TextoCalculo 1 - PUCP

Pontificia Universidad Católica del Perú

Estudios Generales Ciencias

Cálculo 1

Miguel Gonzaga R. Juan Montealegre S. Carlos Rodríguez F.Roy Sánchez G.

San Miguel, marzo del 2011

2

Parte I

Cálculo Diferencial

3

Índice general

I Cálculo Diferencial 3

1. Funciones 13

1.1. Funciones Reales de Variable Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Gráfica de una función real de variable real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.1. Simetría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.2. Funciones Monótonas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3. Funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4. Operaciones con funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5. Transformación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6. Funciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.6.1. Función lineal afín. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.6.2. Función cuadrática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.6.3. Función polinómica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.6.4. Función racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.6.5. Función raíz n-ésima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.7. Funciones Trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.7.1. Gráfica de funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.8. Inversa de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.9. Funciones trigonométricas inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.10. Función exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.11. Función logarítmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1.12. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.13. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2. Límite de funciones reales de una variable real 97

2.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.2. Noción de límite de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5

6

2.3. Límites laterales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.4. Teoremas sobre límites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.5. Límites trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.6. Límites infinitos. Asíntotas verticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2.7. Límites al infinito. Asíntotas horizontales y oblicuas. . . . . . . . . . . . . . . . . 151


2.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

3. Funciones continuas 179

3.1. Continuidad en un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179


3.3. Continuidad por intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3.4. Funciones continuas en intervalos cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199



4. La derivada 213

4.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

4.2. La derivada de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

4.3. Teoremas sobre derivación de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

4.4. Regla de la cadena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

4.5. Aproximaciones lineales. Diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

4.6. Derivadas de orden superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

4.7. Derivación implícita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

4.8. Derivada de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

4.9. Derivada de las inversas trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

4.10. Derivada de las funciones logarítmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

4.11. Derivada de la función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

4.12. Derivada de funciones definidas paramétricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . 281



5. Aplicaciones de la derivada 307

5.1. Razón de cambio y tasas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

5.2. Valores extremos de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

5.3. Valores extremos absolutos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

7

5.4. Teorema del valor medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

5.5. Criterios para extremos relativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

5.6. Concavidad y puntos de inflexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

5.7. Optimizacióm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

5.8. Regla de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

5.9. Gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

5.10. Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357


5.12. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

A. Breves nociones de Topología en R 385

A.1. Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

B. Elementos de Lógica 389

B.1. Técnicas de demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

8

Prólogo

El Cálculo es una ciencia deductiva y una rama de la Matemática pura. Tiene profundas raíces

en problemas físicos y gran parte de su potencial y belleza deriva de la variedad de sus aplica-

ciones. Los cursos de Cálculo constituyen la puerta principal para todas las carreras de ciencias

e ingeniería. El curso de Cálculo 1, por ser el primero de los cuatro cálculos, debe procurar no

solo desarrollar el manejo algebraico de fórmulas y la resolución de problemas, sino que los es-

tudiantes adquieran técnicas claras de exposición oral en el ámbito de las matemáticas, deducir

un problema literal al lenguaje matemático, luego saber aplicar las herramientas matemáticas

para obtener la solución. Estos principios básicos irán perfeccionando en los siguientes Cálculos.

Creemos que los estudiantes aprenden las matemáticas haciéndolas.

Este borrador de Cálculo Diferencial elaborado a partir de nuestras notas de clases, para alum-

nos de los primeros ciclos de Estudios Generales Ciencias de la PUCP, tiene gran variedad y

profundidad de problemas en cada capítulo, bastantes gráficos, demostración de los teoremas

básicos, muchos ejemplos relacionados con la teoría, apéndices para reforzar temas teóricos del

Análisis Matemático y uso de las computadoras en la gráfica de funciones con todas sus caracte-

rísticas. Todos los ejemplos y problemas se basan en evaluaciones pasadas del curso de Cálculo

1 y Análisis Matemático 1 de Estudios Generales Ciencias. Existen muchos problemas basados

en gráficos que enfatizan la comprensión conceptual y el uso de las computadoras. Los ejemplos

y problemas de ingeniería, geometría y física tienen un papel predominante.

En general, los estudiantes de Cálculo 1 están dispuestos a trabajar duro. El problema está en que

este trabajo duro se convierte, muchas veces, en un esfuerzo enorme de memorización. La tarea

de enseñar a los estudiantes a pensar conceptualmente recae frecuentemente en los profesores de

Cálculo. Nuestros estudiantes vienen de colegios o de academias de preparación, donde el sistema

de enseñanza y la mayor parte de los libros de matemáticas, reducen las matemáticas a pequeños

pasos, que hay que repetir rutinariamente. Las técnicas tienen prioridad sobre la intuición y la

comprensión. En esos libros hay colecciones de problemas-tipo, lo que causa que los estudiantes

aprendan, sobre todo, reglas para resolverlos. Desgraciadamente, esto reduce las matemáticas a

la taxonomía.

9

10 PREFACE

Estos apuntes de clases es una reedición a un trabajo de hace mucho tiempo, tiene como una

de sus características más importantes la solución de los problemas y aplicaciones del Cálculo

diferencial. Gracias a los profesores de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica del

Perú, que dictaron el curso de Cálculo 1 en Estudios Generales Ciencias y contribuyeron con el

banco de preguntas en las evaluaciones del curso por muchos años.

Por último, tengo especial satisfacción en expresar mi gratitud a mi esposa y a mis hijos por su

paciencia, por su tolerancia y comprensión, por permitirme pasar muchas horas escribiendo estas

páginas.

Roy Sánchez G.

12 de marzo de 2011

Introducción

El Cálculo no solo es un instrumento teórico, sino que contiene una colección de ideas que

están relacionadas con velocidad, área, volumen, razón de cambio, tangente a una línea, y otros

conceptos. El estudio del Cálculo exige una cierta preparación matemática. Newton y Leibniz,

independientemente uno del otro, fueron en gran parte los responsables del desarrollo de las ideas

básicas del Cálculo Diferencial e integral. La idea central del cálculo diferencial es la noción de

derivada. La derivada fue originada por un problema de Geometría: el problema de hallar la

tangente en un punto a una curva.

Aunque la derivada se introdujo inicialmente para el estudio del problema de la tangente, pronto

se vio que proporcionaba también un instrumento para el cálculo de velocidades y, en general

para el estudio de la variación de una función.

El principal objetivo del Cálculo es el análisis de problemas de cambio y movimiento. Estos

problemas son fundamentales, pues vivimos en un mundo de cambios constantes, pleno de cuerpos

en movimiento y fenómenos de flujo y reflujo. En consecuencia, el Cálculo sigue siendo un tema de

gran trascendencia. Las herramientas matemáticas que desarrolla el Cálculo continua sirviendo

como el lenguaje cuantitativo principal de la ciencia y la tecnología.

Las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas se llaman comúnmente funciones

trascendentes. Una ecuación que incluya funciones trascendentes puede tener un número infinito

de soluciones. Por ejemplo la ecuación sen(x)− e−x = 0 tiene infinitas soluciones. Pero también

puede un número finito de soluciones. Gráficamente se puede visualizar si expresamos a partir

de la ecuación en la forma f(x) = g(x), donde las funciones f y g se pueden graficar con

facilidad. Las soluciones de la ecuación corresponde a las intersecciones de las gráficas de f y de

g. Analíticamente se consigue demostrar la existencia de soluciones a través del teorema del valor

intermedio. Intuitivamente, podemos sugerir que la continuidad de una función está relacionado

con la posibilidad de trazar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.

En el último capítulo hallamos la gráfica de funciones con todas sus características, resumiendo

todos los temas estudiados: funciones con sus respectivos dominios, intersecciones con los ejes,

simetría respecto al eje y o respecto al origen de coordenadas, cálculo de sus asíntotas con los

11

12 PREFACE

límites, extremos relativos usando los criterios de la derivada y las sus aplicaciones de la derivada

en problemas de optimización. Una introducción a las antiderivadas.

Capítulo 1

Funciones

1.1. Funciones Reales de Variable Real

En esta sección presentamos la noción general de función. Teniendo en cuenta los objetivos del

texto se optó por asumir la noción de correspondencia, como un concepto primitivo con lo que

tenemos la siguiente definición.

Definición 1.1. Dados dos conjuntos A y B, diferentes del vacío, se dice que f es función

definida en A con valores en B, si f hace corresponder a cada elemento de A un único elemento

en B.

Si f es función definida en A con valores en B, que a cualquier x ∈ A pone en correspondencia

un y ∈ B cualquiera, se la simboliza por

f : A −→ B

x 7−→ y = f (x) .

En esta representación se dice que y = f (x) es la regla de correspondencia, y es la imagen de

x mediante f , y x es la pre-imagen de y mediante f . También se conoce a x como la variable

independiente o el argumento de f y a y como la variable dependiente de x.

Definición 1.2. Sea f : A→ B una función definida por y = f (x); el conjunto A se denomina

dominio de f y se representa por D (f). El subconjunto de B formado por las imágenes que la

función f asigna a cada uno de los elementos de A, recibe el nombre de rango de f y se representa

por R (f), es decir

R (f) = {f (x) : x ∈ A} .

Intuitivamente podemos pensar que una función es como una máquina que acepta elementos

de D (f) como materia prima produciendo elementos correspondientes de R (f) como producto

13

14 PREFACE

final. Si se toma un elemento x de D (f) y se introduce en f , saldrá el valor correspondiente f (x).

Si se pone un elemento distinto x1 de D (f) en f , se obtiene f (x1), que puede o no diferir de

f (x). Si se trata de introducir en f algo que no pertenezca a D (f), se verá que no es aceptado,

ya que f sólo puede operar con elementos correspondientes a D (f).

Esta última representación aclara la diferencia entre f y f (x); lo primero es la máquina y lo

segundo es el producto de la máquina al ser alimentada con x. Desde luego, es importante

distinguir entre la máquina y sus productos, así como distinguimos entre una cafetera y el café;

sin embargo, es frecuente confundir las funciones con sus valores, por lo que vale la pena distinguir

entre los dos conceptos por medio de su notación.

En consecuencia, al definir una función f se hace necesario indicar, además de la regla de corres-

pondencia, al dominio y al conjunto de llegada o rango de la función.

Ejemplo 1.1. Sea f la función de variable real definida por

f (x) = 4x2 − 4x+ 1, x ∈ R.

1. Calcule los valores f(1) y f(2).

2. Determine la función real g cuya regla de correspondencia se define en base a f de la

siguiente manera:

a) g (x) = f (1− x).

b) g (h) =f (1 + h)− f (1)

h.

Solución. Completando cuadrados f (x) = 4x2 − 4x+ 1 = 4(x− 12)

2.

1. f(1) = 14 y f(2) = 9.

2. Tenemos que

a) g (x) = f (1− x) = 4(1− x− 1

2

)2= f (x). Como D (f) = R, entonces D (g) = R.

b) En este caso g, con h = 0,

g (h) =f (1 + h)− f (1)

h

=4 (1 + h)2 − 4 (1 + h) + 1− 4 (1)2 + 4 (1)− 1

h

=4h+ 4h2

h= 4 + 4h.

Como D (f) = R, entonces D (g) = R− {0}. �

PREFACE 15

Ejemplo 1.2. Determinar el dominio y rango de f(x) =√3x− x3.

Solución. Para que exista f , se debe cumplir que 3x− x3 ≥ 0.

Resolviendo se tiene D(f) =]−∞,−√3] ∪ [0,

√3].

El rango de f , de la definición de raíz cuadrada, f(x) =√3x− x3 ≥ 0 ⇒ R(f) = [0,+∞[. �

Definición 1.3 (Grafo de una función). Sea f : A → B una función definida por y = f (x),

el grafo de f es el subconjunto de A×B denotado G (f) y definido por

G (f) = {(x, f (x)) ∈ A×B : x ∈ A} .

La representación gráfica del grafo de una función, cuando sea posible, se denominará gráfica de

la función.

Ejemplo 1.3. El grafo de la función f(x) = 4x2 − 4x+ 1 del ejemplo 1.1 es el conjunto

G(f) = {(x; y) : y = 4(x− 1/2)2; x ∈ R}

La gráfica de f es la parábola de vértice (12 , 0), el eje x es tangente a la gráfica de f , y se abre

hacia arriba.

Teorema 1.1. Sean A y B dos conjuntos no vacíos, y f : A → B una función definida por

y = f (x). El grafo de f satisface las siguientes propiedades

1. ∀x ∈ A,∃y ∈ B : (x, y) ∈ G (f), y

2. Si (x, y1) ∈ G (f) ∧ (x, y2) ∈ G (f) ⇒ y1 = y2.

Recíprocamente, si H es un subconjunto de A×B tal que

1. ∀x ∈ A,∃y ∈ B : (x, y) ∈ H, y

2. (x, y1) ∈ H ∧ (x, y2) ∈ H ⇒ y1 = y2.

Entonces existe una función f : A→ B tal que G (f) = H.

Como conclusión de este teorema podemos decir que a partir de la gráfica de una función se

puede deducir su regla de correspondencia y recíprocamente.

Ejemplo 1.4. Si f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4, 5} es una función y

G (f) ={(

1, x2), (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) , (1, 2x− 1)

},

determinar f (1).

16 PREFACE

Solución. Como (1, x2

)∈ G (f) y (1, 2x− 1) ∈ G (f) ,

entonces

x2 = 2x− 1

de donde x = 1. Por tanto, f (1) = 1.

Definición 1.4. (Función real de variable real). Se dice que una función es real de variable

real cuando tanto el dominio como el rango son subconjuntos de los números reales, esto es, si

f : D (f) ⊆ R → R, f es una función real de variable real.

Ejemplo 1.5. La función f(x) =√3x− x3, del ejemplo 1.2, es una función real de variable real,

pues tanto D(f) =]−∞,−√3] ∪ [0,

√3] como R(f) = [0,+∞[ son subconjuntos de R. �

Proposición 1.1. (Criterio geométrico de función). El conjunto

G (f) = {(x, f (x)) ∈ R× R : x ∈ R} ⊂ R2

representa a la gráfica de una función f si toda recta paralela al eje Y corta a G(f) en a lo más

un punto.

Ejemplo 1.6. La gráfica del conjunto

E = {(x; y)/x2 + y2 = 4}

representa a la circunferencia de centro (0; 0) y radio r = 2.

x

y

O

f 1

r=2

Figura 1.1: Criterio de función

De esta ecuación se pueden formar dos funciones

f1(x) =√

4− x2 y f2(x) = −√

4− x2

PREFACE 17

con el mismo dominio [−2, 2]. Las gráficas de f1 y f2 representan a las semicircunferencia superior

e inferior, respectivamente. La semicircunferencia que se muestra corresponde a la gráfica de f1.

Ejemplo 1.7. Sea la función f(x) = ln(x− 2), x > 2. Halle el grafo de f y esboce su gráfica.

Solución. El grafo de f es el conjunto

G(f) = {(x, ln(x− 2)) ∈ R2;x ∈]2,+∞[} ⊂ R× R,

y su gráfica se obtiene a partir de la gráfica de la función ln(x) (línea discontinua), desplazando

dos unidades a la derecha. Algunas características de las funciones logarítmicas: es creciente en

ln(x)

ln(x-2)

1 2 3

x=2

X

Y

Figura 1.2: función logaritmo natural

todo su dominio, tiene asíntota vertical, su gráfica es cóncava hacia abajo, etc.

Ejemplo 1.8. Halle el dominio y rango de la función f(x) =√x2 − 4.

Solución

Existe f si x2 − 4 ≥ 0 ⇒ x ∈]−∞,−2[∪]2,+∞[.

Para hallar el rango de f , de la definición de raíz cuadrada, f(x) =√x2 − 4 ≥ 0.

La gráfica de f son las ramas superiores de la hipérbola

x2 − y2 = 4

con eje focal el eje x, eje normal el eje y, centro en el origen de coordenadas, vértices en V1(−2; 0)

y V2(2; 0), se abre a la izquierda de V1 y a la derecha de V2. �

18 PREFACE

Ejemplo 1.9. Dada la función f

f (x) =

x2 + 1 si x ≤ −1

2x+ 5 si − 1 < x ≤ 2

2 si x > 2

Determinar el rango de f analíticamente.

Solución. Si x ≤ −1 ⇒ x2 ≥ 1 ⇒ x2 + 1 ≥ 2, entonces R(f1) = [2,+∞[.

Para −1 < x ≤ 2 ⇒ −2 < 2x ≤ 4 ⇒ 3 < 2x+ 5 ≤ 9, R(f2) =]3, 9].

Para x > 2, R(f3) = {2}. Por lo tanto,

R (f) = [2,+∞[ ∪ ]3, 9] ∪ {2} = [2,+∞[

Ejemplo 1.10. Sea f la función definida por

f (x) =x2√x2 − 4

.

Hallar

1. Su dominio.

2. Su rango.

3. Esboce su gráfico.

Solución

1. D(f): existe la función f ⇔√x2 − 4 > 0. De x2 − 4 > 0 ⇒ (x− 2) (x+ 2) > 0. De donde,

D(f) =]−∞,−2[∪]2,+∞[.

2. Para determinar R(f) debemos tener en cuenta: f(x) > 0 para cualquier x ∈ D y cuando

x se acerca a 2 con valores mayores a 2, f(x) toma valores positivos muy grandes tal como

se muestra en su gráfica. Se dice que x = 2 es asíntota vertical1.

De y =x2√x2 − 4

⇒ y2(x2 − 4) = x4. Luego, x4 − y2x2 + 4y2 = 0.

Despejando y en términos de x,

x2 =y2 ±

√y4 − 16y2

2=y2 ± y

√y2 − 16

2.

Para que x ∈ R se debe cumplir y2 − 16 ≥ 0. De donde R(f) = [4,+∞[

1La recta vertical x = c es asíntota de la gráfica de f si cuando x se aproxima a c entonces f(x) toma valores

muy grandes positivos o negativos

PREFACE 19

3. A partir del dominio, del rango de f y de las asíntotas calculados previamente, esbozamos

su gráfica, Las asíntotas oblicuas de las gráficas estudiaremos en el siguiente capítulo y la

x=-2 x=2

y=xy=-x

X

Y

f

Figura 1.3: f(x) = x2√x2−4

forma cóncava de las curvas, en el último capítulo. �

Ejemplo 1.11. Hallar dominio y rango de la función

f (x) =√

2 + x− x2.

Solución. El conjunto

D (f) = {x ∈ R : f (x) ∈ R}

se determina por definición

f (x) ∈ R ⇔ 2 + x− x2 ≥ 0 ⇔ (x− 2) (x+ 1) ≤ 0 ⇔ x ∈ [−1, 2] .

Luego,

D (f) = [−1, 2] .

El rango de la función f queda determinado al conocer todos los valores que toma f (x) ≥ 0

cuando x ∈ [−1, 2]

R (f) = {f (x) ∈ R : x ∈ D (f) = [−1, 2]} ,

Hacemos esto despejando x de la ecuación

y = f (x) =√

2 + x− x2 ⇔ x =1±

√9− 4y2

2.

20 PREFACE

y observando que si

y ≥ 0 ∧ 9− 4y2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ y ≤ 3

2⇒ R (f) =

[0,

3

2

]La gráfica de f , de

y = f(x) =√

2 + x− x2 =

√9

4− (x− 1

2)2 ⇒ y2 + (x− 1

2)2 =

9

4, y ≥ 0;

entonces la gráfica de f representa a la semicircunferencia superior. Ver el ejemplo 1.6, página

16.

Ejemplo 1.12. Una línea telefónica debe tenderse entre dos pueblos A y B situados en orillas

opuestas de un río. El ancho del río es de 1 kilómetro y B está situado dos kilómetros río abajo

de A. Tiene un costo de c dólares por kilómetro tender la línea por tierra y de 2c dólares por

kilómetro tenderla bajo el agua. La línea telefónica deberá seguir la orilla del río empezando en

A una distancia de x (en kilómetros) y luego cruzar el río diagonalmente en línea recta hacia B.

Determine el costo total de la línea como función de x.

Solución

Sea d(C,B) la distancia de C a B. Esbozamos una figura que ilustre el problema.

A

B

C D

1 Km

2 Km

x

Figura 1.4: Línea telefónica

El costo del segmento AC es cx, mientras que el costo de CB es 2cd (C,B). Entonces el costo

total, que representaremos CT (x), está dado por

CT (x) = cx+ 2cd (C,B) . (1)

Expresamos d (C,B) como función de x, usando el teorema de Pitágoras en el triángulo BDC,

d2 (C,B) = d2 (C,D) + d2 (D,B) = (2− x)2 + 1 = x2 − 4x+ 5.

Sustituyendo en (1) resulta

CT (x) = cx+ 2c√x2 − 4x+ 5.

Notemos que, por el contexto del problema D (CT ) = [0, 2].

PREFACE 21

Ejemplo 1.13. La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de 0,1 dólares por

unidad para las primeras 50 unidades y para cantidades que exceden las 50 unidades aumenta

0,03 dólares por cada unidad que excede de las 50. Determine la función c (x) que da el costo de

usar x unidades de electricidad.

Solución

Es claro que

c (x) = 0,1x, si x ≤ 50.

Por otro lado, si x > 50, el costo total es igual al de las primeras 50 unidades (es decir, 5 dólares)

más el costo del resto de las unidades usadas. El número de unidades que sobrepasan a 50 es

x− 50, entonces

c (x) = 5 + 0,03 (x− 50) = 3,5 + 0,03x, si x > 50.

Podemos escribir esto en la forma

c (x) =

{0,1x si x ≤ 50

3,5 + 0,03x si x > 50.

El dominio de D (c) =]0,+∞[.

Ejemplo 1.14. Dada una esfera de radio R, exprese el volumen de un cono circunscrito a dicha

esfera como función de su altura, indicando su respectivo dominio.

Solución Si h y r son las dimensiones del cono, su volumen está dado por V = π3 r

2h.

A B

C

OT

r

R

h

Figura 1.5: Cono circunscrito

Por semejanza de los triángulos en la figura 1.5, △BAC ∼ △OTC, se tiene

h

r=

√h2 − 2hR

R⇒ r =

hR√h2 − 2hR

,

22 PREFACE

luego, el volumen del cono como función de h

V (h) =

(πR2

3

)h2

h− 2R, h > 2R.

Hallamos su dominio D(V ) de√h2 − 2hR > 0 ⇒ h2 − 2hR > 0 ⇒ h > 2R.

Ejercicios 1.1.

1. Dada una semiesfera de radio R, exprese el volumen de un cono circunscrito a dicha semi-

esfera como función de su altura, indicando su dominio.

2. Dada

g (x) =

4x+ 3 si − 1 ≤ x < 0

1 + x2 si 0 ≤ x ≤ 2

3 si x > 2

evaluar cada uno de los valores siguientes.

(a) g (−1) (d) g (0) (e) g (2)

3. Calcularf (x+ h)− f (x)

h

en donde f (x) está dada a continuación.

(a) f (x) = 2x+ 5 (b) f (x) = 7

(c) f (x) = x2 (d) f (x) = 3x2 + 5x− 2

4. Dada la función f : ]−3, 5[ → R definida por f (x) =1− x

2, determinar la función real de

variable real g cuya regla de correspondencia es

a) g (x) = f (−x).

b) g (x) = f (1− 2x).

5. Hallar analíticamente el rango de la función f : [2, 3] → R definida por f (x) = x2−4x+7.

6. Hallar el dominio y el rango de la función real de variable real f definida por

a) f (x) = 2x+ 3.

b) f (x) =x+ 1

2x− 3.

PREFACE 23

c) f (x) =4x2 − 1

2x+ 1.

d) f (x) =√x− 2.

e) f (x) = −√x2 − 1.

f ) f (x) =2√

4− 2x.

g) f (x) =√

2x

x2 − 4.

7. Una empresa que fabrica radio receptores tiene costos fijos de $3000 y el costo de mano de

obra y del material es de $15 por radio. Determine la función de costo, es decir, el costo

total como una función del número de radios producidos. Si cada radio receptor se vende

por $25, encuentre la función de ingreso y la función de utilidades.

8. Un granjero tiene 200 metros de cerca para delimitar un terreno rectángular. Exprese el

área A del rectángulo como una función de la longitud de uno de sus lados.

9. Un rectángulo está inscrito en un círculo de radio igual a 3 centímetros. Exprese el área A

del rectángulo como una función de la longitud de uno de sus lados.

10. Se construye una cisterna de modo que su capacidad sea de 300 pies cúbicos de agua. La

cisterna tiene como base un cuadrado y cuatro caras verticales, todas hechas de concreto

y una tapa de acero. Si el concreto tiene un costo de 1,50 dólares por pie cuadrado y el

acero cuesta 4 dólares por pie cuadrado, determine el costo total C como una función de

la longitud del lado de la base cuadrada.

11. Repita el ejercicio 10 si la cisterna es un cilindro con base y tapas circulares. Exprese el

costo C como una función del radio r de la base del cilindro.

12. El azúcar tiene un costo de 25 centavos para cantidades de hasta 50 libras y de 20 centavos

por libra en el caso de cantidades por encima de las 50 libras. Si C (x) denota el costo de x

libras de azúcar, exprese C (x) por medio de expresiones algebraicas apropiadas y bosqueje

su gráfica.

13. Un minorista puede comprar naranjas al mayorista a los precios siguientes: 20 centavos por

kilo si adquiere 20 kilos o menos; 15 centavos por kilo en el caso de cantidades por encima

de 20 kilos y hasta de 50 kilos y 12 centavos por kilo para cantidades mayores de 50 kilos.

Determine el costo C (x) de adquisición de x kilos de naranjas.

14. Un edificio de departamentos tiene 70 habitaciones que puede rentar en su totalidad si la

renta se fija en $ 200 al mes. Por cada incremento de 5 dólares en la renta, una habitación

24 PREFACE

quedará vacía sin posibilidad alguna de rentarla. Exprese el ingreso mensual total R como

una función de

a) x, si x es el número de incrementos de 5 dólares en la renta;

b) La renta mensual p.

15. La ecuación de demanda del producto de una compañía es 2p + 3x = 16, en donde x

unidades pueden venderse al precio de $p cada una. Si el costo de producir x unidades es

de (100 + 2x) dólares, exprese la utilidad U como función de:

a) La demanda x.

b) El precio p.

16. Un agente de viajes ofrece un paquete vacacional de $500 por persona para grupos de seis

o más personas, con un descuento de 10% de este precio a partir de la persona número

doce en el grupo. Construya la función C (x) dando el costo promedio por persona en un

grupo de tamaño x (x ≥ 6).

17. El costo de envío de una carta en primera clase es de 35 centavos por cada 10 gramos o

fracción. Construya la función C (W ) que da el costo en centavos por enviar una carta cuyo

peso sea W (que no exceda de 50 gramos).

18. Para construir una caja sin tapa se una emplea lámina rectangular de cartón de dimensiones

24 cm por 18 cm. Se corta en cada esquina de la lámina un pequeño cuadrado de dimensión

x, luego al doblar las aletas se forman los lados de la caja. Halle como función de x:

a) El volumen de la caja V (x).

b) La superficie A(x).

19. Exprese el volumen de un cono circular recto que pueda circunscribirse a un cilindro de 4

unidades de radio y 8 unidades de altura.

20. Una esfera de radio fijo a está inscrita en una pirámide de base cuadrada, de modo que la

esfera toca la base de la pirámide y a cada uno de sus cuatro lados. Exprese el volumen de

la pirámide como función de su altura.

PREFACE 25

1.2. Gráfica de una función real de variable real.

Sea f : D (f) ⊆ R → R una función real de variable real. Del grafo de f ,

G(f) ={(x, f(x)) ∈ R2 : x ∈ D(f)

}⊂ R2

X

Y

ab

c

d

f

Figura 1.6: Gráfica de una función

El dominio de f se obtiene a partir de la proyección ortogonal del conjunto G (f) sobre el eje

horizontal; y el rango de f , se obtiene de la proyección ortogonal sobre el eje vertical.

D(f) = [a, b] y R(f) = [c, d].

Asumiremos que el alumno de Cálculo 1, conoce la gráfica de muchas funciones elementales tales

como el de las funciones polinomiales, trigonométricas, racionales, logarítmicas, exponenciales,

etc.

Ejemplo 1.15. La función constante f : R → R definida por f (x) = b, tiene por gráfica la recta

horizontal que interseca al eje de ordenadas en el punto (0, b).

Observamos que D (f) = R y R (f) = {b}.

Ejemplo 1.16. La gráfica de la función identidad f : R → R definida por f (x) = x es la recta

que pasa por el origen de coordenadas y forma un ángulo de 45◦ con el semieje positivo de las

abscisas (pendiente igual a la unidad).

Para esta función D (f) = R (f) = R.

Ejemplo 1.17. La función f : R → R definida por f (x) = |x| se denomina función valor

absoluto cuya gráfica se muestra. Notemos que D (f) = R y R (f) = R+0 .

26 PREFACE

X

Y

|x|

Figura 1.7: Valor Absoluto

1.2.1. Simetría.

Definición 1.5. (Función par-impar.) Sea f una función y D(f) su dominio.

1. Se dice que f es par si f(−x) = f(x), ∀x ∈ D(f).

2. Se dice que f es impar si f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D(f).

Las gráficas de las funciones pares son simétricas respecto al eje Y . En cambio, el de las impares,

son simétricas respecto al origen de coordenadas.

Esta simetría ayuda en el esbozo de la gráfica de funciones, porque bastaría esbozar para los

x > 0 y luego reflejar respecto al eje y para los x < 0 y obtener la gráfica completa, si la función

es par o reflejar respecto al origen de coordenadas, si la función es impar.

Ejemplo 1.18. Determine cuáles de las siguientes funciones son pares y cuáles son impares:

1. f(x) = 3x− x3;

2. f(x) = ax + a−x, a > 0, a = 1;

3. f(x) = ln

(1− x

1 + x

)− 1 < x < 1;

Solución.

1. f(−x) = −(3x− x3) = −f(x), es impar.

2. f(−x) = a−x + ax = f(x), es par.

3. Haciendo uso de la propiedad de logaritmos: ln(ab ) = − ln( ba), se prueba que f es par,

f(−x) = ln

(1 + x

1− x

)= − ln

(1− x

1 + x

)= ln

(1 + x

1− x

)= f(x).

PREFACE 27

Ejemplo 1.19. Dada la función f(x) = x2 + 2x, 0 < x ≤ 2.

1. Esboce la gráfica de f .

2. Halle una nueva función g, par, tal que: D(g) = R y g(x) = f(x), ∀x ∈ D(f).

3. Esboce la gráfica de g.

Solución.

1. Gráfica de f(x) = x2 + 2x = (x+ 1)2 − 1, 0 < x ≤ 2, es una porción de parábola.

x

y

f

2

8

Figura 1.8: f(x) = x2 + 2x, 0 < x ≤ 2.

2. Para que g sea par, vamos a reflejar f respecto al eje Y .

g(−x) = g(x) = f(x) = (x+ 1)2 − 1. · · · (1)

D(g) : como 0 < x ≤ 2 ⇒ −2 ≤ −x < 0 · · · (2)

Reemplazando −x por x tanto en (1) como en (2),

g(x) = (x− 1)2 − 1, −2 ≤ x < 0.

En consecuencia,

g(x) =

f(x) = x2 + 2x, 0 < x ≤ 2;

(x− 1)2 − 1, −2 ≤ x < 0.

3. La gráfica de g se obtiene reflejando la gráfica de f respecto al eje Y. Ejercicio.

Ejemplo 1.20. Demuestre que f(x) + f(−x) es una función par y que f(x) − f(−x) es una

función impar.

Solución.

28 PREFACE

Sea h(x) = f(x) + f(−x) entonces h es par, pues

h(−x) = f(−x) + f(x) = h(x).

Similar, si g(x) = f(x)− f(−x) ⇒ g(−x) = −g(x).

Ejemplo 1.21. Demuestre que toda función f , definida en el intervalo ]− a, a[, a > 0, se puede

expresar como la suma de una función par y de otra función impar.

Solución.

En base al ejemplo anterior, sean

h(x) =1

2[f(x) + f(−x)]

función par y

g(x) =1

2[f(x)− f(−x)]

función impar entonces se cumple que f(x) = h(x) + g(x).

Ejercicios 1.2. Dada la función

f(x) =

1− (x− 1)2, 0 ≤ x < 2;

ln(x− 1), x ≥ 2.

1. Grafique f .

2. Halle una función g, impar, tal que: D(g) = R y g(x) = f(x), ∀x ∈ D(f).

3. Grafique g.

1.2.2. Funciones Monótonas.

Definición 1.6. Sea f una función definida en intervalo abierto I ⊂ D(f).

1. Se dice que f es creciente I si

∀x1, x2 ∈ I;x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

2. Se dice que f decreciente en I si

∀x1, x2 ∈ I;x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

PREFACE 29

Definición 1.7. Se dice que una función es monótona2 si es creciente o decreciente.

Proposición 1.2.1. Si f es una función creciente en un intervalo abierto ]a, b[, 0 < a < b

entonces f(−x) es decreciente en ]− b,−a[.

Proposición 1.2.2. Si f es creciente en un intervalo I entonces −f es decreciente en I.

Ejemplo 1.22. Determine los intervalos de monotonía de la función f(x) = ln(x2 − 4).

Solución.

D(f) : x2 − 4 > 0 ⇒]−∞,−2[∪]2,+∞[.

Probaremos que f es creciente en ]2,+∞[:

2 < x1 < x2 ⇒ 4 < x21 < x22 ⇒ ln(x21 − 4

)< ln

(x22 − 4

)⇒ f(x1) < f(x2).

Entonces aplicando la proposición 1.2.1, f(−x) es decreciente en ] − ∞,−2[. La gráfica de f

son ramas simétricas3 respecto al eje vertical de coordenadas. Esto se debe al término x2 en el

argumento de f .

x=2x=-2

x

y

f

−

p

5p

52-2

Figura 1.9: f(x) = ln(x2 − 4)

Ejemplo 1.23. Determine los intervalos de monotonía de la función f(x) = 1− e−x.

Solución.

Por la proposición 1.2.2, si e−x es decreciente por definición en R entonces −e−x es creciente en

R, por lo tanto, f es creciente en R.

2Algunos autores consideran estrictamente monótona.3Esta es una propiedad de las funciones pares: f(−x) = f(x), x ∈ D(f).

30 PREFACE

Ejemplo 1.24. Determine los intervalos de monotonía de la función f(x) = − arc sen(1 + x).

Solución.

Por definición arc senx es creciente en su dominio [−1, 1]. Entonces

D(f) : −1 ≤ 1 + x ≤ 1 ⇒ −2 ≤ x ≤ 0.

entonces por la proposición 1.2.2, f(x) = − arc sen(1 + x), es decreciente en [−2, 0].

1.3. Funciones acotadas

Funciones acotadas superiormente

Definición 1.8. Una función f se dice que está acotada superiormente si existe un número

M ∈ R tal que

f(x) ≤M, ∀x ∈ D(f)

Este número real M recibe el nombre de cota superior de la función f . Geométricamente

significa que ninguna imagen es superior al valor de M y, por lo tanto, la gráfica de la función f

estará debajo de la recta horizontal y =M .

Observación 1.3.1. Si M ∈ R es una cota superior de la función f , cualquier otro número

real N ≥ M , es también cota superior de f . En consecuencia, si una función está acotada

superiormente siempre tendrá un conjunto de cotas superiores.

Funciones acotadas inferiormente

Definición 1.9. Una función f se dice que está acotada inferiormente si existe un número m ∈ Rtal que

f(x) ≥ m, ∀x ∈ D(f)

Este número real m recibe el nombre de cota inferior de la función f . Geométricamente significa

que ninguna imagen es inferior al valor de m y, por lo tanto, la gráfica de la función f estará

encima de la recta horizontal y = m.

Observación 1.3.1. Si m es una cota inferior de la función f , cualquier otro número real n ≤ m,

es también cota inferior de f . En consecuencia, si una función está acotada inferiormente siempre

tendrá un conjunto de cotas inferiores.

PREFACE 31

Funciones acotadas

Definición 1.10. Una función f se dice que está acotada si lo está inferior y superiormente.

Existen números m,M ∈ R tal que

m ≤ f(x) ≤M, ∀x ∈ D(f).

Ejemplo 1.25. La función f(x) = cos(x) es acotada porque existe un número K = 1 tal que

|f(x)| ≤ 1,∀x ∈ R.

1.4. Operaciones con funciones.

Definición 1.11. (Algebra de funciones). Sean

f : D (f) ⊆ R → R y g : D (g) ⊆ R → R

dos funciones tales que D = D (f) ∩ D (g) = ∅. Entonces se definen:

1. La función suma de f y g,

f + g : D ⊆ R → R, (f + g) (x) = f (x) + g (x) .

2. La función producto de f y g,

(f · g) : D ⊆ R → R, (f · g) (x) = f (x) · g (x) .

3. La función cociente de f sobre g,

f

g: E → R,

(f

g

)(x) =

f (x)

g (x),

donde E = {x ∈ D : g (x) = 0}.

Ejemplo 1.26. Hallar el dominio y regla de correspondencia def

g, si f y g son dos funciones

definidas por

f (x) = x2 − 2, con 1 ≤ x ≤ 6

g (x) =√x− 2− 1, con 2 ≤ x ≤ 8,

Solución

Primero la intersección D = D (f) ∩ D (g) = [1, 6] ∩ [2, 8] = [2, 6]. Luego, como

g (x) = 0 ⇔√x− 2− 1 = 0 ⇔ x = 3,

entonces el dominio de f/g es E = D − {3} = [2, 6]− {3} con regla de correspondencia(f

g

)(x) =

f (x)

g (x)=

x2 − 2√x− 2− 1

, x = 3.

32 PREFACE

Proposición 1.4.1. El producto (cociente) de una función par con una función impar es impar.

Además de las operaciones algebráicas con las funciones tenemos la composición de funciones.

Definición 1.12. (Composición de funciones). Sean

f : D (f) ⊆ R → R y g : D (g) ⊆ R → R

dos funciones tales que R(g) ∩ D(f) = ∅. La función f ◦ g : D(f ◦ g) ⊆ R → R donde

D (f ◦ g) = {x ∈ D (g) : g (x) ∈ D (f)}

y regla de correspondencia

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) ,

se denomina composición de las funciones g y f en ese orden.

Es importante observar que la composición de las funciones g y f , en ese orden, sólo puede ser

definida cuando

R (g) ∩ D (f) = ∅.

Ejemplo 1.27. Dados

G (f) = {(−2, 0) , (−1,−4) , (3, 1) , (5, 2)}

y

G (g) = {(−2,−1) , (0, 3) , (1, 4) , (2, 0) , (4, 5)} .

Determinar G (f ◦ g).

Solución

Como

R (g) = {−1, 0, 3, 4, 5}

y

D (f) = {−2,−1, 3, 5} ;

tenemos que R (g) ∩ D (f) = ∅, y así, f ◦ g existe. Además,

D (f ◦ g) = {x ∈ D (g) : g (x) ∈ D (f)}

= {x ∈ {−2, 0, 1, 2, 4} : g (x) ∈ {−2,−1, 3, 5}}

= {−2, 0, 4} .

y

(f ◦ g) (−2) = f (g (−2)) = f (−1) = −4

PREFACE 33

(f ◦ g) (0) = f (g (0)) = f (3) = 1

(f ◦ g) (4) = f (g (4)) = f (5) = 2.

Por lo tanto, G (f ◦ g) = {(−2,−4) , (0, 1) , (4, 2)}.

Ejemplo 1.28. Sean las funciones f y g definidas por

f (x) = x− 1, 1 ≤ x ≤ 4

y

g (x) =√x− 2, x ≥ 2,

hallar

1. f ◦ g,

2. g ◦ f .

Solución

1. Sabemos que

D (f ◦ g) = {x ∈ D (g) : g (x) ∈ D (f)}

= {x ≥ 2 : 1 ≤ g (x) ≤ 4} .

Resolviendo

1 ≤ g (x) ≤ 4 ⇔ 1 ≤√x− 2 ≤ 4 ⇔ 3 ≤ x ≤ 18,

entonces

D (f ◦ g) = {x ≥ 2 : 3 ≤ x ≤ 18} = [3, 18] .

Por lo tanto,

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f(√x− 2

)=

√x− 2− 1, 3 ≤ x ≤ 18.

2. Por definición tenemos que

D (g ◦ f) = {x ∈ D (f) : f (x) ∈ D (g)}

= {1 ≤ x ≤ 4 : f (x) ≥ 2} .

Como

f (x) ≥ 2 ⇔ x− 1 ≥ 2 ⇔ x ≥ 3,

34 PREFACE

entonces

D (g ◦ f) = {1 ≤ x ≤ 4 : x ≥ 3} = [3, 4] .

Luego

(g ◦ f) (x) = g (f (x)) = g (x− 1) =√x− 3, 3 ≤ x ≤ 4

Ejercicios 1.3.

1. Si f (x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1 y g (x) =

x

4, 0 ≤ x ≤ 1

4x, x ≥ 1

, hallar g ◦ f .

2. Sean las funciones

f (x) = 3x+ 1,

g (x) = 2− x2,

y

h (x) =

2x, x < 0

x2 + 1, x ≥ 0.

Determine en cada caso la imagen indicada.

a)(f

g

)(h (h (1)))

b) (3f + 2g) (5g + 3h) (f (1 + f (−1)))

c) g (2− f (1− h (0))) .

3. Para cada una de las funciones f y g dadas, determine la función: f + g, fg y f ◦ g si

a) f (x) = 3x+ 5, g (x) = 7x− 2.

b) f (x) = 1− x2, g (x) = |x|.

c) f (x) =

4x+ 3, x < 1

x3, x ≥ 1

, g (x) = x+ 2.

d) f (x) =

3x2 + 2, x ≤ −1

5x+ 4, x > −1

, g (x) =

2x+ 1, x ≤ −2

−x2 + 2, x > −2.

PREFACE 35

4. Dadas las funcionesf (x) =

∣∣1− x2∣∣ , −3 ≤ x < 5

2

g (x) = x− 1, x ∈ R

hallar la regla de correspondencia (f + g) y su rango.

1.5. Transformación de funciones

Si conocemos la gráfica de alguna función f : D (f) ⊆ R → R y queremos bosquejar la gráfica

de una nueva función g : D (g) ⊆ R → R, transformando la gráfica de f mediante: traslación o

reflexión, contracción o estiramiento, debemos considerar las siguientes reglas:

1. Si g (x) = f (x− h), la gráfica de g es la de f trasladada h unidades a la derecha si h > 0,

y h unidades a la izquierda si h < 0.

2. Si g (x) = f (x) + k, la gráfica de g es la de f trasladada k unidades hacia arriba si k > 0,

y k unidades hacia abajo si k < 0.

3. Si g (x) = f (−x), la gráfica de g es la reflexión de la de f respecto del eje Y .

4. Si g (x) = −f (x), la gráfica de g es la reflexión de la de f respecto del eje X.

5. Si g (x) = cf (x) , c > 1, la gráfica de g se estira verticalmente respecto a la de f .

6. Si g (x) = cf (x) , 0 < c < 1, la gráfica de g se contrae verticalmente respecto a la de f .

7. Si g (x) = f (cx) , c > 1, la gráfica de g se contrae horizontalmente respecto a la de f .

8. Si g (x) = f (cx) , 0 < c < 1, la gráfica de g se estira horizontalmente respecto a la de f .

Ejemplo 1.29. Bosqueje la gráfica de la función f(x) = arc sen

(1− x

4

).

Solución.

1. Partimos de la función arcoseno con su respectivo dominio y rango:

y1 = arc sen(x), −1 ≤ x ≤ 1; −π2≤ y1 ≤

π

2,

2. A la gráfica de arcoseno (primer gráfico en 1.10) reflejamos respecto al eje Y , para obtener

la gráfica de y2 = arc sen(−x) (segunda gráfica en 1.10).

36 PREFACE

3. Luego, trasladamos 1 unidad a la derecha, para obtener

y3 = arc sen(1− x) = arc sen[−(x− 1)], −1 ≤ (1− x) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2,

(tercera gráfica en 1.10).

4. Finalmente, estiramos horizontalmente en un factor de 4 para obtener

y4 = f(x) = arc sen(1− x

4).

El dominio de f se transforma en, −1 ≤ 1− x

4≤ 1 ⇒ −4 ≤ 1− x ≤ 4 ⇒ −3 ≤ x ≤ 5.

La secuencia de transformaciones, con su respectivo dominio, representamos en las siguientes

figuras.

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

0

1

y1=arcsen(x)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

0

1

y2=arcsen(−x)

0 0.5 1 1.5 2

−1

0

1

y3=arcsen(1−x)

−2 0 2 4

−1

0

1

y4=arcsen((1−x)/4)

Figura 1.10: Transformación del arcoseno

En cada paso de las transformaciones de la gráfica se ha considerado su dominio y rango.

Ejercicios 1.4. En base al ejemplo 1.29, bosqueje la gráfica de las siguientes funciones:

1. f(x) =π

2− arc cos(2x).

2. f(x) = arctan(x− 1) + π2 .

PREFACE 37

Ejemplo 1.30. Bosquejar la gráfica de la función f(x) =2x+ 3

x+ 1, x = −1.

Solución. Partimos de la gráfica de la función h(x) =1

x, x = −1, una hipérbola equilátera

que tiene como asíntotas a los ejes coordenados. Luego, a partir de la gráfica de la función h,

trasladamos hacia la izquierda 1 unidad y luego hacia arriba 2 unidades, obteniendo

f(x) =2x+ 3

x+ 1= 2 +

1

1 + x.

-1

2x

y

f

y=2

x=-1

Figura 1.11: Función racional

Junto con las traslaciones de la hipérbola se trasladan sus asíntotas a x = −1 y y = 2.

Ejemplo 1.31. Esbozar la gráfica de f (x) = |x− 1|+ 2 y hallar su rango.

Solución

Del ejemplo 1.7, página (26), conocemos a la gráfica del valor absoluto h (x) = |x|.La gráfica de la función g (x) = |x− 1| se obtiene trasladando 1 unidad a la derecha a la gráfica

de h. Finalmente, la gráfica de f se obtiene trasladando 2 unidades hacia arriba a la gráfica de

g. Por lo tanto, R (f) = [2,+∞[.

Observación 1.5.1. Las transformaciones alteran en cada aplicación el dominio y rango de la

función transformada. Se recomienda obtener el dominio y rango de las funciones intermedias

antes de obtener el gráfico final.

Ejemplo 1.32. Bosquejar la gráfica de la función f(x) = 3 sen(2x+ π2 ) x ∈ R.

Solución. A partir de la gráfica de la función

y1 = sen(x), x ∈ [−2π, 2π]

generamos la secuencia de gráficas que se muestra a continuación:

38 PREFACE

1. Trasladamos y1 hacia la izquierda π4 para obtener y2 = sen(x+ π

4 ).

2. Luego, contraemos y2 horizontalmente a la mitad, y3 = sen(2x+ π2 ).

3. Finalmente, estiramos y3 verticalmente por un factor 3 (triple) para obtener

y4 = f(x) = 3 sen(2x+π

2)

Las gráficas se identifican con los yi, i = 1, 2, 3, 4.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

y1

y2

y3

y4

y4=3sen(2x+π/2)

Eje x

Eje

y

Figura 1.12: Función seno transformado

Ejemplo 1.33. Bosquejar la gráfica de la función g (x) = (x+ 2)2 − 3.

Solución Conocemos la gráfica de y = f (x) = x2. Para obtener la gráfica de g, desplazamos la

gráfica de f dos unidades a la izquierda y 3 unidades hacia abajo.

Ejemplo 1.34. Bosquejar la gráfica de la función

f(x) = 2x−1 + 4, x ∈ R.

Solución. A partir de la gráfica de la función h(x) = 2x, trasladamos 1 unidad hacia la derecha

y luego, 4 unidades hacia arriba.

PREFACE 39

x

y

O

1

2x

Figura 1.13: función h(x) = 2x, x ∈ R

Ejercicios 1.5. Resolver los siguientes problemas.

1. Determinar el dominio y rango de las siguientes funciones.

a) f (x) =4x2 − 1

2x+ 1.

b) f (x) =√

2x

x2 − 4.

c) f (x) = |x|+ |x− 1|.

d) f (x) =

{4− x2 si x ≤ 1

2 + x2 si x > 1.

2. Hallar el rango de y bosquejar la gráfica de la función

f (x) =

x2 − x− 12 si − 4 ≤ x ≤ 6x− 2

x+ 1si x > 6.

3. Bosquejar la gráfica de las funciones definidas a continuación y determinar su dominio y

rango.

a) f (x) =x− 1

x− 2.

b) f (x) = −√3x− 2.

c) f (x) =1√x+ 2

.

d) f (x) =∣∣x2 − 16

∣∣.e) f (x) = 2 +

√|x|.

f ) f (x) = |2x− 1|+ x.

4. Trazar la gráfica de las siguientes funciones:

40 PREFACE

a) f (x) =

{2x− 3 si x > 5

6− 3x si x < 5

b) f (x) =

4x+ 3 si − 2 ≤ x < 0

1 + x2 si 0 ≤ x ≤ 2

7 si x > 2

c) f (x) =

{x− 3 si x < 3

2x+ 1 si x > 3.

1.6. Funciones Algebraicas

1.6.1. Función lineal afín.

Definición 1.13. La función f : R→R se denomina lineal afín si

f (x) = ax+ b

donde a y b son constantes reales.

El gráfico de la función lineal afín f (x) = ax+ b es la recta L que interseca al eje Y en el punto

B (0, b) y forma con el semieje positivo de las abscisas un ángulo α tal que tan (α) = a, conocido

como pendiente de L.

Teorema 1.2. Sea f (x) = ax+ b una función afín lineal, entonces

1. si a = 0, entonces R (f) = R,

2. si a = 0, entonces R (f) = {b}.

Demostración

1. Es claro de la definición que R (f) ⊆ R; así, falta demostrar R ⊆ R (f). Supongamos que

y ∈ R, entonces f(y − b

a

)= a

(y − b

a

)+ b = y, lo que prueba que y ∈ R (f), y por lo

tanto, R (f) = R.

2. Si a = 0 entonces f (x) = b para toda x ∈ R; así R (f) = {b}.

1.6.2. Función cuadrática.

Definición 1.14. La función f : R → R se denomina cuadrática si

f (x) = ax2 + bx+ c

donde a, b y c son constantes reales con a = 0.

PREFACE 41

Completando cuadrados determinamos el vértice de la gráfica de f (x) = ax2 + bx+ c.

f (x) = ax2 + bx+ c = a

(x+

b

2a

)2

+ c− b2

4a.

Así, con el mismo procedimiento del ejemplo 1.33, resulta que la gráfica es la parábola con eje

paralelo al eje Y y vértice el punto V(− b

2a , c−b2

4a

), la cual se abre hacia arriba si a > 0 o hacia

abajo cuando a < 0.

x

y

V

V

a>0

a<0

Figura 1.14: Función cuadrática

Teorema 1.3. Sean f (x) = ax2 + bx + c una función cuadrática y la constante k = c − b2

4a.

Entonces

1. R (f) = [k,+∞[ si a > 0, y

2. R (f) = ]−∞, k] si a < 0.

Prueba

Completando el cuadrado

f (x) = ax2 + bx+ c = a

(x+

b

2a

)2

+ c− b2

4a.

Así, f (x) = a (x− h)2 + k con h = − b

2ay k = c− b2

4a. Luego,

f (x)− k

a= (x− h)2 ≥ 0

y sigue que:

1. si a > 0 entonces f (x)− k ≥ 0; por lo tanto f (x) ∈ [k,+∞[ y R (f) = [k,+∞[.

42 PREFACE

2. si a < 0 ⇒ f (x)− k ≤ 0; luego f (x) ∈ ]−∞, k] y R (f) = ]−∞, k].

Ejemplo 1.35. Dada la función f : [2, 10[ → R definida por

f (x) = 3x2 − 5x+ 6.

Determinar el rango de f analíticamente.

Solución

Primero determinaremos R (f) analíticamente

f (x) = 3x2 − 5x+ 6 = 3

(x− 5

6

)2

+47

12; x ∈ [2, 10[.

A partir de

2 ≤ x < 10 ⇒ 2− 5

6≤ x− 5

6< 10− 5

6⇒ 8 ≤ f(x) < 256.

Raíz de una ecuación o cero de una función

Definición 1.15. Raíz de una ecuación o cero de una función. Sea f(x) = 0 una ecuación,

donde f es una función real de variable real.

1. La abscisa del punto de intersección de la gráfica de f con el eje X se denomina raíz real de

f(x) = 0 o cero de la función f . Si (r, 0) es dicho punto de intersección entonces f(r) = 0

y r será la raíz de f(x) = 0 o cero de f .

2. En el caso que el eje X es tangente a la gráfica de f en (r, 0) entonces r representa por lo

menos dos raíces reales iguales.

Ejemplo 1.36. Halle las raíces de la ecuación

x3 − 3x2 + 4 = 0.

Solución . Sea f(x) = x3 − 3x2 + 4 la función que proviene de la ecuación, entonces f(x) = 0.

Como

x3 − 3x2 + 4 = (x+ 1)(x− 2)2 = 0

entonces las raíces de la ecuación o ceros de f , son: r = 2 y r = −1. La raíz r = 2 tiene

multiplicidad dos y r = −1 tiene multiplicidad uno o raíz simple.

El eje x es tangente a la gráfica de f(x) = x3 − 3x2 + 4 en x = 2.

PREFACE 43

−2 −1 0 1 2 3 4−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25y=x3−3x2+4

Eje x

Eje

y

1.6.3. Función polinómica.

Definición 1.16. La función f : R → R se denomina polinómica de grado n ∈ N, si

f (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0,

donde an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R con an = 0.

Ejemplo 1.37. (Uso del método de Ruffini). Determinar los ceros de

f (x) = 2x4 − 18x3 + 6x2 + 290x− 600

Solución

Para determinar los ceros de f necesitamos resolver la ecuación

2x4 − 18x3 + 6x2 + 290x− 600 = 0, (1)

para esto, buscaremos que factorizar el primer miembro de (1), utilizando el método de Ruffini.

Como

f (x) = 2(x4 − 9x3 + 3x2 + 145x− 300

)tanteamos con los divisores de 300: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, . . .. Así

1 −9 3 145 −300

3 3 −18 −45 300

1 −6 −15 100 0

−4 −4 40 −100

1 −10 25 0

44 PREFACE

Entonces

f (x) = 2 (x− 3) (x+ 4)(x2 − 10x+ 25

)= 2 (x+ 4) (x− 3) (x− 5)2 ,

y así, al resolver (1) encontramos que los ceros son los números −4, 3 y 5.

Ejemplo 1.38. Bosqueje las gráficas de las funciones f (x) = xn para n = 4 y n = 3.

Solución La gráfica de f (x) = x4.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50y=x4

Eje x

Eje

y

Figura 1.15: f(x) = x4

En general, todas las gráficas de f (x) = xn con n ≥ 2 par, se parecen a la de f(x) = x4

Ahora la gráfica de f (x) = x3.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−15

−10

−5

0

5

10

15y=x3

Eje x

Eje

y

Figura 1.16: f(x) = x3

Las funciones f (x) = xn con n ≥ 3 impar, se parecen a la de f(x) = x3.

PREFACE 45

Criterio 1.6.1. La factorización de una función polinomial f puede ayudarnos a bosquejar su

gráfica de la siguiente manera: en aquellos intervalos donde f(x) > 0 su gráfica se encuentra

arriba del eje x, en aquellos intervalos donde f(x) < 0 su gráfica se encuentra debajo del eje x y

en los puntos de abscisas los ceros de f , la gráfica de f cruza o es tangente al eje x.

Ejemplo 1.39. Determine los intervalos donde la gráfica de f está arriba del eje x, si:

f (x) = 2x3 − 8x2 − 34x+ 120.

Solución

Aplicando el método de Ruffini es posible factorizar a f (x),

f (x) = 2 (x− 3) (x− 5) (x+ 4) .

Utilizamos el método de los puntos de referencia, para determinar los intervalos para los que

f (x) > 0 ⇔ (x− 3) (x− 5) (x+ 4) > 0 ⇔ x ∈ ]−∞,−4[ ∪ ]3, 5[ .

Ejemplo 1.40. Bosqueje la gráfica de

f (x) = 2x4 + 4x3 − 82x2 − 84x+ 720.

Solución

Como en el ejemplo anterior factorizamos por el método de Ruffini,

f (x) = 2 (x− 3) (x− 5) (x+ 4) (x+ 6) .

Entonces, por puntos de referencia, resulta que

f (x) > 0 ⇔ x ∈ ]−∞,−6[ ∪ ]−4, 3[ ∪ ]5,+∞[

y

f (x) < 0 ⇔ x ∈ ]−6,−4[ ∪ ]3, 5[ .

Luego, en base al criterio 1.17 de los signos de f(x) y de las raíces de la ecuación f(x) = 0,

esbozamos su gráfica.

46 PREFACE

x

y

f

-6 -4 3 5

Figura 1.17: Función polinomial

1.6.4. Función racional.

Definición 1.17. Sean f y g dos funciones polinómicas. La función h : D (h) ⊂ R → R se

denomina racional si

h(x) =f(x)

g(x),

donde D(h) = R \ {x ∈ R : g(x) = 0}.

Ejemplo 1.41. Si f es una función real de variable real con regla de correspondencia

f (x) =x+ 1

2x− 3,

determinar analíticamente su dominio y su rango.

Solución Como sabemos

D (f) = {x ∈ R : f (x) ∈ R}

así, el dominio de f queda determinado al encontrar a todos los números reales x para los que

f (x) es un número real; en nuestro caso, como la división por cero no está definida,

f (x) ∈ R ⇔ 2x− 3 = 0.

Luego

D (f) = {x ∈ R : 2x− 3 = 0} = R−{3

2

}.

También sabemos que

R (f) =

{f (x) ∈ R : x ∈ D (f) = R−

{3

2

}},

de modo que el rango de la función f queda determinado al conocer todos los valores que toma

f (x) ∈ R cuando x ∈ [−1, 2]. Hacemos esto despejando x de la ecuación

y = f (x) =x+ 1

2x− 3⇔ x = −1 + 3y

1− 2y

PREFACE 47

y tenemos que

x ∈ R−{3

2

}⇔ −1 + 3y

1− 2y<

3

2∨ −1 + 3y

1− 2y>

3

2

En el primer caso,

−1 + 3y

1− 2y<

3

2⇔ y <

1

2(1)

y en el segundo

− 1 + 3y

1− 2y>

3

2⇔ y >

1

2. (2)

De (1) y (2) tenemos que y ∈ R−{12

}, por lo que resulta R (f) = R−

{1

2

}.

Ejemplo 1.42. Hallar el dominio de la función racional

h (x) =x4 − x+ 5

x3 − 5x2 + 6x

Solución Analizamos el denominador. Los valores de x para los que se anula,

x3 − 5x2 + 6x = 0 ⇒ x (x− 3) (x− 2) = 0

Así D (h) = R \ {0, 2, 3}.

Ejemplo 1.43. Hallar el dominio y rango de la función dada por

f (x) =2x− 4

x+ 1.

Solución Se tiene que D (f) = R \ {−1}, esto es, x ∈ R y x = −1. Para hallar el rango de f

procedemos como sigue

y =2x− 4

x+ 1⇔ x (2− y) = y + 4 ⇔ x =

y + 4

2− y.

Como x ∈ R y x = −1, entonces y ∈ R y y = 2. Luego R (f) = R \ {2}.La gráfica de

f(x) =2x− 4

x+ 1= 2− 6

x+ 1

por traslaciones a partir de h(x) = 1x .

48 PREFACE

Ejemplo 1.44. Bosquejar las gráficas de

f (x) =1

xn, x = 0

para n = 2 y n = 3.

Solución Gráfica de f (x) =1

x2, es una no definida en x = 0, la recta x = 0 representa una

asíntota vertical. Cuando x toma valores muy grandes, sea positivo o negativo, f(x) se aproxima

a cero, se dice que la recta y = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de f . La gráfica se ve

simétrica respecto al eje y.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10y=1/x2

Eje x

Eje

y

Figura 1.18: f(x) = 1x2

Las gráficas de

f (x) =1

xn

con n ≥ 2 par, tienen forma parecida.

Si f (x) =1

x3, su gráfica es simétrico al origen de coordenados, teniendo como asíntotas a los

ejes coordenados.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10y=1/x3

Eje x

Eje

y

Figura 1.19: f(x) = 1x3

PREFACE 49

Las gráficas de la funciones f (x) =1

xncon n ≥ 1 impar, tiene forma parecida.

1.6.5. Función raíz n-ésima.

Definición 1.18. Si n ∈ Z+, n ≥ 2 la función f se denomina raíz n-ésima si

1. D (f) = R+0 y f (x) = n

√x, cuando n es un número par y

2. D (f) = R y f (x) = n√x, cuando n es un número impar.

Ejemplo 1.45. Bosquejar las gráficas de f (x) =√x.

Solución Si f (x) =√x, la gráfica de f es una rama de una parábola que se abre hacia la

derecha con vértice en el origen de coordenadas

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Eje x

Eje

y

Figura 1.20: f(x) =√x

La gráfica de las funciones f (x) = n√x con n ≥ 2 par, tienen forma parecida a la anterior.

Ejemplo 1.46. Determinar analíticamente el dominio y el rango de

f (x) =√x− 2− 1

Solución Tenemos que

x ∈ D (f) ⇔ x− 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2.

Luego D (f) = [2,+∞[. Por otro lado, cuando x ≥ 2 se tiene que√x− 2 ≥ 0, entonces

y =√x− 2− 1 ⇔ y + 1 =

√x− 2 ≥ 0,

50 PREFACE

por lo que

y + 1 ≥ 0 ⇔ y ≥ −1.

Así R (f) = [−1,+∞[.

El problema también puede resolverse gráficamente usando traslaciones.

A partir de ésta, determinamos que D (f) = [2,+∞[ y R (f) = [−1,+∞[.

Ejemplo 1.47. Si f(x) = 3√x.

Solución. La gráfica de f(x) = 3√x. El dominio de f es todo R, su gráfica tiene la forma de una

s alargada.4

x

yf

Figura 1.21: f(x) = 3√x

La gráfica de las funciones f (x) = n√x con n ≥ 3 impar, tienen forma parecida.

Ejercicios 1.6.

1. Hallar el rango de las siguientes funciones reales definidas por

a) f (x) = x2 + 4x+ 7, si x ∈ ]0, 3[.

b) f (x) = x4 − 4x2 + 5, si x ∈ [2, 4].

c) f (x) = 3− 2x− x2.

2. Hallar el dominio, el rango y trazar la gráfica de la función

f (x) =

{4− x2, x < 1

2 + x2, x > 1.

4Para poder esbozar la gráfica de la función f(x) = 3√x = x

|x|3√x, en cualquier software matemático.

PREFACE 51

1.7. Funciones Trigonométricas.

En el estudio de la trigonometría que trata con problemas que incluyen ángulos de triángulos, la

medida de un ángulo es dada en grados. Sin embargo, en el cálculo nos interesan las funciones

trigonométricas de números reales, para ello usaremos la medida en radianes para definir esas

funciones.

Definición 1.19. Un radian es la medida del ángulo central de una circunferencia subtendido

por un arco de longitud igual al radio de dicha curva.

Para determinar la medida en radianes que corresponde a 360◦, consideremos una circunferencia

de radio r. Debemos calcular el número de veces que se puede trazar un arco circular de longitud

r sobre la circunferencia. Como el perímetro de la circunferencia es 2πr, el número de veces que

pueden caber r unidades es 2π. Así un ángulo que mida 2π rad corresponde a una medida de

360◦, y entonces 360◦ ≃ 2π rad. Este resultado da la siguiente relación

1◦ ≃ π

180rad.

El siguiente resultado especifíca la relación entre la longitud de un arco de circunferencia y el

ángulo central que subtiende.

Teorema 1.4. Si un arco de longitud s en una circunferencia de radio r subtiende un ángulo

central θ (en radianes), entonces s = rθ.

La circunferencia trigonométrica es el conjunto

C ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

}.

Q0(1;0)

P(x;y)

t x

y

x=cos(t)

y=sen(t)

Figura 1.22: Circunferencia trigonométrica

52 PREFACE

El punto Q0 (1, 0) se llamará origen de los arcos. Definimos una correspondencia L entre los

números t ∈ R y los puntos P (x; y) ∈ C, de la siguiente manera:

1. Si t es un número real positivo, el punto P = L (t) que le corresponde es el que se obtiene

desplazándose en sentido antihorario sobre C desde Q0 una longitud de arco igual a t.

2. Si t es un número real negativo, el punto P = L (t) que le corresponde es el que se obtiene

desplazándose en sentido horario sobre C desde Q0 una longitud de arco igual a |t|.

L(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ R.

Tenemos los siguientes pares ordenados de L para diferentes valores de t ∈ R

t π6

π4

π3

π2

L (t)(√

32 ,

12

) (√22 ,

√22

) (12 ,

√32

)(0, 1)

t 5π4

7π6

4π3

3π2

L (t)(√

22 ,

√22

) (√32 ,−

12

) (−1

2 ,−√32

)(0,−1)

t 2π3

3π4

5π6 π

L (t)(−1

2 ,√32

) (√22 ,

√22

) (−

√32 ,

12

)(−1, 0)

t 5π3

7π4

11π6 2π

L (t)(−1

2 ,√32

) (√22 ,

√22

) (√32 ,−

12

)(1, 0)

Teorema 1.5. Si k ∈ Z entonces L (t+ 2kπ) = L (t) para cualquier t en R.

Con ayuda de la correspondencia L que acabamos de establecer, podemos definir ahora a las

funciones trigonométricas.

Definición 1.20. (Función seno y coseno.)

1. La función seno, denotada sen, es la función real de variable real

sen : R → R

donde

sen (t) = y(t) = ordenada de L (t) .

2. La función coseno, denotada cos, es la función real de variable real

cos : R → R

donde

cos (t) = x(t) = abscisa de L (t) .

PREFACE 53

Teorema 1.6. (Características)

1. R (sen) = R (cos) = [−1, 1]; es decir,

∀t ∈ R : −1 ≤ sen (t) ≤ 1

y

∀t ∈ R : −1 ≤ cos (t) ≤ 1.

2. Para todo número real t,

sen2 (t) + cos2 (t) = 1.

3. Cualquiera sea el número real t,

sen (−t) = − sen (t)

y

cos (−t) = cos (t)

Estas características de las funciones seno y coseno, se pueden ver en la siguiente gráfica.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

seno

coseno

seno y coseno

Eje x

Eje

y

Figura 1.23: seno y coseno en [−2π, 2π]

Definición 1.21. Se dice que una función f es periódica si existe un número real positivo T tal

que si x ∈ D (f) y x + T ∈ D (f), entonces se cumple f (x+ T ) = f (x). Al valor más pequeño

del número real positivo T se le llama período de f .

54 PREFACE

Teorema 1.7. Las funciones seno y coseno son funciones periódicas de periodo T = 2π:

sen (kT + t) = sen (t) y cos (kT + t) = cos (t) , t ∈ R, k ∈ Z.

Definición 1.22. Sea el sub conjunto de R :

A ={x ∈ R : x = (2k + 1)

π

2, k ∈ Z

}1. La función tangente, denotada por tan, es la función real de variable real definida por

tan : A → R; tan (t) =sen (t)

cos (t).

2. La función secante, denotada por sec, es la función real de variable real definida por

sec : A → R; sec (t) =1

cos (t).

Las gráficas de las funciones tangente y secante.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−15

−10

−5

0

5

10

15

tangente

secante

tangente y secante

Eje x

Eje

y

Figura 1.24: tangente y secante

Definición 1.23. Sea el sub conjunto de R :

B = {x ∈ R : x = kπ, k ∈ Z.}

1. La función cotangente, denotada por cot, es la función real de variable real definida por

cot : B → R; cot (t) =cos (t)

sen (t).

PREFACE 55

2. La función cosecante, denotada por csc, es la función real de variable real definida por

csc : B → R; csc (t) =1

sen (t).

Ejercicio 1.1. Esboce la gráfica de las funciones cotangente y cosecante.

Teorema 1.8. Propiedades de la tangente y secante.

1. Para cada t ∈ A,

a) 1 + tan2 (t) = sec2 (t) .

b) tan (−t) = − tan (t) .

c) sec (−t) = sec (t) .

2. Para cualquier t ∈ B,

a) 1 + cot2 (t) = csc2 (t) .

b) cot (−t) = − cot (t) .

c) csc (−t) = csc (t) .

Teorema 1.9. Las funciones: tangente, cotangente, secante y cosecante son periódicas, con

período π.

Identidades Trigonométricas

1. Identidades para sumas y diferencias.

a) sen (t± s) = sen (t) cos (s)± cos (t) sen (t)

b) cos (t± s) = cos (t) cos (s)∓ sen (t) sen (t)

c) tan (t± s) =tan (t)± tan (s)

1∓ tan (t) tan (s)

2. Identidades de reducción.

a) sen[(2k + 1)

π

2+ t]= ± cos (t)

b) cos[(2k + 1)

π

2+ t]= ± sen (t)

c) sen (kπ + t) = ± sen (t)

d) cos (kπ + t) = ± cos (t)

56 PREFACE

En estas identidades, el signo se elige de acuerdo con el signo de la función trigonométrica

en el cuadrante al que pertenece (2k + 1)π

2+ t o kπ + t.

3. Identidades para múltiplo y fracción.

a) sen (2t) = 2 sen (t) cos (t)

b) cos (2t) = cos2 (t)− sen2 (t) = 2 cos2 (t)− 1 = 1− 2 sen2 (t)

c) tan (2t) =2 tan (t)

1− tan2 (t)

d) sen2 (t) =1− cos (2t)

2

e) cos2 (t) =1 + cos (2t)

2

f ) tan2 (t) =1− cos (2t)

1 + cos(2t)

4. Identidades para productos, sumas y diferencias de seno y coseno.

a) sen (t) cos (s) =1

2[sen (t+ s) + sen (t− s)]

b) cos (t) cos (s) =1

2[cos (t+ s) + cos (t− s)]

c) sen (t) sen (s) = −1

2[cos (t+ s)− cos (t− s)]

d) sen (t) + sen (s) = 2 sen

(t+ s

2

)cos

(t− s

2

)e) sen (t)− sen (s) = 2 sen

(t− s

2

)cos

(t+ s

2

)f ) cos (t) + cos (s) = 2 cos

(t+ s

2

)cos

(t− s

2

)g) cos (t)− cos (s) = −2 sen

(t+ s

2

)sen

(t− s

2

)

Ejemplo 1.48. Demostrar la identidad

cos (t+ s) cos (s) + sen (t+ s) sen (s) = cos (t)

Solución

Desarrollando sen (t+ s) y cos (t+ s) resulta:

[cos (t) cos (s)− sen (t) sen (s)] cos (s) + [sen (t) cos (s) + cos (t) sen (s)] sen (s)

= cos (t) cos2 (s)− sen (t) sen (s) cos (s) + sen (t) sen (s) cos (s) + cos (t) sen2 (s)

= cos (t)[cos2 (s) + sen2 (s)

]= cos (t) .

PREFACE 57

Ejercicios 1.7.

1. Demostrar las siguientes identidades:

a)sen (x) sec (x)

tan (x) + cot (x)= 1− cos2 (x).

b)1 + tan (x)

1− tan (x)+

1 + cot (x)

1− cot (x)= 0.

c)1 + sen (2x) + cos (2x)

1 + sen (2x)− cos (2x)= cot (x).

d) csc (x)− cot (x) = tan(x2

).

e) cos (x+ y) cos (y) + sen (x+ y) sen (y) = cos (x).

f ) sen (5x) cos (3x) + cos (5x) sen (3x) = 2 sen (4x) cos (4x).

g) tan(x2+π

4

)= sec (x) + tan (x).

2. Para las siguientes funciones, trazar la gráfica e indicar la amplitud, el periodo y la fase.

a) f (x) =1

2sen(2x+

π

3

).

b) f (x) = −4 cos(π4− x).

c) f (x) = 2 cos(2x− π

6

).

d) f (x) = −2 sen

(x− π

2

).

3. Sean A, B y C constantes reales diferentes de cero. Demostrar que

f (x) = A sen (Cx) +B cos (Cx)

representa una onda sinusoidal, y determinar su amplitud, periodo y fase.

Sugerencia. Tomar cos (θ) =A√

A2 +B2y sen (θ) =

B√A2 +B2

.

4. Para un periodo dibujar:

a) y = 2sin(x)− cos (x).

b) y = sen (4x) + 2 cos (4x).

c) y = cos (x)− sen (x).

d) y =

√3

4sen(x4

)+ 3 cos

(x4

).

58 PREFACE

1.7.1. Gráfica de funciones especiales

Ejemplo 1.49. Esboce la gráfica de la función f(x) = |x| sen(x), x ∈ R.Solución. Para todo x ∈ R se cumple −1 ≤ sen(x) ≤ 1 y |x| ≥ 0 entonces −|x| ≤ f(x) ≤ |x|.

−50 0 50−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50y=|x|sen(x)

Eje x

Eje

y

Figura 1.25: Función |x|sen(x)

La gráfica de f se encuentra oscilando entre la gráfica de −|x| y |x|.

Ejemplo 1.50. Esboce la gráfica de la función f(x) =sen(x)

x, x ∈ R \ {0}

Solución. El dominio de D(f) = R \ {0}. Sin embargo, cuando x se aproxima al 0, f(x) tiende

a 1.

−50 0 50−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2y=sen(x)/x

Eje x

Eje

y

Figura 1.26: f(x) = sen(x)x

El eje x es una asíntota de la gráfica de f . La distancia entre la gráfica de f y el eje x tiende a cero,

cuando x toma valores muy grandes, oscilando alrededor del eje x. En el capítulo 2 volveremos

PREFACE 59

estudiar estas funciones y sobre sus asíntotas.

Ejemplo 1.51. Esboce la gráfica de la función f(x) = x sen( 1x), x ∈ R \ {0}.Solución. La gráfica de f , oscila alrededor del origen, no está definido en x = 0.

−0.5 0 0.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5y=xsen(1/x)

Eje x

Eje

y

y=x

y=xsen(1/x)

y=−x

Figura 1.27: f(x) = x sen( 1x)

De la gráfica vemos que en todo punto de su dominio, f se encuentra oscilando entre las gráficas

de y = −x y y = x, es decir,

∀x ∈ R \ {0}, −x ≤ f(x) ≤ x.

Ejercicios 1.8. Esboce la gráfica de las siguientes funciones:

1. f(x) = cos( 1x), x ∈ R \ {0}.

2. f(x) =sen(x)

1 + x2, x ∈ R.

En el capítulo 2, estas funciones se vuelven imprescindibles. Generan límites notables y su análisis

determinan la existencia o no de límites.

Ejemplo 1.52. Esboce la gráfica de la función f(x) = x2 sen2(x), x ∈ R.Solución. La gráfica de f , por definición, es siempre positivo. Cuando x toma valores muy

grandes entonces sus imágenes f(x) son muy grandes (positivos).

El eje x es tangente a la gráfica de f en los puntos donde sen(x) = 0 ⇒ x = nπ, n ∈ Z.

60 PREFACE

−5 0 5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Gráfica de f(x)=x2sin2x

Eje x

Eje

y

Figura 1.28: f(x) = x2 sen2(x)

Definición 1.24. (Máximo entero.) La función f : D (f) ⊆ R → Z máximo entero denotado

por f(x) = [|x|] y definido mediante

[|x|] = k ⇔ k ≤ x < k + 1, k ∈ Z.

La gráfica de la función máximo entero se parece a la de una escalera inclinada.

f

1 2 3-1-2

1

2

3

-1

-2

x

y

Figura 1.29: f(x) = [|x|]

Definición 1.25. La función f : D (f) ⊆ R → {1, 0,−1} signo, definido mediante

f(x) =

1 si x > 0

0 si x = 0

−1 si x < 0,

La función signo es impar.

PREFACE 61

Definición 1.26. La función H : D (U) ⊆ R → {0, 1} escalón de Heaviside o unitario, definido

mediante

H(x) =

{0 si x < 0

1 si x > 0

Se cumple que H(−x) = 1−H(x).

x

y

1 H

Figura 1.30: función de Heaviside

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal

que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

Ejemplo 1.53. Esbozar la gráfica de la función

f(x) = [|x|]− x

Solución.

La gráfica de f consta de segmentos de recta limitados entre dos enteros consecutivos.

De la definición de máximo entero, k = 0 ⇒ 0 ≤ x < 1 entonces f(x) = −x.Si k = 1 ⇒ 1 ≤ x < 2 entonces f(x) = 1− x, etc.

-1

x

y

f

1 2 3-1

Figura 1.31: f(x) = [|x|]− x

62 PREFACE

1.8. Inversa de una función.

Definición 1.27. (Función inversa). Sea f : D (f) ⊆ R → R una función, si existe una función

g : D (g) ⊆ R → R tal que

x = g (y) ⇔ y = f (x) (1)

entonces g se denomina la inversa de la función f , y se denota por f−1.

Se tiene que

D(f−1

)= R (f) y R

(f−1

)= D (f)

Eliminando y en (1), obtenemos

x = f−1 (f (x))

y eliminando x,

y = f(f−1 (y)

),

lo que prueba las siguientes importantes propiedades sobre funciones inversas:

1. ∀y ∈ R (f) :(f ◦ f−1

)(y) = y

2. ∀x ∈ D (f) :(f−1 ◦ f

)(x) = x.

Proposición 1.8.1. (Simetría de la gráfica de f y de f−1) Las gráficas de una función y

de su inversa son simétricas respecto a la recta L : y = x.

Demostración.

En efecto, sea la función f que admite inversa f−1. De la definición de grafo de f

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5Gráfica de f y de su inversa

Eje x

Eje

y

gf

y=x

Figura 1.32: Gráfica de f y su inversa f−1

PREFACE 63

G(f) = {(x, f(x)) : x ∈ D(f)},

Se puede esbozar la gráfica de f−1 mediante la siguiente equivalencia:

∀(a, b) ∈ G(f) ⇔ b = f(a) ⇔ a = f−1 (b) ⇔ (b, a) ∈ G(f−1

).

Entonces los puntos (a, b) ∈ G (f) y los puntos (b, a) ∈ G(f−1

)son simétricas respecto de la

recta L : y = x. Esto implica que las gráficas de f y de f−1 son simétricas respecto de la recta

L.

Una forma de hallar la regla de correspondencia de la inversa de una función f es usando la

siguiente igualdad,

y = f(f−1(x)),∀x ∈ D(f−1).

Teorema 1.10. (Existencia de la inversa). Una condición necesaria y suficiente para que la

función f : D (f) ⊆ R → R tenga función inversa es que satisfaga la propiedad

∀x1, x2 ∈ D (f) : f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.

Demostración

(⇒) Si existe f−1 : R (f) ⊆ R → D (f) función inversa de f , entonces

G(f−1

)={(y, f−1 (y)

): y ∈ R (f)

}está bien definido. Supongamos que x1, x2 ∈ D (f) son tales que

f (x1) = f (x2) = y, entonces

x1 = f−1 (y) ∧ x2 = f−1 (y) .

Por lo tanto,

(y, x1) ∈ G(f−1

)∧ (y, x2) ∈ G

(f−1

)lo que implica, por las propiedades del grafo de la función f−1, que

x1 = x2,

y esto prueba la propiedad.

(⇐) Si f satisface la propiedad, entonces definimos el conjunto

H = {(y, x) : (x, y) ∈ G (f)} .

Por las propiedades de G (f) tenemos que

∀y ∈ R (f) ,∃x ∈ D (f) : (y, x) ∈ H,

64 PREFACE

y, por propiedad de la gráfica de una función resulta que

(y, x1) ∈ H ∧ (y, x2) ∈ H ⇒ x1 = x2.

Entonces, de la ecuación

x = g (y) ⇔ y = f (x)

existe una función g : R (f) ⊆ R → D (f) tal que G (g) = H.

Por lo tanto, f tiene inversa f−1 = g definida en R (f).

Así, el teorema anterior garantiza que es necesaria y suficiente la inyectividad de una función

para asegurar la existencia de su inversa.

Definición 1.28. (Función inyectiva). Se dice que una función es inyectiva si para todo par

de elementos distintos del dominio, sus imágenes son distintas.

Una función f, con D(f) es inyectiva si

∀x1, x2 ∈ D, x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2)

Equivalentemente (p⇒ q ⇔∼ q ⇒∼ p)

∀x1, x2 ∈ D, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

Si la función f es seccionada,

f(x) =

{f1(x), D(f1)

f2(x), D(f2)

Entonces f es inyectiva si y solo si{f1 y f2 son inyectivas, y

R (f1) ∩R (f2) = ∅.

Criterio 1.1. (Geométrico) Cualquier recta horizontal debe cortar a la gráfica de una función

inyectiva a lo más en solo punto.

Definición 1.29. (Función sobreyectiva). Se llama así cuando su conjunto de llegada es

cubierta por el rango.

Definición 1.30. (Función biyectiva). Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva

a la vez.

PREFACE 65

Ejemplo 1.54. Demostrar que la función

f (x) =√x− 1 + 2

tiene inversa.

Solución. Para cualquiera x1, x2 ∈ D (f) = [1,+∞[ se debe cumplir f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

√x1 − 1 + 2 =

√x2 − 1 + 2 ⇒

√x1 − 1 =

√x2 − 1 ⇒ x1 − 1 = x2 − 1,

y así x1 = x2; lo que prueba que f es inyectiva y por lo tanto, tiene inversa.

Geométricamente, cualquier recta horizontal corta a la gráfica de f en más de un punto.

Ejemplo 1.55. Hallar la inversa de la función f (x) =√x+ 1, x ∈ [−1,+∞[.

Solución. Tenemos que

y = f(x) =√x+ 1 con x ≥ −1,

y según la definción,

x = f−1 (y) ⇔ y = f (x) ;

Así, para encontrar f−1 (y) debemos despejar x,

y =√x+ 1 ⇔ x = y2 − 1;

entonces

f−1 (x) = x2 − 1.

Sabemos que el dominio de f−1 es el rango de f .

De D (f) = [−1,+∞[, construimos el rango de f

−1 ≤ x⇔ 0 ≤ x+ 1 ⇔ 0 ≤√x+ 1 = f(x) ⇒ R(f) = [0,+∞[.

Entonces D(f−1

)= [0,+∞[. Por tanto

f−1 (x) = x2 − 1, x ≥ 0

Ejemplo 1.56. Dada la función

f (x) =

x2 + 2x+ 2 si x < −1

−√x+ 1 si x ≥ −1,

66 PREFACE

1. Demostrar que la inversa de f existe.

2. Hallar f−1.

3. Hallar la gráfica de f y de su inversa en un mismo sistema de coordenadas.

Solución

1. Si definimos

f1 (x) = x2 + 2x+ 2 si x < −1

y

f2 (x) = −√x+ 1 si x ≥ −1,

entonces

f tiene inversa⇔

f1 y f2 son inyectivas, y

R (f1) ∩R (f2) = ∅.

Probaremos que f1 es inyectiva, dejando la demostración de la inyectividad de f2 como un

ejercicio. En efecto, para cualquier x1, x2 ∈]−∞,−1[ tales que

f1(x1) = f1(x2) ⇒ x21 + 2x1 + 2 = x22 + 2x2 + 2 ⇒ |x1 + 1| = |x2 + 1|.

Tenemos dos posibilidades:

x1 + 1 = x2 + 1 ∨ x1 + 1 = −x2 − 1,

entonces x1 = x2. Esto completa la prueba. La otra ecuación x1 + x2 = −2 es un absurdo,

pues de x1 < −1 ∧ x2 < −1 ⇒ x1 + x2 < −2. Por lo tanto f1 es inyectiva.

Además, de

R (f1) = ]1,+∞[ y R (f2) = ]−∞, 0] ⇒ R (f1) ∩R (f2) = ∅

Con estos resultados, existe la inversa de f .

2. Tenemos que

y = f1 (x) = x2 + 2x+ 2 = (x+ 1)2 + 1, x < −1 ⇔ x = −√y − 1− 1, y > 1.

Además,

y = f2 (x) = −√x+ 1, x ≥ −1 ⇔ x = (−y)2 − 1 = y2 − 1, y ≤ 0.

PREFACE 67

Por tanto f−1 (x) =

x2 − 1, x ≤ 0

−√x− 1− 1, x > 1.

3. La gráfica de la función f es la curva continua y la de su inversa es la discontinua.

f

f −1

y=x

x

y

1

1

-1

-1

Figura 1.33: función f y su inversa f−1

Ejemplo 1.57. Demostrar que la función g (x) = x3 + 2 es inyectiva.

Solución. Para cualquier x1, x2 ∈ D (g) = R se tiene

x31 + 2 = x32 + 2 ⇒ x31 = x32 ⇒ x1 = x2,

lo que demuestra que f es inyectiva.

Ejemplo 1.58. Demostrar que la función f (x) = 2x4 + x2 no tiene inversa.

Solución. Para demostrar la afirmación, basta mostrar que f no es inyectiva. Con este objetivo

tomemos dos puntos distintos de su dominio: x1 = −2 y x2 = 2. Observamos que

f (x1) = f (−2) = 36 ∧ f (x2) = f (2) = 36,

es decir, para x1 = x2 sus imágenes son f (x1) = f (x2) = 36.

68 PREFACE

Ejercicio 1.2. Esboce la gráfica de f y de f−1 en un mismo sistema de coordenadas.

Aun cuando una función f tenga inversa, puede ser imposible encontrar a la regla de correspon-

dencia para f−1. Con frecuencia es imposible despejar x de la ecuación y = f (x), por lo tanto, no

se puede calcular f−1 en algún valor de y, excepto por procedimientos numéricos. Sin embargo,

podemos estudiar determinadas propiedades de f−1 aun sin tener fórmula explícita para ella.

Teorema 1.11. Supongamos que la función f es estrictamente creciente en el intervalo [a, b],

entonces:

1. f tiene inversa f−1 definida en el intervalo [f (a) , f (b)];

2. f−1 es estrictamente creciente en el intervalo [f (a) , f (b)].

Demostración

1. Notemos primero que f es inyectiva en [a, b], es decir

∀x1, x2 ∈ [a, b] : f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.

En efecto, si x1, x2 ∈ [a, b] son tales que f (x1) = f (x2) y x1 = x2, entonces x1 < x2

o x1 > x2. De donde, como f es una función estrictamente creciente, f (x1) < f (x2) o

f (x1) > f (x2). Es decir, una contradicción y, por lo tanto, f es inyectiva.

Porque f es estrictamente creciente R (f) = [f (a) , f (b)], y por el teorema 1.10, (página

63), existe la función inversa

f−1 : [f (a) , f (b)] ⊆ R → [a, b]

definida en el intervalo [f (a) , f (b)].

2. Sean y1, y2 ∈ [f (a) , f (b)] tales que y1 < y2, entonces

f−1 (y1) ≥ f−1 (y2) ⇒ f(f−1 (y1)

)≥ f

(f−1 (y2)

)⇒ y1 ≥ y2,

que es una contradicción, por lo tanto, f−1 es estrictamente creciente en el intervalo

[f (a) , f (b)].

Observación 1.8.1. Con este teorema, basta probar que una función sea monótona (creciente

o decreciente) en un intervalo I para asegurar que tiene inversa en f(I).

PREFACE 69

Ejemplo 1.59. Probar que la función f(x) = x2, x ∈ [1, 3], tiene inversa.

Solución.

Vamos a probar que f es creciente en [1, 3].

1 ≤ x1 < x2 ≤ 3 ⇒ 1 ≤ x21 < x22 ≤ 9

Por lo tanto, existe la inversa de f . De

y = x2 ⇔ x = f−1(y) =√y, y ∈ f(I) = [1, 9].

En términos de x,

f−1(x) =√x, x ∈ [1, 9].

70 PREFACE

1.9. Funciones trigonométricas inversas.

La periodicidad de las funciones trigonométricas implica que ellas no son funciones inyectivas.

Por ejemplo, sabemos que la función seno tiene periodo 2π, entonces sen (2πn+ x) = sen (x)

para todo n ∈ Z, entonces hay infinitos puntos en la gráfica de la función seno con la misma

ordenada. Como las funciones trigonométricas no son inyectivas, no tienen funciones inversas.

Sin embargo, como veremos en esta sección, si restringimos apropiadamente el dominio de las

funciones trigonométricas obtendremos nuevas funciones que si serán inyectivas. Las inversas de

estas funciones restringidas serán llamadas funciones trigonométricas inversas.

A las inversas trigonométricas se le conocen cono arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotan-

gente, arcosecante y arcocosecante.

Función seno inversa

La función seno restringida

sen|[−π2,π2 ]

:[−π2,π

2

]→ R

es estrictamente creciente en el intervalo de restricción ]− π2 ,

π2 [.

Por lo tanto, la función sen|[−π2,π2 ]

tiene inversa

sen|−1

[−π2,π2 ]

: [−1, 1] →[−π2,π

2

]que será llamada función seno inversa o arco seno, y se denotará arc sen; así

arc sen : [−1, 1] →[−π2,π

2

],

−1 −0.5 0 0.5 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2Gráfica de arcoseno

Eje x

Eje

y

Figura 1.34: función arcoseno

Es la función que satisface

arc sen (x) = y ⇔ sen (y) = x para todo x ∈ [−1, 1] e y ∈[−π2,π

2

],

PREFACE 71

de donde se sigue que:

sen(arc sen(x)) = x, x ∈ [−1, 1] y arc sen(sen(y)) = y, y ∈[−π2,π

2

].

Función coseno inversa.

La función

cos|[0,π] : [0, π] → R

es estrictamente decreciente en el intervalo de restricción ]0, π[.

Por lo tanto, la función cos|[0,π] tiene inversa

cos|−1[0,π] : [−1, 1] → [0, π]

que será llamada función coseno inverso o arco coseno, y se denotará arc cos; así

arc cos : [−1, 1] → [0, π] ,

−1 −0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Gráfica de arcocoseno

Eje x

Eje

y

Figura 1.35: función arcocoseno

Es la función que satisface

arc cos (x) = y ⇔ cos (y) = x para todo x ∈ [−1, 1] e y ∈ [0, π] ,

de donde se sigue que

cos (arc cos (x)) = x para x ∈ [−1, 1]

y

arc cos (cos (y)) = y para y ∈ [0, π] .

72 PREFACE

Ejemplo 1.60. Demostrar que

arc sen (x) + arc cos (x) =π

2· · · (1)

para x ∈ [−1, 1].

Solución. En (1), sea arcsen(x) = α⇒ x = sen(α), · · · (2)

y arccos(x) = β ⇒ x = cos(β) · · · (3).

Por definición de arcoseno y arcocoseno: α ∈ [−π2 ,

π2 ] y β ∈ [0, π].

De (2) y (3) se tiene,

cos(α) = sen(β) =√

1− x2 > 0

Además,

sen(α+ β) = sen(α) cos(β) + sen(β) cos(α) = x2 + (√

1− x2)2 = 1

Aplicando arcoseno a: sen(α+ β) = 1 ⇒ α+ β = π2 .

Esto prueba (1), pues α = arc sen(x) y β = arc cos(x).

Función tangente inversa. La función

tan|]−π2,π2 [

:]−π2,π

2

[→ R

es estrictamente creciente en el intervalo de restricción]−π

2 ,π2

[.

Por lo tanto, la función tan|]−π2,π2 [

tiene inversa

tan|−1

]−π2,π2 [

: R →]−π2,π

2

[Se llamará función tangente inversa o arcotangente, y se denotará arctan; así

arctan : R →]−π2,π

2

[,

es la función que satisface

arctan (x) = y ⇔ tan (y) = x para todo x ∈ R e y ∈]−π2,π

2

[,


tan (arctan (x)) = x para x ∈ R

y

arctan (tan (y)) = y para y ∈]−π2,π

2

[.

La gráfica de arcotangente tiene dos asíntotas horizontales, una en x = π2 y la otra en x = −π

2 .

PREFACE 73

−15 −10 −5 0 5 10 15

−3

−2

−1

0

1

2

3

Gráfica de arcotangente

Eje x

Eje

y

Figura 1.36: función arcotangente

Ejemplo 1.61. Resolver en 0 < t <π

2la ecuación trigonométrica

6 cot2 (t)− 4 cos2 (t) = 1.


6 cot2 (t)− 4 cos2 (t) = 6cos2 (t)

sen2 (t)− 4 cos2 (t)

=6 cos2 (t)− 4 cos2 (t) sen2 (t)

sen2 (t).

Luego, notando que sen (t) = 0 para t ∈]0,π

2

[, obtenemos

6 cot2 (t)− 4 cos2 (t) = 1 ⇔ 6 cos2 (t)− 4 cos2 (t) sen2 (t)

sen2 (t)− 1 = 0

⇔ 6 cos2 (t)− 4 cos2 (t) sen2 (t)− sen2 (t) = 0.

Utilizando la identidad sen2 (t) = 1− cos2 (t) y factorizando, obtenemos(4 cos2 (t)− 1

) (cos2 (t) + 1

)= 0 ⇔ cos (t) =

1

2o cos (t) = −1

2,

de donde

t =π

3o t =

2π

3.

Por lo tanto, CS ={π3

}.

74 PREFACE

Ejercicios 1.9. Estudiar las restantes funciones inversas trigonométricas: arcotangente, arcose-

cante y arcocosecante.

1.10. Función exponencial.

En los cursos de álgebra se suelen definir las funciones f(x) = ax, para x racional, mientras que

para x irracional se suele ignorar. El motivo es fundamental, las matemáticas desarrolladas hasta

entonces no permite definir rigurosamente la función exponencial, es necesario el concepto de

integrales definidas.

La definición de función exponencial en los cursos de cálculo integral es más rigurosa en base

al cálculo integral. En ella, se define primero la función logaritmo natural h(t) = ln(t) como el

área que encierra la región limitada por las rectas verticales t = 1, t = x, debajo de la gráfica de

h y arriba del eje de las abscisas. Después, se define la función exponencial como inversa de la

función logaritmo.

Nosotros en Cálculo 1, vamos a definir a las funciones exponenciales como se hace en los cursos

de álgebra, por obvias razones, a partir de una ecuación. Luego, definiremos la función logaritmo.

Definición 1.31. Para toda constante a > 0, a = 1 la ecuación y = ax define una función

exponencial con base a y dominio todos los números x ∈ R. Si y = f(x) = ax entonces la

función f tiene Dom(f) = R y Ran(f) = R+.

Se presentan los casos a > 1 y 0 < a < 1.

Caso a > 1. La función f(x) = ax, a > 1, es creciente en R.

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Gráfica de exponencial natural

Eje x

Eje

y

Figura 1.37: función exponencial

De la gráfica de f se puede deducir que cuando x crece hacia valores positivos grandes entonces

f se vuelve muy grande y cuando x decrece hacia valores negativos grandes entonces f tiende a

PREFACE 75

0. La distancia entre la gráfica de f y el eje x va decreciendo cuando x toma valores cada vez

más grandes negativos.

Caso 0 < a < 1. La función f(x) = ax, 0 < a < 1, es decreciente en R. De la gráfica de f

podemos ver que cuando x toma valores muy grandes f se acerca al eje x.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 30

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Gráfica de la exponencial

Eje x

Eje

y

Figura 1.38: función exponencial

Ejemplo 1.62. Esboce la gráfica de la función

f(x) =ex − e−x

ex + e−x

Solución . El dominio de D(f) = R y el rango R(f) =] − 1, 1[. La gráfica de f tiene parecido

con la gráfica de la función arcotangente.

−5 0 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Gráfica de f(x)=tanh(x}

Eje x

Eje

y

Figura 1.39: f(x) = tanh(x)

Ahora enunciamos algunas propiedades de la función exponencial.

76 PREFACE

1.11. Función logarítmo.

Definición 1.32. Se define la función logaritmo y = f(x) = loga(x), para todo a > 0, a = 1,

∀x ∈ R+, como el exponente y al que debe elevarse a de manera que se cumpla

y = loga(x) ⇔ ay = x,

denominada función logaritmo con base a, con dominio D(f) = R+ y rango R(f) = R.

Caso a > 1 La función f(x) = loga(x) x > 0, a > 1 es creciente, es decir, para cualquier

x1, x2 ∈]0,+∞[, x1 < x2 ⇒ loga(x1) < loga(x2)

Caso 0 < a < 1 La función f(x) = loga(x) x > 0, 0 < a < 1 es decreciente, es decir, para dos

0 2 4 6 8 10−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3Gráfica de logaritmo natural

Eje x

Eje

y

Figura 1.40: función logaritmo natural

arbitrarios

x1, x2 ∈]0,+∞[, x1 < x2 ⇒ loga(x1) > loga(x2)

0 2 4 6 8 10−4

−2

0

2

4

6

8

10Gráfica de logaritmo base menor a 1

Eje x

Eje

y

Figura 1.41: función logaritmo en base 0<a<1

PREFACE 77

Teorema 1.12. Caracterización de las funciones logarítmicas. Sea f : R+ → R una función

monótona inyectiva tal que

f(xy) = f(x) + f(y),∀x, y ∈ R+

entonces existe a > 0 ∧ a = 1 tal que f(x) = loga x,∀x > 0.

Este teorema quiere decir que, entre las funciones monótonas inyectivas de R+ → R solamente

las funciones logarítmicas tienen la propiedad de transformar productos en sumandos.

Teorema 1.13. Se cumplen las siguientes propiedades.

1. loga 1 = 0

2. loga a = 1

3. Para x > 0, y > 0, a ∈ R− 1, loga(xy) = loga x+ loga y

4. logam xn = n

m loga x, n ∈ R,m ∈ R, x > 0.

5. logna x = (loga x)n = n loga x = loga x

n, n ∈ R

6. Para x > 0, y > 0, a ∈ R− 1, loga(xy ) = loga x− loga y

7. Cambio de base. Para x > 0, y > 0, a ∈ R− 1, logb(x) =loga x

loga b

8. Regla del intercambio. Para x > 0, y > 0, a ∈ R− 1, xloga y = yloga x.

9. Si a > 1 entonces 0 < 1a < 1, por ello: loga x = log 1

a( 1x) = − log 1

ax.

Logaritmo Neperiano

Del teorema de caracterización de las funciones logarítmicas, existe un número real positivo que

llamaremos e ≈ 2, 718281828459 . . . tal que la función f(x) = loge x;x ∈ R+, se denomina

función logaritmo natural.

Notación f(x) = loge x = lnx

1.12. Problemas Resueltos

Problema 1.1. Dadas las funciones f(x) = arc sen( xx+1) y g(x) =

√x4 − 1. Hallar

1. Los dominios de f y de g.

78 PREFACE

2. La regla de correspondencia de f ◦ g

Solución

1. El dominio de f hallamos de la definición de arcoseno,

1− ≤ x

x+ 1≤ 1 ⇒ −1 ≤ 1− 1

x+ 1≤ 1 ⇒ 2 ≥ 1

x+ 1≥ 0 ⇒ 0 ≤ 1

2≤ x+ 1.

De donde D(f) =]− 12 ,+∞[.

Dominio de g: x4 − 1 ≥ 0 ⇒ (x2 + 1)(x− 1)(x+ 1) ≥ 0 de donde,

D(g) =]−∞,−1] ∪ [1,+∞[.

2. Dominio de D(f ◦ g):x ≤ −1 ∧

√x4 − 1 ≥ −1 ⇒ x ≤ −1.

La segunda desigualdad es verdad, la solución es R.

Similar para el otro caso,

x ≥ 1 ∧√x4 − 1 ≥ −1 ⇒ x ≥ 1.

Por lo tanto, D(f ◦ g) := D(g).

Su regla de correspondencia,

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = arc sen

( √x4 − 1√

x4 − 1 + 1

); |x| ≥ 1.

Problema 1.2. Dada la función

f(x) = x2 + 4x+ 3, x > 0

Encuentre una función g tal que sea impar, tenga como dominio a los números reales y cumpla

con la condición g(x) = f(x) para todo x > 0.

Solución

La nueva función g debe ser impar, esto es, g(−x) = −g(x).Caso x > 0. De la condición del problema g(x) = f(x) = (x+ 2)2 − 1.

Caso x < 0. Reflejamos f respecto al origen de coordenadas. De x < 0 ⇒ −x < 0 y

g(−x) = f(−x) = −f(x) = −(x+ 2)2 + 1, −x < 0

Reemplazando −x por x: g(x) = −(x− 2)2 + 1, x < 0.

PREFACE 79

Finalmente,

g(x) =

(x+ 2)2 − 1, x > 0

−(x− 2)2 + 1 x < 0

Ejercicio 1.3. Dada la función f(x) = x2 + 4x + 3, x < 0. Encuentre una función g tal que

sea par, tenga como dominio a los números reales y cumpla con la condición g(x) = f(x) para

todo x < 0.

Problema 1.3. En un cono circular recto de radio 10 cm y de altura 12 cm se inscribe un

cilindro circular recto de tal modo que una de sus bases del cilindro está en la base del cono.

Expresar el volumen de dicho cilindro como una función de su radio.

Solución

Sean h y r las dimensiones del cilindro entonces su volumen V = πr2h. De la semejanza de los

triángulosaCAB ∼

aCED, se tiene

12

10=

h

10− r⇒ h =

12

10(10− r).

r

h

A

B

D

C

E

10

24

Figura 1.42: cilindro inscrito en un cono

Luego, V (r) = 1210πr

2(10− r) con 0 < r < 10.

Problema 1.4. Dadas las siguientes funciones

f (x) = 4x− 4, si x ≤ 3

g (x) = 2x+ 2, si x ≥ −3

Encuentre el dominio, el rango y la gráfica de la función f/g.

Solución.

80 PREFACE

La nueva función

h (x) =f (x)

g (x)=

4x− 4

2x+ 2= 2− 4

x+ 1;

con dominio [−3, 3]− {−1}.La gráfica de h a partir de la gráfica y = 1

x , por desplazamiento y reflexión.

−3 −2 −1 0 1 2 3−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10función racional

Eje x

Eje

y

Figura 1.43: f(x) = 2− 4x+1

El rango de h determinamos analíticamente en dos partes.

Si −3 ≤ x < −1 ⇒ −2 ≤ x+ 1 < 0 ⇒ h (x) = 2− 4

x+ 1≥ 4.

Similar, si −1 < x ≤ 3 ⇒ 1 ≥ 2− 4

x+ 1= h (x).

Luego, Ran(h) =]−∞, 1] ∪ [4,+∞[.

Problema 1.5. Sea h(x) = ln(1− x), x < 1 tal que (h ◦ g)(x) = x.

1. Halle la función g.

2. ¿Existe simetría entre las gráficas de h y g?

Solución

1. De la definición de h,

(h ◦ g)(x) = h(g(x)) = ln(1− g(x)) = x⇒ 1− g(x) = ex ⇒ g(x) = 1− ex

2. Existe simetría entre las gráficas de h y g porque son funciones inversas.

PREFACE 81


f (x) =

(x+ 1)2 + 2; x ≤ −1

arctan (x+ 1) ; x > −1

1. Demuestre que f es inyectiva.

2. Halle la regla de correspondencia de la inversa de f , indicando su dominio.

3. Esboce la gráfica en un mismo sistema de coordenadas f y su inversa.

Solución

1. Sean f1 (x) = (x+ 1)2 + 2 y f2 (x) = arctan (x+ 1) las partes de f .

Para cualquier par de números

x1 < x2 ≤ −1 ⇒ 0 ≤ (x2 + 1)2 < (x1 + 1)2 ⇒ f1(x2) < f1(x1)

Entonces f1 es decreciente. Similar para f2, es creciente.

A partir del dominio D(f), vamos construir el rango de f . Si

x ≤ −1 ⇒ x+ 1 ≤ 0 ⇒ (x+ 1)2 ≥ 0 ⇒ (x+ 1)2 + 2 ≥ 2

luego, R(f1) = [2,+∞[.

Similar para f2, si x > −1 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ arctan(x + 1) > arctan(0) = 0. Por otro lado,

el rango de arctan es ]− π2 ;

π2 [.

La intersección de los rangos de f1 y f2 es vacío.

2. De los rangos se tiene, R(f2) =]0,π

2[. La regla de correspondencia de la inversa de f .

f−1 (x) =

−√x− 2− 1; 2 ≤ x

tan (x)− 1; 0 ≤ x <π

2

3. Solo esbozamos la gráfica de f . Ejercicio la gráfica de su inversa

82 PREFACE

x

y

y =π

2

f

2

-1

Figura 1.44: Gráfica de f


f (x) =

ex − 2; x ≥ ln 4

x2 − x; 0 < x ≤ 1


2. Extienda gráficamente f a una función g tal que g sea impar. Determine la regla de corres-

pondencia de g.

3. Verifique analíticamente que g es impar.

Solución

1. Gráfica de f que será reflejado respecto al origen de coordenadas, para formar la función

impar g.

2. Como g debe ser impar, reflejamos f respecto al origen, g(−x) = −g(x) = −f(x) =.

Si 0 < x ≤ 1 ⇒ −1 ≤ −x < 0. Ahora, g(−x) = −g(x) = −f(x) = −x2 − x.

Similarmente, si ln 4 ≤ x⇒ x ≤ − ln 4 y g(−x) = −g(x) = −f(x) = −e−x + 2.

Resumiendo,

g (x) =

ex − 2; x ≥ ln 4

x2 − x; 0 < x ≤ 1

−e−x + 2; x ≤ − ln 4

−x2 − x; −1 ≤ x < 0

PREFACE 83

x

y

f

2

1ln4

Figura 1.45: Gráfica para reflejar respecto al origen

3. Probaremos que g es impar solo en el caso x ≥ ln 4. Se tiene

g (−x) = e−x − 2 = −(−e−x + 2

)= −g (x) .

Similarmente para los otros casos.

Problema 1.8. Pruebe que si f y g son dos funciones decrecientes, entonces f ◦ g es creciente.

Solución

Por ser g decreciente

x1 < x2 ⇒ g (x1) > g (x2) . (1)

Si f es decreciente,

y1 < y2 ⇒ f (y1) > f (y2) . (2)

Sea y = g (x) y considerando las inecuaciones (1) y (2) se tiene

x1 < x2 ⇒ g (x1) > g (x2) ⇒ f (g (x1)) < f (g (x2)) .

Problema 1.9. En una esfera de radio R se circunscribe un cono circular recto de radio r y

altura h.

1. Exprese el volumen del cono en función de h.

2. Halle el área de la superficie total del cono en términos de r.

Solución.

84 PREFACE

r

hR

D B

C

E

O

Figura 1.46: Cono circunscrito a una esfera

1. Esbozamos la gráfica del problema.

Por semejanza de los triángulos ∆CDB ∼ ∆CEO,

h

r=x

R⇒ x =

Rh

r

También se cumple

(h−R)2 = R2 + x2

De las dos ecuaciones se tiene

r2 =R2h

h− 2R.

Por lo tanto,

V (h) =πR2h2

3 (h− 2R); h > 2R.

2. Ahora vamos a expresar el área de la superficie total del cono en función de r.

El área lateral del cono, de la figura

AL = πrL = πr√h2 + r2.

El área de la base

Ab = πr2

De la primera parte se tiene la relación entre r y h,

AL =πr2

r2 −R2(r2 +R2);

Por lo tanto, el área total A = AL +Ab en función a r

A (r) =2πr4

r2 −R2; r > R.

PREFACE 85

Problema 1.10. Dada la función f definida por

f (x) =

e−x, x ≤ a

arc cos (x− 1)− π2 , 0 < x ≤ 2

1. Halle el mayor valor posible de a, si f admite inversa.

2. Con el valor hallado de a, encuentre la regla de correspondencia de la inversa de f indicando

su respectivo dominio.

3. Grafique f y su inversa en un mismo sistema de coordenadas.

Solución

1. Primero vamos a esbozar la gráfica de f con a < 0.

x

y

1

1

a

y = π2

e−x

arccos(x −1)− π2

Figura 1.47: Máximo valor de a para que f se inyectiva

Sean las partes de la función f ,

f1 (x) = e−x, x ≤ a y f2 (x) = arc cos (x− 1)− π

2, 0 < x ≤ 2.

Para hallar el mayor valor posible de a y que f sea función es necesario que los rangos de

f1 y f2 sean disjuntos.

Gráficamente esto se ve cuando la recta horizontal y = π2 , que resulta de evaluar y = f(x)

en x = 0, debe separar a la gráfica de f1 y de f2.

86 PREFACE

Con esa condición el mayor valor de a debe cumplir e−a = f(0) = π2 entonces

e−a = arc cos (−1)− π

2=π

2

a = − ln(π2

).

Por lo tanto,

f (x) =

e−x, x ≤ − ln

(π2

)arc cos (x− 1)− π

2 , 0 < x ≤ 2

2. El dominio de f−1 se obtiene de los rangos de f1 y f2.

si x ≤ − ln(π2

)⇒ e−x ≥ π

2.

Luego, R(f1) = [π2 ,+∞[= D(f−11

). Similar para el otro dominio.

0 < x ≤ 2 ⇒ −1 < x− 1 ≤ 1

⇒ π > arc cos(x− 1) ≥ 0

⇒ π

2> arc cos(x− 1)− π

2≥ −π

2.

Por lo tanto,

R (f2) = [−π2,π

2[= D

(f−12

).

Regla de correspondencia de f−1.

De f1 (x) = e−x y de f1(f−11 (x)

)= x, se tiene,

f−11 (x) = − lnx, x ≥ π

2

De f2 (x) = arc cos (x− 1)− π2 y de f2

(f−12 (x)

)= x, se tiene

f−12 (x) = 1 + cos

(x+

π

2

),−π

2≤ x <

π

2

Resumiendo,

f−1 (x) =

− lnx, x ≥ π

2

1 + cos(x+ π

2

), −π

2 ≤ x < π2

3. Gráfica de f y f−1. Ejercicio.

PREFACE 87

Problema 1.11. Demostrar que la función

f (x) = 3− 2

√1

2x− 1

es decreciente.

Solución

Primero hallamos el dominio de f,D(f) = [2;+∞[.

Ahora vamos a probar que f es decreciente, es decir, para cualesquier x1, x2 ∈ D(f) se debe

cumplir

si x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) .

Sean x1 y x2 dos números en el dominio de f , es decir,

si 2 ≤ x1 < x2 ⇒1

2x1 − 1 <

1

2x2 − 1

⇒ −2

√1

2x1 − 1 > −2

√1

2x2 − 1

⇒ f (x1) > f (x2) .

Problema 1.12. Dadas las funciones

f (x) =

√4− x2, −1 < x < 0

x+ 1

x+ 2, 1 < x

g (x) = sen (x) ; −π2≤ x ≤ π

2

Halle la función f ◦ g, indicando su dominio.

Solución

Por definición D( f ◦ g) = {x ∈ D (g) /g (x) ∈ D (f)}.Para f1 ◦ g, suponiendo que f1 =

√4− x2.

Dominio. De −π2 ≤ x ≤ π

2 ∧ −1 < senx < 0 se tiene D (f1 ◦ g) =]− π2 , 0[.

Regla de correspondencia.

f1 (g (x)) =√

4− sen2 (x),−π2< x < 0.

Para f2 ◦ g.Dominio. De −π

2 ≤ x ≤ π2 ∧ 1 < senx⇒ ϕ.

Por lo tanto, solo existe f1 ◦ g.

f (g (x)) =√

4− sen2 (x),−π2< x < 0.

88 PREFACE

Problema 1.13. Dos vértices de un rectángulo, de ordenada positiva, están en la gráfica de la

función

f (x) = 36− x2

y su base contenida en el eje X.

1. Exprese el área del rectángulo como función de la base.

2. Analice la gráfica de la función área.

Solución

1. Esbozamos la gráfica del problema.

X

Y

36

6xy

b

f

P(x,y)

Figura 1.48: Rectángulo inscrito sobre el eje x

Sea b la base del rectángulo entonces 0 ≤ b ≤ 12. Además, de la gráfica, b = 2x, con

x ∈ [0, 6]. De la función y = f (x), y = 36− x2 = 36− b2

4 .

El área del rectángulo

A (b) = by = b

(36− b2

4

); 0 ≤ b ≤ 12

2. La gráfica de A(x) es una curva parabólica.

A (x) =1

4x (12− x) (12 + x) ; 0 ≤ x ≤ 12

Problema 1.14. Sea y = f(x) una función decreciente. Pruebe usando la definición que la

función

g(x) = x3 + f(−x)

PREFACE 89

es creciente.

Solución

Por ser f decreciente,

x1 < x2 ⇒ −x1 > −x2 ⇒ f (−x1) < f (−x2) · · · (1)

Por propiedad en R, x1 < x2 ⇒ x31 < x32 · · · (2)De las inecuáciones (1) y (2),

x1 < x2 ⇒ x31 + f (−x1) < x32 + f (−x2)

⇒ g(x1) < g(x2)

Luego, g es creciente.

1.13. Problemas Propuestos

Funciones. Dominio. Rango. Gráfica

Se incluyen problemas sobre funciones polinomiales, racionales, trigonométricas, exponenciales,

logarítmicas, paramétricas y la combinación de estas funciones para dar origen a otras funciones.

1. Determine el dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones:

a) f(x) = −2x2 + 8x− 4.

b) f(x) = |5− x2|.

c) f(x) =√x2 − 16.

d) f(x) = −√6− 2x.

e) f(x) =

2− x

x− 3, x = 3

2, x = 3.

2. Sea

f(x) =1

2(ax + a−x), a > 0.

Verifique que

f(x+ y) + f(x− y) = 2f(x)f(y).

3. Sea f(x) = senx− cosx. Demuestre que f(1) > 0.

90 PREFACE

4. Determine el dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones:

a) f(x) =x2

1 + x.

b) f(x) = ln(x2 − 4).

c) f(x) =√x

sen(πx).

d) f(x) = arc sen

(2x

1 + x

).

e) f(x) = cot(πx) + arc cos(2x).

5. Sea f(x) = ax. Demuestre que ∀x, y ∈ R se cumple:

a) f(−x)f(x)− 1 = 0.

b) f(x).f(y) = f(x+ y).

6. Sea Ex ⊂ Dom(f ), donde y = f(x) es una función.

Halle el conjunto Ey, imágenes de los x ∈ Ex mediante la función y = f(x).

Gráfique al conjunto Ey.

a) y = x2, Ex = {−1 ≤ x ≤ 2}.

b) y = log(x), Ex = {10 < x < 1000}.

c) y = 1π arctan(x), Ex = R.

d) y = |x|, Ex = {1 ≤ |x| ≤ 2}.

Función. Par. Impar. Monótona

7. Determine cuáles de las siguientes funciones son pares y cuáles son impares:

a) f(x) = 3x− x3;

b) f(x) = ax + a−x, a > 0, a = 1;

c) f(x) = ln

(1− x

1 + x

)− 1 < x < 1;

d) f(x) = 3√

(1− x)2 + 3√

(1 + x)2;

8. Demuestre que f(x)+ f(−x) es una función par y que f(x)− f(−x) es una función impar.

9. Demuestre que toda función f , definida en el intervalo ] − a, a[, a > 0, se puede expresar

como la suma de una función par y una función impar.

PREFACE 91

10. Dada la función f , halle una nueva función g, que cumpla con las siguientes condiciones:

g(x) = f(x),∀x ∈ D(f)

y g sea:

par

impar

a) f(x) = x2 + 2x, 0 < x ≤ 2

b) f(x) =

x2 − 2x+ 1; 0 < x ≤ 1

0; 1 < x ≤ 2

11. Determine los intervalos de monotonía de las siguientes funciones:

a) f(x) = ln(x2 − 4).

b) f(x) =√4− x2.

c) f(x) = 1− e−x.

d) f(x) = − arc sen(1 + x).

e) f(x) = arctan(x).

Algebra de funciones


f(x) = −x2, x ∈ [−2, 3]

g(x) = |2x− x2|, x ∈ [−2, 4]

h(x) =√2x+ 1.

a) Grafique la función g.

b) Halle la regla de correspondencia y su dominio de: f/g y h/g .

13. Demuestre que el producto de dos funciones impares es par.

92 PREFACE

Transformación de Funciones

14. Construya la gráfica de las siguientes funciones:

a) y = π2 − arc cos(2x)

b) y = 1 + arctan(2x)

c) y = arc sen(1−x4 )

15. Construya la gráfica de la función exponencial compuesta

y = ey1

si:

a) y1 = x2

b) y1 = −x2

c) y1 =1

x2

16. Sea

f(x) =

1− |x|, |x| ≤ 1;

0, |x| > 1.

Construya las gráfica de la función

y =1

2[f(x− t) + f(x+ t)]

para: t = 0, t = 1 y t = 2.

17. Aplicando la regla de la suma de las gráficas, construye la gráfica de las siguientes funciones:

a) y = x2 + 2x

b) y = x+ sen(x)

c) y = x+ e−x

d) y = x+ arctan(x)

18. Esboce la gráfica de las siguientes funciones:

a) f(x) = |x| sen(x).

b) f(x) = x2 sen2(x).

PREFACE 93

c) f(x) = sen2( 1x).

d) f(x) =sen(x)

x.

e) f(x) =sen(x)

1 + x2.

f ) f(x) = x sen( 1x).

19. Construya la gráfica de las funciones dadas en forma paramétrica, si:

a) x = 1− t, y = 1− t2

b) x = t+1

t, y = t+

1

t2

c) x = 2(t− sen(t)), y = 2(1− cos(t)), (cicloide).

d) x = 10 cos(t), y = sen(t)

20. Resuelva aproximadamente la ecuación

x3 − 3x+ 1 = 0

construyendo para ello la gráfica de la función f(x) = x3 − 3x+ 1

21. Resuelva gráficamente las siguientes ecuaciones (ver problema 20).

a) x3 − 4x− 1 = 0;

b) x = 2−x

c) 10x = x2

d) tanx = x, 0 ≤ x ≤ 2π

Función Inversa

22. Construya la gráfica de la función

y = arc sen y1

si:

a) y1 = 1− x

2

b) y1 =1− x

1 + x

c) y1 = ex

23. Sean las funciones f con sus respectivos dominios.

94 PREFACE

Pruebe que son inyectivas.

Determine la función inversa con su respectivo dominio.

a) f(x) = x2, −∞ < x ≤ 0

b) f(x) =1− x

1 + x, x = −1

c) f(x) =ex − e−x

ex + e−x, −∞ < x < +∞

d) f(x) =

x; −∞ < x < 1

x2; 1 ≤ x ≤ 4

2x; 4 < x < +∞

24. Dada la función

f(x) =

(x+ 1)2 + 2; x ≤ −1

arctan(x+ 1); x > −1

a) Demuestre que f es inyectiva.

b) Halle la regla de correspondencia de f−1 y su dominio.

c) Grafique en un mismo sistema de coordenadas f y f−1.


f(x) =

ln(x− 1); x ≥ 2

6x− x2 − 10; x < 2

a) Demuestre que f es inyectiva.

b) Halle la regla de correspondencia de f−1 y su dominio.

c) Grafique en un mismo sistema de coordenadas f y f−1.

Modelos Matemáticos

26. Un cono circular recto de dimensiones r y h se inscribe en una esfera de radio R. Exprese

el volumen del cono como función de h.

PREFACE 95

27. Debe construirse una caja rectángular sin tapa, de un trozo rectángular de cartón de

dimensiones 12 por 18 cm. Para ello se recortan cuadrados iguales de lado x en las 4

esquinas y a continuación se doblan los lados hacia arriba. Exprese el volumen de la caja

como función de x.

28. En condiciones ideales, cierta población de bacterias se duplica cada 4 horas. Suponiendo

que inicialmente existen 200 bacterias.

a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas?

b) Estime el tiempo para que la población llegue a 50.000 bacterias.

c) Grafique la población en función al tiempo.

29. Un cono recto dado lleva inscrito un cilindro de manera que los planos y los centros de las

bases circulares del cilindro y del cono coinciden. ¿Cuál debe ser la relación de los radios

de las bases del cilindro y del cono para que la superficie lateral del cilindro sea la mayor

posible?

30. En la recta L : y = x+ 2 halle un punto tal que la suma de los cuadrados de la distancia

que media entre éste y las rectas L1 : 3x− 4y + 8 = 0 y L2 : 3x− y − 1 = 0 sea la menor

posible.

31. Un tirángulo isósceles de base a y altura h lleva inscrito un rectángulo tal como se muestra

en la figura. ¿Cuál debe ser la altura del rectángulo para que su superficie sea la mayor

posible?

a

h

32. En una esfera de radio R se circunscribe un cono circular recto de dimensiones r y h.

a) Exprese el volumen del como función de h.

b) Halle el área de la superficie total del cono como función de r.

33. Sea un cono recto circular cuyo radio de base es igual a R y su altura H. Lleva inscrito un

cilindro de manera que los planos y los centros de las bases circulares del cono y del cilindro

96 PREFACE

coinciden. ¿Cuál debe ser el radio del cilindro para que la superficie total del mismo sea la

mayor posible? Considere los casos H > 2R y H ≤ 2R.

34. Esboce la gráfica de las siguientes funciones:

a) f(x) = sen( 1x).

b) f(x) = cos( 1x).

c) f(x) = x sen( 1x).

d) f(x) = x2 sen( 1x).

e) f(x) = (1 + x)1x .

f ) f(x) =(1 +

1

x

)x

.

35. Demuestre que son acotadas y luego, esboce la gráfica de las siguientes funciones:

a) f(x) =x2√1 + x1

.

b) f(x) =1

1 + x2.

c) f(x) =x2

1 + x4.

d) f(x) = | sen(x)|

Capítulo 2

Límite de funciones reales de una

variable real

2.1. Introducción.

En esta sección presentamos una discusión intuitiva de las tangentes como un preliminar al

concepto de límite. En el capítulo 3, daremos una definición precisa de recta tangente.

Consideremos el siguiente problema geométrico. Sea f una función real de variable real dada y sea

P0 = (x0, f (x0)) un punto sobre la gráfica de f . ¿Qué es la recta tangente a la gráfica de f en P0?

Primero debemos decidir qué es lo que entendemos por recta tangente a una curva. La noción

griega de recta tangente estaba limitada a las secciones cónicas (Apolonio de Perga, 262-192

A.C.). Para los griegos la recta tangente a una cónica era una recta con un punto sobre la curva

y con todos los restantes fuera de la curva. Limitada a las secciones cónicas, esta definición era

adecuada y permitió a los griegos establecer todas las propiedades importantes de las tangentes

a las secciones cónicas; por ejemplo, el hecho de que la tangente a una circunferencia en un punto

es ortogonal al radio de la circunferencia en ese punto.

El problema de recta tangente

Ejemplo 2.1. Sea f (x) =√1− x2 una función real de variable real, definida en el intervalo

[0, 1], y sea P0 =(√

22 ,

√22

)un punto sobre la gráfica de f . Determinar una ecuación de la recta

tangente a la gráfica de f en P0.

Solución

La gráfica de la función f es la semicircunferencia superior de la circunferencia

C : x2 + y2 = 1.

97

98 PREFACE

La recta tangente T que pasa por el punto P0 =(√

22 ,

√22

), tiene ecuación

T : y = mT

(x−

√2

2

)+

√2

2, (2.1.1)

expresión en la que falta determinar mT . Como la tangente a una circunferencia en un punto es

ortogonal al radio de la circunferencia en ese punto, establecemos la relación

mT = − 1

mOP0

= −

√22 − 0√22 − 0

= −1.

O 1

P0

T

X

Y

f

Figura 2.1: Recta tangente a una circunferencia

Entonces, sustituyendo este valor en (2.1.1) y simplificando, obtenemos

T : y = −x+√2,

como una ecuación de la recta tangente a C en P .

Observación 2.1.1. Los griegos también estudiaron las rectas tangentes a una circunferencia

trazadas desde un punto exterior a la circunferencia, en este caso, existen dos rectas tangentes

y demostraron que desde un punto ubicado en el interior de la circunferencia no se puede trazar

ninguna recta tangente.

Una de las debilidades de la noción griega de tangente es que no se puede extender fácilmente

a arcos de curvas que no tengan “exterior” y que no sugiere un procedimiento analítico para la

determinación de las rectas tangentes.

Ejemplo 2.2. Sea f (x) = cos (x) definida en el intervalo [−1, 9] y sea P0(0, 1) un punto sobre

la gráfica de f . Determinar la recta tangente a la gráfica de f en P0.

PREFACE 99

Solución

Si consideramos la gráfica del coseno junto con la recta horizontal, tangente en el punto P0(0; 1),

nos enfrentamos al dilema siguiente: parece claro que T es la recta tangente, pero si este es el

caso, T no debería intersectar a la gráfica de la función f en los puntos P0 y P1(2π, 1). ¿Cuál es

entonces la recta T que estamos buscando?, ¿existe tal recta tangente?

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5una recta tangente al coseno

Eje x

Eje

y

P0

P1

Figura 2.2: Tangente al coseno en dos puntos

Respondamos a estas preguntas en forma general.

Sea la ecuación de una curva plana cualquiera C : y = f (x). Sean P0 (x0, f (x0)) y Q (x, f (x))

dos puntos cualesquiera de C tales que el arco de la curva que los une sea continuo; es decir, Q

puede moverse hacia P0 permaneciendo siempre sobre la curva.

O 1

P0

T

X

Y

f

Q

SP0Q

x0

Figura 2.3: Tangente a la gráfica de una función

La recta SP0Q que pasa por P0 y Q se llama recta secante. Consideremos que P0 es un punto fijo

mientras que Q se mueve a lo largo de C hacia P0. Entonces, a medida que Q se aproxima a P0,

la secante gira en el sentido antihorario en torno a P0 y, en general, tiende a una posición límite

100 PREFACE

representada por la recta T que se define como la tangente a la curva C en el punto P0. El punto

P0 se llama punto de tangencia o punto de contacto de la tangente en C.

Para determinar la ecuación de la recta tangente a la curva, se debe hallar la pendiente de la

tangente. La pendiente de la secante SP0Q es

mSP0Q=f (x)− f (x0)

x− x0, x = x0. (2.1.2)

Definiendo la tangente como la posición límite de la secante SP0Q a medida que Q tiende a P0,

se sigue que la pendiente m de la tangente es el valor límite de la pendiente mSP0Qdada por

(2.1.2), y escribimos

m = lımx→x0

f (x)− f (x0)

x− x0, (2.1.3)

siempre que el límite exista. La determinación, significado y propiedades de este límite son

problemas fundamentales de este curso.

Presentaremos en esta sección una definición preliminar de límite de una función, en la siguiente

sección discutiremos más a fondo este concepto.

Ejemplo 2.3. Sea la función

f (x) =x2 − 4

x− 2, x = 2.

Si x = 2, la fracción se convierte en la forma indeterminada 00 . Pero nos podemos preguntar que

pasa con f (x) cuando x está próximo a 2. Tabulando en una calculadora tenemos

x 1.9 1.95 1.999 2 2.001 2.05 2.1

f (x) 3.9 3.95 3.999 — 2.001 4.05 4.1

Parece obvio de la tabla que, cuando x se aproxima a 2, f (x) se aproxima a 4; y entre más cerca

está x a 2, más cerca está f (x) a 4.

En este caso escribimos

lımx→2

x2 − 4

x− 2= 4

y decimos que cuando x se aproxima a 2, f (x) se aproxima a 4, es decir,

f(x) → 4 cuando x→ 2.

Conclusión 2.1. En general, que una función f está definida para todo x próximo a x0 pero no

necesariamente para x = x0. Entonces decimos que:

1. f (x) tiene límite L cuando x tiende a x0, si podemos hacer que f (x) se aproxime a L tanto

como queramos tomando a x suficientemente próximo a x0, pero no igual a x0. Escribimos

lımx→x0

f (x) = L o f (x) → L cuando x→ x0.

PREFACE 101

2. El número lımx→x0

f (x) depende de los valores de f (x) para x próximo de x0, pero no de

como se comporta f en x0. Al calcular lımx→x0

f (x) no interesa el valor de f (x0), ni siquiera

el hecho de que f esté o no definida en x0.

Ejemplo 2.4. Estudiar los límites siguientes:

1. lımx→3

(3x− 2)

2. lımx→0

√x+ 1− 1

x

Solución

1. Sea la función h(x) = 3x − 2. En la siguiente tabla están los valores de h para diversos

valores de x cercanos a 3

x 2.9 2.95 2.999 3 3.001 3.05 3.1

3x− 2 6.7 6.85 6.997 7 7.003 7.15 7.3

Cuando x se aproxima a 3, h(x) se aproxima a 7; y entre más cerca está x a 3, más cerca

está h(x) a 7, inclusive vale 7 si x = 3. En este caso escribimos

lımx→3

h(x) = 7.

2. Sea la función f definida por f (x) =√x+ 1− 1

x. En la tabla se muestran los valores de f

para diversos valores de x cercanos a cero. Si x = 0, f(0) toma la forma indeterminada 00 .

x −0,1 −0,05 −0,001 0 0,001 0,05 0,1√x+ 1− 1

x0,51317 0,60641 0,50013 − 0,49988 0,4939 0,48809

Cuando x tiende a cero, los valores de la función parecen tender a 0,5 y de esta manera

se propone que lımx→0

√x+ 1− 1

x= 0,5.

¿Qué habría pasado en el ejemplo si hubiésemos considerado valores de x aún más pequeños? A

continuación se presentan los resultados obtenidos con una calculadora

x 0,000001 0,0000001 0,00000001 0,000000001√x+1−1x 0,5 0,5 0,5 1

¿Significa esto que en realidad la respuesta es 1 en vez de 0,5? No, el valor del límite es 0,5. El

102 PREFACE

problema es que la calculadora proporciona valores falsos porque√x+ 1 está cercano a 1 cuando

x es pequeño. Esta tergiversación se supera trabajando con el equivalente f(x) =1√

x+ 1 + 1.

Escribimos lımx→x0

f (x), si los valores de f (x) se aproximan a L tanto cuanto se quiera, tomando

los valores de x suficientemente cercanos a x0, pero no iguales a x0 . Otra forma de escribir esto

se da en la siguiente definición.

Definición 2.1. Sea f : D (f) ⊆ R → R. El límite de f (x) cuando x tiende a x0 es el número

real L, si podemos hacer el valor absoluto |f (x)− L| tan pequeño como queramos, haciendo el

valor absoluto |x− x0| = 0 suficientemente pequeño.

Nótese que establecemos |x− x0| = 0. Esta condición se impone ya que estamos interesados

en valores de f (x) para valores de x cercanos a x0, pero no para x = x0; es decir, al calcular

lımx→x0

f (x) no interesa el valor de f (x0), ni siquiera el hecho de que f esté o no definida en x0.

Siempre que hablemos del límite de una función f en x0, supondremos x0 es un punto de acumu-

lación del dominio de f , lo que quiere decir1 que todo intervalo abierto que contiene al número

x0 contiene también un número x, distinto de x0, en el dominio de f .

Ejemplo 2.5. Calcular

1. lımx→1

(5x− 3)

2. lımx→0

√x

Solución

1. Tenemosx 0.9 0.95 0.999 1 1.001 1.05 1.1

5x− 3 1.5 1.75 1.995 2 2.005 2.25 2.5

De la tabla vemos que, cuando x se aproxima a 1, 5x− 3 se aproxima a 2, inclusive vale 7

si x = 3. Entonces

lımx→1

(5x− 3) = 2.

2. En este caso los valores√x para valores de x menores que cero no están permitidos; así al

tabular deberemos considerar valores para x no negativos. Tenemos,

x 0 0.001 0.05 0.1√x 0 0.0316 0.2236 0.3162

Por lo tanto,

lımx→0

√x = 0.

1Ver el apéndice.

PREFACE 103

Nota 2.1. Es posible que f (x) no tienda a ningún número concreto cuando x tiende a x0. En

este caso decimos que lımx→x0

f (x) no existe, o que f (x) no tiene límite cuando x→ x0.


f (x) =

(x− 1)2 + 2 x ≤ 1

− (x− 1)2 + 1 x > 1

.

Determinar lımx→1

f (x).

Solución

La gráfica de la función f tiene la forma

O X

Y

1

1

2

f

Figura 2.4: Límite en una función seccionada

Determinando valores de f para x ≤ 1, encontramos

x 0.9 0.95 0.999 1

(x− 1)2 + 2 2.01 2.0025 2 + 10−6 2

y para x > 1, tenemos

x 1.001 1.05 1.1

− (x− 1)2 + 1 1− 10−6 0.9975 0.99

La gráfica de la función da un "salto" en x0 = 1 y analizando las tablas construidas, podemos

concluir que lımx→1

f (x) no existe, porque tienden a números diferentes cuando x se aproxima a

x0 = 1 por derecha o por izquierda.

Conclusión 2.2. Podemos concluir que:

La aproximación al punto límite puede ser por izquierda o por derecha .

104 PREFACE

Si las partes de la gráfica de una función seccionada están separadas en x0, como en el

gráfico (en x = 1), entonces no existe el límite de la función en x0.

Ejemplo 2.7. Sea f (x) = x3 y sea P0(1, 1) un punto sobre la gráfica de f . Determinar la recta

tangente a la gráfica de f en P0.

Solución Por las ecuaciones (2.1.2) y (2.1.3) (página 100), la recta tangente a la gráfica de f

en P0(1, 1) tiene ecuación

y = m (x− 1) + 1,

donde

m = lımx→1

f (x)− f (1)

x− 1= lım

x→1

x3 − 1

x− 1= 3.

Por tanto, la tangente es

T : y = 3x− 2.

Ejemplo 2.8. Sea

f (x) =|x|x

, x = 0.

Mostrar que lımx→0

f (x) no existe.

Solución

Notamos que

f (x) =

−1 si x < 0,

1 si x > 0.

Entonces, tenemos la siguiente tabla

x −0,1 −0,05 −0,005 0 0,005 0,05 0,1

f (x) −1 −1 −1 − 1 1 1

la cual muestra que: cuando x se aproxima a 0 por izquierda entonces f(x) se aproxima a −1 y

cuando x se aproxima a 0 por derecha entonces f(x) se aproxima a 1, por lo tanto, lımx→0

f (x) no

existe.

Ejemplo 2.9. Sea f(x) = |x|. Analice si la gráfica de f tiene recta tangente en x = 0.

Solución De los límites

lımx→0+

f(x) = lımx→0+

x = 1

y

lımx→0−

f(x) = lımx→0−

−x = −1,

no existe recta tangente a la gráfica de f en x = 0.

PREFACE 105

Ejemplo 2.10. Sea f(x) = cos(1/x). ¿Existe recta tangente a la gráfica de f en x = 0?

Solución. Cuando x tiende a 0 entonces cos(1/x) oscila alrededor del origen de coordenadas.

Por lo tanto, no existe el límite

lımx→0

f(x) = lımx→0

cos(1/x)

y esto implica que no existe recta tangente a la gráfica de f en x = 0.

Finalmente, cerramos esta sección con unas palabras acerca de nuestra filosofía a propósito de los

límites. Creemos que todos los estudiantes deben tratar de alcanzar una idea razonablemente clara

de lo que es un límite, y deben ver como se formula una definición precisa de este concepto. Sin

embargo, es un hecho histórico que muchas aplicaciones importantes del cálculo, se desarrollaron

antes de la formulación de una buena definición de límite. Por tanto, no es imposible que los

estudiantes de hoy aspiren a tener un conocimiento suficiente del cálculo para poder trabajar sin

antes lograr habilidad en el empleo de la definición de límite, y antes de comprender en detalle

algunas de sus ramificaciones. En realidad, es suficiente una comprensión geométrica intuitiva

para la mayor parte del material que contiene este libro. Por tanto, proseguiremos tan rápido

como sea posible para emplear los límites en la descripción del cálculo y sus aplicaciones, en

lugar de detenernos para hacer más detallado nuestro concepto del límite mismo. Esto significa

que en este capítulo se presentarán muchos conceptos algo relacionados, pero no se estudiarán

con gran detalle analítico.

Ejercicios 2.1.

1. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia

x2 + y2 − 8x− 6y + 20 = 0

en el punto (3, 5).

2. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia

x2 + y2 − 10x+ 2y + 18 = 0

y que tiene pendiente 1.

3. Hallar la ecuación de la tangente trazada del punto (8, 6) a la circunferencia

x2 + y2 + 2x+ 2y − 24 = 0.

4. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = −2x2−3x+2, en el punto (1,−3).

106 PREFACE

5. Hallar la ecuación de las rectas tangentes trazadas desde el punto (2,−4) a la parábola

x2 − 6x− 4y + 17 = 0.

6. En cada uno de los siguientes casos hallar la ecuación de la recta tangente para la parábola

y el punto de contacto dados:

a) y2 = 4x, P0 (1, 2).

b) x2 − 6x+ 5y − 11, P0 (−2,−1).

c) y2 + 4x+ 2y + 9 = 0, P0 (−6, 3).

7. Demostrar que la tangente a la parábola y2 = 4px en cualquier punto P0 (x0, b) de la curva

tiene por ecuación

by = 2p (x+ x0) .

8. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto P (2,−4) a la parábola x2− 6x−4y + 17 = 0.

9. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola x2+4x+12y−8 = 0 que sea paralela

a la recta 3x+ 9y − 11 = 0.

10. Dada la parábola

y2 − 2x+ 6y + 9 = 0,

hallar los valores de k para los cuales las rectas de la familia x+ 2y + k = 0:

a) cortan a la parábola en dos puntos diferentes;

b) son tangentes a la parábola;

c) no cortan a la parábola.

11. Estudiar los siguientes límites, tabulando para ciertos valores de x cercanos al punto límite

sus respectivas imágenes f(x)

a) lımx→−2

1

(x+ 2)2.

b) lımx→0

sen (x)

x.

c) lımx→0

sen(πx

).

d) lımx→0

(x2 +

cos (x)

10000

).

PREFACE 107

e) lımx→2

3√x− 1− 1

4√x− 1− 1

.

f ) lımx→0

x4 cos

(1

x

).

12. En los siguientes casos estimar el valor del límite

lımx→x0

f (x)− f (x0)

x− x0

calculando el valor del este cocientef (x)− f (x0)

x− x0para varios valores de x cercanos a x0.

a) f (x) =√4− x2, x0 = 1.

b) f (x) =√x2 + 5, x0 = 2.

c) f (x) = 1√x2+1

, x0 = 1.

d) f (x) =(x2 − 5

) 32 , x0 = 3.

e) f (x) = sen (x), x0 = π6 .

2.2. Noción de límite de una función.

En la sección anterior obtuvimos alguna idea de lo que es el límite, pero necesitamos una definición

precisa de límite sobre la que basaremos nuestro estudio. Frases descriptivas tales como “tan cerca

como se quiera” y “suficientemente cerca” no proporcionan una definición adecuada.

Definición 2.2. El número L se dice que es el límite de la función f en x0 si para cada ε > 0,

existe un número δ > 0 tal que siempre que x esté en el dominio de f y

0 < |x− x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε.

La desigualdad 0 < |x− x0| en la definición implica que x = x0. Nosotros excluimos x = x0 para

ser capaces de considerar el límite de f en x0 cuando no está definido f (x0).

Como se dijo en la sección anterior, siempre que hablemos del límite de una función f en x0,

supondremos que x0 es un punto de acumulación 2 del dominio de f . Si x0 no es un punto de

acumulación del dominio de f , entonces el límite de f en x0 no es único. En realidad, todo número

L es, entonces el límite de f en x0. Pues si x0 no es un punto de acumulación del dominio de f

y δ > 0 es suficientemente pequeño, no hay ningún número x en el dominio de f que satisfaga

0 < |x− x0| < δ, y todo número L satisface los requerimientos para ser el límite de f en x0.2c ∈ R es un punto de acumulación del conjunto A ⊂ R cuando todo intervalo abierto I que contiene a c

contiene algún punto de A diferente de c.

108 PREFACE

La interpretación geométrica de la definición para una función f , es que f (x) en el eje vertical

se localizará entre las rectas horizontales L − ε y L + ε para cualquier ε > 0, al restringir a x,

en el eje horizontal a que se localice entre las rectas verticales x0 − δ y x0 + δ, para un δ > 0

apropiado. Región sombreada en el siguiente gráfico.

O X

Y

x0

L

f

Figura 2.5: Límite en una función

Al aplicar la definición 2.2 para demostrar que lımx→x0

f (x) = L, si y solo si,

∀ε > 0,∃δ > 0 : x ∈ D(f) ∧ 0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

Objetivo 2.1. Dar una regla o los críterios para la selección de δ > 0 en términos de ε > 0. Es

decir, cómo elegir a δ > 0 para un ε > 0 dado cualquiera.

Ejemplo 2.11. Demostrar que lımx→1

(2x+ 5) = 7.

Solución

Debemos demostrar que para cualquier ε > 0, existe un δ > 0 de tal manera que

x ∈ R ∧ 0 < |x− 1| < δ ⇒ |(2x+ 5)− 7| < ε.

En efecto, dado ε > 0, se tiene que

|(2x+ 5)− 7| = |2x− 2| = 2 |x− 1| .

Si |x− 1| < ε

2, entonces

2 |x− 1| < ε.

Por lo tanto, si δ =ε

2, siempre que 0 < |x− 1| < δ se cumplirá

|(2x+ 5)− 7| = 2 |x− 1| < 2(ε2

)= ε.

PREFACE 109


x2 = 4.

Solución

Debemos demostrar que para cualquier ε > 0, existe un δ > 0 de tal manera que

x ∈ R ∧ 0 < |x− 2| < δ ⇒∣∣x2 − 4

∣∣ < ε.

En efecto, dado ε > 0, se tiene que ∣∣x2 − 4∣∣ = |x+ 2| |x− 2| .

Ahora, si tomamos valores de x tal que la distancia a 2 sea menor que 1,

|x− 2| < 1 ⇒ −1 < x− 2 < 1 ⇒ 3 < x+ 2 < 5 ⇒ |x+ 2| < 5.

Entonces, si 0 < |x− 2| < 1∣∣x2 − 4∣∣ = |x+ 2| |x− 2| < 5 |x− 2| . . . . (1)

Por otra parte, si |x− 2| < ε

5entonces

5 |x− 2| < ε. . . . (2)

De donde si δ = mın{1,ε

5

}las desigualdades (1) y (2) se verifican a la vez, y siempre que

0 < |x− 2| < δ se cumplirá

∣∣x2 − 4∣∣ = |x+ 2| |x− 2| < 5 |x− 2| < ε.

La elección 0 < |x− 2| < 1, fue una elección adecuada, pero no ciertamente necesaria. Si hubié-

ramos escogido 0 < |x− 2| < 2, entonces

|x− 2| < 2 ⇒ −2 < x− 2 < 2 ⇒ 2 < x+ 2 < 6 ⇒ |x+ 2| < 6

y habríamos escogido δ = mın{2,ε

5

}.

El siguiente teorema nos da la unicidad del límite.

Teorema 2.1. (Unicidad del límite). Si x0 es un punto de acumulación del dominio de f , si

lımx→x0

f (x) = L1 y lımx→x0

f (x) = L2, entonces L1 = L2.

Recordemos que si x0 no es un punto de acumulación del dominio de f , entonces lımx→x0

f (x) no

es único.

110 PREFACE


lımx→6

x+ 3

x− 3= 3, x = 3.

Solución

Por demostrar que

∀ε > 0,∃δ > 0 : x ∈ R− {3} ∧ 0 < |x− 6| < δ ⇒∣∣∣∣x+ 3

x− 3− 3

∣∣∣∣ < ε.

En efecto, dado ε > 0 tenemos que∣∣∣∣x+ 3

x− 3− 3

∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣x− 6

x− 3

∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣ 1

x− 3

∣∣∣∣ |x− 6| · · · (1)

Debemos buscar una cota superior para el factor∣∣∣∣ 1

x− 3

∣∣∣∣, es decir, un número M > 0 tal que

∣∣∣∣ 1

x− 3

∣∣∣∣ < M ; · · · (2)

para esto, elegimos δ1 > 0 de manera que |x− 6| < δ1 implique la desigualdad (2). Tomemos

δ1 =32 se tiene

|x− 6| < 3

2⇒ 3

2< x− 3 <

9

2⇒ 2

9<

1

x− 3<

2

3⇒∣∣∣∣ 1

x− 3

∣∣∣∣ < 2

3· · · (3)

Reemplazando (3) en (1),∣∣∣∣x+ 3

x− 3− 3

∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣ 1

x− 3

∣∣∣∣ |x− 6| < 2

(2

3

)δ2 = ε

de donde δ2 =3ε

4. Finalmente escogemos a δ = mın

{3

2,3ε

4

}.


lımx→3

2x+ 1

x− 2= 7, x = 2.

Solución Por demostrar que

∀ε > 0,∃δ > 0 : x ∈ R− {2} ∧ 0 < |x− 3| < δ ⇒∣∣∣∣2x+ 1

x− 2− 7

∣∣∣∣ < ε.

En efecto, dado ε > 0 tenemos que∣∣∣∣2x+ 1

x− 2− 7

∣∣∣∣ = 5

∣∣∣∣x− 3

x− 2

∣∣∣∣ = 5

∣∣∣∣ 1

x− 2

∣∣∣∣ |x− 3| · · · (1)

PREFACE 111

Acotando el factor ∣∣∣∣ 1

x− 2

∣∣∣∣ < M. · · · (2)

Para esto, elegimos δ1 > 0 de manera que |x− 3| < δ1 implique la desigualdad (2). Tomando

δ1 =12 se tiene3

|x− 3| < 1

2⇒ 1

2< x− 2 <

3

2⇒ 2

3<

1

x− 2< 2 ⇒

∣∣∣∣ 1

x− 2

∣∣∣∣ < 2 · · · (3)

Reemplazando (3) en (1),∣∣∣∣2x+ 1

x− 2− 7

∣∣∣∣ = 5

∣∣∣∣ 1

x− 2

∣∣∣∣ |x− 3| < 5 (2) δ2 = ε

de donde δ2 =ε

10. Finalmente escogemos a δ = mın

{1

2,ε

10

}.

x

y

y=2

x=2

2

2

f

7

3

Figura 2.6: Límite en una función racional

El riesgo de considerar δ = 1 es que no existe f cuando x = 2. En la gráfica de f , la recta x = 2

es una asíntota vertical entonces no está definido f en x = 2. Al considerar δ = 1 incluimos en

el intervalo ]3− δ, 3 + δ[ a x = 2 donde no está definido f , por lo tanto, no existe el límite.

3Notemos que si elegimos δ1 = 1, entonces

|x− 3| < 1 ⇒ 0 < x− 2 < 2 ⇒ 1

2<

1

x− 2· · · (3)

y esta desigualdad no nos permite acotar al factor∣∣∣∣ 1

x− 2

∣∣∣∣.

112 PREFACE


√x = 1.

Solución

Por demostrar que

∀ε > 0,∃δ > 0 : x ≥ 0 ∧ 0 < |x− 1| < δ ⇒∣∣√x− 1

∣∣ < ε.

En efecto, dado ε > 0 tenemos, racionalizando, que∣∣√x− 1∣∣ = ∣∣√x− 1

∣∣ |√x+ 1||√x+ 1|

=|x− 1||√x+ 1|

. · · · (1)

Debemos acotar el factor1

|√x+ 1|

, para esto, elegimos δ1 = 1 y

|x− 1| < 1 ⇒ 0 <√x <

√2

luego,

1 <√x+ 1 <

√2 + 1 ⇒ 1

|√x+ 1|

=1√x+ 1

< 1 · · · (2)

Reemplazando (2) en (1), ∣∣√x− 1∣∣ = |x− 1|

|√x+ 1|

< δ2 = ε

de donde δ2 = ε. Finalmente escogemos a δ = mın {1, ε}.


3√x = 1.

Solución

Por demostrar que

∀ε > 0,∃δ > 0 : x ∈ R ∧ 0 < |x− 1| < δ ⇒∣∣ 3√x− 1

∣∣ < ε.

En efecto, dado ε > 0 tenemos,

∣∣ 3√x− 1

∣∣ = ∣∣ 3√x− 1

∣∣∣∣∣ 3√x2 + 3

√x+ 1

∣∣∣∣∣∣ 3√x2 + 3

√x+ 1

∣∣∣ = |x− 1|∣∣∣ 3√x2 + 3

√x+ 1

∣∣∣ . · · · (1)

Cualquiera sea x ∈ R se cumple4 3√x2 + 3

√x+ 1 > 1 ⇒ 1

3√x2 + 3

√x+ 1

< 1, luego

|x− 1|3√x2 + 3

√x+ 1

< |x− 1| · · · (2)

De (2) y (1), δ2 = ε. Finalmente escogemos a δ = mın {1, ε}.4Si x > 0 entonces 3

√x2 > 0, y 3

√x > 0 entonces 3

√x2 + 3

√x+ 1 > 1. Similar cuando x < 0.

PREFACE 113

Ejemplo 2.17. Si f : D (f) ⊆ R → R y lımx→x0

f (x) = L, demostrar que lımx→x0

|f (x)| = |L|.Solución. Dado ε > 0, por hipótesis,

∃δ > 0 : x ∈ D (f) ∧ 0 < |x− x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε.

Vamos usar la siguiente propiedad de valor absoluto: ||a| − |b|| ≤ |a− b|.Por lo tanto, ||f(x)| − |L|| ≤ |f(x)− L| y para el número ε > 0 dado

∃δ > 0 : x ∈ D (f) ∧ 0 < |x− x0| < δ ⇒ ||f (x)| − |L|| < ε

por lo que lımx→x0

|f (x)| = |L|.

Ejercicios 2.2. Resolver cada uno de los problemas justificando sus respuestas.

1. Demostrar que

a) lımx→1

(3− x) = 2.

b) lımx→2

(2x+ 1) = 5.

c) lımx→2

(x2 − x

)= 2.

d) lımx→0

(x3 + x2 + 3

)= 3.

e) lımx→2

(x3 + x2 − 2x

)= 8.

f ) lımx→0

x cos (x) = 0.

Sugerencia. Recordar que |cos (x)| ≤ 1.

2. Demostrar que

a) lımx→x0

√x =

√x0 donde x0 ≥ 0.

b) lımx→x0

3√x = 3

√x0.

3. Demostrar que lımx→2

√x

x− 1=

√2.

4. Sea f : D (f) ⊆ R → R, demostrar que

a) lımx→x0

f (x) = L si y sólo si lımx→x0

|f (x)− L| = 0.

b) si lımx→x0

|f (x)| = L, entonces lımx→x0

f (x) = L. De un ejemplo para demostrar que la

afirmación recíproca es falsa.

c) si lımx→x0

|f (x)| = 0, entonces lımx→x0

f (x) = 0. ¿Es verdadera la afirmación recíproca?

Sugerencia. Recordar que ||a| − |b|| ≤ |a− b|.

114 PREFACE

2.3. Límites laterales.

Hemos observado, reiteradamente, que al calcular el límite de una función f en el número x0

nos interesan los valores de f (x) para x próximo de x0, pero no como se comporta f en x0, y

se deben tomar en cuenta, cuando sea posible, los valores de f (x) para valores de x tanto a la

izquierda como a la derecha de x0. En el ejemplo 2.5, página 102, encontramos que los valores

de√x para valores de x menores que cero (a la izquierda de cero) no estaban permitidos, sin

embargo al estudiar el comportamiento de√x para los x mayores que cero (a la derecha de cero),

se concluyó que lımx→0

√x = 0. Cuando la función f está definida tanto a la izquierda como a la

derecha del número x0, a lımx→x0

f (x) se le denomina límite bilátero. El objetivo de esta sección es

caracterizar la existencia del límite bilátero de una función en términos de sus límites laterales;

es decir, considerando el comportamiento de las imágenes de la función a cada lado del número

x0, mayores a x0 y menores a x0.

Para definir los límites laterales necesitamos el concepto de restricción de una función, el cual

presentamos a continuación.

Definición 2.3. (Función restringida). Sean f : D (f) ⊆ R → R una función real de variable

real y E ⊆ R un conjunto tal que E ∩D (f) = ϕ. La restricción de f al conjunto E es la función

f |E : E ∩ D (f) → R,

con regla de correspondencia

f |E (x) = f (x)

para x ∈ E ∩ D (f).

Ejemplo 2.18. Si

f (x) = |x|+ x2, x ∈ R,

determinar la restricción de f al conjunto E, cuando

1. E = R+0 .

2. E = R−0 .

3. E = ]0, 2[.

Solución

1. Para x ∈ E ∩ D (f) = R+0 tenemos que

f (x) = |x|+ x2 = x+ x2

PREFACE 115

pues |x| = x si x ≥ 0.

Luego f |R+0: R+

0 → R es definida por f (x) = x+ x2.

2. En este caso, f |R−0: R−

0 → R es definida por f (x) = −x+ x2, pues |x| = −x, x < 0.

3. Para x ∈ E ∩ D (f) = ]0, 2[ ∩ D (f) = ]0, 2[ tenemos que

f (x) = |x|+ x2 = x+ x2

pues |x| = x si x ∈ ]0, 2[.

Luego f |]0,2[ : ]0, 2[ → R es definida por f (x) = x+ x2.

Ahora definimos el límite lateral por la izquierda.

Definición 2.4. Sean f : D (f) ⊆ R → R una función real de variable real y c un número

real tales que ]c, x0[ ⊆ D (f). El límite de f (x) cuando x se aproxima a x0 por la izquierda,

representado lımx→x−

0

f (x), se define mediante la igualdad

lımx→x−

0

f (x) = lımx→x0

f |]c,x0[(x) .

Se debe observar que la definición anterior exige que la función esté definida a la izquierda de

x0.

Definición 2.5 (Límite lateral izquierda en términos de ϵ y δ). Sea f : D (f) ⊆ R → R

una función real de variable real definido en cada número del intervalo abierto ]c, x0[ ⊆ D (f). El

límite de f (x) cuando x se aproxima a x0 por la izquierda es L, denotado por

lımx→x−

0

f (x) = L,

si para cualquier ϵ > 0, sin importar que tan pequeña sea, existe un δ > 0 tal que si

x0 − δ < x < x0 ⇒ |f(x)− L| < ϵ.


lımx→1−

x2 − |x− 1| − 1

|x− 2|.

Solución

Si f (x) =x2 − |x− 1| − 1

|x− 2|, entonces

lımx→1−

f (x) = lımx→1

f |]0,1[ (x) = lımx→1

x2 − (1− x)− 1

2− x= lım

x→1

x2 − (1− x)− 1

2− x= 0;

puesto que para x ∈ ]0, 1[ tenemos |x− 1| = 1− x y |x− 2| = 2− x.

116 PREFACE

Análogamente definimos el límite lateral por la derecha.

Definición 2.6. Sean f : D (f) ⊆ R → R una función real de variable real y c un número

real tales que ]x0, c[ ⊆ D (f). El límite de f (x) cuando x se aproxima a x0 por la derecha,

representado lımx→x+

0

f (x), se define mediante la igualdad

lımx→x+

0

f (x) = lımx→x0

f |]x0,c[(x) .

Definición 2.7 (Límite lateral derecha en términos de ϵ y δ). Sea f : D (f) ⊆ R → R

una función real de variable real definido en cada número del intervalo abierto ]x0, c[ ⊆ D (f). El

límite de f (x) cuando x se aproxima a x0 por la derecha es L, denotado por

lımx→x+

0

f (x) = L,

si para cualquier ϵ > 0, sin importar que tan pequeña sea, existe un δ > 0 tal que si

x0 < x < x0 + δ ⇒ |f(x)− L| < ϵ.


lımx→1+

x2 − |x− 1| − 1

|x− 2|.

Solución

Como |x− 1| = x− 1 y |x− 2| = 2− x si x ∈ ]1, 2[, tenemos

lımx→1+

f (x) = lımx→1

f |]1,2[ (x)

= lımx→1

x2 − (x− 1)− 1

2− x= lım

x→1

x2 − x− 2

2− x= −2.

De los ejemplos anteriores concluimos que los límites laterales pueden ser distintos.

Ejemplo 2.21. Si

f (x) =

1− x si x < 1

x− 1 si 1 < x < 2

5− x2 si x ≥ 2.

Calcular los siguientes límites laterales:

1. lımx→1−

f (x) .

2. lımx→1+

f (x) .

3. lımx→2−

f (x) .

PREFACE 117

4. lımx→2+

f (x) .

Solución

1. lımx→1−

f (x) = lımx→1

f |]0,5,1[ (x) = lımx→1

(1− x) = 0.

2. lımx→1+

f (x) = lımx→1

f |]1,1,5[ (x) = lımx→1

(x− 1) = 0.

3. lımx→2−

f (x) = lımx→2

f |]1,5,2[ (x) = lımx→2

(x− 1) = 1.

4. lımx→2+

f (x) = lımx→2

f |]2,2,5[ (x) = lımx→2

(5− x2

)= 1.

Las definiciones de límites laterales nos dan un método para calcular los límites laterales, pero

no garantizan que estos existan. Esto lo podemos apreciar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.22. ¿Existen lımx→0−

sen(1x

)y lım

x→0+sen(1x

)?

Solución

La función sen(1x

)está definida ∀x ∈ R, x = 0, es decir, está definida a la izquierda o a la

derecha de cero; entonces tiene sentido hablar de los límites laterales. Por definición,

lımx→0−

sen

(1

x

)= lım

x→0sen

(1

x

),

y

lımx→0+

sen

(1

x

)= lım

x→0sen

(1

x

).

Pero, lımx→0

sen(1x

)no existe, por lo tanto no existen los límites laterales.

El siguiente teorema caracteriza la existencia del límite bilátero en términos de los límites laterales

correspondientes.

Teorema 2.2. Sea f : D (f) ⊆ R → R una función tal que ]x0 − δ, x0 + δ[− {x0} ⊆ D (f) para

algún δ > 0. El límite bilátero lımx→x0

f (x) existe y es igual a L si y sólo si los límites laterales

lımx→x+

0

f (x) y lımx→x−

0

f (x) existen y son iguales a L.


|x| = 0.

Solución

Como el dominio de la función valor absoluto es R, por el teorema 2.2, el límite bilátero lımx→0

|x|existe si y sólo si los límites laterales lım

x→0+|x| y lım

x→0−|x| existen y son iguales. Tenemos

lımx→0+

|x| = lımx→0

|x||x>0 = lımx→0

x = 0

118 PREFACE

y

lımx→0−

|x| = lımx→0

|x||x<0 = lımx→0

(−x) = 0,

lo que termina la demostración.


|x|x

no existe.

Solución

Tenemos que

lımx→0+

|x|x

= lımx→0

|x|x

∣∣∣∣x>0

= lımx→0

(1) = 1

y

lımx→0−

|x|x

= lımx→0

|x|x

∣∣∣∣x<0

= lımx→0

(−1) = −1.

Por el teorema 2.2 el límite lımx→0

|x|x

no existe.

Ejemplo 2.25. Sea [|x|] el mayor entero del número real x, definido por:

[|x|] = n ∈ Z ⇔ n ≤ x < n+ 1.

¿Existe lımx→n

[|x|] para n un entero?

Solución

Por definición,

lımx→n−

[|x|] = lımx→n

[|x|]|]n−1,n[ = lımx→n

(n− 1) = n− 1,

pues cuando x ∈ ]n− 1, n[, [|x|] = n− 1.

De un modo análogo obtenemos

lımx→n+

[|x|] = lımx→n

[|x|]|]n,n+1[ = lımx→n

(n) = n.

Por lo tanto, según el teorema 2.2, lımx→n

[|x|] no existe cuando n es un entero.

Ejemplo 2.26. Si f (x) = [|x|]− [|4− x|], hallar lımx→3−

f (x) y lımx→3+

f (x).

Solución

Si consideramos x ∈ ]2, 3[ resulta que

2 < x < 3 y 1 < 4− x < 2,

de donde

[|x|] = 2 y [|4− x|] = 1.

PREFACE 119

Por lo tanto,

lımx→3−

f (x) = lımx→3

f |]2,3[ (x) = lımx→3

(2− 1) = 3.

Análogamente, lımx→3+

f (x) = lımx→3

f |]3,4[ (x) = lımx→3

(3− 0) = 3.

Ejemplo 2.27. Determinar si existe el límite

lımx→1

|x− 1| − 3

|x− 2|.

Solución

Si f (x) =|x− 1| − 3

|x− 2|, entonces

lımx→1−

f (x) = lımx→1

f |]0,1[ (x) = lımx→1

(1− x)− 3

2− x= lım

x→1

−x− 2

2− x= −3

y

lımx→1+

f (x) = lımx→1

f |]1,2[ (x) = lımx→1

(x− 1)− 3

2− x= lım

x→1

x− 4

2− x= −3,

por lo tanto, existe el límite y lımx→1

f (x) = −3.

Ejemplo 2.28. Si

f (x) =

√x+ 4 si x > 4

8− 2x si x ≤ 4,

determinar si lımx→4

f (x) existe.

Solución

Calculamos los límites laterales

lımx→4+

f (x) = lımx→4

f |x>4 (x) = lımx→4

√x+ 4 =

√8

y

lımx→4−

f (x) = lımx→4

f |x<4 (x) = lımx→4

(8− 2x) = 0.

Por lo tanto, por el teorema 2.2 (página 117), lımx→4

f (x) no existe.

Ejemplo 2.29. Sean

f (x) =

2x− 3 si x < 1

2 si x = 1

7− 4x si x > 1

y g (x) =

6− x si x ≤ 1

5x− 4 si x > 1

.

120 PREFACE

1. Hallar los límites laterales: lımx→1−

f (x), lımx→1+

f (x), lımx→1−

g (x) y lımx→1+

g (x).

2. Hallar lımx→1

[f (x) + g (x)].

Solución

1. Es claro que lımx→1−

f (x) = −1, lımx→1+

f (x) = 3, lımx→1−

g (x) = 5 y lımx→1+

g (x) = 1.

2. Tenemos que

f (x) + g (x) =

x+ 3 si x < 1

7 si x = 1

3 + x si x > 1

,

luego lımx→1

[f (x) + g (x)] = 4.

Ejemplo 2.30. Sea

f (x) =

x si x ≤ 1

αx+ β si 1 < x < 4

−2x si x ≥ 4

.

Hallar los valores de las constantes α y β, si lımx→a

f (x) existe cualquiera que sea a ∈ R.

Solución

Como lımx→a

f (x) existe cualquiera que sea a ∈ R, en particular tenemos

lımx→1−

f (x) = lımx→1+

f (x) ⇒ α+ β = 1

y

lımx→4−

f (x) = lımx→4+

f (x) ⇒ 4α+ β = −8.

Resolviendo el sistema encontramos que α = −3 y β = 4.

Ejemplo 2.31. Hallar los valores de a y b, sabiendo que existen los límites de la función f en

x = 2 y x = 4,

f(x) =

ax− 1 si x < 2

1 si x = 2

x2 − bx si 2 < x < 4

8− ax2 si x ≥ 4.

Solución.

PREFACE 121

Por límites laterales, en x = 2,

lımx→2−

f(x) = 2a− 1 y lımx→2+

f(x) = 4− 2b⇒ 2a+ 2b = 5 · · · (1).

En x = 4,

lımx→4−

f(x) = 16− 4b y lımx→4+

f(x) = 8− 16a⇒ b− 4a = 2 · · · (2).

Resolviendo (1) y (2), a = 110 y b = 12

5 .

Ejercicios 2.3. Resolver cada uno de los siguientes problemas.

1. Si f (x) =|sen (x)|

x, hallar los límites laterales: lım

x→0−f (x) y lım

x→0+f (x).

2. Calcular, si es que existe, lımx→2

x |x− 2||x− 1| − 1

.

3. Usar límites laterales para analizar la existencia de los siguientes límites. De ser posible,

calcularlos.

a) lımx→2

x2 − |x− 2| − x− 2

|1− x| − 1.

b) lımx→1

(x− 1− [|x− 1|]).

2.4. Teoremas sobre límites.

En la sección anterior encontramos los límites de algunas funciones revisando sus gráficas. Con

frecuencia es necesario llevar a cabo cálculos analíticos con límites, y para ello se necesita de-

terminado conocimiento de algunas propiedades de los límites. Estas propiedades también son

útiles para calcular límites de funciones complicadas.

Las propiedades enunciadas en los teoremas de esta sección son geométricamente plausibles, y se

pueden demostrar empleando la definición de límite. Las demostraciones no son especialmente

difíciles, pero deseamos concentrarnos en los usos de estas propiedades, y no en sus demostraciones

formales.

Teorema 2.3. Demostrar que

1. lımx→x0

a = a siempre que a sea una constante cualesquiera.

2. lımx→x0

x = x0.

Demostración .

122 PREFACE

1. En este caso, para la función f : R → R definida por f (x) = a, debemos mostrar que

∀ε > 0,∃δ > 0 : x ∈ R ∧ 0 < |x− x0| < δ ⇒ |f (x)− a| < ε.

En efecto, dado ε > 0 tenemos,

|f (x)− a| = |a− a| = 0 < ε.

Por lo tanto, podemos tomar como δ cualquier número positivo y

0 < |x− x0| < δ ⇒ |f (x)− a| < ε.

2. Considerando la función f : R → R definida por f (x) = x, debemos demostrar que para

cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que

x ∈ R ∧ 0 < |x− x0| < δ ⇒ |f (x)− x0| < ε.

Tomemos δ = ε. Entonces

x ∈ R ∧ 0 < |x− x0| < δ = ε⇒ |f (x)− x0| = |x− x0| < ε.

El siguiente teorema será fundamental para el cálculo de limites, relaciona las propiedades alge-

braicas de los límites.

Teorema 2.4. (Cálculo de límites). Sean f : D (f) ⊆ R → R y g : D (g) ⊆ R → R dos

funciones tales que D (f) ∩ D (g) = ∅. Si lımx→x0

f (x) = L y lımx→x0

g (x) =M , entonces

1. lımx→x0

[f (x)± g (x)] = L±M ,

2. lımx→x0

[f (x) · g (x)] = L ·M , y

3. lımx→x0

[f (x)

g (x)

]=

L

Msiempre que M = 0.

Vale observar que de los teoremas 2.3 y 2.4 se tiene

Corolario 2.1. Sean fi : D (fi) ⊆ R → R , i = 1, . . . , n, funciones tales que D (f1)∩· · ·∩D (fn) =∅. Si para cada i = 1, . . . , n, lım

x→x0

fi (x) = Li entonces

lımx→x0

[a1f1 (x) + · · ·+ anfn (x)] = a1L1 + · · ·+ anLn

donde a1, . . . , an son constantes reales; además,

lımx→x0

[f1 (x) · . . . · fn (x)] = L1 · . . . · Ln.

PREFACE 123

Ejemplo 2.32. Calcular lımx→2

(3x− 5).

Solución

Por el corolario 2.1, lımx→2

(3x− 5) = 3 lımx→2

x− lımx→2

5 = 3 (2)− 5 = 1.


(2− 3x+ 4x2 − x3

).

Solución

Por el corolario 2.1,

lımx→2

(2− 3x+ 4x2 − x3

)= lım

x→2(2)− 3 lım

x→2(x) + 4 lım

x→2

(x2)− lım

x→2

(x3)

= (2)− 3 (2) + 4 (2)2 − (2)3 ,

luego lımx→2

(2− 3x+ 4x2 − x3

)= 4.

Teorema 2.5. Si lımx→x0

f (x) = L y n es cualquier entero positivo, entonces

1. lımx→x0

[f (x)]n = Ln

2. lımx→x0

n√f(x) = n

√L con la restricción de que si n es par, L ≥ 0.

Ejemplo 2.34. Calcular lımx→x0

xn, para cada n ∈ N+.

Solución

Para n = 1 el resultado está dado por el teorema 2.3. Para n ≥ 2 por el teorema anterior tenemos

lımx→x0

xn =

(lımx→x0

x

)n

= xn0 .

El método del corolario 2.1 se puede emplear para calcular el límite de cualquier función polinó-

mica o racional, como lo enuncia el siguiente corolario.

Corolario 2.2. Si x0 ∈ R es cualquiera, entonces

lımx→x0

(anxn + · · ·+ a1x+ a0) = anx

n0 + · · ·+ a1x0 + a0

y

lımx→x0

amxm + · · ·+ a1x+ a0

bnxn + · · ·+ b1x+ b0=amx

m0 + · · ·+ a1x0 + a0

bnxn0 + · · ·+ b1x0 + b0

siempre que el denominador

bnxn0 + · · ·+ b1x0 + b0 = 0

124 PREFACE


1. lımx→2

5x2 − 2x3

x3 + 1

2. lımx→2

√x2 + 5,

3. lımx→1

(2x2 − 1

x3 + 2x2 − 2

)− 12

.

Solución

1. Por el corolario 2.2,

lımx→2

5x2 − 2x3

x3 + 1=

lımx→2

(5x2 − 2x3

)lımx→2

(x3 + 1)=

4

9.

2. Por el teorema 2.5,

lımx→2

√x2 + 5 =

√lımx→2

(x2 + 5) =√9 = 3.

3. Tenemos que

lımx→1

(2x2 − 1

x3 + 2x2 − 2

)− 12

= lımx→1

(x3 + 2x2 − 2

2x2 − 1

) 12

=

lımx→1

(x3 + 2x2 − 2

)lımx→1

(2x2 − 1)

12

= 1

Observación 2.4.1. Conviene en este punto resaltar que los teoremas 2.3 y 2.4 dicen que si las

funciones f y g tienen límite en un número x0, entonces las funciones f + g y fg también tienen

límites en x0. Por otro lado, lo recíproco no es necesariamente cierto.

Ejemplo 2.36. Si f y g son definidas para x = 0 por

f (x) = 1 +1

x

y

g (x) = 2x2 − 1

x,

entonces ni lımx→0

f (x) ni lımx→0

g (x) existen. Sin embargo,

lımx→0

(f (x) + g (x)) = lımx→0

[(1 +

1

x

)+

(2x2 − 1

x

)]= lım

x→0

[1 + 2x2

]= 1.

PREFACE 125

También es esencial el requisito de que M = 0 en el teorema 2.4. Si no recordemos cuando

encontramos el límite

lımh→0

√h+ 1− 1

h

en el ejemplo 2.4. Desafortunadamente, no nos ayuda el teorema 2.4 para evaluar este límite,

porque el denominador tiende a cero y obtenemos la forma indeterminada 00 . Por lo tanto, en

casos como esos, debemos usar otros métodos. Regresaremos a estos después de describir algunas

propiedades más de los límites.

El siguiente teorema muestra que el límite es una propiedad local.

Teorema 2.6. Si existe δ0 > 0 tal que

f (x) = g (x) para todo x ∈ ]x0 − δ0, x0 + δ0[ \ {x0} ,

y lımx→x0

f (x) = L, entonces

lımx→x0

g (x) = L.


lımx→2

x2 − 4

x− 2.

Solución

Consideremos las funciones

f (x) = x+ 2 y g (x) =x2 − 4

x− 2

las que satisfacen

f (x) = g (x) ∀x ∈ R\ {2}

y

lımx→2

f (x) = lımx→2

(x+ 2) = 4.

Luego, por el teorema anterior, lımx→2

(x2 − 4

x− 2) = 4.

Ejemplo 2.38. Calcular los siguientes límites:

1. lımx→−1

x3 + 1

x2 − 1,

2. lımx→0

√1 + x−

√1− x

x.

126 PREFACE

Solución

1. Como lımx→−1

(x2 − 1

)= 0, no es posible aplicar el teorema 2.4; pero, factorizando el nume-

rador y denominador eliminamos la indeterminación del tipo 00 .

lımx→−1

x3 + 1

x2 − 1= lım

x→−1

(x+ 1)(x2 − x+ 1

)(x+ 1) (x− 1)

= lımx→−1

x2 − x+ 1

x− 1= −3

2.

2. Racionalizando el numerador eliminamos la indeterminación del tipo 00 .

lımx→0

√1 + x−

√1− x

x= lım

x→0

(√1 + x−

√1− x

x

)(√1 + x+

√1− x√

1 + x+√1− x

)= lım

x→0

2x

x(√

1 + x+√1− x

)= lım

x→0

2√1 + x+

√1− x

= 1.

Por lo tanto,

lımx→0

√1 + x−

√1− x

x= 1.

Los límites como en el ejemplo 2.38 son difíciles de probar empleando la definición de límite; en

consecuencia, esos ejemplos demuestran el poder y la utilidad de los teoremas para el cálculo de

límites.

Teorema 2.7. Demuestre las siguientes propiedades.

1. Si lımx→x0

f (x) = L, entonces lımx→x0

|f (x)| = |L|.

2. Si lımx→x0

|f (x)| = 0, entonces lımx→x0

f (x) = 0.

Demostración

1. Por el teorema 2.5, sabemos que

lımx→x0

|f (x)| = lımx→x0

√f2 (x) =

√L = |L| .

2. Por el absurdo, supongamos que lımx→x0

f (x) = L = 0, entonces por la primera parte ten-

dríamos

lımx→x0

|f (x)| = |L| > 0,

lo que contradice la hipótesis. Por lo tanto, lımx→x0

f (x) = 0.

PREFACE 127

Observación 2.4.2. Estas propiedades son plausibles desde el punto de vista geométrico. No-

temos que la segunda parte del teorema 2.7 puede no ser cierta si lımx→x0

|f (x)| = L = 0, porque

en ese caso lımx→x0

f (x) puede no existir.

Ejemplo 2.39. Consideremos la función

f (x) =|x|x

, x = 0;

entonces lımx→x0

f (x) no existe, pero

lımx→x0

|f (x)| = lımx→x0

∣∣∣∣ |x|x∣∣∣∣ = lım

x→x0

|x||x|

= lımx→x0

(1) = 1.

El siguiente teorema permite cambiar la variable cuando se calcula un límite.

Teorema 2.8. (Límite de la composición de funciones o cambio de variable). Sean

lımy→y0

f (y) = L y lımx→x0

g (x) = y0. Si x0 es un punto de acumulación de D (f ◦ g) y para algún

c ∈ R, g (x) = y0 siempre que x ∈ ]x0 − c, x0 + c[− {x0}, entonces

lımx→x0

f (g (x)) = lımy→y0

f (y) = L.


lımx→0

√1 + x− 1

3√1 + x− 1

Solución

Haciendo y6 = 1 + x obtenemos

lımx→0

√1 + x− 1

3√1 + x− 1

= lımy→1

√y6 − 1

3√y6 − 1

= lımy→1

y3 − 1

y2 − 1.

Además,

lımy→1

y3 − 1

y2 − 1= lım

y→1

(y − 1)(y2 + y + 1

)(y − 1) (y + 1)

=3

2.

Por lo tanto, lımx→0

√1 + x− 1

3√1 + x− 1

=3

2.

Es a menudo útil saber que todo límite en x0 puede considerarse como un límite en cero.

Teorema 2.9. (Traslación al origen). lımx→x0

f (x) = L si y sólo si lımh→0

f (h+ x0) = L. Es decir,

el cambio de variable h = x− x0 implica que

lımx→x0

f (x) = lımh→0

f (h+ x0) .

128 PREFACE

2.5. Límites trigonométricos

Teorema 2.10. (Teorema del Sandwich).

Sean f , g, y h tres funciones tales que para algún δ > 0, 0 < |x− x0| < δ, x ∈ D (f)∩D (g)∩D (h)

con g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) y lımx→x0

g (x) = lımx→x0

h (x) = L. Entonces lımx→x0

f (x) = L.

En otras palabras, si la función f está acotada superior e inferiormente por las funciones g y h

que tienden al límite L cuando x tiende a x0, entonces f no tiene otra alternativa que tender

también a L.


x sen

(1

x

)= 0.

Solución

Primero observemos que no se puede usar

lımx→0

x sen

(1

x

)= lım

x→0x · lım

x→0sen

(1

x

)

porque lımx→0

sen

(1

x

)no existe. Sin embargo, como

−1 ≤ sen

(1

x

)≤ 1 ⇒ 0 ≤ |x sen( 1

x)| ≤ 1

tenemos

0 ≤∣∣∣∣x sen(1

x

)∣∣∣∣ ≤ |x| .

Pero sabemos que

lımx→0

0 = lımx→0

|x| = 0.

Por el teorema del sandwich lımx→0

∣∣∣∣x sen(1

x

)∣∣∣∣ = 0,

y por el teorema 2.7, resulta lımx→0

x sen

(1

x

)= 0

El Teorema del Sandwich es muy útil para calcular los límites de determinadas funciones que no

caen en algunas de las categorías que se han considerado. Así obtenemos los límites trigonomé-

tricos.

Teorema 2.11. Se tienen los siguientes límites notables

lımx→0

sen (x) = 0,

y

lımx→0

cos (x) = 1.

PREFACE 129

Demostración

La distancia entre P y Q es menor o igual que la longitud del arco PQ, entonces

d2(P,Q) = sen2 (x) + (1− cos (x))2 ≤ x2 (2.5.1)

x

x

Q(1;0)

P(cos(x),sen(x))

X

Y

Figura 2.7: Límites notables

Como todos los términos de la ecuación anterior son no negativos, se concluye que

sen2 (x) ≤ x2

y que

(1− cos (x))2 ≤ x2.

En consecuencia, extrayendo la raíces cuadradas obtenemos para todo x ∈ R,

0 ≤ |sen (x)| ≤ |x| (2.5.2)

y

0 ≤ |1− cos (x)| ≤ |x| . (2.5.3)

El teorema del sandwich se aplica a las ecuaciones 2.5.2 y 2.5.3 siendo f(x) = 0 y h(x) = |x|,para toda x ∈ R. Como lım

x→00 = lım

x→0|x| = 0, llegamos a la conclusión de que

lımx→0

|sen (x)| = 0 y lımx→0

|1− cos (x)| = 0.

El teorema 2.7 también implica que

lımx→0

sen (x) = 0 y lımx→0

(1− cos (x)) = 0

de donde

lımx→0

cos (x) = lımx→0

[1− (1− cos (x))] = 1

130 PREFACE

Empleando los resultados del teorema 2.11 es posible demostrar el siguiente teorema.

Teorema 2.12. Para todo x0 ∈ R tenemos

1. lımx→x0

sen (x) = sen(x0)

2. lımx→x0

cos(x) = cos(x0).

3. Si además

x0 = (2k + 1)π

2, k ∈ Z ⇒ lım

x→x0

tan(x) = tan(x0).

Demostración.

Probaremos solo el primero. Por el teorema 2.9 y las igualdades del teorema 2.11,

lımx→x0

sen (x) = lımx→0

sen (x+ x0)

= lımx→0

[sen (x) cos (x0) + cos (x) sen (x0)]

= lımx→0

sen (x) cos (x0) + lımx→0

cos (x) sen (x0)

= sen (x0) .

�

Teorema 2.13. El límite notable

lımx→0

sen (x)

x= 1.

Demostración En la circunferencia trigonométrica

C : x2 + y2 = 1,

consideremos las áreas de las regiones: delaQOP , del sector circular QOP y del

aQOR.

Estas áreas cumplen la siguiente relación:

A(iQOP ) ≤ A(QOP ) ≤ A(

iQOR).

sen (x) cos (x)

2<x

2<

tan (x)

2, ∀x ∈

]−π2,π

2

[Entonces, para x ∈

]0, π2

[, multiplicamos por 2

sen(x) > 0 y obtenemos

cos (x) <x

sen (x)<

1

cos (x).

PREFACE 131

x

Q

P

X

Y R

tan(x)

cos(x)

sen(x)

O

Figura 2.8: lımx→0

sen(x)x = 1

Invirtiendo,

cos (x) <sen (x)

x<

1

cos (x).

Sustituyendo x por −x obtenemos la misma desigualdad para x ∈]−π

2 , 0[. Como

lımx→0

cos (x) = lımx→0

1

cos (x)= 1

por el teorema del sandwich obtenemos la igualdad buscada. �


sen (7x)

x.

Solución

Haciendo y = 7x tenemos que

lımx→0

sen (7x)

x= lım

x→07sen (7x)

7x= 7 lım

y→0

sen (y)

y

por lo tanto, lımx→0

sen (7x)

x= 7.

Teorema 2.14. (Más límites notables).

1. lımx→0

1− cos (x)

x2= 1

2 .

2. lımx→0

1− cos (x)

x= 0.

Demostración

132 PREFACE

1. Solo el primer caso. Multiplicando y dividiendo por 1 + cos (x) resulta

lımx→0

1− cos (x)

x2= lım

x→0

1− cos2 (x)

x2 [1 + cos (x)]= lım

x→0

(sen (x)

x

)2( 1

1 + cos (x)

)=

1

2.

Como

lımx→0

(sen (x)

x

)2

= 1

y

lımx→0

1

1 + cos (x)=

1

2,

entonces lımx→0

1− cos (x)

x2= 1

2 .

2. Ejercicio. �

Teorema 2.15. A partir del teorema 2.13 se tienen los siguientes límites:

1. lımx→0

sen(αx)

αx= 1, α = 0.

2. lımx→0

sen2(αx)

(αx)2= 1, α = 0.

3. lımx→0

tan(x)

x= 1.

4. lımx→0

arc sen(x)

x= 1.

5. lımx→0

sen(φ(x))

φ(x)= 1 siempre que lım

x→0φ(x) = 0.

Por último, enunciamos dos teoremas que serán utilizados en las secciones posteriores.

Teorema 2.16. (Límite de funciones acotadas). Si lımx→x0

f (x) = L y M ≤ L ≤ N , entonces

existe δ > 0 tal que si 0 < |x− x0| < δ y x ∈ D (f) entonces M ≤ f (x) ≤ N .

Teorema 2.17. Si lımx→x0

f (x) = L y M < L < N ⇒ ∃ δ > 0 tal que si 0 < |x− x0| < δ y

x ∈ D (f) entonces M ≤ f (x) ≤ N .


lımx→4

x2 − 16

3x2 + 4x+ 5.

Solución

Tenemos que

lımx→4

x2 − 16

3x2 + 4x+ 5=

lımx→4

(x2 − 16

)lımx→4

(3x2 + 4x+ 5)=

0

69= 0.

PREFACE 133


(1

x

)no existe.

Solución. Por el absurdo.

Supongamos que existe L ∈ R tal que lımx→0

(1

x

)= L. Entonces,

1 = lımx→0

(1) = lımx→0

(x · 1

x

)= (0) (L) = 0,

lo que es una contradicción. Por lo tanto, no existe L ∈ R tal que lımx→0

(1

x

)= L. �

Ejemplos 2.1. Calcular el valor del límite:

1. lımx→3

2x3 − 5x2 − 2x− 3

4x3 − 13x2 + 4x− 3.

2. lımx→0

√x2 + 1− 3

√x3 + 1

x2.

Solución

1. El límite tiene la forma indeterminada 00 . Pero, dividiendo al numerador y denominador

por x− 3, tenemos2 −5 −2 −3

3 6 3 3

2 1 1 0

y4 −13 4 −3

3 12 −3 3

4 −1 1 0

Luego

lımx→3

2x3 − 5x2 − 2x− 3

4x3 − 13x2 + 4x− 3= lım

x→3

(2x2 + x+ 1

)(x− 3)

(4x2 − x+ 1) (x− 3)

= lımx→3

2x2 + x+ 1

4x2 − x+ 1=

11

17.

2. El límite tiene la forma indeterminada 00 . Sumando y restando 1 en el numerador, tenemos

lımx→0

√x2 + 1− 3

√x3 + 1

x2= lım

x→0

[√x2 + 1− 1

x2+

1− 3√x3 + 1

x2

].

134 PREFACE

Pero

√x2 + 1− 1

x2=

(√x2 + 1− 1

)(√x2 + 1 + 1

)x2(√

x2 + 1 + 1)

=x2

x2(√

x2 + 1 + 1)

=1√

x2 + 1 + 1,

y

1− 3√x3 + 1

x2=

(1− 3

√x3 + 1

)(1 + 3

√x3 + 1 + 3

√(x3 + 1)2

)x2(1 + 3

√x3 + 1 + 3

√(x3 + 1)2

)=

−x3

x2(1 + 3

√x3 + 1 + 3

√(x3 + 1)2

)=

−x

1 + 3√x3 + 1 + 3

√(x3 + 1)2

.

Luego

lımx→0

√x2 + 1− 3

√x3 + 1

x2= lım

x→0

1√x2 + 1 + 1

+−x

1 + 3√x3 + 1 + 3

√(x3 + 1)2

=

1

2− 1

3=

1

6.

�


√x− 8

3√x− 4

.

Solución

El límite es de la forma indeterminada 00 . Cambio de variable x = t6.

x→ 64 ⇒ t→ 2.

Luego,

lımx→64

√x− 8

3√x− 4

= lımt→2

t3 − 8

t2 − 4= lım

t→2

(t− 2)(t2 + 2t+ 4

)(t− 2) (t+ 2)

= lımt→2

t2 + 2t+ 4

t+ 2= 3.

PREFACE 135


3√x2 + 27− 3√x2 + 4− 2

.

Solución

Racionalizando el numerador y el denominador,

3√x2 + 27− 3√x2 + 4− 2

=

(x2 + 27

)− 27

(x2 + 4)− 4·

√x2 + 4 + 2

3

√(x2 + 27)2 + 3 3

√x2 + 27 + 9

=

√x2 + 4 + 2

3

√(x2 + 27)2 + 3 3

√x2 + 27 + 9

.

Por lo tanto,

lımx→0

3√x2 + 27− 3√x2 + 4− 2

= lımx→0

√x2 + 4 + 2

3

√(x2 + 27)2 + 3 3

√x2 + 27 + 9

=4

27.

Ejemplos 2.2. Calcular los siguientes límites:

1. lımx→0

sen (5x)

sen (3x).

2. lımx→−2

tan (πx)

x+ 2.

Solución

1. En base al límite notable lımx→0

sen(x)

x= 1,

lımx→0

sen (5x)

sen (3x)= lım

x→0

5

(sen (5x)

5x

)3

(sen (3x)

3x

) =5

3lımx→0

sen (5x)

5xsen (3x)

3x

=5

3.

2. Haciendo y = x+ 2 tenemos

lımx→−2

tan (πx)

x+ 2= lım

y→0

tan (πy − 2π)

y= − lım

y→0

tan (2π − πy)

y

= π lımy→0

tan (πy)

πy= π.

Ejemplos 2.3. Calcular los siguientes limites:

1. lımx→0

√1 + x sen (x)− 1

x2.

2. lımx→0

tan (x)− sen (x)

x3.

136 PREFACE

3. lımx→π

4

sen (x)− cos (x)

π − 4x.

Solución

1. Racionalizando el numerador,√1 + x sen (x)− 1

x2=

(√1 + x sen (x)− 1

x2

)(√1 + x sen (x) + 1√1 + x sen (x) + 1

)

=x sen (x)

x2√

1 + x sen (x) + 1

=sen (x)

x√1 + x sen (x) + 1

.

Entonces

lımx→0

√1 + x sen (x)− 1

x2= lım

x→0

(sen (x)

x

)(1√

1 + x sen (x) + 1

)=

1

2.

2. Llevando a senos y cosenos

lımx→0

tan (x)− sen (x)

x3= lım

x→0

sen (x) [1− cos (x)]

x3 cos (x)

= lımx→0

(sen (x)

x

)(1− cos (x)

x2

)(1

cos (x)

)=

1

2.

3. Sea h = x− π

4entonces x = h+

π

4,

lımx→π

4

sen (x)− cos (x)

π − 4x= lım

h→0

sen(h+

π

4

)− cos

(h+

π

4

)−4h

.

Como

sen(h+

π

4

)− cos

(h+

π

4

)=

√2

2[sen (h) + cos (h)− cos (h) + sen (h)]

=√2 sen (h)

obtenemos que

lımx→π

4

sen (x)− cos (x)

π − 4x= lım

h→0

√2 sen (h)

−4h= −

√2

4.

PREFACE 137

Ejemplo 2.47. Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función cúbica

f (x) = x3 en el punto P (0, 0), y encontrar una ecuación de la recta tangente.

Solución

La recta tangente a la gráfica de f en P0 = (0, 0) tiene ecuación

y = mx,

donde

m = lımx→0

f (x)− f (0)

x= lım

x→0

x3

x= 0.

Por tanto, la tangente es

T : y = 0.

Ejemplo 2.48. Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función cos (x) en

el punto P(π3 ,

12

), y encontrar una ecuación de la recta tangente.

Solución

La recta tangente a la gráfica de la función coseno en P(π3 ,

12

)tiene ecuación

y = m(x− π

3

)+

1

2,

donde

m = lımx→π

3

cos (x)− cos(π3

)x− π

3

= lımx→π

3

cos (x)− 12

x− π3

= −√3

2.

Por tanto,

T : y = −√3

2

(x− π

3

)+

1

2.

Ejemplo 2.49. Si f : R → R es una función tal que lımx→0

f (x) = f (0) y ∀x1, x2 ∈ R :

f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2), demostrar que cualquiera sea a ∈ R, lımx→a

f (x) = f (a).

Solución

Dado a ∈ R cualquiera, tenemos que

lımx→a

f (x) = lımy→0

f (y + a) = lımy→0

[f (y) + f (a)] = f (0) + f (a) .

Pero

f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0)

por lo que

f (0) = 0

y así lımx→a

f (x) = f (a) .

138 PREFACE

Ejercicios 2.4.

1. Calcular lımx→9

g (x) donde

g (x) =

2√x− 6

x− 9si x = 9

π si x = 9

2. Calcular

a) lımx→−1

x2 − 1

x2 + 3x+ 2.

b) lımx→2

x2 − 2x

x2 − 4x+ 4.

c) lımx→5

x2 − 5x+ 10

x2 − 25.

d) lımx→1

x3 − 3x+ 2

x4 − 4x+ 3.

e) lımx→a

x2 − (a+ 1)x+ a

x3 − a3.

3. Calcular

a) lımx→1

3√x− 1

4√x− 1

.

b) lımx→64

√x− 8

3√x− 4

.

c) lımx→1

3√x2 − 2 3

√x+ 1

(x− 1)2.

d) lımx→1

[1

x− 1− 2

x2 − 1

].

e) lımx→2

√6− x− 2

√x2 + 2x− 6√

3− x− 1.

4. Calcular

a) lımx→0

3√x+ a− 3

√a

x.

b) lımx→3

√x2 − 2x+ 6−

√x2 + 2x− 6

x2 − 4x+ 3.

5. Calcular

a) lımx→a

sen (x)− sen (a)

x− a.

PREFACE 139

b) lımx→a

cos (x)− cos (a)

x− a.

c) lımx→π

4

sen (x)− cos (x)

1− tan (x).

d) lımx→0

x sen

(1

x

).

e) lımx→1

(1− x) tan(πx

2

).

f ) lımx→0

cot (2x) cot(π2− x).

g) lımx→π

1− sen(x2

)π − x

.

h) lımx→π

3

1− 2 cos (x)

π − 3x.

6. Si f : R → R es una función tal que lımx→0

f (x) = f (0) y lımx→0

f (x)

x= 5, calcular f (0).

7. Si f : R → R es una función tal que ∀x ∈ ]−1, 1[ : |f (x)| < M , y lımx→0

g (x) = 0.

a) Demostrar que lımx→0

f (x) g (x) = 0.

b) Usando la primera parte, probar que

lımx→0

x4 sen

(1

x

)= 0,

y

lımx→0

3√x sen

(13√x

)= 0.

8. Sea R el rectángulo que une los puntos medios del cuadrilátero Q cuyos vértices son (±x, 0)y (0,±1). Calcular:

a) lımx→0

perímetro de Rperímetro de Q

.

b) lımx→0

área de Rárea de Q

.

9. Calcular los límites de las siguientes expresiones racionales:

a) lımx→0

x2 − 2

3x2 − 5x+ 1.

b) lımx→3

x2 + 3

x2 − 3.

c) lımx→2

(1

2− x− 3

8− x3

).

140 PREFACE

d) lımx→1

x2 − 2x+ 1

x3 − x.

e) lımx→1

xm − 1

xn − 1, m,n ∈ N.

f ) lımx→a

x2 − (a+ 1)x+ a

x3 − a3.

g) lımx→1

√x+

√x− 1− 1√

x2 − 1.

h) lımx→0

√x2 + 4− 2√x2 + 9− 3

.

i) lımx→0

√2 + x−

√2− x

3√2 + x− 3

√2− x

.

10. Calcular

a) lımx→0

1− cos (2x)

x2.

b) lımx→0

sen (7x)

tan (3x).

c) lımx→0

cos (αx)− cos (βx)

x2.

d) lımx→α

tan(πx2α

)sen

(x− α

2

).

e) lımx→π

2

√2− 2 cos (x)

π − 4x.

11. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando debidamente su

respuesta.

a) Si lımx→x0

f (x) g (x) = L y lımx→x0

g(x) = M con L ∈ R y M ∈ R − {0}, entonces existe

lımx→x0

f(x).

b) Si lımx→x0

f (x) g (x) = L con L ∈ R, entonces existen lımx→x0

f(x) y lımx→x0

g(x).

c) Si f(x) =

x2 + 3ax− 4a2

x− asi x = a

2a si x = a

, entonces lımx→a

f(x) = 2a.

12. Calcular los siguientes límites.

a) lımx→0

sen 2x+ 3x

2x+ sen 3x.

b) lımx→π

2

1− senx

(π2 − x)2.

PREFACE 141

c) lımx→a

cosx− cos a

x− a.

2.6. Límites infinitos. Asíntotas verticales.

Sea la gráfica de la función f (x) =1

x2, x = 05.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10y=1/x2

Eje x

Eje

y

Figura 2.9: f(x) = 1x2

Investiguemos los valores de la función f cuando x se aproxima a 0. Haciendo que x se aproxime

a cero por la derecha tenemos los valores de f (x) dados en la siguiente tabla.

x 1 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 · · · 10−100

f (x) 1 102 104 106 108 1010 · · · 10200

De esta tabla vemos intuitivamente que a medida que x se acerca cada vez más a 0 a través de

valores mayores que 0, f (x) crece sin cota. En otras palabras podemos hacer f (x) tan grande

como queramos tomando a x suficientemente cercana a 0. Escribimos lımx→0+

(1

x2

)= +∞. Si

hacemos que x se aproxime a 0 por la izquierda, tenemos los valores de f (x) dados en la tabla

siguiente:

x −1 −10−1 −10−2 −10−3 −10−4 −10−5 · · · −10−100

f (x) 1 102 104 106 108 1010 · · · 10200

De la tabla, a medida que x se acerca cada vez más a 0 a través de valores menores que 0, f (x)

crece sin límite; así escribimos lımx→0−

(1

x2

)= +∞. En general, escribimos lım

x→0

(1

x2

)= +∞

5A la recta vertical x = 0 se denomina asíntota vertical de la gráfica de f

142 PREFACE

para indicar que los valores de la función f crecen sin cota, comportamiento que se observa en

la gráfica de f .

Definición 2.8. Sea f : D (f) ⊆ R → R. El límite de f (x) cuando x tiende a x0 es +∞, y

se escribe lımx→x0

f (x) = +∞, si los valores de f (x) se pueden hacer tan grandes como se quiera

tomando a x suficientemente cercanos a x0 (x = x0).

Simbólicamente, lımx→x0

f (x) = +∞ si

∀M > 0,∃δ > 0 : x ∈ D (f) ∧ 0 < |x− x0| < δ ⇒ f (x) > M.

Cuando la definición se cumple, el límite no existe, pero el simbolismo indica el comportamiento

de los valores de la función f (x) a medida que x se aproxima cada vez más a x0.


(1

x2

)= +∞.

Solución

Debemos demostrar usando la definición que para cualquier M > 0, existe un δ > 0 tal que

x ∈ R−{0} ∧ 0 < |x| < δ ⇒ 1

x2> M.

En efecto, dado M > 0, si 0 < |x| < δ se tiene que

0 < |x|2 < δ2 ⇒ 1

x2=

1

|x|2>

1

δ2.

Si δ =1√M

, siempre que 0 < |x| < δ se cumplirá1

x2>

1(1√M

)2 =M .

De manera análoga podemos definir el comportamiento de una función cuyos valores decrecen

sin cota.

Definición 2.9. Sea f : D (f) ⊆ R → R. El límite de f (x) cuando x tiende a x0 es −∞, y

se escribe lımx→x0

f (x) = −∞, si los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes y

negativos, tomando x suficientemente cerca a x0 (x = x0).

Simbólicamente, lımx→x0

f (x) = −∞ si

∀M < 0,∃δ > 0 : x ∈ D (f) ∧ 0 < |x− x0| < δ ⇒ f (x) < M.

Ejemplo 2.51. Como ejemplo se tiene

lımx→0

(− 1

x2

)= −∞,

tal como lo sugiere la figura 2.9. Si se conoce la gráfica de f(x) =1

x2entonces la gráfica de

−f(x) = − 1

x2se refleja respecto al eje x, por lo tanto se cumple lım

x→0

(− 1

x2

)= −∞.

PREFACE 143

Podemos considerar límites laterales que sean infinitos.

Ejemplo 2.52. Sea la función f (x) =1

x.

−5 0 5−15

−10

−5

0

5

10

15Gráfica de f(x)=1/x

Eje x

Eje

y

Figura 2.10: f(x) = 1x

Entonces

lımx→0−

f (x) = −∞,

esto es, a medida que x se aproxima a cero con valores menores que cero, los valores f (x) de la

función decrecen sin límite. Similar,

lımx→0+

f (x) = +∞

lo que quiere decir que a medida que x se aproxima a cero tomando valores mayores que cero,

los valores f (x) de la función crecen sin límite positivamente.

Para referirnos al límite bilátero de esta función en 0, usamos el concepto de infinito sin signo,

el cual denotamos ∞. Tenemos la siguiente definición.

Definición 2.10. lımx→x0

f (x) = ∞ si lımx→x0

|f (x)| = +∞.

Antes de resolver algunos ejemplos, necesitamos dos teoremas.

Teorema 2.18. Si n es cualquier entero positivo, entonces

1. lımx→0

1

xn= ∞,

2. lımx→0+

1

xn= +∞, y

144 PREFACE

3. lımx→0−

1

xn=

{+∞ si n es par

−∞ si n es impar.

Teorema 2.19. Sean f y g dos funciones tales que lımx→x0

f(x) = +∞ y lımx→x0

g(x) = +∞ entonces

lımx→x0

[f(x) + g(x)] = +∞

El teorema también se cumple si +∞ es cambiado por −∞, o cuando x → x0 se sustituye por

aproximación lateral x→ x+0 o x→ x−0 .

Observaciones 2.6.1. Observemos que si:

1. lımx→x0

f(x) = +∞ y lımx→x0

g(x) = −∞ entonces lımx→x0

[f(x) + g(x)] es la forma indeterminada

∞−∞.

2. lımx→x0

f(x) = 0 y lımx→x0

g(x) = ±∞ entonces lımx→x0

[f(x).g(x)] es la forma indeterminada 0.∞.

Teorema 2.20. Sean f y g dos funciones tales que lımx→x0

f (x) = L = 0 y lımx→x0

g (x) = 0. Entonces:

1. lımx→x0

f (x)

g (x)=

+∞ si L > 0 y lımx→x0

g (x) = 0+

−∞ si L > 0 y lımx→x0

g (x) = 0−,

2. lımx→x0

f (x)

g (x)=

−∞ si L < 0 y lımx→x0

g (x) = 0+

+∞ si L < 0 y lımx→x0

g (x) = 0−.

El teorema es válido también si x→ x0 se sustituye por x→ x+0 o x→ x−0 .


2

x− 3.

Solución

Sabemos que lımx→3

(2) = 2. Además

lımx→3+

(x− 3) = 0+ y lımx→3−

(x− 3) = 0−.

Por lo tanto,

lımx→3+

2

x− 3= +∞ y lım

x→3−

2

x− 3= −∞,

de donde lımx→3

2

x− 3= ∞.

Definición 2.11. (Asíntota vertical). Sea f : D (f) ⊆ R → R. La recta L : x = x0 es una

asíntota vertical de la gráfica de f si

lımx→x0

f (x) = ∞.

PREFACE 145

Ejemplo 2.54. Del ejemplo 2.53, la recta L : x = 3 es una asíntota vertical de la gráfica de la

función f definida por f (x) =2

x− 3.

Ejemplos 2.4. No todo lo que anula el denominador de una función racional es asíntota vertical.

Presentamos dos casos de muchos otros.

1. La recta L : x = 0, no es asíntota vertical de la gráfica de f (x) =sen (x)

x. En efecto,

sabemos que lımx→0

sen (x)

x= 1.

2. Si f(x) =x2 − 4

x− 2entonces x = 2 no es asíntota vertical de la gráfica de f , pues lım

x→2f(x) = 4

Ejemplo 2.55. Definir el siguiente límite lateral infinito lımx→x+

0

f (x) = +∞.

Solución

Sea f : D (f) ⊆ R → R tal que para algún a ∈ R se tiene que ]x0, a[ ⊆ D (f). El límite de f (x)

cuando x tiende a x0 por la derecha es +∞, si los valores de f (x) se pueden hacer tan grandes

como se quiera tomando a x suficientemente cercano a x0 pero a la derecha de x0 (x > x0).

En símbolos, lımx→x+

0

f (x) = +∞ si

∀M > 0,∃δ > 0 : x ∈ D (f) ∧ x0 < x < δ + x0 ⇒ f (x) > M.

Ejemplo 2.56. Definir el siguiente límite lateral infinito lımx→x−

0

f (x) = +∞.

Solución

Sea f : D (f) ⊆ R → R tal que para algún a ∈ R se tiene que ]a, x0[ ⊆ D (f). El límite de f (x)

cuando x tiende a x0 por la izquierda es +∞, si los valores de f (x) se pueden hacer tan grandes

como se quiera tomando a x suficientemente cercano a x0 pero a la izquierda de x0 (x < x0).

En símbolos, lımx→x−

0

f (x) = +∞ si

∀M > 0,∃δ > 0 : x ∈ D (f) ∧ x0 − δ < x < x0 ⇒ f (x) > M.


1. lımx→3−

x− 4

(x− 3)3.

2. lımx→2+

√x2 − 4

x− 2.

3. lımx→1

[x4

x3 − 1− x3

x2 − 1

].

146 PREFACE

Solución

1. Tenemos que lımx→3−

(x− 4) = −1 y lımx→3−

(x− 3)3 = 0−, luego lımx→3−

x− 4

(x− 3)3= +∞.

2. El límite tiene la forma indeterminada 00 , pero

lımx→2+

√x2 − 4

x− 2= lım

x→2+

√x2 − 4

x− 2= lım

x→2+

√(x− 2) (x+ 2)

x− 2= lım

x→2+

√x+ 2√x− 2

.

Como lımx→2+

√x+ 2 = 2 y lım

x→2+

√x− 2 = 0+, resulta que lım

x→2+

√x2 − 4

x− 2= +∞.

3. Cuando x→ 1+ el límite tiene la forma indeterminada ∞−∞. Pero

lımx→1+

[x4

x3 − 1− x3

x2 − 1

]= lım

x→1+

[x4

x3 − 1− x3

x2 − 1

]

= − lımx→1+

x3

(x− 1) (x+ 1) (x2 + x+ 1).

Además lımx→1+

x3 = 1 y lımx→1+

(x− 1) (x+ 1)(x2 + x+ 1

)= 0+, por lo tanto

lımx→1+

[x4

x3 − 1− x3

x2 − 1

]= +∞.

Los casos en que x→ 1− y x→ 1, se dejan como ejercicios.


1. lımx→2

(1

x− 2− 3

x2 − 4

).

2. lımx→0

(1− cos (x))2

tan3(x)− sen3(x).

Solución

1. Tenemos

lımx→2

(1

x− 2− 3

x2 − 4

)= lım

x→2

(x− 1

x2 − 4

)=

1

0= ∞.

2. Simplificando previamente el denominador

tan3(x)− sen3(x) =sen3(x)

cos3(x)

(1− cos3 (x)

)=

(tan3(x)

)[1− cos (x)]

[1 + cos (x) + cos2(x)

].

PREFACE 147

Luego

lımx→0

(1− cos (x))2

tan3(x)− sen3(x)= lım

x→0

(1− cos (x))2

(tan3(x)) [1− cos (x)] [1 + cos (x) + cos2 x].

Dividiendo el numerador y el denominador por x3, se obtiene

=

(lımx→0

1x

)(lımx→0

1−cos(x)x2

)(lımx→0

tan3(x)x3

) [1 + lım

x→0cos (x) + lım

x→0cos2(x)

] = ∞

Ejemplo 2.57. Sea la función f(x) = arctan( 1x).

1. Calcule lımx→0+

f(x).


Solución.

1. Por límites laterales y por límite de la composición de funciones:

lımx→0+

arctan

(1

x

)=π

2y lım

x→0−arctan

(1

x

)= −π

2.

Por lo tanto, no existe

lımx→0+

arctan

(1

x

).

2. Un esbozo de la gráfica de f , a partir de la gráfica de la función arctan(x),

X

Y

π/2

−π/2

Figura 2.11: f(x) = arctan( 1x)

148 PREFACE

Ejemplo 2.58. Dada la función f definida por

f (x) =x

x2 + x− 2.

Encontrar las asíntotas verticales.

Solución

Factorizando el denominador

f (x) =x

(x− 1) (x+ 2).

En x = 1

lımx→1+

f (x) = +∞ y lımx→1−

f (x) = −∞,

y en x = −2

lımx→−2+

f (x) = +∞ y lımx→−2−

f (x) = −∞.

Por lo tanto, las asíntotas verticales son las rectas: L1 : x = 1 y L2 : x = −2.

Ejercicios 2.5. Esboce la gráfica de la función f y calcule

lımx→c

f(x),

si:

1. f(x) = arctan(− 1x), c = 0.

2. f(x) = arctan( 11−x), c = 1.

Ejemplo 2.59. Encontrar las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la ecuación

xy2 − 2y2 − 4x− 8 = 0 · · · (1)

y bosquejar la gráfica.

Solución

Despejando de la ecuación la variable y obtenemos

y = ±√

x

x− 2.

Así, la ecuación (1) define dos funciones: f1 y f2, dadas por

f1 (x) =

√x

x− 2

PREFACE 149

y

f2 (x) = −√

x

x− 2.

La gráfica de la ecuación (1) está compuesta por las gráficas de las dos funciones f1 y f2.

Observamos que

D (f1) = D (f2) = ]−∞, 0] ∪ ]2,+∞[ .

Asíntotas de f1. De los siguientes cálculos

lımx→+∞

f1 (x) = lımx→−∞

f1 (x) = 2 y lımx→2+

f1 (x) = +∞;

así, la recta L1 : y = 2 es una asíntota horizontal (derecha e izquierda) y la recta L2 : x = 2 es

una asíntota vertical.

Se muestra un bosquejo de la gráfica de f1(x).

X

Y

y=2

x=2

f 1

Figura 2.12: f1(x) = 2√

xx−2

Por otro lado,

lımx→+∞

f2 (x) = lımx→−∞

f2 (x) = −2 y lımx→2+

f1 (x) = −∞;

de donde, la recta L3 : y = −2 es una asíntota horizontal (derecha e izquierda) y la recta

L2 : x = 2 es una asíntota vertical.

La gráfica de f2 se obtiene a partir de la gráfica de f1 mostrada, reflejando respecto al eje x,

incluyendo la asíntota horizontal y = −2.

Ejercicios 2.6. Explicar detalladamente la solución de cada uno de los siguientes problemas.

1. Definir los siguientes límites laterales infinitos.

a) lımx→x+

0

f (x) = −∞

b) lımx→x−

0

f (x) = −∞.

150 PREFACE

2. Calcular los siguientes límites:

a) lımx→0

√x2 + 3

x.

b) lımx→3−

[|x|]− x

3− x.

c) lımx→3−

[|x|]− x

3− x.

d) lımx→1−

[∣∣x2∣∣]− 1

x2 − 1.

e) lımx→0

(1

x− 1

x2

).

f ) lımx→2

x3 − 2x2 − 4x+ 8

|x− 2|.

3. Si lımx→1

(f(x)

1− 3√x

)= 5 y lım

x→1

(g(x)

1−√x

)= −2. Calcular lım

x→1

(f(x)

g(x)

).

4. Hallar las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la ecuación y bosquejar la

gráfica.

a) xy2 − 3y2 − 4x = 8.

b) 3xy − 2x− 4y = 0.

c) 2xy2 + 4y2 − 3x = 0.

d) x2y2 − x2 + 4y2.

e) 2xy + 4x− 3y + 6 = 0.

f ) xy2 + 3y2 − 9x = 0.

5. Hallar las asíntotas horizontales y verticales de la curva y bosquejar la gráfica:

a) y =x

x+ 4.

b) y =x2 + 4

x2 − 1.

c) y =x3

x2 + 3x− 10.

d) y =x3 + 1

x3 + x

e) y =x

x2 − 4x+ 3.

f ) y =2x√

x2 − 6x− 7.

PREFACE 151

2.7. Límites al infinito. Asíntotas horizontales y oblicuas.

Hasta ahora hemos descrito límites sólo en puntos finitos. Sin embargo, también es posible tener

en cuenta límites de funciones en el infinito, esto es, cuando la variable independiente se vuelve

no acotada. Investiguemos el comportamiento de la función f definida por f (x) =1

xcuando

x toma valores muy grandes (aumenta sin cota). Algunos de estos valores se muestran en la

siguiente tabla.

x 10 102 103 104 105 · · · 10100

f (x) 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 · · · 10−100

Gráfica de f ,

−10 −5 0 5 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10f(x)=1/x

Eje x

Eje

y

Figura 2.13: f(x) = 1x

Se observa de la tabla y de la gráfica de f que a medida que x crece arbitrariamente, las imágenes

f (x) se acercan más y más a 0.

Cuanto más crece x sin cota, su imagen f (x) se encuentra “más cerca” al eje X. Este hecho lo

referimos diciendo que si x tiende al infinito positivo, entonces la función f (x) =1

xtiende a

cero, y lo escribimos como

lımx→+∞

(1

x

)= 0.

Este comportamiento se puede visualizar en la figura en donde se muestra la gráfica de la función

f . En general tenemos la siguiente definición.

Definición 2.12. Sea f : D (f) ⊆ R → R una función tal que ]x0,+∞[ ⊆ D (f), para algún

x0 ∈ R. Decimos que el límite de f (x) cuando x tiende a +∞ es L, representado lımx→+∞

f (x) = L,

152 PREFACE

si los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L, tomando valores de x

suficientemente grandes.

En símbolos, lımx→+∞

f (x) = L si

∀ε > 0,∃N > 0 : x ∈ D (f) ∧ x > N ⇒ |f (x)− L| < ε.

Ejemplo 2.60. Demostrar que lımx→+∞

(1

x

)= 0.

Solución

Debemos demostrar que para cualquier ε > 0, existe un N > 0 tal que

x ∈ R−{0} ∧ x > N ⇒∣∣∣∣1x∣∣∣∣ < ε.

En efecto, dado ε > 0, si x > N > 0 se tiene que

0 <1

x<

1

N⇒∣∣∣∣1x∣∣∣∣ < 1

N.

Por lo tanto, si N =1

ε, siempre que x > N se cumplirá

∣∣∣∣1x∣∣∣∣ < 1

1ε

= ε.

Considerando nuevamente la figura anterior, vemos que para valores negativos numéricamente

grandes de x, los valores de f (x) se acercan a 0. Haciendo que x decrezca sin cota a través de

valores negativos, podemos hacer que el valor de f (x) se acerque a 0 tanto como se quiera. Esto

se expresa escribiendo

lımx→−∞

(1

x

)= 0.

La definición es la siguiente.

Definición 2.13. Sea f : D (f) ⊆ R → R una función tal que ]−∞, x0[ ⊆ D (f), para algún

x0 ∈ R. Decimos que el límite de f (x) cuando x tiende a +∞ es L, representado lımx→−∞

f (x) = L,

si los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L, tomando valores negativos

de x suficientemente grandes.

En símbolos, lımx→−∞

f (x) = L si

∀ε > 0,∃N < 0 : x ∈ D (f) ∧ x < N ⇒ |f (x)− L| < ε.

Teorema 2.21. Sean f y g dos funciones tales que

lımx→+∞

f (x) = L y lımx→+∞

g (x) =M,

entonces

PREFACE 153

1. lımx→+∞

[f (x)± g (x)] = L±M.

2. lımx→+∞

[f (x) · g (x)] = L ·M.

3. lımx→+∞

[f (x)

g (x)

]=

L

Msi M = 0.

4. Si n es cualquier entero positivo, entonces

a) lımx→+∞

[f (x)]n = Ln.

b) lımx→+∞

n√f(x) = n

√L con la restricción de que si n es par, L ≥ 0

Ejemplo 2.61. Calcular lımx→+∞

(2x3 − 3x+ 1

).

Solución

Tenemos

lımx→+∞

(2x3 − 3x+ 1

)= lım

x→+∞

[x3(2− 3

x2+

1

x3

)]=

(lım

x→+∞x3)[

lımx→+∞

(2− 3

x2+

1

x3

)]= (+∞) . (2− 0 + 0)

= +∞.

Por lo tanto, lımx→+∞

(2x3 − 3x+ 1

)= +∞.


lımx→+∞

xn, n ∈ Z+.

Solución

Si n = 1,

lımx→+∞

x = +∞,

como se puede verificar fácilmente.

Cuando n = 2, procedemos de la siguiente manera

lımx→+∞

x2 =

(lım

x→+∞x

).

(lım

x→+∞x

)= (+∞) . (+∞) = +∞.

En base lo anterior se tiene que

lımx→+∞

xn = +∞,

para todo entero n > 2.

154 PREFACE

Teorema 2.22. Sean f , g, y h tres funciones tales que para algún c ∈ R, con x > c,

f (x) ≤ g (x) ≤ h (x)

lımx→+∞

f (x) = lımx→+∞

h (x) = L,

entonces lımx→+∞

g (x) = L.

Observación 2.7.1. Estos teoremas no se alteran cuando se reemplaza x→ +∞ por x→ −∞.

Ejemplo 2.63. Las funciones f(x) = −e−x, g(x) = e−x sen(1/x) y h(x) = e−x cumplen con la

hipótesis del teorema 2.22, es decir,

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) y lımx→+∞

f(x) = lımx→+∞

h(x) = 0

En consecuencia

lımx→+∞

g(x) = 0

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10Gráfica de f(x)=e−xsin(1/x)

Eje x

Eje

y

f

g

h

f

g

h

Figura 2.14: f(x) = e−x sen(1/x)

Teorema 2.23. Si n es cualquier entero positivo, entonces

1. lımx→+∞

1

xn= 0+, y

PREFACE 155

2. lımx→−∞

1

xn=

{0+ si n es par

0− si n es impar.


1. lımx→+∞

2x2 − x+ 5

x3 + 1.

2. lımx→+∞

3x+ 4√x2 − 5

.

3. lımx→−∞

3x+ 4√x2 − 5

.

Solución

1. Dividiendo el numerador y el denominador por x3 tenemos

lımx→+∞

2x2 − x+ 5

x3 + 1= lım

x→+∞

2x2 − x+ 5

x3

x3 + 1

x3

= lımx→+∞

2

x− 1

x2+

5

x3

1 +1

x3

= 0.

2. Dividiendo el numerador y el denominador por x > 0

lımx→+∞

3x+ 4√x2 − 5

= lımx→+∞

3x+ 4

x√x2 − 5

x

= lımx→+∞

3x+ 4

x√x2 − 5√x2

pues√x2 = |x| = x, entonces

lımx→+∞

3x+ 4√x2 − 5

= lımx→+∞

3 +4

x√x2 − 5

x2

= lımx→+∞

3 +4

x√1− 5

x2

= 3.

3. Dividiendo el numerador y el denominador por x < 0

lımx→−∞

3x+ 4√x2 − 5

= lımx→−∞

3x+ 4

x√x2 − 5

x

= lımx→−∞

3x+ 4

x√x2 − 5

−√x2

pues√x2 = |x| = −x. Luego

lımx→−∞

3x+ 4√x2 − 5

= − lımx→−∞

3 +4

x√x2 − 5

x2

= − lımx→−∞

3 +4

x√1− 5

x2

= −3.

156 PREFACE

Teorema 2.24. Si m y n son enteros positivos, entonces

lımx→+∞

amxm + am−1x

m−1 + · · ·+ a0bnxn + bn−1xn−1 + · · ·+ b0

=

0 si m < n,ambn

si m = n,

+∞ si m > n yambn

> 0,

−∞ si m > n yambn

< 0.

.

Demostración

Ejercicio para el estudiante.

Definición 2.14. (Asíntota horizontal). La recta L : y = L se llama asíntota horizontal

derecha de la gráfica de f si

lımx→+∞

f (x) = L,

y si

lımx→−∞

f (x) = L

se denomina asíntota horizontal izquierda.

Ejemplo 2.64. Hallar las asíntotas horizontales, si existen, de la gráfica de la función

f (x) =x2 − 1

x2 + 1.

Solución

En base al teorema 2.24, cuando

m = n = 2 ⇒ lımx→∞

f(x) = 1

La justificación es la siguiente:

lımx→+∞


x2 − 1

x2 + 1= lım

x→+∞

x2 − 1

x2

x2 + 1

x2

= lımx→+∞

1− 1

x2

1 +1

x2

= 1

y

lımx→−∞

f (x) = lımx→−∞

x2 − 1

x2 + 1= lım

x→−∞

1− 1

x2

1 +1

x2

= 1.

Por lo tanto, la recta L : y = 1 es asíntota horizontal derecha e izquierda de la gráfica de la

función f .

Ejemplos 2.8. Esboce gráficamente las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:

PREFACE 157

1. f(x) = arctan(x).

2. h(x) = 2 +sen(x)

x.

3. g(x) = 3x2e−x.

4. R(x) =1− x4

1 + x4.

La justificación se deja como ejercicio.

Solución. Las gráficas de las 4 funciones y sus asíntotas horizontales.

−10 −5 0 5 10

−1

0

1

f(x)=arcotan(x)

−10 −5 0 5 101

1.5

2

2.5

3

3.5h(x)=2+sen(x)/x

−10 −5 0 5 100

5

10g(x)=3x2ex

−10 −5 0 5 10

−1

0

1

R(x)=(1−x4)/(1+x4)

Figura 2.15: Asíntota horizontal

La gráfica de la función f(x) = arctan(x) tiene como asíntota horizontal derecha a la recta

y = π2 y como asíntota horizontal izquierda a la recta y = −π

2 . Esto proviene de la definición de

su inversa f−1(x) = tan(x), −π2 < x < π

2 .

La gráfica de la función h(x) = 2 +sen(x)

xtiene como asíntota horizontal la recta y = 2.

La gráfica de la función g(x) = 3x2e−x tiene como asíntota horizontal derecha al eje x.

La gráfica de la función R(x) =1− x4

1 + x4tiene como asíntota horizontal la recta y = −1.

Ejemplo 2.65. Hallar las asíntotas horizontales, si existen, de la gráfica de la función

f(x) =ex − e−x

ex + e−x.

Solución.

158 PREFACE

Multiplicando el numerador y el denominador de f por ex

f(x) =e2x − 1

e2x + 1

y como lımx→−∞

e2x = 0, encontramos que

lımx→−∞

e2x − 1

e2x + 1= −1.

Ahora, multiplicamos y dividimos f por e−x

f(x) =−e−2x + 1

e−2x + 1

y como lımx→+∞

e−2x = 0,

lımx→+∞

1− e−2x

e−2x + 1= 1

Por lo tanto, las rectas L1 : y = 1 y L2 : y = −1 son asíntotas horizontales de la gráfica de f . A

la función f también se le conoce como tangente hiperbólico.

−5 0 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Gráfica de f(x)=tanh(x}

Eje x

Eje

y

Figura 2.16: f(x) = ex−e−x

ex−e−x

Definición 2.15. (Asíntota). Sea f : D (f) ⊆ R → R una función. La recta L es una asíntota

de la gráfica de f si la distancia entre la gráfica de f y la recta L se hace cada más pequeña

cuando crece x, es decir,

lımx→∞

[G(f)− L] = 0.

Definición 2.16. (Asíntota oblicua). Sea f : D (f) ⊆ R → R una función.

1. La recta Ld : y = mdx+ bd es una asíntota oblicua derecha de la gráfica de la función f si,

y sólo si

md = lımx→+∞

f (x)

xy bd = lım

x→+∞[f (x)−mdx] .

PREFACE 159

2. La recta Li : y = mix+ bi es una asíntota oblicua derecha de la gráfica de la función f si,

y sólo si

mi = lımx→−∞

f (x)

xy bi = lım

x→−∞[f (x)−mix] .

Ejemplo 2.66. Hallar las asíntotas de la función

f (x) =x2√x2 − 1

.

Solución

Asíntotas Verticales.

Cuando x = 1 se tiene

lımx→1+

f (x) = lımx→1+

x2√x2 − 1

= +∞

Cuando x = −1 se tiene

lımx→−1−

f (x) = lımx→−1−

x2√x2 − 1

= +∞

Entonces las rectas x = 1 y x = −1 son asíntotas verticales.

Asíntota Oblicua Derecha

Cuando x→ +∞ se tiene

md = lımx→+∞

f (x)

x= lım

x→+∞

x2

x√x2 − 1

= 1

y

bd = lımx→+∞

[f (x)− x] = lımx→+∞

[x2√x2 − 1

− x

]= 0

Por lo tanto y = x es una asíntota oblicua derecha.

Asíntota Oblicua Izquierda

mi = lımx→−∞

f (x)

x= lım

x→−∞

x2

x√x2 − 1

= −1

y

bi = lımx→−∞

[f (x)− x] = lımx→−∞

[x2√x2 − 1

− x

]= 0.

En consecuencia y = −x es una asíntota oblicua izquierda. Es claro que la gráfica de f no tiene

asíntotas horizontales. La gráfica de f es similar a la gráfica del ejemplo 1.10 (página 18).

160 PREFACE

Ejemplo 2.67. Definir lımx→+∞

f (x) = +∞.

Solución

Sea f : D (f) ⊆ R → R tal que para algún a ∈ R se tiene que ]a,+∞[ ⊆ D (f). El límite de

f (x) cuando x tiende a +∞ es +∞, si los valores de f (x) se pueden hacer tan grandes como se

quiera tomando a x arbitrariamente grande. En símbolos, lımx→+∞

f (x) = +∞ si

∀M > 0,∃N > 0 : x ∈ D (f) ∧ x > N ⇒ f (x) > M.

Ejemplo 2.68. Si f (x) =2x− 5√

x2 + 3x− 1, calcular lım

x→+∞f (x) y lım

x→−∞f (x).

Solución

Tenemos que

lımx→+∞


2x− 5√x2 + 3x− 1

= lımx→+∞

2x− 5

x√x2 + 3x− 1

x

= lımx→+∞

2− 5

x√1 +

3

x− 1

x2

= 2.

Análogamente

lımx→−∞

f (x) = lımx→−∞

2x− 5√x2 + 3x− 1

= lımx→−∞

2− 5

x

−√1 +

3

x− 1

x2

= −2.


1. lımx→+∞

(4x+ 5)2 (5x− 6)3

2x5 − 4x2 + 1.

2. lımx→+∞

[√x (x+ a)− x

].

3. lımx→+∞

[sen(√x+ 2

)− sen (

√x)].

Solución

1. Multiplicando y dividiendo por x5 obtenemos

lımx→+∞

(4x+ 5)2 (5x− 6)3

2x5 − 4x2 + 1= lım

x→+∞

(4 +

5

x

)2(5− 6

x

)3

2− 4

x3+

1

x5

=4253

2= 1000.

PREFACE 161

2. El límite tiene la forma indeterminada (+∞)− (+∞). Luego

lımx→+∞

[√x (x+ a)− x

]= lım

x→+∞

(√x (x+ a)− x

)(√x (x+ a) + x

)√x (x+ a) + x

= lımx→+∞

x (x+ a)− x2√x (x+ a) + x

= lımx→+∞

ax√x (x+ a) + x

= lımx→+∞

a√1 +

a

x+ 1

=a

2.

3. Como sen(√x+ 2

)− sen (

√x) = 2 cos

(√x+2+

√x

2

)sen(√

x+2−√x

2

). Tenemos que

0 ≤∣∣sen (√x+ 2

)− sen

(√x)∣∣ ≤ 2

∣∣∣∣sen(√x+ 2−

√x

2

)∣∣∣∣ .Por otro lado

lımx→+∞

∣∣∣∣sen(√x+ 2−

√x

2

)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ lımx→+∞

sen

(√x+ 2−

√x

2

)∣∣∣∣=

∣∣∣∣ lımx→+∞

sen

(1√

x+ 2 +√x

)∣∣∣∣ = 0.

Así, por el teorema del sandwich tenemos que

lımx→+∞

∣∣sen (√x+ 2)− sen

(√x)∣∣ = 0,

que implica lımx→+∞

∣∣sen (√x+ 2)− sen (

√x)∣∣ = 0.

Ejemplo 2.69. Hallar las constantes α y β si

lımx→+∞

[αx+ β − x3 + 1

x2 + 1

]= 0

Solución

Tenemos que

lımx→+∞

[αx+ β − x3 + 1

x2 + 1

]= lım

x→+∞

[(αx+ β)

(x2 + 1

)− x3 + 1

x2 + 1

]

= lımx→+∞

[(α− 1)x3 + βx2 + αx+ β + 1

x2 + 1

].

Usamos el teorema 2.24 (página 156), para analizar este último límite

lımx→+∞

[(α− 1)x3 + βx2 + αx+ β + 1

x2 + 1

]= 0

si y solo si α = 1 y β = 0.

162 PREFACE

Ejemplo 2.70. Encontrar las asíntotas horizontales de la gráfica de la función definida por

f (x) =

√2x2 + 1

3x− 5.

Solución

Tenemos que

lımx→+∞

√2x2 + 1

3x− 5= lım

x→+∞

√2x2 + 1√x2

3x− 5

x

= lımx→+∞

√2 + 1

x2

3− 5

x

=

√2

3.

Por lo tanto, la recta L : y =

√2

3es asíntota horizontal derecha. Además, recordando que

√x2 = |x| = −x siempre que x < 0, obtenemos

lımx→−∞

√2x2 + 1

3x− 5= lım

x→−∞

√2x2 + 1

−√x2

3x− 5

x

= lımx→−∞

−√

2 +1

x2

3− 5

x

= −√2

3.

En consecuencia, la recta L : y = −√2

3es asíntota horizontal izquierda. La gráfica de f tiene en

x = 53 asíntota vertical, pues

lımx→ 5

3

−f(x) = −∞ y = lım

x→ 53

+f(x) = +∞.

X

Y

y =p

2/3

x=5/3

f

y =−p

2/3

Figura 2.17: gráfica de f(x) =√2x2+13x−5


PREFACE 163

1. lımx→+∞

(x3

2x2 − 1− x2

2x+ 1

)2. lım

x→+∞x

32

(√x3 + 2−

√x3 − 2

)Solución

1.

lımx→+∞

(x3

2x2 − 1− x2

2x+ 1

)= lım

x→+∞

(x3 + x2

(2x2 − 1) (2x+ 1)

)= lım

x→+∞

(x3 + x2

4x3 + 2x2 − 2x− 1

)=

1

4.

2. Racionalizando obtenemos√x3 + 2−

√x3 − 2 =

(√x3 + 2−

√x3 − 2

)(√x3 + 2 +

√x3 − 2√

x3 + 2 +√x3 − 2

)=

4√x3 + 2 +

√x3 − 2

.

Entonces

lımx→+∞

x32

(√x3 + 2−

√x3 − 2

)= 4 lım

x→+∞

(x

32

√x3 + 2 +

√x3 − 2

)

= 4 lımx→+∞

1√1 +

2

x32

+

√1− 2

x32

= 2.

Ejemplo 2.71. Hallar las asíntotas de la función

f (x) = |x+ 4|+ 4

|x| − 3.

Solución

Asíntotas Verticales.

Se presentan dos casos:

Cuando x = 3 se tiene

lımx→3+

f (x) = lımx→3+

(x+ 4 +

4

x− 3

)= +∞,

y

lımx→3−

f (x) = lımx→3−

(x+ 4 +

4

x− 3

)= −∞.

164 PREFACE

1. Si x = −3, entonces

lımx→−3+

f (x) = +∞ y lımx→−3+

f (x) = −∞.

Por lo tanto, las rectas x = 3 y x = −3 son asíntotas verticales.

Asíntota Oblicua Derecha.

md = lımx→+∞

f (x)

x= lım

x→+∞

(x

x+

4

x+

4

x (x− 3)

)= 1

y

bd = lımx→+∞

[f (x)− x] = lımx→+∞

[x+ 4 +

4

x− 3− x

]= 4

Entonces y = x +4, es una asíntota oblicua derecha.

Asíntota Oblicua Izquierda.

mi = lımx→−∞

f (x)

x= lım

x→−∞

(−xx− 4

x+

4

x (−x− 3)

)= −1

y

bi = lımx→−∞

[f (x)− x] = lımx→+∞

[−x− 4 +

4

−x− 3+ x

]= −4.

Concluimos que y = − x− 4, es una asíntota oblicua izquierda.


1. Definir los siguientes límites:

a) lımx→+∞

f (x) = −∞.

b) lımx→−∞

f (x) = +∞.

c) lımx→−∞

f (x) = −∞.

2. Calcular los límites siguientes, justificando sus resultados.

a) lımx→+∞

x4 − x2 + 1

x5 + x3 − x.

b) lımx→+∞

6x2 + 5x

(1− x) (2x− 3).

c) lımx→+∞

√4x2 + 1

x+ 4.

d) lımx→+∞

√x2 + 4x

4x+ 1.

e) lımx→+∞

1−√x

1 +√x.

PREFACE 165

f ) lımx→+∞

(2x+ 1)3(3x− 2)

3x4 − 5x2 + 2.

g) lımx→−∞

√x2 + x+ x.

h) lımx→3+

x− 1

9− x2.

i) lımx→+∞

[√x2 + 3x+ 1− x

].

j ) lımx→−∞

[x+

√x2 + 2x

]k) lım

x→−∞

[√x2 + x+ 1 + x

]l) lım

x→+∞

[√x2 + x− 1−

√x2 − x+ 1

]m) lım

x→+∞

(x−

√(x− a)(x− b)

)n) lım

x→+∞cos

(1

x

)ñ) lım

x→+∞

[x− x cos

(1

x

)]o) lım

x→+∞x2(1− cos

(1

x

)).

Sugerencia. Usar el cambio de variable y =1

x.

3. Usando el theorem del sandwich, calcular

a) lımx→+∞

x sen

(1

x

).

b) lımx→+∞

sen (x)

x.

c) lımx→−∞

cos(x2)

x3.

4. Sea f : D (f) ⊆ R → R una función tal que ]x0,+∞[ ⊆ D (f), para algún x0 ∈ R.

Supongamos que4x− 1

x< f (x) <

4x2 + 3x

x2

para todo x > x0, calcular lımx→+∞

f (x).

5. Un tanque de agua contiene 5000 litros de agua pura. Se bombea salmuera, que contiene

500 gramos de sal por litro de agua, al interior del tanque a razón de 25 litros por minuto.

Demuestre que la concentración de sal después de t minutos (en gramos por litro) es

C (t) =30t

200 + t.

¿Qué sucede con la concentración cuando t→ +∞?

166 PREFACE

6. Encontrar, si existen, las asíntotas horizontales de la gráfica de las funciones definidas a

continuación:

a) f (x) =1 + 2x

2 + x.

b) f (x) =3x4 + 6x2 − x

2x4 − 5x3 + 9.

c) f (x) =x

4√x4 + 1

.

d) f (x) =x− 9√

4x2 + 3x+ 2.

7. Bosquejar la gráfica de la función

f(x) =

x3 + 1

x3 + xsi x = 0

1 si x = 0

Considerando: dominio, intersecciones con los ejes, asíntotas verticales y asíntotas horizon-

tales.

8. En los siguientes casos, encontrar los límites cuando x → +∞ y x → −∞. Usar esta

información, junto con las intersecciones con los ejes coordenados, para bosquejar la gráfica

de las siguientes funciones:

a) f (x) = x2 (x− 2) (1− x) .

b) f (x) = (x+)3 (1− x) (3− x) .

c) f (x) = (x+ 3)5 (x− 2) .

d) f (x) = (2− x) (x− 5)5 (x− 3)4 .

9. Trazar la gráfica de la función que satisfaga todas las condiciones siguientes:

a) lımx→−∞

f (x) = −1

b) lımx→0−

f (x) = −2

c) lımx→0+

f (x) = 1

d) lımx→1−

f (x) = +∞

e) lımx→1+

f (x) = −∞

f ) lımx→+∞

f (x) = 2.

PREFACE 167


Problema 2.1. Usando la definición de límite, demostrar que

lımx→2

(x2 − x) = 2

Solución

Sea f(x) = x2 − x.

Cuando x→ 2 entonces f(x) → 2.

Aplicando la definición de límite,

lımx→2

(x2 − x) = 2 ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0; 0 < |x− 2| < δ ⇒ |x2 − x− 2| < ε.

Para determinar el número δ como función de ε.

∣∣x2 − x− 2∣∣ = |x− 2||x+ 1| · · · (1)

En (1) falta acotar el factor |x+ 1|.Para ello, supongamos δ1 = 1 entonces

|x− 2| < 1 ⇒ −1 < x− 2 < 1 ⇒ 2 < |x+ 1| < 4.

Reemplazando en (1) se tiene∣∣x2 − x− 2∣∣ = |x− 2||x+ 1| < 4δ · · · (2)

De (1) y (2) se tiene δ =ε

4. Finalmente, concluimos la prueba asumiendo δ = mın {1, ε

4}.

Problema 2.2. Calcular los números reales α y β tales que lımx→0

√αx+ β − 2

x= 1.

Solución.

lımx→0

√αx+ β − 2

x= lım

x→0

αx+ β − 4

x(√αx+ β + 2)

= α lımx→0

x+ β−4α

x(√αx+ β + 2)

· · · (1)

Existe el límite de (1) si β−4α = 0 y α = 0. Entonces β = 4.

= α lımx→0

1√αx+ 4 + 2

=α

4

Por condición del problema α4 = 1 entonces α = 4.

168 PREFACE

Problema 2.3. Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones, justificando sus

respuestas.

1. Si lımx→0

f (x) = L entonces lımx→0

|f (x)| = |L|.

2. Si lımx→0

|f (x)| = 0 entonces lımx→0

f (x) = 0.

3. La gráfica de la función f (x) =√2− x

x2 − 4tiene dos asíntotas verticales.

Solución

1. Verdad. De la siguiente propiedad:

Si lımx→0

f (x) = L > 0 entonces lımx→0

√f (x) =

√L.

Se concluye que

lımx→0

|f(x)| = lımx→0

√(f(x))2 =

√L2 = |L|.

2. Verdad. Por el absurdo, supongamos que lımx→0

|f(x)| = L = 0 entonces por la parte anterior

tendríamos

lımx→0

|f (x)| = |L| > 0

lo que contradice la hipótesis. Por lo tanto, lımx→0

f (x) = 0.

3. Verdad. Las rectas x = −2 y x = 2, son asíntotas verticales de la gráfica de f .

En efecto. El dominio de f : 2− x > 0 ⇒ x < 2.

La recta x = 2. Cuando x→ 2− entonces lımx→2−

f (x) = −∞.

Similar para la recta x = −2, cuando x→ −2− entonces lımx→−2−

f (x) = +∞.

Problema 2.4. Calcule el siguiente límite, si existe

lımx→0

1

x

[cos

(x2 +

1

x2

)− cos

(x2 − 1

x2

)].

Solución

Por identidad trigonométrica,

cos

(x2 +

1

x2

)− cos

(x2 − 1

x2

)= −2 sen

(x2)sen

(1

x2

).

PREFACE 169

Luego, por el límite notable: lımx→0

sen(x2)

x2= 1,

lımx→0

[−2

sen(x2)

xsen

(1

x2

)]= −2

(lımx→0

sen(x2)

x2

)(lımx→0

x sen

(1

x2

))= −2 lım

x→0

[x sen

(1

x2

)]Por teorema del sandwich

= −2 lımx→0

[x sen

(1

x2

)]= 0.


f (x) =

x2 − 3√x2 − 4

, x < −2

x+ 1

x2 − 4x > −2, x = 2

Halle todas las asíntotas de la gráfica de f.

Solución

Sean f1 (x) =x2 − 3√x2 − 4

, si x < −2 y f2 (x) =x+ 1

x2 − 4, si x > −2, x = 2.

En ambos casos, f1 (x) > 0, si x < −2 y f2 (x) > 0, si x > −2, x = 2.

Asíntotas.

Verticales:

La recta x = −2, pues lımx→−2−

f1 (x) = +∞.

La recta x = 2, pues lımx→2+

f2 (x) = +∞.

Horizontales.

La recta y = 0, porque lımx→+∞

f2 (x) = 0.

Oblicuas.

La recta y = −x, es asíntota oblicua izquierda porque

m = lımx→−∞

f1 (x)

x= lım

x→−∞

(x2 − 3

x√x2 − 4

)= −1.

b = lımx→−∞

[f1 (x) + x] = lımx→−∞

(x2 − 3√x2 − 4

+ x

)= 0.

170 PREFACE

Problema 2.6. Sea f una función definida por

f (x) = tan−1

(1

x+ 2

).

1. Calcule lımx→−2+

f (x).

2. ¿Es cierto que lımx→−2−

f(x) = lımx→−2+

f(x)? Justifique su respuesta.

Solución

1. Para calcular lımx→−2+

tan−1(

1x+2

), hacemos un cambio de variable t = x+ 2 y además,

lımx→−2+

tan−1

(1

x+ 2

)= lım

t→0+tan−1

(1

t

)si u =

1

t

= lımu→+∞

tan−1 (u) =π

2.

2. Similar en el caso lımx→−2−

f (x) = −π2

.

Por lo tanto, no existe el límite, pues no son iguales los límites laterales.

Problema 2.7. Usando la definición de límite demuestre que

lımx→+∞

(2x+ 3

x+ 1

)= 2.

Solución

lımx→+∞

(2x+ 3

x+ 1

)= 2 si, y sólo si,

∀ε > 0 ∃M > 0; x > M ⇒∣∣∣∣2x+ 3

x+ 1− 2

∣∣∣∣ < ε

Por una parte,∣∣∣∣2x+ 3

x+ 1− 2

∣∣∣∣ = 1

|x+ 1|.

De x > M ⇒ x+ 1 > M + 1 ⇒ 1

|x+ 1|<

1

M + 1≤ ε.

Finalmente, de1

M + 1< 1

M ≤ ε⇒M =1

ε> 0.

PREFACE 171

Problema 2.8. Sea f una función dada por

f (x) =

√1 + senx−

√1− senx

4x, x > 0

1−√cosx

x2, −π

2< x < 0.

Calcule lımx→0

f (x), si existe.

Solución

Por límites laterales.

lımx→0+

√1 + senx−

√1− senx

4x=

1

4lım

x→0+

2 senx

x(√

1 + senx+√1− senx

)=

1

4.

Similarmente,

lımx→0−

1−√cosx

x2= lım

x→0−

1− cosx

x2 (1 +√cosx)

= lımx→0−

sen2 x

x2 (1 +√cosx) (1 + cosx)

=1

4.

Luego, lımx→0

f (x) = 14 .

Problema 2.9. Calcule los siguientes límites:

1. lımx→1

√x2 + 8 + 3

√2− 3x2 − 2

x− 1

2. lım

x→π

2

sen3(3π

2− 3x

)(π − 2x)

[1− cos

(3π

2− 3x

)]

3. lımx→1

[3√x2 − 1 cos

(3π(x2 + 3)

x2 − 3x+ 4

)]Solución.

1. L = lımx→1

√x2 + 8 + 3

√2− 3x2 − 2

x− 1= lım

x→1

(√x2 + 8− 3

)+(

3√2− 3x2 + 1

)x− 1

Luego,

172 PREFACE

L1 = lımx→1

√x2 + 8− 3

x− 1= lım

x→1

x2 − 1

(x− 1)(√x2 + 8 + 3)

= lımx→1

x+ 1√x2 + 8 + 3

= 13

L2 = lımx→1

3√2− 3x2 + 1

x− 1= lım

x→1

3− 3x2

(x− 1)(

3√(2− 3x2)2 − 3

√2− 3x2 + 1

)= lım

x→1

−3(x+ 1)3√(2− 3x2)2 − 3

√2− 3x2 + 1

= −2

Finalmente, L = L1 + L2 = −5

3

2. L = lımx→

π

2

sen3(3π

2− 3x

)(π − 2x)

[1− cos

(3π

2− 3x

)]Hacemos x− π

2= h. Si x→ π

2entonces h→ 0. Luego,

L = lımh→0

sen3(3π

2− 3(h+

π

2)

)(−2h)

[1− cos

(3π

2− 3(h+

π

2)

)]= lım

h→0

sen3(−3h)

(−2h) [1− cos(−3h)]

=1

2lımh→0

sen3(3h)

h [1− cos(3h)]

= =3

2lımh→0

[sen3(3h)

(3h)3· (3h)2

1− cos(3h)

]= 3

3. lımx→1

[3√x2 − 1 cos

(3π(x2+3)x2−3x+4

)]Como

∣∣∣cos(3π(x2+3)x2−3x+4

)∣∣∣ ≤ 1 y lımx→1

3√x2 − 1 = 0 entonces

lımx→1

[3√x2 − 1 cos

(3π(x2+3)x2−3x+4

)]= 0.

Problema 2.10. Usando la definición de límite, demuestre que

lımx→ 2

3

+

2

3x− 2= +∞

Solución. Buscamos δ en términos de N :

0 < x− 2

3< δ ⇒ 2

3x− 2> N

⇒ 3x− 2 <2

N

⇒ x− 2

3<

2

3N= δ

PREFACE 173

Formalmente,

∀N > 0,∃δ = 2

3N> 0, tal que 0 < x− 2

3< δ ⇒ 2

3x− 2> N

2.9. Problemas propuestos

Definición de límite

1. Demuestre, usando la definición, los siguientes límites:

a) lımx→1

(x2 + 2x+ 3) = 6

b) lımx→−2

(x2 − 4

x+ 2

)= −4

c) lımx→3

(5x− 7

3x− 5

)= 2

d) lımx→3

(1

x− 4

)= −1

e) lımx→−1

√2x2 − 4x+ 2 =

√8

2. Para cada función f , halle el valor de lımx→x0

f(x) = L. Para un valor de ϵ, determine un

valor adecuado de δ de manera que se cumpla el límite.

a) f(x) = 4− x2, x0 = 3, ϵ = 0,05

b) f(x) =√x− 3, x0 = 7, ϵ = 0,05

3. Justifique porque no existe el límite en c de las siguientes funciones:

a) f(x) = sen( 1x), c = 0.

b) f(x) =

1− (x− 2)2; x ≤ 2

x+ 1; x > 2,

c = 2.

c) f(x) =1

x− 2, c = 2.

Límites laterales

4. Dada la función f(x) =

x2 − 1; x < 1

0; 1 ≤ x < 2√x+ 1; 2 ≤ x

174 PREFACE

a) Calcule, si existe, lımx→c

f(x), cuando c = 1, c = 2.

b) Muestre gráficamente la existencia de dichos.


x; x ≤ 1

ax+ b; 1 < x < 4

−2x; 4 < x

a) Halle los valores de a y b para que existan lımx→1

f(x) y lımx→4

f(x).

b) Grafique f con los valores de a y b hallados en la primera parte.


2x− 10

x2 − 2x− 15; x < 5

√αx− β − 2

x− 5; 5 < x.

Si existe lımx→5

f(x), halle los valores de α y β.

Teoremas sobre límites. Cálculo de límites

7. Analice la verdad sobre las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.

a) Si f(x) < g(x),∀x ∈ I, c ∈ I ⇒ lımx→c

f(x) < lımx→c

g(x),∀x ∈ I.

b) Si lımx→c

f(x) existe, y lımx→c

g(x) = 0 ⇒ lımx→c

f(x)

g(x)no existe.

c) Si lımx→c

[f(x) + g(x)] existe, y lımx→c

f(x) existe ⇒ lımx→c

g(x) existe.

d) Si lımx→c

f(x) = lımx→c

g(x) entonces existe un δ > 0 tal que se cumple

f(x) = g(x),∀x ∈]c− δ, c+ δ[.

8. Calcule los siguientes límites, si existen.

a) lımx→a

x4 − a4

x− a.

b) lımx→7

7− x

5−√4 + 3x

.

c) lımx→0

3√8− x2 −

√4 + x2

x.

d) lımx→1

m√x− 1

n√x− 1

, m, n ∈ Z+.

PREFACE 175

Teorema del Sandwich. Límites Trigonométricos

9. Calcule los siguientes límites:

a) lımx→0

[x10f(x)

], si 0 ≤ f(x) ≤ 1

x2 + 1.

b) lımx→1

[3√x2 − 1 cos

(3π(x+ 3)

x2 − 3x+ 2

)].

c) lımx→1

[(x2 − 1)2 cos

1

(x− 1)2

].


a) lımx→0

3x− sen(2x)

4x+ sen(3x).

b) lımx→1

sen(πx)

x(x− 1).

c) lımx→0

1−√cos(x)

x2.

d) lımx→π

6

√3− 2 cos(x)

sen(x− π6 )

.

e) lımx→0

x

arctan(x).

11. Demuestre que si lımx→0

g(x) = 0 y |h(x)| ≤M para todo x, entonces lımx→0

g(x)h(x) = 0.

12. Demuestre que:

a) lımx→0

f(x) = lımx→0

f(x2).

b) lımx→1

1

x− 1no existe.

c) Si lımx→0

g(x) = 0, entonces lımx→0

g(x) sen( 1x) = 0.

Límites Infinitos

13. De una definición formal de los siguientes límites:

a) lımx→x−

0

f(x) = +∞.

b) lımx→x+

0

f(x) = −∞.

c) lımx→x−

0

f(x) = −∞.

d) lımx→x+

0

f(x) = +∞.

176 PREFACE

14. Demuestre usando la definición, que:

a) lımx→0

1

x2= +∞.

b) lımx→0−

1

x3= −∞.

c) lımx→3−

2x− 1

x− 3= −∞.

d) lımx→3+

2x− 1

x− 3= +∞.

15. Halle las asíntotas verticales, si existen, de las siguientes funciones:

a) f(x) = ln(x2 − 2x).

b) f(x) =x− 3√x2 − 9

.

c) f(x) =2x+ 1√4− x2

.

d) f(x) =x

4− x2.

Límites en el Infinito

16. Demuestre usando la definición.

a) lımx→+∞

1

x2= 0.

b) lımx→−∞

1

x3= 0.

c) lımx→+∞

2x− 1

x− 3= 2.

d) lımx→−∞

x− 1

x− 3= 1.

17. De una definición formal de los siguientes límites:

a) lımx→−∞

f(x) = +∞.

b) lımx→+∞

f(x) = −∞.

c) lımx→−∞

f(x) = −∞.

d) lımx→+∞

f(x) = +∞.

18. Sea f : R → R una función par que tiene a la recta y = 4x+ 3 como una asíntota oblicua

derecha.Calcule

lımx→−∞

f(x)√8x2 + sen(x)

.

PREFACE 177


a) lımx→+∞

3x+ 4√x2 − 5

.

b) lımx→−∞

√x2 − 1

x.

c) lımx→+∞

(√x2 + x− 1−

√x2 − x+ 3).

d) lımx→−∞

( 3√x2 + 2x− 3

√x2 + x).

20. Halle las asíntotas de las siguientes funciones:

a) f(x) =x3

4− x2.

b) f(x) =x− 3√x2 − 9

.

c) f(x) =ex − e−x

ex + e−x.

d) f(x) =

3√x3 + 3x2, x ≥ 0

√x2 − x

x+ 3, x < 0, x = −3.

Problemas varios sobre límites

21. Sea la función f(x) =x− 1

x− 2, x = 2. Demuestre, usando la definición, que:

a) lımx→−∞

f(x) = 1.

b) lımx→3−

f(x) = 2.

22. Sea la función f(x) = x+1

x, x = 0.

a) Demuestre que f es impar.

b) Halle las asíntotas de la gráfica de f .

c) Esboce la gráfica de f y de sus asíntotas.

23. Sea f(x) = cos(x2 ), x ∈ [0, 2π].

a) Demuestre que f tiene inversa. Esboce la gráfica de f−1.

b) Esboce la gráfica de la función h(x) =1

f(x). Justifique si tiene asíntota.

178 PREFACE

24. Dadas las funciones:

f(x) = arctan(x) ; g(x) = ex2

y h(x) = (f ◦ g)(x).

a) Calcule lımx→0

h(x).

b) Pruebe que lımx→∞

h(x) =π

2.

c) Esboce la gráfica de h.

25. Demuestre que:

a) lımx→0+

csc(x) = +∞.

b) lımx→0−

cot(x) = −∞.

c) lımx→π

2−csc(x) = +∞.

26. Demuestre que:

a) lımx→0+

ln(x) = −∞.

b) lımx→2+

ln(x2 − 2x) = −∞. Use la primera parte.

27. Demuestre que lımx→c

f(x) = L⇔ lımx→c

[f(x)− L] = 0.

28. Demuestre que si lımx→c

f(x) = L⇔ lımx→c

|f(x)| = |L|.

29. Demuestre que si lımx→c

g(x) = 0 ⇔ lımx→c

g(x) sen( 1x) = 0.

30. Suponga que lımx→c−

f(x) < lımx→c+

f(x). Demuestre que existe algún δ > 0 tal que f(x) < f(y)

siempre que x < a < y, |x− c| < δ e |y − c| < δ.

31. Demuestre que lımx→0+

f(1/x) = lımx→+∞

f(x).

32. Calcule lımx→0

f(x), si:

a) f(x) = sen( 1x).

b) f(x) = cos( 1x).

c) f(x) = x sen( 1x).

d) f(x) = x2 sen( 1x).

e) f(x) = (1 + x)1x .

Capítulo 3

Funciones continuas

El conjunto de todas las funciones es grande y variado. En realidad es tan extenso que no

podemos decir nada acerca de las propiedades de todas las funciones en general. Por otro lado,

en el cálculo interesan las funciones cuyas gráficas sean razonablemente suaves. Para obtener

clases de funciones con propiedades útiles e interesantes, se imponen restricciones que descarten

a las funciones más irregulares y patológicas. En este capítulo presentaremos el concepto de

función continua y las propiedades más importantes de las funciones continuas.

3.1. Continuidad en un punto.

Para una función definida sobre un intervalo, la idea intuitiva de continuidad es que la curva

que representa la gráfica de la función debe constituir un trazo ininterrumpido. Si la gráfica de

la función tiene interrupciones o saltos como es el caso con la función mayor entero, entonces la

función no es continua en los puntos en donde las rupturas aparecen.

Ahora bien, si la gráfica de una función no tiene interrupción alguna en el punto (x0, f (x0)),

entonces, cuando x tiende a x0, f (x) debe aproximarse a f (x0). Esta observación nos llevarán

a la definición de continuidad.

Definición 3.1. Sean f : D (f) ⊆ R → R una función y x0 un número real. Se dice que f es

continua en x0 si

1. x0 ∈ D (f),

2. lımx→x0

f (x) existe, y

3. lımx→x0

f (x) = f (x0).

179

180 PREFACE

Si f no es continua en x0 se dice que f es discontinua en x0.

Aunque la definición es bastante sencilla, resulta que el concepto de función continua es sutil. Para

comprender con más claridad lo que implica la continuidad, es útil examinar algunas funciones

que no tienen esta propiedad en determinados puntos, esto es, funciones que son discontinuas.

Presentamos tres ejemplos que no son continuas en determinados puntos de su dominio.


f (x) =

x2 − 1

x− 1x = 1

3 x = 1,

D (f) = R, que la gráfica de f consiste en todos los puntos de la recta L : y = x+ 1 excepto el

punto (1, 2), donde hay un salto. Decimos que la función f es discontinua en el número 1, por

que

lımx→x0

f (x) = f(1).

1

2

X

Yy=f(x)

(1;2)

(1;3)

Figura 3.1: discontinuidad de f en x = 1

Ejemplo 3.2. Sea la función f definida por

f (x) =x2 − 4

x− 2, x = 2.

Esta función no es continua en x0 = 2, ya que 2 /∈ D (f) y así f (2) no existe. Sin embargo, existe

lımx→x0

f (x) = 4.

La gráfica de f consiste en todos los puntos de la recta L : y = x + 2 excepto el punto (2, 4),

como observamos en la figura 3.2.

PREFACE 181

2

4

2

X

Y y=f(x)

(2;4)

Figura 3.2: No existe f(2)

Observación 3.1.1. f será continua en x = 2, si definimos f(2) = lımx→2

f(x).

Ejemplo 3.3. Sea la función g definida por

g (x) =

{x2 − 1 si x ≤ 1

x2 + 1 si x > 1.

1 X

Y

f

2

-1

Figura 3.3: salto en x = 1

Notamos que en este caso,

lımx→1−

g (x) = 0 = 2 = lımx→1+

g (x) ,

por lo que la función es discontinua en x = 1.

El salto de g en x = 1 es igual a la diferencia entre los límites por la derecha y por la izquierda

en x = 1, es decir, el salto de g en 1 es igual a 2.

Si comparamos las gráficas de las funciones f y g, discontinuas en x0 = 1, presentadas en los

ejemplos 3.1 y 3.3, observaremos que los saltos son esencialmente de tipo distinto. Por tanto,

diremos que una función f tiene una discontinuidad de salto en x0 si su gráfica es como en la

figura 3.3, es decir, los límites laterales en x0 existen pero son diferentes entre sí.

Debe quedar claro que la noción geométrica de un salto en la gráfica de una función es sinónima

con el concepto de una función que es discontinua en un número.

182 PREFACE


f (x) =1

x− 1, x = 1.

Notamos que 1 /∈ D (f), y que

lımx→1

f (x) = ∞.

La gráfica de f es una hipérbola equilátera y los ejes coordenados son sus asíntotas. En este caso

decimos que f tiene una discontinuidad infinita en 1.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10Gráfica de f(x)=1/x

Eje x

Eje

y

Figura 3.4: discontinuidad infinita

También se considera que una función tiene discontinuidad infinita cuando no es acotada a uno

de los lados del punto de discontinuidad, y se aproxima a un límite finito por el otro lado.


f (x) =

x2 − x− 2

x− 2; x = 2

3; x = 2.

La función es continua en 2. En este caso f(2) = 3,

lımx→2

f (x) = lımx→2

x2 − x− 2

x− 2= lım

x→2

(x+ 1) (x− 2)

x− 2= 3

y lımx→2

f(x) = f(2).


f (x) =1

x− 1− 1

|x− 1|, si x = 1.

PREFACE 183

Notamos que

lımx→1−


2

x− 1= −∞,

y

lımx→1+

f (x) = lımx→1+

(0) = 0,

por lo tanto f tiene discontinuidad infinita en 1.

Definición 3.2. (Tipos de discontinuidad). Sean f : D (f) ⊆ R → R una función y x0

un número real cualquiera. Decimos que f tiene discontinuidad evitable o removible en x0 si

lımx→x0

f (x) existe. Si la discontinuidad no es evitable se denomina discontinuidad esencial.

Una función tiene discontinuidad removible en x0 si lımx→x0

f (x) = L y si f (x0) no existe o

f (x0) = L. La discontinuidad removible se puede evitar construyendo una función continua,

simplemente definiendo, o redefiniendo si es necesario, que f (x0) tenga el valor L en x = x0. A

esta redefinición se le conoce como Extensión de la continuidad.

Ejemplo 3.7. Sea f : R−{0} → R definida por

f (x) =sen (x)

x, para x = 0.

La gráfica de f no está definida para x = 0,

−6 −4 −2 0 2 4 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Gráfica de sen(x)/x

Eje x

Eje

y

Figura 3.5: f(x) = sen(x)x

La función tiene discontinuidad removible en 0, pues lımx→0

f (x) = 1 pero 0 /∈ D (f). Entonces,

podemos definir la nueva función g : R → R por

g (x) =

sen (x)

xx = 0

1 x = 0,

184 PREFACE

que esencialmente es la misma que f ; pero

lımx→0

g (x) = 1 = g (1) ,

por tanto g es continua en 0. �

En el cálculo diferencial de funciones reales de variable real, interesan casi siempre las funciones

continuas en todas partes, excepto en unos cuantos puntos. Los tipos más importantes de dis-

continuidades son las de salto y las infinitas. Las discontinuidades removibles no tienen mucha

importancia porque se pueden eliminar cuando sea necesario, como lo hemos mostrado en el

ejemplo anterior.

Aplicando la definición de continuidad y el teorema 2.3 página 121 del capítulo anterior se

concluye que las funciones constantes y la función identidad son continuas en todo número

real x0. Del mismo modo, por el teorema 2.4 tenemos el siguientes teorema sobre las funciones

continuas.

Teorema 3.1. Sean f : D (f) ⊆ R → R y g : D (g) ⊆ R → R dos funciones continuas en el

número x0 ∈ D (f) ∩ D (g), entonces

1. f + g es continua en x0.

2. f − g es continua en x0.

3. si α una constante, αf es continua en x0.

4. fg es continua en x0.

5.f

ges continua en x0, siempre que g (x0) = 0.

Demostración

Probaremos la primera afirmación, dejando el resto como un ejercicio para el estudiante. Ya que

f y g son continuas en x0, tenemos

lımx→x0

f (x) = f (x0)

y

lımx→x0

g (x) = g (x0) .

Por lo tanto,

lımx→x0

[f (x) + g (x)] = lımx→x0

f (x) + lımx→x0

g (x) = f (x0) + g (x0)

lo cual demuestra que f + g es continua en x0.

PREFACE 185

Teorema 3.2. Si n ∈ N+ y f es la función definida por

f (x) = n√x

entonces

1. si n es impar, f es continua en todo número real x0.

2. si n es par, f es continua en todo número real x0 ≥ 0.

Teorema 3.3. Funciones continuas importantes

1. Las funciones polinómicas son continuas en cualquier número real.

2. Las funciones racionales son continuas en cualquier número real, excepto en aquellos en

que el denominador se anula.

3. Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en cualquier número real.

4. La función trigonométrica tangente es continua en todo número real distinto de (2k + 1)π

2,

k ∈ Z.

5. Las funciones valor absoluto, arcotangente, arcocotangente y exponenciales son continuas

en R.

Otra manera de obtener funciones continuas consiste en formar la función compuesta. Este hecho

es consecuencia de la propiedad enunciada en el teorema siguiente.

Teorema 3.4. (Límite de la composición de funciones). Si lımx→x0

g (x) = x1 y si la función

f es continua en x1, entonces

lımx→x0

(f ◦ g) (x) = f (x1)

o, equivalentemente

lımx→x0

f (g (x)) = f

(lımx→x0

g (x)

).

Hacemos el cambio de variable y = g (x), entonces por el teorema del cambio de variable,

lımx→x0

(f ◦ g) (x) = lımx→x0

f (g (x)) = lımy→x1

f (y) = f (x1) ;

pues f es continua en x1.

186 PREFACE


lımx→−4

3√3x+ 4

Definimos las funciones f y g por medio de las siguientes reglas

f (x) = 3√x

y

g (x) = 3x+ 4.

Sabemos que

lımx→4

g (x) = lımx→4

(3x+ 4) = 16,

y f es continua en 16; por lo tanto,

lımx→−4

3√3x+ 4 = lım

x→x0

f (g (x)) = f

(lımx→x0

g (x)

)= 3

√lımx→x0

g (x) =3√16.

El teorema anterior también se aplica al demostrar que la composición de funciones continuas es

continua.

Teorema 3.5. Si la función g es continua en x0 y la función f es continua en g (x0), entonces

la función composición f ◦ g es continua en x0.

Demostración

Como g es continua en x0 tenemos

lımx→x0

g (x) = g (x0) .

Como f es continua en g (x0); por el teorema anterior obtenemos

lımx→x0

(f ◦ g) (x) = lımx→x0

f (g (x)) = f

(lımx→x0

g (x)

)= f (g (x0)) = (f ◦ g) (x0) ,

lo que demuestra el teorema.

Ejemplo 3.9. Sean las funciones: h(x) = x2, g(x) = ex y f(x) = arctan(x). Analice la continui-

dad de las funciones h, g, f y de la composiciones f ◦ g, analítica y gráficamente.

Solución. Como estas funciones son continuas en R entonces la composición de ellas será continua

en R.

PREFACE 187

1. (g ◦ h)(x) = ex2 . Las gráficas de h y g ◦ h tienen formas parecidas. Esto se debe a que g es

creciente.

2. (f ◦ g)(x) = arctan(ex2)

3. lımx→+∞

f(x) = f( lımx→+∞

x) = arctan(+∞) =π

2.

4. lımx→−∞

f(x) = f( lımx→−∞

x) = arctan(−∞) = −π2.

5. lımx→+∞

f(g(x)) = f( lımx→+∞

g(x)) = arctan(∞) =π

2.

Las gráficas de las funciones h, g, f y de la composiciones f◦g, con sus características se presentan

a continuación.

−5 0 5

0

2

4

h(x)=x2

−5 0 50

1

2

3

4

5g(x)=ex

2

−5 0 5−2

−1

0

1

2f(x)=arctan(x)

−5 0 50.5

1

1.5

2f(g(x))=arctan(ex

2

)

Figura 3.6: Límite de la composición de funciones


Problema 3.1. Si la función f es definida por

f (x) =x2 + x− 6

x+ 3,

determinar los números en los cuales es discontinua, e identificar el tipo de discontinuidad.

Cuando sea posible, redefinir f de tal modo que se elimine la discontinuidad.

Solución. Tenemos dos posibilidades,

188 PREFACE

1. Cuando x0 = −3, entonces f (x0) existe; además,

lımx→x0

(x2 + x− 6

)= x20 + x0 − 6

y

lımx→x0

(x+ 3) = x0 + 3 = 0;

por lo tanto,

lımx→x0

f (x) = lımx→x0

x2 + x− 6

x+ 3=x20 + x0 − 6

x0 + 3= f (x0) .

En consecuencia, f es continua en todo número real x0 = −3.

2. Cuando x0 = −3, f (−3) no existe y la función es discontinua en −3. Además,

lımx→−3

f (x) = lımx→−3

x2 + x− 6

x+ 3= lım

x→−3

(x+ 3) (x− 2)

x+ 3= lım

x→−3(x− 2) = −5,

de donde podemos afirmar que f tiene discontinuidad removible en x = −3.

Para remover la discontinuidad en x = −3, se debe redefinir f como

F (x) =

x2 + x− 6

x+ 3x = −3

−5 x = −3

.

Problema 3.2. Si f : D (f) ⊆ R → R es una función tal que lımx→x0

f (x)− f (x0)

x− x0existe,

demostrar que f es continua en x0.

Solución. Por hipótesis f (x0) existe, entonces falta demostrar que lımx→x0

f (x) = f (x0). Pero,

lımx→x0

[f (x)− f (x0)] = lımx→x0

(x− x0)

[f (x)− f (x0)

x− x0

];

si suponemos que lımx→x0

f (x)− f (x0)

x− x0= L, entonces

lımx→x0

[f (x)− f (x0)] = lımx→x0

(x− x0) lımx→x0

[f (x)− f (x0)

x− x0

]= 0 · L = 0.

Luego,

lımx→x0

f (x) = lımx→x0

[(f (x)− f (x0)) + f (x0)]

= lımx→x0

[f (x)− f (x0)] + lımx→x0

f (x0)

= 0 + f (x0)

= f (x0) .

Por lo tanto, f es continua en x0.

PREFACE 189

Problema 3.3. Analizar la continuidad de la función máximo entero f(x) = [|x|].Solución Esta función es continua en R excepto en los enteros. De la definición

[|x|] = k ⇔ k ≤ x < k + 1, k ∈ Z+

y del cálculo de límites en los enteros llegamos a la conclusión que el máximo entero no es

continua en cada entero.

Consideramos un entero arbitrario x = 1, de los límites laterales,

x→ 1− ⇒ 0 ≤ x < 1 ⇒ [|x|] = 0, lımx→1−

[|x|] = 0

y

x→ 1+ ⇒ 1 ≤ x < 2 ⇒ [|x|] = 1, lımx→1−

[|x|] = 1

se concluye que f no es continua en x = 1. Esta característica se cumple en cada entero.

f

1 2 3-1-2

1

2

3

-1

-2

x

y

Figura 3.7: función máximo entero

Problema 3.4. Calcular, si existen, los siguientes límites.

1. lımx→1

[∣∣x+ 12

∣∣].2. lım

x→ 12

[∣∣x+ 12

∣∣].Solución

1. Tenemos que lımx→1

(x+ 1

2

)= 3

2 y sabemos que [|·|] es una función continua en 32 , entonces

lımx→1

[∣∣∣∣x+1

2

∣∣∣∣] = [∣∣∣∣ lımx→1

(x+

1

2

)∣∣∣∣] = [∣∣∣∣32∣∣∣∣] = 1.

190 PREFACE

2. En este caso, no se puede aplicar el teorema, pues lımx→ 1

2

(x+ 1

2

)= 1 y [|·|] es una función

discontinua en 1. Por otro lado,

lımx→ 1

2

+

[∣∣∣∣x+1

2

∣∣∣∣] = lımx→ 1

2

[∣∣∣∣x+1

2

∣∣∣∣]∣∣∣∣12<x<1

= lımx→ 1

2

(1) = 1

y

lımx→ 1

2

−

[∣∣∣∣x+1

2

∣∣∣∣] = lımx→ 1

2

[∣∣∣∣x+1

2

∣∣∣∣]∣∣∣∣0<x< 1

2

= lımx→ 1

2

(0) = 0;

por lo tanto, lımx→ 1

2

[∣∣x+ 12

∣∣] no existe.

Problema 3.5. Determinar los números en los cuales la función

f (x) =

2x+ 3 x ≤ 1

8− 3x 1 < x < 2

x+ 3 x ≥ 2

es discontinua.

Solución. Debemos considerar los siguientes casos:

1. Cuando x0 < 1, entonces

lımx→x0

f (x) = lımx→x0

(2x+ 3) = 2x0 + 3 = f (x0) ;

así, f es continua en x0.

2. Cuando 1 < x0 < 2, entonces

lımx→x0

f (x) = lımx→x0

(8− 3x) = 8− 3x0 = f (x0) ;

luego, f es continua en x0.

3. Cuando x0 > 2. Luego

lımx→x0

f (x) = lımx→x0

(x+ 3) = x0 + 3 = f (x0) ;

entonces, f es continua en x0.

4. Cuando x0 = 1. Tenemos

lımx→1−

f (x) = lımx→1

(2x+ 3) = 5 = f (1) ,

y

lımx→1+

f (x) = lımx→1

(8− 3x) = 5 = f (1) .

Por lo tanto, f es continua en 1.

PREFACE 191

5. Cuando x0 = 2. Entonces

lımx→2−

f (x) = lımx→2

(8− 3x) = 2 = 5 = f (2) ;

de ahí que, f es discontinua en 2.

Problema 3.6. Si f es una función continua en x0 y g es una función discontinua en x0,

demostrar que f + g es discontinua en x0.

Solución. Procederemos por el absurdo. Supongamos que f + g es continua en x0, entonces

lımx→x0

(f + g) (x) = f (x0) + g (x0) ,

y en consecuencia

lımx→x0

g (x) = lımx→x0

[(f (x) + g (x))− f (x)] = [f (x0) + g (x0)]− f (x0) = g (x0)

lo que prueba que g es una función continua en x0, y contradice una de las hipótesis. Por lo

tanto, f + g es discontinua en x0.

Ejercicios 3.1. Resolver cada uno de los siguientes problemas.

1. Determinar los números en los cuales las siguientes funciones son discontinuas, e identificar

el tipo de discontinuidad.

a) f (x) =3x

x2 − 1.

b) f (x) =(x+ 2) (x− 3)

(x+ 4) (x− 1).

c) f (x) =3x2

x2 − 5x+ 6.

d) f (x) = [|x|]− x.

e) f (x) =

x− 2 si x < 4

2x− 6 si x > 4

.

f ) f (x) =

x2 − 1 si x ≤ 0

x+ 1 si x > 0

.

192 PREFACE

g) f (x) =

sen (x) + cos (x) si x <

π

2

sen (x)− cos (x) si x ≥ π

2

.

h) f (x) =

2

xsi x < 0

x si x ≥ 0

.

i) f (x) =

√x+ 5−

√5

xx = 0

2√5 x = 0

2. En los siguientes casos demostrar que la función f tiene discontinuidad removible en x0, y

redefinir f de tal modo que se elimine la discontinuidad.

a) f (x) =x− 2

|x− 2|, x0 = 2.

b) f (x) =x2 + x

x+ 1, x0 = −1.

c) f (x) = x

(1 +

1

x

), x0 = 0.

d) f (x) = x

(1 +

1

x2

), x0 = 0.

e) f (x) = x

(1 +

1√|x|

), x0 = 0.

3. Sea f : [0, 4] → R la función definida por

f (x) =

|x− [|x|]| si [|x|] es par

|x− [|x+ 1|]| si [|x|] es impar

.

Trazar la gráfica de f . ¿En qué números es discontinua f?

4. En los siguientes casos trazar la gráfica de f . ¿Para qué valores de x es f discontinua?

a) f (x) = lımn→+∞

2nx

1− nx.

b) f (x) = lımn→+∞

1

1 + xn, x ≥ 0.

c) f (x) = lımn→+∞

x arctan (nx).

PREFACE 193

5. Sea

f (x) =

α

xsi 0 < x < 1

βx+ 1 si 1 ≤ x ≤ 2

γx2 si x > 2

.

Demostrar que α+ β = 4γ para que f sea continua tanto en 1 como en 2.

6. Calcular los siguientes límites:

a) lımx→−1

x+ 4

x− 2.

b) lımx→ 1

2

[|3x+ 5|].

7. Demostrar que f : D (f) ⊆ R → R es continua en x0 si y sólo si

lımh→0

f (x0 + h) = f (x0) .

8. Si f : R → R es continua en 0 y

∀a, b ∈ R : f (a+ b) = f (a) + f (b) ,

demostrar que f es continua en todo número real x0.

9. Si f, g : I ⊆ R → R son dos funciones continuas en el número a, entonces la función

M (x) = maxx∈I

{f (x) , g (x)} es continua en el número a.

Sugerencia.

maxx∈I

{f (x) , g (x)} =f(x) + g(x) + |f(x)− g(x)|

2.

3.3. Continuidad por intervalos.

Consideremos la función f : ]2, 10[ → R definida por f (x) =√x− 2. Si g (x) = x − 2 y

h (x) =√x, entonces f (x) = (h ◦ g) (x). Ya que g es una función polinomial, g es continua

en todo número real. Además h es continua en todo número no negativo. Por lo tanto, por

el teorema de la composición de funciones, f es continua en todo número x0 ∈ ]2, 10[ tal que

g (x0) = x0 − 2 ≥ 0. Así, f es continua en todo número del intervalo abierto ]2, 10[. Por esto

decimos que f es continua en el intervalo abierto ]2, 10[. La siguiente es la definición general.

Definición 3.3. Se dice que una función f : D (f) ⊆ R → R es continua en el intervalo abierto

I ⊆ D (f) si f es continua en cada x0 ∈ I.

194 PREFACE

Considerando la función g : [2, 10] → R definida por g (x) =√x− 2, sabemos que g es continua

en el intervalo abierto ]2, 10[. Para discutir el problema de la continuidad de g en el intervalo

cerrado [2, 10] debemos extender el concepto de continuidad para incluir el de continuidad en un

punto extremo de un intervalo cerrado. Hacemos esto definiendo primero la continuidad lateral.

Definición 3.4. (Continuidad por derecha). Sea f : D (f) ⊆ R → R, se dice que f es

continua en x0 por la derecha si

1. f (x0) existe,

2. lımx→x+

0

f (x) existe, y

3. lımx→x+

0

f (x) = f (x0).

Definición 3.5. (Continuidad por izquierda). Sea f : D (f) ⊆ R → R, decimos que f es

continua en x0 por la izquierda si

1. f (x0) existe,

2. lımx→x−

0

f (x) existe, y

3. lımx→x−

0

f (x) = f (x0).

Ejemplo 3.10. En cada entero n, la función f (x) = [|x|] es continua por la derecha pero

discontinua por la izquierda pues,

lımx→n+

f (x) = lımx→n+

[|x|] = lımx→n

(n) = n = f (n)

y

lımx→n−

f (x) = lımx→n−

[|x|] = lımx→n

(n− 1) = n− 1 = f (n) .

Definición 3.6. Una función f : D (f) ⊆ R → R es continua en el intervalo [a, b] ⊆ D (f) si f

es continua en ]a, b[, f es continua en a por la derecha y f es continua en b por la izquierda.

Ejemplo 3.11. Demostrar que la función definida por f (x) = 1 −√1− x2 es continua en el

intervalo [−1, 1].

Solución. Si x0 ∈ ]−1, 1[, entonces por las propiedades de límites, tenemos

lımx→x0

f (x) = lımx→x0

(1−

√1− x2

)= 1− lım

x→x0

√1− x2

= 1−√

1− x20 = f (x0) .

PREFACE 195

Por tanto, f es continua en el intervalo abierto ]−1, 1[. También,

lımx→−1+

f (x) = lımx→−1+

(1−

√1− x2

)= 1−

√lım

x→−1+(1− x2) = 1 = f (1) ,

y

lımx→1−


(1−

√1− x2

)= 1−

√lım

x→1−(1− x2) = 1 = f (1) .

Así, f es continua en −1 por la derecha y es continua en 1 por la izquierda, por lo tanto, f es

continua en el intervalo cerrado [−1, 1].

Observación 3.3.1. También se puede definir la continuidad de funciones en otros tipos de

intervalos tales como [a, b[, ]a, b], ]−∞, b] y [a,+∞[.

Decimos que una función f : D (f) ⊆ R → R es continua en el intervalo [a, b[ ⊆ D (f) si f es

continua en ]a, b[ y es continua en a por la derecha.

Definición 3.7. Decimos que una función f : D (f) ⊆ R → R es continua si f es continua en

cada x0 ∈ D (f).


f (x) =

√2− x

3 + x,

determinar si f es continua.

Solución. Primero debemos determinar el dominio de f , para esto

2− x

3 + x≥ 0 ⇒ D (f) = ]−3, 2] .

Claramente la función f es continua en el intervalo abierto ]−3, 2[. Además, es continua en 2 por

la izquierda pues

lımx→2−


√2− x

3 + x= 0 = f (0) ,

pero es discontinua en −3 por la derecha ya que

lımx→−3+

f (x) = lımx→−3+

√2− x

3 + x= +∞.

Por lo tanto, f es continua en todo x0 ∈ ]−3, 2], y según la definición 3.7, se dice que la función

f es continua.

196 PREFACE

Ejemplo 3.13. Encontrar los valores de las constantes α y β que hacen que la función

f (x) =

x+ 2α si x < −2

3αx+ β si − 2 ≤ x ≤ 1

3x− 2β si x > 1

sea continua.

Solución. La función f es continua en ]−∞,−2[ ∪ ]−2, 1[ ∪ ]1,+∞[, pues en ellos la función es

polinómica de grado 1 (afín lineal). Por otro lado, f debe ser continua en −2 y 1, luego

−2 + 2α = lımx→−2−

f (x) = f (−2) = 3α (−2) + β ⇒ 8α− β = 2

3 (1)− 2β = lımx→1+

f (x) = f (1) = 3α (1) + β ⇒ α+ β = 1

Resolviendo el sistema encontramos que α = 13 y β = 2

3 .

Ejemplo 3.14. Determine los valores de x para los cuales f es discontinua,

f (x) =

senx− sen a

x− asi x = a

cos a si x = a

Solución. En primer lugar, calculamos

lımx→a

f (x) = lımx→a

senx− sen a

x− a

= lımh→0

sen (a+ h)− sen a

h

= lımh→0

sen a(cosh− 1)

h+ lım

h→0cos a

senh

h= cos a.

Como f cumple las tres condiciones de la definción de continuidad en x = a, es decir, a ∈ D (f),

existe lımx→a

f (x) y lımx→a

f (x) = f (a), entonces f es continua en cada punto de su dominio.

Ejemplo 3.15. Determine los valores de α y β de modo que la función f sea continua en todo

su dominio

f (x) =

sen |x|x

si − π < x < 0

αx+ β 0 ≤ x < π

cosx π ≤ x ≤ 2π

PREFACE 197

Solución. La función f será continua en todo su dominio si existen los límites de f en 0 y en π.

Así lımx→0−

f (x) = lımx→0+

f (x), de donde

lımx→0

sen (−x)x

= lımx→0

(αx+ β)

entonces

β = −1. · · · (1)

Además, de lımx→π−

f (x) = lımx→π+

f (x) tenemos

lımx→π−

(αx+ β) = lımx→π+

cosx,

por lo que

πα+ β = −1. · · · (2)

De (1) y (2) resulta

α = 0.

Ejercicios 3.2. 1. En los siguientes casos determinar todos los valores de la variable para los

cuales la función dada es continua. Indicar qué teoremas se aplican.

a) f (x) = (x− 5)3(x2 + 4

)5b) f (x) =

x+ 2

x2 − 7x− 6

c) f (x) =√x2 + 4

d) f (x) =√16− x2

e) f (x) =√

4− x

4 + x

f ) f (x) =(

x2

x2 − 4− 1

x

) 13

2. Determinar si la función

f (x) =

√x2 − x− 12 si x < −3

x+ 3 si − 3 ≤ x ≤ 1

4

x+ 1si x > 1

es continua. En caso no lo sea, indicar los intervalos en los cuales la función es continua.

198 PREFACE

3. Determinar si la función dada es continua. En caso no lo sea, indicar los intervalos en los

cuales la función es continua.

a) f (x) =1

x2 − 4

b) f (x) =4

x+ 1

c) f (x) =√x2 − x− 12

d) f (x) =√x− 5

x+ 6

e) f (x) =1√

3 + 2x− x2

f ) f (x) =

2x− 3 si x < −2

x− 5 si − 2 ≤ x ≤ 1

3− x si x > 1

4. Dadas las funciones f y g, definir f ◦ g y determinar los valores de la variable para los

cuales f ◦ g es continua.

a) f (x) = x2; g (x) =√x

b) f (x) =√x; g (x) =

1

x− 2

c) f (x) =√x; g (x) = x+ 1

d) f (x) = 3√x; g (x) =

√x+ 1

e) f (x) =x+ 1

x− 1; g (x) =

√x

5. Encontrar los valores de las constantes α y β que hacen que la función sea continua, y

trazar la gráfica de la función resultante.

a) f (x) =

3x+ 7 si x ≤ 4

αx− 1 si x > 4

b) f (x) =

αx− 1 si x < 2

αx2 si x ≥ 2

c) f (x) =

x si x ≤ 1

αx+ β si 1 < x < 4

−2x si x ≥ 4

PREFACE 199

6. Sea f definida por

f (x) =

g (x) si a ≤ x < b

h (x) si b ≤ x ≤ c

.

Si g es continua en [a, b[ y h es continua en [b, c], ¿podemos afirmar que f es continua en

[a, c]? Si la respuesta es si, demostrarla. Si la respuesta es no, ¿qué condición o condiciones

adicionales asegurarían la continuidad de f en x = b.?

3.4. Funciones continuas en intervalos cerrados.

Las funciones continuas tienen determinadas propiedades globales que son esenciales para el

desarrollo del cálculo. En esta sección presentaremos estas propiedades y mencionaremos algunas

de sus consecuencias.

Teorema 3.6. (Teorema del Valor Intermedio). Si f : [a, b] → R es una función continua

con f (a) < f (b), entonces para cualquier número k ∈ ]f (a) , f (b)[, existe al menos un número

c ∈ ]a, b[ tal que f (c) = k.

X

Y

f

abc1 c2 c3

y=k

f(a)

f(b)

Figura 3.8: Teorema del valor medio

Geométricamente el teorema del valor intermedio establece que si f es una función continua en

el intervalo cerrado [a, b] y si la gráfica de f está por debajo de la recta L : y = k en a y por

encima de esta recta en b, entonces la gráfica de f debe intersecar a la recta L en algún punto c

entre a y b.

En el teorema anterior supusimos que f (a) < f (b). Un resultado análogo se verifica si f (a) >

f (b).

200 PREFACE

Corolario 3.4.1. (Teorema de Bolzano o cero intermedio.) Sean f : [a, b] → R una

función continua con f (a) · f (b) < 0, entonces existe c ∈ ]a, b[ tal que f (c) = 0.

Este corolario es simplemente un caso especial del teorema del valor intermedio.

Ejemplo 3.16. Sean f, g : [a, b] → R funciones tales que f (a) < g (a) y f (b) > g (b). Probar

que f (c) = g (c) para algún número c ∈ ]a, b[.

Solución. Definimos h : [a, b] → R por medio de la regla h (x) = f (x) − g (x). Entonces h es

una función continua en [a, b],

h (a) = f (a)− g (a) < 0

y

h (b) = f (b)− g (b) > 0.

Por lo tanto, por el teorema de Bolzano, existe c ∈ ]a, b[ tal que f (c)− g (c) = h (c) = 0.

Ejemplo 3.17. Probar que la ecuación

x3 − 4x+ 2 = 0

tiene una raíz real en el intervalo ]1, 2[.

Solución. Sea f : [1, 2] → R la función definida por f (x) = x3 − 4x + 2. Tenemos que f es

continua,

f (1) = (1)3 − 4 (1) + 2 = −1

y

f (2) = (2)3 − 4 (2) + 2 = 2.

Entonces, por el teorema de Bolzano, existe al menos un c ∈ ]1, 2[ tal que f (c) = 0; es decir,

c3 − 4c+ 2 = 0.

Observación 3.4.2. En los cursos de Métodos Numéricos se resuelven las ecuaciones no lineales

que incluyen funciones trascendentes.

Problema 3.7. Si f y g son funciones definidas y continuas R tales que:

i)

lımx→−∞

f(x) = +∞ y lımx→+∞

f(x) = −∞

PREFACE 201

ii)

lımx→−∞

f(x) = −∞ y lımx→+∞

f(x) = +∞

Demostrar que existe un c ∈ R tal que f(c) = g(c).

Solución

Si h(x) = f(x)− g(x),∀x ∈ R, resulta que h es continua en R; y

lımx→+∞

h(x) = −∞ y lımx→−∞

h(x) = +∞

Por definición, dado M < 0 existe N > 0 tal que x > N ⇒ h(x) < M ;

y dado K > 0 existe L < 0 tal que x < L⇒ h(x) > K.

Para x = N + 1 se cumple: h(N + 1) < M < 0 y para x = L− 1 se cumple: h(L− 1) > K > 0.

Finalmente, h es continua en el intervalo cerrado [L − 1, N + 1] y tiene signos diferentes en los

extremos del intervalo, h(L− 1) > 0 y h(N + 1) < 0. Por el teorema del cero intermedio, existe

un c ∈]L− 1, N + 1[ tal que h(c) = 0 ⇒ f(c) = g(c).

Definición 3.8. (Funciones acotadas). Sean f : D (f) → R una función y S ⊆ D (f) un

conjunto cualquiera. Decimos que

1. f es acotada superiormente en S si existe ks ∈ R tal que

∀x ∈ S : f (x) ≤ ks.

En este caso, ks se denomina una cota superior de f en S.

2. f es acotada inferiormente en S si existe ki ∈ R tal que

∀x ∈ S : f (x) ≥ ki.

En este caso, ki se denomina una cota inferior de f en S.

3. f es acotada en S si existe ks, ki ∈ R tal que

∀x ∈ S : ki ≤ f (x) ≤ ks.

Teorema 3.7. Si f : [a, b] → R una función continua, entonces f es acotada en [a, b].

Definición 3.9. (Extremos absolutos en intervalos cerrados). Sea f : [a, b] → R una

función, decimos que

202 PREFACE

1. f alcanza valor mínimo absoluto en [a, b] si existe α ∈ [a, b] tal que

∀x ∈ [a, b] : f (x) ≥ f (α) .

En este caso, α se denomina un minorante de f en [a, b] y f (α) es el valor mínimo absoluto

de f en [a, b].

2. f alcanza valor máximo absoluto en [a, b] si existe β ∈ [a, b] tal que

∀x ∈ [a, b] : f (x) ≤ f (β) .

En este caso, β se denomina un mayorante de f en [a, b] y f (β) es el valor máximo absoluto

de f en [a, b].

Optimización en intervalos cerrados

Teorema 3.8. (Teorema de Weierstrass.) Si f : [a, b] → R una función continua, entonces

existen α, β ∈ [a, b] tales que f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) cualquiera sea x ∈ [a, b].

Ejemplo 3.18. Probar que de todos los rectángulos con un perímetro igual a 20 m, hay uno de

área máxima.

Solución. Si R es el rectángulo con dimensiones x e y metros entonces 2x+ 2y = 20.

Si A representa el área de R, entonces

A (x) = x (10− x) , 0 ≤ x ≤ 10.

Vemos que

A(x) = x(10− x) = 10x− x2 = −(x− 5)2 + 25,

es una función cuadrática, continua en el intervalo [0, 10], luego por el teorema de Weierstrass,

existe β ∈ [0, 10] tal que A (x) ≤ A (β) cualquiera sea x ∈ [0, 10]; es decir, A tiene un máximo

absoluto en [0, 10]. Se trata del vértice (5; 25) de la gráfica de A.

Ejemplo 3.19. Dada la función f definida por f(x) =√25− x2, hallar los valores extremos

absolutos de f en [−4, 3]. Justificar su respuesta.

Solución Aplicando el teorema de Wieerstrass a f en [−4, 3]; existen números reales

r, s ∈ [−4, 3] tales que f(r) ≤ f(x) ≤ f(s),∀x ∈ [−4, 3].

Estos números r y s se pueden determinar gráfica y analíticamente.

La gráfica de y = f(x) =√25− x2 ⇒ y2 + x2 = 25, y ≥ 0, semicircunferencia.

PREFACE 203

De la gráfica de f , sus extremos absolutos en [−4, 3] se encuentran en r = −4 y s = 0, pues

f(−4) = 3 ≤ f(x) ≤ f(0) = 5,∀x ∈ [−4, 3].

Analíticamente,

−4 ≤ x ≤ 0 ⇒ 0 ≤ x2 ≤ 16 ⇒ 3 ≤√

25− x2 ≤ 5,

0 ≤ x ≤ 3 ⇒ 0 ≤ x2 ≤ 9 ⇒ 4 ≤√

25− x2 ≤ 5,

de la unión de estos dos intervalos, 3 ≤ f(x) ≤ 5, es decir, los extremos absolutos son 3 y 5.

Ejercicios 3.3. Si f(x) =√

sen(x2 + 7), justificar que la función f alcanza sus extremos abso-

lutos en el intervalo cerrado [1, 4].

Ejemplo 3.20. Sea f : R → R+ una función continua tal que

lımx→−∞


f (x) = 0.

Demostrar que f es acotada.

Solución. Como lımx→−∞


f (x) = 0, existen M1 < 0 y M2 > 0 tales que

x < M1 ⇒ |f (x)| < 1

y

x > M2 ⇒ |f (x)| < 1.

Por otro lado, existe N1 > 0 tal que

∀x ∈ [M1,M2] : |f (x)| < N1.

Definiendo N = max {1, N2}, resulta que

∀x ∈ R : |f (x)| < N ,

pues

x ∈ ]−∞,M1[ ∪ ]M2,+∞[ ⇒ |f (x)| < 1 ≤ N

y

x ∈ [M1,M2] ⇒ |f (x)| < N1 ≤ N.

Ejemplo 3.21. ¿Cuál de los cilindros cuyo perímetro de la sección axial es P = 100 cm tiene

mayor área lateral?

Solución.

Sean h la altura y x el radio del cilindro. Del dato P = 100 = 2πx+ h.

El área lateral del cilindro, A = 2πxh⇒ A(x) = 2πx(100− 2πx), 0 ≤ x ≤ 50π

204 PREFACE

La función A es una una función cuadrática, continua en el intervalo [0, 50π ]; por lo tanto, cumplen

con las condiciones del teorema de Wieerstrass. La gráfica de A es una parábola y el máximo

absoluto de A en [0, 50π ] se halla determinando su vértice: V (25π ; 2500). El mínimo absoluto se da

en los extremos del intervalo: A(0) = A(50π ) = 0.

Ejemplo 3.22. Un cono recto dado lleva inscrito un cilindro de manera que los planos y los

centros de las bases circulares del cilindro y del cono coinciden. ¿Cuál debe ser la relación de los

radios de las bases del cilindro y del cono para que la superficie lateral del cilindro sea la mayor

posible?

Solución. Sean r el radio y h la altura del cono; x el radio y y la altura del cilindro. Identificamos

los datos y las variables: las dimensiones del cono son los datos y las del cilindro son las variables.

Entonces el área lateral del cilindro, A = 2πxy.

A B

C

r

h

x

y

E

Figura 3.9: cilindro inscrito en un cono

Por semejanza de triángulos, el sombreado y elaABC da

h− y

x=h

r⇒ y = h

(r − x

r

).

El área lateral como función de x

A(x) =2πh

r(rx− x2), 0 ≤ x ≤ r.

Completando cuadrados,

A(x) = −2πh

r

[(x− r

2

)2+πhr

2

], 0 ≤ x ≤ r.

Cuando x = r2 se da el máximo valor de A( r2) =

πhr2 .

PREFACE 205


1. Probar que x3 − 3x+ 1 tiene una raíz real en el intervalo ]1, 2[.

2. Probar que todo polinomio de grado impar tiene una raíz real.

3. Sea f : [a, b] → R una función continua tal que f (a) · f (b) < 0. Demostrar que la ecuación

(a− x)2 (x− b) f (x) = 0 tiene por lo menos tres raíces reales distintas en [a, b].

4. Explicar por qué la función f definida por

f (x) =x6 + 5x5 − 2x+ 8

x4 + 10

para todo x ∈ [0, 5] tiene un máximo y un mínimo. (No deben tratar de hallar los valores

correspondientes).

5. Sea f : [−1, 1] → R la función definida por

f (x) =

{x si − 1 < x < 1

0 si x = −1 o x = 1.

a) ¿Tiene f máximo y mínimo en [−1, 1]?

b) ¿Es continua f para todo x ∈ ]−1, 1[?

6. Sea f : R+ → R la función definida por

f (x) =

{x+ 1 si 0 < x ≤ 1

1 si x > 1.

Probar que f alcanza un máximo y un mínimo. Comprobar que, sin embargo, no se verifica

ninguna de las condiciones del teorema de los valores extremos.

7. Demostrar que de todos los rectángulos inscritos en un circulo dado, hay uno cuya área es

máxima.

8. Demostrar que de todos los rectángulos con un perímetro determinado, hay uno cuya área

es máxima.

9. En el diseño de una cafetería se estima que si existen lugares para 40 a 80 personas, la

utilidad semanal será de $8 por lugar. Sin embargo, si la capacidad de asientos sobrepasa

los 80 lugares, la ganancia semanal por lugar estará reducida en 4 centavos por cada lugar

excedente. Probar que hay un valor máximo para la utilidad semanal.

206 PREFACE

10. Hacer un esquema de la gráfica de una función discontinua en un intervalo abierto acotado

cuya imagen sea:

a) un intervalo abierto y acotado.

b) un intervalo cerrado y acotado.

11. ¿Cuántos tipos de funciones continuas existen satisfaciendo f2 (x) = x2 para todo x?

a) Supongamos que f es continua, que f (x) = 0 solamente para x = a, y que f (x) > 0

para algún x > a así como para algún x < a. Qué puede decirse acerca de f (x) para

todo x = a?

b) Aplicando sólo el hecho de que x2+xy+y2 = 0 si x e y no son ambos cero, demostrar

que x2 + xy + y2 > 0 si x e y no son ambos cero.

c) Del mismo modo, discutir el signo de x3 + x2y+ xy2 + y3 cuando x e y no son ambos

cero.

12. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función continua.

a) Graficar esta función junto con la recta L : y = x.

b) Demostrar que la ecuación f (x) = x tiene al menos una solución en el intervalo [0, 1].

(Cualquier solución de f (x) = x se denomina un punto fijo. El resultado que se pide

probar es un caso particular sencillo del teorema del punto fijo de Brower, que se aplica

frecuentemente en economía.)

c) El ejercicio ¿ demuestra que f corta a la diagonal del cuadrado de longitud 1. Demos-

trar que f debe también cortar a la otra diagonal.

d) Demostrar el siguiente hecho más general: si g es continua en [0, 1] y g (0) = 0, g (1) = 1

o g (0) = 1, g (1) = 0, entonces f (x) = g (x) para algún x.

13. Supongamos que f es continua y lımx→+∞

f (x)

xn= 0 = lım

x→−∞

f (x)

xn.

a) Demostrar que si n es impar, entonces existe un número c tal que cn + f (c) = 0.

b) Demostrar que si n es par, entonces existe un número c tal que cn+ f (c) ≤ xn+f (z)

para todo x.

14. Sea f una función polinómica cualquiera. Demostrar que existe algún número c tal que

|f(c)| ≤ |f(x)|,∀x

PREFACE 207

15. Sea f : R → R+ una función continua tal que

lımx→−∞

f(x) = lımx→+∞

f(x) = 0

Demostrar que existe algún número c tal que f (c) ≥ f (x) , ∀x.


Problema 3.8. Sea g una función tal que es continua en x = 0 con g(0) = 0 y

|f(x)| ≤ |g(x)|, ∀x ∈ R.

Pruebe que f es continua en x = 0.

Solución

De las condiciones g(0) = 0 y |f(x)| ≤ |g(x)|,∀x ∈ R,

lımx→0

g (x) = g (0) = 0.

De |f(x)| ≤ |g(x)| ⇒ −|g(x)| ≤ f(x) ≤ |g(x)|.Por la propiedad: si lım

x→0g (x) = 0 entonces lım

x→0|g (x)| = 0, se tiene

lımx→0

(− |g (x)|) = − lımx→0

(|g (x)|) = 0.

Por teorema del sandwich aplicado en − |g (x)| ≤ f (x) ≤ |g (x)|, lımx→0

(|f (x)|) = 0.

Como f(0) = g(0) = 0, se concluye que f es continua en 0.


f (x) =

√1− cosx

senx, x = 0

1√2, x = 0

Analice si f es continua en x = 0. Si no lo es, indique el tipo de discontinuidad.

Solución

No es continua en x = 0.

De

lımx→0

√1− cosx

senx= lım

x→0

|senx|senx

√1 + cosx

,

no existe lımx→0

√1− cosx

senx.

208 PREFACE

En efecto.

Si x > 0 ⇒ lımx→0+

|senx|senx

√1 + cosx

=1√2.

Si x < 0 ⇒ lımx→0−

|senx|senx

√1 + cosx

= − 1√2.

La discontinuidad es no evitable o esencial.

Problema 3.10. Encontrar los valores de a y b para la función f sea continua en 0 y en π.

f(x) =

sen |x|x

, x ∈]− π, 0[

[|x|] + b, x ∈]0, π[

cos(x) + ab, x ∈]π, 2π[

Solución. Por límites laterales en x = 0 y en x = π.

lımx→0−

(−senx

x

)= −1; lım

x→0+([|x|] + b) = b⇒ b = −1

lımx→π−

([|x|] + b) = 3 + b = 2; lımx→π+

(cos(x) + ab) = −1− a⇒ a = −3

Problema 3.11. Esbozar la gráfica de la función f definida por

f(x) =

√4x2 + x+ 1, x > 0

x2

x2 − 1, x ≤ 0

indicando sus asíntotas y los puntos de discontinuidad.

Solución. Asíntota vertical. La recta x = −1 es asíntota vertical, pues

lımx→−1−

x2

x2 − 1= +∞ o lım

x→−1+

x2

x2 − 1= −∞

La recta y = 1 es asíntota horizontal,

lımx→−∞

x2

x2 − 1= 1.

Asíntota oblicua, de

m = lımx→+∞

√4x2 + x+ 1

x= 2.

PREFACE 209

b = lımx→+∞

(√4x2 + x+ 1− 2x

)=

1

4

la recta y = 2x+ 14 , es asíntota oblicua.

f no es continua en x = −1 porque no es parte de su dominio, además la recta x = −1 es asíntota

vertical.

En x = 0, de los límites laterales:

lımx→0−

x2

x2 − 1= 0,

lımx→0+

√4x2 + x+ 1 = 1,

no es continua.

Para esbozar la gráfica f , sea

y =√

4x2 + x+ 1 ⇒ y2 − 4(x+1

8)2 =

15

16, y ≥ 0, x > 0

es una parte de la rama superior derecha de la hipérbola, con eje focal x = −18 .


1. Analice en cada caso si la función f es continua en el número x0. En caso de ser discontinua,

indique el tipo de discontinuidad. Muestre gráficamente esa discontinuidad.

a) f(x) =x+ 1

x− 1, x = 1, x0 = 3

b) f(x) =

x2 − 1

x+ 1, x = −1

6, x = −1.

x0 = −1;

c) f(x) =

x2 − 2, x ≥ 2

3x− 4, x < 2.

x0 = 2;

2. Las siguientes funciones f tienen discontinuidad evitable en x = a. Redefina f como

F (x) =

f(x), x = a

lımx→a

f(x), x = a

de tal manera que F sea continua en x = a.

a) f(x) =x2 − 2x− 8

x+ 2, a = −2.

b) f(x) =x3 + 64

x+ 4, a = −4.

210 PREFACE

c) f(x) =3−

√x

9− x, a = 9.

d) f(x) = x sen( 1x), a = 0.

3. ¿Cuántos puntos de discontinuidad (y de qué genero) tiene la función y =1

ln |x|? Esboce

su gráfica.

4. Si f : R → R es una función tal que |f(x)| ≤ |x|,∀x ∈]− 1, 1[, demuestre que f es continua

en x = 0.

Teoremas sobre continuidad

5. Sea f una función y c ∈ D(f) tal que existe

lımx→c

f(x)− f(c)

x− c, x ∈ D(f).

Demuestre que f es continua en c.

6. Suponga que f satisface f(x+ y) = f(x) + f(y), y que f es continua en 0. Demuestre que

f es continua en a para todo a ∈ R.

7. Analice la continuidad de la función máximo entero f(x) = [|x|], definida mediante

[|x|] = k ⇔ k ≤ x < k + 1, k ∈ Z.

8. Sea f(x) = x− [|x|]. Determine los puntos de discontinuidad de f y construya su gráfica.

9. Analice la continuidad de f ◦ g en x0.

a) f(x) =

sen(x+ 4)

x+ 4, x = −4

1, x = −4.

x0 = −4;

g(x) =

x2 − 4

x+ 2, x = −2

−4, x = −2.

x0 = −2;

b) f(x) =

√5x+ 1, x > 3

3x− 5, x ≤ 3.

x0 = 3;

g(x) =

x+ 1, x ≥ 2

2x− 1, x < 2.

x0 = 2;

PREFACE 211

10. Halle el valor de las constantes a y b para que las funciones dadas sean continuas.

a) f(x) =

x+ 1, x < 1

ax+ b 1 ≤ x < 2

3x, x ≥ 2.

b) f(x) =

a(cosx− senx)

cos 2x, 0 ≤ x < π

4

2x tanx− π

cosxπ4 ≤ x < π

2

b, x = π2 .

c) f(x) =

senx

x, −π < x < 0

ax+ b, 0 ≤ x < π

cosx, π ≤ x ≤ 2π.

Funciones continuas en intervalos cerrados

11. Muestre gráfica y analíticamente, que la ecuación dada, tiene al menos una solución.

a) x2 =√x+ 1, [1, 2]

b) cosx = x, [0, 1]

c) x3 − 4x+ 2 = 0, [1, 2]

d) x3 − 6x+ 3 = 0, [−5, 5].

12. Se dice que una función g tiene un punto fijo en c si g(c) = c. El punto (c, g(c)) se obtiene

intersecando las gráficas de y = x con y = g(x).

a) Halle los puntos fijos de la funnción f(x) = x2 + 2x− 6.

b) Demuestre que la función f(x) = x2 + 2 sen(πx)− 1, tiene al menos dos puntos fijos.

c) Demuestre que toda función continua con dominio y rango en [0, 1] tiene al menos un

punto fijo.

13. La suma de los lados de un ángulo dado de un triángulo es igual a 100 cm. ¿Cuánto deben

medir los lados para que el área del triángulo sea la mayor posible?

14. Pruebe la existencia del número irracional√2.

Sugerencia. Aplique el TVI a f(x) = x2 − 2 en [1, 2].

212 PREFACE

15. Demuestre que f es continua en x = a si y solo si lımh→0

f(a+ h) = f(a).

16. Demuestre que la ecuación

4− 2x − x = 0,

tiene una raíz real. Ubique dicha raíz en un intervalo de longitud 12 .

17. Analice en R, la continuidad de la función

f(x) = [|x|]− x.

Esboce su gráfica.

Capítulo 4

La derivada

4.1. Introducción.

Problema de la recta tangente

En el capítulo 2 discutimos el problema de la recta tangente a la gráfica de una función en un

punto de la misma. Específicamente vimos que si f es una función definida en un intervalo abierto

que contiene al número real x0.

O 1

P0

T

X

Y

f

Q

SP0Q

x0

La pendiente de la recta SP0Q secante a la gráfica de f que pasa por los puntos P0 (x0, f (x0)) y

Q (x0 + h, f (x0 + h)) esta dada por

mSP0Q=f (x0 + h)− f (x0)

h.

Sabemos que la pendiente de las rectas no verticales es un número real y la pendiente de las

rectas verticales es ∞. Intuitivamente, la pendiente de una recta T tangente a la gráfica de f en

el punto P0 se determina como el límite de mSP0Qcuando h→ 0, es decir, Q tiende a P0,

mT = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h,

213

214 PREFACE

si el límite existe.

Si

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= ∞,

se entiende que la recta SP0Q se aproxima a la recta T la cual es vertical. Esta discusión nos

conduce a la siguiente definición.

Definición 4.1. (Recta tangente). Si la función f es continua en x0, entonces la recta tangente

a la gráfica de f en el punto (x0, f (x0)) es

1. la recta

T : y = mT (x− x0) + f (x0)

donde la pendiente mT se determina por la igualdad

mT = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h(4.1.1)


2. la recta

T : x = x0

si

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= ∞ (4.1.2)

Si no se cumple la definición 4.1, entonces no existe recta tangente a la gráfica de f en el punto

(x0, f (x0)).

Notación 4.1.1. Llamaremos al punto de contacto entre la recta tangente y la gráfica de una

función, como punto de tangencia o punto tangente.

Definición 4.2. (Recta normal). La recta normal de una gráfica en un punto tangente es la

perpendicular a la recta tangente en dicho punto.

Ejemplo 4.1. Encontrar ecuaciones, si existen, para las rectas tangentes y rectas normales a la

gráfica de la función f (x) = 3√x en los puntos: (1, 1) y (0, 0).

PREFACE 215

Solución. Para hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1; 1)

usamos la definición (4.1.1) de recta tangente,

mT = lımh→0

f (1 + h)− f (1)

h= lım

h→0

3√1 + h− 3

√1

h

= lımh→0

(3√1 + h− 1

h

) 3

√(1 + h)2 + 3

√1 + h+ 1

3

√(1 + h)2 + 3

√1 + h+ 1

= lım

h→0

h

h

(3

√(1 + h)2 + 3

√1 + h+ 1

)=

1

3.

Por lo tanto, la recta tangente y recta normal a la gráfica de f en el punto tangente (1, 1) son:

LT : y =x

3+

2

3, LN : y = −3x− 4.

En el punto (0, 0), procedemos de la misma manera. Así

lımh→0

f (0 + h)− f (0)

h= lım

h→0

3√h− 0

h= lım

h→0

13√h2.

Sabemos que

lımh→0+

13√h= +∞ y lım

h→0−

13√h= −∞,

así

lımh→0

3

√(0 + h)2 − 3

√0

h= ∞

y según la ecuación 4.1.2, la recta tangente a la gráfica de f en el punto (0, 0) es el eje Y ,

LT : x = 0, la recta normal es el eje X, LN : y = 0 .

El problema de la velocidad

Discutiremos ahora un problema distinto, por el contexto físico en el que aparece, sin embargo,

y sorprendéntemente, con solución similar a la del problema de la tangente.

Imaginemos una partícula P que se mueve sobre el eje X. Supongamos que conocemos la abscisa

x de la partícula en cada instante t; esto es, x = f (t).

La experiencia con objetos en movimiento nos da una idea intuitiva de velocidad; pero ¿qué

significa exactamente hablar de la velocidad v de la partícula en el tiempo t, y cómo podemos

calcular esta velocidad? Una manera de entenderla es a través del concepto de velocidad pro-

medio, es decir, la razón del cambio de posición de la partícula durante un intervalo de tiempo

transcurrido.

216 PREFACE

Ejemplo 4.2. Suponiendo que la posición x de un cuerpo que se mueve sobre el eje X está dada

por

x = 16t2, t ≥ 0,

donde x se mide en metros y t en segundos. Calcular la velocidad promedio para los intervalos

de tiempo desde t = 1 hasta t = 2, y desde t = 2 hasta t = 3, respectivamente.

Solución. Para calcular la velocidad promedio durante el intervalo de tiempo [1, 2], notamos

que el cambio de posición de la partícula es

∆x = f (2)− f (1) = 16 (2)2 − 16 (1)2 = 48 m,

y que el tiempo transcurrido es

∆t = 2− 1 = 1 s.

Así, la velocidad promedio es

vP [1, 2] =∆x

∆t=

48

1= 48 m/s.

Análogamente, la velocidad promedio entre t = 2y t = 3,

vP [2, 3] =∆x

∆t=f (3)− f (2)

3− 2=

144− 64

1= 80m/s

En el ejemplo anterior, la velocidad promedio obviamente no es constante; y no proporciona

información específica acerca del movimiento de la partícula en cualquier instante. Por ejemplo,

si una persona conduce un carro una distancia de 128 Km en la misma dirección, y le toma

hacerlo 2 horas, su velocidad promedio al viajar esa distancia es

vP [0, 2] =128

2− 0= 64 Km/h.

Sin embargo, de esta información no podemos concluir nada acerca de la lectura del velocímetro

del carro en cualquier tiempo particular durante el período de 2 horas. La lectura del velocímetro

durante un período particular se refiere a la velocidad instantánea.

Ejemplo 4.3. En el ejemplo anterior calcular la velocidad promedio en el instante t = 2.

Solución. Notemos que si t > 2

vP [2, t] =f (t)− f (2)

t− 2=

16t2 − 64

t− 2,

y si t < 2 resulta que

vP [t, 2] =64− 16t2

2− t=

16t2 − 64

t− 2.

PREFACE 217

De las ecuaciones anteriores, la velocidad promedio durante un intervalo de tiempo que inicie o

termine en 2 es

vP (t) =16t2 − 64

t− 2, t ∈ R+

0 − {2} .

Es claro que no tiene sentido formar la razón del cambio de posición al tiempo transcurrido en

un instante. Lo que hacemos para calcular la velocidad en el instante t = 2 es determinar la

velocidad promedio durante un intervalo de tiempo muy corto, es decir,

v (2) = lımt→2

vP (t) = lımt→2

16t2 − 64

t− 2= 64m/s.

Con los cambios de variable apropiados obtenemos la siguiente definición.

Definición 4.3. (Velocidad instantánea). Si una partícula se mueve sobre el eje X y la

abscisa x m de la partícula en cada instante t s es definida por la ecuación x = f (t), entonces

1. la velocidad promedio de la partícula en el intervalo de tiempo [t1, t1 + h] es

vp [t1, t1 + h] =f (t1 + h)− f (t1)

h.

2. la velocidad instantánea de la partícula en el instante de tiempo t1 es

v (t1) = lımh→0

f (t1 + h)− f (t1)

h


La velocidad instantánea puede ser positiva o negativa, dependiendo de si la partícula se mueve

en el sentido positivo o negativo del eje X. Cuando la velocidad instantánea es cero, la partícula

está en reposo.

Definición 4.4. La rapidez de una partícula en cualquier tiempo está definida como el valor

absoluto de la velocidad instantánea.

Debe quedar claro que la rapidez indica únicamente la celeridad con que se mueve la partícula,

mientras que la velocidad nos indica también el sentido del movimiento.

Ejemplo 4.4. Una circunferencia de radio 2 rueda, sin deslizarse, sobre una recta. El centro

de la circunferencia se mueve con velocidad constante v. Halle la velocidad de variación de la

abscisa x y la ordenada y para un punto P (x; y) de la circunferencia.

Solución.

218 PREFACE

P describe una curva denominada cicloide1 con ecuaciones paramétricas

C :

x = 2(t− sen(t))

t ∈ R.y = 2(1− cos(t))

Por lo tanto, la velocidad de su abscisa y de su ordenada en cualquier punto están dados por

vx(t) =dx(t)

dt= 2(1− cos(t) y vy(t) =

dy(t)

dt= 2 sen(t).

�

Ejercicios 4.1. Resuelva los siguientes problemas.

1. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto P0

indicado.

a) f (x) = 3x2 − 5, P0 = (2, 2).

b) f (x) = 1− x3, P0 = (0, 1).

c) f (x) =√x+ 7, P0 = (2, 3).

d) f (x) =1

2x− 1, P0 =

(−1,−1

3

).

e) f (x) = x23 , P0 = (0, 0).

2. Una partícula se mueve sobre el eje X de acuerdo con la ecuación de movimiento x = f (t),

donde x m es la distancia dirigida desde el origen de coordenadas a la partícula en t s.

Encontrar la velocidad v (t1) m/s en t1 s, sabiendo que:

a) f (t) = 3t2 + 1, t1 = 3.

b) f (t) = 8− t2, t1 = 5.

c) f (t) =√t+ 1, t1 = 3.

d) f (t) =2√

5t+ 6, t1 = 2.

e) f (t) = 3√t+ 2, t1 = 6.

1En la página 272 de Lehmann, Geometría Analítica, se deduce las ecuaciones paramétricas de la cicloide.

PREFACE 219

4.2. La derivada de una función.

En la sección anterior vimos que, el límite que indica la ecuación 4.1 se puede aplicar a una función

f sólo como operación matemática, sin tener en cuenta su posible interpretación geométrica o

física. A este proceso matemático se le conoce como derivación, y da como resultado uno de los

conceptos fundamentales del cálculo al cual se le llama derivada de la función f en un punto.

Veamos la siguiente definición.

Definición 4.5. (Derivada.) Sea f una función cuyo dominio D (f) contiene un intervalo abierto

I en el que está el número real x0. Decimos que

1. La función f es derivable en x0, si

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

existe.

2. Si f es derivable en x0, la derivada de la función f en x0, denotada por f ′ (x0), es el número

real definido por

f ′ (x0) = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h. (4.2.1)

Notación 4.2.1. La derivada de f(x) evaluada en x = x0, se denota también como

f ′(x0) =df(x)

dx

∣∣∣∣x=x0

El requisito de que D (f) contenga un intervalo abierto al cual pertenezca x0, es necesario para

estar seguros de que x0 + h también está en D (f) cuando h es suficientemente pequeño, y para

que se puedan tomar en cuenta los puntos x0 + h a ambos lados de x0 durante el proceso del

cálculo del límite.

Si f es derivable en x0 y escribimos x = x0 + h, entonces una forma equivalente de establecer la

definición de derivada de f en x0 es

f ′ (x0) = lımx→x0

f (x)− f (x0)

x− x0. (4.2.2)

Ejemplo 4.5. Demostrar que la función f definida por f (x) = x2−8x+9 es derivable en x = 2.

Hallar f ′ (2).

220 PREFACE


lımh→0

f (2 + h)− f (2)

h= lım

h→0

[(2 + h)2 − 8 (2 + h) + 9

]− (−3)

h

= lımh→0

h2 − 4h

h= lım

h→0(h− 4)

= −4,

por lo tanto, f es derivable en 2 y f ′ (2) = −4.

Comparando la fórmula (4.2.1), definición de derivada, con la ecuación (4.1.1), página 214,

de pendiente de recta tangente de la sección anterior, notamos que la derivada de f evaluada

en x0 se puede identificar con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto

(x0, f (x0)). Por lo tanto, reformularemos la definición 4.1 página 214, de la siguiente manera.

Definición 4.6. (Recta tangente.) Si la función f es continua en x0, entonces la recta tangente

a la gráfica de f en el punto (x0, f (x0)) es:

1. la recta T : y = f ′ (x0) (x− x0) + f (x0) si f es derivable en x0,

2. la recta L : x = x0 si f no es derivable en x0 pero

f ′(x0) = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= ∞.

Definición 4.7. (Derivada Lateral.) Si la función f está definida en x0„ entonces

1. f es derivable por la derecha en x0, denotada por f ′+(x0), si

lımh→0+

f (x0 + h)− f (x0)

h

existe, en ese caso, se define la derivada de f por la derecha de x0 como el valor de tal

límite.

2. f es derivable por la izquierda en x0, denotada por f ′−(x0), si

lımh→0−

f (x0 + h)− f (x0)

h

existe, en ese caso, se define la derivada de f por la izquierda de x0como el valor de tal

límite.

PREFACE 221

Si las derivadas laterales existen, haciendo x = x0 + h resulta que

f ′+(x0) = lımx→x+

0

f (x)− f (x0)

x− x0

y

f ′−(x0) = lımx→x−

0

f (x)− f (x0)

x− x0.

Teorema 4.1. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al número real

x0. Una condición necesaria y suficiente para que f sea derivable en x0 es que las derivadas por

la derecha y por la izquierda en x0 existan y sean iguales.

Ejemplo 4.6. Dada

f (x) =

√2x− x2 si 0 < x < 1

1 si 1 ≤ x ≤ 2

x− 2 si x > 2,

determinar si f es derivable en x0 = 1 y x0 = 2.

Solución. Para x0 = 1 tenemos

f ′−(1) = lımx→1−

f (x)− f (1)

x− 1= lım

x→1−

√2x− x2 − 1

x− 1

= lımx→1−

− (x− 1)2

(x− 1)[√

2x− x2 + 1]

= lımx→1−

1− x√2x− x2 + 1

= 0,

f ′+ (1) = lımx→1+

f (x)− f (1)

x− 1= lım

x→1+

1− 1

x− 1= 0.

Así, f es derivable en x0 = 1 y f ′ (1) = 0.

En x0 = 2, la función no es continua, luego f no es derivable en x0 = 2. �

Ejercicio 4.1. Muestre gráficamente los resultados del ejemplo anterior.

Teorema 4.2. Si una función f es derivable en x0, entonces f es continua en x0.

222 PREFACE

Demostración. Como x0 ∈ D (f), falta demostrar que

lımx→x0

f (x) = f (x0) ,

o equivalentemente

lımh→0

f (x0 + h) = f (x0) .

En efecto, si h = 0 y x0 + h está en el dominio de f , entonces

lımh→0

[f (x0 + h)− f (x0)] = lımh→0

(f (x0 + h)− f (x0)

h

)h

= lımh→0

(f (x0 + h)− f (x0)

h

)lımh→0

(h)

= f ′ (x0) (0)

= 0.

Luego

lımh→0

f (x0 + h) = lımh→0

{[f (x0 + h)− f (x0)] + f (x0)}

= lımh→0

[f (x0 + h)− f (x0)] + lımh→0

f (x0)

= f (x0) .

Por lo tanto, f es continua en x0. �

El recíproco del teorema anterior no es válido, es decir, existen funciones que son continuas en

un número, pero que no son derivables en dicho número.

Ejemplo 4.7. Sea f la función definida por f (x) = |x|.

1. Probar que f es continua en 0.

2. Demostrar que f no es derivable en 0.

Solución

1. Sabemos que

lımx→0

f (x) = lımx→0

|x| = 0 = f (0) ,

por tanto, f es continua en 0.

2. Debemos demostrar que lımh→0

f (0 + h)− f (0)

hno existe. Calculemos las derivadas laterales

por separado,

lımh→0+

f (h)− f (0)

h= lım

h→0+

|h|h

= lımh→0

h

h= lım

h→01 = 1,

PREFACE 223

y

lımh→0−

f (h)− f (0)

h= lım

h→0−

|h|h

= lımh→0

(−h)h

= lımh→0

(−1) = −1.

Puesto que los límites laterales son diferentes, f no es derivable en 0.

Definición 4.8. Una función f de dice derivable en un intervalo abierto ]a, b[ si lo es en todos

los números de ]a, b[.

Teorema 4.3. Sea f diferenciable en ]a− δ, a+ δ[, con δ > 0.

1. Si f es continua por derecha en x = a, es decir, lımx→a+

f(x) = f(a) y si

lımx→a+

f ′(x) = L

entonces f es diferenciable por la derecha en a y f ′+(a) = L.

2. Si f es continua por izquierda en x = a, es decir, lımx→a−

f(x) = f(a) y si

lımx→a−

f ′(x) = L

entonces f es diferenciable por la izquierda en a y f ′−(a) = L.

Corolario 4.1. Sea f continua en a y diferenciable en ]a− δ, a+ δ[−{c}, con δ > 0. Si

lımx→a+

f ′(x) = K y lımx→a−

f ′(x) = L

entonces f es diferenciable en a si y solamente si K = L y f ′(a) = K = L.


f(x) =

a(x− 1)2 + 2, x ≥ 1

−(x− 1)2 + b, x < 1

Halle los valores de a y b para que exista f ′(1).

Solución.

Continuidad de f en x = 1,

lımx→1+

f(x) = 2 = b = lımx→1−

f(x)

Aplicando el corolario anterior para ver si existe f ′(1),

lımx→1+

f ′(x) = 0 = lımx→1−

f ′(x) ⇒ ∃f ′(1) y f ′(1) = 0.

224 PREFACE

También se consideran funciones que son derivables en un intervalo infinito ]a,+∞[, ]−∞, a[ o

bien R.

Definición 4.9. (Derivada en intervalos cerrados.) Una función f de dice que derivable en

un intervalo cerrado [a, b] si f es derivable en ]a, b[, y f ′+ (a) y f ′− (b) existen.

Observación 4.2.1. Si f es una función definida en un intervalo cerrado [a, b] y no está definida

fuera de él, entonces las derivadas por la derecha y por la izquierda permiten definir las pen-

dientes de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos extremos P (a, f (a)) y Q (b, f (b)),

respectivamente. Por lo tanto, para obtener la pendiente de la recta tangente en P se toma el

valor límite de las pendientes de las rectas secantes que pasan por P y R (a+ h, f (a+ h)), h > 0,

cuando R tiende a P por la derecha. Para la recta tangente en Q, se consideran las pendientes

de las rectas secantes que pasan por Q y S (b+ h, f (b+ h)), h < 0, cuando S tiende a Q por la

izquierda.

La derivabilidad de una función en intervalos de la forma ]a, b], ]−∞, b], [a, b[ o [a,+∞[ se define

usando la derivabilidad lateral en uno de los puntos extremos.

Definición 4.10. Una función se dice que es derivable si es derivable en cada número de su

dominio.

Si f es derivable para todo x de un conjunto, asociando a cada x el número f ′ (x), se obtiene

una función f ′ llamada la derivada de f . La siguiente es la definición precisa.

Definición 4.11. (Función derivada .) Sea f : D (f) ⊆ R → R una función derivable en el

conjunto I ⊆ D (f). La derivada de f , denotada por f ′, es la función cuyo dominio es I y tal

que su valor de función en cualquier número x ∈ I está dado por f ′ (x).

El dominio de f ′ es el conjunto

D(f ′)={x ∈ D (f) : f ′ (x) existe

}y siempre es un subconjunto del dominio de f .

Notación 4.2.2. Sea y = f(x) donde f es derivable entonces

y′ =dy

dx=f(x)

dx= Dxf(x)

Ejemplo 4.9. Si

f (x) =√x− 5, x ≥ 5

determinar la función f ′. ¿Cuál es el dominio de f ′?

PREFACE 225

Solución. Cuando se utiliza la fórmula para calcular una derivada, se debe recordar que la

variable es h y que x se considera como constante durante el cálculo del límite. Tenemos así,

f ′ (x) = lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h

= lımh→0

√(x+ h)− 5−

√x− 5

h

= lımh→0

h

h(√x+ h− 5 +

√x− 5

)= lım

h→0

1√x+ h− 5 +

√x− 5

=1

2√x− 5

.

Vemos que f ′ existe si x > 5, D(f ′) ⊂ D(f). �

Antes de terminar esta sección, observemos que el concepto de velocidad instantánea corresponde

al concepto más general de razón de cambio instantánea. Con discusión análoga, si una cantidad

y es una función de una cantidad x, podemos justificar la siguiente definición.

Definición 4.12. (Derivada como razón de cambio). Sean f : D (f) ⊆ R → R una función

definida por y = f (x), I ⊆ D (f) un intervalo abierto y x0 ∈ I.

1. La razón de cambio promedio de y por unidad de cambio de x, cuando x cambia de x0 a

x0 + h, se define por

RCP [x0, x0 + h] =f (x0 + h)− f (x0)

h.

2. Si f es derivable en x0, la razón de cambio (instantánea) de y por unidad de cambio de x

en x0, se define por

RC (x0) = f ′ (x0) =df(x)

dx

∣∣∣∣x=x0

.

En general, un solo concepto matemático como la derivadady

dxtiene diferentes interpretaciones

como razón de cambio en distintas áreas de las ciencias; por ejemplo:

1.dV

dh, puede interpretarse como la razón de cambio del volumen respecto a la altura.

2. a(t) =dv

dt, como la razón de cambio de la velocidad instantánea respecto al tiempo.

3. La densidad lineal ρ =dm

dx, como la razón de cambio de la masa con respecto a la longitud.

226 PREFACE

4.dc

dq, como la razón de cambio del costo respecto al número de unidades de un producto.

5.dP

dt, como la razón de cambio de la población respecto al tiempo.

Ejemplo 4.10. Si V cm3 es el volumen de un cilindro circular recto de altura constante de 10

cm y radio de la base r cm.

1. Encontrar la razón de cambio promedio de V cuando r cambia de 5 a 5.1 cm.

2. Determinar la razón de cambio instantánea de V cuando r es 5 cm.

Solución. Volumen del cilindro de altura h = 10

V (r) = 10πr2.

1. Por definición

RCP [5, 5,1] =V (5,1)− V (5)

5,1− 5=

10π (5,1)2 − 10π (5)2

0,1== 101π cm2.

2. Debemos determinar V ′ (5). Para esto, calculamos

V ′(5) = lımr→5

V (r)− V (5)

r − 5= lım

r→5

10π (r − 5) (r + 5)

r − 5= 100π cm2

Luego, 100π cm2 es la razón de cambio pedida.

Movimiento vertical

En el caso del movimiento vertical denotaremos a la función de posición como y(t). Ésta repre-

sentará la altura sobre el suelo en el instante t, la velocidad será v(t) =dy

dty se tomará en cuenta

la constante de gravedad g = 9,8 m/s2.

Si una partícula se lanza hacia arriba en forma recta desde una altura inicial y0 sobre el suelo en

el instante t = 0 y con una velocidad inicial v0 y si la resistencia del aire es despreciable entonces

su altura y en cualquier instante t estará dada por

y(t) = −1

2gt2 + v0t+ y0 · · · (1)

La velocidad y aceleración de la partícula en un tiempo t,

v(t) =dy

dt= −gt+ v0 · · · (2) y a(t) =

dv

dt= −g · · · (3)

El cuerpo alcanzará altura máxima cuando su velocidad sea v(t) = 0.

PREFACE 227

y

y(t) y’>0

y’<0

v(t)=0

t=0 v0

y0

Figura 4.1: Movimiento vertical de cuerpos

Ejemplo 4.11. Determine la altura máxima que alcanza una pelota lanzada en forma recta hacia

arriba desde el suelo con una velocidad inicial v0 = 30 m/s. Determine también la velocidad con

la cual golpea al suelo a su regreso.

Solución. Considerando la ecuación (1),

y(t) = −1

2gt2 + v0t+ y0

La velocidad y aceleración están dados, respectivamente por

v(t) =dy(t)

dt= −gt+ v0 y a(t) =

dv(t)

dt= −g

De los datos, cuando t = 0, y0 = 0 m y v0 = 30 m/s. La pelota alcanza altura máxima cuando

v(t) = 0, entonces

v(t) = −9,8t+ 30 = 0 ⇒ t = 3,06

Reemplazando t = 3,06 en

y(3,06) = −9,8(3,06) + 30 = 47,7m

Regresa al suelo, cuando y(t) = 0 entonces resolviendo

y(t) = −1

29,8t2 + 30t = 0 ⇒ t = 0, t = 6,12

La velocidad con que llega al suelo t = 6,12 después

v(6− 12) = −9,8(6,12) + 30 = −29,97m/s

228 PREFACE

El signo se debe al sistema de referencia. �

Ejemplo 4.12. Encontrar f ′ (0) si f (x) = (|x| − x) 3√9x.

Solución. Si f ′ (0) existe, sabemos que

f ′ (0) = lımh→0

f (0 + h)− f (0)

h= lım

h→0

(|h| − h) 3√9h

h.

Considerando las derivadas laterales, obtenemos

lımh→0+

(|h| − h) 3√9h

h= lım

h→0

(h− h) 3√9h

h= 0

y

lımh→0−

(|h| − h) 3√9h

h= lım

h→0

(−h− h) 3√9h

h= lım

h→0

−2h 3√9h

h= lım

h→0

(−2

3√9h)= 0.

Por lo tanto,

f ′ (0) = lımh→0

(|h| − h) 3√9h

h= 0.

�

Ejemplo 4.13. Sea f : R → R una función tal que |f (x)| ≤ x2, ∀x ∈ R. Probar que f es

derivable en 0 y calcular f ′ (0).

Solución. Notando que |f (0)| ≤ 0 implica que f (0) = 0, tenemos que

lımh→0

f (0 + h)− f (0)

h= lım

h→0

f (h)

h.

Por hipótesis −h2 ≤ f (h) ≤ h2, luego si h > 0 tenemos −h ≤ f (h)

h≤ h de donde por el teorema

del sandwich,

lımh→0+

f (h)

h= 0;

y cuando h < 0, h ≤ f (h)

h≤ −h así que

lımh→0−

f (h)

h= 0.

Por lo tanto,

lımh→0

f (0 + h)− f (0)

h= 0,

En consecuencia f es derivable en 0 con f ′ (0) = 0. �

Ejemplo 4.14. Sea f : R → R la función definida por f (x) = 3√x2.

PREFACE 229

1. Demostrar que f no es derivable en 0.

2. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en (0, 0).

Solución

1. Calculamos

lımh→0

3

√(0 + h)2 − 3

√0

h= lım

h→0

3√h2

h= lım

h→0

13√h.

Pero sabemos que

lımh→0+

13√h= +∞ y lım

h→0−

13√h= −∞,

así

lımh→0

3

√(0 + h)2 − 3

√0

h= ∞

y la función f no es derivable en x = 0.

f

x

y

Figura 4.2: f(x) = x2/3

2. Por definición la recta tangente vertical a la gráfica de f en (0, 0) es L : x = 0. �

Ejemplo 4.15. Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f(x) = 3√3x− 1

en el punto(1, 3

√2).

230 PREFACE

Solución. Debemos determinar si f es derivable en x = 1, para eso, calculamos

lımh→0

f (1 + h)− f (1)

h= lım

h→0

3√3 (1 + h)− 1− 3

√2

h

= lımh→0

3√3h+ 2− 3

√2

h·

3

√(3h+ 2)2 + 3

√2 (3h+ 2) + 3

√4

3

√(3h+ 2)2 + 3

√2 (3h+ 2) + 3

√4

= lımh→0

3h

h

(3

√(3h+ 2)2 + 3

√2 (3h+ 2) + 3

√4

)=

13√4.

Por lo tanto, f es derivable en x = 1 y f ′(1) = 13√4

. Entonces, la recta tangente a la gráfica de f

en el punto(1, 3

√2)

es

L : y =13√4(x− 1) +

3√2.

�

Ejemplo 4.16. Dada

f (x) =

αx2 + β si x ≤ 11

|x|si x > 1

.

1. Encontrar los valores de α y β para que f ′ (1) exista.

2. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1; f(1))

Solución.

1. De acuerdo con el teorema, para que f ′(1) exista es necesario y suficiente que

f ′−(1) = f ′+(1).

Se tiene f(1) = α+ β.

De la derivada lateral por izquierda en x = 1,

f ′− (1) = lımh→0−

[α (1 + h)2 + β

]−[α (1)2 + β

]h

= lımh→0−

[2αh+ αh2

h

]= 2α

De la derivada lateral por derecha en x = 1,

f ′+(1) = lımh→0+

11+h − (α+ β)

h= lım

h→0+

1− 2α− 2hα

(1 + h)h.

Si

2α = 1 ⇒ lımh→0+

1− 2α− 2hα

(1 + h)h= −1.

Finalmente, α = −12 , β = 3

2 y f ′(1) = −1.

PREFACE 231

2. La ecuación de la recta tangente en el punto (1; 1) es la recta y = −x+ 2. �

Ejemplo 4.17. Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de

f(x) = 2x3 + 4x2 − x

que tengan pendiente 12 .

Solución. Supongamos que uno de los puntos tangente es (x0, f (x0)), entonces

1

2= lım

h→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

= lımh→0

2 (x0 + h)3 + 4 (x0 + h)2 − (x0 + h)−(2x30 + 4x20 − x0

)h

= lımh→0

(6x20 + 6x0h+ 2h2 + 8x0 + 4h− 1

)= 6x20 + 8x0 − 1.

Resolviendo la ecuación 6x20 + 8x0 − 1 = 12 encontramos que x0 = 1

6 y x0 = −32 , por lo tanto las

rectas tangentes son

L1 : y =1

2

(x− 1

6

)− 5

108

y

L2 : y =1

2

(x+

3

2

)+

15

4.

Ejemplo 4.18. Si f es derivable en x0, probar que

f ′ (x0) = lımh→0

f (x0 + h)− f (x0 − h)

2h.

Además, probar usando la función valor absoluto que es posible que el límite en la ecuación

anterior exista, aunque f ′ (x0) no exista.

Solución. Sumando y restando f(x0) en el numerador

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0 − h)

2h= lım

h→0

[f (x0 + h)− f (x0)]− [f (x0 − h)− f (x0)]

2h

= lımh→0

[f (x0 + h)− f (x0)

2h− f (x0 − h)− f (x0)

2h

];

pero

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

2h=f ′ (x0)

2

y

lımh→0

f (x0 − h)− f (x0)

2h= − lım

y→0

f (x0 + y)− f (x0)

2y= −f

′ (x0)

2.

232 PREFACE

Por lo tanto

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0 − h)

2h=f ′ (x0)

2−(−f

′ (x0)

2

)= f ′ (x0) .

Supongamos ahora que f (x) = |x| y x0 = 0, entonces

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0 − h)

2hlımh→0

f (h)− f (−h)2h

= lımh→0

|h| − |−h|2h

= 0

por lo que el límite existe. Sin embargo, la función f(x) = |x| no es derivable en x0 = 0. �

Ejemplo 4.19. Sea

f (x) =√4x− 3.

Usando la definición de derivada determinar f ′ (x) .

Solución. Notemos que D (f) =[34 ,+∞

[.

Por otro lado,

f ′ (x) = lımh→0

√4 (x+ h)− 3−

√4x− 3

h= lım

h→0

4√4 (x+ h)− 3 +

√4x− 3

=2√

4x− 3.

En consecuencia, f ′(x) =2√

4x− 3, x > 3

4 . �

Ejemplo 4.20. El volumen de ventas semanal v de un disco compacto particular está dado,

como una función del número t de semanas transcurridas desde su colocación en el mercado, por

la fórmula v (t) = 10000+ 2000t− 200t2, donde t se mide en semanas y v es el número de discos

vendidos por semana. Determinar la razón a la que cambia el volumen de ventas a las cuatro

semanas.

Solución. Debemos determinar v′ (4), para esto, calculamos

v′ (4) = lımt→4

v (t)− v (4)

t− 4

= lımt→4

(10000 + 2000t− 200t2

)− 14800

t− 4

= lımt→4

−200 (t− 4) (t− 6)

t− 4= 400.

Luego 400 discos por semana es la razón de cambio pedida. �

PREFACE 233


1. Calcular f ′ (x) si f es la función definida por

a) f (x) = 1− 2x+ 3x2

b) f (x) = 4x3 − x2

c) f (x) =2x

3x− 2

d) f (x) =x

x2 − 3

e) f (x) =4√x− 3

f ) f (x) =√x− 2

2. Si f (x) = (|x| − x) 3√9x, encontrar f ′ (−3).

3. Determinar si f es derivable en 0.

a) f (x) =

x sen

(1

x

)si x = 0

0 si x = 0

b) f (x) =

x2 sen

(1

x

)si x = 0

0 si x = 0

4. Cada uno de los siguientes límites representa la derivada de una función f en cierto número

x0. Determinar f y x0 en cada caso.

a) lımh→0

√h+ 1− 1

h

b) lımh→0

(2 + h)3 − 8

h

c) lımx→1

x9 − 1

x− 1

d) lımx→3π

cos (x) + 1

x− 3π

e) lımh→0

sen(π2 + h

)− 1

h

5. Si f ′ (x0) existe, probar que

lımx→x0

xf (x0)− x0f (x)

x− x0= f (x0)− x0f

′ (x0) .

234 PREFACE

6. Usando la definición de derivada hallar f ′(x).

a) f (x) =1√x

, x > 0

b) f (x) =1

x2

c) f (x) = x− 1

x, x = 0

d) f (x) =x

x+ 1, x = −1

e) f (x) =1√x+ 1

, x ≥ 0

f ) f(x) =√x− 1

x2, x > 0

7. Sea f (x) = x− [|x|], donde [|x|] es el mayor entero de x ∈ R, ¿existe f ′(x)?

8. En los siguientes casos encontrar la derivada de f . ¿Cuál es el dominio de f ′?

a) f (x) = x3 − 2x2 + 1

b) f (x) = x− 1

x

c) f (x) =√1 + 2x

d) f (x) =4− 3x

2 + x

e) f (x) = x23

f ) f (x) =1√x− 1

9. La función signo, denotada por sgn, está definida por

sgn (x) =

−1 si x < 0

0 si x = 0

1 si x > 0

.

sgn(x) se lee signo de x. Dada f (x) = x2sgn(x)

a) Discutir la derivabilidad de f .

b) ¿Es f ′ continua en su dominio?

PREFACE 235

4.3. Teoremas sobre derivación de funciones.

La fórmula (4.2.1) proporciona un medio para comprender a la derivada conceptualmente, por

ejemplo como el límite al que tienden las pendientes de las rectas secantes trazadas en intervalos

más y más pequeños. Sin embargo, en la mayor parte de los casos (4.2.1) no se adapta bien

al cálculo de derivadas de funciones específicas. Por tanto, nuestro objetivo en esta sección y

las siguientes será desarrollar un conjunto de teoremas que nos permitan encontrar, con poco

esfuerzo, la derivada de cualquier función (proceso que se denomina derivación). Estos teoremas

son de dos tipos. Algunos dan fórmulas parra obtener la derivada de funciones específicas, como√· o sen. Otros son de naturaleza más general e indican como obtener la derivada de algunas

combinaciones de funciones, como pueden ser sumas o composiciones.

Antes, sin embargo, notemos que normalmente se usan tres notaciones diferentes para representar

derivadas, cada una con sus ventajas en los distintos casos. El estudiante debe familiarizarse con

las tres para emplear con mayor eficacia en el cálculo. Ya hemos empleado al notación que

introdujo Lagrange, según la cual f ′ es la derivada de f .

Una segunda notación según la cual Df es la derivada de la función f , y Df (x) es el valor de

la función Df en el número x. Así , Df y Df (x) son lo mismo que f ′ y f ′ (x), respectivamente.

A veces, se usa un subíndice para indicar la variable implicada en cada derivación, por ejemplo,

Dxf o Dxf (x).

La tercera notación, debida a Leibniz:df(x)

dx, describe la variación de f(x) respecto a x o la

razón de cambio de f(x) respecto a x.

Teorema 4.4. Algunas propiedades básicas.

1. Si c es una constante real, entonces

Dx (c) = 0.

2. Si n es cualquier entero positivo, entonces

Dx (xn) = nxn−1.

3. Para toda x ∈ R tenemos

Dx sen (x) = cos (x) ,

y

Dx cos (x) = − sen (x) .

Demostración

236 PREFACE

1. Consideremos la función constante f : R → R definida por f (x) = c, entonces para x ∈ R

tenemos,

lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h= lım

h→0

c− c

h= lım

h→00 = 0,

lo que prueba que f es derivable y

Dxf (x) = 0,

es decir, porque f (x) = c,

Dx (c) = 0.

2. Consideremos la función f : R → R definida por f (x) = xn. Si x ∈ R entonces

lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h= lım

h→0

(x+ h)n − xn

h· · · (1)

Por el teorema del binomio,

(x+ h)n =

n∑j=0

(n

j

)xn−jhj =

(n

j

)xn−jhj = xn +

n∑j=1

(n

j

)xn−jhj · · · (2)

luego, (2) en (1)

lımh→0

(x+ h)n − xn

h= lım

h→0

1

h

xn +

n∑j=1

(n

j

)xn−jhj − xn

= lımh→0

n∑j=1

(n

j

)xn−jhj−1;

pero

n∑j=1

(n

j

)xn−jhj−1 =

(n

1

)xn−1 +

n∑j=2

(n

j

)xn−jhj−1 = nxn−1 +

n∑j=2

(n

j

)xn−jhj−1.

Por lo tanto

lımh→0

(x+ h)n − xn

h= lım

h→0

nxn−1 +

n∑j=2

(n

j

)xn−jhj−1

= nxn−1;

así , f es derivable y

Dx (xn) = nxn−1. (4.3.1)

PREFACE 237

3. Como sen (x+ h) = sen (x) cos (h) + cos (x) sen (h), para toda x ∈ R, tenemos

lımh→0

sen (x+ h)− sen (x)

h= lım

h→0

sen (x) cos (h) + cos (x) sen (h)− sen (x)

h

= lımh→0

sen (x) [cos (h)− 1] + cos (x) sen (h)

h

= lımh→0

[sen (x)

cos (h)− 1

h+ cos (x)

sen (h)

h

]

= cos (x) ,

pues lımh→0

cos (h)− 1

h= 0 y lım

h→0

sen (h)

h= 1. Así, la función sen es derivable y

Dx sen (x) = cos (x) . (4.3.2)

Análogamente,

lımh→0

cos (x+ h)− cos (x)

h= lım

h→0

cos (x) cos (h)− sen (x) sen (h)− cos (x)

h

= lımh→0

[cos (x)

(cos (h)− 1

h

)− sen (x)

(sen (h)

h

)]

= − sen (x) .

Así, la función sen es derivable y

Dx cos (x) = − sen (x) . (4.3.3)

�

Teorema 4.5. (Propiedades elementales). Sean f : D (f) ⊆ R → R y g : D (g) ⊆ R → R

son funciones derivables tales que D (f) ∩ D (g) = ∅, entonces

1. cf es derivable en D (f) y

(cf)′ (x) = cf ′ (x) .

2. f + g es derivable en D (f) ∩ D (g) y

(f + g)′ (x) = f ′ (x) + g′ (x) .

238 PREFACE

3. fg es derivable en D (f) ∩ D (g) y

(fg)′ (x) = f ′ (x) g (x) + f (x) g′ (x) .

4.f

ges derivable en D = {x ∈ D (f) ∩ D (g) : g (x) = 0} y

(f

g

)′(x) =

f ′ (x) g (x)− f (x) g′ (x)

[g (x)]2.

Demostración

1. Tenemos que

(cf)′ (x) = lımh→0

(cf) (x+ h)− (cf) (x)

h= lım

h→0

cf (x+ h)− cf (x)

h.

Factorizando y usando propiedades de lí mite

(cf)′ (x) = lımh→0

c

(f (x+ h)− f (x)

h

)

= c lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h= cf ′ (x) .

2. Por definición

(f + g)′ (x) = lımh→0

(f + g) (x+ h)− (f + g) (x)

h

= lımh→0

f (x+ h) + g (x+ h)− f (x)− g (x)

h

Agrupando y separando en suma de fracciones

(f + g)′ (x) = lımh→0

(f (x+ h)− f (x)

h+g (x+ h)− g (x)

h

)

= f ′ (x) + g′ (x) .

3. Como en el caso anterior

(fg)′ (x) = lımh→0

(fg) (x+ h)− (fg) (x)

h

= lımh→0

f (x+ h) g (x+ h)− f (x) g (x)

h.

PREFACE 239

Sumando y restando f (x+ h) g (x) en el numerador,

(fg)′ (x) = lımh→0

(f (x+ h) g (x+ h)− f (x+ h) g (x)

h

+f (x+ h) g (x)− f (x) g (x)

h

)

= lımh→0

(f (x+ h)

g (x+ h)− g (x)

h+f (x+ h)− f (x)

hg (x)

).

Como f es continua en x, lımh→0

f (x+ h) = f (x), y

(fg)′ (x) = f (x) g′ (x) + f ′ (x) g (x) .

4. Si x ∈ D, tenemos que

(f

g

)′(x) = lım

h→0

(f

g

)(x+ h)−

(f

g

)(x)

h

= lımh→0

f (x+ h)

g (x+ h)− f (x)

g (x)

h

= lımh→0

f (x+ h) g (x)− f (x) g (x+ h)

hg (x+ h) g (x).

Sumando y restando f (x) g (x) en el numerador, resulta(f

g

)′(x) = lım

h→0

(f (x+ h) g (x)− f (x) g (x)

hg (x+ h) g (x)− f (x) g (x+ h)− f (x) g (x)

hg (x+ h) g (x)

)

= lımh→0

[(1

g (x+ h)

)(f (x+ h)− f (x)

h

)

−(

f (x)

g (x+ h) g (x)

)(g (x+ h)− g (x)

h

)].

Como f es continua en x ∈ D, lımh→0

g (x+ h) = g (x) = 0, y

(f

g

)′(x) =

f ′ (x)

g (x)− f (x) g′ (x)

[g (x)]2=f ′ (x) g (x)− f (x) g′ (x)

[g (x)]2

tal como queríamos demostrar. �

240 PREFACE

Ejemplo 4.21. Obtener la derivada de la función

f (x) =√x (1− x) .

Solución. Tenemos que por las reglas de derivación de un producto y de una potencia

f ′ (x) =(√x)′(1− x) +

(√x)(1− x)′

=1

2√x(1− x) +

√x (−1) .

Simplificando, f ′ (x) =1

2√x− 3

√x

2.

Ejemplo 4.22. Hallar f ′ (x) si

f (x) =x2 + x− 2

x3 + 6.

Solución. Por las reglas de derivación

f ′ (x) =

(x2 + x− 2

)′ (x3 + 6

)−(x2 + x− 2

) (x3 + 6

)′(x3 + 6)2

=(2x+ 1)

(x3 + 6

)−(x2 + x− 2

) (3x2)

(x3 + 6)2.

Efectuando operaciones y simplificando, resulta

f ′ (x) =−x4 − 2x3 + 6x2 + 12x+ 6

(x3 + 6)2.

�

Ejemplo 4.23. ¿En qué puntos de la hipérbola xy = 12 la recta tangente es paralela a la recta

L : 3x+ y = 0?

Solución. Como xy = 12, tenemos y = f (x) =12

x, de ahí que

f ′ (x) = −12

x2.

Sea P (x0; 12x0) uno de esos puntos de tangencia. Entonces, la pendiente de la recta tangente en

P (x0;12x0) es f ′(x0) = −12

x20.

La recta tangente será paralela a la recta L si tiene la misma pendiente, es decir

−12

x20= −3.

Resolviendo, x0 = 2 o x0 = −2. Por lo tanto, los puntos de tangencia son (2, 6) y (−2,−6). �

PREFACE 241

Ejemplo 4.24. Si n es racional, demostrar que

Dx (xn) = nxn−1. · · · (1)

Solución.

Como ya sabemos del teorema 4.4 que la ecuación (1) es válida en el caso n ∈ N, supongamos

que n es un entero negativo, digamos n = −m, siendo m ∈ N; esto es, f (x) = x−m. Luego

f (x+ h)− f (x)

h=

1

(x+ h)m− 1

xm

h=xm − (x+ h)m

hxm (x+ h)m

= −((x+ h)m − xm

h

)(1

xm (x+ h)m

).

Hemos visto que

lımh→0

(x+ h)m − xm

h= mxm−1

y sabemos que

lımh→0

1

xm (x+ h)m=

1

x2m.

Entonces

lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h= −mx

m−1

x2m= (−m)x(−m)−1 = nxn−1.

Por la tanto, la ecuación (1) es válida para exponentes enteros negativos.

Ahora supongamos que n =p

q, siendo p, q ∈ Z con q = 0. Entonces

f (x+ h)− f (x)

h=

(x+ h)pq − x

pq

h.

Haciendo v = x1q y v + t = (x+ h)

1q , obtenemos

f (x+ h)− f (x)

h=

(v + t)p − vp

(v + t)q − vq=

(v + t)p − vp

t(v + t)q − vq

t

y observando que si h→ 0 entonces t→ 0, tenemos

lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h= lım

t→0

(v + t)p − vp

t(v + t)q − vq

t

=pvp−1

qvq−1

=

(p

q

)vp−q =

(p

q

)(x

1q

)p−q

=

(p

q

)x

(pq

)−1

= nxn−1,

lo que completa la demostración. �

242 PREFACE

Definición 4.13. Ángulo entre dos curvas. El ángulo que forman dos curvas en un punto de

intersección, es el ángulo que forman las rectas tangentes a cada de las curvas en dicho punto.

Ejemplo 4.25. Sean las curvas

C1 : y = x2, C2 : y =1

x.

1. Hallar el punto de intersección de las curvas.

2. Determinar las ecuaciones de las tangentes a cada una de esas curvas en dicho punto.

3. Calcular el ángulo formado por las rectas tangentes antes determinadas.

Solución .

1. Resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones

x2 =1

x⇒ x = 1 ⇒ P (1; 1)

es el punto de intersección entre las dos curvas.

2. Las pendientes se obtienen de sus derivadas evaluadas en x = 1 : m1 = 2, m2 = −1.

3. Sea α el ángulo entre las rectas tangentes en P a C1 y a C2 entonces

tan(α) =m2 −m1

1 +m2m1= −3 ⇒ α = arctan(−3).

�


1. Obtener la derivada de las siguientes funciones

a) f (x) = x4 − 5 + x−2 − x−4

b) f (x) =3

x4+

5

x6

c) f (x) =(2x8 + 1

)(4x− 3)

d) f (x) =(4x2 + 3

)2e) f (x) =

x3 + 2x− 1

x2 − 3x+ 1

f ) f (x) =2x− 1

x+ 5(3x− 1)

g) f (x) =5√x2 −

√x5√

x+ 1

PREFACE 243

h) f (x) = 3x+(x

13 + 1

)(x

23 − 1

)+

7x

1 + x2

i) f (x) = 2x4 +x2 − 4

x2 + 4+ x2

(1 + x

43

)2. Si f , g y h son funciones derivables en el intervalo abierto I, probar que

(fgh)′ (x) = f ′ (x) g (x)h (x) + f (x) g′ (x)h (x) + f (x) g (x)h′ (x) .

para todo x ∈ I.

3. Usando el ejercicio anterior, calcular f ′ (x) si

a) f (x) =(x2 + 3

)(2x− 5) (3x+ 2)

b) f (x) = (3x+ 1)2(x2 − 1

)c) f (x) =

(2x2 + 3x− 5

)34. Encontrar, si es que existe, la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto

dado:

a) y = x3, (2, 8)

b) y = 3√x, (−8,−2)

c) y = x−3,(−2,−1

8

)d) y2 = x3, (1, 1)

e) y =3√x2, (0, 0)

5. Localizar los puntos en la gráfica de f (x) =3x

x2 + 1, donde la recta tangente es horizontal.

6. Determinar todos los puntos de la curva y = 5 + x− 2x2 para los cuales la tangente pasa

por el punto (−1, 10).

7. Determinar todos los puntos de la curva y = x3 + 2x2 − 6x + 4 para los cuales la recta

tangente es paralela a la recta 2x+ y = 3.

8. Por el punto (4, 7) pasan dos rectas que son tangentes a la parábola y = x2.

a) Hallar una ecuación de cada una de esas rectas.

b) Determinar los puntos de tangencia.

c) Hallar las rectas normales en los puntos de tangencia.

244 PREFACE

9. En los siguientes casos determinar f ′ (x) si

a) f (x) =

{x si x ≤ 0

x2 si x > 0

b) f (x) =

{x

23 si x < 0

x43 si x ≥ 0

c) f (x) =

{−x2 si x < 0

x2 si x ≥ 0

d) f (x) = |x|3

10. Sea f : [0, 4] → R la función definida por

f (x) =

|x− [|x|]| , si [|x|] es par

|x− [|x+ 1|]| , si [|x|] es impar

.

Trazar la gráfica de f . ¿En qué números es derivable f?

11. En los siguientes casos encontrar los valores de α y β para que f sea derivable en R.

a) f (x) =

{x2 si x ≤ 2

αx+ β si x > 2

b) f (x) =

{a√x si x ≤ 1

x+ β si x > 1

12. Si f : D (f) ⊆ R → R es una función derivable tal que

f (x) = g1 (x) g2 (x) g3 (x)

y f (x) = 0 para cada x ∈ D (f), demostrar que

f ′ (x)

f (x)=g′1 (x)

g1 (x)+g′2 (x)

g2 (x)+g′3 (x)

g3 (x).

13. Sea f : D (f) ⊆ R → R es una función derivable tal que f (x) = g1 (x) · · · gn (x) y f (x) = 0

para cada x ∈ D (f). Demostrar, usando inducción, que

f ′ (x)

f (x)=g′1 (x)

g1 (x)+ · · ·+ g′n (x)

gn (x).

Emplear este resultado para determinar f ′ (x) si f (x) = gn (x).

PREFACE 245

14. Usando el resultado del ejercicio anterior, determinar f ′ (x) si

a) f (x) = (2x− 1)3

b) f (x) =(x+ 1

2

)100

c) f (x) =(x2 + 1

)3(2x− 3)4

d) f (x) =(x+ 2

x− 3

)4

15. Demostrar que

a) Si f (x) = cxn donde c es constante y n ∈ Z, entonces

f ′ (x) = ncxn−1, ∀x ∈ R− {0}

b) Para todo x ∈ D (tan), Dx tan (x) = sec2 (x).

c) Para todo x ∈ D (cot), Dx cot (x) = − csc2 (x).

d) Para todo x ∈ D (sec), Dx sec (x) = sec (x) tan (x).

e) Para todo x ∈ D (csc), Dx csc (x) = − csc (x) cot (x).

4.4. Regla de la cadena.

Ahora establecemos un teorema para encontrar la derivada de una función compuesta. Este

teorema se conoce como regla de la cadena.

Teorema 4.6. (Regla de la cadena.) Sean las funciones g : D (g) ⊆ R → D (f) derivable en

x0 y f : D (f) ⊆ R → R derivable en g (x0), entonces f ◦ g es derivable en x0 y

(f ◦ g)′ (x0) = f ′ (g (x0)) g′ (x0) . (4.4.1)

Demostración. Consideremos el caso particular en que la función g tiene la siguiente propiedad:

∃δ > 0,∀x ∈ D (f) ∩B′ (x0, δ) : g (x) = g (x0) . (4.4.2)

Para x ∈ D (f) ∩B′ (x0, δ) tenemos la siguiente identidad

(f ◦ g) (x0 + h)− (f ◦ g) (x0)h

=

((f ◦ g) (x0 + h)− (f ◦ g) (x0)

g (x0 + h)− g (x0)

)(g (x0 + h)− g (x0)

h

).

(4.4.3)

246 PREFACE

Ahora el límite del primer factor del segundo miembro, puede ser determinado con el cambio de

variable k = g (x0 + h)− g (x0), del siguiente modo

lımh→0

(f ◦ g) (x0 + h)− (f ◦ g) (x0)g (x0 + h)− g (x0)

= lımh→0

f (g (x0) + k)− f (g (x0))

k= f ′ (g (x0)) ,

donde hemos usado la continuidad de g en x0 y la derivabilidad de f en g (x0). Entonces en

la identidad (4.4.2), usando las propiedades de los límites de funciones, el cálculo anterior y la

derivabilidad de g en x0, obtenemos lo que queríamos demostrar.

Notación 4.4.1. Sean f y g funciones diferenciables tales que y = f(u), u = g(x) entonces

1. y = f(u(x))

2.dy

dx=dy

du

du

dx

La demostración anterior realmente requiere la restricción hecha en la función g, pues, de no ser

así no podríamos escribir la identidad (4.4.3). La propiedad (4.4.2) no se verifica, por ejemplo,

para la función constante g (x) = k cerca de x0, ]x0 − δ, x0 + δ[. En ese caso, sin embargo, la

conclusión del teorema sería trivial, pues (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (k) sería también constante en

]x0 − δ, x0 + δ[ y, por lo tanto, la fórmula (4.6) se verificaría trivialmente, pues ambos miembros

se anularían. Ocurre, no obstante, que la propiedad (4.4.2) tampoco se verifica para ciertas

funciones que no son constantes cerca de x0.

Ejemplo 4.26. La función g : R → R definida por

g (x) =

x2 sen

(1

x

)si x = 0

0 si x = 0.

se anula para x =1

nπcon n ∈ Z. Por otro lado, g es derivable en el cero, pues

lımh→0

g (h)− g (0)

h= lım

h→0

h2 sen

(1

h

)h

= lımh→0

h sen

(1

h

)= 0.

Por lo tanto, debemos producir una demostración del teorema que sea válida aun para funciones

que no satisfacen la propiedad (4.4.2). Demostraremos antes el siguiente resultado.

PREFACE 247

Lema 4.4.2. Sea f : D (f) ⊆ R → R una función con x0 ∈ D (f). Entonces, f es derivable en

x0 si, y solamente si, existe un número L y una función continua φ definida en una vecindad 2

de cero tal que

f (x0 + h) = f (x0) + Lh+ hφ (h) , x0 + h ∈ D (f) (4.4.4)

y

lımh→0

φ (h) = 0.

Prueba. Supongamos que f es derivable en x0, entonces existe ]x0 − δ, x0 + δ[ ⊆ D (f) y pode-

mos definir φ : ]−δ, δ[ ⊆ R → R por

φ (h) =

f (x0 + h)− f (x0)

h− f ′ (x0) si h = 0

0 si h = 0.

De ahí sigue que,

f (x0 + h) = f (x0) + f ′ (x0)h+ hφ (h) .

De la derivabilidad de f en x0 y de φ(h) tenemos que

lımh→0

φ (h) = lımh→0

(f (x0 + h)− f (x0)

h− f ′ (x0)

)= 0.

Luego, se verifican con L = f ′ (x0).

Recíprocamente, la relación (4.4.4) implica para h = 0,

f (x0 + h)− f (x0)

h= L+ φ (h) .

De donde sigue que

lımh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= lım

h→0[L+ φ (h)] = L.

Luego, f es derivable en x0 y L = f ′ (x0) . �

Cuando una función f satisface las condiciones del teorema anterior para algún L ∈ R, se

dice que f es diferenciable en x0. Así, el teorema anterior establece que la derivabilidad y la

diferenciabilidad son conceptos equivalentes, y como tales los trataremos en todo lo que sigue.

Demostración del teorema. Caso general. Como g es diferenciable en el número real x0 ∈D (g), aplicando el lema,

g (x0 + h) = g (x0) + g′ (x0)h+ hφ1 (h) , · · · (1)2Todo conjunto abierto I =]a− δ, a+ δ[ que contiene un punto a es una vecindad de a.

248 PREFACE

y

lımh→0

φ1 (h) = 0., · · · (2)

Además, desde que f es diferenciable en el número real g (x0) ∈ D (f),

f (g (x0) + k) = f (g (x0)) + f ′ (g (x0)) k + kφ2 (k) , · · · (3)

donde

lımk→0

φ2 (k) = 0, · · · (4)

Si k (h) = g (x0 + h)− g (x0), obtenemos de (1)

k (h) = g′ (x0)h+ hφ1 (h)

de la continuidad de g que

lımh→0

k (h) = 0, · · · (5)

y de (3),

f (g (x0 + h)) = f (g (x0) + k (h))

= f (g (x0)) + f ′ (g (x0)) k (h) + k (h)φ2 (k (h))

= f (g (x0)) + f ′ (g (x0))[g′ (x0)h+ hφ1 (h)

]+ k (h)φ2 (k (h))

= f (g (x0)) + f ′ (g (x0)) g′ (x0)h+ f ′ (g (x0))hφ1 (h) + k (h)φ2 (k (h))

= f (g (x0)) + f ′ (g (x0)) g′ (x0)h+ h

[f ′ (g (x0))φ1 (h) +

k (h)

hφ2 (k (h))

].

Así,

f (g (x0 + h)) = f (g (x0)) + f ′ (g (x0)) g′ (x0)h+ hφ (h)

donde

φ (h) = f ′ (g (x0))φ1 (h) +k (h)

hφ2 (k (h))

Para completar la demostración, calculamos

lımh→0

φ (h) = lımh→0

[f ′ (g (x0))φ1 (h) +

k (h)

hφ2 (k (h))

]= lım

h→0

[f ′ (g (x0))φ1 (h) +

g′ (x0)h+ hφ1 (h)

hφ2 (k (h))

]= lım

h→0

[f ′ (g (x0))φ1 (h) +

(g′ (x0) + φ1 (h)

)φ2 (k (h))

]= lım

h→0

[f ′ (g (x0))φ1 (h) + g′ (x0)φ2 (k (h)) + φ1 (h)φ2 (k (h))

], · · · (6)

Por la continuidad de φ2 y (5) tenemos,

lımh→0

φ (k (h)) = φ

(lımh→0

k (h)

)= φ (0) = 0;

PREFACE 249

de donde resulta en (6)

lımh→0

φ (h) = 0,

por (2). Así el teorema en el caso general queda probado . �

Ejemplo 4.27. Dada la función h definida por

h (x) =(2x3 − 5x2 + 4

)10encontrar h′ (x).

Solución. Sean las funciones

f (x) = x10 y g (x) = 2x3 − 5x2 + 4.

Entonces h(x) = f(g(x)). Por la regla de la cadena,

h′ (x) = (f ◦ g)′ (x) = f ′ (g (x)) g′ (x)

= 10 (g (x))9 g′ (x)

= 10(2x3 − 5x2 + 4

)9g′ (x) .

Como g′ (x) = 6x2 − 10x, obtenemos

h′ (x) = 10(2x3 − 5x2 + 4

)9 (6x2 − 10x

)�


f (x) =

(2x+ 4

3x− 1

)4

,

encontrar f ′ (x).

Solución. Aplicando la regla de la cadena directamente,

f ′ (x) = 4

(2x+ 4

3x− 1

)3(2x+ 4

3x− 1

)′

= 4

(2x+ 4

3x− 1

)3((2x+ 4)′ (3x− 1)− (2x+ 4) (3x− 1)′

(3x− 1)2

)=

4 (2x+ 4)3 [2 (3x− 1)− 3 (2x+ 4)]

(3x− 1)5.

Simplificando,

f ′ (x) = −56 (2x+ 4)3

(3x− 1)5.

�

250 PREFACE


1. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) f (x) =√2x2 − 4x+ 5

b) f (x) =2x√x2 − 9

c) f (x) =√x+ 1 +

√1− x

d) f (x) =x2

(x+ 2)2 (4x− 5)

e) f (x) =√x2 + 1 +

√x2 − 1√

x2 + 1−√x2 − 1

f ) f (x) =x√3 + 2x

4x− 1

g) f (x) = 4√

sen (4x)

h) f (x) =√

csc (3x)

i) f (x) = x cos

(1

x

)j ) f (x) = cot (3x)

√sen (2x)

k) f (x) = cos

(x3

3√3x2 − 1

).

2. Si las funciones f y g son derivables en el número x1, ¿es la función f ◦ g necesariamente

derivable en x1? Si la respuesta es sí, probarla. Si la respuesta es no, dar un contraejemplo.

3. Dar un ejemplo de dos funciones para las cuales:

a) f sea derivable en g (0), g no es derivable en 0 y f ◦ g sea derivable en 0.

b) f no es derivable en g (0), g es derivable en 0 y f ◦ g sea derivable en 0.

�

Definición 4.14. Definamos al número e, base de los logaritmos naturales, como aquel que

cumple

lımh→0

(eh − 1)

h= 1

Teorema 4.7. (Derivada de la función f(x) = ex). Sea f : R → R una función que cumple

las siguientes condiciones:

f (a+ b) = f (a) f (b) , ∀a, b ∈ R

PREFACE 251

f ′ (0) = 1.

Si f ′ (0) existe probar que f es derivable y

f ′(x) = f ′(0)f(x), ∀x ∈ R.

Demostración. Dado x ∈ R tenemos que

f ′ (x) = lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h= lım

h→0

f (x) f (h)− f (x)

h

= lımh→0

f(x) [f(h)− f(0)]

h= f(x)f ′(0).

Como

f ′(0) = lımh→0

(eh − 1)

h

y por la definición 4.14

f ′(0) = lımh→0

(eh − 1)

h= 1

Por lo tanto, f es derivable y f ′(x) = f ′(0)f(x) = f(x). �

Corolario 4.2. Si a > 0, a = 1, f(x) = ax entonces

f ′(x) = ax ln a

Demostración

Como f(x) = ax = ex ln a entonces por regla de la cadena

f ′(x) = (ex ln a)′ = ex ln a(x ln a)′ = ax ln a.

�

4.5. Aproximaciones lineales. Diferenciales.

En esta sección mostraremos como el concepto de derivabilidad conduce naturalmente a la idea

de aproximar una función dada mediante una función afín lineal en la vecindad de algún punto

dado. En otras palabras, cerca del punto dado, aproximamos la gráfica de la función mediante

una recta. A este tipo de aproximación se le llama aproximación lineal y tiene muchos usos

importantes, tanto en la teoría como en las aplicaciones.

252 PREFACE

Definición 4.15. (Aproximación Lineal.) La función F (x) = Ax+B se aproxima linealmente

a la función f : D (f) ⊆ R → R cerca de x0 ∈ D (f) si existe un intervalo I ⊆ D (f) tal que

f (x) = Ax+B + (x− x0)φ (x, x0)

donde

lımx→x0

φ (x, x0) = 0 · · · (2)

El límite en (2) significa que

φ (x, x0) =f (x)−Ax−B

x− x0se puede hacer tan pequeño como se quiera, tomando a x suficientemente cerca de x0. Por lo

tanto, F (x) = Ax+B es una buena aproximación de f (x), f (x) ≈ Ax+B, para un x bastante

cercano a x0.

Teorema 4.8. Si f : D (f) ⊆ R → R es una función derivable en x0, la función afín lineal

F (x) = f (x0) + f ′ (x0) (x− x0) se aproxima linealmente a f cerca de x0; es decir,

f (x) ≈ f (x0) + f ′ (x0) (x− x0) . (4.5.1)

Demostración. Como f es derivable en x0 ∈ D (f), del lema, sabemos que

f (x0 + h) = f (x0) + f ′ (x0)h+ hφ (h)

donde

lımh→0

φ (h) = 0.

Si hacemos x = x0 + h obtenemos la conclusión del teorema.


f (x) = x2 − x+ 2,

encontrar una aproximación lineal a f cerca de 1. Determinar también el residuo de la aproxi-

mación.

Solución. Usamos la fórmula (4.5.1) con f (1) = (1)2 − (1) + 2 = 2 y f ′ (1) = 2 (1) − 1 = 1.

Luego,

f (x) ≈ f (1) + f ′ (1) (x− 1) = 2 + (x− 1) = x+ 1.

Además,

φ (x, 1) = f (x)− f (1)− f ′ (1) (x− 1) =(x2 − x+ 2

)− (x+ 1) = x2 − 2x+ 1.

Claramente lımx→1

φ (x, 1) → 0.

PREFACE 253

Definición 4.16. (Diferenciales). Si la función f : D (f) ⊆ R → R es diferenciable en x0 ∈D (f), la diferencial de f en x0 correspondiente al incremento h, denotada df (x0, h), está dada

por

df (x0, h) = f ′ (x0)h.

Si la función f se define por y = f (x), la diferencial de f en x0 correspondiente al incremento h

se denota también dy, de este modo

dy = f ′ (x0)h.

Cuando la función f es la identidad, f (x) = x, entonces

dx = f ′ (x0)h = h;

por lo que se puede escribir

df (x0, h) = f ′ (x0) dx.

Interpretación geométrica de la diferencial: Recordemos la variación o cambio en x, dx =

∆x y la variación en y, ∆y = f(x+∆x)− f(x). entonces dy se aproxima a ∆y cuando dx→ 0.

f

x0 x0+d x

(x0; f (x0)

(x0+d x ; f (x0+d x )

dx

dy

∆y

x

y

Figura 4.3: ∆y ∼= dy

Por definición de aproximación lineal

∆y ≈ dy ⇒ f(x+∆x) ≈ f(x) + f ′(x)dx.

En un c ∈ D(f), f(c+∆x) ≈ f(c) + f ′(c)dx. �

254 PREFACE

Ejemplo 4.30. Determine un valor aproximado de

y = f (x) = e− sin(2x)

cuando x =9π

8.

Solución

Usando diferenciales

dy = −2e− sin(2x) cos (2x) dx

Considerando como a = π y dx =π

8, se tiene

f(π +

π

8

)= f (π) + f ′ (π) dx

= 1− π

4≃ 0,2146

�

Definición 4.17. (Formas de expresar el error . ) Definimos el error en el valor medio de

x como dx y el error correspondiente en y como ∆y.

1. Por la aproximación con la diferencial se puede calcular ∆y ∼= df(x).

2. El error relativo como∆y

y≈ dy

y.

3. El error porcentual como 100∆y

y% ≈ 100

dy

y%.

Ejemplo 4.31. Se encontró que la arista de un cubo es de 30 cm, con un error posible en

la medición de 0,1 cm. Usar diferenciales para estimar el error posible máximo calculando el

volumen del cubo.

Solución. Sea x el lado del cubo, entonces dx = 0,1 y V (x) = x3.

El error en el volumen, dV = 3x2dx. Cuando x = 30 y dx = 0,1 se tiene dV = 270cm3.

Ejemplo 4.32. Si y = f (x) con f (x) = x2 − x+ 2.

1. Determinar la diferencial dy como función de x y dx.

2. Determinar dy si x = 1 y dx = 0,1.

Solución

PREFACE 255

1. Como f ′ (x) = 2x− 1, tenemos que

dy = (2x− 1) dx.

2. Para x = 1 y dx = 0,1 resulta

dy = [2 (1)− 1] (0,1) = 0,1

como era de esperar.

Teorema 4.9. Sean f y g funciones derivables en el intervalo I, entonces de las propiedades

1. d (f + g) = df + dg.

2. d (fg) = fdg + gdf .

3. d(f

g

)=fdg − gdf

g2.

Demostración. Solamente probaremos la primera, dejando como ejercicio al estudiante la ve-

rificación de las restantes igualdades. Sabemos que, para cualquier x ∈ I, entonces

(f + g)′ (x) = f ′ (x) + g′ (x) ;

luego

d (f + g) (x, h) = (f + g)′ (x) dx =[f ′ (x) + g′ (x)

]dx

= f ′ (x) dx+ g′ (x) dx

= df (x, h) + dg (x, h) .

como queríamos demostrar. �

Ejemplo 4.33. Deducir la fórmula de aproximación

3√x+∆x ≈ 3

√x+

∆x

33√x2

y halle los valores aproximados de 3√10.

Solución

Si f(x) = 3√x entonces

df(x) =1

33√x2dx

256 PREFACE

Como

∆f(x) ≃ df(x) ⇒ f(x+∆x) ≃ f(x) + f ′(x)dx

en nuestro caso

f(x+∆x) = 3√x+∆x ≃ 3

√x+

1

33√x2.

y para x = 8,∆x = 2, se tiene3√10 ≃ 2 +

1

6

Ejemplo 4.34. Hallar la aproximación lineal en x = 0 a f (x) =√x+ 3.

Solución

La aproximación lineal vamos a construirla usando recta tangente a la gráfica de f en el punto

(0, f(0)) = (0,√3).

De la derivada

f ′(x) =1

2√x+ 3

⇒ f ′(0) =1

2√3

La ecuación de la recta tangente en (0,√3),

LT : y =√3 +

1

2√3x

Por lo tanto, la aproximación lineal a f en un intervalo abierto I alrededor del origen,

L(x) =√3 +

1

2√3x, x ∈ I.

�

Ejemplo 4.35. Se quiere calcular el área A de una esfera a partir del radio r mediante

A = 4πr2

de tal forma que el margen de error sea del 5%. Estime el margen de error porcentual con que

debe medirse el radio.

Solución

Dato |dAA

| < 0,05 · · · (1)

Usando diferenciales,dA

A=

8πrdr

4πr2= 2

dr

r

En (1),

|dAA

| = |2drr| < 0,05 ⇒ |dr

r| < 0,05

2

�

PREFACE 257


1. En los siguientes casos obtenga una aproximación lineal de f cerca de x0

a) f (x) = x3, x0 = 1.

b) f (x) =1√2 + x

, x0 = 0.

c) f (x) =1

x, x0 = 4.

d) f (x) = 3√x, x0 = −8.

2. Verifique la aproximación lineal dada en x0 = 0.

a)√1 + x ≈ 1 +

x

2.

b) sen (x) ≈ x.

c)1

(1 + 2x)4≈ 1− 8x.

d)1√4− x

≈ 1

2+

x

16.

3. Encontrar la diferencial de la función dada.

a) y = x5.

b) y = 4√x.

c) y =√x4 + x2 + 1.

d) y =(x2 − x+ 3

)7.e) y =

x− 1

2x+ 5.

f ) y = sen (x).

g) y = x tan (x).

4.6. Derivadas de orden superior.

Cuando se deriva una función f : D (f) ⊆ R → R, se obtiene otra función denominada primera

derivada f ′ : D(f ′) ⊆ D(f) → R. Cuando f ′ tiene derivada, esta se denota por f (2) y se le llama

segunda derivada de f , así

f (2) : D(f (2)

)⊆ D

(f ′)→ R

y es dada por

f (2) (x) =(f ′)′(x) .

258 PREFACE

La tercera derivada f (3) de f es la derivada de la segunda derivada. Concretamente se define

f (3) : D(f (3)

)⊆ D

(f (2)

)→ R

por

f (3) (x) =(f (2)

)′(x) .

En general, si n ∈ Z+, entonces f (n) denota la n-ésima derivada de f , la cual se calcula tomando

f y derivandola sucesivamente n veces. Así, si f (n−1) existe se define

f (n) : D(f (n)

)⊆ D

(f (n−1)

)→ R

donde

f (n) (x) =(f (n−1)

)′(x) .

El entero n se denomina orden de la derivada f (n) (x).

Es importante notar que ∀n ∈ Z+, los dominios de las n-derivadas sucesivas cumplen

D(f (n)

)⊆ D

(f (n−1)

)⊆ · · · ⊆ D

(f (2)

)⊆ D

(f ′)⊆ D (f) .

Además, si f (n) existe, entonces f (j) es una función continua en D(f (n)

), para todo j < n; pero

f (n) no es necesariamente una función continua. Cuando f (n) existe y es una función continua

en I ⊆ D(f (n)

), decimos que f es de clase3 Cn en I; en tal caso resulta, por lo antes dicho, que

f es de clase Cj en I para todo j ≤ n.

Ejemplo 4.36. Si

f (x) =x

x+ 1, x = −1,

determinar f ′ (x) y f ′′ (x).

Solución. Por la regla del cociente tenemos

f ′ (x) =(x)′ (x+ 1)− (x) (x+ 1)′

(x+ 1)2=

1

(x+ 1)2, x = −1.

Nuevamente por la regla del cociente,

f ′′ (x) =(1)′ (x+ 1)2 − (1)

[(x+ 1)2

]′(x+ 1)4

,

simplificando

f ′ (x) = − 2x+ 2

(x+ 1)4= − 1

(x+ 1)3, x = −1.

3Se dice que una función f es de clase C1 en un intervalo abierto I, denotado por C1(I), si f es derivable en

I y f ′ es continua en I.

PREFACE 259

Sugerencia 4.6.1. Si expresamos a f de la forma:

f(x) =x

x+ 1= 1− 1

x+ 1= 1− (1 + x)−1,

se hacen más simples hallar las derivadas sucesivas f ′, · · · f (n), n ∈ Z+. �

Ejemplo 4.37. Hallar una fórmula para la n-ésima derivada de f(x) =1− x

1 + x.

Solución.

En base a la sugerencia.

f(x) =1− x

1 + x= 1− 2x

1 + x= 1− 2x(1 + x)−1.

f ′(x) = −2[(1 + x)−1 + (−1)(1 + x)−2

]f ′′(x) = −2

[(−1)(1 + x)−1 + (−1)(−2)(1 + x)−2

]· · ·

f (n)(x) = 2[(−1)n−1n!(1 + x)−n + (−1)nn!(1 + x)−n−1

]= 2(−1)nn!

x

(1 + x)n+1, n ∈ Z+.

Ejemplo 4.38. Hallar la n-ésima derivada de f(x) =1

x2 − 3x+ 2+ cos(2x).

Solución.

Por fracciones parciales,1

x2 − 3x+ 2=

1

(x− 2)(x− 1)=

A

x− 2+

B

x− 1

=(A+B)x+ (−A− 2B)

(x− 2)(x− 1)

Igualando coeficientes, A = 1, B = −1; entonces

f(x) =1

x− 2− 1

x− 1+ cos(2x)

En las sucesivas derivadas haremos uso de la identidad cos(α+ π2 ) = − sen(α).

f(x) = (x− 2)−1 − (x− 1)−1 + cos(2x).

f ′(x) = (−1)(x− 2)−2 − (−1)(x− 1)−2 − 2 sen(2x)

f ′(x) = (−1)(x− 2)−2 − (−1)(x− 1)−2 + 2 cos(2x+π

2)

· · ·

derivada n

f (n)(x) = (−1)nn!

[1

(x− 2)n+1− 1

(x− 1)n+1

]+ (−1)n cos(2x+ n

π

2), n ∈ Z+.

260 PREFACE

�

Ejemplo 4.39. Calcule una fórmula de recurrencia para la n-ésima derivada de la función

f (x) =3x+ 3

2x2 + 7x+ 6.

Solución

Por fracciones parciales

f (x) =3x+ 3

2x2 + 7x+ 6=

3

x+ 2− 3

2x+ 3

Derivando una y dos veces

f ′ (x) = 3 (−1) (x+ 2)−2 − 3 (2) (−1) (2x+ 3)−2

f (2) (x) = 3 (−1) (−2) (x+ 2)−3 − 3(22)(−1) (−2) (2x+ 3)−3

Generalizando para todo n ∈ Z+.

f (n) (x) = 3 (−1)n n!

[1

(x+ 2)n+1 − 2n

(2x+ 3)n+1

].

�

4.7. Derivación implícita.

Hasta el momento hemos desarrollado resultados que permiten encontrar derivadas de muchas

funciones. En cada caso, la función f cuya derivada se buscaba se definió mediante una fórmula

explícita, como

f (x) =

√x2 + 1 +

√x2 − 1√

x2 + 1−√x2 − 1

o f (x) = x sen

(1

x2

)En esta sección describiremos un método mediante el cual se puede determinar la derivada de

una función sin que esté definida en forma explícita.

Supongamos que existe una función derivable f tal que y = f (x), entonces x e y satisfacen una

ecuación de la forma

Φ(x, y) = 0.

Sin embargo, supongamos también que es imposible determinar una fórmula para f (x). ¿Se

podrá, a pesar de todo, obtener una fórmula para f ′ (x)? Un medio para manejar problemas de

este tipo es la diferenciación implícita, la que presentaremos con dos ejemplos.

PREFACE 261

Ejemplo 4.40. Suponiendo que la ecuación y4 + 3y − 4x3 = 5x + 1 define implícitamente una

función derivable f tal que y = f (x), encontrar su derivada.

Solución. Como y = f (x) satisface la ecuación, tenemos

(f (x))4 + 3 (f (x))− 4x3 = 5x+ 1,

y derivando ambos miembros de la ecuación anterior encontramos que

4 (f (x))3 f ′ (x) + 3f ′ (x)− 12x2 = 5

de donde

y′ = f ′(x) =12x2 + 5

4y3 + 3.

�

Ejemplo 4.41. (Tasas relacionadas.) Si las variables x, y y z son funciones de t y satisfacen

la ecuación

z2 = x2 + y2. · · · (1)

Suponiendo que Dtx = −55 y Dty = −44, determinar la razón de cambio de z,Dtz cuando

x = 400 e y = 300.

Solución. Derivando respecto de t ambos miembros de la ecuación (1), obtenemos

zDtz = xDtx+ yDty

y así

Dtz =xDtx+ yDty

z. · · · (2)

Como x = 400 e y = 300, de (1) resulta que

z =√4002 + 3002 = 500.

Evaluando la ecuación (2)

Dtz =(400) (−55) + (300) (−44)

500= −70,4.

Por lo tanto, cuando x = 400 e y = 300 la razón de cambio es Dtz = −70,4. �

Problemas como el anterior, relativos a la razón de cambio de dos o más variables que dependen

de una variable común y están relacionadas por medio de una ecuación, se denominan problemas

de razones de cambio afines o razones de cambio relacionadas.

262 PREFACE

x

y

x

y5

3m/s

Figura 4.4: Escalera deslizándose

Ejemplo 4.42. (Tasas relacionadas). Una escalera de 5 m de largo se apoya contra una pared

vertical. Si la base de la escalera se desliza horizontalmente alejándola de la pared a 3 m/s, ¿qué

tan rápido resbala la parte superior de la escalera, cuando la base se encuentra a 3 m de la pared?

Solución. Esbozamos un gráfico del problema.

Sean

t : tiempo transcurrido en segundos desde que la escalera comenzó a deslizarce.

y : distancia en metros desde el suelo hasta la parte superior de la escalera.

x : distancia en metros desde la pared hasta la parte inferior de la escalera.

Del teorema de Pitágoras,

x2 + y2 = 25. · · · (1)

Como x(t) e y(t) son funciones que dependen de, derivamos implícitamente la ecuación (1) para

obtener

2xDtx+ 2yDty = 0

de donde

Dty = −xyDtx.

Cuando x = 3 resulta de la ecuación (1) que y = 4. Como Dtx = 3 obtenemos

Dty = −3

4(3) = −9

4m/s.

Por lo tanto, la parte superior de la escalera se desliza a razón de 94 m/s cuando la base se aleja

a 3 m de la pared. El significado del signo menos es debido a que y decrece cuando t crece. �

PREFACE 263

Ejemplo 4.43. En la figura se muestra un cuadrado ABCD con centro en (100, 100), lados

paralelos a los ejes coordenados y longitud de estos 50 cm. Dicho cuadrado empieza a contraerse

manteniendo siempre sus lados paralelos a los ejes coordenados (tal como lo muestran las líneas

interrumpidas), de manera que su área decrece uniformemente a una razón de 8 cm2/s. Simultá-

neamente una partícula P parte del origen de coordenadas despalzándose en la dirección positiva

del eje X con una velocidad de 5 cm/s. Hallar la razón de cambio de la distancia de la partícula

al vértice A del cuadrado cuando la longitud de su lado es 10 cm y la partícula ha recorrido 1,500

cm.

x

y

A B

CD

A’

P

D(t)

5m/s

Figura 4.5: Cuadro contraendose

Solución. Sean t el tiempo, x la longitud del lado del cuadrado, S(t) el área del cuadrado en el

instante t entonces S(t) = x2(t) y por datodS

dt(t) = −8 cm2/s.

De

S(t) = x2(t) ⇒ dS

dt(t) = 2x(t)

dx

dt(t)

entoncesdx

dt(t) = − 4

x (t)· · · (1)

En cualquier instante t las coordenadas del vértice A′ y el punto P ,

A′ =(100− x

2, 100− x

2

)y P ′ = (5t, 0) ;

entonces la distancias de A′ a P ′ es

D (t) =

√(100− x

2− 5t

)2+(100− x

2

)2.

Derivando respecto al tiempo obtenemos

dD

dt(t) =

(100− x

2− 5t

)(−1

2

dx

dt(t)− 5

)− 1

2

(100− x

2

) dxdt

(t)√(100− x

2− 5t

)2+(100− x

2

)2 . · · · (2)

264 PREFACE

Por los datos 5t = 1500 ⇒ t = 300 s, además en ese instante x = 10 cm, por lo tanto de (1)

resulta quedx

dt(t) = −2

5cm/s. Reemplazando estos valores en (2) y efectuando obtenemos,

dD

dt(300) = 4,8026 cm/s

�

Ejemplo 4.44. (Derivación implícita).Calcular la pendiente de la tangente a la curva,

C : 2x2y2 + y3 cos (πx)− 1 = 0. · · · (1)

en el punto (1, 1).

Solución. Primero comprobaremos que el punto (1, 1) ∈ C, es decir,

2 (1)2 (1)2 + (1)3 cos (π (1))− 1 = 2− 1− 1 = 0.

A continuación supongamos que existe una función f tal que y = f (x) satisface la ecuación (1)

y con f (1) = 1, entonces

2x2 [f (x)]2 + [f (x)]3 cos (πx)− 1 = 0

y derivando obtenemos

4x [f (x)]2 + 4x2f (x) f ′ (x) + 3 [f (x)]2 f ′ (x) cos (πx)− π [f (x)]3 sen (πx) = 0.

Si f (x) = 0, entonces

f ′ (x) =π [f (x)]2 sen (πx)− 4x [f (x)]

4x2 + 3 [f (x)] cos (πx)

siempre que 4x2 + 3 [f (x)] cos (πx) = 0. Por tanto, en el punto (1, 1) se obtiene

f ′ (1) =π (1)2 sen (π (1))− 4 (1) (1)

4 (1)2 + 3 (1) cos (π (1))= −4.

�

Ejemplo 4.45. Suponiendo que la ecuación y3 + y = x2 + 1 define implícitamente una función

derivable f tal que y = f (x) con f (3) = 2, encontrar f ′′ (x) en el punto (3, 2).

PREFACE 265

Solución. Primero comprobaremos que el punto (3, 2) satisface la ecuación,

(2)3 + (2) = (3)2 + 1 = 10.

A continuación, derivando implícitamente a la ecuación, obtenemos

3y2y′ + y′ = 2x,

es decir

y′ =2x

3y2 + 1. · · · (1)

Por tanto,

y′∣∣(3,2)

=2 (3)

3 (2)2 + 1=

6

13.

Para calcular y′′ derivamos (1) respecto de x,

y′′ =

(2x

3y2 + 1

)′=

(2x)′(3y2 + 1

)− (2x)

(3y2 + 1

)′(3y2 + 1)2

=6y2 − 12xyy′ + 2

(3y2 + 1)2.

Evaluando en el punto (3; 2),

y′′∣∣(3,2)

=6 (2)2 − 12 (3) (2)

(613 + 2

)[3 (3)2 + 1

]2 = − 92

2197

�

Ejercicios 4.6. Resolver cada uno de los problemas.

1. Hallar la n-ésima derivada de las siguientes funciones:

a) f (x) = (ax+ b)n.

b) f (x) = 2x−3(x+2)(x−2) .

2. Encuentre una fórmula para f (n)(x), n ∈ Z+, si

a) f (x) =1

x.

b) f (x) = ln√x.

3. Demuestre que si f es un polinomio de grado n, entonces f (k) (x) = 0 para k > n.

4. Demostrar que f (n) (x) = sen(x+

nπ

2

)si f (x) = sen (x).

266 PREFACE

5. Sean f y g dos funciones con derivadas hasta el orden n. Demostrar, usando inducción, la

regla de Leibniz

(fg)(n) (x) =

n∑k=0

(n

k

)f (n−k) (x) g(k) (x) .

6. Calcular la derivada de f si y = f (x) y se cumple que

a) xy2 + 2y3 = x− 2y.

b) √xy + 2x =

√y.

c) 2x2 + 2y2 = x4 + y4.

d) cos (x+ y) = y sen (x).

7. Si y = f (x), calcular f ′ (x) en el punto dado.

a)(x2 + y2

)2= x2 − y2,

(√6

4,

√6

2

).

b) x2 + 4xy − y2 = 19, (2, 3).

c) sen2 (x) + cos2 (y) = 1,(π4,π

4

).

d) x sen (y) + y cos (x) =π

2√2,(π4,π

4

).

8. Derivar implícitamente

a) x23 + y

23 = a

23 .

b) sen (x+ y) + sen (x− y) = 1.

9. Encontrar la ecuación de la tangente a la curva dada en el punto dado.

a)1− xy

1 + x2y2= 1, (−1, 1).

b)(x2 + y2

) 32 = 2xy,

(3

4,

√3

4

).

c) 3x sen (πy) + y sen (πx) = −2,(1

2,−1

2

).

d) 2π sen (x) sen (y) =√3 (x+ y),

(π6,π

3

).

10. Hay dos rectas que pasan por el punto (−1, 3) las cuales son tangentes a la curva

x2 + 4y2 − 4x− 8y + 3 = 0.

Encontrar una ecuación de cada una de estas rectas.

PREFACE 267

11. Probar que las rectas tangentes a las curvas 4y3−x2y−x+5y = 0 y x4− 4y3+5x+ y = 0

en el origen, son perpendiculares.

4.8. Derivada de la función inversa

En algunos casos puede ser imposible encontrar la regla de correspondencia para la inversa de

una función inyectiva; esto se debe a que no se puede despejar x de la ecuación y = f(x). Sin

embargo, podemos estudiar determinados propiedades de f−1 aun sin tener una fórmula explícita

para ella.

En la prueba de los teoremas relativos a continuidad y diferenciabilidad de la función inversa,

usaremos el corolario del teorema del valor intermedio: si una función f es continua sobre un

intervalo I, entonces f [I] = {f (x) : x ∈ I} es un intervalo.

Teorema 4.10. Supongamos que la función f es continua y estrictamente creciente en el intervalo

I, entonces f−1 es continua en el intervalo f [I].

Demostración

Sea y0 un punto interior de f [I] y sea x0 = f−1 (y0). Entonces x0 es un punto interior de I.

Queremos demostrar que para cualquier número ε > 0 existe un número δ > 0 tal que

y ∈ f [I] ∧ |y − y0| < δ ⇒∣∣f−1 (y)− f−1 (y0)

∣∣ < ε.

Dado ε1 > 0 sea ε ∈ ]0, ε1[ tal que [x0 − ε, x0 + ε] ⊆ I. Como f es una función estrictamente

creciente, f (x0 − ε) < f (x0) < f (x0 + ε). Sean δ1 y δ2 definidos por f (x0 − ε) = y0 − δ1 y

f (x0 + ε) = y0 + δ2. Si, ahora, δ = mın {δ1, δ2}, entonces

]y0 − δ, y0 + δ[ ⊆ ]y0 − δ1, y0 + δ2[ = f (]x0 − ε, x0 + ε[) ,

de donde

f−1 (]y0 − δ, y0 + δ[) ⊆ ]x0 − ε, x0 + ε[ =]f−1 (y0)− ε, f−1 (y0) + ε

[.

Si el extremo izquierdo a pertenece a I, entonces f (a) ∈ f [I]. Queremos demostrar que f−1 es

continua a la derecha en f (a). Es decir, queremos demostrar que dado cualquier ε > 0 existe un

número δ > 0 tal que

f−1 (y)− f−1 (f (a)) = f−1 (y)− a, ε

siempre que y ∈ D(f−1

)y

0 ≤ y − f (a) < δ.

268 PREFACE

En este caso, dado ε1 > 0 sea ε ∈ ]0, ε1] tal que [a, a+ ε] ⊆ I. Definimos δ = f (a+ ε) − f (a).

Entonces

[f (a) , f (a) + δ[ = f ([a, a+ ε[)

y de aquí

f−1 ([f (a) , f (a) + δ[) = [a, a+ ε[ .

Un argumento análogo es válido para la continuidad de f−1 a la izquierda de f (b) si el extremo

derecho b ∈ I.

Teorema 4.11. (Derivada de la función inversa). Sea f : D (f) ⊆ R → R una función

diferenciable en un intervalo abierto I ⊆ D (f). Supongamos que f ′ (x) > 0 (o f ′ (x) < 0) para

todo x ∈ I. Entonces la función inversa f−1 : f (I) → R es también diferenciable en el intervalo

abierto f (I), y (f−1

)′(y) =

1

f ′ (f−1 (y))(4.8.1)

para todo y en f (I).

Demostración

Como f ′ (x) > 0 (o f ′ (x) < 0) para todo x ∈ I, entonces f es estrictamente creciente en I (o f

es estrictamente decreciente en I), por lo tanto, al ser f inyectiva en I tiene inversa

f−1 : f (I) → I.

Además, siendo f es continua en el intervalo abierto I, f [I] también es un intervalo abierto. Sea

y ∈ f [I], entonces existe x ∈ I tal que f (x) = y (o equivalentemente f−1 (y) = x). Queremos

demostrar que el límite

lımk→0

f−1 (y + k)− f−1 (y)

k

existe. Usamos para esto el cambio de variable

h = f−1 (y + k)− f−1 (y) = f−1 (y + k)− x;

por lo tanto, como f−1 (y + k) = x+ h, resulta

k = f (x+ h)− y = f (x+ h)− f (x)

y

lımk→0

h = lımk→0

[f−1 (y + k)− f−1 (y)

]= 0

PREFACE 269

donde se ha usado la continuidad de f−1. Luego

lımk→0

f−1 (y + k)− f−1 (y)

k= lım

h→0

h

f (x+ h)− f (x)= lım

h→0

1

f (x+ h)− f (x)

h

=1

f ′ (x)=

1

f ′ (f−1 (y))


Observación 4.8.1. Otra forma de presentar la derivada de la función inversa. Si

y = f(x) ⇔ x = f−1(y) entoncesdy

dx=

1dxdy

⇒ dy

dx

dx

dy= 1.


f (x) =2x+ 3

x− 1, x = 1.

1. Demostrar que f tiene inversa.

2. Encontrar la derivada de la función inversa en y = 7.

Solución.

1. De

f (x) =2x+ 3

x− 1= 2 +

5

x− 1⇒ f ′(x) = − 5

(x− 1)2< 0, ∀x = 1.

Esto implica que f es decreciente 4, por lo tanto, es inyectiva, existe la inversa de f .

2. Si (x; y) = (x; 7) ∈ G(f) ⇒ y = f(x) = 7, resolviendo x = 2; (f−1)′(7) =1

f ′(2)= −1

5. �

Ejemplo 4.47. Designemos a la función, inversa a la función potencial exponencial y = xx, por

el símbolo α(x), es decir, supongamos que de y = xx se deduce x = α(y). Hallar la fórmula para

la derivada de la función y = α(x).

Solución. De la definición de función inversa,

y = f(x) ⇔ x = α(y) = α(f(x)).

De la derivada de la función inversa,

α′(f(x)).f ′(x) = 1 ⇒ α′(f(x)) =1

f ′(x).

4Si f ′(x) < 0, x ∈ I, entonces f es decreciente en I.

270 PREFACE

Para hallar f ′ primero tomamos ln en

y = xx ⇒ ln y = x lnx,

luego derivamos implícitamente, f ′(x) = xx(lnx+ 1). Reemplazando

α′(y) =1

y(lnα(y) + 1).

Cambiando la variable y por la variable x,

α′(x) =1

x(lnα(x) + 1).

�

Ejemplo 4.48. Comprobar la validez de la relación

dy

dx

dx

dy= 1

si x e y se relacionan por medio de la función y = ln(x2 − 1).

Solución. De la definición de función inversa

y = ln(x2 − 1) ⇔ ey = x2 − 1 ⇔ x =√1 + ey.

Derivando simultáneamente,

dy

dx=

2x

x2 − 1⇔ dx

dy=

ey

2√1 + ey

.

De donde, expresando en términos de x se cumple

dy

dx.dx

dy=

(2x

x2 − 1

)(ey

2√1 + ey

)= 1.

4.9. Derivada de las inversas trigonométricas.

La periodicidad de las funciones trigonométricas implica que ellas no son funciones inyectivas.

Por ejemplo, sabemos que la función seno tiene periodo 2π, así que por definición

sen (2πn+ x) = sen (x) , ∀n ∈ Z,

entonces hay infinitos puntos en la gráfica de la función seno con la misma ordenada. Como

las funciones trigonométricas no son inyectivas, no tienen funciones inversas. Sin embargo, como

PREFACE 271

veremos en esta sección, si restringimos apropiadamente el dominio de las funciones trigono-

métricas obtendremos nuevas funciones que si serán inyectivas. Las inversas de estas funciones

restringidas serán llamadas funciones trigonométricas inversas.

función seno inversa

La función

sen|[−π2,π2 ]

:[−π2,π

2

]→ R

es estrictamente creciente pues

D sen|[−π2,π2 ](x) = cos (x) > 0

para todo x ∈]−π

2 ,π2

[. Por lo tanto, la función sen|[−π

2,π2 ]

tiene inversa

sen|−1

[−π2,π2 ]

: [−1, 1] →[−π2,π

2

]

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2Gráfica de arcoseno

Eje x

Eje

y

Figura 4.6: f(x) = arc sen(x)

que será llamada función seno inversa o arco seno, y se denotará arcsin; así

arcsin : [−1, 1] →[−π2,π

2

],


arcsin (x) = y ⇔ sen (y) = x para todo x ∈ [−1, 1] e y ∈[−π2,π

2

],


sen (arcsin (x)) = x para x ∈ [−1, 1]

272 PREFACE

y

arcsin (sen (y)) = y para y ∈[−π2,π

2

].

La gráfica de arcsin se muestra a continuación

Ya que la función sen|[−π2,π2 ]

es continua, monótona y derivable, se sigue del teorema ?? que la

función seno inversa es derivable. Para deducir la fórmula para la derivada de la función arcsin,

recordemos que con la notación de (1), tenemos

Dx arcsin (x) =1

Dy sen (y)=

1

cos (y),

pero

cos (y) =√

1− sen2 (y) =√

1− x2

pues si y ∈]−π

2 ,π2

[, cos (y) > 0. Sustituyendo en (2)

Dx arcsin (x) =1√

1− x2para x ∈ ]−1, 1[ .

función coseno inversa.

La función

cos|[0,π] : [0, π] → R


D cos|[0,π] (x) = − sen (x) < 0

para todo x ∈ ]0, π[. Por lo tanto, la función cos|[0,π] tiene inversa

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Gráfica de arcocoseno

Eje x

Eje

y

Figura 4.7: f(x) = arc cos(x)

PREFACE 273

cos|−1[0,π] : [−1, 1] → [0, π]

que será llamada función coseno inverso o arco coseno, y se denotará arc cos.

La gráfica de arc cos se muestra a continuación

Así

arc cos : [−1, 1] → [0, π] ,


arc cos (x) = y ⇔ cos (y) = x para todo x ∈ [−1, 1] e y ∈ [0, π] ,


cos (arc cos (x)) = x para x ∈ [−1, 1]

y

arc cos (cos (y)) = y para y ∈ [0, π] .

Para deducir la fórmula para la derivada de la función arcsin, recordemos que con la notación de

(2), tenemos

Dx arc cos (x) =1

Dy cos (y)=

1

− sen (y),

pero

sen (y) =√

1− sen2 (y) =√

1− x2

pues si y ∈ ]0, π[, sen (y) > 0. Sustituyendo en (4)

Dx arc cos (x) = − 1√1− x2

para x ∈ ]−1, 1[ .

función tangente inversa.

La función

tan|]−π2,π2 [

:]−π2,π

2

[→ R


D tan|]−π2,π2 [(x) = sec2 (x) > 0

para todo x ∈]−π

2 ,π2

[. Por lo tanto, la función tan|]−π

2,π2 [

tiene inversa

tan|−1

]−π2,π2 [

: R →]−π2,π

2

[que será llamada función tangente inversa o arcotangente, y se denotará arctan; así

274 PREFACE

−15 −10 −5 0 5 10 15−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2Gráfica de arcotangente

Eje x

Eje

y

Figura 4.8: f(x) = arctan(x)

arctan : R →]−π2,π

2

[,


arctan (x) = y ⇔ tan (y) = x para todo x ∈ R e y ∈]−π2,π

2

[,


tan (arctan (x)) = x para x ∈ R

y

arctan (tan (y)) = y para y ∈]−π2,π

2

[.

Para deducir la fórmula para la derivada de la función arctan, con la notación de (5), tenemos

Dx arctan (x) =1

Dy tan (y)=

1

sec2 (y),

pero

sec2 (y) = 1 + tan2 (y) = 1 + x2.

Sustituyendo en (6)

Dx arctan (x) =1

1 + x2para x ∈ R.

Ejemplo 4.49. Determinar la derivada de las funciones

1. f (x) = arc sen (x) + arc cos (x).

PREFACE 275

2. f (x) = 4 arcsin(x2

)+ x

√4− x2, −2 ≤ x ≤ 2.

Solución.

1. f ′(x) =1√

1− x2− 1√

1− x2= 0

2. f ′(x) =4√

4− x2+

√4− x2 − x2√

4− x2= 2

√4− x2, −2 < x < 2. �

Ejemplo 4.50. Determinar Dxy por diferenciación implícita si

1. arc sen (xy) = arc cos (x+ y).

2. x sen (y) + x2 = arctan (y).

Solución.

1.1√

1− x2y2(y + xy′) = − 1 + y′√

1− (x+ y)2.

Despejando y′,

y′ = −y√

1− (x+ y)2 +√

1− x2y2

x√

1− (x+ y)2 +√

1− x2y2

2. sen y + (x cos y)y′ + 2x =y′

1 + y2⇒ y′ = −(2x+ sen y)(1 + y2)

x(1 + y2) cos y − 1. �

Ejemplo 4.51. Un hombre camina a 2 m/s a lo largo del diámetro de un patio circular. Una

luz en uno de los extremos del diámetro perpendicular a su trayectoria proyecta la sombra sobre

la pared circular. ¿Qué tan rápido se mueve la sombra a lo largo de la pared cuando la distancia

que hay del hombre al centro del patio esr

2m, donde r m es el radio del patio?

Solución.

En la gráfica el hombre se encuentra en H, alejándose de O y su sombra se proyecta en B.

Formamos el triángulo isósceles OBA, en ella se cumple:

∠OAB = ∠OBA = α, θ = ∠BOD ⇒ θ = 2∠OAB = 2α.

Arco BD = s = rθ ⇒ ds

dt= r

dθ

dt

276 PREFACE

x

y

r

r

xH

A

O

B

D

α

α

faro

θ

Figura 4.9: velocidad de la sombra

De tanα =x

r⇒ α = arctan(xr ) se tiene θ = 2arctan(xr ).

dθ

dt=

2

1 + (xr )2

(1

r

)dx

dt.

Cuando x =r

2,

dθ

dt=

16

5r⇒ ds

dt=

16

5m/s.

4.10. Derivada de las funciones logarítmicas.

Definición 4.18. La función logaritmo natural es la función ln : R+ → R tal que ln (1) = 0 y

Dx ln (x) =1

xsi x > 0.

Que la definición anterior es correcta, en el sentido de la existencia, será un problema fácil de

resolver en Cálculo Integral. Es claro de la definición que el dominio de la función logaritmo

natural es R+; además, muestra que ln es derivable para todo x > 0.


Dx ln |x| =1

xsi x = 0

Solución.Sustituyendo |x| por√x2 y si x = 0, tenemos

Dx ln |x| = Dx

(ln

√x2)

.

PREFACE 277

De esta manera, por la regla de la cadena

Dx ln |x| =1√x2Dx

(√x2)=

1√x2

· x√x2

=x

x2.

Por tanto

Dx ln |x| =1

xsi x = 0.

En general, si f : D (f) → R+ es una función derivable en D (f), entonces

Dx ln f (x) =1

f (x)Dxf (x)

y si f : D (f) → R es una función que no se anula en D (f)

Dx ln |f (x)| =Dxf (x)

f (x).

�Las propiedades básicas de la función logaritmo natural son enunciadas a continuación.

Teorema 4.12. Sea f(x) = lnx, x > 0 la función logaritmo natural.

1. La función ln es continua y estrictamente creciente en su dominio.

2. La segunda derivada de f es negativa en todo su dominio, es decir, f ′′(x) < 0, ∀x > 0.

3. ∀x > 0,

lımx→+∞

ln (x) = +∞ · · · (1)

y

lımx→0+

ln (x) = −∞ · · · (2)

4. R (ln) = R, es decir,

∀y ∈ R,∃x ∈ R : ln (x) = y.

Observación 4.10.1. Si la derivada de una función f cumple la condición (2) del teorema

anterior se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo en todo punto.

Demostración

1. Como la función ln es derivable para todo x > 0, esta función es continua en su dominio;

además, la función es estrictamente creciente en R+.

2. Derivando una vez más encontramos que si x > 0

D2x [ln (x)] = − 1

x2< 0

es decir, la gráfica de la función ln es cóncava hacia abajo en todo punto.

278 PREFACE

3. Dado M > 0, es suficiente tomar N = 2M

ln(2) > 0 para que

x > 2M

ln(2) = N ⇒ ln (x) > ln(2

Mln(2)

)=M

lo que prueba (1).

Por otro lado, ya que

ln (x) = ln

(1

x

)−1

= − ln

(1

x

),

tenemos

lımx→0+

ln (x) = − lımx→0+

ln

(1

x

)= − lım

y→+∞ln (y) = −∞.

lo que prueba (2).

4. De (1) y (2) y del teorema del valor intermedio concluimos que R (ln) = R. �

4.11. Derivada de la función exponencial

La función logaritmo natural tiene una inversa que también es una función creciente. La inversa

de la función logaritmo natural se denomina función exponencial, la cual ahora definimos.

Definición 4.19. La función exponencial es la inversa de la función logaritmo natural, es decir,

la función exponencial es la función exp : R → R+ definida por

exp (x) = y ⇔ ln (y) = x.

Como la función logaritmo natural y la función exponencial son inversas una de la otra, se sigue

que

exp (ln (x)) = x y ln (exp (x)) = x

Ahora enunciamos algunas propiedades de la función exponencial

Teorema 4.13. Si a, b ∈ R y r ∈ Q, entonces

1. exp (0) = 1

2. exp (a+ b) = exp (a) · exp (b)

3. exp (a− b) =exp (a)

exp (b)

4. exp (ra) = [exp (a)]r

PREFACE 279

Uno de los más importantes números en matemáticas es el número e, que está definido por

e = exp (1) = 2,7182818 . . .

Se escogió la letra e debido al matemático y físico suizo Leonard Euler (1707− 1783).

Teorema 4.14. La función exponencial es derivable, y

Dx exp (x) = exp (x) si x ∈ R.

Demostración

De

exp (x) = y ⇔ ln (y) = x.

Por el teorema de la función inversa,

Dx exp (x) =1

Dy ln (y)=

11y

= y = exp (x) ,


En general, si f : D (f) → R es una función derivable en D (f), entonces

Dx

(ef(x)

)= ef(x)Dxf (x) .

Teorema 4.15. Sea la función exponencial exp(x) = ex, x ∈ R.

1. La función exp es continua y estrictamente creciente.

2. Se cumple

lımx→+∞

ex = +∞

y

lımx→−∞

ex = 0.

3. R (exp) = R+, es decir,

∀x ∈ R : exp (x) > 0.

Desmostración

Es consecuencia inmediata de la definición 4.19 y el teorema 4.12. �


lımh→0

(1 + h)1h = e.

280 PREFACE

Solución. Sabemos que

Dx ln (x)]x=1 =1

x

]x=1

= 1.

Además,

Dx ln (x)]x=1 = lımh→0

ln (1 + h)− ln (1)

h= lım

h→0

ln (1 + h)

h.

Por lo tanto

lımh→0

ln (1 + h)

h= 1.

Por otro lado

(1 + h)1h = exp

[ln (1 + h)

h

],

entonces

lımh→0

(1 + h)1h = lım

h→0exp

[ln (1 + h)

h

]y por la continuidad de la función exponencial,

lımh→0

(1 + h)1h = exp

[lımh→0

ln (1 + h)

h

]= exp (1) = e.

Para todo x ∈ R tenemos

exp (x) = ex

Así de la definición 4.19, tenemos

ex = y ⇔ x = ln (y)

�

Ejemplo 4.54. Dada y = e1x2 encontrar Dxy.

Solución. Por fórmula

Dx

(e

1x2

)= e

1x2Dx

(1

x2

)= − 2

x3e

1x2

Definición 4.20. Si a ∈ R+, la función

expa : R → R

definida por

expa (x) = ax

se denomina función exponencial.

PREFACE 281

Según la definición 4.19

expa (x) = exp [x ln (a)] para todo x ∈ R,

o también

expa (x) = ex ln(a) para todo x ∈ R.

Teorema 4.16. Si

a, b ∈ R+, x, y ∈ R ⇒ ax+y = axay.

Demostración

Tenemos

axay = ex ln(a)ey ln(a) = ex ln(a)+y ln(a) = e(x+y) ln(a) = ax+y.

4.12. Derivada de funciones definidas paramétricamente

Sea y = f (x) una función definida en forma paramétrica por{x = φ(t),

y = ψ(t),, α < t < β (4.12.1)

donde φ(t) y ψ(t) son derivables y si x′t = φ

′(t) = 0 entonces existe t = φ−1(x), por lo tanto,

1. y = ψ(t(x)).

2. x′t =1

t′x.

Derivando y = ψ(t(x)) respecto a x

dy

dx= y

′x =

dψ

dt

dt

dx=dψ

dt

1dxdt

=dydtdxdt

=y′t

x′t

(4.12.2)

Volviendo a derivar dydx , dado en (4.12.2), respecto a x se tiene:

d2y

dx2=

d

dx(dy

dx) =

d

dt(y

′x)dt

dx=

ddt(y

′x)

dxdt

=y′′t x

′t − y

′tx

′′t

(x′t)3

(4.12.3)

Ejemplo 4.55. Si y = f (x) es una función definida en forma paramétrica por x = φ(t) y

y = ψ(t), calcule f ′ (x) y f ′′ (x), si

282 PREFACE

{x (t) = sen2(t),

y (t) = cos2(t),

Solución

Como

y′t = −2 cos(t) sen(t) = − sen(2t), x

′t = 2 cos(t) sen(t) = sen(2t)

entonces y′x = −1

Haciendo uso de la ecuación (4.12.3) se obtiene y′′xx = 0. Comprobar!

Ejemplo 4.56. Sea y = f (x) una función definida paramétricamente por

x (t) = ln (t+ 1)

y (t) = (t+ 1)cos(t)

Calcule f ′ (0) y halle la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en x = 0.

Solución

Hallamos la derivada de x respecto a t,

x′t =

1

1 + t

Para hallar y′t, primero tomamos logaritmo a y(t) y luego derivamos implícitamente,

ln y = (cos t) ln(1 + t) ⇒ y′t = (1 + t)cos t

[cos t

1 + t− sen t ln(1 + t)

]Si x = 0 ⇒ t = 0, y = 1. Cuando

t = 0, x′t = y

′t = 1 ⇒ f ′(0) = y

′x|t=0 = 1

La recta tangente a la curva en el punto (0; 1) es y = x+ 1.


Problema 4.1. Un globo se eleva verticalmente siguiendo una trayectoria recta a una razón

constante de 0,4 m/s. Justo cuando el globo está a 26 metros de altura, un ciclista que se mueve

a una razón constante de 4 m/s pasa debajo del globo. ¿Con qué rapidez crece la distancia entre

el globo y el ciclista, 10 segundos después?

Solución

Sean: y la altura del globo, x la distancia recorrida por el ciclista, L, la distancia entre el globo

y el ciclista en un tiempo t ≥ 0.

PREFACE 283

Todas las variables dependen del tiempo, es decir, y (t), x (t), L (t).

De los datosdy

dt= 0,4 m/s y

dx

dt= 4 m/s.

Por Pitágoras,

L2 = x2 + y2

Para t = 10 se tiene x = 40, y = 30 y L = 50 m.

Derivando implícitamente y evaluando

2LdL

dt= 2x

dx

dt+ 2y

dy

dt

50dL

dt= 40(4) + 30 (0,4)

dL

dt= 3, 44 m/s.

�

Problema 4.2. Si la ecuación y2 = ex+y define una función implícita y = f (x), demuestre que

d2y

dx2=

2y

(2− y)3.

Solución

Derivando implícitamente y2 = ex+y

2yy′ = ex+y(1 + y′

)= y2

(1 + y′

)2y′ = y

(1 + y′

)· · · (1)

Despejando y′ de (1)

y′ =y

2− y· · · (2)

Volviendo a derivar (1)

y′′ (2− y) = y′ +(y′)2 · · · (3)

Reemplazando (2) en (3) se tiene el resultado

d2y

d2x=

2y

(2− y)3.

�

284 PREFACE

Problema 4.3. Determine un valor aproximado de

y = f (x) = e− sin(2x)

cuando x =9π

8.

Solución

Usando diferenciales

dy = −2e− sin(2x) cos (2x) dx

Considerando como a = π y dx =π

8, se tiene

f(π +

π

8

)= f (π) + f ′ (π) dx

= 1− π

4≃ 0,2146

Ejercicio 4.2. Resolver el problema por aproximación lineal.

�

Problema 4.4. Halle la derivada de las siguientes funciones indicando su dominio.

1. f (x) =(x2 − 2x

)sec (x) + x−3.

2. g (x) = tan (x) + x20 + 4x− 5√x+ 3.

Solución

1. Si f (x) =(x2 − 2x

)sec (x) + x−3 =

(x2−2x)cos(x) + 1

x3 entonces

f ′ (x) =1

cosx(2x− 2) +

(x2 − 2x

) sen (x)cos2 x

− 3

x4, D(f ′) = R− {x/ cos(x) = 0}

2. Como g (x) = tan (x) + x20 + 4x− 5√x+ 3,

g′ (x) = sec2 (x) + 20x19 − 4 +5

2√x3, D(g′) = R− {0, (2n+ 1)

π

2, n ∈ Z.}

�

PREFACE 285

Problema 4.5. Si la recta

L1 : x+ y − 5 = 0

es tangente a la gráfica de una función f en el punto (2; f (2)) y la recta L2 es tangente a la

gráfica de otra función g en el punto Q (2,−5) con pendiente m = 2, calcule el valor de la

siguiente expresión

E =

(f

f + g

)(2) + (2f − g)′(2).

Solución

Como

L1 : y = −x+ 5

es tangente a la gráfica de una función f en el punto (2; f (2)) entonces

f ′ (2) = −1.

Además, comparando la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (2; f (2)),

dada por

y = f ′(2)(x− 2) + f(2) = −x+ 2 + f(2)

con la ecuación de L1 se tiene, 2 + f(2) = 5 ⇒ f(2) = 3.

Por otra parte, L2 es tangente a la gráfica de g en Q (2,−5) y tiene pendiente m = 2, entonces

g′ (2) = 2 y g (2) = −5.

De donde

E =f(2)

f(2) + g(2)+ 2f ′(2)− 2g′(2) = −15

2.

�

Problema 4.6. Sea la función f definida por

f (x) =

− (x+ 3)2 , x ≤ −3.

ax2 + bx+ c, −3 < x < 0.

2 + tan (x) , 0 ≤ x <π

2.

1. Halle los valores de a, b y c de tal manera f sea diferenciable en x = −3 y continua en

x = 0.

2. Usando los valores de a, b y c hallados en la parte a) demuestre que f no es diferenciable

en x = 0.

286 PREFACE


Solución

1. Por continuidad de f en x = −3: 0 = 9a− 3b+ c.

Por continuidad de f en x = 0: c = 2. Entonces2 = 3b− 9a.

Por diferenciabilidad de f en x = −3,

f ′− (−3) = f ′

+ (−3)

0 = −6a+ b⇒ b = 6a.

Resolviendo (1) y (2) se tiene, a = 29 y b = 4

3 .

2. La función

f (x) =

− (x+ 3)2 , x ≤ −3.29 (x+ 3)2 , −3 < x < 0.

2 + tan (x) , 0 ≤ x <π

2.

no es diferenciable en x = 0, pues f ′− (0) = f_+′ (0).

3. Gráfica de f .

f

x

y

-3

2

Figura 4.10: Derivada en función seccionada

�

PREFACE 287

Problema 4.7. Halle en la gráfica de la función

f (x) = cot (x) + x; si 0 < x < π,

el punto donde la recta tangente tiene pendiente m = −3.

Solución

Derivando la función e igualando a −3,

f (x) = cot (x) + x⇒ f ′ (x) = − csc2 (x) + 1 = −3,

se tiene

csc (x) = 2 ⇒ x =π

6.

El punto en la gráfica de f donde la pendiente es igual a m = −3 es(π6 ;√3 + π

6

). �

Problema 4.8. Demuestre que

1. lımh→0

f (a− h)− f (a)

h= −f ′ (a).

2. f ′ (a) = lımh→0

f (a+ h)− f (a− h)

2h.

Solución

En cada caso.

1. Si h = −t entonces lımh→0

f (a− h)− f (a)

h= − lım

t→0

f (a+ t)− f (a)

t= −f ′ (a).

2. Usando la parte a) y sumando y restando en el numerador,

f ′ (a) = lımh→0

f (a+ h)− f (a− h) + f (a)− f (a)

2h

= lımh→0

[f (a+ h)− f (a)

2h− f (a− h)− f (a)

2h

]=

f ′ (a)

2+f ′ (a)

2= f ′ (a) .

�

Problema 4.9. Suponiendo que f y g son funciones diferenciables en a,

1. encuentre el valor de

lımx→a

f (x) g (a)− f (a) g (x)

x− a.

288 PREFACE

2. Use la parte (a) para calcular el valor de

lımx→a

anf(x)− xnf(a)

x− a, n ∈ N.

Solución

1. Como f y g son funciones diferenciables en a, entonces

lımx→a

f (x) g (a)− f (a) g (x) + f (a) g (a)− f (a) g (a)

x− a

= lımx→a

g (a) (f (x)− f (a))− f (a) (g (x)− g (a))

x− a= g (a) f ′ (a)− f (a) g′ (a) .

2. Usando la parte a) y suponiendo g (x) = xn,

lımx→a

anf (x)− xnf (a)− f (a) an − f (a) an

x− a

= lımx→a

[an(f (x)− f (a)

x− a

)− f (a)

(xn − an

x− a

)]= anf ′ (a)− f (a)

(xn−1 + axn−2 + ...+ an−1

).

�

Problema 4.10. Dada la función impar f definida por

f (x) =

x (lnx− 1) , x > 0

A, x = 0

B (x) , x < 0.

1. Halle la constante A y la expresión B (x).

2. Demuestre usando derivadas que f es creciente en ]−∞,−1[.

Solución

1. Como f es impar y 0 ∈ D (f) ⇒ f (0) = 0 = A.

Para x < 0, B (x) = −f (−x) = x ln (−x)− x.

2. Se tiene para x < 0, f (x) = x ln (−x)− x entonces f ′ (x) = ln (−x).

Basta probar que si x < −1 ⇒ −x > 1 ⇒ ln (−x) > 0. �

PREFACE 289


f (x) =√x3 + 3x

1. Demuestre que f posee inversa f−1.

2. Si L es la recta tangente a la gráfica de f−1 en el punto(6; f−1 (6)

)halle las coordenadas

del punto de intersección de L con el eje Y.

Solución

1. Si f (x) =√x3 + 3x entonces de x3 + 3x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0. Por lo tanto, D (f) = [0,+∞[.

Su derivada

f ′ (x) =3

2

(x2 + 1√x3 + 3x

), x > 0

y de x3 + 3x > 0 ⇒ x > 0. D (f ′) =]0,+∞[.

No existe algún x > 0 tal que f ′ (x) = 0, es decir, f ′ (x) = 0, ∀x > 0.

Esto implica que f posee inversa en ]0,+∞[= D(f−1) = R(f), denotado por f−1.

2. Sea

x = f−1 (6) ⇒√x3 + 3x = 6 ⇒ x3 + 3x = 36. · · · (1)

Resolviendo (1), x = 3.

La pendiente de L en el punto (6; 3) por derivada de la función inversa:

m =df−1 (6)

dx=

1

df (3)

dx

=2

5.

La ecuación de L : y − 3 = 25 (x− 6).

Entonces las coordenadas del punto de intersección de L con el eje Y, son(0; 35).

�

Problema 4.12. Encontrar los puntos de la curva

C : x2y2 + xy = 2 · · · (1)

donde sus rectas tangentes son paralelas a la recta

x+ y = 1.

290 PREFACE

Solución

Derivando implícitamente la ecuación de la curva

x2y2 + xy = 2 ⇒ 2xy2 + 2x2yy′ + y + xy′ = 0.

Despejando

y′ = −y(1 + 2x)

x(1 + 2x)= −y

x· · · (2)

para 1 + 2x = 0.

Del dato de la pendiente reemplazando en (2): y′ = −1 ⇒ y = x luego, en la ecuación (1)

x4 + x2 = 2 ⇒ x = ±1.

De donde, los puntos en la curva cuyas rectas tangentes son paralelas a la recta x+ y = 1 son

P1 (1; 1) y P2 (−1;−1) .

�


f (x) = ln(∣∣x2 − 5

∣∣)halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de y = f (x) que tengan pendiente −1

2 .

Solución

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f (x) = ln(∣∣x2 − 5

∣∣) en un punto (x, f (x)) está

dada por

f ′ (x) =2x

x2 − 5.

Por condición del problema

f ′ (x) = −1

2⇒ 2x

x2 − 5= −1

2.

Resolviendo se tiene x = −1 o x = 5.

Si x = −1 entonces el punto de tangencia (−1; ln (4)) y la ecuación de la recta tangente

L1 : x+ 2y + 1− 2 ln (4) = 0.

Si x = 5 entonces el punto de tangencia (5; ln (20)) y la ecuación de la recta tangente

L2 : x+ 2y − 5− 2 ln (20) = 0.

PREFACE 291

Problema 4.14. Demuestre que la derivada de la función

f (x) =√

8x− 3x2 +4√3arc cos

(1− 3

4x

)está dada por

f ′ (x) =8− 3x√8x− 3x2

.

Solución

Derivando mediante regla de la cadena

f ′ (x) =4− 3x√8x− 3x2

+4√3(− 1√

1− (1− 34x)

2)(−3

4)

Simplificando la expresión se obtiene

f ′ (x) =8− 3x√8x− 3x2

.

�

Problema 4.15. Halle una fórmula para la n−ésima derivada de la función

f (x) = ln

(x+ 2

x− 1

)+ sen

(x3

).

Solución

Previamente por propiedad de logarítmos,

f (x) = ln (x+ 2)− ln (x− 1) + sen(x3

).

Haciendo uso de la propiedad sen(θ + π

2

)= cos (θ).

f ′ (x) =1

x+ 2− 1

x− 1+

(1

3

)cos(x3

)= (x+ 2)−1 − (x− 1)−1 +

(1

3

)sen(x3+π

2

).

Hallando la segunda derivada

f ′′ (x) = (−1) (x+ 2)−2 − (−1) (x− 1)−2 +

(1

3

)2

cos(x3+π

2

)= (−1) (x+ 2)−2 − (−1) (x− 1)−2 +

(1

3

)2

sen(x3+ 2

π

2

).

Generalizando para n ≥ 2.

f (n) (x) = (−1)n−1 (n− 1)![(x+ 2)−n − (x− 1)−n]+ (1

3

)n

sen(x3+ n

π

2

).

292 PREFACE


1. Usando la definición halle f ′(a) y luego, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f

en el punto (a, f(a)).

a) f(x) =1

x2 + 1, a = −2.

b) f(x) = tan(2x), a = −π8 .

c) f(x) = cos(x), a = −π2 .

2. Dada la función definida por f(x) =

{x2 + 1, x ≤ 1

2x, x > 1.

a) Pruebe que f es continua en x = 1.

b) Calcule las derivadas laterales de f en x = 1.

c) Halle la recta tangente a la gráfica de f en (1; 2).

d) Grafique f y su recta tangente en (1; 2).

3. Pruebe que existe f ′(0), si f(x) =

{x2 sen( 1x), x = 0

0, x = 0.

4. Demuestre que existe al menos un punto P en la gráfica de la función f , definida por

f(x) = x cosx+ x2 − 4x, x ∈[−π2,π

2

]tal que la recta tangente a la gráfica de f en P sea paralela a la recta que pasa por los

puntos A(−1; 6) y B(1;−2).

5. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = cot(x) − x en el punto de

abscisa x = π4 . Use la definición de derivada para hallar la pendiente.

6. Si f es una función diferenciable, demuestre que:

a) lımh→0

f(x)− f(x− h)

h= f ′(x).

b) lımh→0

f(x+ h)− f(x− h)

2h= f ′(x).

c) lımx→c

xf(c)− cf(x)

x− c= f(c)− cf ′(c).

7. ¿Qué ángulos forman al cortarse las parábolas: y = x2, y2 = x?

8. Cada uno de los siguientes límites es la derivada de alguna función en un valor c. Identifique

la función y el punto c.

PREFACE 293

a) lımh→0

tan(π4 + h)− tan(π4 )

h.

b) lımh→0

23+h − 8

h.

c) lımx→0

ex − 1

x.

d) lımx→5π

cos(x) + 1

x− 5π.

9. Para una función f , impar y derivable en R, la recta tangente a su gráfica en el punto

P (−2; f(−2)) tiene por ecuación y = 3x + 7, halle la ecuación de la recta tangente a la

gráfica de f en el punto Q(2; f(2)).

Diferenciabilidad y continuidad

10. Dada la función f , halle los valores de a y b para que exista f ′(x0).

a) f(x) =

ax2 + b, x ≤ 1

1

x, x > 1

; f ′(x0), x0 = 1.

b) f(x) =

x3 + 1, x < 1

a√x+

b

x+ 1, x ≥ 1

; f ′(x0), x0 = 1.

11. Sea G(f) la gráfica de la función f(x) = −x2 + 4x+ 3.

a) Halle la recta tangente a G(f) en (1; f(1)).

b) Determine los puntos de G(f) donde la recta tangente tiene pendiente m = 2.

c) Halle las rectas tangentes a G(f) trazadas desde el punto Q(32 ; 9).

d) ¿Existe recta tangente a G(f) que pase por R(2; 2)?

12. Compruebe que la función

f(x) = |x− a|φ(x),

donde φ es una función continua y φ(a) = 0, no admite derivada en el punto a.

¿A qué son iguales las derivadas laterales f ′−(a) y f ′+(a) ?

294 PREFACE

Reglas de derivación

13. Halle la derivada de la función.

a) f(x) = cos√x2 + 1.

b) f(x) = ln

(x+ 2

x− 2

).

c) f(x) = arc sen(x2

)+ x

√4− x2.

14. Halle la derivada de la función

f(x) = ln(cos2 x+√

1 + cos2 x)

introduciendo la variable intermedia u = cos2 x.

15. ¿En qué puntos la gráfica de la función

f(x) = x+ 3√senx

tiene tangente vertical? Construya su gráfica.

16. ¿Para qué valor de x, son paralelas las tangentes a la gráfica de: f(x) = x2 y h(x) = x3?

Derivación implícita

17. Se define implícitamente una función y = f(x), donde f es derivable. Calcule y′.

a)√x+

√y = x.

b) x3y2 + 3xy = 0.

c) y2 cos(x)− x arctan(y) = sen(x+ y).

d) x sen(y) + y cos(x) = 1.

18. Dada la curva C : 4x2 − xy + y2 = 24.

a) Halle una ecuación de la recta tangente a C en el punto (−2;−4).

b) Halle los puntos de C donde la recta tangente tiene pendiente -2.

c) Halle las rectas tangentes a C trazadas desde el punto (4; 0).

d) Gráfique C y sus rectas tangentes halladas previamente.

PREFACE 295

19. La curva definida por la ecuación

C : (x2 + y2)2 = x2 − y2

se llama Lemniscata. Halle las coordenadas de los puntos sobre la curva en los cuales la

recta tangente es horizontal.

20. Se dice que dos curvas son ortogonales si en cada punto de intersección sus rectas tangentes

son perpendiculares.

a) Pruebe que las curvas

C1 : y2 = 4x y C2 : 2x2 + y2 = 6

son ortogonales.

b) ¿Son ortogonales las parábolas y = x2 y y2 = x?

Derivada de la inversa de una función

21. Pruebe que existe f−1. Luego, halle (f−1)′ indicando su dominio.

a) f(x) = x+ lnx.

b) f(x) = x+ ex.

22. Sea la función x = earc sen(y).

a) Halledy

dxen términos de y.

b) Halledy

dxen términos de x.

c) Muestre la equivalencia.

23. Sea la función f(x) =ex − e−x

ex + e−x.

a) Halledy

dxen términos de y.

b) Halledy

dxen términos de x.

c) Muestre la equivalencia.

24. Dada la función f(x) = x5 + x3 + 2x− 1, x ∈ R.

a) Verifique que f es creciente en R y por lo tanto tiene inversa.

296 PREFACE

b) Si (1; 3) ∈ G(f), hallar (f−1)′(3).

c) Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f−1 en el punto (−1; 0).

25. Sea

g(x) =

10

πarc senx, 0 ≤ x < 1

−12x

2 + 3x+ 52 , 1 ≤ x ≤ 5

a) Grafique g.

b) Si f es una función impar definida en el intervalo [−3, 3], que coincide con g en el

intervalo [0, 3] ¿Es f una función inyectiva? Justifique.

c) Halle la inversa de f y grafique en un mismo sistema tanto f como f−1.

26. Dadas las funciones f(x) = ex − x+ 1, x > 0 y g(x) =√x− 1

2 ln(x) + 1, x > 1.

a) Pruebe que dichas funciones son crecientes y, por lo tanto, tienen inversa.

b) Halle (f−1)′(e).

c) Halle h′(e2), si h(x) = f−1(g(x)).

Derivadas de orden superior

27. Halle una fórmula general para la n-ésima derivada de

f(x) =1

x2 − 3x+ 2+ cos(2x).

Sugerencia. Fracciones parciales y cos(α+ π2 ) = − sen(α).

28. Halle una fórmula general para la n-ésima derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = ln(2x− 3).

b) f(x) = sen(2x).

c) f(x) = sen2(x) ln(x).

29. Demuestre que, si una función f admite derivada de n-ésimo orden, se tiene

[f(ax+ b)](n) = anf (n)(ax+ b), n ∈ Z+.

PREFACE 297

30. Demuestre que la función

f(x) =

e−

1x2 , x = 0

0, x = 0

es infinitamente derivable en x = 0.

Derivadas Paramétricas

31. Sea y = f (x) una función definida paramétricamente por{x = φ(t)

y = ψ(t).

Demuestre que

y′′xx =y′′ttx

′t − y′tx

′′tt

(x′t)3

.

32. Calcule f ′(x) y f ′′(x), si y = f (x) es una función definida paramétricamente por:

a)

x (t) = a (cos t+ sen t) , a > 0

y (t) = a (sen t− t cos t) , t > 0

b)

x (t) = e2t cos2 t,

y (t) = e2t sen2 t,

c)

x (t) = arc sen t√

1+t2

y (t) = arc cos 1√1+t2

33. Una función y = f(x) definida en forma paramétrica determina la curva C, denominada

Cicloide:

C :

{x = t− sen(t)

y = 1− cos(t).

a) Analice la diferenciabilidad de f en t = π y en t = 2π.

b) Halle la pendiente de la recta tangente a C en el punto que corresponde a t = π2 .

c) Calcule f ′′(x) cuando t = π2 .

298 PREFACE

34. La Astroide1 o curva de 4 picos. Se genera cuando una circunferencia de radio a4 rueda

interiormente sobre otra circunferencia fija de radio a. Las ecuaciones paramétricas de la

astroide están dadas por:

C :

x (t) = a cos3 t, a > 0

y (t) = a sen3 t,

Calcule f ′(x) y f ′′(x). En el caso a = 2, esboce su gráfica.

35. Sea y = f (x) una función definida paramétricamente por

{x(t) = arc sen(t)

y(t) = ln(1− t2)

Calcule f ′(x) |x=0 y f ′′(x) |x=0.

36. Halle las ecuaciones de la recta tangentes y normal a la curva

C :

{x = 2t− t2,

y = 3t− t3,

en el punto t = 1.

37. Halle una ecuación de la recta tangente a la curva

C :

{x = e2t cos2(t),

y = e2t sen2(t),

que tenga pendiente igual a 1.

38. Sea la función f(x) =1

1 +√x, x ≥ 0.

a) Halle la ecuación de la asíntota de la gráfica de f .

b) Usando la definición, halle f ′(x), x > 0.

c) Halle la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto P (1; f(1)).

d) Esboce la gráfica de f y de su recta normal en P (1; f(1)).

1Ver Geometría Analítica, Ch. Lehmann, página 277.

PREFACE 299

Diferenciales y Aproximaciones lineales

39. Usando diferenciales, halle el valor aproximado de

a) sen(31◦)

b) arc sen(0, 54)

c) 4√17

40. Halle las aproximaciones lineales en a = 0 de las siguientes funciones

a) f (x) = ex.

b) f (x) = tan (x).

41. Halle dy en cada de las ecuaciones.

a) y = e−3x2 .

b) y = 3

√x−1x+1 .

c) x2 + 2√xy − y2 = 1.

42. Use diferenciales para determinar un valor aproximado de la expresión indicada.

a)√

2 + 3√8, 2.

b) arctan(e0,08

).

c) ln (1, 07).

43. Se estima que el próximo mes se venderán 8,000 unidades de cierto producto. Esta estima-

ción tiene un margen de error de 3%. La función ganancia es

G (x) = 5x− 0, 0002x2 dólares,

donde x es el número de unidades vendidas por mes.

a) Calcule la ganancia que dejarán los 8,000 artículos.

b) Estime el margen de error de la ganancia con el cálculo anterior.

c) Estime el margen de error relativo.

d) Estime el margen de error porcentual.

300 PREFACE

Problemas varios sobre derivadas

44. Calcule la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = arctan

(√4− x2

x

)+ cos3(2x).

b) h(x) = 2ln(1−x)(x2 +

√x+ 1

).

45. Sean la función f(x) = x2 y la curva C dada en forma paramétrica,

C :

{x = 5

3 cos(t)

y = 54 sen(t)

; t ∈ [0, 2π]

a) Demuestre que la curva C es una elipse con semiejes paralelos a los ejes coordenados

y centro, el origen de coordenadas.

b) Halle los puntos de intersección de la gráfica de f con la curva C.

c) Determine el ángulo que forman la gráfica de f y la curva C.

d) Grafique en un mismo sistema de coordenadas las dos curvas, indicando sus rectas

tangentes en el punto de abscisa positiva.


y = f(x) =arc senx√1− x2

, −1 < x < 1,

satisface la ecuación

(1− x2)y′ − xy = 1.


f(x) = arc sen√x y g(x) = sen2(x).

a) Demuestre que una es inversa de la otra, indicando sus dominios.

b) Si g′(x) = sen(2x), halle f ′(x). Justifique su procedimiento.

c) Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto que corresponde

a x = 12 . Justifique.

d) Grafique f y g en un mismo sistema de coordenadas.

48. Sea la función

f(x) =

{x arctan( 1x), x = 0

0, x = 0.

PREFACE 301

a) Halle la ecuación de la asíntota horizontal de la gráfica de f .

b) Demuestre que f es continua en x = 0.

c) Demuestre que f no es derivable en x = 0.

d) Esboce la gráfica de f y de su asíntota hallada en (a).


f (x) = ax2

g (x) = lnx.

a) Halle el valor de a de tal manera que las gráficas de f y de g tengan un solo punto de

intersección y la recta tangente sea común a ambas gráficas en el punto de contacto.

b) Halle la ecuación de la recta tangente (común) a las gráficas de f y de g.

c) Grafique en un mismo sistema de coordenadas f , g y la recta tangente hallada en b).

50. Sea

f (x) =x2

1 + x3, x < −1.

a) Probar que f es decreciente en ]−∞,−1[.

b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f−1 en el punto P(−4

7 ; f−1(−4

7

)).



f (x) = cos (3x+ 2)

g (x) = x |x| .

Halle

(f ◦ g)′ (|x|) .

52. Dada la función f definida por

f (x) =

b

x− 2, x ≤ 1

ax2 − 2, 1 < x < 2

b√x− 1− 6, x ≥ 2

302 PREFACE

a) Halle los valores de las constantes a y b para que f sea diferenciable en x = 2.

b) Con los valores de a y b hallados,

1) ¿es f diferenciable en x = 1?

2) Determine la función f ′ (x) indicando su dominio.


f (x) = ex − ln (1− x)

aproxime usando diferenciales o aproximación lineal el valor de f (−0,5).

54. Sea la función

f (x) = 2x+ cosx

a) Pruebe que f es inyectiva.

b) Halle (f−1

)′′(1) .

55. Si

y = f (u) , u = g (x)

demuestre qued2y

dx2=d2y

du2

(du

dx

)2

+d2u

dx2

(dy

du

)56. Halle la n-ésima derivada f (n), n ≥ 1, si

a) f (x) =1

(1− 2x) (1 + x).

b) f (x) = x2e−x.

57. Una partícula se mueve a lo largo de la curva de ecuación

y = cos (2x+ 1)

donde x = t2 + 1, ¿con qué rapidez está desplazandose respecto a la dirección vertical

cuando t = 2 s?


f (x) = ax2

g (x) = lnx.

PREFACE 303





59. Sea

f (x) =x2

1 + x3, x < −1.



7 ; f−1(−4

7

)).


60. La ley del movimiento de un cuerpo por una línea recta está dada por

s (t) =t4

4− 4t3 + 16t2

donde t es el tiempo en segundos y s (t) el desplazamiento en metros.

a) ¿En qué instantes de tiempo el cuerpo se encuentra en el origen de coordenadas?

b) ¿En qué instantes de tiempo la dirección de su movimiento coincide con la orientación

positiva del eje X?

c) ¿En qué instantes de tiempo su aceleración es nula?

d) Para t = 4 s, halle la velocidad y aceleración del cuerpo.

61. ¿En qué punto(s) de la gráfica de la función

f (x) = sen(x)− x3

3, x ∈ R

la recta tangente tiene pendiente igual a 1?


f (x) = cos (3x+ 2)

g (x) = x |x| .

Halle

(f ◦ g)′ (|x|) .

304 PREFACE

63. Dadas las funciones

f (x) = x2 + 1

g (x) = −x2

halle las ecuaciones de las rectas tangentes que son simultáneamente tangentes a la gráfica

de f y de g.

64. Suponga que la ecuación de la curva

C : x2 (1− y) = y2 (1− x) + 9

define una función diferenciable y = f (x).

a) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a C en los puntos donde C corta al

eje X.

b) Halle el valor de

f ′′ (−3)

65. Sea C la curva definida por las ecuaciones paramétricas

C :

{x = t2 − 1

y = t4 − 4t

Halle

a) Una ecuación de la recta tangente a C en el punto correspondiente a t = 2.

b) Las coordenadas de los puntos de C donde la recta tangente es horizontal.

c) Las coordenadas de los puntos de C donde la recta tangente es vertical.

d)d2y

dx2en términos de t.


f (x) = ex − ln (1− x)

aproxime usando diferenciales o aproximación lineal el valor de f (−0,5).

67. Sea la función

f (x) = 2x+ cosx

a) Pruebe que f es inyectiva.

PREFACE 305

b) Halle (f−1

)′′(1) .

68. Sea la función f definida por

f (x) = e√2x(√

2x− 1)

, x ≥ 0.

a) Pruebe que f ′ (x) = e√2x, x > 0.

b) Usando el Teorema del Valor Medio y la parte a) demuestre que

x ≤ e√2x(√

2x− 1), para x ≥ 0.

69. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto truncado de 6 m de altura, de 5 m de

radio mayor y 3 m de radio menor. Del tanque sale agua a razón de 16, 9π m3/hora. Halle

la rapidez con que baja el nivel del agua cuando éste tiene 4 m.

Sugerencia.

El volumen del cono truncado circular recto de altura h, radio menor r y radio mayor R es

V =π

3h(r2 + rR+R2

)70. En un rectángulo OABC los vértices A y C están sobre los ejes horizontal y vertical,

respectivamente, O en el origen de coordenadas y B sobre la curva y = 2x. Si la ordenada

de B aumenta a razón de una unidad por segundo ¿Cómo está cambiando el área del

rectángulo?


f (x) = x3 − 3x− 3, con x ∈ [0, 3]

a) Sobre el arco AB de la gráfica de f halle un punto M (c, f (c)) en el cual la tangente

sea paralela a la cuerda AB si A (0, f (0)) y B (3, f (3)).

b) Demuestre que la ecuación

x3 − 3x− 3 = 0

tiene una única raíz real.

72. Demuestre que existe al menos un punto P en la gráfica de la función f , definida por

f(x) = x cos(x) + x2 − 4x, x ∈[−π2,π

2

]tal que la recta tangente a la gráfica de f en P sea paralela a la recta que pasa por los

puntos A(−1; 6) y B(1;−2).

306 PREFACE

Capítulo 5

Aplicaciones de la derivada

5.1. Razón de cambio y tasas relacionadas

En el capítulo anterior aprendimos a derivar una amplia gama de funciones tales como: algebrai-

cas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, inversas trigonométricas, etc. En este capítulo

aplicaremos esas reglas de derivación a resolver problemas de aplicación sobre máximos y míni-

mos, a esbozar la gráfica de cualquier función inclusive de funciones seccionadas o por trozos y,

a recuperar las funciones primitivas o antiderivadas a partir de la derivada de una función.

Para resolver problemas de máximos y mínimos, debemos determinar la variable para maximizar

o minimizar. Esta variable será la variable dependiente y debe expresarse como función de una

variable independiente, una que controle los valores de la variable dependiente. Si el dominio de

los valores de la variable independiente, aquellos pertinentes al problema de aplicación, es un

intervalo cerrado, entonces procederemos con el método del máximo y mínimo en un intervalo

cerrado.

En la definición de derivada, se ha visto que si y = f(x) entoncesdy

dxes la razón de cambio de

y respecto de x. Ahora vamos suponer que si x depende del tiempo también x(t) depende del

tiempo, entonces y(x(t)); se dice que las variables x e y están relacionadas con el tiempo t.

A sus derivadas respecto a t:dx

dtydy

dt, denominaremos razones de cambio relacionadas con t o

simplemente tasas relacionadas.

Como se tiene una composición de funciones y(x(t)), aplicando regla de la cadena se obtiene

dy

dt=dy

dx

dx

dt.

307

308 PREFACE

Pasos para resolver problemas de tasas relacionadas

1. Esboce un gráfico del problema y declare variables y constantes para las incógnitas y los

datos.

2. Escriba una ecuación que relacione a las variables y los datos e identifique lo que se pide

determinar.

3. Derive respecto a t.

4. Evalúe los datos en la derivada y determine la tasa de cambio desconocida.

Ejemplo 5.1. Un móvil P parte del punto (3;−9) hacia el punto (10; 40) teniendo como tra-

yectoria la gráfica de la ecuación y = x2 − 6x.

1. Hallar las coordenadas de P en dicha curva si la razón de cambio de la ordenada es 4

veces la razón de cambio de la abscisa de P .

2. Si la razón de cambio de la abscisa de P es 5√5 u/s, con qué rapidez cambia la distancia

entre el punto (0; 5) y el móvil P después de 2 s.

Solución

1. Sea t el tiempo. De la condición del problema,

dy

dt= 4

dx

dt(5.1.1)

Como y(x(t)) usando regla de la cadena.

dy

dt=

dy

dx

dx

dt

= (2x− 6)dx

dt(5.1.2)

Igualando las ecuaciones (5.1.1) y (5.1.2) se tiene x = 5, y = −5. Por lo tanto, P (5,−5).

2. Si v =dx

dt= 5

√5u/s entonces x = vt = 10

√5 unidades.

Sean P (x, x2−6x) un punto genérico de la gráfica de f y l la distancia de P al punto (0, 5)

entonces l(x(t)),

l2 = x2 + (x2 − 6x− 5)2

PREFACE 309

Derivando implícitamente respecto a t,

2ldl

dt= [2x+ 2(x2 − 6x− 5)(2x− 6)]

dx

dt

Cuando t = 2s entonces x = 10√5, l = 371,51; por lo tanto,

dl

dt= 4831,39u/s. �

Problema 5.1. Una gota de lluvia esférica, al caer, atraviesa una capa de aire seco y se evapora

de manera que se mantiene siempre esférica y su volumen decrece a un ritmo proporcional al

área de su superficie. Probar que el radio de la gota decrece a razón constante.

Solución

Conocemos el volumen de la esfera: V = 43πr

3. Del enunciado del problema

dV

dt= −kA · · · (1)

donde k ≥ 0 es la constante de proporcionalidad positiva y A = 4πr2.

Derivando el volumen de una esfera con respecto a t, aplicando regla de la cadena,

dV

dt=dV

dr

dr

dt= 4πr2

dr

dt= A

dr

dt· · · (2)

Reemplazando (1) en (2) se obtienedr

dt= −k.

�

Problema 5.2. Un punto M (x; y) describe la curva

C : 12y2 − 25x = 0.

de manera que la distancia de M al origen de coordenadas aumenta a razón de 2 m/s. Sea H el

pie de la perpendicular de M bajada sobre el eje X. En el instante en que M se encuentra en el

punto (12; 5), halle

1. La velocidad con que se mueve el punto H.

2. La razón de cambio de la distancia entre M y el punto (−4; 0).

Solución

310 PREFACE

1. De la ecuación de C : 12y2 − 25x = 0 ⇒ y2 = 2512x.

Sea d la distancia de M al origen de coordenadas, entonces

d2 = x2 + y2 = x2 +25

12x · · · (1)

Cuando x = 12 se tienen y = 5, d = 13.

Derivando implícitamente (1) y reemplazando valores

2ddd

dt=

(2x+

25

12

)dx

dt⇒ dx

dt=

624

313.

2. Sea l la distancia entre M y el punto fijo (−4; 0) entonces

l2 = (x+ 4)2 + y2 = (x+ 4)2 +25

12x · · · (2)

Derivando implícitamente (2)

2ldl

dt=

[2 (x+ 4) +

25

12

]dx

dt· · · (3)

Cuando x = 12, l2 = 162 + 25 = 281 ydx

dt=

624

313, en (3),

dl

dt= 2,0267. �

Problema 5.3. Dos lados de un triángulo tienen longitudes de 12 m y 15 m. El ángulo que

forman aumenta con una velocidad de 2 grados por minuto. ¿A qué tasa crece el tercer lado

cuando el ángulo entre los de longitud fija es de 60o?

Solución

Sean a = 12 y b = 15 los lados de longitud fija, t el tiempo y c(t) el lado de longitud variable del

mencionado triángulo.

Si θ es el ángulo que forman a y b entonces θ(t) y por dato

dθ

dt= 2

grad

min=

π

90

rad

min.

Por ley de cosenos

c2 = 122 + 152 − 2(12)(15) cos θ.


cdc

dt= 12(15) sen θ

dθ

dt,

cuando θ = π3 , c = 3

√3√7, por lo tanto,

dc

dt=

π

7√3

rad

min. �

PREFACE 311

Problema 5.4. Dos aviones que vuelan a la misma altura se dirigen hacia un faro. Uno vuela

hacia el norte con una velocidad constante de 515 km/h y el otro vuela en dirección Norte 60◦

Este con una velocidad de 547,36 km/h. En cierto momento el primero está a 112,75 km del

faro y el segundo a 80,47 km del faro. Encuentre la razón con que los aviones se acercan en tal

instante y también 5 minutos más tarde.

Solución

Elegimos un sistema de coordenadas, considerando al faro y el origen de coordenadas coincidentes.

l

A

B

x B

yB

600

x

y

Figura 5.1: Dos aviones convergen a un punto

Sean t el tiempo, A y B la posición de los aviones. Suponemos que se desplazan a velocidades

constantes, l la distancia entre los aviones en un determinado instante. Las coordenadas de

A(0, yA) y B(xB, yB) dependen de t entonces la distancia l(t) entre A y B está dada por

l2 = x2B + (yB − yA)2 (5.1.3)

Las componentes horizontal y vertical de la velocidad de los aviones son:

vB = (547,36 senπ

3, 547,36 cos

π

3), vA = (515 sen 0, 515 cos 0) = (0; 515).

Las coordenadas de A y B en función a t:

A(0, 515t), B(547,36 sen(π

3t), 547,36 cos(

π

3t))

Reemplazando las coordenadas de A y B en la ecuación (5.1.3), se obtiene

l = 531,92t⇒ dl

dt= 531,92, t ≥ 0

�

312 PREFACE

Problema 5.5. Un punto P (x; y) del plano describe la curva C : y2 = x3 de manera que

la distancia de P al origen de coordenadas aumenta a razón de 2 m/s. Si Q es el pie de la

perpendicular de P sobre el eje X, hallar la rapidez con que se mueve el punto Q cuando P se

encuentra en la posición(2; 2

√2).

Solución

Sean t el tiempo, P (x, x3/2) un punto genérico de la curva, Q(x; 0) su proyección al eje x y l la

distancia de P al origen de coordenadas entonces

l2 = x2 + x3

Nuestro objetivo es hallardx

dt.

x

y

C

P

l

Q

Figura 5.2: P sobre C : y3 = x2


2ldl

dt=

dl

dx

dx

dt

=(2x+ 3x2

) dxdt

Cuando x = 2m se tienedl

dt= 2m

s y l = 2√3m entonces

dx

dt=

√3

2

m

s. �

5.2. Valores extremos de una función.

Definición 5.1. Sea f : D (f) ⊆ R → R una función definida en el intervalo D (f). Se dice que

1. f tiene un valor máximo relativo en c, si existe un intervalo abierto I ⊆ D (f) tal que

f (x) ≤ f (c) para toda x ∈ I.

PREFACE 313

2. f tiene un valor mínimo relativo en c, si existe un intervalo abierto I ⊆ D (f) tal que

f (x) ≥ f (c) para toda x ∈ I.

Si la función f tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en c, entonces se dice

que f tiene un valor extremo relativo en c.

El siguiente teorema permite localizar los posibles valores de c para los cuales existe un valor

extremo relativo.

Teorema 5.1. (de Fermant o del valor extremo). Si f :]a, b[→ R tiene un extremo relativo

en c ∈]a, b[ y f es diferenciable en c, entonces f ′(c) = 0.

Demostración.

Para la demostración, supongamos que f tiene un valor mínimo relativo en c, entonces existe un

intervalo abierto I ⊆ D (f) tal que f (x)− f (c) ≥ 0 para toda x ∈ I. Así que,f (x)− f (c)

x− c≥ 0

si x > c, por lo tanto

lımx→c+

f (x)− f (c)

x− c≥ 0.

Análogamente,f (x)− f (c)

x− c≥ 0 si x < c, y

lımx→c−

f (x)− f (c)

x− c≤ 0.

Como f es diferenciable en c, existe f ′ (c) y

0 ≤ lımx→c+

f(x)− f(c)

x− c= f ′(c) = lım

x→c−

f(x)− f(c)

x− c≤ 0,

por lo que f ′ (c) = 0.

La interpretación geométrica del teorema del valor extremo es que si f tiene un extremo relativo

en c y si f ′ (c) existe, entonces la gráfica de f debe tener una recta tangente horizontal en el

punto donde x = c.

Ejemplo 5.2. Mostrar que la función

f (x) = (x− 2)2 + 2

cumple con las condiciones del teorema del extremo relativo o estacionario.

Solución. El punto (c; f(c)) = (2; f(2)) = (2; 2) ∈ G(f). Como f es una función cuadrática

tiene un nínimo relativo en x = 2 entonces por el teorema de Fermat f ′(2) = 0. En efecto,

f ′(x) = 2(x− 2) ⇒ f ′(2) = 0 y el valor mínimo es f(2) = 2. �

314 PREFACE

Ejemplo 5.3. Hallar a, b, c y d tales que la función polinomial definida por

f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d

tenga extremos relativos en (1, 2) y (2, 3).

Solución. Los puntos (1, 2) y (2, 3) pertenecen a la gráfica de f , luego

a+ b+ c+ d = 2 y 8a+ 4b+ 2c+ d = 3

Como f es diferenciable en R, por el teorema del extremo estacionario, tenemos que f ′ (1) = 0

y f ′ (2) = 0; entonces

3a+ 2b+ c = 0 y 12a+ 4b+ c = 0

Resolviendo el sistema

a+ b+ c+ d = 2

8a+ 4b+ 2c+ d = 3

3a+ 2b+ c = 0

12a+ 4b+ c = 0

encontramos que a = −2, , b = 9, c = −12 y d = 7.

Finalmente, f(x) = −2x3 + 9x2 − 12x+ 7. �

Ejercicios 5.1. Mostrar gráficamente en una computadora los extremos relativos de f .

Observación 5.2.1. Si f es una función diferenciable, entonces los únicos valores posibles de x

(los candidatos) para los cuales f puede tener un extremo relativo son aquellos x ∈ D(f) tal que

f ′(x) = 0. Sin embargo, f ′(x) puede ser igual a cero para un valor específico de x y no obstante

f puede no tener un extremo relativo allí. Más aún, f puede tener un extremo relativo en un

número, y f ′ puede no existir allí.

Ejemplo 5.4. Considere la función f definida por f (x) = x3. Demostrar que f no tiene extremo

relativo en 0, sin embargo, f ′(0) = 0.

Solución. Es claro que f ′ (0) = 0 pues f ′ (x) = 3x2. Por otro lado, si f tiene en 0 un valor

extremo relativo, entonces en algún intervalo abierto I una de las desigualdades siguientes se

cumple, para todo x ∈ I

f (x) ≤ 0 o f (x) ≥ 0.

PREFACE 315

Consideremos entonces un intervalo abierto I arbitrario y que contenga a cero, entonces si x1 ∈ I

y x1 > 0 tenemos que

f (0) = 0 < x31 = f (x1) ;

y si x2 ∈ I y x2 < 0,

f (x2) = x32 < 0 = f (0)

de ahí que f no tiene extremo relativo en cero. �

Ejemplo 5.5. Si f es la función definida por f (x) = |x|, demostrar que

1. la función f tiene un valor mínimo relativo en 0, y

2. f ′(0) no existe.

Solución

1. Dado un intervalo abierto y arbitrario I que contenga a cero, tenemos que para cualquier

x ∈ I,

f (0) = 0 ≤ |x| = f (x) ,

lo que prueba que f tiene un valor mínimo relativo en cero.

2. Demostrar que f no es diferenciable en cero queda como un ejercicio para el lector. (Suge-

rencia. Demostrar por derivadas laterales). �

En resumen, si una función f está definida en un número c, una condición necesaria para que

f tenga un extremo relativo ahí es que f ′ (c) = 0 o f ′ (c) no exista. Sin embargo, hemos visto en

los dos ejemplos previos, que esta condición no es suficiente.

Definición 5.2. (Número crítico). Si c es un número en el dominio de la función f y si

f ′(c) = 0 o f ′(c) no existe, entonces c se llama un número crítico de f .

Ejemplo 5.6. En cada caso, c es un número crítico:

1. Si f = (x) = x4e−x entonces x = 4 es un punto crítico de f porque f ′(x) = x3e−x(4 − x)

evaluada en x = 4, f ′(4) = 0.

2. Si f(x) = |x2−1| entonces x = 1 es un punto crítico, no existe f ′(1), las derivadas laterales

son diferentes f ′−(1) = −2 y f ′+(1) = 2.

316 PREFACE

5.3. Valores extremos absolutos.

Frecuentemente estamos interesados en encontrar el mayor valor o el menor valor de una función

en su dominio. El valor mayor de la función en su dominio se llama el valor máximo absoluto,

y el valor menor de la función se denomina el valor mínimo absoluto. Las siguientes son las

definiciones precisas.

Definición 5.3. Sea f : D (f) ⊆ R → R una función.

1. La función f se dice que tiene un valor máximo absoluto en c ∈ D (f) si f (x) ≤ f (c) para

todos los x ∈ D (f). En tal caso f (c) es el valor máximo absoluto de f .

2. La función f se dice que tiene un valor mínimo absoluto en c ∈ D (f) si f (x) ≥ f (c) para

todos los x ∈ D (f). En tal caso f (c) es el valor mínimo absoluto de f .

Definición 5.4. Un extremo absoluto de una función es un valor máximo absoluto o un valor

mínimo absoluto de la función.

En el teorema de Weierstrass, enunciado en el capítulo 3, asegura que si una función f es continua

en el intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo

absoluto en [a, b].

Un extremo absoluto de una función definida en un intervalo cerrado debe ser un extremo relativo

o un valor de la función en un extremo del intervalo. Ya que una condición necesaria para que

una función tenga un extremo relativo en un número c es que c sea un número crítico, podemos

determinar los extremos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b] por

el siguiente método.

Método 1. Para determinar los extremos absolutos en intervalos cerrados.

1. Encontrar los valores de la función en los números críticos de f en [a, b].

2. Encontrar los valores de f(a) y f(b).

3. El mayor de los valores de hallados en (1) y (2) es el valor máximo absoluto y el menor, es

el valor mínimo absoluto.

Problema 5.6. Determine el máximo y el mínimo absoluto de f (x) = e−x senx, x ∈ [0, 2π].

Solución

Primero evaluamos f en los extremos del intervalo [0, 2π]: f(0) = 0 y f(2π) = 0.

Segundo determinamos los extremos relativos de f en ]0, 2π[.

f ′(x) = e−x[cosx− senx]

PREFACE 317

Los puntos críticos,

f ′(x) = 0 ⇔ x =π

4, x = 5

π

4∈]0, 2π[

Tercero comparando

f(0) = 0, f(2π) = 0, f(π

4) =

√2

2e−

π4 y f(5

π

4) = −

√2

2e−5π

4

se tienen los extremos absolutos. �

Ejemplo 5.7. Calcule los extremos absolutos de la función

f (x) =x3

3− x2 − 3x

en el intervalo [−2, 6].

Solución

Evaluando f en los extremos del intervalo [−2, 6], se tienen

f (−2) = −2

3y f (6) = 18

Puntos críticos

f ′(x) = x2 − 2x− 3 = 0 ⇒ x = −1, x = 3

Comparando valores

f(−1) =5

3, f(3) = −9, f(−2) y f(6)

los extremos absolutos de f en [−2, 6] son f(3) = −9 y f(6) = 18. La gráfica de f en [−2, 6] es

acotada por los extremos absolutos.

−4 −2 0 2 4 6−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20Gráfica de f(x)=x3/3−x2−3x

Eje x

Eje

y

Figura 5.3: Extremos absolutos

318 PREFACE

Ejemplo 5.8. Determinar los extremos absolutos de

f (x) =(x− 1) (x− 3)

x2en x ∈ [12 , 2].

Solución

La gráfica de f en el intervalo [12 , 3].

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−2

−1

0

1

2

3

4

5

6Gráfica de (x2−4x+3)/x2

Eje x

Eje

y

Figura 5.4: Extremos absolutos

Puntos críticos de f .

Como f ′(x) = 2(2x−3)x3 = 0 ⇒ x = 3

2 , es el único número crítico de f .

En la tabla se encuentran los extremos absolutos de f .

x f (x) Extremos12 5 Máximo absoluto32 −1

3 Mínimo absoluto

2 −14

PREFACE 319

Ejercicios 5.2. 1. Determinar los extremos absolutos de las funciones siguientes en los in-

tervalos indicados:

a) f (x) = 9 + 6x− x2, 1 ≤ x ≤ 5.

b) f (x) = x3 − 3x+ 4, −2 ≤ x ≤ 2.

c) f (x) = x+1

x, −2 ≤ x ≤ −1.

2. Halle los extremos absolutos de la función indicada en el intervalo que se da y trace su

gráfica en dicho intervalo.

a) f (x) =1

x, x ∈ [−2, 3].

b) f (x) = |x− 4|+ 1, x ∈ [0, 6] .

c) f (x) =

2

x− 5si x = 5

2 si x = 5

, x ∈ [3, 5]

d) f (x) = tan (2x), x ∈[−π4,π

6

]e) f (x) = x3 + 5x− 4, x ∈ [−2, 3] .

f ) f (x) = (x+ 1)23 , x ∈ [−2, 1] .

3. Encontrar la distancia más corta del punto(92 , 0)

a la curva y =√x.

4. Un fabricante puede producir radios a un costo de $5 la unidad y estima que si venden a

x dólares cada uno, los consumidores comprarán 20−x radios por día. ¿A qué precio debe

vender los radios el fabricante para maximizar la utilidad?

5.4. Teorema del valor medio.

Teorema 5.2. (Teorema de Rolle). Sea f una función tal que es continua en el intervalo

cerrado [a, b], es diferenciable en el intervalo abierto ]a, b[, y f (a) = f (b) = 0. Entonces existe

un número c en el intervalo abierto ]a, b[ tal que f ′ (c) = 0.

Demostración. Consideremos tres casos:

Caso 1. Si f (x) = 0 para todo x ∈ ]a, b[ , entonces elegimos c como cualquier punto de ]a, b[.

Caso 2. Si f (x) > 0 para algún x ∈ ]a, b[, sea c el punto de [a, b] donde f alcanza el valor

mínimo absoluto, es decir,

∀x ∈ [a, b] : f (x) ≥ f (c) · · · (1)

320 PREFACE

Como f (c) > 0 a la vez que se cumple (1), tenemos que c ∈ ]a, b[. Desde que f ′ (c) existe,

lımx→c−

f (x)− f (c)

x− c= f ′ (c) = lım

x→c+

f (x)− f (c)

x− c

y por (1)

f ′ (c) = lımx→c−

f (x)− f (c)

x− c≤ 0 y f ′ (c) = lım

x→c+

f (x)− f (c)

x− c≥ 0.

Por lo tanto f ′ (c) = 0.

Caso 3. Si f (x) < 0 para algún x ∈ ]a, b[, elegimos a c como el punto de [a, b] donde f alcanza

el valor máximo absoluto; entonces, razonando como en el caso anterior vemos que f ′ (c) = 0.

x

y

abc

f

Figura 5.5: Teorema de Rolle

Esto completa la prueba del teorema. �

Aplicaremos el teorema de Rolle para demostrar uno de los teoremas más importantes del cálculo,

conocido como el teorema del valor medio. El teorema del valor medio se usa para demostrar

muchos teoremas tanto del cálculo diferencial como del cálculo integral.

Teorema 5.3. (Teorema del Valor Medio). Sea f una función tal que es continua en el

intervalo cerrado [a, b], y es diferenciable en el intervalo abierto ]a, b[. Entonces existe un número

c en el intervalo abierto ]a, b[ tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Demostración

El teorema de valor medio se puede interpretar gráficamente, según la pendiente de una recta

secante y una recta tangente. Sean A(a, f(a)) y B(b, f(b)) los puntos extremos en la gráfica de

f . La pendiente de la recta que pasa por A y B está dada por mAB = f(b)−f(a)b−a .

La pendiente de la recta tangente a la gráfica, si existe, de f en el punto (c, f(c)) está dada por

mT = f ′(c).

PREFACE 321

x

y

A

B

c

f

T

Figura 5.6: Teorema del Valor Medio

Como las rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales.

Definimos G : [a, b] → R por medio de

G (x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)

b− a(x− a) .

Claramente

G (a) = f (a)− f (a)− f (b)− f (a)

b− a(a− a) = 0,

G (b) = f (b)− f (a)− f (b)− f (a)

b− a(b− a) = 0,

y G es continua en [a, b]. Como

G′ (x) = f ′ (x)− f (b)− f (a)

b− a

y f es diferenciable en ]a, b[, G es diferenciable en ]a, b[. Luego, por lo demostrado en la primera

etapa, existe c ∈ ]a, b[ tal que G′ (c) = 0. Escribiendo esto en términos de f , tenemos

f ′ (c)− f (b)− f (a)

b− a= 0,

lo que completa la prueba del teorema.

La conclusión del teorema del valor medio puede formularse de la siguiente manera:

∃θ ∈ ]0, 1[ / f (b)− f (a) = f ′ ((1− θ) a+ θb) (b− a) .

�

322 PREFACE


f (x) =√

8x− x2

1. Demuestre que f cumple con las condiciones del teorema de Rolle en su dominio. Halle el

valor de la constante que cumple con la conclusión de dicho teorema.

2. Demuestre que f cumple con las condiciones del teorema de valor medio en el intervalo

[0, 4]. Halle el valor de la constante que cumple con la conclusión de dicho teorema.

Solución. Dom (f) = [0, 8].

1. Como f es continua en [0, 8], es diferenciable en ]0, 8[ y f (0) = f (8) = 0, entonces por el

teorema e Rolle, existe c ∈]0, 8[ tal que f ′ (c) = 0.

f (x) =√

8x− x2 ⇒ f ′(x) =4− x√8x− x2

Resolviendo f ′ (c) = 0 se tiene c = 4.

2. Aplicando el teorema del valor medio a f en el intervalo [0, 4],

∃c ∈]0, 4[/ f ′(c) = f(4)− f(0)

4.

Comof(4)− f(0)

4= 1 ⇒ f ′(c) = 1 · · · (1)

Derivando f ,

f ′(x) =4− x√8x− x2

⇒ f ′(c) =4− c√8c− c2

· · · (2)

Resolviendo (1) y (2), se tiene c = 4− 2√2. �

Observación 5.4.1. Puede considerar una parte del dominio y aplicar el teorema, es decir, para

0 ≤ k ≤ 4, la recta horizontal y = k determina un intervalo cerrado en el dominio de f donde

se cumple el teorema de Rolle.

Teorema 5.4. (Antiderivada) Sea f : [a, b] → R una función continua en el intervalo [a, b],

diferenciable en ]a, b[ tal que f ′ (x) = 0, ∀x ∈ ]a, b[, entonces f es constante en [a, b].

Demostración

Dado x ∈ ]a, b] cualquiera, la función g : [a, x] → R definida por g (x) = f (x) satisface las

hipótesis del teorema del valor medio; entonces existe un c ∈ ]a, x[ tal que

g′ (c) =g (x)− g (a)

x− a.

PREFACE 323

Pero g′ (x) = f ′ (x) = 0, luegog (x)− g (a)

x− a= 0

de donde f (x)− f (a) = g (x)− g (a) = 0, y así f (x) = f (a). Por lo tanto f es constante. �

Corolario 5.1. (Familia de antiderivadas) Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo

[a, b] y diferenciables en ]a, b[. Si ∀x ∈ ]a, b[, f ′ (x) = g′ (x), entonces ∃c ∈ R tal que

f (x) = g (x) + c

para todo x ∈ [a, b].

Observación 5.4.2. Tanto el teorema como su corolario dan nacimiento al concepto de antide-

rivadas, concepto que trataremos en la última sección.

Como otra aplicación del teorema del valor medio, tenemos el teorema de monotonía, el cual da

un criterio para establecer si una función es monótona en un intervalo.

Definición 5.5. (Funciones monótonas.) Sea una función f : D (f) ⊆ R → R una función y

supongamos que I ⊆ D (f) es un intervalo. Entonces

1. f se dice que es creciente en I si

f (x1) < f (x2) siempre que x1 < x2

donde x1 y x2 son cualesquiera dos números en I.

2. f se dice que es decreciente en I si

f (x1) > f (x2) siempre que x1 < x2

donde x1 y x2 son cualesquiera dos números en I.

Definición 5.6. Se dice que una función es monótona en un intervalo I si es creciente o decre-

ciente en I.

Teorema 5.5. (Criterios de monotonía). Sea f una función continua en el intervalo cerrado

[a, b] y diferenciable en el intervalo abierto ]a, b[:

1. si f ′ (x) > 0 para toda x en ]a, b[ entonces f es creciente en [a, b].

2. si f ′ (x) < 0 para toda x en ]a, b[ entonces f es decreciente en [a, b].

324 PREFACE

Ejemplo 5.10. Determinar los intervalos de monotonía de la función

f(x) = x53 − 10x

23 .

Bosquejar la gráfica correspondiente.

Solución. Analizando el signo de

f(x) = x53 − 10x

23 = x2/3(x− 10)

Si x < 10 ⇒ f(x) < 0 y si x > 10 ⇒ f(x) > 0.

Intersección con los ejes coordenados (0; 0) y (10; 0).

Derivando f se tiene

f ′ (x) =5

3

(x− 4

3√x

), x = 0.

Por lo tanto, los puntos críticos son x = 0 y x = 4.

f

x

y

104

−63p

16

Figura 5.7: f(x) = x23 (x− 10)

En la siguiente tabla resumimos el comportamiento de f según el criterio de monotonía.

x Valor de f (x) f ′ (x) Conclusión

x < 0 + creciente

x = 0 0 No existe tangente vertical

0 < x < 4 − decreciente

x = 4 −6 3√16 0 tangente horizontal

x > 4 + creciente

La recta x = 0 es tangente vertical a la gráfica de la función pues

lımx→0−

(x− 4

3√x

)= +∞ y lım

x→0+

(x− 4

3√x

)= −∞,

es decir, lımx→0

(x−43√x

)= ∞. �

PREFACE 325

Ejemplo 5.11. (Prueba por el absurdo). Si f es una función polinomial, demostrar que

entre cualesquiera dos raíces consecutivas de la ecuación f ′(x) = 0 existe a lo más una raíz de la

ecuación f (x) = 0.

Solución. Sean x1 < x2 dos raíces consecutivas de la ecuación f ′ (x) = 0, y supongamos que f

tiene dos raíces u y v en el intervalo abierto ]x1, x2[.

Aplicamos el teorema de Rolle, f es continua en el intervalo cerrado [u, v], diferenciable en el

intervalo abierto ]u, v[ y f(u) = f(v) = 0, entonces existe x3 ∈ ]u, v[ ⊂ ]x1, x2[ tal que f ′ (x3) = 0;

lo que es una contradicción, pues existirían 3 raíces de f ′(x) = 0: x1, x2 y x3. �

Ejemplo 5.12. Sea f : [a, b] → R una función dos veces diferenciable tal que f ′′ es continua

en el intervalo [a, b] y f ′′ es diferenciable en ]a, b[, demostrar que existe c ∈ ]a, b[ con el que se

cumple la igualdad

f(b) = f(a) + f ′(a)(b− a) +f ′(a)

2(b− a)2 +

f ′′′(c)

6(b− a)3.

Solución. Definimos la función H : [a, b] → R por

H (x) = f (b)− f (x)− f ′ (x) (b− x)− f ′′ (x)

2(b− x)2 −K (b− x)3

donde K se elige de tal manera que H (a) = 0. Es claro que H es continua en [a, b], diferenciable

en el intervalo ]a, b[ y H (b) = 0; entonces, por el teorema de Rolle, existe c ∈ ]a, b[ tal que

H ′ (c) = 0. Pero

H ′ (x) = −f ′ (x)− f ′′ (x) (b− x) + f ′′ (x)− f ′′′ (x)

2(b− x)2 + f ′′ (x) (b− x) + · · ·

· · ·+ 3K (b− x)2

= −f′′′ (x)

2(b− x)2 + 3K (b− x)2 ,

entonces

−f′′′ (c)

2(b− c)2 + 3K (b− c)2 = H ′ (c) = 0

implica que K =f ′′′ (c)

6. Por lo tanto,

H (x) = f (b)− f (x)− f ′ (x) (b− x)− f ′′ (x)

2(b− x)2 − f ′′′ (c)

6(b− x)3

y como H (a) = 0, resulta que

f (b)− f (a)− f ′ (a) (b− a)− f ′′ (a)

2(b− a)2 − f ′′′ (c)

6(b− a)3 = 0,

326 PREFACE

de donde obtenemos la igualdad pedida. �

Ejemplo 5.13. Demostrar que la ecuación

4x5 + 3x3 + 3x− 2 = 0

tiene exactamente una raíz que se halla en el intervalo ]0, 1[.

Solución.

Definimos

f : [0, 1] → R por f (x) = 4x5 + 3x3 + 3x− 2.

Como f (0) = −2 y f (1) = 8 entonces, por el teorema del cero, existe c ∈ ]0, 1[ tal que

f (c) = 0 ⇒ 4c5 + 3c3 + 3c− 2 = 0.

Para probar la unicidad, supongamos que d ∈ ]0, 1[ es otra raíz de la ecuación. Podemos asumir,

sin perder generalidad, que c < d; como las hipótesis del teorema del valor medio se cumplen

pues f es polinómica, existe e ∈ ]c, d[ tal que

f ′(e) =f(d)− f(c)

d− c= 0,

pero

f ′(e) = 20e4 + 9e2 + 3 > 0

no tiene raíces reales, esto es una contradicción. Por tanto, se cumple la unicidad c = d. �

Ejemplo 5.14. Sean f y g dos funciones diferenciables en el intervalo cerrado [a, b]. Supóngase

además que f (a) = g (a) y f (b) = g (b). Demostrar que existe un número c en el intervalo abierto

]a, b[ tal que f ′ (c) = g′ (c).

Solución.

Sea H : [a, b] → R definida por H (x) = f (x) − g (x). Como f y g satisfacen las hipótesis del

teorema del valor medio, existe c ∈ ]a, b[ tal que

H ′ (c) =H (b)−H (a)

b− a· · · (1)

Pero H ′ (x) = f ′ (x)− g′ (x), para todo x ∈ ]a, b[; luego

H ′ (c) = f ′ (c)− g′ (c) . · · · (2)

Sustituyendo (2) en (1), por las hipótesis resulta que

f ′ (c)− g′ (c) =(f (b)− g (b))− (f (a)− g (a))

b− a= 0,

de donde f ′ (c) = g′ (c). �

PREFACE 327

Ejemplo 5.15. Usar el teorema del valor medio para demostrar que |1− cos (x)| ≤ |x|.Solución. Notemos que para x = 0 la desigualdad se satisface trivialmente. Dado x ∈ R,

supongamos x > 0, entonces definimos f : [0, x] → R por f (x) = cos (x). Es claro que f satisface

las hipótesis del teorema del valor medio, luego existe c ∈ ]0, x[ tal que

f ′ (c) =f (x)− f (0)

x=

cos(x)− 1

x.

Como f ′ (x) = − sen (x), entonces∣∣∣∣f (x)− f (0)

x

∣∣∣∣ = ∣∣f ′ (c)∣∣ = | − sen(c)| ≤ 1,

de donde ∣∣∣∣cos (x)− 1

x

∣∣∣∣ ≤ 1

y

|cos (x)− 1| ≤ |x| .

Análogamente se comprueba la desigualdad para x < 0. �

Ejemplo 5.16. Pruebe que para cualquier constante positiva a, la ecuación

x3 + ax− 1 = 0

tiene exactamente una solución real.

Solución

Sea

f(x) = x3 + ax− 1 ⇒ f(0) = −1 < 0 y f(1) = a > 0

podemos intuir que en el intervalo [0, 1] existe por lo menos una raíz real.

Formalizamos estos rsultados mediante el Teorema del Valor Intermedio:

1. f es continua en [0, 1] y

2. f(0)f(1) < 0.

Entonces existe un r ∈ [0, 1] tal que f(r) = 0.

Como f ′(x) = 3x2 + a > 0, ∀x ∈]0, 1[ entonces por el criterio de monotonía f es creciente en

]0, 1[.

Por lo tanto, se cumple la unicidad, es decir, ∃!r ∈ [0, 1] tal que f(r) = 0. �

328 PREFACE

Ejemplo 5.17. Usando el Teorema del Valor Medio o el de Rolle, demuestre que

x

x2 + 1< arctanx < x, ∀x > 0

Solución

Sean la función f(x) = arctanx y el intervalo cerrado [0, x].

Aplicando el teorema del valor medio a f en el intervalo [0, x], existe c ∈]0, x[ tal que

f ′(c) =f(x)− f(0)

x=

arctanx

x(5.4.1)

Como

f ′(x) =1

1 + x2⇒ f ′(c) =

1

1 + c2(5.4.2)

Además, si 0 < c < x⇒ 1 < 1 + c2 < 1 + x2 luego,

1

1 + x2<

1

1 + c2< 1 (5.4.3)

De las relaciones (5.4.1), (5.4.2) y (5.4.3) se tiene

1

1 + x2<

1

1 + c2=

arctanx

x< 1 ⇒ x

x2 + 1< arctanx < x, x > 0.

Problema 5.7. Demuestre que la ecuación

x+ ln (x) cos (x) = 0

tiene una solución única en ]0, 1[.

Solución

Sea f(x) = x+ ln(x) cos(x). Ahora vamos a probar que f es creciente.

f ′(x) = 1 +cosx

x− ln(x) sen(x), x ∈]c, 1[.

Para c < x < 1 ⇒ ln(x) < 0 ∧ sen(x) > 0 ⇒ − ln(x) sen(x) > 0, por lo tanto, f ′(x) > 0 y esto

implica que f es creciente.

Cuando x → 0+, f(x) → −∞ y como f es creciente entonces existe 0 < c < 1 tal que −∞ <

f(c) < 0.

Existencia. En base a estos resultados consideramos el intervalo [c, 1], 0 < c < 1.

PREFACE 329

Por teorema del valor intermedio aplicado a f en el intervalo [c, 1], se prueba la existencia de un

número r tal que f(r) = 0.

Unicidad. Existe r ∈]0, 1[ tal que f(r) = 0 y este es único porque f es creciente. r es la única

solución a f(x) = 0.

Ejercicios 5.3. Resolver y explicar detalladamente en cada uno de los problemas.

1. Si f (x) = |2x− 4| − 6, entonces f (−1) = f (5) = 0, sin embargo, f ′ nunca tiene el valor

cero. Mostrar porqué el teorema de Rolle no es válido.

2. Demostrar que si un polinomio de cuarto grado tiene a lo más cuatro raíces reales, todo

polinomio de quinto grado tiene a lo más cinco raíces reales.

3. Supongamos que f y g son dos funciones que satisfacen las hipótesis del teorema del valor

medio en el intervalo [a, b]. Además, que f ′ (x) = g′ (x) para toda x del intervalo abierto

]a, b[. Demostrar que f (x)− g (x) = f (a)− g (a) para toda x del intervalo abierto [a, b].

4. Usar el teorema del valor medio para demostrar la siguiente desigualdad |cos (x1)− cos (x2)| ≤|x1 − x2|.

5. Determinar los intervalos en los cuales la función es decreciente y creciente y bosquejar la

gráfica correspondiente:

a) f (x) = x2 − 4x− 1

b) f (x) = x4 + 4x

c) f (x) = 2x+1

x2

d) f (x) = 2− 3√x− 1

e) f (x) =

12− (x+ 5)2 si x ≤ −3

5− x si − 3 < x ≤ −1√100− (x− 7)2 si − 1 ≤ x ≤ 17

5.5. Criterios para extremos relativos.

Se tienen dos criterios: el criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda derivada.

Una aplicación inmediata del teorema de monotonía es la demostración de lo que se conoce como

el criterio de la primera derivada para los extremos relativos de una función.

330 PREFACE

Teorema 5.6. (Criterio de la primera derivada). Sea f una función continua en todos los

puntos del intervalo abierto ]a, b[ que contiene al número c, y supongamos que f ′ existe en todos

los puntos ]a, b[ excepto, posiblemente en c:

1. Si f ′(x) > 0 para todos los x de algún intervalo abierto que tiene a c como su punto extremo

derecho, y si f ′ (x) < 0 para todos los x de algún intervalo abierto que tiene a c como su

punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor máximo relativo en c.

2. Si f ′(x) < 0 para todos los x de algún intervalo abierto que tiene a c como su punto extremo

derecho, y si f ′(x) > 0 para todos los x de algún intervalo abierto que tiene a c como su

punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.

El criterio de la primera derivada para extremos relativos en ]a, b[ establece esencialmente que

si f es continua en c y f ′(x) cambia su signo algebraico de positivo a negativo cuando x recorre

de a a b pasando por c,donde f ′(c) = 0, entonces f tiene un valor máximo relativo en c; y si

f ′ (x) cambia su signo algebraico de negativo a positivo cuando x ecorre de a a b pasando por c,

entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.

En resumen, el siguiente método.

Método 2. Para determinar los extremos relativos de una función f en un intervalo abierto

]a, b[ se debe:

1. Hallar f ′(x), x ∈]a, b[

2. Determinar los números críticos de f en ]a, b[

3. Aplicar el criterio de la primera derivada a f en ]a, b[.

Ejemplo 5.18. Determine los x ∈ D(f) donde se hallan los extremos relativos y los correspon-

dientes valores extremos relativos de la función f (x) = x5 − 5x3 − 20x− 2.

Solución

Derivando f ′ (x) = 5x4 − 15x2 − 20. Luego, los puntos críticos

f ′(x) = 0 ⇔ 5(x− 2)(x+ 2)(x2 + 1) = 0

⇔ x = 2 o x = −2.

PREFACE 331

Criterio de la primera derivada:

x f(x) f ′(x) Conclusión

x < −2 +

x = −2 46 0 Máximo relativo.

−2 < x < 2 −x = 2 −50 0 Mínimo relativo.

x > 2 +

Gráfica de la función f en una computadora. Los valores extremos ocurren en x = −2 y x = 2.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100Gráfica de f(x)=x5−5x3−20x−2

Eje x

Eje

y

Figura 5.8: f(x) = x5 − 5x3 − 20x− 2

Ejemplo 5.19. Determine los x ∈ D(f) donde se hallan los extremos relativos y los correspon-

dientes valores extremos relativos de la función f (x) = x√5− x2

Solución .

Para hallar el dominio de f (x) = x√5− x2, 5− x2 ≥ 0 ⇒ D(f) =

[−√5,√5].

Derivando f

f ′ (x) =5− 2x2√5− x2

.

Los puntos críticos son:

Donde no existe f ′, x =√5, x = −

√5.

Donde f ′(x) = 0, x = ±√

52 .

332 PREFACE

Criterio de la primera derivada

x f(x) f ′(x) Conclusión

x = −√5 0 No existe Máximo relativo

−√5 < x < −

√52 −

x = −√

52 −5/2 0 Mínimo relativo

−√

52 < x <

√52 +

x =√

52 5/2 0 Máximo relativo√

52 < x <

√5 −

x =√5 0 No existe Mínimo relativo

Gráfica de la función f .

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3Gráfica de f(x)=x(5−x2)1/2

Eje x

Eje

y

Figura 5.9: f(x) = x√5− x2

Luego, f alcanza extremos relativos en −√5,−

√52 ,√

52 y

√5.

5.6. Concavidad y puntos de inflexión.

Definición 5.7. La gráfica de una función f en un intervalo abierto I se dice que:

1. Es cóncava hacia arriba1 en el punto (c, f (c)) si existe f ′ (c) y si existe un intervalo abierto

I que contenga a c, tal para todos los valores de x = c en I, el punto (x, f (x)) sobre la

gráfica esté arriba de la recta tangente a la gráfica en (c, f (c)).1También se dice que la función es convexa en I.

PREFACE 333

T

f

c x

(x;f(x))

I

Figura 5.10: Cóncava hacia arriba

2. Es cóncava hacia abajo en el punto (c, f (c)) si existe f ′ (c) y si existe un intervalo abierto

I que contenga a c, tal para todos los valores de x = c en I, el punto (x, f (x)) sobre la

gráfica esté abajo de la recta tangente a la gráfica en el punto (c, f (c)).

cxI

f

T

Figura 5.11: Cóncava hacia abajo

Teorema 5.7. (Criterio de Concavidad). Sea f una función diferenciable en algún intervalo

abierto I que contenga a c. Entonces

1. si f (2) (c) > 0, la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (c, f (c)) , c ∈ I.

2. si f (2) (c) < 0, la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (c, f (c)) , c ∈ I.

Observación 5.6.1. Una condición suficiente para que la gráfica de una función f sea cóncava

hacia arriba en el punto (c, f (c)) es que f (2) (c) > 0, pero ésta no es una condición necesaria.

Análogamente, una condición suficiente, pero no necesaria, para que la gráfica de una función f

sea cóncava hacia abajo en el punto (c, f (c)) es que f (2) (c) < 0.

334 PREFACE

Si existe un punto sobre la gráfica de f en el cual el sentido de concavidad cambie, entonces la

gráfica interseca a su recta tangente en este punto. A tal punto se le llama punto de inflexión.

Definición 5.8. (Punto de inflexión). El punto (c, f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica

de la función f , si la gráfica tiene ahí una recta tangente y si existe un intervalo abierto I que

contenga a c, tal que si x está en I entonces

1. f (2) (x) < 0 si x < c y f (2) (c) > 0 si x > c, o

2. f (2) (x) > 0 si x < c y f (2) (c) < 0 si x > c.

Teorema 5.8. Si la función f es diferenciable en algún intervalo abierto que contenga a c, y si

(c, f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f , entonces si f (2) (c) existe, f (2) (c) = 0.

Observación 5.6.2. El recíproco del teorema no es válido2. Esto es, si la segunda derivada de

una función es cero en un número c, no es necesariamente cierto que la gráfica de la función

tenga un punto de inflexión en el punto donde x = c.

Ejemplo 5.20. Determinar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la gráfica

de la función

f(x) = x4e−x.

Solución.

Derivando f ,

f ′(x) = x3e−x(4− x); f ′′(x) = e−xx2(x− 2)(x− 6).

Los puntos de inflexión son x = 2, x = 6. El x = 0 no es punto de inflexión porque f ′′(x) no

cambia de signo.

G(f) es cóncava hacia arriba en ]−∞, 2[∪]0,+∞[ y cóncava hacia abajo en ]2, 6[.

Otro criterio para los extremos relativos es uno que incluye únicamente al número crítico c y

frecuentemente es la prueba más fácil de aplicar. Se llama criterio de la segunda derivada para

extremos relativos y se enuncia de la siguiente manera.

Teorema 5.9. (Criterio de la segunda derivada). Sea c un número crítico de una función

f en la cual f ′ (c) = 0 y f ′ existe para todos los valores de x en algún intervalo abierto que

contenga a c. Entonces si f (2) (c) existe y2Si f(x) = (x− 2)4 entonces f ′′(2) = 0, sin embargo, (2; 0) no es punto de inflexión.

PREFACE 335

1. Si f (2) (c) < 0, f tiene un valor máximo relativo en c.

2. Si f (2) (c) > 0, f tiene un valor mínimo relativo en c.

Observación 5.6.3. Si f (2)(c) = 0 no se puede concluir nada del criterio de la segunda derivada

acerca de un extremo relativo3 de f en c.

Teorema 5.10. Sea f una función continua. Si f (c) es un máximo (mínimo) relativo de f y es

el único, entonces f (c) es un máximo (mínimo) absoluto de f .

Ejemplo 5.21. Un fabricante ofrece entregar a un comerciante 300 mesas a $90 cada una y

reducir el precio por mesa en 25 centavos por cada mesa adicional arriba de las 300. Encontrar

el total de mesas implicado en la mayor transacción posible entre el fabricante y el comerciante

bajo estas circunstancias.

Solución. Sea x el número de mesas solicitadas por el comerciante. De los datos del problema,

tenemos que

U (x) = 90x cuando 0 ≤ x ≤ 300.

Por otro lado, si x > 300 se tiene que

U (x) = x [90− 0,25 (x− 300)] = 165x− 0,25x2.

Por lo tanto,

U (x) =

90x si 0 ≤ x ≤ 300

165x− 0,25x2 si 300 < x ≤ 660

Puntos críticos en [0, 660]. Tenemos que

U ′+ (x) = lım

x→300+

U (x)− U (300)

x− 300= lım

x→300+

165x− 0,25x2 − 27000

x− 300= 15

y

U ′− (x) = lım

x→300−

U (x)− U (300)

x− 300= lım

x→300+

90x− 27000

x− 300= 90,

por lo tanto U no es diferenciable en 300. Además,

U ′ (x) =

90 si 0 < x < 300

165− 0,5x si 300 < x < 660

3Si f(x) = x3 entonces f ′′(0) = 0, sin embargo, (0; 0) no es extremo relativo

336 PREFACE

y resolviendo U ′ (x) = 0, es decir 165− 0,5x = 0 cuando 300 < x < 660, obtenemos que x = 330

es el único punto estacionario en [0, 660]. En consecuencia, los puntos críticos en [0, 660] son

x = 300 y x = 330.

Tabulando:x U (x)

0 0

300 27000

330 27225 máximo absoluto

660 0

Por lo tanto el total de mesas es 330, para que la utilidad sea máxima. �

Ejemplo 5.22. La ecuación de la demanda para un artículo es (p+ 4) (x+ 3) = 48 donde p

dólares es el precio por unidad cuando 100x unidades se solicitan. Encontrar

1. la función de precio,

2. la función del ingreso total,

3. el ingreso total máximo absoluto.

Solución

1. Despejando p obtenemos

p =48

x+ 3− 4,

entonces (simplificando)

p (x) =36− 4x

x+ 3.

2. Sabemos que R (x) = 100xp (x), entonces

R (x) =3600x− 400x2

x+ 3.

3. Resolviendo la inecuación36− 4x

x+ 3≥ 0 encontramos que −3 < x ≤ 9, y desde que x ≥ 0

encontramos que x ∈ [0, 9]. Por lo tanto, debemos encontrar el máximo absoluto de

R (x) =3600x− 400x2

x+ 3, con 0 ≤ x ≤ 9.

Puntos críticos en [0, 9]:

R′ (x) = −400

(x2 + 6x− 27

)(x+ 3)2

PREFACE 337

Como R es diferenciable en [0, 9], resolvemos R′ (x) = 0, es decir x2 + 6x − 27 = 0, y

obtenemos que x = 3 es el único punto crítico en [0, 9].

Tabulando:x R (x)

0 0


9 0

Por lo tanto, el ingreso total máximo es 1200 dólares cuando se solicitan 300 unidades.

Ejemplo 5.23. Suponga que la ecuación de la demanda de cierto producto es p = 4− 0,0002x,

donde x es el número de unidades producidas semanalmente y p dólares es el precio de cada

unidad. El número de dólares del costo total de la producción de x unidades es 600 + 3x. Si

la utilidad semanal debe ser la mayor posible, encontrar el número de unidades que se deberán

producir cada semana y el precio por unidad para que la utilidad semanal sea máxima.

Solución. Tenemos que P (x) = 4− 0,0002x, donde 0 ≤ x ≤ 20000; luego

R (x) = 4x− 0,0002x2.

Además,

C (x) = 600 + 3x+ 0,2x.

Por lo tanto

U (x) = R (x)− C (x) = 0,8x− 0,0002x2 − 600.

Así, debemos maximizar

U (x) = 0,8x− 0,0002x2 − 600, con 0 ≤ x ≤ 20000.

Puntos críticos en [0, 20000]:

U ′ (x) = 0,8− 0,0004x

Como U es diferenciable en [0, 20000], resolvemos U ′ (x) = 0, es decir 0,8 − 0,0004x = 0, y

obtenemos que x = 2000 es el único punto crítico en [0, 20000].

Tabulando:x U (x)

0 −600


20000 −64600

Por lo tanto, la utilidad máxima es 200 dólares cuando se solicitan 2000 unidades.

338 PREFACE

Ejercicios 5.4. Resolver detalladamente cada uno de los ejercicios.

1. Resolver el ejemplo 5.23 si el gobierno exige 20 centavos de impuesto al productor por cada

unidad producida.

2. Obtener los extremos relativos y los valores para los que ocurren los extremos relativos:

a) f (x) = x3 − 9x2 + 15x− 5

b) f (x) = x23 (x− 1)2

c) f (x) =

√

25− (x+ 7)2 si − 12 ≤ x ≤ −3

12− x2 si x > −3

3. Determine los extremos relativos haciendo uso el criterio de la primera derivada, los inter-

valos de crecimiento y decrecimiento y la gráfica de f.

a) f (x) = x3 − 3x2 − 9x.

b) f (x) = 4 sen(x2

).

c) f (x) =√x− 1√

x.

d) f (x) = 2x√3− x.

4. Determine a, b y c de tal manera que f (x) = ax2+ bx+ c, tenga un valor máximo relativo

de 7 en 1 y la gráfica de y = f (x) pase por el punto (2,−2).

5. Se quiere tender un cable desde una central eléctrica situada a la orilla de un río de 1200 m

de ancho hasta una fábrica ubicada 1500 m río abajo en la otra orilla. El costo de tender

el cable bajo el agua es $25 por metro, mientras que el costo por tierra es $20 por metro.

¿Cuál es la ruta más económica para tender el cable?.

6. La función de costo de un fabricante es C (x) = 1000 + 5x+ 0,1x2 en donde se produce x

artículos por día. Si a lo más 80 artículos pueden producirse por día, determinar el valor

de x que da el costo promedio más bajo por artículo.

7. La función de costo en miles de dólares es C (x) = 2 + x − 14x

2 + 124x

3 en donde el nivel

de producción está en miles de unidades por semana. La planta productiva limita a x al

rango 0 ≤ x ≤ 4. Si cada artículo producido puede venderse en $2.50, determinar el nivel

de producción que maximiza:

PREFACE 339

a) el ingreso.

b) la utilidad.

8. Un minorista en computadores vende 30000 modelos personales anualmente. El costo de

cada nuevo pedido es de $1200 dólares sin importar su tamaño, y el costo de almacenaje

de cada computadora es de $2 anuales. Más aún, solamente se pueden almacenar 5000

computadores a la vez. ¿Cuántos pedidos al año se deben hacer para minimizar el costo

total?

9. Cuando se producen 1000x cajas de cierta clase de material, el costo total en dólares de la

producción está dada por C (x) = 135x13 + 450. Encontrar

10. el costo marginal cuando se producen 8000 cajas, y

11. el número de cajas producidas cuando el costo marginal (por miles de cajas) es $20.

12. Una empresa fabrica y vende radios portátiles. La compañía puede vender a $75 cada radio

que produce, si se fabrican diariamente x radios y el costo total diario de producción es

C (x) = x2 + 25x+ 100.

13. ¿Cuántos radios deben producirse cada día para que la empresa obtenga un máximo de

utilidad diaria total?

14. ¿Cuál es esta utilidad diaria semanal?

15. Un hotel que cobra $80 diarios por habitación da precios especiales a grupos que reserven

entre 30 y 60 habitaciones. Si se ocupan más de 30 cuartos, el precio disminuye en $1 por

cada cuarto arriba de 30. En estas condiciones, ¿la ocupación de cuántas habitaciones por

un grupo producirá el ingreso máximo para el hotel?

16. Un mayorista vende zapatos a $20 el par si le piden menos de 50 pares. Si le piden más de

50 pares (hasta 600), el precio por cada par se reduce en $0.02 multiplicado por el volumen

del pedido. ¿Cuál es el pedido que produce el mayor ingreso para el mayorista?

17. Obtenga los extremos relativos de la función usando el criterio de la segunda derivada (si

se puede aplicar el criterio), intervalos de concavidad y la gráfica de f.

a) f (x) = 3x3 − 2x+ 1.

b) f (x) = cos (3x) , x ∈[−π6,π

2

].

c) f (x) = x√8− x2.

340 PREFACE

d) f (x) = sen (x)− x, x ∈[−3π

2,3π

2

].

18. Si f (x) = ax2+bx+c, emplee la prueba de la segunda derivada para demostrar que f tiene

un valor máximo relativo si a < 0. Encuentre el número en el cual ocurre dicho máximo

relativo.

19. Determine los puntos de inflexión, si existen, y la concavidad de la gráfica de f .

a) f (x) = x3 − 6x2 + 20.

b) f (x) = (x+ 2)13 .

c) f (x) =2

x2 + 3.

d) f (x) =

x2 − 1 x < 2

7− x2 2 ≤ x

e) f (x) =

x3 x < 0

x4 0 ≤ x

20. Si f (x) = ax3 + bx2 + cx, determine a, b y c de manera que la gráfica de f tenga un punto

de inflexión en (1, 2) y que la pendiente de la tangente de inflexión ahí sea −2.

21. Grafique las siguiente funciones, determinando los extremos relativos, puntos de inflexión,

intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y asíntotas.

a) f (x) =x2

x− 1.

b) f (x) =x2 − 8

x− 3.

c) f (x) = 2 sen (3x) .

d) f (x) = 2x3 − 6x+ 1.

22. Si f es la función definida por f (x) = x4, demostrar que la gráfica de f es cóncava hacia

arriba en el punto (0, 0) pero f (2) (0) = 0.

23. Defina una función para la cual la segunda derivada es cero en un número c, pero la gráfica

de la función no tenga un punto de inflexión en el punto (c, f (c)).

PREFACE 341

24. Encontrar: los intervalos en los cuales f es creciente, los intervalos en los cuales f es

decreciente, los extremos relativos de f , donde la gráfica es cóncava hacia arriba, donde la

gráfica es cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión de la gráfica de f . Trazar la gráfica.

a) f (x) = (x+ 2)43

b) f (x) = (x− 4)2 (x+ 2)3

c) f (x) = x√25− x2

d) f (x) = (x− 3)53 + 1

25. Si f (x) =x+ 1

x4 + 1, demostrar que la gráfica de f tiene tres puntos de inflexión que son

colineales. Trazar la gráfica.

26. Sea f (x) = xn donde n es un entero positivo. Demostrar que la gráfica de f tiene un punto

de inflexión en el origen si y sólo si n es un entero impar y n > 1. Demostrar además que

si n es par, f tiene un valor mínimo relativo en 0.

27. Si f (x) =(x2 + 1

)p, donde p es un número racional distinto de cero, demostrar que si

p ≤ 12 la gráfica de tiene dos puntos de inflexión y si p > 1

2 la gráfica de f no tiene puntos

de inflexión.

5.7. Optimizacióm

Los valores extremos de una función tienen múltiples aplicaciones en muchas áreas de la vida. En

esta sección resolveremos problemas como maximizar áreas, volúmenes, utilidades, y minimizar

distancias, tiempos y costos; usando a la derivada como herramienta matemática.

En la solución de estos problemas, uno de los obstáculos más grandes es convertir el proble-

ma expresado en palabras en un problema matemático de optimización. Recomendamos para

simplificar el procedimiento seguir los siguientes pasos.

Comprender el problema e identificar los datos, las relaciones y las incógnitas.

Esbozar una gráfica aproximada del problema.

Introducir notaciones, identificando a la función objetivo o función a optimizar.

Aplicar el cálculo diferencial con sus respectivos criterios, para obtener los extremos relativos

o extremos absolutos de la función objetivo.

342 PREFACE

Ejemplo 5.24. Un espejo plano rectangular de dimensiones 80 cm y 90 cm, se corta por una

esquina según una recta. De los dos pedazos que quedan, el menor es un triángulo rectángulo

de catetos 10 cm y 12 cm, como se muestra en la figura. Halle el área máxima del espejo

rectangular que se pueda obtener con el trozo mayor.

Solución

Si x y y son las dimensiones del rectángulo (líneas discontinuas), queremos maximizar el área

A = xy, 70 ≤ x ≤ 80, 78 ≤ y ≤ 90

De la figura, por semejanza de triángulos,

80

90

x

y

ab

10

12

Figura 5.12: Espejo rectangular de máxima área

12

a=

10

b⇒ b =

5

6a, a = 90− y, b = x− 70

Con estas relaciones se obtiene, y = 174− 65x.

La función área

A(x) = 174x− 6

5x2, 70 ≤ x ≤ 80

Punto crítico

A′(x) = 174− 12

5x⇒ x = 72,5

Por el criterio de la segunda derivada A(72,5) es máximo relativo. �

PREFACE 343

Ejemplo 5.25. Determine las dimensiones del cono de volumen mínimo circunscrito a una

semiesfera de radio R de tal forma que el plano de la base del cono coincida con el de la semiesfera.

Solución

Esbocemos la gráfica del problema

R

AC

B

D

r

h

Figura 5.13: Cono circunscrito a una semiesfera

Sean r y h las dimensiones del cono, entonces V = π3 r

2h.

Por semejanza de los triángulosaACB ∼

aCDB,

h√h2 −R2

=r

R⇒ r =

Rh√h2 −R2

Reemplazando en el volumen V (h) =πR2h3

3(h2 −R2), con dominio h > R.

Puntos críticos. De

V ′(h) =πR2h2

3(h2 −R2)2(h2 − 3R2), h > R

El único punto crítico que cumple h = R√3.

Por el criterio de la primera derivada V (R√3) es el volumen mínimo relativo.

Explicamos este criterio. El signo de V ′(h) depende del factor (h2 − 3R2).

Cuando R < h < R√3 ⇒ V ′(h) < 0 y si R

√3 < h⇒ V ′(h) > 0. �

Ejemplo 5.26. Al pegar los bordes de un sector circular recto de radio L y ángulo central t, se

forma un cono. Encuentre el valor de t para que el volumen de dicho cono sea máximo.

Solución

Sean r y h las dimensiones del cono, entonces su volumen, V = π3 r

2h.

Primero vamos a expresar en función de t tanto r(t) como h(t), luego el volumen V (t).

De la figura,

2πr = Lt⇒ r(t) =L

2πt, 0 ≤ t ≤ 2π.

344 PREFACE

tL

r

h

Figura 5.14: Cono formado de un sector circular

Del teorema de Pitágoras,

h =√L2 − r2 ⇒ h(t) =

L

2π

√4π2 − t2.

Luego,

V (t) =L3t2

24π2

√4π2 − t2, 0 ≤ t ≤ 2π

Puntos críticos. Derivando V (t) respecto al ángulo t.

V ′(t) =L3t

24π2(8π2 − 3t2√4π2 − t2

), 0 < t < 2π

V ′(t) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 2π√

23 , el único que cumple es t = 2π

√23 .

Por el criterio de la primera derivada, V (2π√

23) es el volumen máximo relativo.

Si 0 < t < 2π√

23 ⇔ V ′(t) > 0 y si < 2π

√23 , t⇔ V ′(t) < 0. �

Ejemplo 5.27. En un cono circular recto de 1 metro de radio y 3 metros de altura se inscribe

otro cono circular recto de modo que sus bases sean paralelas y el vértice del cono inscrito esté

en la base del primero.

1. Exprese la altura h del cono inscrito en función del radio x de su base.

2. Determine las dimensiones del cono inscrito para que su volumen sea máximo.

3. Determine las dimensiones del cono inscrito para que su área lateral sea máxima.

Nota. El área lateral de un cono es AL = 2πrL, donde L =√r2 + h2.

Solución

1. De la semejanza de los triángulos sombreado con el proporcional, 31 = 3−h

x ⇒ h = 3− 3x.

PREFACE 345

1

3r

h

3-h

Figura 5.15: Cono inscrito en otro cono

2. El volumen como función de x,

V (x) =π

3x2h = π(x2 − x3), 0 < x < 1

Puntos críticos.

V ′(x) = π(2x− 3x2) ⇒ V ′(x) = 0 ⇔ x = 0, x =2

3, 0 < x < 1

Por el criterio de la segunda derivada.

Como V ′′(23) = −4π < 0 ⇒ V (23) es máximo relativo.

3. Ejercicio. �

Ejemplo 5.28. Una pintura de 2.5 m de alto se coloca sobre su base a 3 m arriba del nivel

del ojo de un observador. ¿A qué distancia de la pared debe colocarse el observador para que el

ángulo que subtiende su ojo debido a la pintura sea máximo?

Solución. Esbozamos un gráfico aproximado del problema.

ojo

nivel del ojo3

2.5

α

θ

x

Figura 5.16: Cuadro colgado

Sean x la distancia entre la pared y el observador, α el ángulo de elevación del observador y θ el

ángulo entre las bases del cuadro (arriba de α).

346 PREFACE

De los datos y las variables

tan(α) =3

x, tan(α+ θ) =

5,5

x

Además, de tan(α+ θ) =tan(α) + tan(θ)

1− tan(α) tan(θ)se tiene

tan(θ) =2,5x

x2 + 16,5⇒ θ(x) = arctan(

2,5x

x2 + 16,5) · · · (1)

Derivando en (1) θ(x) respecto a x,

dθ

dx= − 5(2x2 − 33)

4x4 + 157x2 + 1089.

Punto crítico en x =√

332 = 4,06 y por el criterio de la primera derivada, V (4,06) es máximo

relativo. �

5.8. Regla de L’Hospital

Teorema 5.11. (Regla de L’Hospital). Sea f y g dos funciones diferenciables en un intervalo

abierto I, c ∈ I con g′(x) = 0,∀x ∈ I. Si

lımx→c

f(x) = 0 y lımx→c

f(x) = 0

o

lımx→c

f(x) = ±∞ y lımx→c

f(x) = ±∞

entonces

lımx→c

f(x)

g(x)= lım

x→c

f ′(x)

g′(x)

Demostración

Solo en el caso f(0) = g(0) = 0, f ′ y g′ son continuas con g′(c) = 0.

lımx→c

f ′(x)

g′(x)=f ′(c)

g′(c)=

lımx→cf(x)− f(c)

x− c

lımx→cg(x)− g(c)

x− c

Como f ′ y g′ son continuas entonces

lımx→c

f ′(x)

g′(x)= lım

x→c

f(x)− f(c)

g(x)− g(c)

Además, f(0) = g(0) = 0,

lımx→c

f ′(x)

g′(x)= lım

x→c

f(x)

g(x)

PREFACE 347

Observación 5.8.1. La regla de L’hospital se pueden aplicar muchas veces siempre que cumpla

con las hipótesis del teorema, que son las condiciones para aplicarlas.

Ejemplo 5.29. Calcular el siguiente límite

lımx→0

ex − e−x − 2x

x− senx

Solución

Este límite tiene una indeterminación de la forma 00 . Ésta es condición necesaria para aplicar la

regla,

lımx→0

ex − e−x − 2x

x− senx= lım

x→0

ex + e−x − 2

1− cosx

Como persiste la indeterminación 00 , aplicamos la regla dos veces más, hasta levantar la indeter-

minación y obtener el valor del límite.

lımx→0

ex − e−x − 2x

x− senx= lım

x→0

ex − e−x

senx= lım

x→0

ex + e−x

cosx= 2

Observación 5.8.2. La regla de L’Hospital también es válida si reemplazamos por límites late-

rales o límites infinitos.


lımx→∞

lnx

xp, p > 0.

Solución

lımx→∞

1

xpxp−1=

1

plımx→∞

1

xp= 0

Observación 5.8.3. Esto demuestra que la función ln tiende a ∞ mucho más despacio que

xp, p > 0. En otras palabras comparando, en el límite cuando x → ∞, ln con xp, p > 0

predomina xp, p > 0.

Caso 5.8.1. Productos indeterminados.

Si

lımx→c


f(x) = ∞

entonces

lımx→c

[f(x)g(x)] = 0.∞

Esta indeterminación se transforma a la forma 00 o ∞

∞ escribiendo el producto de funciones como

cociente de funciones: fg = f1g

o fg = g1f

.

348 PREFACE


lımx→∞

(xe1/x − x

)Solución

Este límite

lımx→∞

x(e1/x − 1

)tiene una indeterminación de la forma 0.∞. Transformamos a la forma 0

0 , pasando x al denomi-

nador del denominador, aplicamos una vez la regla de L’Hospital y hallamos el límite

lımx→∞

e1/x − 1

1/x= lım

x→∞

e1/x(−1/x2)

−1/x2= 1

Caso 5.8.2. Diferencias indeterminadas

Si

lımx→c

f(x) = ∞ y lımx→c

f(x) = ∞

entonces

lımx→c

[f(x)− g(x)] = ∞−∞

Para levantar esta indeterminación o bien racionalizar o factorizar un factor común o dando un

común denominador para transformar a la forma 00 o ∞

∞ .


lımx→0

(1

x− csc(x)

)Solución

Este límite tiene una indeterminación de la forma ∞−∞. Es equivalente a

lımx→0

(1

x− 1

sen(x)

)Transformamos a la forma 0

0 , dando común denominador.

lımx→0

sen(x)− x

x sen(x)= lım

x→0

cos(x)− 1

sen(x) + x cos(x)

Dividiendo tanto el numerador como el denominador por x

= lımx→0

(cos(x)−1

xsen(x)

x + cos(x)

)=

0

2= 0

PREFACE 349

Caso 5.8.3. Potencias indeterminadas Las indeterminaciones de la forma 00, ∞0 o 1∞ se

generan cuando en el siguiente límite

lımx→c

[f(x)]g(x)

, se tienen

1.

lımx→c


g(x) = 0

2.

lımx→c

f(x) = ∞ y lımx→c

g(x) = 0

3.

lımx→c


g(x) = ±∞

Para levantar esta indeterminación o bien tomar logaritmo natural o hacer uso de la propiedad

[f(x)]g(x) = eg(x) ln f(x).


lımx→0+

xsenx

Solución.

Aplicando logaritmo natural. Sea

y = lımx→0+

xsenx = senx lnx.

Luego, aplicando dos veces L’Hospital,

lımx→0+

ln y = lımx→0+

senx lnx

= lımx→0+

lnx

cscx

= lımx→0+

1

x(− cscx cotx)

= lımx→0+

[(− senx

x

)(senxcosx

)]= 0.

Levantando logaritmos.

ln( lımx→0+

y) = 0 ⇒ lımx→0+

y = e0 = 1

350 PREFACE


lımx→+∞

ex − e−x

ex + e−x

Solución.

Sea

f(x) =ex − e−x

ex + e−x.

Si aplicamos diréctamente la regla de L’Hospital para calcular el límite, se vuelve cíclico e inde-

terminado. Por lo tanto, la regla del L’Hospital no nos resuelve el problema.

Una forma equivalente,

f(x) =ex − e−x

ex + e−x= 1− 2

e2x + 1

Luego,

lımx→+∞

(1− 2

e2x + 1

)= 1

Pues, lımx→+∞

e2x = +∞ implica lımx→+∞

2

e2x + 1= 0. �


lımx→a+

cosx ln (x− a)

ln (ex − ea).

Solución.

Primero evaluamos cosx en x = a. como cos(a) no genera indeterminación sale del límite.

lımx→a+

cosx ln (x− a)

ln (ex − ea)= cos a lım

x→a+

ln (x− a)

ln (ex − ea).

Aplicando L’Hospital,

= cos a lımx→a+

ex − ea

(x− a)ex= cos a.

PREFACE 351

5.9. Gráfica de funciones

Hemos visto como la primera derivada nos indica dónde es creciente la función, dónde es decre-

ciente y si se alcanza un mínimo local o un máximo local en un punto crítico. También vimos

como la segunda derivada nos brinda información sobre la concavidad de la gráfica de una fun-

ción. Con tal información acerca de la primera y segunda derivada, junto con el conocimiento

previo del comportamiento asintótico y la simetría que estudiamos en el primer capítulo, ahora

podemos esbozar la gráfica precisa de cualquier tipo de función con todas sus características. Con

la finalidad de organizar todas estas ideas en un proceso coherente, damos un método para el

trazado de gráficas y mostramos las características relevantes de las funciones. La identificación

y el conocimiento de la ubicación de estas características es de suma importancia en matemáticas

y sus aplicaciones a la ciencia y la ingeniería, en especial en el análisis y la interpretación de la

gráfica de datos.

Para esbozar la gráfica de una función y = f(x) es necesario determinar:

1. Dominio y rango.

2. Simetría y periodicidad. Intersección con los ejes coordenados.

3. Los puntos de discontinuidad y los intervalos de continuidad.

4. Asíntotas.

5. Extremos relativos e intervalos de monotonía.

6. Puntos de inflexión e intervalos de concavidad.

7. Esbozar la gráfica.

Ejemplo 5.36. Bosqueje la gráfica de la función f(x) =ln |x|x

.

Solución. Seguimos la secuencia de pasos descritos previamente.

Dominio. D(f) = R− {0}Simetrá. La función es impar, pues

f(−x) = ln | − x|−x

= − ln |x|x

= −f(x)

Por lo tanto, su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas. Bastaría esbozar la gráfica

de f en ]0,+∞[ y luego, haciendo uso de su simetría, reflejar respecto al origen de coordenadas.

Asíntotas.

352 PREFACE

Verticales : De

lımx→0+

ln |x|x

= −∞,

el eje Y : x = 0 es una asíntota.

Más adelante necesitaremos este límite lateral, lımx→0−

ln |x|x

= +∞.

Horizontales : Aplicamos la regla de L’Hospital,

lımx→+∞

ln |x|x

= lımx→+∞

1

x= 0.

Entonces el eje X : y = 0 es asíntota.

Oblicuas : No tiene, pues m = lımx→+∞

ln |x|x2

= 0.

Extremos relativos. Derivando,

f ′(x) =1− ln |x|

x2.

Los puntos críticos

f ′(x) = 0 ⇔ x = −e y x = e.

Intervalos de monotonía. solo en el caso x > 0.

Crecimiento. f es creciente en ]0, e[ pues f ′(x) > 0, ∀x ∈]0, e[.

Decrecimiento. f es decreciente en ]e,+∞[ pues f ′(x) < 0,∀x ∈]e,+∞[.

Por el criterio de la primera derivada, x = e es máximo relativo de f en ]0,+∞[.

Puntos de inflexión. De la segunda derivada,

f ′′(x) =2 ln |x| − 3

x3.

f ′′(x) = 0 ⇔ x = −e3/2, x = e3/2

Se tiene dos puntos de inflexión

(−e3/2; f(−e3/2)) y (e3/2; f(e3/2))

El x = 0 no es punto de inflexión porque no es parte del dominio de f .

Concavidad. Para el caso x > 0, los intervalos de concavidad.

Cóncava hacia abajo en ]0, e3/2[, pues

f ′′(x) < 0,∀x ∈]0, e3/2[

PREFACE 353

y cóncava hacia arriba en ]e3/2,+∞[ pues,

f ′′(x) > 0,∀x ∈]e3/2,+∞[

Gráfica de f . Solo hemos considerado en la región positiva del eje horizontal, pero como f es

simétrica respecto al origen de coordenadas, para obtener la gráfica total reflejamos respecto al

origen de coordenadas, considerando sus asíntotas vertical y horizontal, sus extremos relativos y

la concavidad.

−5 0 5−3

−2

−1

0

1

2

3Gráfica de f(x)=ln|x|/x

Eje x

Eje

y

Figura 5.17: Gráfica de f(x) =ln |x|x


f (x) =1

ln |x|

1. Analice la continuidad de f en R e indique el tipo de discontinuidad.

2. Determine los intervalos de monotonía.

3. Esboce el gráfico de f junto al de sus asíntotas y las simetrías que existiese.

Solución

1. D(f) = R− {−1, 0, 1}. En x = 0 tiene discontinuidad evitable, pues f (0) = 0 y

lımx→0

1

ln |x|= 0

En x = ±1 tienen discontinuidad esencial, pues

lımx→1+

1

ln |x|= +∞ y lım

x→−1−

1

ln |x|= +∞

354 PREFACE

2. Analizamos en la derivada

f (x) =1

ln |x|⇒ f ′ (x) = − 1

x (ln |x|)2,

los intervalos de monotonía: crece en ]−∞,−1[ y en ]− 1, 0[ y decrece ]0, 1[ y en ]1,+∞[.

3. La gráfica de f .

−5 0 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5Gráfica de f(x)=1/ln|x|

Eje x

Eje

y

Figura 5.18: Gráfica de f(x) =1

ln |x|


f (x) =x+ 1

x2 + 1

1. Calcule los extremos relativos de f .

2. Probar que los puntos de inflexión del gráfico de f son colineales.

3. Esboce la gráfica de f , indicando sus intervalos de concavidad.

Solución

1. De

f ′ (x) = −x2 + 2x− 1

(x2 + 1)2

se tienen los puntos críticos de f : x = −1−√2 y x = −1 +

√2.

Por el criterio de la primera derivada en x = −1−√2 es un máximo local y en x = −1+

√2

es un mínimo local.

PREFACE 355

2. De

f ′′ (x) = −2 (x− 1)

(x2 + 4x+ 1

)(x2 + 1)3

tres puntos de inflexión con abscisas a: x = 1, x = −2−√3 y x = 1, x = −2 +

√3.

La gráfica de f es cóncava hacia arriba en los intervalos ]−2−√3, 1[ y en ]−2+

√3,+∞[.

Es cóncava hacia abajo en ]−∞,−2−√3[ y en ]1,−2 +

√3[.

La recta que contiene a los puntos de inflexión está dada por

L : y − 1 =

√3 + 3

12(x− 1)

3. Para esbozar la gráfica de f determinaremos algunas características importantes.

a) El eje x es asíntota horizontal.

b) Ubicación de la gráfica. Cuando x > −1 ⇒ f(x) > 0, esto es, la gráfica está arriba

del eje x. Similar para el caso x < −1 ⇒ f(x) < 0.

c) Existe un punto de intersección entre la asíntota horizontal y la gráfica de la función

en (−1; 0).

−15 −10 −5 0 5 10 15−0.5

0

0.5

1

1.5Gráfica de f(x)=(x+1)/(x2+1)

Eje x

Eje

y

Figura 5.19: Gráfica de f(x) =x+ 1

x2 + 1

Ejemplo 5.39. Bosqueje la gráfica de la función f, señalando, si fuera el caso, puntos de in-

tersección de la gráfica con los ejes coordenados, intervalos de monotonía, extremos relativos,

asíntotas de la gráfica, intervalos de concavidad y puntos de inflexión.

f (x) =x2 − 1√x2 + 1

356 PREFACE

Solución.

Simetría. f es una función par. Intersección con el eje x en (−1; 0) y (1; 0), con el y en (0;−1).

Asíntotas. No tiene asíntota vertical ni asíntota horizontal. Solo tiene dos asíntotas oblicuas

A1 : y = x y A2 : y = −x.Se debe observar que la gráfica de f interseca a sus dos asíntotas en los puntos correspondientes

a x = − 1√3

y x = 1√3. Esto se halla resolviendo el sistema formado por la ecuación de la asíntota,

cualquiera de ellas, y la regla de correspondiente de f .

Intervalos de monotonía y extremos relativos. De la derivada,

f ′(x) =x(x2 + 3)√(x2 + 1)3

⇒ x = 0

Por lo tanto, f decrece en ]−∞, 0[ y crece en ]0,+∞[.

Por el criterio de la primera derivada f tiene mínimo relativo en x = 0.

Concavidad y puntos de inflexión. De la segunda derivada,

f ′′(x) =3(1− x2)

(x2 + 1)5/2⇒ x = −1, x = 1.

se tiene dos puntos de inflexión. Los intervalos de concavidad: cóncava hacia abajo en ]−∞,−1[

y en ]1,+∞[, cóncava hacia arriba en ]− 1, 1[.

Además, si |x| < 1 entonces f(x) < 0 y si |x| > 1 entonces f(x) > 0.

Esbozo de la gráfica.

−3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1

0

1

2

3

4

5Gráfica de f(x)=(x2+1)/(x2−1)1/2

Eje x

Eje

y

A1

A2

f

Figura 5.20: Gráfica de f(x) =x2 − 1√x2 + 1

El mínimo relativo se convierte en mínimo absoluto de f . �

PREFACE 357

5.10. Antiderivadas

El concepto de antiderivada nace de los siguientes teoremas (que ya vimos en este capítulo):

Teorema 5.12. Sea f : [a, b] → R una función continua en el intervalo [a, b], diferenciable en

]a, b[ tal que f ′ (x) = 0, ∀x ∈ ]a, b[, entonces f es constante en [a, b].

Corolario 5.2. Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo [a, b] y diferenciables en ]a, b[.

Si ∀x ∈ ]a, b[, f ′ (x) = g′ (x), entonces ∃c ∈ R tal que

f (x) = g (x) + c

para todo x ∈ [a, b].

Definición 5.9. (Antiderivada) Una función f se denomina antiderivada de F en un intervalo

I si F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

Teorema 5.13. Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces toda antiderivada de

f en I está dada por

F (x) + C

donde C es una constante arbitraria.

Demostración. Sea G una antiderivada de f en I, entonces G′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

Como F es también una antiderivada de f en I, entonces F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

Entonces G′(x) = F ′(x), ∀x ∈ I.

Por el corolario 5.2, G(x) = F (x) + C1, ∀x ∈ I. �

La antidiferenciación es el proceso que determina todas las antiderivadas de una función dada.

Denotamos este proceso por ∫f(x)dx = F (x) + C, ∀x ∈ I,

las gráficas de las funciones F (x) + C, x ∈ I, para cada C generan una familia de curvas

"paralelas". Un valor particular de C determinamos, de esa familia, una curva que pase por un

punto fijo P0(x0; f(x0)). A esta exigencia denominamos condición inicial.

Teorema 5.14. (Propiedades de las antiderivadas)

1.∫dφ(x) = φ(x) + C.

2.∫cf(x)dx = c

∫f(x)dx, c = 0.

358 PREFACE

3.∫(f(x) + g(x))dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx.

Teorema 5.15. (Antiderivadas elementales)

1.∫xndx =

xn+1

n+ 1+ C, n = −1.

2.∫ dxx

= ln|x|+ c, x = 0.

3.∫ dx

1 + x2= arctanx+ c.

4.∫ dx√

1− x2= arcsinx+ c.

5.∫axdx =

ax

ln a+ c.

6.∫exdx = ex + c.

7.∫senxdx = − cosx+ c.

8.∫cosxdx = senx+ c.

9.∫csc2 xdx = − cotx+ c.

10.∫sec2 xdx = tanx+ c.

11.∫sec(x)dx = ln(sec(x) + tan(x) + c.

Ejemplo 5.40. Determine una antiderivada de f(x) = 4 − 3

1 + x2, que satisfaga la condición

inicial F (1) = 0.

Solución.

F (x) =

∫ (4− 3

1 + x2

)dx = 4

∫dx−

∫3

1 + x2dx = 4x− 3 arctanx+ C

Condición inicial, x = 1, F (1) = 0: c =3π

4− 4.

F (x) = 4x− 3 arctanx+3π

4− 4

Ejemplo 5.41. Halle una función f que cumple con las siguientes condiciones iniciales:

f (3) (x) = 4.

PREFACE 359

(−1, 103

)es un punto de inflexión.

La recta tangente a la gráfica de f en (0; 2) es horizontal.

Solución

De

f (3)(x) = 4 ⇒ f ′′(x) =

∫f (3)(x)dx =

∫4dx = 4x+ C1

Como f tiene en x = −1 un punto de inflexión entonces

f ′′(−1) = −4 + C1 = 0 ⇒ C1 = 4

De f ′′ (x) = 4x+ 4, se tiene

f ′(x) =

∫f ′′(x)dx =

∫(4x+ 4)dx = 2x2 + 4x+ C2

Como la recta tangente en x = 0 es horizontal entonces f ′(0) = C2 = 0.

Por lo tanto,

f(x) =

∫f ′(x)dx =

∫(2x2 + 4x)dx =

2

3x3 + 2x2 + C3

Como (0, 2) es un punto de la gráfica entonces f(0) = C3 = 2.

finalmente,

f (x) =2

3x3 + 2x2 + 2.

Ejemplos 5.1. Halle las siguientes integrales

1.∫ x√

x2 + 1dx.

2.∫sen (a+ bx) dx

3.∫ a

a− xdx.

4.∫ (1 +

√x)1/3√x

dx

Solución

1.∫ x√

x2 + 1dx = 1

2

∫(x2 + 1)−1/2d(x2 + 1) =

√x2 + 1 + c.

2.∫sen (a+ bx) dx = −1

b

∫d(cos(a+ bx)) = −1

b cos(a+ bx) + c

3.∫ a

a− xdx = a ln( 1

x−a) + c.

360 PREFACE

4. Si hacemos el cambio de variable u = 1 +√x⇒ du =

dx√x

, luego

∫(1 +

√x)1/3√x

dx =

∫u1/3du =

3

4u3/4 + c =

3

4(1 +

√x)4/3 + c.

Ejemplo 5.42. Sea la gráfica de

y = f ′(x) tal que f(−2) = 0, f(0) = 0 y f(2) = 0.

Bosqueje la gráfica de la función continua f indicando los extremos relativos, intervalos de mo-

notonía, concavidad y puntos de inflexión

2

-2

1-1

x

y

f’

Figura 5.21: Gráfica de f ′

Solución .

De la gráfica de f ′ se deduce la gráfica de f .

1-1 x

y

2-2

f

Figura 5.22: Gráfica de f

Intervalos de monotonía:

PREFACE 361

Creciente en ]− 1, 0[ y en ]1,+∞[.

Decreciente en ]−∞,−1[ y en ]0, 1[.

Extremos relativos: por el criterio de la primera derivada.

Mínimo relativo en x = −1 y en x = 1.

Máximo relativo en x = 0.

Concavidad:

Hacia arriba en ]−∞,−1[ y en ]1,+∞[, pues f ′ es creciente en dicho intervalo.

Hacia abajo en ]− 1, 1[, , pues f ′ es decreciente en dicho intervalo.

No tiene puntos de inflexión. No cambia de signo f ′′.

Ejemplo 5.43. Con la sustitución t = senx halle4∫cosx√

1 + sen2 xdx

Solución . Si t = senx entonces dt = cosxdx,∫cosx√

1 + sen2 xdx =

∫dt√1 + t2

Nuevo cambio de variable para realizar la sustitución trigonométrica,

t = tan(z) ⇒ 1 + t2 = 1 + tan2(z) = sec2(z)

y dt = sec2(z)dz entonces∫dt√1 + t2

=

∫sec(z)dz = ln(sec(z) + tan(z)) + c = ln(t+

√1 + t2) + c

En términos de x ∫cosx√

1 + sen2 xdx = ln(senx+

√sen2 x+ 1) + c

4Método de integración por sustitución trigonométrica. Cuando la función integrando contiene términos de la

forma√a2 + x2, donde a es una constante; se sugiere el cambio a una nueva variable z mediante x = tan(z).

362 PREFACE


Problema 5.8. Encuentre los puntos sobre la hipérbola

H : y2 − x2 = 4

que están más próximos al punto Q (2; 0).

Solución

Sean P (x, y) ∈ H y L = d(P ;Q) la distancia entre estos puntos

L2 = (x− 2)2 + y2

= (x− 2)2 + x2 + 4

L2 (x) = 2(x2 − 2x+ 4

)Los puntos críticos de L,

dL

dx=

2 (x− 1)√2 (x2 − 2x+ 4)

x = 1 ⇒ y = ±√6

Por el criterio de la primera derivada, L (1) representa la menor distancia de P a Q.

En consecuencia, los puntos:

P1

(1;−

√6), P2

(1;√6)∈ H

Son los más cercanos a Q.

Observación 5.11.1. De la definición de distancia de un punto a un conjunto (ver apéndice),

la recta normal a H en P que contiene al segmento PQ representa la mínima distancia de Q a

H, por lo tanto, esa recta debe pasar por Q.

Sean las coordenadas de P (x;√x2 + 4) entonces

mPQ =

√x2 + 4

x− 2.

Por otro lado la pendiente de la normal, usando derivadas,

mN = −√x2 + 4

x.

Como las dos ecuaciones representan la misma pendiente, entonces resolviendo se tiene x = 1.

PREFACE 363

Problema 5.9. Halle en la parábola

P : y = −x2

un punto M cuya distancia a la recta

L : y = −2x+ 4

sea mínima.

Solución. Resolveremos usando la observación5.11.1.

Sea Q (a, b) el punto en P más cerca de L, por tanto el segmento perpendicular a L que empieza

en Q y termina en L debe estar contenido en la recta normal a P y que pasa por Q.

La recta tangente que pasa por Q es paralela a L, por lo tanto, −2a = −2 ⇒ a = 1 y b = −1, es

decir, (1,−1) es el punto de la parábola que se encuentra más cerca a L. �

Problema 5.10. En el golfo de México una fuga submarina de petróleo ha ocasionado en la

superficie del mar, una mancha circular de color negra. Considere esta mancha como la base de

un cono invertido cuyo vértice es el punto de fuga del petróleo a 50 km de profundidad. Si cada

día la fuga vierte 200π km3 de petróleo. Calcule la velocidad diaria a la que crece el radio de la

mancha, cuando este es de 10 km.

Solución

De los datos, altura h = 50 km ydV

dt= 200π km3/día, se tiene V (r) = 50π

3 r2.

Derivando y evaluando en r = 10 km

dV

dt=

dV

dr

dr

dt

200π = 100π

3(10)

dr

dt

De dondedr

dt= 3/5 km/dia. �

Problema 5.11. Calcule el siguiente límite

lımx→0

(cos 2x)3x2 .

Solución

Sea y = (cos 2x)3x2 . Tomando logaritmos y luego aplicando la Regla de L’Hospital

ln y =3

x2ln (cos (2x))

lımx→0

ln y = lımx→0

3

x2ln (cos 2x)

= −6

364 PREFACE

Levantando logaritmos

lımx→0

(cos 2x)3x2 = e−6

Problema 5.12. Sea la función

f (x) = xe1/x, x = 0.

1. Halle las asíntotas de la gráfica de f .

2. Determine los intervalos de monotonía y los extremos relativos de f .

3. Calcule los intervalos de concavidad y, si existen, las coordenadas de los puntos de inflexión.

4. Esboce la gráfica f y sus asíntotas en un mismo sistema de coordenadas.

Solución

1. D(f) = R− {0}.

Asíntotas. Tiene asíntota vertical en x = 0,

lımx→0+

f(x) = +∞, lımx→0−

f(x) = 0

y una asíntota oblicua en y = x+ 1,

m = lımx→+∞

f(x)

x= 1, b = lım

x→+∞[f(x)− x] = 1

No tiene asíntota horizontal.

2. Extremos relativos. De la derivada

f ′ (x) = e1/x(x− 1

x

)se tiene en x = 1 un mínimo local, pues

f ′(x) > 0, x ∈]0, 1[ y f ′(x) < 0, x ∈]1,+∞[.

Intervalos de monotonía f en ]0, 1[ decrece y en el resto crece.

3. Concavidad y puntos de inflexión. De la segunda derivada

f ′′(x) =e1/x

x3,

no tiene puntos de inflexión, pues no existe x ∈ D(f) tal que f ′′(x) = 0 o no existe f ′′(x). El

x = 0 no es punto de inflexión a pesar que ambos lados del cero tiene concavidad diferente.

Los intervalos de concavidad son: en ]−∞, 0[ es cóncava hacia abajo y en ]0,+∞[ es cóncava

hacia arriba.

PREFACE 365

4. Para esbozar la gráfica de f , cuando x tiende a 0 por izquierda entonces f tiende a 0.

Ayuda esbozar la gráfica de f , los signos de f en los intervalos de monotonía

x > 0 ⇒ f(x) > 0 y x < 0 ⇒ f(x) < 0

−5 0 5

−4

−2

0

2

4

6

8Gráfica de f(x)=xe1/x

Eje x

Eje

y

Figura 5.23: Gráfica de f(x) = xe1x

�

Problema 5.13. Halle una antiderivada de la función

f (x) =1

cos2 (x)√1 + tan (x)

.

Solución

∫f (x) dx =

∫1

cos2 (x)√

1 + tan (x)dx

=

∫sec2 (x) dx√1 + tan (x)

=

∫(1 + tanx)−1/2 d (1 + tanx)

= 2√

1 + tan (x) + c

Problema 5.14. Una tanque lleno con 10 galones de agua comienza gotear en el instante t = 0;

el volumen V de agua del tanque t segundos más tarde está dado por

V (t) = 10

(1− t

100

)2

hasta que el tanque quede vacío en el instante t = 100.

366 PREFACE

1. ¿A qué razón sale el agua del tanque después de un minuto?

2. ¿En qué instante son iguales la razón de cambio instantánea de V y la razón de cambio

promedio de V de t = 0 a t = 100?

Solución. En t = 0, V (0) = 10gl.

1. La razón con que sale el agua del tanque después de un minuto,

dV (t)

dt= −1

5

(1− t

100

)|t=60s = − 2

25gl/s · · · (1)

2. La razón de cambio promedio de V de t = 0 a t = 100,

△V△t

=V (100)− V (0)

100= − 1

10· · · (2)

Resolviendo (1) y (2), se tiene t = 50

Ejemplo 5.44. Sea la función f(x) = (1 + x)3/2 − 32x− 1.

1. Demuestre que f es creciente en ]0,+∞[.

2. Demuestre que

(1 + x)3/2 > 1 +3

2x, ∀x > 0.

Solución.

1. Si la derivada

f ′(x) =3

2(1 + x)1/2 − 3

2, x > 0

probamos que para todo

x > 0 ⇒ (1 + x)1/2 > 1 ⇒ f ′(x) > 0

entonces f es creciente en ]0,+∞[.

2. Aplicamos el teorema del valor medio a f en el intervalo cerrado [0, x], entonces existe

c ∈]0, x[ tal que f ′(c) =f(x)− f(0)

x.

Como

f ′(c) =3

2(1 + c)1/2 − 3

2=

(1 + x)3/2 − 32x− 1

x> 0.

entonces

(1 + x)3/2 > 1 +3

2x, ∀x > 0.

PREFACE 367

Problema 5.15. Una esfera con radio fijo a está inscrita en una pirámide de base cuadrada, de

modo que la esfera toca la base de la pirámide y cada uno de sus cuatro lados.

1. Demuestre que el volumen de la pirámide está dado por

V (h) =4a2h2

3(h− 2a),

donde h es la altura de la pirámide. Halle el dominio de V .

2. Demuestre que el volumen mínimo posible de la pirámide es 8π veces el volumen de la esfera.

Solución. Sean 2x la base y h la altura de la pirámide, su volumen

V =1

3Ah =

4

3x2h · · · (1)

Por semejanza de triángulos

x

a=

h√h2 − 2ah

=

√h2 + x2

h− a· · · (2)

entonces

x =ah√

h2 − 2ah, h > 2a · · · (3)

Dibujamos la proyección lateral de la pirámide y la esfera inscrita.

h

x

a

h-a

a

Figura 5.24: Pirámide y esfera inscrita

1. El volumen de la pirámide como función de h se obtiene reeemplazando (3) en (1),

V (h) =4a2h2

3(h− 2a), h > 2a. · · · (4)

368 PREFACE

2. Derivando v respecto a h,

dV (h)

dh=

4a2h(h− 4a)

3(h− 2a)2, h > 2a.

Puntos críticos V ′(h) = 0 ⇔ h = 4a.

Por el criterio de la primera derivada V (4a) =32

3a3 es mínimo relativo.

Ahora vamos a comparar el volumen de la esfera con el volumen mínimo hallado,

V (4a) =32

3a3 y VEsf =

4

3πa3 ⇒ V (4a)

VEsf=

8

π

Problema 5.16. Sea la función f(x) = arctan

(1

1− x

), x = 1.

1. Halle los intervalos de monotonía.

2. Determine la asíntota de la gráfica de f .

3. Demuestre que f no tiene extremos relativos.


Solución.

1. Derivando

f ′(x) =1

x2 − 2x+ 2, x = 1

Como

x2 − 2x+ 2 = (x− 1)2 + 1 > 0, ∀x ∈ R \ {1}

entonces f es creciente en ]−∞, 1[ y en ]1,+∞[.

2. En x = 1 no tiene asíntota, pues

lımx→1+

f(x) = −π2

y lımx→1−

f(x) =π

2

En cambio, el eje x si es la única asíntota

lımx→±∞

f(x) = 0.

3. De la primera parte f ′(x) > 0 entonces f no tiene puntos críticos entonces no tiene extremos

relativos.

4. La gráfica de f por traslaciones a partir de la gráfica de arctan( 1x). �

PREFACE 369

Problema 5.17. La ley del movimiento de un cuerpo por una línea recta está dada por

s (t) =t4

4− 4t3 + 16t2

donde t es el tiempo en segundos y s(t) el desplazamiento en metros.

1. ¿En qué instantes de tiempo el cuerpo se encuentra en el origen de coordenadas?

2. ¿En qué instantes de tiempo la dirección de su movimiento coincide con la orientación

positiva del eje X?

3. ¿En qué instantes de tiempo su aceleración es nula?

4. Para t = 4 s, halle la velocidad y aceleración del cuerpo.

Solución.

1. s(t) = 0 ⇔ t = 0, t = 8.

2. v(t) =ds(t)

dt= t3 − 12t2 + 32t = 0 ⇔ t = 0, t = 4, t = 8.

3. a(t) =dv(t)

dt= 3t2 − 24t+ 32 = 0 ⇔ t = 4± 4√

3.

4. Para t = 4 ⇒ v(4) = 120m/s, a(4) = −16 m/s2. �

Problema 5.18. Sea C la curva definida por las ecuaciones paramétricas

C :

{x = t2 − 1

y = t4 − 4t

Halle

1. Una ecuación de la recta tangente a C en el punto correspondiente a t = 2.

2. Las coordenadas de los puntos de C donde la recta tangente es horizontal.

3. Las coordenadas de los puntos de C donde la recta tangente es vertical.

4.d2y

dx2en términos de t.

Solución.

1. Para t = 2 ⇒ x = 3, y = 8. Las derivadas en t = 2, x′t = 4, y′t = 28 ⇒ y′x = 7. La recta

tangente L : y − 8 = 7(x− 3).

370 PREFACE

2. Si existe recta tangente horizontal, pues y′t = 0 ⇒ t = 1 ⇒ x = 0, y = −3.

3. Si existe recta tangente vertical, pues x′t = 0 ⇒ t = 0 ⇒ x = −1, y = 0.

4. Como x′t = 2t, y′x =4t3 − 4

2t⇒ (y′x)

′t =

16t3 + 8

(2t)2. En

d2y

dx2=

(y′x)′t

x′t=

16t3 + 8

(2t)3=

2t3 + 1

t3, t > 0.

�

Problema 5.19. En un rectángulo OABC los vértices A y C están sobre los ejes horizontal

y vertical, respectivamente, O en el origen de coordenadas y B sobre la curva y = 2x. Si la

ordenada de B aumenta a razón de una unidad por segundo ¿Cómo está cambiando el área del

rectángulo cuando x = 2?

Solución.

Sea B(x; y) = B(x; 2x) un punto arbitrario de la curva, entonces el área del rectángulo A = xy =

x2x. Por dato dydt = 1u/s.

Como

y = 2x ⇒ dy

dt=dy

dx

dx

dt= 2x ln 2

dx

dt

Ahora hacemos uso este resultado y el dato,

dy

dt= 1 = 2x ln 2

dx

dt⇒ dx

dt=

1

2x ln 2

Razón de cambio del área

dA

dt= (2x + x2x ln 2)

1

2x ln 2=

1 + x ln 2

ln 2

Cuando

x = 2 ⇒ dx

dt=

1

4 ln 2y

dA

dt=

1 + 2 ln 2

ln 2.

�

Problema 5.20. Sean el punto P (0; 52) y la curva C : y = x2/3.

1. Demuestre que la curva no tiene recta tangente horizontal.

2. Halle la ecuación de la recta tangente vertical, si existe.

3. Determine dos rectas distintas que pasen por P y sean normales a C.

PREFACE 371

Solución.

1. Como

y′ =2

3x1/3, x = 0 ⇒ @x ∈ D(f); f ′(x) = 0

Entonces no existe recta tangente horizontal.

2. Si existe, pues primero x = 0 ∈ D(f). Luego,

lımx→0+

f(x) = +∞ o lımx→0−

f(x) = −∞

Entonces la recta x = 0 es tangente vertical.

3. Sea Q(x; y) = Q(x;x2/3) el punto de tangencia en C por donde pasa las rectas normales,

el otro punto de paso es P . Como se conocen las coordenadas de P y de Q entonces la

pendiente del segmento PQ,

mPQ =x2/3 − 5

2

x· · · (1)

De la definición de derivada, la pendiente de la recta tangente,

mT =2

3 3√x⇒ mN = −3 3

√x

2· · · (2)

Resolviendo (1) y (2) x = −1, x = 1. Entonces Q(−1; 1) y Q′(1; 1) son los puntos de la

curva donde las rectas normales a C pasan por P . �

Problema 5.21. Considere la curva folio de Descartes definida mediante

C :

x(t) =

3t

1 + t3,

y(t) =3t2

1 + t3

t ∈ R

1. Encuentre los puntos donde la recta tangente es horizontal.

2. ¿La curva C tiene recta tangente vertical? justifique.

3. Determine el punto P (x; y) ∈ C tal que y = x, con x = 0.

4. Halle una ecuación de la recta tangente a C en P .

Solución. Derivando respecto al parámetro t.

x′t = 31− 2t3

(1 + t3)2, y′t = 3

t(2− t3)

(1 + t3)2⇒ y′x =

t(2− t3)

1− 2t3

372 PREFACE

1. La recta tangente es horizontal si

y′t = 3t(2− t3)

(1 + t3)2= 0 ⇒ t = 0, t =

3√2

existen dos puntos donde la recta tangente es vertical P1(0; 0), P2(3√2; 3

√4).

2. La recta tangente es vertical si,

x′t = 31− 2t3

(1 + t3)2= 0 ⇒ t =

13√2

luego en el punto es P3

(23√2;23√4

).

3. El punto P (x; y) ∈ C tal que y = x, con x = 0, se obtiene de x(t) = y(t) ⇒ t = t2 ⇒ t =

0, t = 1. Considerando t = 1 ⇒ x = 32 , y = 3

2 , P (32 ;

32).

4. La pendiente de la recta tangente a C en P (32 ;32) es y′x = −1 entonces la ecuación de la

recta tangente es y = −x+ 3. �

Problema 5.22. Suponga que se dispara una flecha en sentido vertical mediante una poderosa

ballesta, desde el nivel del suelo, y vuelve a tocar el piso 48 segundos después. Si podemos

despreciar la resistencia del aire, determine la velocidad inicial de la flecha y la altura máxima

que alcanza. Considere: la aceleración de la gravedad g ≈ 10 m/s2.

Solución.

La ecuación del movimiento vertical, considerando la constante de gravedad, está dado por

y(t) = −1

2gt2 + v0t+ y0

donde y(t) es la altura después de un tiempo t de partir.

De los datos, cuando t = 0 ⇒ y0 = 0, y para t = 48s se tiene

y(t) = −5t2 + v0t = t(−5t+ v0) = 0 ⇒ v0 = 240 m/s

La altura máxima se da cuando v(t) = 0, entonces

v(t) =dy(t)

dt= −10t+ 240 = 0 ⇒ t = 24.

Finalmente, la altura máxima y(24) = 2880m. �

PREFACE 373

Problema 5.23. Se desea fabricar una tienda de campaña con un volumen fijo V , que tenga la

forma de una pirámide de base cuadrada y los lados de las caras laterales son congruentes, como

el de la figura.

x

y z

Figura 5.25: Pirámide de base cuadrada

1. Exprese el área lateral de la pirámide como función de x.

2. Halle las dimensiones de la pirámide para que el área total (incluyendo la base), sea mínimo.

Solución.

1. Como el volumen es fijo, de

V =1

3Abasey =

4

3x2y ⇒ y =

3V

4x2· · · (1)

Del gráfico y de (1), se tiene

z =√x2 + y2 = V =

√16x6 + 9V 2

4x· · · (2)

Área de una cara lateral de la pirámide

A1 = xz =1

4x

√16x6 + 9V 2

Área lateral total como función de x,

AL(x) = 4A1 =1

x

√16x6 + 9V 2, x > 0 · · · (3)

2. Área total incluyendo la base como función de x,

A(x) =1

x

√16x6 + 9V 2 + 4x2, x > 0, · · · (4)

Puntos críticos. La derivada,

A′(x) =32x6 − 9V 2

x2√16x6 + 9V 2

+ 8x, x > 0, · · · (5)

374 PREFACE

De

A′(x) = 0 ⇔ 2x =

(9

2V 2

)1/6

⇒ y = (6V )1/3.

Por el criterio de la primera derivada, A((92V

2)1/6

) es mínima. El signo de A′(x) depende

del numerador, cuando

0 < 2x <

(9

2V 2

)1/6

⇒ 32x6 − 9V 2 < 0 ⇒ A′(x) < 0

Similar cuando 2x >(92V

2)1/6. �

5.12. Problemas propuestos

Razón de Cambio y Tasas Relacionadas

1. Una pelota que se lanza verticalmente hacia arriba en el instante t = 0 (segundos), con

una velocidad inicial 30 m/s y una altura inicial de 35 m, tiene la función de altura

y(t) = −1

2gt2 + 30t+ 35.

a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

b) ¿En qué instante y con qué velocidad se golpea la bola en el suelo?

2. Una nave espacial que se aproxima al planeta Gzyx se encuentra a una altura de y metros

en el instante t (segundos) dada por

y(t) = 100− 100t+ 25t2.

¿En qué instante y con que velocidad llega a la superficie del mencionado planeta?

3. Una circunferencia de radio R rueda, sin deslizarse, sobre una recta. El centro de la circun-

ferencia se mueve con velocidad constante v. Halle la velocidad de variación de la abscisa

x y la ordenada y para un punto P (x; y) de la circunferencia. P describe una Cicloide.

4. El volumen de un cilindro recto es de 500π cm3 y permanece constante cuando el diámetro

de su base aumenta a razón de 1 cm/s. Halle la razón de cambio de la altura respecto al

tiempo cuando el diámetro de la base es 10 cm.

5. Una gota de lluvia, al caer, atraviesa una capa de aire seco y se evapora de manera que

se mantiene siempre esférica y su volumen decrece a un ritmo proporcional al área de su

superficie. Pruebe que el radio de la gota decrece a razón constante.

PREFACE 375

6. Un móvil parte del punto (0; 0) hacia el punto (12; 5) siguiendo una trayectoria rectilínea

a una velocidad constante de4

3u/s. Con qué rapidez cambia la distancia entre el punto

(0; 5) y el móvil, después de 3 segundos de haber partido el móvil.

7. Un hombre corre a 5 m/s a lo largo del diámetro de un patio circular de radio 20 m. Una luz

ubicada en uno de los extremos de un diámetro perpendicular a la trayectoria del hombre

proyecta la sombra del hombre sobre la pared circular.

a) ¿Con qué rapidez se mueve la sombra a lo largo de la pared cuando el hombre se

encuentra a 10 m del centro del patio?

b) ¿Qué tan lejos está el hombre del centro del patio cuando la rapidez de su sombra a

lo largo de la pared es de 9 m/s?

8. Se bombea agua en un tanque esférico a razón de 22,5 pie3/min, el radio r de la esfera es

10 pies, ¿con qué rapidez está subiendo el nivel del agua, cuando la altura del agua es de

5 pies en el centro del tanque?

Nota. Volumen del segmento esférico V = 13h

2π (3r − h), donde r es el radio de la esfera

y h es el nivel del agua

Teoremas del Cálculo Diferencial en intervalos

9. Determine el máximo y el mínimo absoluto de la función en el intervalo cerrado indicado.

a) h (x) = senx+ cosx, x ∈ [−π2 , 2π].

b) g (x) =lnx

x2, x ∈ [1, e].

10. Pruebe que para cualquier constante positiva a, la ecuación

x3 + ax− 1 = 0

tiene exactamente una solución real.

11. Sea f una función dada por

f (x) = |2x− 4| ; x ∈ [−1, 5]

Investigue si f cumple con las hipótesis del teorema de Rolle.

376 PREFACE

12. Demuestre que la ecuación

x2 + 3x− sen (x+ 1) + 1 = 0

tiene solo una raíz en el intervalo[−1, π2 − 1

].

13. Demuestre que para todo x ∈]0, 1[ se cumple

x < arc sen(x) <x√

1− x2.

14. Usando el teorema del Valor Medio o el de Rolle, demuestre que

a) ln√x− 4 <

x− 5

2para todo x > 5.

b) n√x+ 1 < 1 +

x

npara todo x > 0 y n ≥ 1 entero.

c) |1− cosx| ≤ |x|, ∀x ∈ R.

d)x− 1

x< lnx < x− 1, ∀x > 1.

15. Demuestre que para 0 < a < b en R se cumple:

b− a

b< ln

(b

a

)<b− a

a.

16. Para la función f(x) = x+ 2 cos(x), x ∈ R.

a) Halle todos los valores o puntos críticos de la función f .

b) Analice en cuáles de los valores críticos de f , dicha función tiene valores extremos.

c) ¿f posee extremos absolutos? Justifique.

Criterios de Monotonía y de concavidad

17. Determine los intervalos de monotonía, puntos críticos, intervalos de concavidad, puntos

de inflexión y gráfica de las siguientes funciones:

a) f(x) = 3x− x3.

b) f(x) = x+ sen(x).

c) f(x) = x− sen(2x).

18. Determine los intervalos de monotonía, puntos críticos, intervalos de concavidad, puntos

de inflexión y gráfica de las siguientes funciones:

PREFACE 377

a) f(x) = x+ | sen(2x)|.

b) f(x) =2x

1 + x2.


f(x) =

(1 +

1

x

)x

es creciente en los intervalos ]−∞,−1[ y ]0,+∞[.

20. Halle los puntos de inflexión y los intervalos ce concavidad de la gráfica de la función

f(x) = 3x2e−x.

Optimización de funciones y = f(x), x ∈ R+

21. Determine las dimensiones del cono de volumen mínimo circunscrito a una semiesfera

de radio R de tal forma que el plano de la base del cono coincida con el de la semiesfera.

22. Calcule las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen inscrito en una esfera

de radio R = 6.

23. Una lata de volumen V dado tiene forma de cilindro recto. ¿Cuál debe ser la relación entre

la altura h y el diámetro 2R para que se emplee en su fabricación la cantidad de material

mínima?

24. Determine las dimensiones del cono inscrito para que su área lateral sea máxima.

Nota. El área lateral de un cono es AL = 2πrL, donde L =√r2 + h2.

25. Un hombre está parado en el punto A en la orilla de un río recto de 2 km de ancho, y

desea alcanzar el punto B que está a 7 km corriente abajo sobre la orilla opuesta, primero

remando en su barca a un punto P de la orilla opuesta y después caminando la distancia

restante x hasta B. Puede remar a 2 km/h y caminar a 5 km/h.

a) Exprese el tiempo total T que necesita para ir de A hasta B como una función de x.

b) Halle las coordenadas de P y el valor de x de tal manera que T sea mínimo.

26. Una esfera de radio fijo a está inscrita en una pirámide regular de base cuadrada de modo

que la esfera es tangente a la base y a cada uno de las caras laterales de la pirámide. Halle

la pirámide de volumen mínimo.

378 PREFACE

27. Halle el punto P de la curva

C : y =1

1 + x2

en el que la recta tangente (en P ) forme con el eje X el ángulo de mayor valor absoluto.

28. ¿Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total?

29. ¿Qué sector se debe recortar de un círculo de radio R, de modo que la parte restante se

pueda enrrollar un embudo de capacidad máxima.

Regla de L’Hospital

30. Calcule los siguientes límites.

a) lımx→π/2

ln (sen (x))

(π − 2x)2.

b) lımx→1

(x

x− 1− 1

lnx

).

c) lımx→0

ex − e−x − 2x

x− senx

d) lımh→0

ax+h + ax−h − 2ax

h2, a > 0.

e) lımx→1

(tan

πx

4

)tan πx2

31. Demuestre que

lımx→+∞

x− senx

x+ senx= 1

no se puede hallar por la regla de L’Hospital. Halle este límite directamente.

Gráfica de funciones y = f(x), x ∈ R

32. Bosqueje la gráfica de la función f, señalando, si fuera el caso, puntos de intersección de la

gráfica con los ejes coordenados, intervalos de monotonía, extremos relativos, asíntotas de

la gráfica, intervalos de concavidad y puntos de inflexión.

a) f(x) = x4e−x

b) f (x) = 3√x3 − 3x2.

PREFACE 379

c) f (x) =

3x2

x2 − 25si x > −1, x = 5

√4x2 + 3x si x ≤ −1

d) f (x) = ln(e+ 1

x

)33. Construya la gráfica de las siguientes funciones:

a) f(x) =ex

1 + x.

b) f(x) = arc sen

(2x

1 + x2

).

Antiderivadas

34. Halle la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.

a)f(x) = 4x3 − 5.√x b)f(x) =

√1− 3x. c)f(x) = sen(π + 3x).

d)f(x) = 6e2−3x. e)f(x) = sec2(x/2). f)f(x) = senx cosx.

35. La resistencia del aire sobre una gota de lluvia, a medida que cae verticalmente, aumenta

debido a que el área superficial de la gota aumenta. Supongamos que en el instante inicial

(t = 0), una gota de lluvia está a 500 m sobre el suelo y tiene velocidad, hacia abajo, de 10

m/s; y su aceleración, también hacia abajo, es a(t) = 9 − 0,9t, si 0 ≤ t ≤ 10 s y a(t) = 0,

si t ≥ 0 s. Calcule el tiempo que tarda en llegar al suelo la gota de lluvia.

36. Halle una función f tal que:

a) f ′′(x) =(1− 1

x2

)2, f ′(1) = f(1) = 0.

b) f ′′(x) =x4 + 1

x3, cuya recta tangente en (1;−1) es y = x− 2.

c) f ′′(x) = 4x−3, cuya recta tangente en (1; 3) es y = 5− 2x.

37. Desde el borde de un acantilado de 88 m sobre el fondo se lanzan dos pelotas hacia arriba.

La primera se arroja con una velocidad de 16 m/s y la segunda se lanza un segundo más

tarde a una velocidad de 8 m/s. ¿Se encuentran alguna vez esas dos pelotas antes de que

lleguen al suelo?

38. La aceleración de un objeto, que se mueve a lo largo de un trayecto recto, en cada instante

t es a(t) = (6t− 2)m/s2. Si después de 1 s de la partida alcanza una velocidad de 7 m/s y

380 PREFACE

se encuentra ubicado a 8 m a la derecha del origen de coordenadas, halle la velocidad y la

posición del objeto al cabo de 3 s de la partida.

39. Dada la gráfica de la función y = f ′(x), bosqueje la gráfica de la funció f , continua en R,

analizando intervalos de monotonía y de concavidad, valores extremos, puntos de inflexión

y tiene los valores dados.

a) f(0) = 3.

2-1

X

Y

b) f(−1) = 0, f(0) = 2, f(1) = 3, f(2) = 0.

40. Calcule las siguientes integrales

a)∫ x

(x+ 1)2dx.

b)∫ae−mxdx, m > 0

c)∫cos2 xdx

41. Con la sustitución t = senx halle ∫cosx√

1 + sen2 xdx

PREFACE 381

42. El punto (3; 2) está en una curva, y en cualquier punto (x; y) de la curva la recta tangente

tiene una pendiente igual a 2x− 3. Determine una ecuación de la curva.

Problemas varios

43. Una tanque lleno con 10 galones de agua comienza gotear en el instante t = 0; el volumen

V de agua del tanque t segundos más tarde está dado por

V (t) = 10

(1− t

100

)2

hasta que el tanque quede vacío en el instante t = 100.

a) ¿A qué razón sale el agua del tanque después de un minuto?

b) ¿En qué instante son iguales la razón de cambio instantánea de V y la razón de cambio

promedio de V de t = 0 a t = 100?

44. Sea la función f(x) = (1 + x)3/2 − 32x− 1.

a) Demuestre que f es creciente en ]0,+∞[.

b) Demuestre que

(1 + x)3/2 > 1 +3

2x, ∀x > 0.

45. Una esfera con radio fijo a está inscrita en una pirámide de base cuadrada, de modo que

la esfera toca la base de la pirámide y cada uno de sus cuatro lados.

a) Demuestre que el volumen de la pirámide está dado por

V (y) =4a2y2

3(y − 2a),

donde y es la altura de la pirámide. Halle el dominio de V .

b) Demuestre que el volumen mínimo posible de la pirámide es 8π veces el volumen de la

esfera.

46. Sea la función f(x) = arctan

(1

1− x

), x = 1.

a) Halle los intervalos de monotonía.

b) Determine la asíntota de la gráfica de f .

c) Calcule los extremos relativos de f .

382 PREFACE

d) Esboce la gráfica de f .

47. Una partícula se mueve a lo largo de la curva de ecuación

y = cos (2x+ 1)

donde x = t2 + 1, ¿con qué rapidez está desplazandose respecto a la dirección vertical

cuando t = 2 s?


f (x) = ax2

g (x) = lnx.





49. Sea

f (x) =x2

1 + x3, x < −1.



7 ; f−1(−4

7

)).


50. La ley del movimiento de un cuerpo por una línea recta está dada por

s (t) =t4

4− 4t3 + 16t2

donde t es el tiempo en segundos y s (t) el desplazamiento en metros.

a) ¿En qué instantes de tiempo el cuerpo se encuentra en el origen de coordenadas?

b) ¿En qué instantes de tiempo la dirección de su movimiento coincide con la orientación

positiva del eje X?

c) ¿En qué instantes de tiempo su aceleración es nula?

d) Para t = 4 s, halle la velocidad y aceleración del cuerpo.

PREFACE 383

51. Suponga que la ecuación de la curva

C : x2 (1− y) = y2 (1− x) + 9

define una función diferenciable y = f (x).

a) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a C en los puntos donde C corta al

eje X.

b) Halle el valor de

f ′′ (−3)

52. Sea C la curva definida por las ecuaciones paramétricas

C :

{x = t2 − 1

y = t4 − 4t

Halle

a) Una ecuación de la recta tangente a C en el punto correspondiente a t = 2.

b) Las coordenadas de los puntos de C donde la recta tangente es horizontal.

c) Las coordenadas de los puntos de C donde la recta tangente es vertical.

d) d2ydx2 en términos de t.


f (x) = e√2x(√

2x− 1)

, x ≥ 0.

a) Pruebe que f ′ (x) = e√2x, x > 0.

b) Usando el Teorema del Valor Medio y la parte a) demuestre que

x ≤ e√2x(√

2x− 1), para x ≥ 0.

54. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto truncado de 6 m de altura, de 5 m de

radio mayor y 3 m de radio menor. Del tanque sale agua a razón de 16, 9π m3/hora. Halle

la rapidez con que baja el nivel del agua cuando éste tiene 4 m.

Sugerencia.

El volumen del cono truncado circular recto de altura h, radio menor r y radio mayor R es

V =π

3h(r2 + rR+R2

)

384 PREFACE

55. En un rectángulo OABC los vértices A y C están sobre los ejes horizontal y vertical,

respectivamente, O en el origen de coordenadas y B sobre la curva y = 2x. Si la ordenada

de B aumenta a razón de una unidad por segundo ¿Cómo está cambiando el área del

rectángulo?


f (x) = x3 − 3x− 3, con x ∈ [0, 3]

a) Sobre el arco AB de la gráfica de f halle un punto M (c, f (c)) en el cual la tangente

sea paralela a la cuerda AB si A (0, f (0)) y B (3, f (3)).

b) Demuestre que la ecuación

x3 − 3x− 3 = 0

tiene una única raíz real.

Apéndice A

Breves nociones de Topología en R

En este apartado definimos algunos conceptos relacionados con la Topología, ciencia que permite

clasificar los puntos de un conjunto. Nos restringimos a los espacios métricos.

A.1. Espacios métricos

Definiciones generales

Definición A.1. Distancia. Dado un conjunto E = ϕ, una distancia o métrica, en E es una

aplicación

d : E × E → R+ ∪ {0}

que verifica

1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ E.

2. d(x, y) = d(y, x)∀x, y ∈ E.

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ E.

Ejemplo A.1. En el conjunto de los números reales R, d(x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ R, es una

distancia o métrica.

Ejemplo A.2. En R2, distintas distancias equivalentes en R2.

d2(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2

d1(x, y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|

d∞(x, y) = max{|x1 − y1|+ |x2 − y2|}

donde x = (x1, x2), y = (y1, y2)

385

386 PREFACE

Definición A.2 (Espacio métrico). Se llama espacio métrico a un par (E, d) siendo E un

conjunto y d una distancia definida en E.

Ejemplo A.3. Son espacios métricos: R con la métrica del valor absoluto y R2 con cualquiera

de las métricas del ejemplo A.2.

Definición A.3 (Bola abierta ). Dado un espacio métrico (E, d), un punto x0 ∈ E y un

número real r > 0, se define la bola abierta de centro x0 y radio r, denotados por B(x0, r), como

el conjunto

B(x0, r) = {x ∈ E/d(x, x0) < r}

Definición A.4 (Entorno o Vecindad ). Dado un espacio métrico (E, d) y un punto x0 ∈ E,

un subconjunto A ⊂ E es entorno de x0, si existe una bola abierta de centro x0 totalmente

contenida en A.

Ejemplo A.4. El intervalo abierto ]− 1, 1[ es una:

una bola abierta con centro e 0 y radio r = 1.

Una vecindad del 0.

Ejemplo A.5. En R2 el conjunto

B(0, ϵ) = {(x; y) ∈ R2/d(x; y) < 0}

es una una bola abierta con centro e 0 y radio ϵ.

Ejemplo A.6. El intervalo [a, b] no es una vecindad ni de a ni de b.

Definición A.5. Bola cerrada. Dado un espacio métrico (E, d), un punto x0 ∈ E y un

número real r > 0, se define la bola cerrada de centro x0 y radio r, denotados por B(x0, r), como

el conjunto

B(x0, r) = {x ∈ E/d(x, x0) ≤ r}

Ejemplo A.7. El intervalo [a, b] es una bola cerrada en R2.

Definición A.6. Bola abierta reducida y entorno reducido. Sean B(x0, r) una bola

abierta y A un entorno de x0. Los conjuntos B(x0, r) − {x0} y A − {x0} se denominan bola

abierta reducida o perforado y entorno reducido o perforado de x0.

No debe olvidarse que el centro de la bola no está en la bola "perforada", siendo este el que se

utiliza para definir el concepto de límite de una función en un punto.

PREFACE 387

Clasificación de los puntos de un conjunto

Sean (E, d) un espacio métrico y que A ⊂ E.

Definición A.7. Punto Interior. Un punto x0 ∈ E es interior a A si existe r > 0 tal que

B(x0, r) ⊂ A.

Se llama interior de un conjunto A, denotado por◦A, al conjunto de todos los puntos interiores

a A.

Definición A.8. Punto Exterior. Un punto x0 ∈ E es exterior a A si es interior a su comple-

mento CA , es decir, si existe r > 0 tal que B(x0, r) ⊂ CA, o que B(x0, r) ∩A = ϕ.

Se llama exterior de un conjunto A, denotado por ExtA, al conjunto de todos los puntos exteriores

a A.

Definición A.9. Punto frontera. Un punto x0 ∈ E es frontera de A si no es ni interior ni

exterior de A.

Se llama frontera de un conjunto A, denotado por FrA, al conjunto de todos los puntos frontera

de A.

Definición A.10. Punto adherente. Un punto x0 ∈ E es adherente a A si para todo r > 0 se

tiene

B(x0, r) ∩A = ϕ

Se llama adherencia de un conjunto A, denotado por A, al conjunto de todos los puntos adherentes

a A.

Definición A.11. Punto de acumulación. Un punto x0 ∈ E es de acumulación de A si para

todo r > 0 se tiene

(B(x0, r)− {x0}) ∩A = ϕ

Se dice que x0 ∈ R es un punto de acumulación de un intervalo I ⊂ R cuando toda vecindad

V de x0 contiene algún punto de I, diferente del propio x0, esto es, esto es, V ∩ (I − {x0}) = ϕ.

Esta condición es equivalente a

∀ϵ > 0, ]x0 − ϵ, x0 + ϵ[∩ (I − {x0}) = ϕ.

Definición A.12. Conjunto abierto. Un conjunto A ⊂ R es abierto si todos su puntos son

interiores, es decir, A es abierto si int(A) = A.

En R con la distancia usual los intervalos abiertos son conjuntos abiertos.

Definición A.13. Conjunto cerrado.

Un conjunto F ⊂ R es cerrado si, y solo si, su complemento A = R− {F} es abierto.

388 PREFACE

En R con la distancia usual los intervalos cerrados son conjuntos cerrados.

Definición A.14. Conjunto denso. Dado un espacio métrico (E, d), un subconjunto A ⊂ E

es denso si A = E.

Definición A.15. Distancia de un punto a un conjunto. Sea d una métrica de un espacio

métrico (E, d). La distancia entre un punto p ∈ E y un subconjunto A ⊂ E se define por

d(p,A) = ınf{d(p, a) : a ∈ A}

esto es, la máxima cota inferior de las distancia de p a los puntos de A.

Ejemplo A.8. Sea el conjunto H : {(x; y)/x2 − y2 = 4} ⊂ R2 y Q(0; 2) un punto fijo. La

distancia del punto Q al conjunto H se define como d(Q,H) = ınf{d(p, a) : a ∈ A}. Sea P el

punto por donde para la recta tangente a H. La recta normal a H en P y que pase por Q contiene

al segmento de recta que representa a la distancia entre el punto Q y el conjunto H.

Definición A.16. Conjunto acotado. Un conjunto A de un espacio métrico (E, d) es acotado

si existen x0 y r > 0 tales que A ⊂ B(x0, r).

Es decir, un conjunto es acotado si puede encontrarse una bola que lo contenga.

Teorema A.1. Un conjunto A de un espacio métrico (E, d) es acotado si y solo si

d(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}

es finito.

Al número real d(A) se le llama diámetro del conjunto acotado A.

Definición A.17. Conjunto compacto. Un conjunto X ⊂ R se llama compacto si, y solo si,

es cerrado y acotado.

Teorema A.2. Cualquier subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto.

Apéndice B

Elementos de Lógica

La deducción matemática y la lógica se encuentran relativamente muy cercanas entre si. Se

requiere el lenguaje de la deducción para ser preciso, en tanto que los símbolos de la lógica quitan

la ambigüedad en nuestro lenguaje. Lo básico para analizar y usar el lenguaje matemático, así

como la estructura de los argumentos matemáticos, es la lógica simbólica.

Conectivos lógicos

Los conectivos lógicos más usados en matemática son:y,o,no,si..entonces, si y solo si cuyos sím-

bolos, respectivamente son: ∧,∨,∼,→,↔.

Tablas de verdad

La tabla de verdad de las fórmulas proposicionales compuestas más simples.

p p p ∧ q p ∨ q p→ q p↔ q

V V V V V V

V f F V F F

F V F V V F

F F F F F V

Teorema B.1. Sean p y q fórmulas proposicionales, entonces

1. p→ q ≡∼ p ∨ q

2. p→ q ≡∼ q →∼ q

3. p↔ q ≡ (p→ q) ∧ (q → p)

4. ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q

389

390 PREFACE

5. ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q

Cuantificadores

Sea P (x) un predicado con un universo U .

Cuantificador Universal. El símbolo ∀ denota "para todo"(o cualquiera que sea o para cada).

Para todo x, P (x) denotamos por

∀x, P (x).

Esta es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero, si para cualquier sustitución que

hagamos de x en P (x) por un elemento a ∈ U , la proposición resultante P (a) es verdadera; y es

falsa, en cualquier otro caso.

Cuantificador existencial. El símbolo ∃ denota existe al menos un (o para algún o existe al

menos un). Existe al menos x tal que P (x),

∃x, P (x).

Esta es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero, si al menos P (a) es verdadero para

alguna sustitución a ∈ U del objeto variable x en P (x) es verdadera; y es falsa, en cualquier otro

caso.

Predicados con más de dos variables y dos cuantificadores

1. (∃y)(∀x), P (x, y) es verdadera si al menos hay un valor fijo b en el universo de la variable

y, para el cual la proposición ∀x, P (x, b) es verdadera. Ese valor de b de la variable y no

depende del valor que tome la variable x, es decir, debe servir el mismo valor b para todos

los valores que puedan tomar la variable x en su universo.

2. (∀x)(∃y), P (x, y) es verdadera si al menos hay un valor fijo a en el universo de la variable

x, para el cual la proposición ∃y, P (a, y) es verdadera. El valor b de la variable y para

hacer verdadera P (a, b) depende del valor a, es decir, a diferentes valores que le asignen a

la variable x, en general, serán diferentes los valores que tomen la variable y en su universo.

B.1. Técnicas de demostración

1. Pruebas por contradicción. Una prueba por contradicción, o prueba por el absurdo,

consiste en demostrar la validez de una hipótesis probando que su negación conduce a

una contradicción. En otras palabras, supongamos que se quiere probar S. Para dar una

prueba por contradicción de S se empieza suponiendo que S es falso, o lo que es equivalente

que no S es cierto. Luego, siguiendo un razonamiento matemático válido, se deduce como

PREFACE 391

verdadera alguna otra proposición previamente conocida como falsa. Se concluye por lo

tanto que la suposición inicial era incorrecta.

2. Pruebas por inducción. La inducción matemática es un procedimiento que se basa en

el siguiente axioma.

Axioma B.1.1. Axioma de inducción. Sea S un conjunto de enteros. Si

a) 1 ∈ S

b) k ∈ S implica que k + 1 S. Entonces todos los números enteros positivos están en S.

La inducción consiste en la inferencia de una ley general a partir de instancias particulares.

3. Pruebas por deducción. La deducción es una inferencia particular a partir de una ley

general. La deducción, por otra parte, siempre produce conclusiones válidas si es aplicada

correctamente. Sea P cualquier propiedad de los naturales, y a y b dos naturales tales que

a ≤ b. Si

a) P(n) vale para todo a ≤ n < b.

b) Para cualquier natural n ≥ b, el hecho de que P (n) vale es consecuencia de la supo-

sición que P (m) vale para todos los m tales que a ≤ m < n, entonces la propiedad

P (n) vale para todos los naturales n ≥ a.

Frecuentemente, es empleada para probar aserciones que parecen haber sido sacadas de

la galera de un mago. Mientras que la validez de estas aserciones queda demostrada, su

origen permanece misterioso. Sin embargo, la inducción matemática es una herramienta su-

ficientemente poderosa para permitirnos descubrir no solamente la validez de un teorema,

sino también su enunciado preciso. Aplicando la técnica de inducción, se puede simultá-

neamente probar la verdad de una propiedad parcialmente especificada y descubrir las

especificaciones faltantes gracias a las cuales el teorema es correcto.

392 PREFACE

Bibliografía

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[2] Berman, G.N.: Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. Editorial Mir-Moscú. 1983.

[3] Deminovich, B.P.: 5.000 problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo Thomson

Learning. 2000.

[4] Stewart, J.: Cálculo, trasecedentes tempranas. Editorial Thompson. 1998.

[5] Lages Lima Elon: Análisis Real, volumen 1. Imca-Uni. 1997

[6] Leithold, L.: El Cálculo. Oxfors University Press. 1994

[7] Thomas, George B. Jr.: Cálculo, una variable Editorial Pearson. 12a edición. 2010.

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[9] Kong, Maynard: Cálculo diferencial. Pontificia Universidad Católica del Perú, 1988.

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[11] Lehmann, Charles: Geometría Analítica. Editorial Limusa. 1986.

[12] Serway, Raymond A.: Física para ciencias e ingeniería 5ta edition, Mc-Graw-Hill, México

2000.

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