Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —310—
CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA
Campo Eléctrico: Generado por partícula fuente en reposo
Campo Magnético: Generado por partícula fuente en
movimiento uniforme (no acelerado) Diferencia relativa: Mismo fenómeno observado desde distintos puntos de vista
Campo Electro-Magnético (ondas electromagnéticas): Generado por partícula fuente en
movimiento acelerado (no uniforme)
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Fuerza magnética:
( )BvF ×= qM
v ⇒ velocidad de la partícula (m/s) B ⇒ campo magnético (T; Tesla)
T = Ns
Cm= N
Am
Campo magnético de la tierra ≅ 5x10-5 T=0.5 Gauss
Campo magnético de laboratorio ≅ 1 T
104 Gauss = 1 Tesla
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El campo magnético no efectúa trabajo:
W = − F • dl∫ = − F • vdt∫ = − q(v × B) • vdt∫ = 0
B no puede cambiar la energía total ni el momento total de una partícula
Aplicaciones: l Cámaras de burbujas (razones q/m) l Aceleradores de partículas (Ciclotrón) l Separadores de masas (implantador de iones) l Deflectores de partículas (cinescopio)
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Cámara de burbujas:
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Implantador de iones (INAOE):
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Ciclotrón (U. de Uppsala, Suecia):
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Ejemplo 38.- El Ciclotrón.
z
y
x
vyo
R
q
R
B=-Bi
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Incialmente (t=0):
( ) kkji
BvF ˆBqv00B0v0
ˆˆˆ
q yoyoM =−
=×=
Al estar en la región de campo, cambia la velocidad:
( ) jkkji
BvF ˆBqvˆBqv00B
vv0
ˆˆˆ
q zyzyM −=−
=×=
Aceleración de la segunda Ley de Newton:
( ) ( )kjkji ˆvˆvqBˆaˆaˆam yzzyx +−=++
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Componente por componente:
max = 0 may = -qBvz maz = qBvy
Ecuaciones de movimiento a partir de:
∂2y
∂t2= −
qBm
∂z∂t
= −ω∂z∂t
∂2z
∂t2= +
qBm
∂y∂t
= ω∂y∂t
ω ≡ qB
m
“frecuencia angular del ciclotrón”
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Sistema de diferenciales de 2do orden acopladas:
∂3y
∂t3= −ω
∂2z
∂t2 ⇒
∂3y
∂t3+ ω2 ∂y
∂t= 0
Solución general:
y(t) = Asen(ωt) + Dcos(ωt) Caso particular: y(t=0)=0 ⇒ D=0
yot 0 t 0
dy(t)A cos( t) A v
dt = == ω ω = ω = ⇒
A =
vyo
ω
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Solución en y:
y(t) =
vyo
ωsen(ωt)
∂z∂t
= −1ω
∂2y
∂t2= −
1ω
−vyoωsen(ωt)( )= vyosen(ωt)
z(t) = −
vyo
ωcos(ωt) + C
z(t=0)=0 ⇒ C=vyo/ω Solución en z:
z(t) =
vyo
ω1− cos(ωt)( )
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Velocidad de la partícula:
∂y∂t
2
+∂z∂t
2
= vyo cos(ωt)( )2+ vyosen(ωt)( )2
= vyo( )2
Cumplen con conservación de energía cinética y momento lineal
Alternativamente; ecuación de órbita:
FNETA = FM + FC = 0
0ˆR
mvˆqBv
2=+− rr
qB = mv
R
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Radio de la trayectoria: R =
mvqB
=mq
v
B
Razón q/m de una partícula:
qm
=
vRB
Momento lineal: p = mv = qBR
Con componente de velocidad en dirección del campo: trayectoria helicoidal
Ley de Lorentz: Fuerza electromagnética:
FEM = q E + v × B( )[ ]
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Ejemplo 39.- Partícula cargada en campos eléctrico y magnético uniformes.
q
B=Bi
E=Ek
z
y
x
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+=00Bvv0
ˆˆˆ
ˆEq zyEM
kjikF
( )[ ]kjF ˆBvEˆBvq yzEM −+=
( ) ( )[ ]kjkji ˆBvEˆBvqˆaˆaˆam yzzyx −+=++
ma x = 0
ma y = qBvz
ma z = q E − Bvy( )
Sistema a resolver:
∂2y
∂t2= ω
∂z∂t
∂2z
∂t2= ω
EB
−∂y∂t
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Soluciones generales:
z(t) = Acos(ωt) + Csen(ωt) + D
y(t) = E
Bt + Asen(ωt) − Ccos(ωt) + F
A, C, D y F de condiciones iniciales
Caso particular: en t=0
y=0 vy=0 z=0 vz=0
A = − 1
ωEB
C=0
D = 1
ωEB
F=0
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Soluciones particulares:
y(t) = 1
ωEB
ωt − sen(ωt)[ ] z(t) = 1
ωEB
1− cos( ωt)[ ] Corrientes y densidades de corriente:
Corriente: conjunto de partículas cargadas en movimiento
Magnitud: (cantidad de carga)/(tiempo)
I ≡ ∆Q
∆t
I ≡ ∂Q
∂t
A= Ampere = Cs
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La corriente es un vector:
E+ -
I
Corrientes continuas: no varían con el tiempo (partículas en movimiento uniforme, no acelerado).
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Densidades de corriente:
Densidad volumétrica de corriente J (A/m2)
vJ ˆA1
tQ
∆∆∆
=
J ∆A
∆l
∆τ=∆A∆l
n
∆Q=ρ∆A∆l
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vvvvJ ρ=∆∆
ρ=
∆∆∆∆ρ
=
∆∆∆
= ˆtl
ˆA1
tlA
ˆA1
tQ
( )∫ •= daˆI nJ
Dirección: la de flujo de carga positiva
Densidad superficial de corriente K (A/m)
vK ˆS
1tQ
∆∆∆
=
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K
∆l
∆A=∆S∆l
∆Sn
∆Q=σ∆l∆S
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vvvvK σ=∆∆
σ=
∆∆∆∆σ
=
∆∆∆
= ˆtl
ˆS
1t
Slˆ
S1
tQ
( )∫ •= dSˆI nK
Dirección: la de flujo de carga positiva
Corrientes filamentarias I (A)
vvvvI λ=∆∆
λ=∆∆λ
=∆∆
= ˆtl
ˆtl
ˆtQ
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Ecuación de continuidad:
J
∆A
∆τ
−
dQdt
= J •da∫
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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da Positivo saliendo de la superficie. aJ d• Positivo para corriente saliendo de la
superficie (vectores paralelos). aJ d• Negativo para corriente entrando a la
superficie (vectores antiparalelos).
0d <•∫ aJ Más corriente entra de la que sale; se
acumula carga positiva en el volumen.
0d =•∫ aJ La corriente que entra es la misma que
que sale; la carga neta es la misma dentro de la superficie.
0d >•∫ aJ Menos corriente entra de la que sale; se
extrae carga positiva del volumen.
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Q = ρdτ∫ ⇒
−
dQdt
= −ddt
ρdτ∫ = −∂ρ∂t
dτ∫
−
∂ρ∂t
dτ∫ = J •da∫
Usando el Teorema de la Divergencia:
−
∂ρ∂t
dτ∫ = ∇ • J( )dτ∫
Sólo se cumple si los integrandos son iguales
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Ecuación de continuidad:
∇ • J = − ∂ρ
∂t
Conservación de la carga
En magnetostática: ∇ • J = 0
(corrientes continuas)
Carga de polarización y corriente de polarización Jp:
∇ • Jp +
∂ρp
∂t= 0
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ρp = −∇ • P
∇ • Jp −
∂∂t
∇ • P( )= ∇• Jp − ∇•∂∂t
P
= 0
Jp = ∂P
∂t
Corriente de polarización: Corriente parásita presente cuando los campos varían con el tiempo
Representa pérdidas de energía cuando la señal varía con el tiempo
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Densidades de corriente y fuerza magnética:
FM = q(v × B)
FM = (v × B)dq∫
τρσλ
=dda
dl
dq
∫ λ×= dl)( BvFM ∫ σ×= da)( BvFM
∫ τρ×= d)( BvFM
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Corriente filamentaria; I = λv
∫∫ ×=×= )d(Idl)( BlBIFM
Densidad superficial de corriente; K = σv
FM = (K × B)da∫
Densidad volumétrica de corriente; J = ρv
FM = (J × B)dτ∫
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Ejemplo 40.- Fuerza sobre aro con corriente I.
B=hzi
z
y
x
III
II
I
IV
dl
+
FM = I(dl × B)∫
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Sub-trayectoria I: jl ˆdyd =
kkji
Bl ˆhzdy00hz0dy0
ˆˆˆ
d −==×
En esta parte del aro: z=-S/2
kkkF ˆ2
IhSˆy2
IhSˆdy2
IhS 2
2/S
2/S2/S
2/S
IM ===−
++
−
− ∫
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——————————————————————————————————————————————— —341—
Sub-trayectoria II: kl ˆdzd =
jkji
Bl ˆhzdz00hzdz00
ˆˆˆ
d +==×
0ˆ2S
2S
2Ihˆz
2IhˆzdzIh
22
2/S
2/S2
2/S
2/S
IIM =
−−
===
−
++
−
− ∫ jjjF
Sub-trayectoria III: jl ˆdyd =
kkji
Bl ˆhzdy00hz0dy0
ˆˆˆ
d −==×
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —342—
Aquí: z=+S/2
kkkF ˆ2
IhSˆy2
IhSˆdy2
IhS 2
2/S
2/S2/S
2/S
IIIM =−=−=+
−−
+
− ∫
Sub-trayectoria IV: Por simetría con II:
0ˆ2S
2S
2Ihˆz
2IhˆzdzIh
22
2/S
2/S2
2/S
2/S
IVM =
−
−===
+
−−
+
− ∫ jjjF
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —343—
Fuerza total:
FM = I dl × B( )∫ = FM−i
i=I
IV
∑ =
=+++ kkk ˆ
2IhS
20ˆ2
IhS0ˆ
2IhS 222
kFM ˆIhS2= Cambio en dirección de la corriente = cambio en signo
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —344—
Ejemplo 41.- Balanza magnética
z
y
x
R
I
Mg
+
B=Bi
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——————————————————————————————————————————————— —345—
FM = I(dl × B)∫
θθ ˆRdˆrdd θ=θ=l
≤=
0z para 0
0>z para ˆBiB
kj ˆsenˆcosˆ θ−θ=θ
kjl ˆsenRdˆcosRdd θθ−θθ=
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —346—
00BdRsendcosR0
ˆˆˆ
d θθ−θθ=×kji
Bl
( ) θθ+θ−=× dˆcosˆsenRBd kjBl
( ) ( )∫∫π+
π−
π+
π−
θθ+θ−=×=
2/
2/
2/
2/
dˆcosˆsenIRBdI kjBlFM
θ+θ−−=
π−
π+
π−
π+
2/
2/
2/
2/
ˆsenˆcosIRB kj
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —347—
kFM ˆ2
sen2
senIRB
π
−−
π
−=
kFM ˆIRB2−=
¡la corriente debe ir en sentido contrario a las
manecillas del reloj! Igualando la fuerza magnética a la de gravedad:
2IRB = Mg
M =
2IRBg
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —348—
La Ley de Biot-Savart: ♦Determina el campo magnético debido a una
corriente o densidad de corriente ♦Equivalente a la Ley de Coulomb
dlˆ
4)P( 2
o ∫ ξ×
πµ
=ξI
B
permeabilidad del espacio libre:
27
oAN
10X4 −π=µ
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —349—
Ejemplo 42.-
z
y
x
ξ
α
β
dl
B
I
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —350—
∫ ξ×
πµ
= 2o
ˆdI
4)z(
ξlB
kj ˆsenˆcosˆ α+α=ξ
iikji
l ˆcosdyˆdysensencos0
0dy0
ˆˆˆˆd β=α=
αα=×ξ
senα = cosβ (α - π/2 = β)
y = z tanβ ⇒ dy = zsec2 βdβ
1ξ
=cosβ
z ⇒
1
ξ2=
cos2 β
z2
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —351—
∫ ξβ
πµ
= iB ˆcosdyI
4)z( 2
o
( ) ( )∫ ∫β
β
ββπ
µ=ββ
ββ
πµ
= ii ˆdcosz4Iˆdcos
zcos
seczI4
2
1
o2
22o
( )iB ˆsensenz4I
)z( 12o β−βπ
µ=
Generalizando (coordenadas cilíndricas):
( )φsensenr4I
)r( 12o β−βπ
µ=B
Para un alambre infinito (muy largo comparado con r);
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —352—
β2 → π
2 y
β1 → − π
2
φr2I
)r( o
πµ
=B
z
y
x
B
I
B
I
B
B
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —353—
Ejemplo 43.- Campo magnético a distancia z sobre el centro de aro circular de radio R con corriente I.
α α
α α
ξ ξ
B B
I Iy
z
ξ y α constantes para z=cte
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —354—
Componentes horizontales se anulan verticales se suman
Campo resultante en dirección k
∫ αξ×
πµ
= cosˆd
I4
)z( 2o ξl
B
ξd ×l = Rdθ
ξ = R 2 + z2
cosα =
Rξ
=R
R2 + z2
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —355—
( ) =θ
+
+πµ
= ∫π2
0
2222o ˆRd
zR1
zR
R4
I)z( kB
( ) ( )kk ˆ
zR4
)R2(IRˆRdzR4
IR2/322
o
2
0
2/322o
+π
πµ=θ
+π
µ ∫π
( )kB ˆ
zR2
IR)z( 2/322
2o
+
µ=
Casos extremos: a) Campo en el centro del aro:
kB ˆR2I
)0z( oµ==
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —356—
b) z>>R:
( ) ( ) 32/322/322 zzzR =≈+
kB ˆz2IR
)Rz( 3
2oµ
=>>
Campo producido por un dipolo magnético
Dipolo magnético ⇒ Lazo de corriente I
Modelo para las propiedades magnéticas de la materia
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —357—
Ejemplo 44.- Fuerza entre dos alambres infinitos paralelos.
z
y
x
B2=-B2i
I2I1
d
FM = I(dl × B)∫
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —358—
FM1−2 = I1(dl1 × B2 )∫ = I2(dl2 × B1)∫ = FM2−1
dl1 = dzk iB ˆd2I
)dy( 2o2 π
µ−==
∫∫ πµ
−=
πµ
−×=− dzˆd2IIˆ
d2IˆdzI 21o2o
121 jikFM
Fuerza por unidad de longitud:
jF
f MM
ˆd2II
dz
21o2121 π
µ−==
∫−
−
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —359—
Corrientes paralelas: Fuerza atractiva Corrientes antiparalelas: Fuerza repulsiva Fuerza entre dos corrientes:
∫ ∫
ξ×
πµ
×=− 212
122
o121
ˆdI
4dI
ξ21M
llF
ξ12 es el vector de dl1 a dl2 Ley de Biot-Savart para distribuciones de corriente:
daˆ
4)P( 2
o ∫ ξ×
πµ
=ξK
B τξ×
πµ
= ∫ dˆ
4)P( 2
o ξJB
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —360—
Divergencia de B:
τ
ξ×
πµ
=τξ×
πµ
= ∫∫ d4
dˆ
4)P( 3
o2
o ξξJ
JB
32
ˆ
ξ=
ξξξ
τ
ξ×
πµ
•∇=•∇ ∫ d4 3
o ξJB
Coordenadas de evaluación (x,y,z) Coordenadas de integración (x’,y’,z’)
B = f(x, y, z) J = f(x’, y’, z’) ξ = f(x, y, z, x’, y’, z’)
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —361—
τ
ξו∇
πµ
=•∇ ∫ d4 3
o ξJB
( )
ξ×∇•−×∇•
ξ=
ξו∇ 333
ξξξJJJ
∇ × J = 0
∇ ×
ξ
ξ3
=
1
ξ3
∇ × ξ( )− ξ × ∇
1
ξ3
∇
1
ξ3
= −3
ξ
ξ5
ξ × ∇
1
ξ3
=
−3
ξ5ξ × ξ( )= 0
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —362—
03 =
ξו∇
ξJ
En general:
∇ • B = 0 Implicaciones: l No existe el monopolo magnético. l Un campo magnético es producido siempre por una
combinación de polos. l El flujo del campo magnético a través de una
superficie cerrada es siempre cero:
( ) 0dd =τ•∇=• ∫∫ BaB
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —363—
Rotacional de B: Del Teorema de Stokes:
∇ × B( )•da∫ = B• dl∫
Para una corriente infinita:
∫∫∫∫ φπ
µ=φ
πµ
==• Id2
rdrI
2Bdld oolB
Ley de Ampere:
B • dl∫ = µoIenc
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —364—
Ienc: corriente encerrada por la trayectoria dl
(cualquier corriente que atraviese la superficie da delimitada por dl)
∇ × B( )• da∫ = B • dl∫ = µoIenc = µoJ •da∫
∇ × B = µoJ
En general:
τ
ξ×
πµ
×∇=×∇ ∫ dˆ
4 2o ξJ
B
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —365—
τ
ξ×
×∇π
µ=×∇ ∫ d
ˆ
4 2o ξJ
B
( ) +
ξ•∇−
ξ•∇=
ξ×
×∇ 222
ˆˆˆ ξξξJJ
J
( )
ξ∇•−
∇•
ξ 22
ˆˆ ξξJJ
J = f(x’, y’, z’) = f(r’), por lo que:
∇ • J = 0 y 0ˆ
=
∇•
ξJ2
ξ
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —366—
( )
ξ∇•−
ξ•∇=
ξ×
×∇ 222
ˆˆˆ ξξξJJ
J
( ) τ
ξ∇•−
ξ•∇
πµ
=×∇ ∫ dˆˆ
4 22o ξξ
JJB
( ) τ
ξ∇•+
ξ•∇
πµ
=×∇ ∫ dˆ
'ˆ
4 22o ξξ
JJB
Donde:
ξ−∇=
ξ∇ 22
ˆ'
ˆ ξξ
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —367—
( ) ( ) ( )∫∫∫ τ•∇
ξ−•
ξ=τ
ξ∇• d'
ˆd
ˆd
ˆ' 222 JaJJ
ξξξ
Para corrientes continuas; 0' =•∇ J Si la superficie está fuera de la distribución; J • da = 0
τ
ξ•∇
πµ
=×∇ ∫ dˆ
4 2o ξ
JB
Pero:
=π
≠=
ξ=
ξ•∇
o
o
22
22rr para 4
rr para 0
rdrd
r1ˆ 1ξ
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —368—
Por lo que, en general:
∇ × B = µoJ
Conclusiones:
∇ • B = 0 ∇ × B = µoJ
l Las líneas de campo magnético forman trayectorias cerradas, sin principio ni fin.
l B es generado por al menos una combinación de dos “polos”.
l El flujo de B a través de una superficie cerrada es cero.
Comparando con el campo eléctrico:
∇ • E =
ρεo
∇ × E = 0
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —369—
La Ley de Ampere:
Contraparte magnética de la “Ley de Gauss”
B • dl∫ = µoIenc
Lazo amperiano: Trayectoria usada para la integral de línea de B
Condiciones para usarla para determinar la magnitud de B:
1) B es o paralelo o perpendicular al lazo amperiano en todo punto. Esta condición implica que debemos conocer la dirección de B a priori.
2) B debe ser constante en el lazo amperiano usado. Esta condición se cumple para líneas y planos infinitos con distribución de corriente uniforme.
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —370—
Ejemplo 45.- Campo magnético producido por un alambre infinito que lleva corriente uniforme I. Lazo amperiano circunferencial al alambre, centrado en su eje:
B • dl∫ = Bdl∫ = B dl = B(2πr) =∫ µoIenc = µoI
φr2I
)r( o
πµ
=B
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —371—
Ejemplo 46.- Campo magnético de iK ˆK=
z
y
x
K=Ki
dl
B
B
Lazo amperiano dl paralelo al plano xy:
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —372—
B • dl∫ = B • dl
sup∫ + B • dl
inf∫ =
( ) ( ) Bl2dlB2ˆdlˆBˆdlˆB ==•+−•−∫ ∫ ∫jjjj
µoIenc = µoKl ⇒ B = µo
2K
µ+
µ−
=
0<z para ˆK2
0>z para ˆK2
o
o
j
j
B
¡B es discontinuo si K≠0!
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —373—
Ejemplo 47.- El Solenoide.
z
y
x
dl1
dl2
I
B
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —374—
B • dl∫ = Bl
n=N/l = densidad de vueltas
Ienc = nIl ⇒ Bl = µonIl
µ=
afuera 0
adentro ˆnIo k
B
Solenoide real: l El campo afuera es distinto de cero l El campo es de la forma del de un imán en
barra, que es un campo dipolar
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Potencial magnético o potencial vectorial:
La divergencia de un rotacional es siempre cero ∇ • B = 0 ⇒ B = ∇ × A
A = potencial magnético, potencial vectorial
Unidades: N/A = Tm Ventaja: El potencial vectorial tiene la misma dirección
que la corriente Al conocer J, K o I se conoce la dirección de A, y
el sistema coordenado se puede orientar para facilitar los cálculos
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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τ
ξ×
πµ
=τξ×
πµ
= ∫∫ dˆ
4d
ˆ
4)P( 2
o2
o ξξJ
JB
ξ−=
ξ∇ 2
ˆ1 ξ ⇒
ξ∇×−=
ξ×
1ˆ2 JJ
ξ
( )
ξ×∇−×∇
ξ
=
ξ∇×
111JJJ
J = f(r’) y B = ∇ × A ⇒ ∇ × J = 0
ξ×∇=
ξ∇×−
11JJ
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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τξπ
µ×∇=τ
ξ×∇
πµ
= ∫∫ d4
d1
4)P( oo J
JB
τξπ
µ= ∫ d
4)P( o J
A
da4
)P( o ∫ ξπµ
=K
A ∫∫ ξπµ
=ξπ
µ=
lIA
dI
4dl
4)P( oo
A se puede obtener de integrar una sola componente,
y B del rotacional de A
A es un campo vectorial; definido por: ∇ × A ∇ • A
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Rotacional: ∇ × A = B
Divergencia:
ξπµ
•∇=•∇ ∫ lA dI
4o
∫∫
ξ•∇
πµ
=
ξπµ
•∇l
ld
I4
dI
4oo
( )
ξ∇•+•∇
ξ=
ξ•∇
1dd
1dll
l
dl = f (x’, y’, z’) ⇒ ∇ • dl = 0
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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ll d1
'I4
1dI
4oo •
ξ∇
πµ
−=
ξ
∇•π
µ ∫∫
alA d1
''I4
d1
'I4
oo •
ξ×∇∇
πµ
−=•
ξ
∇π
µ−=•∇ ∫∫
0=•∇ A
( ) ( ) AAAB 2∇−•∇∇=×∇×∇=×∇
0=•∇ A JB oµ=×∇
JA o
2 µ−=∇
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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En coordenadas cartesianas, por ejemplo:
zoz2
yoy2
xox2
JA
JAJA
µ−=∇
µ−=∇µ−=∇
Ejemplo 48.- Encuentre el potencial vectorial que representa a un campo magnético uniforme.
kjiB ˆBˆBˆB ozoyox ++=
Box, Boy, Boz = constantes
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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∇ × A = B
∂Az∂y
−∂Ay
∂z= Box
∂Ax∂z
− ∂Az∂x
= Boy
∂Ay
∂x−
∂Ax∂y
= Boz
Ax=f(y, z), Ay=f(x, z), Az=f(x, y)
∇ • A = 0 ⇒ 0z
Ay
A
xA zyx =
∂∂
+∂
∂+
∂∂
Ax≠f(x), Ay≠f(y), Az≠f(z)
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —382—
Ax = 1
2Boyz − 1
2Bozy
Ay = 1
2Bozx − 1
2Boxz
Az = 1
2Boxy − 1
2Boyx
( ) ( )jiA ˆzBxB21ˆyBzB
21
)z,y,x( oxozozoy −+−=
( )kxByB21
oyox −+
A = 1
2B × ξo = − 1
2ξo × B
kjio ˆzˆyˆx ++=ξ
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Ejemplo 49.- Potencial para alambre recto finito con corriente uniforme I.
z
y
x
L2
L1
β2
β1
(r,π/2,0)I
ξ
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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∫∫ ξπµ
=ξπ
µ=
llA
dI
4d
I4
)r( oo
kl ˆdzd = 22 zr +=ξ
( )
++
πµ
=+π
µ= ∫
1
22
1L
L22o
L
L
22o zrzlnˆI
4zr
ˆdzI
4)r( k
kA
kA ˆLrL
LrLlnI
4)r(
21
21
22
22o
++
++π
µ=
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
——————————————————————————————————————————————— —385—
Campo magnético:
=φ=φ ˆLrL
LrLlnI
4rˆ
rA
)r(21
21
22
22oz
++
++π
µ∂∂
−∂
∂−=×∇ A
φLrL
LrLrLrL
LrLI
4 21
21
22
22
22
22
21
21o
++
++∂∂
++
++π
µ−
φ= ˆLr
L
Lr
Lr4I
21
21
22
22o
+−
+πµ
( )φ=φ=)( ˆsensenr4Iˆ
Lr
L
Lr
Lr4I
r 12o
21
21
22
22o β−β
πµ
+−
+πµ
B
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Condiciones de frontera:
z
y
x
K=Ki
dl
B
B
B discontinuo en z=0 debido a K
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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jjjBB ˆKˆK2
ˆK2 o
ooinfsup µ−=
µ−
µ−=−
( ) KllBBd oinftsupt µ−=−=•∫ lB
En general:
Btsup − Bt inf = −µoK
( ) 0daBBd infnsupn =−=• ∫∫ aB
En general:
Bnsup = Bninf
Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————
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Componentes normales: siempre continuas Componentes tangenciales: discontinuas si K≠0
( )nKBB ˆoinfsup ×µ=− El potencial vectorial es siempre continuo:
Asup = Ainf
∂∂n
Asup −∂∂n
Ainf
sup erficie= −µoK