Curso de Estadística

Universidad de Guayaquil

2016.

Dr. Manuel E. Cortés CortésEcuador.

Capítulo: La teoría de la Estimación

• Subunidad 1: Estimación por Intervalos

• Subunidad 2: Varianza conocida

• Subunidad 3: Varianza conocida

• Subunidad 4: Intervalos de confianza

Propiedades de los Estimadores Estimadores

Sesgo: Es equivalente al error, por lo que se desea tener un estimador que tenga un sesgo mínimo o cero.

Estimador Insesgado: Se dice que un a estadística cualquiera W es un estimador insesgado del parámetro si se cumple que: E (W ) = . Lo que significa que el valor esperado del estimador sea igual al parámetro que se pretende estimar.

Estimación por Intervalos.

• Una estimación por intervalos de un parámetro poblacional es un intervalo de la forma :

• min < = < = max • donde los valores extremos del intervalo

dependen del valor de la estadística para una muestra particular y también de la distribución de muestreo de min , max se calculan

Intervalo para la Intervalo para la media con varianza conocida.

• Estimación por Intervalos de la media poblacional cuando la Varianza es conocida.

• Si Xmed es la media muestral de un muestreo aleatorio

de tamaño n de una población con varianza σ2 , conocida, un intervalo de confianza de (1- σ )* 100% para la media está dado por :

• [X med - Z Alfa/2 ( σ / n1/2 ) , X med + Z Alfa/2 ( σ / n1/2 )] • Si n n > = 30 el resultado está garantizado.

Tablas Estadísticas.

• Tabla de Distribución Normal.• Valores más utilizados:• Nivel de significación α= 0.05 z = 1.64 (+,-)• Nivel de significación α/2=0.025 z = 1.96 (+,-)• Nivel de significación α= 0,01 z = 2.32 (+,-)• Nivel de significación α/2=0.005 z = 2.57 (+,-)• Los valores de la t Student dependen de los grados

de libertad y en nivel de significación, por eso hay que calcularlos particularmente.

Ejercicio

La dirección de una empresa química debe saber los niveles de afectación al medio ambiente de su empresa.

La concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre el intervalo de confianza del 95 y 99 % para la concentración de zinc en el rio. Estudios anteriores suponen que la desviación estándar es de la concentración de zinc es de 0.3.

Estimación por Intervalos de la media poblacional cuando la Varianza es desconocida:

• Ahora no se conoce la varianza por lo que se tiene que trabajar con el estimador de la misma s y la fórmula será con la utilización de la distribución t Student en lugar de la Normal:

• [X med -t Alfa/2 ( n-1) ( σ / n1/2 ) , X med +t Alfa/2 ( n-1) ( σ / n1/2 )]

• Notas sobre la Distribución t de Student•

Ejercicio.• Encontrar el intervalo de confianza de los pesos al

nacer de 20 niños en un Hospital:• Peso al nacer en Kg en un día específico.

• 3.2 3.8 2.7 4.0 3.3 • 2.5 3.3 3.6 3.1 3.0• 2.9 3.0 3.4 3.2 3.0 • 3.2 3.1 3.0 2.8 4.1•

Estimación de la población cuando se tiene una proporción.

Población Muestra• Proporción π p• Varianza π (1-π) p (1-p)

• Intervalo de Confianza para una proporción de la población

• [ p - Z Alfa/2 ( p (1 - p) / n 1/2) , p + Z Alfa/2 ( p (1 - p) / n1/2 )]

Ejercicio.• En un colectivo laboral existe una división

acerca de determinada orientación que ha dado el jefe, la población de trabajadores des de 210 obreros en general y en una encuesta se sabe que aproximadamente el 51 % está a favor de la disposición, se quiere obtener el intervalo de confianza sobre la proporción de trabajadores que están a favor de la misma.

Tarea 1:

• Un fisioterapeuta desea estimar, con un 99 % de confianza, la media de la fuerza máxima de un músculo particular en cierto grupo de individuos. Se inclina a suponer que los valores de dicha fuerza muestran una distribución aproximadamente normal con una varianza de 144. Una muestra de 15 individuos que participaron en el experimento proporcionó una media de 84.3.

• Calcule el intervalo de confianza para la media e interprete los resultados.

Tarea 2Se muestran datos de 10 paquetes recibidos en una oficina , calcule el intervalo de confianza para la media de los pesos en Kg. Si se tienen las siguientes los siguientes valores: Paquete Peso Paquete Peso 1 2.4 6 3.22 3.5 7 4.03 3.0 8 2.84 2.9 9 3.15 3.7 10 3.4

Tarea 3

• Si se sabe que en un estudio con 150 estudiantes de una Universidad el valor medio de la estatura dio 161.6 cm y que la desviación estándar de dicha muestra fue de 6.3 cm se le pide a usted calcular el intervalo de confianza para la estatura media al 95%

Ejercicios:

1. Se quiere obtener un intervalo de confianza para el valor de las ventas medias por hora que se producen en un kiosco . Para ello realizamos una muestra consistente en elegir al azar las ventas que se realizaron durante 1000 horas distintas ; muestra cuyos resultados fueron : ventas medias por hora 4000 pts, y varianza de dicha muestra 4000 pts al cuadrado . Obtener dicho intervalo con un nivel de confianza del 95.5 %. n= tamaño muestral = n =1000 , muestreo aleatorio simple la población no es normal ni conocemos su varianza , intervalo para la media con varianza desconocida y población no normal , pero: tamaño muestral es grande podemos suponer normalidad varianza poblacional =varianza muestral nivel de confianza = 95,5% (0.5)

Ejercicio:

2.- Se desea determinar un intervalo de confianza con nivel de confianza del 99% para la proporción de amas de casa que compran sólo una vez a la semana. Si se sabe que en una muestra aleatoria simple de 400 amas de casa sólo 180 de afirmaron comprar una vez a la semana.

P = proporción de amas de casa que compran una sola vez en la semana.

Nivel de confianza es 0,99, n=400, no se conoce p, nos pondremos varianza máxima p=q=0,5.

P = proporción de amas de casa que compran una sola vez en la semana.

luego el intervalo :

Ejercicio de Tarea:• Para la estimación de la proporción de familias con ingresos

superiores a 80000 Euros al año , se han realizado dos muestreos distintos , en ambos el tamaño muestral es el mismo , así como la forma de muestrear ; en ambos , también, el nivel de confianza es idéntico (95,5%) . En la ficha técnica del muestreo A se nos indica que p=q=0,5 . En el muestreo B se nos indica que se utiliza como p la proporción de familias con ingresos superiores a 80000 euros que se obtuvo en un sondeo anterior . Nos preguntamos por : ¿Cuál de los dos muestreo nos dará un intervalo para dicha proporción de familias con menor amplitud ?¿Por qué ? ¿Cuál de los dos muestreos es más riguroso ?

Ejercicio de Tarea• Para llevar a cabo un control de calidad sobre el peso

que pueden resistir los 300 forjados(suelos) de una construcción , realizamos 12 pruebas resultando la resistencia media hasta la rotura de 350kg/cm2 con desviación típica de 20 . Si trabajamos con nivel de confianza de 0,9.

• a)¿Ante que tipo de muestreo nos encontramos b)¿Entre que valores oscila la resistencia media de los 300 forjados , si por experiencias anteriores sabemos que dicha resistencia se distribuye normalmente ?

•

Ejercicio Tarea.• Se ha obtenido una muestra de 25 alumnos de

una Facultad para estimar la calificación media de los expedientes de los alumnos en la Facultad. Se sabe por otros cursos que la desviación típica de las puntuaciones en dicha Facultad es de 2.01 puntos. La media de la muestra fue de 4.9. 1. Intervalo de confianza al 90 %. 2. intervalo de confianza al 99 %

(4,24,5,56) (3,86, 5,94)

Ejercicio.

• Se ha obtenido una muestra de 15 vendedores de una Editorial para estimar el valor medio de las ventas por trabajador en la Empresa. La media y varianza de la muestra ( en miles de euros ) son 5 y 2, respectivamente.

Intervalo de confianza para la venta media por trabajador en la Editorial al 90 %.• S2 = n/n-1 Vx = 15 / 14(2) = 2,143 Vx varianza muestral

• (4,334, 5,666)