sino que sólo cambia el orden de números. El nodo fuente no entrar por-que p ≠ 0 y Up ≠ 0 para D (por lo tanto también el sistema inicial). (2) Un intercambio de pares sólo combina dos bucles en uno solo (vea la figura 5.22). El proceso mostrado aquí es en realidad muy general, ya que cualquier bucle aislado se puede reducir a un autobucle. Los bucles resultantes son siempre aislados entre sí ya que U no repite elementos. FIG. 5.22. Combinación de dos bucles en uno a través de un intercambio de pares.

El signo ( – )LU se adjunta al u-ésimo término de D (el término de un U específico o determinado).

Razonamiento. Esto es simplemente una consecuencia del factor

Esto puede ser escrito en una sola expresión:

Cálculo del Numerador

Lo siguiente es estudiar el numerador Ds de la ecuación (5.12). Primero, introducimos el conjunto de nú-meros ordenados

esto es, Nj se construye de N reemplazando lo j-ésimos números por cero.

Entonces, análogamente con la U introducida anteriormente, introducimos otro conjunto ordenado de nú-meros por diferentes permutaciones de los elementos de Nj:

donde PV denota una permutación particular tal que Nj se transforme en Vj. Explícitamente, escribimos Vj como

,···,1

nuuE

C0

)()22.5(U

U

ULD ∑ −=

,···,1,0,1,···,2,1)23.5( njjN j +−≡

jVj NPV =)24.5(

,···,,)25.5( 21j

njj

j vvvV ≡

Ahora, por la teoría de los determinantes podemos escribir Ds como

La discusión sigue como antes; ya que la mayoría de los argumentos son similares daremos una somera

prueba: Ningún intercambio de pares

Existe una única posible Vs, que es Vs = N, correspondiente al término:

el cual tiene un grafo como el de la figura 5.23 FIG. 5.23. El grafo-C correspondiente a la Ec.(5.27). Un intercambio de pares

Las dos posibilidades son: que el par sea (f, g), f ≠ 0, g ≠ 0 o que el par sea (f, 0), f ≠ 0 (a) el par (f, g). Hay entonces (n – 1)(n – 2)/2 términos de este tipo, uno típico sería

el cual corresponde al grafo que se muestra en la figura 5.24 FIG. 5.24. El grafo-C correspondiente a la Ec.(5.28)

∏∑=

−−=n

ps

ppvsnvsvsv

n aDs

Vdiferenteslostodosdesumatoria 1

,···,2,1

1)()26.5( E

nnsn aaaa ······)()27.5( 02211

1−−

nnsn aaaa ······)()28.5( 02211−

(b) el par (f, 0). Hay n – 1 términos de este tipo, como

el cual corresponde al grafo de la figura 5.25 FIG. 5.25. El grafo-C correspondiente a la Ec.(5.29).

Los casos que involucran más números de intercambios son similares. Conclusión General

Siguiendo con la misma línea de razonamiento como para el denominador, podemos dar las siguientes conclusiones acerca del numerador Ds: (1) El conjunto de todos los términos de Ds corresponde al conjunto de todos los grafos-cadena completos

del sistema (del sistema completo, no del sistema inicial). (2) El signo ( – )L

V se adjunta al v-ésimo término (el término de una particular V) de Ds, donde LV es el núme-ro de bucles contenidos en el grafo para el v-ésimo término.

Otra vez, esto puede ser puesto en una sola expresión:

La sustitución de (5.22) y (5.30) en (5.12) nos lleva a:

el cual es la fórmula de Coates, como se vio en la sección 5.3.

5.5. Fórmula de la ganancia de Mason

Vamos a ver ahora la fórmula de Mason para la ganancia, con algunos ejemplos simples. Para sistemas lineales descriptos por la siguiente ecuación:

nnsffn aaaaa ·········)()29.5( 02211−

∑ ∏−=V

VVL

sD )()30.5(

∑

∑ ∏−

−==

UU

UL

VV

VL

ss D

DG

C00

)(

)()31.5(

la ganancia Gs0 ≡ xs/x0 puede ser calculada del correspondiente grafo de flujo por medio de la fórmula de Ma-son:

donde LV: el número de bucles contenidos en el grafo del v-ésimo término. LU: el número de bucles contenidos en el grafo del u-ésimo término. ËV: el producto de todas las ganancias de bucle y la ganancia del camino directo contenido en el v-ésimo gra-fo cadena. (por supuesto que al fuente se incluye, y es importante marcar la diferencia entre la definición de grafo cadena y grafo cadena completo). ËU

0: el producto de la ganancia de bucle de todos los bucles contenidos en el u-ésimo grafo cadena del siste-ma inicial (la palabra inicial se remarca con el sufijo 0, esto es, la fuente se remueve del sistema).

Ejemplo 5.3

Si el grafo completo de flujo de señal, Γ, del sistema es el que se da en la figura 5.26, encontrar la ganancia Gyx = y/x, por me-dio de la fórmula de Mason. FIG. 5.26. Un ejemplo de Γ.

Solución. El denominador se halla a través del grafo inicial de Γ, el cual se muestra en la figura 5.27. Todos los otros diferentes grafos que corresponden a los términos en el denominador se muestran en la figura 5.28. FIG. 5.27. El grafo inicial Γ0, obtenido de Γ.

∑=

==n

jjij nixa

0

),···,2,1(0)32.5(

∑

∑−+

−=

UU

UL

VV

VL

A

AGso

0)(1

)()33.5(

FIG. 5.28. Los grafos cadena de Γ0 para el denominador.

De la figura 5.28 obtenemos el denominador de (5.33) como (5.34)

Ahora, calculemos el denominador para Gyx considerando el nodo y como el nodo prueba de Γ. Los gafos cadena se muestran

en la figura 5.29 FIG. 5.29. Los grafos cadena de Γ para el numerador.

Por medio de la figura 5.29, escribimos

Combinando (5.34) y (5.35), obtenemos

Ejemplo 5.4

Chequear el resultado del Ejemplo 1 de la sección 5.3 primero transformando el grafo-C de la figura 5.9 en un grafo de flujo, y

luego usando la fórmula de Mason obtener G10 = x1/x0.

dfehdghdefdgh

UdfehdghdefdghAU

UL

++++−=

+−+++−+=−+ ∑

)(1

)()()()(1)(1)34.5( 210

abfhcdf

abfcdfhcdfVAVL

+−=

∑ −+−+−=−

)1(

0)(1)(0)()()35.5(

dfehdghdefdgh

abfhcdf

x

yG yx ++++−

+−=≡

)(1

)1()36.5(

Solución. Por medio de la transformación dada en la sección 3.8 transformamos el grafo-C de la figura 5.9 en un grafo de flujo (figura 5.30). FIG. 5.30. Un ejemplo de Γ.

Los grafos para el denominador de G10 se dan en la figura 5.31, por la cual podemos escribir:

FIG. 5.31. Grafos para el denominador de G10.

Los grafos para el numerador de G10 se dan en la figura 5.32, por la cual podemos escribir

FIG. 5.32. Grafos para el numerador de G10.

21122211

21121

22112

221

1110

)()1)(1()()1()()1()(1)(1)37.5(

aaaa

UaaaaaaAU

UL

−=

−+++−++−++−+=−+ ∑

22102012

20120

22101

1000

)()1()()()()38.5(

aaaa

VaaaaaAV

VL

−=

−++−+−=−∑

Combinando (5.37) y (5.38), tenemos

la cual da el mismo resultado que en la ecuación (5.5).

5.6. Deducción de la fórmula de la ganancia de Mason

Introducción

La derivación de la fórmula de Mason es muy similar a la de Coates. Primero introducimos:

por lo tanto la ecuación (5.1) puede ser escrita como

o en forma matricial

o simplemente

Cálculo del denominador

La deducción que sigue es muy parecido a la que hicimos para la fórmula Coates. El D de la sección 5.4 se expande primeramente como

en el cual los bpup se definen por

21122211

2210201010)39.5(

aaaa

aaaaG

−

−=

ijijij at δ+≡)40.5(

∑=

=−n

jjijij xt

0

0)()41.5( δ

00~~·ˆ)43.5( axxb =

∏∑=

−=n

pppu

nuuu bnD

Ulastodas 1,...,

2,

1)()44.5( E

0

20

10

2

1

1

22221

11211

·

·

·

·

·

··

)1(···

··

··

··

···)1(

···)1(

)42.5(

nnnnn

n

n

a

a

a

x

x

x

ta

ata

aat

=

−−

−−−−−−

y

Nuestro siguiente análisis está basado en el intercambio de pares que vimos anteriormente.

Ningún intercambio de pares

Existe una sola U, esto es, U = N. Así tenemos el término

Expandiendo (5.47) tenemos

o

puab pppuppu ≠= si)45.5(

)siesesto(1)46.5( putb ppppp =−=

)1(···)1)(1()()47.5( 2211 −−−− nnn ttt

−+−− ∑ ∏= =

−n

j

j

iii

jnnn t1 1

·)()(·)(

∑ ∏= =

−+

n

j

j

iii

j t1 1

·)(1)48.5(

FIG. 5.33. Grafo correspondiente a la Ec.(5.31).

La sumatoria en la ecuación (5.48) corresponde a la suma del conjunto de grafos de Mason como los que se muestran en la figura 5.33.

Se observa que el grafo es una sumatoria de todos los posibles productos de bucle, tomando uno por vez, después grupos de a dos, luego grupos de a tres, etc., adjuntando el signo ( – )L a cada producto, donde L es el número de bucles involucrados en el grafo de ese término. Intercambio de un solo par

Hay nC2 diferentes U. Por lo tanto tenemos n(n – 2)/2 posibilidades. Un ejemplo típico es

Expandiendo (5.48) nos lleva a

o

donde k = número de bucles en el correspondiente grafo (en este caso particular k = j + 1), y la doble comilla en ∑ y Π significa j ≠ s,f.

El primer término de la ecuación (5.50) corresponde al grafo de Mason como se muestra en la figura 5.34 FIG. 5.34. Grafo correspondiente al primer término de la Ec.(5.33).

)1(·········)1(·)1(·)()()49.5( 2211 +−−−− nnsffsn taatt

−+−− ∑ ∏

= =

−−−−n

j

j

iii

jnnsffs

n taa1 1

´´2´´21 ·)()()(

∑ ∏= =

−+−

n

j

j

iiisffssffs tkaaaa

1 1

´´´´ ·)()50.5(

Un término típico en la sumatoria de la ecuación (5.50) es

FIG. 5.35. Grafo correspondiente a un término típico en la sumatoria de la Ec.(5.50).

Los detalles son los mismos a los que hicimos en la fórmula de Coates, por lo que escribimos las siguien-tes conclusiones: (1) El D en la fórmula de Mason es igual a uno más la sumatoria de todos los diferentes posibles grafos ca-

dena del sistema inicial. Razonamiento. La justificación es similar a la que hicimos para la fórmula de Coates. La diferencia principal está en que un solo término corresponde a cada grafo cadena en Coates, mientras que en Mason considera-mos todos los posibles grafos cadena del grafo cadena completo, con el propósito de obtener todos los posi-bles términos involucrados en D. (2) El signo ( – )Lf se adjuntan a cada término de D donde Lf es el número de bucles involucrados en el grafo

correspondiente a ese término. Razonamiento. La única diferencia entre los grafos de Coates y Mason se encuentra en los términos de la diagonal de las ecuaciones (5.10) y (5.42). Es fácil de ver que si consideramos la ecuación (5.44) como una transformación de la (5.8) introduciendo

donde tii y aii son, respectivamente, los autobucles en los grafos de Mason y Coates. Si un par de términos, apup bpup, no contienen autobucles, ellos deben ser de la misma forma. Para términos con sólo un autobucle tendremos una cosa como esta:

donde (5.53) en realidad contiene dos términos; esto es,

El primer término muestra que el signo se fija de la misma forma que en Coates, ya que es de la misma

forma como en la ecuación (5.52). El segundo término tiene un autobucle menos (o no tiene autobucle en

rrkkbbsffs tttaa3)(−

iiii at −=− )1()51.5(

)(···)1(···)53.5(

)(······)52.5(

342513

8342513

Masontaaa

Coatesaaaaa

jj

njj

−

8342511

8342511

···y

······

n

njj

aaaa

ataaa

−

este caso); por lo que el signo ( – ) adjunto justifica la regla del signo presentada anteriormente. Por induc-ción podemos ver que esto es cierto en todos los casos.

Estas conclusiones pueden ser puestas en una sola expresión:

donde ΛU

0 se encuentra definido en la sección 5.50.


El numerador, Ds, en la fórmula de Mason, se calcula casi de la misma forma que D. El cálculo no será re-petido aquí, pero los resultados son:

donde ΛU se encuentra definido en la sección 5.5.

Finalmente, las ecuaciones (5.54) y (5.55) pueden ser combinadas para dar

la cual es la fórmula de Mason, como se vio en la sección 5.5.

5.7. Aplicación de los métodos de Mason y Coates para el cálculo de la ganancia

En lo siguiente vamos a mostrar con dos ejemplos como el cálculo de la ganancia puede ser hecha por el método de reducción, por Mason, y por Coates.

Ejemplo 5.5. Amplificador con realimentación paralelo.

Para un amplificador realimentado con una impedancia Z, el circuito equivalente es el que se muestra en la figura 5.36, y el co-rrespondiente grafo de flujo de señal se da en la figura 5.37. FIG. 5.36. Amplificador a transistor con realimentación paralelo.

∑ −+=U

UUL AD 0)(1)54.5(

∑ −=U

UUL

s AD 0)()55.5(

∑

∑−+

−=

VV

VLU

UUL

sA

AG

00)(1

)()56.5(

FIG. 5.37. Grafo de la Fig. 5.36. FIG. 5.38. Ejemplo de reducción del grafo de la Fig. 5.36. (i) Cálculo de la ganancia por reducción

La reducción del grafo de la figura 5.37 se obtiene por eliminación, por ejemplo de los nodos iz, ie, i1, i2, is. Del grafo de la figura 5.38 podemos deducir la ganancia

(ii) Cálculo de la ganancia por Mason

En lo que sigue, los detalles del cálculo son analizados de la misma forma que para el ejemplo del amplificador realimentado de la sección anterior.

)·(

)(

1111

1112

1

2

hZhrZh

hZhr

v

vG

l

l

∆++

−−==


Todos los diferentes grafos-cadena involucrados en el numerador se muestran en la figura 5.39.

FIG. 5.39. Grafos-cadena de la Fig. 5.37 para el cálculo del numerador.

Cálculo del Denominador

Todos los diferentes grafos-cadena del sistema inicial se muestran en la figura 5.40.

FIG. 5.40. Grafos-cadena del sistema inicial para calcular la ganancia del denominador.

Así la ganancia del sistema está dada por la ecuación (5.53)

Por lo tanto

(iii) Cálculo de la ganancia por Coates Del circuito equivalente de la figura 5.36 podemos construir el grafo-N de la figura 5.41 FIG. 5.41. Grafo-N de la Fig. 5.36.

El grafo-C de la figura 5.42 no se obtiene del grafo-N de la figura 5.41 por superposición, por ejemplo, los pares de nodos (i1, N1), (ie, N2), (iz, N3), (i2, N4), (is, N5), (V2, N6).

∑

∑

Λ−+

Λ−=

UU

UL

VV

VL

G0

)(1

)(

hZhrZh

hZhr

V

VG

l

l

∆++

−−==

1111

1121

1

2 )(

FIG. 5.42. Grafo-C de la Fig. 5.41.

Si el grafo de flujo es dado, podemos obtener el grafo-C por la transformación vista en la sección 3.8.


Construimos el grafo-cadena completo del grafo-C de la figura 5.42 como se muestra en la figura 5.43. FIG. 5.43. Grafos-cadena completos de los grafos-C de la Fig. 5.42.

Cálculo del Denominador

Tenemos que considerar sólo el grafo inicial; entonces el grafo-cadena completo del sistema inicial se construye como se mues-tra en la figura 5.44.

De las figuras 5.43(a) y (b) escribimos

Luego, las figuras 5.44(a) a (d) dan la contribución

Finalmente, por la ecuación (5.31), obtenemos

∏∑ −−+−−=− V llV

VL hrZrh )()()()()( 113

212

∏∑ −+−+−+−=− 011

42211

42112

311

6 )()()()()( U rhZrhhZrhhZhLU lllU

con

el cual comprueba el resultado obtenido previamente por los otros métodos. FIG. 5.44. Diferentes grafos-cadena completos para el cálculo del denominador.

Ejemplo 6.6. Amplificador realimentado (serie)

Para este amplificador realimentado con una impedancia Z, se tiene el circuito equivalente que se muestra en la figura 5.45. FIG. 5.45. Amplificador a transistor realimentado serie. El grafo de flujo correspondiente se da en la figura 5.46.

)( 1111

1121

hZhrZh

rhZrhG

l

ll

∆++

+−=

21122211 hhhhh −≡∆

FIG. 5.46. Grafo de la Fig. 5.45. (i) Cálculo de la ganancia por reducción

El grafo de la figura 5.46 puede ser reducido eliminando los nodos V1, i1, i2, V2, Vz como en la figura 5.47. Del grafo anterior podemos deducir la ganancia.

FIG. 5.47. Reducción del grafo de la Fig. 5.46.

11122122

2221

1 hhrhhhrhZ

rZhrh

v

svG

ll

ll

c +∆+−+∆++

+−=≡

FIG. 5.47. (continuación) FIG. 5.48. Grafos-cadena de la Fig. 5.46 para el cálculo de la ganancia del numerador.

FIG. 5.49. Cálculo de la ganancia del denominador. (ii) Cálculo de la ganancia por Mason

En lo siguiente, los detalles del cálculo son analizados de la misma forma que el amplificador usado en la sección anterior, co-mo se muestra en las figuras 5.48 y 5.49.

Aplicando la expresión general de Mason, tenemos: la cual afirma el resultado obtenido por reducción.

21122211

11221221

2221

con

1

hh-hhh

hhrrhhhhZ

Zrhrh

v

vG

ll

ll

e

s

≡∆

+∆++−+∆+

+−=≡

FIG. 5.49. (continuación). (iii) Cálculo de la ganancia por Coates.

Del grafo de flujo de la figura 5.46, podemos construir el grafo-C de la figura 5.50. FIG. 5.50. Grafo-C correspondiente al grafo de la Fig. 5.46. Cálculo del Numerador

Construimos el grafo-cadena completo del grafo-C de la figura 5.50 como se muestra en la figura 5.51.

FIG. 5.51. Grafos-cadena completos del grafo-C de la Fig. 5.50. Cálculo del Denominador

En este caso tendremos que considerar solamente un grafo inicial, por el cual podemos construir los grafos-cadena completos como se muestran en la figura 5.52.

FIG. 5.52. Diferentes grafos-cadena completos para el cálculo del denominador.

Siguiendo la misma metodología que en el Ejemplo 5.5, el sistema dado tiene una ganancia:

la cual afirma el resultado obtenido por reducción y Mason.

21212211

11221221

2221

con

1

hhhhh

hrhrhhhhZ

Zhrhr

v

vG

ll

ll

e

s

−≡∆

∆+++−+∆+

+−=≡

Capítulo 6

Diagrama en bloque versus diagramas de flujo de señal

6.1. Introducción

El diagrama en bloque fue el primer intento para representar un sistema físico mediante configuraciones topológicas, antes de la aparición de los grafos de flujo de señal. Como lo mencionáramos en el primer capí-tulo, los diagramas en bloque son menos útiles que los diagramas de flujo de señal debido a que las reglas para su uso no nos permiten una manipulación y transformación simple o fácil (8). Esto se puede entender mejor si se compara a los dos métodos, y veremos que la diferencia principal está en las convenciones defini-das para la adición de señales.

6.2. La correlación entre diagramas en bloque y diagramas de flujo de señal

Por medio de ecuaciones algebraicas, es comparativamente fácil de establecer la correlación entre diagra-mas de bloque y diagramas de flujo de señal. Enumeramos esta correlación en la Tabla 6.1.

En los ejemplos siguientes se comparan estos dos métodos.

Ejemplo 6.1. Válvula de vacío seguidor de cátodo de la sección 3.3

Las ecuaciones que describen este amplificador son:

de las cuales podemos construir el diagrama en bloque que se muestra en la figura 6.1 Tabla 6.1

kk

kpgk

g

iRe

Rrei

eee

=

+=

−=

−

2

1

21

)(µ

Tabla 6.1. FIG. 6.1. Diagrama en bloque del tubo de vacío seguidor de cátodo de la sección 3.3.

El diagrama de flujo de señal que se vio en la sección 3.3 se repite aquí en la figura 6.2 FIG. 6.2. Grafo del tubo de vacío seguidor de cátodo.

6.3. Transformación y cálculo de la ganancia en los diagramas en bloque

El ejemplo de la sección anterior muestra la simplicidad del diagrama de flujo de señal en comparación con el diagrama de bloque aun en la representación gráfica. Tal simplicidad no es en realidad lo más impor-tante. Los hechos más importantes son: (i) La reducción (esto es, transformaciones topológicas) puede ser realizada de forma más elegante en dia-

gramas de flujo de señal que en diagramas de bloque. (ii) La ganancia puede ser calculada tanto por reducción como empleando la fórmula directa, en una manera

comparativamente más simple en los diagramas de flujo de señal.

Especialmente en sistemas de control los diagramas en bloque son muy usados. Usualmente, se dan los diagramas de bloque en vez de las ecuaciones que describen el sistema. En estos casos, podremos transfor-mar el diagrama en bloque en diferentes diagramas en bloque por medio de los métodos de los diagramas de flujo de señal. Esto es, podremos primero dibujar el diagrama de flujo de señal del diagrama en bloque dado por medio de la Tabla 6.1. Entonces por transformación o reducción se podrá obtener los diferentes diagrama de flujo de señal del primero por el cual empezamos. De estos diagramas de flujo de señal, podremos esta-blecer otra vez los correspondientes diagramas en bloque.

Algunas veces, cuando no es fácil dibujar un diagrama en bloque del circuito eléctrico dado o del esquema del sistema de control, podemos hacer lo siguiente: (i) Construimos el diagrama de flujo de señal del diagrama circuital dado (o del sistema de control expresa-

do en sus elementos). (ii) El diagrama en bloque se construye del diagrama de flujo de señal con sus respectivas correlaciones

enumeradas en la Tabla 6.1.

Observación. Un simple truco para calcular la ganancia es primeramente modificar la sumatoria del dia-grama (fig. 6.3) como se muestra en la figura 6.4. FIG. 6.3. Sumatoria. FIG. 6.4. Sumatoria (una modificación de la Fig. 6.3).

La sumatoria en el nuevo diagrama (figura 6.4) involucra sólo la suma en vez de la resta como en el dia-grama original (figura 6.3). Así la sumatoria tendrá simetría con respecto a todas las señales entrantes. Esto facilita el cálculo de la ganancia del sistema tanto por el método directo como por reducción similarmente a lo realizado en el diagrama de flujo de señal.

Ejemplo 6.2

Encontrar el diagrama en bloque de la fuente por medio del método del diagrama de flujo de señal Solución. La figura 6.5 muestra el circuito equivalente de esta fuente (7). La tensión de entrada puede ser suministrada, por

ejemplo, por un rectificador con una variación v1. El resistor R es la combinación serie de la resistencia interna del rectificador y la FIG. 6.5. Circuito equivalente de la fuente estabilizada en paralelo a transistores. Resistencia estabilizadora. El amplificador de esta fuente tiene una ganancia de corriente Gc y una resistencia de entrada ri. El ele-mento de referencia está representado aquí por generador de tensión con una resistencia interna r, con una variación de la fem igual a vr (por ejemplo, debido a variaciones de temperatura).

El divisor de tensión r1-r2 se usa para ajustar la tensión de salida al valor deseado. Z0 es la impedancia conectada a la salida en paralelo con la impedancia de carga con propósitos de compensación. Las cantidades i2 y v2 son variables, como fueron aclaradas en la discusión anterior.

Del circuito equivalente de la figura 6.5, es fácil de dibujar el diagrama de flujo de señal por inspección. El diagrama de flujo resultante se muestra en la figura 6.6. FIG. 6.6. Grafo del circuito equivalente de la Fig. 6.5. Hay tres nodos fuente como se muestra en la figura 6.6. Las dos primeras i2 y v1, que se corresponden físicamente a la variación de la corriente en la carga y la variación de la tensión de línea. La tercera es vr, la cual representa el elemento de referencia. FIG. 6.7. Grafo reducido obtenido de la Fig. 6.6. Por reducción del diagrama de la figura 6.6, obtenemos el grafo de la figura 6.7, donde

El último diagrama de flujo de señal introduce el parámetro de la fuente. El primer nodo fuente, (v1 – Ri2), representa la perturba-ción dinámica, el segundo nodo fuente, vr, representa las perturbaciones debidas a la variación del elemento de referencia. Las transmitancias G y H dan, respectivamente, la ganancia total y el factor de realimentación involucrado.

21

2

2102

21

121

2

2

11

)((

rr

r

rrZRH

rrrr

rrH

rr

rG

rr

RG

H

i

ic

i

+=

++−=

++−=

+−

+=

FIG. 6.8. Diagrama en bloque de la fuente estabilizada de la Fig. 6.5. Por medio de la Tabla 6.1, podemos deducir el diagrama de flujo de señal de la fuente que se muestra en la figura 6.8 del diagrama de flujo de señal de la figura 6.7.

Ejemplo 6.3

Calcular la transmitancia total del diagrama en bloque dado en la figura 6.9 con respecto a la entrada e y la perturbación d. El nivel de salida consta de dos partes: la salida s1 debido a la señal y la salida s2 debido a la perturbación. FIG. 6.9. Diagrama en bloque dado.

Este problema puede ser resuelto en dos diferentes formas. En las dos podemos mantener el mismo diagrama en bloque y eva-luar la transmitancia T1 = s1/e y T2 = s2/d por cálculo directo; o podemos transformar el diagrama en bloque en un diagrama de flujo de señal, y luego calcular las transmitancia T1 y T2 por reducción o por el método directo.

Solución 1. El diagrama en bloque de la figura 6.9 puede ser transformado en el diagrama en bloque de la figura 6.10. FIG. 6.10. Diagrama en bloque de la Fig. 6.9 luego de la modificación de la sumatoria.

Enumeramos en la figura 6.11 los diferentes pasos en el cálculo de las transmitancias T1 y T2. (i) Cálculo de T1. El grafo cadena de la figura 6.10 para el cálculo del numerador de T1.

Los grafos cadena (a) y (b) del grafo inicial de la figura 6.10 para el cálculo del numerador de T1. FIG. 6.11. Diferentes pasos para calcular la transmitancia T1 = s1/e de la Fig.6.9. De la figura 6.11, obtenemos la ganancia del sistema

(ii) Cálculo de T2. De la misma forma obtenemos la relación entre la salida s2 y d:

Solución 2. Dibujamos el diagrama de flujo de señal de la figura 6.12 del diagrama en bloque de la figura 6.10. FIG. 6.12. Grafo de la Fig. 6.10.

Después de algunas reducciones, obtenemos el diagrama de flujo de señal de la figura 6.13, del cual:

3212321

32111 1 GGGHGGH

GGG

e

sT

++==

3212321

32

12

GGGHGGH

G

d

sT

++==

Alternativamente podemos evaluar las transmitancias por cálculo directo, obteniendo el mismo resultado (el cual dejamos al lector como verificación). FIG. 6.13. Reducción del grafo de la Fig. 6.10.

Ejemplo 6.4

Encontrar la transmitancia T ≡ θ/e del sistema de control Ward-Leonard que se muestra en la figura 6.14. Ya que este es un ejemplo clásico de un sistema de control, no daremos los detalles del problema, los cuales se pueden encon-

trar en cualquier libro de máquinas de continua. FIG. 6.14. Sistema de control Ward-Leonard.

Solución. El diagrama de flujo de señal se construye como se muestra en la figura 6.15 FIG. 6.15. Grafo del sistema de control Ward-Leonard.

)(12

y

)(11

12132

32

12132

3211

GHHGG

G

d

sT

GHHGG

GGG

e

sT

++==

++==

La transmitancia es:

τe: la constante eléctrica = l/r τm: la constante mecánica = J/F + k1 k3 Z

-1 FIG. 6.16. Diagrama en bloque del sistema de control Ward-Leonard.

Ahora el diagrama en bloque del Ward-Leonard se puede construir de la figura 6.15 con las consiguientes correlaciones de la Tabla 6.1. El diagrama en bloque resultante se da en la figura 6.16.

)(donde

)1)(1(

))((

è

132

121

132

121

−

−

−

−

+=

++=

+++==

ZkkFr

Zkkk

ssS

k

ZkkFJslsrs

Zkk

eT

me ττ

Capítulo 7

Estudio de algunas de las propiedades de los sistemas lineales por los diagramas de flujo de señal

7.1. Introducción

Uno de los aspectos importantes en el estudio de un sistema lineal es determinar la influencia de ciertos elementos sobre el desempeño de todo el sistema, el cual se caracteriza a través de su ganancia, impedancia de entrada, impedancia de salida, y sensibilidad del mismo. Estos serán nuestros temas principales en este capítulo.

En nuestro estudio subsecuente de los sistemas lineales en este texto, siguiendo algunas de las ideas de R. M. Goldwyn (9), introduciremos los conceptos de diferencia de entrada nula y diferencia de salida nula, y usaremos estos para obtener una generalización de la fórmula de Bode.

También definiremos la noción de sensibilidad, y estableceremos su relación con la diferencia de entrada nula y diferencia de salida nula. Finalmente, discutiremos el cálculo de la impedancia de red con algunos ejemplos ilustrativos.

7.2. Algunos conceptos sobre sistemas lineales

Describamos al sistema lineal en estudio por medio del siguiente sistema de ecuaciones algebraicas:

donde x0 es la variable independiente (o la fuente en la representación gráfica) y xi (j ≠ 0) las variables inde-pendientes, como antes.

En un sistema completo, estamos interesados en la determinación de los efectos que algunos parámetros del sistema ejercen sobre su desempeño general. En grafos lineales, estos parámetros están relacionados con las transmitancias de las ramas.

Supóngase, entre un gran número de parámetros del sistema, quisiéramos evaluar particularmente los efectos que p parámetros ejercen sobre el desempeño del sistema. Para facilitar nuestras subsecuente discu-siones, primeramente rearreglaremos las n ecuaciones y las n variables de la ecuación (7.1), así las p primeras ecuaciones contendrán aquellos p parámetros de interés. Por conveniencia, reservemos los p primeros coefi-cientes de iguales sufijos, esto es akk, donde k = 1, 2, ... , p de la ecuación (7.1), para aquellos parámetros.

En general, un parámetro en un sistema lineal puede consistir en más de un elemento (por ejemplo, impe-dancias en paralelo). Algunas veces el efecto de un simple elemento físico el cual corresponde a una parte de un parámetro, digamos akk, sea de interés, y es normal dividir este parámetro particular akk en dos partes a efectos de cómputo.

),···,2,1(0)1.7(0

nixan

jjij ==∑

=

kkkkk baa += ´)2.7(

Aquí bk representa el elemento cuyo efecto sobre todo el sistema queremos nosotros determinar, mientras akk’ denota la parte restante del parámetro. Para los demás coeficientes del sistema (excepto aquellos coefi-cientes akk, k = 1, 2, ... , p como se menciona arriba), tenemos simplemente

Por medio de las ecuaciones (7.2) y (7.3), el sistema de ecuaciones en (7.1) puede ser separado en dos

grupos:

donde la barra sobre k es usada para denotar aquellos sufijos que tienen valores mayores que p.

Las ecuaciones (7.4) y (7.5) juntas dan el diagrama de flujo de señal de la figura 7.1, donde se muestra uno de los nodos de interés, xk.

Para simplificar la ecuación (7.4), introducimos una nueva variable ξk definido por

entonces las ecuaciones (7.4) y (7.5) pueden ser escritas como:

FIG. 7.1. Grafo de las Ecs.(7.4) y (7.5) y el diagrama de flujo de la figura 7.1 se transforma en el de la figura 7.2, donde se introduce la nueva varia-ble ξk

Por la regla de Cramer, las ecuaciones (7.7) y (7.8) pueden ser resueltas en forma simultánea para dar

´)3.7( ijij aa =

∑

∑

=

=

+==

==+

n

jjkj

n

jkkjkj

npkxa

pkxbxa

0

0

),···,1(0´)5.7(

),···,2,1(0´)4.7(

kkk xb≡ξ)6.7(

0´)8.7(

0´)7.7(

=

=+

∑

∑

jkjj

jkjkj

xa

xa ξ

FIG. 7.2. Grafo de las Ecs.(7.7) y (7.8).

Por los detalles de manipulación algebraica, el lector puede ver el Apéndice I. Para una nueva definición de la ganancia del sistema, Gio’, desde el nodo fuente xo al xi, como

y definiendo también la ganancia de transmisión, Tik’, desde el nodo ξk al xi, como

entonces, la ecuación (7.9) puede ser escrita en una forma más simple

Los nodos de interés se encuentran dados por

Separando el término ξk Tkk’, la ecuación (7.13) se transforma:

columna ésima- e fila ésima- la de elemento delcofactor el´y

´det.´donde

´·´

1´´

´1

)9.7(1

01

0

iqqi

a

axx

st

p

kkikrir

n

ri

≡∆

≡∆

∆∆

−

∆

∆−= ∑∑

==

ξ

∑=

∆∆

−≡n

rriri aG

100 ´´

´

1´)10.7(

´

´´)11.7(

∆∆

−≡ kiikT

∑=

+=p

kikkii TGxx

100 ´´)12.7( ξ

∑=

+=p

kikkkk TGxx

100 ´´)13.7( ξ

Por lo tanto, con xo como el nodo fuente, xs como el nodo sumidero, y con un total de p parámetros de in-

terés, el sistema completo dado por la ecuación (7.1) puede ser también representado algebraicamente por el siguiente conjunto de ecuación:

Ahora, por medio de las ecuaciones (7.15), (7.16), y (7.17), un diagrama de flujo como aquel que se mues-

tra en la figura 7.3 puede ser construido. FIG. 7.3. Grafo de las Ecs.(7.15), (7.16) y (7.17).

En la figura 7.3 damos a entender que el bloque del resto del grafo consiste en las siguientes dos partes: (i) la parte entre paréntesis de la ecuación (7.15). (ii) la parte entre paréntesis de la ecuación (7.16).

Se puede decir que contiene los nodos xl y ξl con l = 1, 2, ..., p, l ≠ k.

Observación. El grafo de flujo de señal de la figura 7.3 se puede obtener también del grafo de la figura 7.2 luego de algunas reducciones, manteniendo los xo, xs, xk y ξk (k = 1, 2, ..., p) en el grafo.

++= ∑

≠=

p

kll

kllkkkkk TTGxx

)(1

00 ´´´)14.7( ξξ

kkk

p

kll

kllkkkkk

p

kll

sllskkss

xb

TTGxx

TTGxx

≡

++=

++=

∑

∑

≠=

≠=

ξ

ξξ

ξξ

)17.7(

´´´)16.7(

´´´)15.7(

)(1

00

)(1

00

Ejemplo 7.1

Encontrar el grafo de flujo de señal de un sistema lineal con dos ramas de interés y con xo y xs como los nodos fuente y sumide-ro, respectivamente.

Solución. Manteniendo la misma notación, las ecuaciones que describen este sistema lineal pueden ser escritas como:

De la ecuación (7.18) construimos el grafo de flujo de señal como se muestra en la figura 7.4.

FIG. 7.4. Grafo de la Ec.(7.18).

Todo lo que hasta ahora hemos hecho es proveernos un adecuado método de separación de los elementos de interés del resto del sistema. Esto nos ayuda a la discusión que sigue.

7.3. Transmitancia de entrada nula y diferencia de entrada nula

El grafo de flujo de señal que estamos considerando se muestra en la figura 7.3. El concepto de transmi-tancia de entrada nula puede ser introducido de la siguiente manera: insertamos un nodo artificial, yk, en cada rama de interés, xkξk (o bk) de tal forma que (i) la rama entrante de yk tiene la transmitancia unidad (ii) la rama saliente de yk tiene la transmitancia bk, como se muestra en la figura 7.5. FIG. 7.5. Grafo de la Fig. 7.3 luego de la introducción del nodo yk.

222

111

2222112002

1221111001

221100

´´´)18.7(

´´´

´´´

xb

xb

TTGxx

TTGxx

TTGxx ssss

≡

≡

++=

++=

++=

ξ

ξ

ξξ

ξξ

ξξ

Con la introducción de yk, la ecuación (7.12) se transforma:

Ahora, para el sistema visto arriba, introduzcamos la cantidad llamada la transmitancia de entrada nula,

εkl, desde el nodo xl al nodo xk, definida por

donde yj’ y yj’’ son, respectivamente, la fuente y el sumidero creados por división de todos los nodos artifi-ciales interiores yj como se muestra en la figura 7.6, y < >in denota simbólicamente las siguientes dos condi-ciones: a) la fuente, xo, se hace igual a cero. b) todas las fuentes artificiales yj’ se hacen iguales a cero excepto yl’. FIG. 7.6. Los nodos yj son separados en los nodos yj' e yj''.

De la ecuación (7.19), después de dividir cada yj, tenemos

esto es, por definición de (7.20)

Como ambos sufijos k y l se transforman de 1 a p, εkl forma en realidad una matriz cuadrada de p x p. De-

notamos esa matriz por ε y la llamamos matriz transmitancia de entrada nula. Esta definición puede ser también expresada como

En el caso p = 1, la matriz transmitancia de entrada nula se reduce a un solo elemento, el cual Bode deno-

mina “tensión de retorno” (10). Por lo tanto, para p >1, se ha generalizado el concepto de Bode de la tensión de retorno.

∑=

+=p

kikkkii TbyGxx

100 ´´)19.7(

entradal

kkl y

y

´

´´å)20.7( ≡

´´

´´kll

entradal

k Tby

y=

´´

´´å)21.7( kll

entradal

kkl Tb

y

y=≡

klå)22.7( ≡ε

De la transmitancia de retorno nulo ε definimos otra cantidad llamada diferencia de entrada nula,

donde 1 es la matriz unidad de p x p.

En el caso de p = 1, la diferencia de entrada nula también se reduce un solo elemento, el cual Bode deno-mina “diferencia de retorno”. Por lo que, para p > 1, hemos generalizado también el concepto de Bode de diferencia de retorno”.

Ejemplo 7.2

Evaluar la transmitancia de entrada nula y diferencia de entrada nula para el diagrama de flujo de señal de la figura 7.7 conside-rando x1ξ1 (o b1) como la única rama de interés. FIG. 7.7. Grafo con una rama de interés.

Solución. La transmitancia de entrada nula, en este caso, es la ganancia del bucle x1ξ1x1, esto es:

y la transmitancia de entrada nula es dada en la forma:

Ejemplo 7.3

Evaluar la transmitancia de entrada nula y la diferencia de entrada nula para el sistema de la figura 7.8 considerando x1ξ1, x2ξ2 (o b1 y b2) como las dos ramas de interés. FIG. 7.8. Grafo de un sistema dado con dos ramas de interés.

´ε

εε −≡ 1´)23.7(

11111 tbå =

1111´11

å)24.7( tb−=

Solución. Insertando los nodos artificiales interiores y1 e y2, y dividiéndolos, respectivamente, en y1’, y1’’ e y2’, y2’’, obtenemos el grafo de la figura 7.9. FIG. 7.9. Grafo de la Fig. 7.8 con los nodos y1 e y2 separados.

Ya que sólo tenemos dos ramas de interés las transmitancias de entrada nulas deben ser matrices de 2 x 2:

Entonces, la diferencia de entrada nula está dada por:

7.4. Transmitancia de salida nula y diferencia de entrada nula

Finalmente, introduzcamos la transmitancia de entrada nula. Para el sistema dado en la figura 7.5, defi-nimos la transmitancia de salida nula ωkl, desde el nodo xl al nodo xk, como

donde los nodos yk’’ e yl’ son definidos como en la sección 7.2, y < >out simboliza las dos condiciones si-guientes: (a) Todas las fuentes artificiales, yk’, se hacen iguales a cero excepto uno de los nodos artificiales interiores,

yl, el cual no es cero. (b) El sumidero del sistema, xs, se hace igual a cero. Esto significa que la fuente xo no puede ser más una

fuente fija sino que sería una fuente con una determinada intensidad de tal forma que xs se haga cero (ve-rifíquese esto con el teorema de los nodos nulos). Ahora, de la ecuación (7.19), después de dividir cada yj, tenemos

donde el valor de xo se obtiene del teorema de los nodos nulos como

00åå

åå 122111

2221

1211 tbtb=≡ε

10

1

´åå

´åå´)25.7(

122111

22´21

12´11 tbtb −−=≡ε

salidal

kkl y

y

´

´´)26.7( ≡ω

´´´´´)27.7( 00 klllkk TybxGy +=

Finalmente, la ecuación (7.27) puede ser escrita como

Los términos, ωkl, definidos por (7.30), forman una matriz de p x p. Denotamos esta matriz por Ω y lo llamamos la matriz transmitancia de salida nula, esto es,

De la ecuación (7.31), se puede definir otra cantidad llamada la diferencia de salida nula, denotada por

(donde 1 es la matriz unidad de p x p), la cual es similar a la generalización de la definición de Bode.

Ejemplo 7.4

Evaluar la transmitancia de salida nula y diferencia de salida nula para el grafo de la figura 7.7 FIG. 7.10. Grafo deducido de la Fig. 7.7 para el cálculo de la transmitancia de salida nula.

Solución. Para calcular la transmitancia de entrada nula, introducimos primero el grafo de la figura 7.10, por lo que

y la diferencia de salida nula es

00

´´)28.7(

s

slll

G

Tybx −=

´

´´å

´

´´)30.7(

y

´´´

´´)29.7(

0

0

0

0

s

ksllkl

salidal

kkl

kllslls

k

salidal

k

G

GTb

y

y

TbTbG

G

y

y

−=≡

+−=

ω

kjω≡Ω)31.7(

:´Ω

Ω−≡Ω 1´)32.7(

0

1011111

1

111 ´

´´

s

s

salidat

ttbtb

y

y−=≡ω

0

101111111 1´)33.7(

s

s

t

ttbtb +−=ω

Ejemplo 7.5

Evaluar la transmitancia de salida nula y la diferencia de salida nula para el grafo de la figura 7.8 FIG. 7.11. Grafo deducido de la Fig. 7.8 para el cálculo de la diferencia de salida nula. Solución. De la misma forma que antes, introducimos, primero, el grafo de la figura 7.11, el cual da

Por lo que la diferencia de salida nula es

7.5. Fórmula de Bode generalizada

La introducción de las matrices ε’ y Ω’ nos permite escribir la ganancia del sistema (con la fuente xo y el sumidero xs) como:

(la prueba de esta relación se da en el Apéndice II).

La notación aquí es la misma, tenemos además:

0

2022

0

2011

0

1022122

0

2011111

2221

1211

)34.7(

s

s

s

s

s

s

s

s

t

ttb

t

ttb

t

ttbtb

t

ttbtb

a

−−

−−

=

≡Ωωω

ωω

0

2022

0

2011

0

1022122

10111111

1

01

´)34.7(

s

s

s

s

s

ss

t

ttb

t

ttb

t

ttbtb

ts

ttbbtb

b

+

+−+−

=Ω

´´

´´

´´det

´det´)35.7( 000 εε

Ω=

Ω= sss GGG

En el caso de p =1, la ecuación (7.35) se reduce a la fórmula de Bode. Por lo tanto, para p > 1, la ecuación

(7.35) se obtiene una generalización de la fórmula de Bode. Hay que observar que la ecuación (7.35) es de suma utilidad ya que nos permite expresar las variaciones

de la ganancia del sistema en términos de los parámetros de interés. Finalmente, esta ecuación nos permite también hacer una generalización de la fórmula de Blackmann (12), la cual es útil para el cálculo de la impe-dancia de las redes (verificar este en la sección 7.7).

Ejemplo 7.6

Evaluar la ganancia del sistema del diagrama de flujo de señal de la figura 7.7. Solución. Tenemos, por definición

donde la comilla sobre Gs0 significa simplemente aquí b1 = 0

Las ecuaciones (7.24) y (7.33) nos dan

Por lo tanto

Ejemplo 7.7.

Evaluar la ganancia del sistema del grafo de la figura 7.8 considerando dos ramas de interés. Solución. Comenzamos con la ecuación (7.35), esto es

k

k

ss

b

b

x

xG

ramas las a respectocon sistema del nula entrada de diferencia´det

ramas las a respectocon sistema del nula salida de diferencia´det0

0

≡

≡Ω

≡

ε

´

´å´

11

1100 ωss GG =

00

0

101111111

11111

´

También

1´

1´å

y

ss

s

s

tG

t

ttbtb

tb

=

+−=

−=

ω

111

10s11s0s0

111

0

1011111

00

0

tb-1

ttb tG

es esto

1

1

+=

−

+−=≡

tb

t

ttbtb

tx

xG s

s

ss

s

donde la comilla sobre Gso significa en este caso b1 = b2 = 0. Como hay sólo dos ramas de interés, tenemos una matriz de 2 x 2:

Las ecuaciones (7.25) y (7.34) dan:

Por otra parte, obtenemos directamente del grafo de la figura 7.8.

Por lo que

7.6. Sensibilidad de un sistema lineal

La ganancia del sistema, como se vio en la anterior sección, depende de las características y valores de los parámetros del sistema. Puede lograrse una descripción cuantitativa de esta dependencia definiendo la sensi-bilidad, S(bk), de la ganancia del sistema G con respecto a un dado parámetro bk.

Antes de definir S(bk), hacemos notar que la variación absoluta del sistema con respecto a una variación absoluta del elemento bk no es de interés físico. En cambio, la variación relativa (o variación porcentual) del sistema con respecto a una variación relativa del elemento bk es de importancia física. Por lo tanto podemos definir S(bk), la sensibilidad del sistema con respecto al elemento bk, como:

´det

´det´00 ε

Ω= ss GG

´å´å

´å´å´

2212

1211

´22´21

´12´11´

=

=Ω

ε

ωω

ωω

( )0

1201221

0

1011

0

2022111

0

2022

0

2011

0

1022121

0

1011111

111122111

11

1

1

´det

y

110

1´det

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

t

tttbb

t

ttb

t

ttbtb

t

ttb

t

ttb

t

ttbtb

t

ttbtb

tbtbtb

+++−=

+

++−

=Ω

−=−−

=

ε

00´ ss tG =

111

2011221101120220

00

1 tb

tttbbttbttbt

x

xG ss

sss

s−

+++=≡

Ya que la variación puede no ser lineal en general, definimos

Siendo ésta algunas veces escrita como:

Ejemplo 7.8

Encontrar la sensibilidad con respecto a las transmitancias t10, t21, t12 para el sistema de la figura 7.12. FIG. 7.12. Grafo dado.

Solución. (i) Cálculo de S(t10), la sensibilidad del sistema con respecto a t10. La ganancia del sistema es:

Diferenciando G con respecto a t10, obtenemos

la cual es el valor máximo de la sensibilidad del sistema. Por lo que el sistema es muy sensible a las variaciones de esta transmitan-cia. (ii) Cálculo de S(t21), la sensibilidad del sistema con respecto a t21. Esta vez, diferenciamos G de la ecuación (7.39) con respecto a

t21.

( )

( ) ( )kkk

k

kk

bGbbGG

b

b

G

GbS

−+=∆

∆∆≡

Ädonde

)36.7(

( )

( )k

kk

kkkbk

b

G

G

bbS

bb

GGbS

∂∂

≡

∆∆

≡→∆

·(7.37)

o

//

lim0

( ) ( )( )k

k b

GbS

ln

ln)38.7(

∂∂

≡

1221

1021

0

2

1)39.7(

tt

tt

x

xG

−=≡

( ) 1·(7.40)

entonces

1

10

1010

1021

21

10

=∂

∂≡

−=

∂

∂

t

G

G

ttS

tt

t

t

G

Por lo tanto

lo que muestra que para valores pequeños de t12t21(esto es, t12t21<< 1) la sensibilidad del sistema alcanza su máximo valor, mientras que para valores grandes de t12t21(esto es, t12t21>> 1) tenemos una baja sensibilidad, con respecto a t21

Por lo tanto, para valores pequeños de t12t21 (esto es, t12t21 << 1) la sensibilidad del sistema es pequeña y aproximadamente igual

a t12t21. Por otra parte, para grandes valores de t12t21 (esto es t12t21 >> 1) la sensibilidad del sistema tiene su máximo valor.

Ejemplo 7.9

Comparar la sensibilidad con respecto a la ganancia en los amplificadores mono-etapa y de tres etapas de las figuras 7.13 y7.14, respectivamente. FIG. 7.13. Ejemplo de un amplificador de tres etapas. FIG. 7.14. Ejemplo de un amplificador mono etapa.

Solución. De la figura 7.13, deducimos la ganancia del sistema como

Derivando con respecto a α, se obtiene

La ganancia del amplificador realimentado de la figura 7.14 es

De la misma forma que antes tenemos

( )

2112

21

2121 1

1

1·)42.7(

tt

t

G

G

ttS

+−

=∂

∂≡

( )211221

2121

1

1·)41.7(

ttt

G

G

ttS

−=

∂

∂≡

3

áâ-1

á

=G

( )áâ1

3

á·

áá

−=

∂

∂≡

G

GS

33

3

âá1

á´

−=G

En la práctica el caso más interesante es cuando αβ >> 1. Entonces tenemos

Es fácil de ver que S’(K) < S(α); esto es, el amplificador de la figura 7.14 es menos sensible a las variaciones de α que el de la

figura 7.13. Sensibilidad del sistema en términos de las diferencias de entrada nula y salida nula

Tomemos la definición de sensibilidad del sistema de la ecuación (7.37),

Sustituyendo la ecuación (7.35) en la (7.43) da

Es obvio que

donde Ωkk’ y εkk’ son, respectivamente, el k-ésimo cofactor de los determinantes Ω’ y ε’.

Por sustitución de las ecuaciones (7.45) y (7.46) en la ecuación (7.44), obtenemos:

Esta ecuación expresa la sensibilidad de este sistema lineal (con respecto al elemento bk) en términos de la

diferencia de entrada nula y la diferencia de salida nula. Esta relación generaliza, para un sistema de p ele-mentos de interés, la clásica relación de Bode, entre sensibilidad y diferencia de retorno de un sistema lineal con sólo un elemento de interés.

( )33âá1

3á´

−=S

( ) ( )33

33

âá

3á´

áâ

3á

â

1´

â

1

−≅−

≅

−≅

−≅

SS

GG

( )k

kk b

G

G

bbS

∂∂

= ·)43.7(

( )´

´

´

´

)44.7(ε

ε

kk

kk

k

bb

bb

bS∂∂

−Ω∂Ω∂

=

´´´

)46.7(

´´´

)45.7(

kkk

k

kkk

k

bb

bb

εεε

−=∂∂

Ω−Ω=∂Ω∂

( )´

´

´

´)47.7(

ΩΩ

−= kkkkkbS

ε

ε

Ejemplo 7.10

Evaluar la sensibilidad del sistema del grafo de la figura 7.7 donde b1, es considerado como la única rama de interés. Solución. De las ecuaciones (7.24) y (7.33), tenemos, respectivamente, para la diferencia de entrada nula y la diferencia de sa-

lida nula:

Entonces la sensibilidad del sistema con respecto al elemento b1 es:

Cuando la ganancia directa es despreciable, tenemos:

Ejemplo 7.11

Encontrar la sensibilidad del amplificador a transistor de la figura 7.15 con respecto a h21 y a h12. FIG. 7.15. Amplificador a transistor.

Solución. (i) Cálculo de S(h21), la sensibilidad del sistema con respecto a h21. Primero introduzcamos una nueva variable definida como

Luego construimos el grafo de la figura 7.15 como se muestra en la figura 7.16. Además de la rama i1i3, consideramos un nodo

artificial interior y, el cual será dividido en y’ e y’’ para evaluar la diferencia de entrada nula. (aquí se ha considerado a h21 como la única rama de interés.) FIG. 7.16. Grafo de la Fig. 7.15.

1

0101111111

11111

1´

1´å

−+−=

−=

ss tttbtb

tb

ω

( )

( )( )1

010111111111

101011

11111

11

´

1

´å

1

−

−

+−−=

−=

ss

ss

tttbtbtb

tttb

bSω

( )111

11

1

tbbS

−=

1213 ihi ≡

La diferencia de entrada nula se define como

Para calcular la diferencia de salida nula (siguiendo su definición) tenemos que introducir una rama artificial v1v2 con una

transmitancia t. El nodo v1 tiene que tener un nivel fijo para hacer que v2 sea cero. El teorema de los nodos nulos nos permite trans-formar el grafo de la figura 7.16 en el grafo de la figura 7.17. FIG. 7.17. Grafo de la Fig. 7.16 para evaluar la diferencia de salida nula.

Tenemos

De las ecuaciones (7.48) y (7.49) tenemos

(ii) Cálculo de S(h12), la sensibilidad del sistema con respecto a h12. Como antes, definimos una nueva variable vr, como

El grafo de la figura 7.15, tomando en cuenta vr, se muestra en la figura 7.18

( )l

l

v

Rhh

Rhh

2211

211211

01

11

1-1´å)48.7(

o

y´

y´´-1´å

+=

≡=

0´

1(7.49)

o

10

lim´

´´

´1

0lim´

11

11

2111

02

11

=

−→

=

−→

=

=

ω

ω

ω

th

Rh

t

ý

y

t

l

v

( ) ( )

( ) 1para,1)50.7(

11

2211

211221

1122

211221

<<−≅

+−=

ll

l

l

Rhh

RhhhS

hRh

RhhhS

212vhvr ≡

FIG. 7.18. Grafo de la Fig. 7.15.

Introduciendo la fuente y sumidero artificial, y’ e y’’, en las ramas v2vr la diferencia de salida nula (considerando h12 como úni-ca rama de interés) es:

La evaluación da la diferencia de salida nula sigue el mismo procedimiento que antes. Pero en este caso, la rama artificial v1v2’

con una transmitancia –1/t, ya no está más en paralelo con la rama de interés. Es fácil de verificar que

De las ecuaciones (7.51) y (7.52), podemos escribirlas

7.7.Cálculo de la impedancia de red

La impedancia de una red puede ser calculada por dos métodos diferentes: por reducción, o por uno de los métodos directos (Mason o Coates).

Por otro lado, para encontrar la influencia de ciertos elementos de un circuito sobre la impedancia de red, es más conveniente aplicar directamente la fórmula de Bode dada en la ecuación (7.35). Cálculo por el método de reducción o por métodos directos

Una impedancia de red puede ser calculada reduciendo el grafo a aquel que sólo tenga los dos nodos de interés. Por ejemplo, el grafo que sólo contenga el nodo de corriente de entrada y el nodo de tensión de en-

( )l

l

v

Rhh

Rhh

y

y

2211

211211

01

11

11´å(7.51)

o

´´

´1´å

+−=

−≡=

1´´

´1´)52.7(

02

11 =−≡=

vy

yω

( ) ( )

( ) 1,

1

1)53.7(

o

11

1

22

2112

1112

2112

221112

<<

−

≅

−+

=

l

l

l

l

Rh

Rhh

hhS

Rhh

RhhhS

trada para calcular así la impedancia de entrada. Por otro lado, podemos deducir la ganancia del grafo como por las fórmulas de Mason o Coates.

Ejemplo 7.12

Calcular la impedancia de entrada y la impedancia de salida del amplificador mono-etapa de la figura 7.19. FIG. 7.19. Amplificador a transistor mono etapa. FIG. 7.20. Circuito equivalente de la Fig. 7.19.

Solución. La figura 7.20 da el circuito equivalente de la figura 7.19, de la cual se puede construir directamente el grafo que se muestra en la figura 7.21. FIG. 7.21. Grafo de la Fig. 7.20.

Este grafo puede ser reducido a través de los siguientes pasos: (a) eliminación de los nodos v1 e i2. (b) supresión de los autobucles asociados con los nodos i1 e i2’. (c) reducción final.

FIG. 7.22. Reducción del grafo de la Fig. 7.21.

Para calcular las impedancias de entrada y salida o admitancias, tenemos que considerar las cuatros variables eg, i1, io, v2 ;, don-de eg, io aparecen como la variables independientes y i1, v2 como las dependientes. FIG. 7.23. Grafo para calcular la admitancia de entrada.

Obtenemos la impedancia de entrada del grafo de la figura 7.23, el cual se deduce del grafo de la figura 7.22 haciendo io = 0. Tenemos:

FIG. 7.24. Grafo para calcular la impedancia de salida.

1

22

2112211

1

1

−

+

−+==hR

Rhhrh

e

iY

l

l

g

Luego, obtenemos la impedancia de salida del grafo de la figura 7.24, el cual se deduce del grafo de la figura 7.22. Así,

La admitancia de salida del transistor solo es por lo tanto:

ecuación Cálculo por medio de la fórmula generalizada de Blackmann

La impedancia (o admitancia) entre dos puntos cualquiera, A y B, de una dado circuito, como se muestra en la figura 7.25, puede ser también evaluado por medio de la ecuación (7.35) el cual se ve como:

FIG. 7.25. Evaluación de la impedancia (o la admitancia) entre dos puntos, A y B, de un dado circuito.

La impedancia ZAB se define ahora como:

En lenguaje de grafo de flujo de señal, la ecuación (7.55) puede ser también escrita como

El correspondiente grafo de la figura 7.25 se muestra en la figura 7.26


+−+==

gll rh

hhhRR

i

vZ

11

211222

0

2 1

´

´·´)54.7( 00 εΩ

= ss GG

BAi

BAvi

vZ AB

o punto elen corriente la

y puntos los entre tensión ladonde

)55.7(

==

≡

)y puntos los entre()56.7( BAGZ viAB =

De las ecuaciones (7.54) y (7.56), obtenemos

Recordando que Ω’ está definido con el nodo sumidero igual a cero y ε’ con el nodo fuente igual a cero,

tenemos

Entonces, sin considerar los sufijos de la ecuación (7.57), en general tenemos,

Algunas veces, es más fácil de calcular la admitancia del circuito en vez de la impedancia; en este caso,

podemos usar:

Las ecuaciones (7.58) y (7.59) se pueden denominar las fórmulas generalizadas de Blackmann, ya que son

deducidas de las fórmulas de Blackmann (11) con p = 1.

Ejemplo 7.13

Encontrar las impedancias de entrada y salida del amplificador de la figura 7.19 por medio de las fórmulas generalizadas de Blackmann.

Solución. Del circuito equivalente de la figura 7.20, obtenemos el grafo de la figura 7.27 donde vr se define como

y h12 es la rama de interés

k

k

AB

AB

ABAB

b

b

i

vZ

i

vZ

ZZ

a respectocon nula entrada de diferencia´

a respectocon nula salida de diferencia´

interés de elementos los todospara 0 bkcon 7.26 figura la de sistema del ganancia´

´

7.26 figura la de sistema del gananciadonde

´´

·´)57.7(

=

=Ω

==

≡

=

≡

Ω=

ε

ε

( )( )abiertose entrada rminales dcon los te

tadosortocircuie salida crminales dcon los teZZ

´

´·´)58.7(

εΩ

=

( )( )itadoscortocircuentradadeterminalesloscon

biertose salida arminales dcon los teYY

´

´·´)59.7(ε

Ω=

( )( ) ´0

´0

εevaluarparaabiertosentradadeterminaleslosconoi

evaluarparaitadoscortocircusalidadeterminaleslosconov

=Ω=

212vhvr ≡


Introduzcamos en la rama vrv2 un nodo interior y el cual es luego dividido en dos nodos y’ e y’’. Podemos ahora calcular la admitancia de entrada y la impedancia de salida como se muestra más abajo. La impedancia de sali-

da se define como

Del grafo de la figura 7.27, luego de hacer io = 0, podemos escribir

De las ecuaciones (7.60) y (7.61) la admitancia de entrada es

Por otra parte, la impedancia de salida se define como

( )[ ]

01

0

012

00

1

´

´´1´

´

´´-1´donde

´

´(7.60)

como (7.59)ecuación la de o

=

=

=

=

−=Ω

=

Ω=

=

i

ge

hii

igi

y

y

y

y

YY

e

iY

ε

ε

( ) ( )

( )( )lg

l

ghi

Rhrh

Rhh

rhY

2211

2112

111012

11´

1´)61.7(

++−=

=Ω

+=−

=

ε

1

22

211211 1

)62.7(−

+

−+=l

lgi Rh

RhhrhY

Del grafo de la figura 7.27, luego de hacer eg igual a cero, tenemos

Entonces la admitancia de salida es

Ejemplo 7.14

Encontrar la impedancia de entrada del amplificador realimentado de la figura 7.28. FIG. 7.28. Amplificador realimentado a transistor.

Solución. Este amplificador tiene dos elementos de realimentación, una impedancia serie Zs y una admitancia paralelo Yp. Un circuito equivalente apropiado es el que se muestra en la figura 7.29 donde hemos despreciado el término h12.

Podemos dibujar el grafo de la figura 7.29 como se muestra en la figura 7.30.

( )[ ]

02

00

01200

00

20

´

´´1´

´

´´1´donde

´

´·)63.7(

como (7.58)ecuación la de o

=

=

=

=

−=Ω

−=

Ω=

=

v

i

h

ge

y

y

y

y

zZ

i

vZ

ε

ε

( )

( )( )1´

11´)64.7(

1

2211

2112

220120

=Ω

++−=

+==

lg

l

l

lh

Rhrh

Rhh

Rh

RZ

ε

1

11

2112220 1)65.7(

−

+−+=

gll

rh

hhhRRZ

FIG. 7.29. Circuito equivalente de la Fig. 7.28. FIG. 7.30. Grafo de la Fig. 7.29. Notaciones:

Consideremos la impedancia y la admitancia Zs e Yp como los dos elementos de interés. Introducimos los nodos interiores, y1 e

y2, los cuales son divididos respectivamente en los nodos, y1’, y1’’ e y2’, y2’’, como se muestra en la figura 7.31.

( )

( )

( )dhe

hRd

dhRhc

dRhhb

hR

hRha

l

l

l

l

l

21

22

2221

2111

2

2111

1

1

1

1

1

1

+−≡

+≡

++≡

+≡

+

++−≡


La impedancia de entrada puede ser calculada por

En este caso, no va a ser tan sencillo calcular los diferentes factores en los determinantes ε’ y Ω’ por inspección directa del cir-

cuito equivalente. Para explicar esta cuestión en forma más clara consideremos el grafo de la figura 7.32. Tenemos:

donde todos los elementos del determinante Ω’ pueden ser calculados del grafo de la figura 7.31, poniendo v1 = 0, e invirtiendo la rama i1v1 aplicando el teorema de los nodos nulos. FIG. 7.32. Grafo obtenido de la Fig. 7.31 para el cálculo de los elementos de Ω'.

nulaentradadediferencialadematrizladeerminante

nulasalidadediferencialadematrizladeerminante

convhastaidesdeciatransmitanz

ZZ

det´

det´

,donde

´

´·)66.7(

0

0

=

=Ω

=

Ω=

ε

ε

outy

y

outy

y

outy

y

outy

y

´2

´´21´1

´´2

´2

´´1

´1

´´11

´

−−

−−

=Ω

Esto se muestra en la figura 7.32. Por inspección, podemos escribir

con d ≡ 1/(1 + Rl h22) FIG. 7.33. Grafo obtenido de la Fig. 7.31 para el cálculo de los elementos de ε'.

De la misma forma, tenemos

Para calcular esos elementos de ε’ usamos el grafo de la figura 7.33, obtenido del grafo de la figura 7.31 poniendo i1 = 0. Del grafo de la figura 7.33 obtenemos:

Del circuito equivalente tenemos

De las ecuaciones (7.66), (7.67), (7.68), y (7.69), se tiene la impedancia de entrada

( )( )dhhRhhZhdhpYlR

dhhhZRhdYR

ls

slpl

221122211

11

2211211

11

1122

1´)67.7(

++++−

++=Ω

−

−

eny

y

eny

y

eny

y

eny

y

´

´´1

´

´´

´

´´

´

´´1

´

2

2

1

2

2

1

1

1

−−

−−

=ε

( )( )

( )22

22221

2111

11con

11

11´)68.7(

hRd

dhZdhY

dZdhYRYh

l

p

splp

+≡

++−

+++=ε

110)69.7( hZ =

( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )slslp

lpsslpslp

ZRhZhRhZh

RZhZZhRZhZhRZhZ

++++++

+++++++=

21222211

2111222211

11

11)70.7(

Capítulo 8

Principios para el cálculo y transformación de los parámetros de red

8.1. Introducción

En el análisis de redes de cuatro terminales, la evaluación de los parámetros básicos de red de un circuito equivalente usualmente involucra algunas manipulaciones algebraicas. La aplicación de métodos gráficos a tales problemas tiene muchas ventajas. De este modo no sólo el manejo algebraico se simplifica; podemos además mantener las propiedades de la red a través del correspondiente grafo.

Discutamos, primero, las reglas básicas que se derivan de las propiedades de los grafos lineales. Ejemplos de aplicación ilustrarán los detalles en la evaluación de los parámetros de la red.

8.2. Principios generales

Consideremos una red de cuatro terminales como la que se muestra en la figura 8.1 donde los sufijos 1 y 2 refieren a la entrada y salida, respectivamente. FIG. 8.1. Red de cuatro terminales (cuadripolo).

Para introducir los circuitos más comunes para la caja negra de una red de cuatro terminales, definimos el siguiente conjunto de parámetros para simplificar el análisis. (1) Parámetros de impedancia, z:

2221

1211

2

1

2

1

donde

·

zz

zzZ

i

iZ

v

v

=

=

(2) Parámetros de admitancia, y:

(3) Parámetros híbridos, h:

Estos parámetros pueden ser evaluados teóricamente, si se conocen los detalles dentro de la caja negra.

Ellos deben ser determinados experimentalmente se los detalles no son dados pero se conoce el circuito. Tomemos la red general de cuatro terminales de la figura 8.1. Supóngase que los detalles del circuito de la

caja negra están completamente especificados (esto es, todos los elementos son conocidos) y supóngase ade-más que la variable v1 es la variable independiente conocida (esto es, el generador de tensión). Si también se da la relación entre i2 y v2 (esto es, se especifica la carga), entonces el problema circuital se podrá resolver. Algebraicamente, esto significa que hay un número igual de ecuaciones que de incógnitas- digamos, (n+1) ecuaciones y (n+1) incógnitas.

Entre las incógnitas se encuentran i1, i2, y v2, además de las otras variables dentro de la caja. Luego, consi-deremos el caso más general bajo el cual v1 es también desconocida, y no se encuentra especificada la rela-ción entre i2 y v2. Tenemos solamente n ecuaciones para n+2 incógnitas, incluyendo v1, i1, v2, i2, y en el cál-culo de los parámetros de la red (parámetros h, y y z) necesitamos dos condiciones más para resolver el pro-blema. Estas dos condiciones son: (i) Tenemos que elegir una de las cuatros variables i1, v1, i2, v2 como las variables conocidas (la fuente). (ii) La condición de carga debe ser especificada. Ya que la forma más simple es tomar como esta condición

cortocircuito o circuito abierto, ponemos una de las cuatro variables (pero no la fuente elegida) igual a ce-ro.

Esto reduce el número de incógnitas de n+2 a n y el problema se puede así resolver. Esto nos lleva a esta-

blecer las relaciones entre las cuatro variables v1, i1, v2, i2. Por comparación de estas relaciones cuantitativas con un circuito eléctrico “estándar” de nuestro interés (por ejemplo, un circuito equivalente usando paráme-tros y), obtenemos los valores de tales parámetros para una red de cuatro terminales en términos de los ele-mentos de circuitos conocidos. (De hecho, el último paso se elimina automáticamente, ya que las dos condi-ciones descriptas arriba confirman las definiciones de los parámetros de red convencionales.)

2221

1211

2

1

2

1

donde

·

yy

yyY

v

vY

i

i

=

=

2221

1211

2

1

2

1

donde

·

hh

hhH

v

iH

v

v

=

=

FIG. 8.2. Red simple de cuatro terminales.

Para ilustrar nuestro caso, consideremos el circuito simple de la figura 8.2. Las correspondientes ecuacio-nes de estado estacionario son:

En este caso, hay tres ecuaciones y cuatro variables. Si estamos interesados en calcular los parámetros

híbridos de este circuito, sólo tenemos que tomar las definiciones:

Aquí, para calcular h21, i1 (o i2) se deben elegidas como fuentes y v2 hacerla igual a cero (cortocircuitar la

salida). Un simple cálculo con la ecuación (8.1) da

mientras que para evaluar h12, tenemos que tomar v2 (o v1) como fuente y hacer i1 igual a cero (o dejar a cir-cuito abierto la entrada). Esto da:

Los otros dos parámetros pueden ser evaluados de la misma manera. En la discusión anterior, sólo hicimos uso de manipulaciones algebraicas. Sin embargo esto también puede

ser hecho por medio de grafos lineales los cuales veremos en las siguientes secciones.

( )

( ) ( )

( ) 0

0)1.8(

0

322

233

13

311

=−+

=−++−

=−−

iiRv

iiRCs

iiiLs

iiLsv

···.,,012

112

021

221 etc

v

vh

i

ih

iv ==

≡

≡

CsLs

Lsh

121

+=

CsLs

Lsh

121

+=

8.3. Métodos para evaluar los parámetros

Los parámetros de una red pueden ser evaluados usando diagramas de flujo de señal (12) o por medio de los grafos-N.

Diagramas de flujo de señal

Como hemos visto, para calcular h12 y h22 tenemos que considerar v2 como fuente y hacer i1 igual a cero, mientras que para h11 y h21 tenemos que tomar i1 como fuente y hacer v2 igual a cero. Ya que i1 y v2 sirven alternativamente como fuentes, es conveniente para el presente propósito construir un grafo con ambos i1 y v2 como fuentes simultáneas, como se muestra en la figura 8.3. FIG. 8.3. Grafo para evaluar los parámetros h.

Si queremos evaluar otros parámetros además de los híbrido (por ejemplo, z o y), entonces este grafo no es muy conveniente, porque i1 y v2 no servirán más como fuentes. Así no será útil usar un diagrama con i1 y v2 apareciendo como nodos fuentes simultáneamente. Por ejemplo, y12 se define como

Por lo tanto, en este caso, aunque tanto v2 o i1 pueden ser tomados separadamente como fuentes, ellos no pueden servir como fuentes simultáneamente.

Es evidente que para este propósito el grafo de la figura 8.3 requiere alguna transformación (basado en el teorema de los nodos nulos de la sección 3.5), como lo muestran las figuras 8.4 y 8.5. FIG. 8.4. Grafo de la Fig. 8.3 con v1 = 0 FIG. 8.5. Grafo de la Fig. 8.4 luego de la transformación.

La evaluación de parámetros puede entonces realizarse en una forma sencilla con el solo hecho de aplicar la definición. Un método más útil es el de los grafos-N.

012

112

=

=

vv

iy

Los grafos-N

Los grafos-N tienen muchas ventajas con respecto a los grafos de flujo de señal. Un grafo-N es único, y cualquiera de los nodos puede ser considerado como fuente. Un grafo-N general para (n+2) en n ecuaciones se muestra en la figura 8.6. FIG. 8.6. Grafo-N general que contiene n ecuaciones y (n + 2) variables.

Supóngase que queremos calcular

Como las xi se hacen iguales a cero aquí, todas las ramas salientes de xi pueden ser removidas, y nos que-damos así con sólo (n+1) variables. Para obtener un grafo-C, superponemos todas las variables, excepto xk (la cual se toma ahora como nodo fuente), con los nodos nulos de a pares. El grafo-C así obtenido se muestra en la figura 8.7. A esta altura la transmitancia tjk puede ser evaluada por la fórmula de Coates. FIG. 8.7. Grafo-C de la Fig. 8.6.

8.4. Algunos ejemplos del cálculo de los parámetros de red

Ejemplo 8.1

Por medio de un grafo-N, encontrar los parámetros híbridos equivalentes del amplificador serie de la figura 8.8.

0=

=

ixk

jjk x

xt

FIG. 8.8. Circuito equivalente de un amplificador a transistor con realimentación serie.

Solución. Debido a la presencia del resistor de realimentación, los parámetros híbridos equivalentes (denotado por h11’, h12’, etc.) son diferentes de aquellos parámetros de un simple amplificador (denotado por h11, h12, etc.). Las ecuaciones para los h’ son:

Del circuito equivalente de la figura 8.8, construimos el grafo-N de la figura 8.9.

Cálculo de h12’ y h22’. Los parámetros h12’ y h22’ se definen como

FIG. 8.9. Grafo-N de la Fig. 8.8.

Para calcular h12’ y h22’, tenemos que hacer i1=0 y elegir vo como fuente. El grafo-N de la figura 8.9 se transforma así en el grafo-C de la figura 8.10, superponiendo, respectivamente, (vi,N1), (v1,N2),

(v2,N3), (i2,N4), (v2,N5). FIG. 8.10. Grafo-C de la Fig. 8.8.

0221212

012111

´´

´´

vhihv

vhihvi

+=

+=

010

222

01012

´

y

´

=

=

=

=

i

i

i

v

ih

v

vh

De la figura 8.10 podemos escribir por medio de la fórmula de Coates:

Cálculo de h11’ y h21’. Los parámetros h11’ y h21’ están dados por las relaciones:

Haciendo vo igual a cero y tomando i1 como fuente, se obtiene el grafo-C de la figura 8.11 del grafo-N de la figura 8.9 superpo-

niendo respectivamente (vi,N1), (v1,N2), (v2,N3), (i2,N4), (v2,N5). FIG. 8.11. Grafo-C de la Fig. 8.8.

Notamos que el grafo inicial de la figura 8.11 es el mismo que el de la figura 8.10. Por lo tanto los denominadores en las expresiones de los cuatro parámetros (h11’, h12’, h21’, h22’) son los mismos.

Una evaluación directa de los denominadores de las expresiones para h11’ y h21’ da:

Ejemplo 8.2

Calcular, por medio de un grafo de flujo de señal, los parámetros del amplificador paralelo de la figura 8.12.

22

2222

22

221212

1´

y

1´

Zh

hh

Zh

Zhhh

+=

+

+=

001

221

00111

´

y

´

=

=

=

=

v

v

i

i

ih

i

vh

( )

22

222121

22

12211111

1´

y

1

1´

Zh

Zhhh

Zh

hhhZhh

+

−=

+

−++∆+=

FIG. 8.12. Circuito equivalente de un amplificador a transistor con realimentación paralelo.

Solución. Podemos definir los parámetros híbridos de un amplificador paralelo como

Tomando ii y v2 como nodos fuentes, el grafo de la figura 8.13 se construye por inspección.

FIG. 8.13. Grafo de la Fig. 8.12. Cálculo de h11’ y h21’. Tenemos, de acuerdo con las definiciones:

Haciendo v2=0 en el grafo de la figura 8.13, obtenemos el grafo de la figura 8.14.

FIG. 8.14. Grafo de la Fig. 8.13 con v2 = 0.

222210

212111

´´

´´

vhihi

vhihv

i

i

+=

+=

021

021

021

111

´

y

´

=

=

=

=

v

v

i

ih

i

vh

El resto del cálculo puede ser hecho tanto por Mason como por reducción. Los resultados son:

Cálculo de h12’ y h22’. En este caso se tiene que hacer ii=0. Del grafo de la figura 8.13 obtenemos el de la figura 8.15. FIG. 8.15. Grafo de la Fig. 8.13 con ii = 0.

Por cálculo directo o por reducción, obtenemos:

8.5. Transformación de los parámetros de red

En esta sección discutiremos la transformación de los parámetros de red por medio de los grafos-N. Nues-tro ejemplo será la transformación de los parámetros de un emisor común a una base común y a un colector común. El circuito equivalente de un amplificador de emisor común se muestra en la figura 8.16. FIG. 8.16. Transistor emisor común.

Zh

hZhh

Zh

Zhh

+

−=

+

−=

11

112121

11

1111

´

y

´

( )( )

Zh

hZhh

hZ

hhhh

+

+=

+

+−+=

11

1112

11

21122222

´12

y

11´

Mostraremos como podemos escribir los parámetros de una base común o un colector común en términos de los parámetros de un emisor común.

Ejemplo 8.3

Calcular los parámetros de una base común en términos de los parámetros de un emisor común. Solución. Los parámetros de un emisor común están definidos como

Siguiendo el método usado en la última sección, construimos el grafo-N de la figura 8.17.

FIG. 8.17. Grafo-N de la Fig. 8.16.

Ya que el denominador ∆ de los cuatro parámetros de la base común son calculados del grafo-N inicial, las fuentes ie y vcb son removidas, y ∆ es el mismo para los cuatro parámetros. Podemos calcular su valor de la figura 8.18.

FIG. 8.18. Grafo-C inicial de la Fig. 8.17.

Para calcular los numeradores de los parámetros tenemos que usar el grafo-C del sistema completo de la figura 8.16. Para el cálculo de (h11)b y (h21)b, debemos poner de vuelta la fuente i2 en el grafo de la figura 8.18; para el cálculo de (h21)b y (h22)b, pone-mos de vuelta el nodo fuente vcb en la figura 8.18.

Por cálculo directo, obtenemos:

( ) ( )( ) ( ) cbbebc

cbbebeb

vhihi

Vhihv

2221

1211

+=

+=

ìâhhh

ìâh

hhìâìâ

ccbb

ccbb

−≡∆

−++∆−=

−+−−=∆

donde

1

1

( )

( )

( )

( )βµ

β

βµ

βµ

βµ

µ

++−∆

+∆=

++−∆=

++−∆=

++−∆

−∆=

1

1

1

1

21

11

22

12

h

hh

h

hh

h

hh

h

hh

b

bbb

ccb

b

Ejemplo 8.4

Evaluar los parámetros del colector común en términos de los parámetros de emisor común. Solución. En este caso, tenemos

Cálculo de (h11)c y (h12)c. Tenemos que hacer vec=0 aquí, y elegir el nodo ib como fuente. Por superposición, respectivamen-te, de los nodos (ie, N1), (ic, N2), (vcb, N3), (vcb, N4) de la figura 8.17, obtenemos el grafo de la figura 8.19. FIG. 8.19. Grafo-C de la Fig. 8.17.

Un cálculo directo por medio de la figura 8.19 nos da:

Cálculo de (h21)c y (h22)c. En este caso, tenemos que hacer ib como variable nula, y elegir vec como nodo-fuente. Superponiendo las otras cuatro variables con los cuatros nodos nulos Nj (j = 1, 2, 3,) obtenemos un grafo-C el cual da:

( ) ( )( ) ( ) eccbce

eccbcbc

vhihi

vhihv

2221

1211

+=

+=

( )( ) ( )β+−=

=

121

11

c

bbc

h

hh

apéndice 1

Ganancias del sistema y de transmisión

Considérese el sistema de ecuaciones:

donde x0 es la variable independiente (fuente) y xj (j ≠ 0) la variable dependiente.

Como la fuente puede ser conectada en general en diferentes formas, estudiaremos los siguientes casos: (1) La fuente se conecta a todos los nodos del sistema, y el grafo es el que se muestra en la figura A.1. FIG. A.1. Grafo con la fuente conectada a todos los nodos del sistema.

La ecuación (A.1) puede ser escrita como:

Por la regla de Cramer, obtenemos

donde Gso se define como la ganancia del sistema. (2) La fuente se conecta a sólo un nodo xk, a través de una transmitancia de valor unidad, y el grafo que se

obtiene se muestra en la figura A.2.

∑=

==n

jjij nixaA

0

),···,2,1(0)1.(

∑=

=−=n

jijij nixaxaA

100 ),···,2,1()2.(

∆

∆−=≡

∑=

n

jisi

ss

a

x

xGA 1

0

00)3.(

FIG. A.2. Grafo con la fuente conectada sólo a un nodo del sistema.

La ecuación (A.1) puede ser escrita como

Por la regla de Cramer obtenemos

donde Ts0 se define como la ganancia de transmisión.

Comparando las ecuaciones (A.3) y (A.5), obtenemos la relación

la cual relaciona las ganancias del sistema para dos casos diferentes.

∑=

−=n

jikjij xxaA

10)4.( δ

∆∆

−=≡ ksss x

xTA

00)5.(

∑=

=n

iisis TaGA

100)6.(

apéndice 2

Prueba de la fórmula generalizada de Bode

Siguiendo la ecuación (7.12), el sistema original de la ecuación (7.1) tiene la solución:

Para aquellos nodos que tengan las ramas de interés como sus ramas salientes, tenemos:

Tomando en consideración la expresión (7.21), podemos reescribir la ecuación (A.2) como:

Considerando

La ecuación (A.3) puede ser rearreglada como

Luego, por definición de matriz de p x p

y las matrices columnas p x1

Por lo tanto, la ecuación (A.4) tiene la forma de matriz

∑=

=+=p

kskkkss nsTbxGxxA

100 ),···,2,1(´´)1.(

∑=

=+=p

kqkkkqq pqTbxGxxA

100 ),···,2,1(´´)2.(

∑=

=+=p

kqkkqq pqxGxxA

100 ),···,2,1(å´)3.(

∑=

=p

kkqkq xx

1

δ

( )∑=

=−p

kqkqkqk GxxA

100 ´å)4.( δ

),···,2,1,(å-´å)5.( pkqA qkqk =≡δ)

),···,2,1(´~

)7.(

),···,2,1(´~)6.(

0 pkGGA

pkxxA

k

k

=≡

=≡

´~~´å)8.( 0GxxA =

la cual por la regla de Cramer tiene la solución

donde εqk’ es el cofactor del elemento ∈qk’ en la matriz ε’.

Con la ecuación (A.9) en la ecuación (A.1):

Pero xs=Gs0 x0 por definición. Por lo tanto la ecuación (A.10) se transforma:

Definiendo ahora

La ecuación (A.11) se puede escribir como

El paréntesis en la ecuación (A.13) puede ser expandido como

∑=

=p

qqqkk G

xxA

10

0 ´´åå´

)9.(

´ådetå´≡

∑=

+=p

kqqqkskkss GTb

xGxxA

1,0

000 ´´å´

å´´)10.´(

∑=

+=p

kqqqkskk

ss

s GåTbåGG

GA

1,0

00

0 ´´´´´

11

´)11.(

´

´´å)12.(

0

0

s

qskkqkqkqk G

GTbrA =−= ω

+= ∑=

p

kqqkqk

s

s årååG

GA

1,0

0 ´´´

1´

)13.(

Por otro lado, podemos mostrar que

Esto puede ser demostrado en la siguiente forma,

la cual puede ser expandida: la expansión es muy simple porque cualquier determinante de la matriz formado por rqk, con dimensión 2 x 2 o mayor, será cero, como fue explicado antes. Escribiendo la ecuación (A.12):

e introduciendo la notación.

Primero mostramos que el determinante de una matriz de 2 x 2 da cero:

),···,2,1(

·

·

·~y

å

·

·

·

å

å

´~donde

´~···´~~det···

~´~···´~det´~···´~´~det´´)14.(

o

´···´´´´

2

1

2

1

2111211,

11111,

pk

r

r

r

Rå

ååRRååååååråA

åråråårå

pk

k

k

k

pk

k

k

k

pppp

p

kqqkqk

qq

p

qqkqk

p

q

p

kqqkqk

===

+++=

+

+++=

+

−=

===

∑

∑∑∑

∑=

+=Ω≡Ωp

kqqkqkrA

1,

´´´ˆdet´)15.( εε

pp

p

RRRA~

´~···~

´~~´~det´)16.(

o

´···´´det´

2211

21

+++=Ω

ΩΩΩ=Ω

εεε

´

´´

0

0

s

qskkqk G

GTbr =

kq

skkk

s

q

vurqk

Tbv

G

Guq

=

=

=

entonces tenemos

´

y

´

´

0

0

Ya que k y q son índices arbitrarios, queda claro por inducción que cada determinante de s x s debe dar ce-

ro para s≥2, la expansión de la ecuación (A.16) se simplifica para sólo incluir

Comparando la ecuación (A.17) con la (A.14) da:

La ecuación (A.13) puede entonces escribirse como

la cual completa la prueba de (7.35).

0===kq

kq

kqkkqk

kqqq

kkkq

qkqq

vv

vvuu

vuvu

vuvu

rr

rr

´~···´~~det···

~´~···´~det´~···´2~1~det´)17.( 211 ppp RpRpA εεεεεεε +++=Ω −

∑=

Ω=+p

kqqkqkr

1,

´´´ εε

´

´

´0

0

εΩ

=s

s

G

G

Referencias

Date post:	03-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	viajerocanario
View:	446 times
Download:	2 times

Teoria de Circuitos II

Documents