TEORIA DE PROBABILIDAD

Qu Es la Probabilidad?

Es la creencia en la ocurrencia de un evento o suceso

Ejemplos de sucesos probables

Sacar cara en un moneda

Que una determinada pieza se rompa tras unas determinadas horas de trabajo

Experimentos

Experimento Determinstico: Es un experimento del que se conocen todos sus posibles resultados y que repetido en las mismas condiciones da el mismo resultado. Ejemplo: Volumen de un litro de agua a 25C.

Experimento Aleatorio: Es un experimento del que se conocen todos sus posibles resultados y que repetido en las mismas condiciones no siempre proporciona los mismos resultados. Ejemplo: El lanzamiento de un dado.

Algebra de conjuntos

Definicin: Un conjunto es una coleccin de elementos.

Definicin: Se dice que B es un subconjunto de A si todos sus elementos lo son tambin de A, y se nota con BA. ( A A )

Lema: Propiedad transitiva. Si CB y BA,

entonces CA

Algebra de conjuntos

Definicin: La unin de A y B es un conjunto con los elementos de A y B, se nota AB.

Lema: Si AB, entonces, AB=B.

Definicin: La interseccin de A y B es un conjunto con los elementos comunes de A y B, y se nota AB o AB.

Algebra de conjuntos

Definicin: Dos conjuntos A y B, se dicen mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles si AB= .

Definicin: Los conjuntos A1,,An se dicen mutuamente excluyentes si Ai Aj= para todo ij.

Definicin: Una particin es una coleccin de conjuntos A1,,An tal que:

1. A1 An= 2. Ai Aj= para todo ij.

Algebra de conjuntos

Definicin: El conjunto complementario de un conjunto A, Ac, est formado por todos los elementos de K que no pertenecen a A.

Consecuencias: 1. A =K 2. A = 3. (Ac)c=A 4. Kc= 5. Si BA, entonces, Ac Bc 6. Si A=B, entonces, Ac =Bc

Algebra de conjuntos (Leyes de Morgan)

Leyes de Morgan:

1. (A B)c = Ac Bc

2. (A B)c = Ac Bc

Espacio Muestral

Definicin: Llamaremos suceso o evento elemental a cualquier resultado del experimento que no se pueda descomponer.

Definicin: El conjunto formado por todos los sucesos elementales del experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral, K.

Definicin: Llamaremos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Definicin: Un espacio muestral se dice discreto si est formado por un conjunto finito o infinito numerable de sucesos elementales, y continuo si lo est por un conjunto no numerable de sucesos elementales

Definicin Axiomtica de Probabilidad

Propiedades de la definicin de probabilidad:

1. P[]=0

2. P* +=1-P[A]

3. P[A += 1 = P*A++P* +

4. P[A B]= P[A] + P[B] P*A B+

Probabilidad Condicionada

Definicin: La probabilidad condicionada de un suceso A, conocido otro suceso B, denotada por P[A|B], se define como el cociente: P*A|B+=P*A B+/P*B+ siempre que P*B+ 0.

Nota: Una funcin de probabilidad condicionada P[|B] es una funcin de probabilidad en toda regla, por tanto tiene las mismas propiedades.

Sucesos Independientes

Definicin: Dos sucesos A y B se dicen independientes si la P*A|B+=P*A+ P*B|A+=P*B+, P*A B+=P*A+* P*B+.

Definicin: Se dice que A1,,An son independientes si:

P[Ai Aj+=P*Ai]*P[Aj]

P[Ai Aj Ak]=P[Ai]*P[Aj]*P[Ak]

.

P[Ai An]=P[Ai+*.*P*An]

para cualquier combinacin de ndices tal que 1 i < j < k n

Teorema de la probabilidad total

Teorema: Sea P una funcin de probabilidad en un espacio muestral. Se ,A1,,An} K una particin del espacio muestral K y sea B un suceso cualquiera, entonces,

P*B+=P*B| A1+*P*A1++ P*B| An]*P[An]

Teorema de Bayes

Teorema: Sea P una funcin de probabilidad en un espacio muestral. Se ,A1,,An} K una particin del espacio muestral K y sea B un suceso cualquiera tal que P*B+ 0, entonces,

Ejemplos

P(A B) = P(A) + P(B). Se extrae una carta al azar de un mazo ingls normal de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos A: "sale 3" y B: "sale una figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A B. Como estos eventos no pueden ocurrir simultneamente, o sea, son mutuamente excluyentes, A B = y entonces P(A B) = P(A B) = P(A) + P(B) = P(sale 3) + P(sale figura) = 4/52 + 12/52 = 4/13.

Ejemplos

P(A) + P(Ac) = 1. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, el evento A: "no sale rey" tiene como complemento al evento "sale rey", entonces resulta mas simple calcular la probabilidad de A como 1 - P(Ac): P(no sale rey) = 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/13

Ejemplos

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). En el lanzamiento de un dado de seis caras, los eventos A: "sale par" y B: "sale primo" tienen iterseccin no vaca: A B = {2}, entonces la probabilidad del evento "sale par o primo" = A B es P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6

Ejemplos

P(A B) = P(A)P(B). Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale par en el primer lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo", son eventos independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en el primero y un 3 en el segundo" es P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) = (3/6)(1/6) = 1/12

Ejemplos

P(A B) = P(A)P(B/A). P(B/A) = P(A B)/ P(A) [P(B/A) es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A]. En la extraccin de una carta de un mazo ingls normal: cul es la probabilidad de que la carta extrada sea el as de corazones, sabiendo que la carta extrada es de corazones? Debemos calcular P(as/corazn). La probabilidad de "as y corazn" es 1/52. La probabilidad de corazn es 13/52. Luego, P(as/corazn) = P(as y corazn)/P(corazn) = (1/52)/(13/52) = 1/13.