Presentación de resultados y
estimación de incertidumbres
Prácticas de Física I
Departamento de Física Aplicada I
Escuela Politécnica Superior
Medida e incertidumbre
Toda ciencia experimental se basa en observaciones cuantitativas
que llamamos medidas.
A su vez todo proceso de medida está sujeto a limitaciones que se
traducen inevitablemente en la existencia de cierta incertidumbre
asociada al resultado y que constituye una indicación cuantitativa de
la calidad del mismo .
Medida = Valor numérico ± incertidumbre (unidades en el SI)
¡Es esencial especificar la incertidumbre de una medida ya que nos
indica el grado de fiabilidad y de exactitud de la misma!
Fuentes de incertidumbre
Errores de calibración.
Condiciones experimentales no apropiadas.
Lectura sesgada de los instrumentos.
Resolución finita del instrumento de medida.
Aproximaciones o hipótesis establecidas en el método y en el procedimiento de medida.
Fluctuaciones o variaciones en observaciones repetidas
Etc.
Evaluación de la incertidumbre típica
u(x) de una medida directa
Evaluación tipo A: tiene en cuenta la variabilidad de las medidas en
las mismas condiciones. Requiere de un análisis estadístico del
conjunto de observaciones: x1,x2,x3,….xN. Se toma:
uA(x)= desviación típica
Evaluación tipo B: tiene en cuenta toda la información disponible
acerca de las propiedades y el comportamiento del instrumento de
medida. Debe venir estipulada en las especificaciones del fabricante o
en un certificado de calibración.
Si lo único que conocemos es la resolución del instrumento tomaremos:
uB(x)=0,29 resolución del instrumento
Conlleva dos valoraciones diferentes:
Finalmente: 𝒖(𝒙) = 𝒖𝑨 𝒙 𝟐 + 𝒖𝑩 𝒙 𝟐
Análisis estadístico
1
n
i
i
x
xn
El valor medio como resultado de la medida:
La desviación típica del valor medio como
incertidumbre típica tipo A:
Cuando el número de medidas es pequeño
(inferior a 10):
6)( mínmáx
A
xxxu
A partir de N observaciones independientes x1, x2,…,xN se toma:
)1(
)(
)( 1
2
nn
xx
xu
n
i
i
A
Resolución x del aparato de medida
T=0,1 ºC
V=1 V
Aparatos digitales: se toma como resolución una unidad del último
dígito de lectura.
Aparatos analógicos: se toma como resolución del instrumento la menor
unidad que pueda medir el aparato (distancia entre dos divisiones).
Incertidumbre expandida
En las aplicaciones comerciales y, especialmente en los campos de la salud y la
seguridad, se requiere dar un intervalo de valores U alrededor del resultado x, de
tal forma que pueda esperarse que cualquier medida que se haga caiga dentro del
intervalo [x-U,x+U] con un cierto grado de confianza.
A U se le denomina incertidumbre expandida. En general U=k u(x), siendo k una
constante a la que se llama factor de cobertura.
Habitualmente la distribución de las medidas suele ser gaussiana y, en ese caso,
k=3 proporciona un nivel de confianza del 99,7%.
Incertidumbre relativa
Es el cociente entre la incertidumbre típica y el resultado de la medida
Se suele expresar en %. Para ello se multiplica por 100. Por
ejemplo si x=12,0 cm y U(x)=3,0 cm, entonces Ur=3/12=0,25=25%.
No tiene unidades.
Da información sobre la calidad de la medida.
x
xUUr
)(
Presentaremos en adelante los resultados de la forma x±U; Ur
Ejemplo
Supongamos que medimos una temperatura cinco veces con un
termómetro cuya resolución es de un grado y obtenemos:
T1 = 64 ºC, T2 = 61 ºC , T3 = 65 ºC, T4 = 68 ºC, T5 = 65 ºC
Valor medio: T =64,6ºC
Incertidumbre: uA(T) = (TMáx-Tmín)/6 = (68 – 61)/6 = 1,2 ºC
uB(T)=0,291=0,29 ºC
u(T)= 1,22 + 0,292 = 1,23454445 ºC
U(T)=3 u(T)=3,703633ºC
Resultado: T = 64,6 ± 3,7 ºC, Ur=5,7%
Presentación de resultados.
¿Qué tienen de extraño estas frases?:
La extinción de los dinosaurios ocurrió hace
aproximadamente 65 millones de años, 2 meses y 3 días.
Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27
segundos.
El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses,
12 días, 3 horas, 23 minutos, 12 segundos y 345
milésimas.
Presentación de resultados. El resultado de una medida debe expresarse con un número de cifras que viene
determinado por el valor de la incertidumbre. Por ejemplo, es absurdo dar como
resultado:
x=1,2732345678534; U(x)=0,035 m
Y tampoco tiene sentido:
L=2,1389639; U(L)=0,18653617 m
Norma:
• Las incertidumbres deben darse con dos cifras significativas.
• Deben descartarse del resultado todas las cifras que sean de orden
inferior a la incertidumbre.
Resultados correctos: x=1,273; U(x)=0,035 m
L=2,14; U(L)=0,19 m
Presentación de resultados: Redondeo
La última cifra conservada se redondea de la siguiente forma:
− Aumentándola en 1 unidad si la primera cifra descartada es
mayor que 5.
− Dejándola tal cual si la primera cifra descartada es menor que 5
− Si la primera cifra descartada es 5 y al menos una de las
siguientes es mayor que 0, la última cifra conservada se
aumenta en una unidad.
− Si la primera cifra descartada es 5 y todas las demás son 0, la
última cifra conservada no cambia si es par o se aumenta en una
unidad si es impar (redondeo al par).
Algunas observaciones...
En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos
ceros no se pueden suprimir:
2 0,21 cm INCORRECTO
2,00 0,21 cm CORRECTO
Para números muy grandes o muy pequeños conviene
usar la notación científica, esto es, en potencias de 10:
18000 3000 Pa = (1,80 0,30) 104 Pa
0,00256 0,00017 N = (2,56 0,17) 10-3 N
Ejemplos
4,81343 0,04661
132,2894 2,8754
5127 234
0,53781 0,00962
5,03574 0,02575
2,3487 0,345
1091,32 83,45
4,813 0,047 ; Ur = 0,98 %
132,3 2,9 ; Ur = 2,2 %
5,036 0,026 ; Ur = 0,52 %
2,35 0,34 ; Ur = 14 %
1091 83 ; Ur = 7,6 %
5130 230 ; r = 4.6 % (5,13 0,23) 103; Ur = 4,5 %
0.538 0.010 ; r = 1.8 % 0,5378 0,0096; Ur = 1,8 %
Incertidumbre típica combinada uc(A)
de medidas indirectas
Existen también medidas indirectas, es decir, magnitudes A que se
calculan a partir de los valores x,y,z de otras magnitudes medidas,
mediante una fórmula: A=f (x,y,z)
En este caso, la incertidumbre típica combinada de A viene dada
por:
222
)()()()(
zu
z
fyu
y
fxu
x
fAuc
Ejemplo de cálculo de incertidumbre combinada
b
a c
a = 10,00 0,10 cm
b = 25,0 1,0 cm
c = 15,00 0,15 cm
Se pretende calcular el volumen de un paralelepípedo, cuyas aristas se miden
con unas reglas obteniéndose los siguientes valores:
V = a·b·c = 3750 cm3
Resultado: V=3,75±0,16 dm3; Ur=4,3%
Incertidumbre combinada:
Uc(V)=156,624551 cm3
0,25)()(
aUcbaU
a
V
150)()(
bUcabU
b
V
5,37)()(
cUbacU
c
V
222
)()()()(
cU
c
VbU
b
VaU
a
VVUc
Algunas observaciones...
Cuando los cálculos se realizan mediante calculadora u ordenador, conviene conservar siempre todas las cifras que éstos permitan, procediéndose al redondeo SÓLO en el resultado final, NUNCA redondeando resultados intermedios.
Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una magnitud aparece alguna constante matemática o física (como π, NA, g, c, etc.), conviene considerar, en el momento de operar, el máximo número significativo de cifras, de forma que el error considerado sea despreciable frente a la incertidumbre de las magnitudes que intervienen en la fórmula.
Errores
Representaciones Gráficas
Eje de abcisas
(v. independiente)
Eje de
ordenadas
(v. dependiente)
Identificación
de los ejes
Escala
sencilla
I (mA) 1 2 3 4 5 6 7 8
V (10 mV)
12
13
14
15
16
17
El origen no tiene
porqué ser el (0,0)
¡Nunca!
Puntos distribuidos
por toda la gráfica
Línea de
ajuste
Ajuste por mínimos cuadrados (Es el método
empleado para comprobar relaciones lineales entre magnitudes físicas)
M(g) y(cm)
100 0.6
200 0.9
400 2.2
600 3.0
800 4.1
1000 4.85
Por ejemplo supongamos que queremos comprobar la ley de Hooke F=-ky para un
resorte y para ello colgamos masas de distinto valor de un muelle y medimos la
elongación de éste. Debe cumplirse Mg-ky=0, luego y=g/k M por lo que esperamos
que si se representa y frente a M los datos se alineen en una recta
6
1200
0
1
2
3
4
5
0 200 400 600 800 1000
M (g)
y (
cm
) Los puntos no están
perfectamente
alineados como cabría
esperar debido a los
errores accidentales e
instrumentales del
experimento.
El método de Ajuste por Mínimos
Cuadrados permite encontrar la recta
que ajusta mejor a todos los puntos
experimentales
Ajuste por mínimos cuadrados La recta que buscamos es: y = m·x + b.
m Pendiente
b Ordenada en el origen
Se calcula de la siguiente manera. Para unos puntos (x1, y1), (x2, y2) …(xn,yn)
2
11
2
111
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xxn
yxyxn
m
n
xmy
b
n
i
i
n
i
i
11
n
i
i
n
i
ii
xxn
bmxy
mu
1
2
1
2
2
)(
n
i
i
n
i
n
i
iii
xxnn
xbmxy
bu
1
2
1 1
22
)(2
)(
Coeficiente de correlación r Hay que darlo siempre que se hace un ajuste por mínimos cuadrados.
Es un número que está entre 1 y -1 y que nos da información de cómo de
bueno es el ajuste (cuanto más cercano a 1 o -1, mejor).
2
11
2
2
11
2
111
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yynxxn
yxyxn
r
¡ Un ajuste por mínimos cuadrados indica correlación lineal solo si |r| > 0,9 !
Se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea 9,
redondeándola en su caso: r = 0.9996714 r = 0.9997
En nuestro ejemplo:
Resultado:
m = 0,00487 ± 0,00054 cm/g
b = 0,09 ± 0,33 cm
r = 0,997
m = 0,0048726027 cm/g; u(m)=0,0001800419 cm/g
b = 0,0908219 cm; u(b)=0,109268 cm
r = 0,99728
¡No hay que preocuparse de los cálculos, un programa de excel que
podéis bajaros de la webCT os calcula m, b y r con sus incertidumbres
típicas sin más que introducir los datos!
4.85 1000
4.1 800
3.0 600
2.2 400
0.9 200
0.6 100
y i x i
4.85 1000
4.1 800
3.0 600
2.2 400
0.9 200
0.6 100
y i x i
Tomando k=3 para un nivel de confianza del 99,7% tendremos
k = ( 201 22) kg/s2; Ur = 11 %
Por lo tanto: 2
2
37,201437
00487,0
981
s
g
g
cms
cm
m
gk
k
gm
2
22
2
22
4,22407)(1
)()()()(s
ggU
mmU
m
ggU
g
kmU
m
kkU
Frecuentemente la recta de regresión nos permite calcular alguna magnitud de
interés. En este caso, por ejemplo, la constante del muelle. En efecto, según la
teoría
Lo que implica que g/k es la pendiente obtenida y la ordenada en el origen debería
ser cero.
Mk
gy
Resultado:
Incertidumbre expandida: U(k)=22 kg/s2