Aplicaciones de la Probabilidad

en la IndustriaDr. Enrique Villa Diharce

CIMAT, Guanajuato, México

Verano de probabilidad y estadística CIMAT

Guanajuato,Gto. Julio 2010

Tercera parte

Carta RCartas de control

La carta R monitorea la variabilidad de un proceso. Esta carta muestra las variaciones de los rangos de las muestras. La línea central es el promedio de los rangos y los límites de control son usualmente los límites tres veces la desviación de los rangos.

RDRddLCI

RDRddLCI

RLC

42

3

32

3

31:

31:

:

=

+

=

−

Cartas RX y

Cuando construimos las cartas , es común hacerlo simultaneamente a partir de un conjunto histórico de datos. Aquí, lo más conveniente es empezar con la construcción de la carta R, ya que los límites de la carta dependen de una estimación de la desviación estándar del proceso, el cual se obtiene a partir de una carta R.Si la carta R muestra que la variabilidad del proceso esta fuera de control, lo mejor es controlar la variabilidad antes que construir la carta .

RX y

X

X

Carta SCartas de control

La carta S monitorea la variabilidad de un proceso, es similar a la carta R, solo que ahora se calculan y grafican las desviaciones estándar para cada grupo.La línea central es el promedio de las desviaciones estándar de los m subgrupos y los límites de control son usualmente los límites tres veces la desviación de las desviaciones estándar.

Scc

LCS

Scc

LCI

SLC

−+

−−

24

4

24

4

131:

131:

:

Carta SCartas de control

En muestras pequeñas, el rango y la desviación estándar tienen un comportamiento similar. En muestras grandes, sin embargo, la ocurrencia de un valor extremo produce un rango grande, pero tiene un efecto menor sobre la desviación estándar.

Como la distribución de S es no simétrica, se puede construir una carta S, con límites de probabilidad en lugar de los límites tres sigma.Asumiendo que

,~)1( 2)1(2

2

−−

nSn χ

σ

Entoncesαχ

σχ αα −=

<

−< −−− 1)1( 2

)1,2/1(2

22

)1,2/( nnSnP

luego,

Cartas de control

Finalmente, la carta S con límites de probabilidad queda definida como,

Como antes tomamos como estimación de sigma a .

de aquí, los límites se definen como

αχ

σχ

σ αα −=

−<<

−−−− 1

11

2)1,2/1(

2)1,2/(

nS

nP nn

1,

1

2)1,2/1(

2)1,2/(

−=

−= −−−

nLCS

nLCI nn αα χ

σχ

σ

4/ cS

1

,1

,

2)1,2/1(

2)1,2/(

4

−=

−=

=

−−

−

ncSLCS

ncSLCI

SLC

n

n

α

α

χ

χ

Factores para la construcción de las cartas de control.

Cartas de control

2 1.880 0.853 0.000 3.2686 0.7979 1.128

3 1.023 0.888 0.000 2.5735 0.8862 1.693

4 0.729 0.880 0.000 2.2822 0.9213 2.059

5 0.577 0.864 0.000 2.1144 0.9400 2.326

6 0.483 0.848 0.000 2.0044 0.9515 2.534

n 2A 3D 4D3d 2d3c

#ESTIMACIÓN DE LA CONSTANTE d2W <- 0; nn <- 100000; n <- 3for (i in 1:nn){DATOS <- rnorm(n); RANGO <-range(DATOS)W <- W + (RANGO[2]-RANGO[1])/1}d2 <- W/nn ; d2 +++++++++++++++++++++++++++++++

#ESTIMACIÓN DE LA CONSTANTE c4W <- 0; nn <- 100000; n <- 3for (i in 1:nn){DATOS <- rnorm(n); W <- W + stdev(DATOS)}c4 <- W/nn ; c4

Cálculo por simulación (en lenguaje R) de factores d2 y c4 que se usan en la construcción de las cartas de control.

Ejemplo. Árbol de levas.

En el departamento de ensamble de motores de una planta automotriz, se tiene que una de las partes del motor, el árbol de levas, debe tener una longitud de 600mm(+/-)2mm para cumplir con las especificaciones de ingeniería.

Hay un problema crónico con la longitud del árbol de levas, ya que se sale de especificaciones, y crea un problema de reducción del rendimiento de la línea de producción y altas tasas de retrabajo y desperdicio.

El supervisor del departamento quiere correr cartas de medias y rangos para monitorear esta característica, durante un mes. Para esto recibe 20 muestras de tamaño 5 del proveedor. Estas observaciones se muestran en la siguiente tabla.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

601.6600.4598.4600.0596.8

602.8600.8603.6604.2602.4

598.4599.6603.4600.6598.4

598.2602.0599.4599.4600.8

600.8598.6600.0600.4600.8

600.8597.2600.4599.8596.4

600.4598.2598.6599.6599.0

598.2599.4599.4600.2599.0

599.4598.0597.6598.0597.6

601.2599.0600.4600.6599.0

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

602.2599.8599.8601.0601.6

601.6600.2601.8601.2597.6

599.8602.8600.0599.6602.2

603.8603.6601.8602.0603.6

600.8600.2600.4600.2602.2

598.0598.4600.8602.8597.6

601.6603.4597.0599.8597.8

602.4602.2600.6596.2602.4

601.4599.2601.6600.4598.0

601.2604.2600.2600.0596.8

Tabla. Muestras de longitudes (en mm) de árboles de levas.

Ejemplo. Árbol de levas.

Tabla. Cartas de medias y rangos para las longitudes de árboles de levas.

En la figura anterior se muestran las gráficas de medias y rangos para las longitudes de los árboles de levas. Los promedios de las medias y los rangos son 600.23 y 3.72 respectivamente. El promedio de las medias se encuentra dentro de las especificaciones, lo mismo ocurre con las medias excepto para las muestras 2 y 14, que están por arriba del limite superior de control y la muestra 9, que está en el límite inferior de control. El promedio de los rangos es algo grande, considerando que máxima variación permitida es de (+/-)2 mm., hay un exceso de variación en el proceso.

Ejemplo. Árbol de levas.

Después de una investigación con el responsable del proceso, se llegó a la identificación de causas asignables para las muestras 2 (falla de maquina) y 14 (error del operador), más no para la nueve. Luego se eliminaron las muestras 2 y 14, obteniendo nuevamente las cartas de medias y rangos que se muestran a continuación.

Ejemplo. Árbol de levas.

Tabla. Cartas de medias y rangos para las longitudes de árboles de levas, después de eliminar los grupos 2 y 14, que tenían causas asignables identificadas.

Una vez que eliminamos los subgrupos 2 y 14, ya no tenemos señales de fuera de control, en ambas cartas.Observamos ahora que el promedio de las medias ha disminuido, pero el promedio de los rangos ha aumentado. Esto se debe a las magnitudes de las observaciones eliminadas, los subgrupos tenianpoca variabilidad pero valores grandes.

Ejemplo. Árbol de levas.

Como ya no hay señales de fuera de control, el proceso es estable y podemos ahora iniciar el monitoreo del proceso, tomando periódicamente muestras de 5 arboles de levas. Las medias y los rangos de las muestras se graficarán en cartas de medias y de rangos, usando los límites que se muestran en la última figura.

Ejemplo: Diametros de cilindros. Chen et al. (2001) presentan un conjunto de medidas de los diámetros interiores de cilindros de un tipo de motor. El conjunto de datos esta formado por 35 muestras de tamaño n=5 recolectadas cada media hora. Estos datos que aparecen en la siguiente tabla, son los tres últimos dígitos de los valores reales medidos de la forma 3.5205, 3.5202, 3.5204, etc., es decir en la tabla tenemos, 205, 202, 204.Interesa establecer un control estadístico de este proceso mediante cartas y .

Cartas de control

X R

Primero realizamos un análisis retrospectivo del proceso a partir de los 35 subgrupos. Para cada subgrupo se calculan la media y el rango.

Tabla. Diámetros interiores de cilindros. Últimos tres digitos.

m x1 x2 x3 x4 x5 m x1 x2 x3 x4 x5

1 205 202 204 207 205 19 207 206 194 197 201

2 202 196 201 198 202 20 200 204 198 199 199

3 201 202 199 197 196 21 203 200 204 199 200

4 205 203 196 201 197 22 196 203 197 201 194

5 199 196 201 200 195 23 197 199 203 200 196

6 203 198 192 217 196 24 201 197 196 199 207

7 202 202 198 203 202 25 204 196 201 199 197

8 197 196 196 200 204 26 206 206 199 200 203

9 199 200 204 196 202 27 204 203 199 199 197

10 202 196 204 195 197 28 199 201 201 194 200

11 205 204 202 208 205 29 201 196 197 204 200

12 200 201 199 200 201 30 203 206 201 196 201

13 205 196 201 197 198 31 203 197 199 197 201

14 202 199 200 198 200 32 197 194 199 200 199

15 200 200 201 205 201 33 200 201 200 197 200

16 201 187 209 202 200 34 199 199 201 201 201

17 202 202 204 198 203 35 200 204 197 197 199

18 201 198 204 201 201

Se promedian las medias y los rangos para obtener

Cartas de control

X

26.8)351(

25.200)351(35

1

35

1

==

==

∑∑

=

=

i i

i i

RR

XX

Una investigación mostró que los dos puntos correspondían a tiempos en que el operador regular se ausentaba y dejaba un reemplazo con menos experiencia, a cargo de la producción.

Estos valores corresponden a las líneas centrales de las cartas de medias y rangos respectivamente. Los límites de control se construyen de acuerdo al procedimiento descrito anteriormente.En la siguiente gráfica se muestran las dos cartas de control. La carta muestra estabilidad en la media del proceso.En la carta R los puntos 6 y 16 exceden el límite de control superior.

Gráfica. Cartas para los diámetros de las 35 muestras.Ry X

Después de haber encontrado la causa de la gran variabilidad de estos subgrupos, se eliminan los dos puntosy se recalculan de nuevo los límites de control para ambas cartas.

Cartas de control

X

Una investigación mostró que los dos puntos correspondían a tiempos en que el operador regular se ausentaba y dejaba un reemplazo con menos experiencia, a cargo de la producción. La carta de medias muestra dos puntos fuera de los límites de control, correspondientes a los subgrupos 1 y 11 del conjunto original de datos.

La siguiente gráfica presenta las cartas y R luego de eliminar los puntos 6 y 16. Se observa que la variabilidad ha sido controlada, así que se pasa ahora a controlar la media del proceso.

Gráfica. Cartas después de eliminar los subgrupos 6 y 16.Ry X

El análisis de estos puntos produjo los siguientes resultados:

El subgrupo 1 ocurre a las 8:00 a.m. y corresponde al arranque de la producción, cuando las maquinas están frías.

El otro subgrupo ocurre a la 1:00 p.m. y corresponde al arranque de la linea de producción inmediatamente después del descanso del almuerzo y cuando las maquinas han sido apagadas por cambio de herramienta.

Cartas de control

Como se encontraron causas asignables, estos puntos se eliminan y las cartas se vuelven a calcular. En la siguiente figura aparecen estas dos cartas.

Gráfica. Cartas resultantes al finalizar la Fase I.Ry X

Se observa en esta última gráfica que ambas cartas exhiben control estadístico.Se puede concluir que el proceso esta bajo control respecto de su variabilidad y valor medio, finalizando el análisis de la Fase I.Se retienen estos últimos límites de control para utilizarlos en el control del proceso en línea.

Cartas de control

El primer paso en el establecimiento de cartas de medias y rangos, es la selección de las muestras. Es importante que todas las muestras sean muestras racionales (o subgrupos racionales). Esto es, grupos de observaciones cuya variación, solo es atribuible a las causas comunes.Cuando tomamos las muestras, minimizando la ocurrencia de causas especiales dentro de ellas, maximizamos la oportunidad de detectar causas especiales cuando estas ocurren entre las muestras.

Muestrear de diferentes máquinas, muestrear durante períodos extendidos de tiempo, y muestrear productos combinados de diferentes fuentes, no son métodos racionales de muestreo y deben evitarse.

Subgrupos racionales

El tamaño de los subgrupos se rige por los siguientes principios:

Subgrupos racionales

•Los subgrupos deben de reflejar solo las causas comunes•Los subgrupos deben asegurar la presencia de la distribución normal para las medias muestrales.•Los subgrupos deben garantizar una alta capacidad de detección de causas especiales o asignables.•Los subgrupos deben ser suficientemente pequeños para facilitar su medición y reducir el costo de operación.

Cuando estas consideraciones se toman en cuenta, frecuentemente, el tamaño de los subgrupo, resulta ser entre 3 y 6. Usualmente se toman cinco observaciones en cada muestra,

La frecuencia de muestreo, debe considerarse cuidadosamente, ya que cuando un proceso se muestrea con una frecuencia muy baja, las cartas de medias y rangos resultan ser de poca utilidad para identificar y resolver problemas.

Subgrupos racionales

•Naturaleza general de la estabilidad del proceso.•La frecuencia con que se presentan eventos en el proceso (cambios de turno, de materia prima, de condiciones ambientales).•Costo del muestreo

Algunos puntos que vale la pena tomar en cuenta pare determinar la frecuencia de muestreo son:

Frecuencia de muestreo

Reglas para detección de señales de alarma

En algún momento se propuso agregar a las cartas mecanismos de detección de señales fuera de control, más rápidamente.

El manual de Western Electric (1956) sugirió un conjunto de reglas de decisión para detectar patrones no aleatorios en las cartas de control.

El problema con la adición de estas reglas de detección de señales fuera de control, es que aumenta bastante el número de falsas alarmas y puede ser muy complicado estar revisando frecuentemente el proceso para encontrar las causas de las señales.

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 1 . Un punto fuera de los límites de control.

.

X

X

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 2 .Nueve puntos consecutivos todos por arriba o por abajo de la linea central.

X.. . . . . . .A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 3 . Seis puntos consecutivos con un ascenso o descenso constante.

.. ....X

......X

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 4 .Catorce puntos alternandose hac ia abajo y arriba

X

.. .

.....

......

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 5 . Dos de tres puntos consecutivos en la zona A

...

...

X

X

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 6 .Cuatro de cinco puntos consecutivos en la zona B o más allá de ella.

.....

.....X

X

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 7 . Quince puntos consecutivos en la zona C (por abajo y arriba de la linea central)

X

...............

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 8. Ocho puntos consecutivos en ambos lados de la linea central con ningún punto en la zona C.

.

. .. .

. .

.X