TallerdeMatemticasI Semana3y4
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TallerdeMatemticasI
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Temario1.Laigualdadmatemtica
1.1.Identidadesyecuaciones1.2.Propiedadesdelaigualdad1.3.Propiedadesdelosnmerosreales
2.Ecuacindeprimergradoconunaincgnita2.1.Solucindeunaecuacinlinealmedianteelmtodoformal2.2.Solucindeunaecuacinlinealmedianteelmtododetransposicindetrminos.2.3.Solucindeunaecuacinlinealmedianteelmtodogrfico2.3.1.Ecuacindeprimergradocondosincgnitas2.3.2.Introduccinalasfunciones2.3.3.Planocartesiano2.3.4.Lafuncinlinealysurelacinconlaecuacinlineal2.3.5.Graficacinmediantetabulacin2.3.6.Graficacinapartirdelapendienteylaordenadaalorigen2.3.7.Graficacinpormediodelasinterseccionesconlosejes3.Sistemadeecuacioneslinealescondosincgnitas
3.1.Clasificacindelossistemasdeecuaciones3.2.Mtodosdesolucindesistemas223.2.1.Mtododesumayresta3.2.2.Mtododesustitucin3.2.3.Mtododeigualacin3.2.4.Mtodogrfico
3.2.5.Mtodopordeterminantes4.Sistemadeecuacioneslinealescontresincgnitas4.1.Mtodosdesolucindesistemas334.1.1.Mtodogrfico4.1.2.Mtodopordeterminantes4.1.3.Mtododesustitucin5.Ecuacionescuadrticas
5.1.Mtodosdesolucindeecuacionescuadrticas5.1.1.Mtododesolucinpordespejedeecuacionescuadrticaspuras5.1.2.Mtododesolucinporfactorizacindeecuacionescuadrticasmixtas
5.1.3.Mtododesolucincompletandoeltrinomiocuadradoperfecto5.1.4.Mtododesolucinporfrmulageneral
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6.Funcionescuadrticas
6.1.Caractersticasdeunaecuacincuadrtica6.1.1.Elementosdelaparbola6.1.2.Sentidodelaparbola6.1.3.Tiposdesolucionesapartirdesuscoeficientes6.2.Grficadeunaecuacincuadrtica7.Formaestndardeunafuncincuadrtica7.1.Desplazamientovertical7.2.Desplazamientohorizontal
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Semana3Sesin9Lostemasarevisareldadehoyson:
1.Laigualdadmatemtica1.1.Identidadesyecuaciones1.2.Propiedadesdelaigualdad1.3.Propiedadesdelosnmerosreales
2.Ecuacindeprimergradoconunaincgnita2.1.Solucindeunaecuacinlinealmedianteelmtodoformal2.2.Solucindeunaecuacinlinealmedianteelmtododetransposicindetrminos.2.3.Solucindeunaecuacinlinealmedianteelmtodogrfico2.3.1.Ecuacindeprimergradocondosincgnitas
1.LaigualdadmatemticaUnaigualdadmatemticasecomponededosexpresionesunidasporelsignoigual.Matemticamente hablando, dos expresiones algebraicas sern iguales si tienenprecisamenteelmismovalor:
expresin1=expresin2Ejemplo 1. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo a suscomponentes.
Ahorabien,puedesvisualizaruna igualdadcomounabalanzaenequilibrio,dondeelequilibrionosedebeperdernunca;esdecir,sideun ladodestahaydeterminadacantidadysecolocaoquitaunaparte, lamismapartedeberserretiradaoaadidadelotrolado.
Aadiendo una cantidad x
a ambos lados de la balanza
27243 +=++538 =
( ) 222 2 yxyxyx ++=+012 =a
Como slo tienen nmeros, se denominanigualdades numricas,
mientras que a estas dos se les conoce como igualdades algebraicasdebido a que contienen nmeros y literales.
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Ejemplo:Dosvendedoresdeaguafresca,CarlosyClaudia,tienentresjarrasconaguadefrutascadauno.Carloshacolocadoen laprimera jarramedio litrodeaguade jamaica,en lasegundatieneunterciode litrodeaguadehorchatayen latercerjarratieneun litrodeaguadelimn.Claudiahacolocado trescuartosde litrodeaguadenaranjaen laprimera jarra,uncuartode litrode aguademelnen la segunda, y cinco sextosde litrode aguademangoenlatercerajarra.Quharasparasaberculdelosdosvendedorestienemsagua?Carlosquecolocentres jarrasmedio litrodeaguade jamaica,unterciode litrodeaguadehorchatayunlitrodeaguadelimnrespectivamente;oClaudiaquecolocentresjarrastrescuartosdelitrodeaguadenaranja,uncuartodelitrodeaguademelnycincosextosdelitrodeaguademango.Lo primero que debes hacer es plantear una igualdad para cada uno de losvendedores:
Matemticamente puedesdecir que: , y parece bastante lgico, no?
Siguiendo con la balanza, supn que le sumas (aades) una cantidad cualquiera, en este casorepresentada por un vaso de agua, entonces:
Observaque no es tan difcil mantenerel balance en una igualdad matemtica.
Ahora, la pregunta es, ser equivalente la siguiente expresin?
Analiza: 0.5 + 0.5 es igual a 1, por lo tanto, puedes decir que la expresin anterior s es equivalente yque por lo tanto, esa igualdad puede ser tratada como cualquier otra.
Otra forma de presentarte una igualdad es la siguiente:
En esta expresin tienes una parte desconocida, la x, pero rpidamente sabes que el valor de x debeser 0.5 para que el equilibrio de la igualdad se conserve.
kg 0.5 kg 0.5 kg 1 +=
x 0.5 1 +=
Cantidad de aguade Carlos
Cantidad de aguaen la jarra 1
Cantidad de aguaen la jarra 2
Cantidad de aguaen la jarra 3= + +
Cantidad de aguade Claudia
Cantidad de aguaen la jarra 1
Cantidad de aguaen la jarra 2
Cantidad de aguaen la jarra 3= + +
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Despus establece una incgnita para cada uno (x para Carlos, y para Claudia), yresulvelas:
Comparandoresultados,losdosvendedorestienenlamismacantidaddeaguaensusjarras.1.1.IdentidadesyecuacionesComosabes,unaigualdadalgebraicasecomponedenmerosyliterales.Enlasiguientefigurapuedesversuclasificacin,tomandoencuentasilaigualdadseverificaparatodososloalgunosnmerosreales.Sehablardeunaidentidadcuandolaigualdad se cumpla para cualquiervalorqueseledasusliterales.Tendrs una ecuacin cuando laigualdad se cumpla slo para algunosvaloresque se ledena sus literalesoincgnitas.Ejemplo.Verificaporqulaexpresinesunaidentidad.Paraqueunaexpresinalgebraicaseauna identidad,esnecesarioque la igualdadsemantenga,auncuandosusliteralestomencualquiervalor.Si arbitrariamente le das los siguientes valores a las literales: a=2, m=3 y n=1,entonces:
131
21 ++=x
6623 ++=x
611=x
65
41
43 ++=y
656 +=y
611=y
651+=y
( ) 22 anamnma =
Los vecuac
PrcVerif1.2.PLasigdefoSean
ExistmenSean
P
R
S
T
Prsu
7 Univers
valores quecin.
ctica34
ficaporqu
Propiedadegualdadestormainmed
na,b,ycn
eotrogrupcionanacona,bycn
ropiedad
Reflexiva
Simtrica S
ransitiva S
incipio deustitucin
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sidadCNCId
hacen ciert
laexpresi
esdelaiguatienenycumdiata,lascu
merosreal
podepropontinuacin.merosreale
Represenalgebr
a= a
Si a=b, enton
Si a=b y b=ca=c
Si a=b, entonpueden ser utcualquier propque el valor desta cambie.
deMxico
ta la igualda
n
aldadmplenconualesseme
es,entonce
piedadesqu.es,entonce
ntacinraica
a
nces b=a
c, entonces
nces ambas tilizadas en posicin sin e verdad de
32 =y
Tallerd
ad reciben e
es
unaseriedncionanac
es:
ue tepermi
s:
Signifilenguaje
Todo nmeromismo.
Es posible inmiembros desin que sta s
Si dos expresiguales a unaentonces stentre s.
Si dos expresiguales, stasustituidaseproposicin sde verdad ca
5+= x
deMatem
el nombre d
unaecuaci
depropiedacontinuacin
iten resolve
icado en e coloquialo es igual a s
tercambiar lose una igualdadse altere.
siones son a tercera, tas son iguale
siones son as pueden ser n cualquier sin que el valoambie.
mticasI
de solucione
in.
desquesen.
er igualdade
E
Si 3+3+
s d S
enton
s
Si 1+3e1
or
Si 3+1es lo m
3
Siobsevalor dla igucumplirexpresiidentid
I Semana
es o races
puedende
es, las cual
Ejemplo
+x, entonces:+x = 3+x
Si 2+3=5,
nces 5=2+3
3=4 y 4=2 2ntonces:+3 = 2 2
1=4, entoncesmismo escribir
4+1=5que
3+1+1=5
ervas,paracdado a lasaldad siemr, por loin sidad.
3y4
de la
educir
les se
,
s,r
cualquierliterales,mpre setanto, laes una
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1.3.PropiedadesdelosnmerosrealesPor ltimo, algunas propiedades de los nmeros reales que necesitas conocer parahacermsfcileltrabajoderesolverecuacionessedescribenacontinuacin.PropiedadconmutativaLa palabra conmutativa viene del verbo conmutar que significa cambiar, en estecaso,serefiereacambiardelugar.Lapropiedadconmutativadicequepuedescambiarelordende losnmerosenunasumaomultiplicacinyapesardeestoobtenerelmismoresultado.Porejemplo:
Ambas operaciones dan como resultado 5 o 5x, no importa cul trmino escribasprimerooculcolocasdespus.Tpuedesconmutar(cambiar)elordendecualquiersumaomultiplicacinsinalterarelresultado,peroOJO!!!,jamsusesestapropiedadconrestasodivisionesporquenosiempreobtendrselmismoresultado.Porejemplo,35noes lomismoque53,ni3x5xequivalea5x3x.Porotro lado,10entre 5 no es igual a 5 entre 10, o 10x entre 5x no equivale a 5x entre 10x. Paracomprobarloefectalasoperacionesyversqueelresultadoesdistinto.PropiedadasociativaLapalabraasociativavienedelverboasociarquesignificajuntaroagrupar,poresotambinlallamanlapropiedaddeagrupamiento.
Propiedad RepresentacinalgebraicaSignificado en
lenguaje coloquial Ejemplo
Propiedadde la suma
Si a=b, entonces a+c=b+c
Puedes sumar el mismo nmero a los dos miembros de una igualdad y sta no se altera.
Si 5+1=4+2, entonces:5+1+3 = 4+2+3
9=9
Propiedad de la resta
Si a=b, entonces a-c=b-c
Puedes restar el mismo nmeroa los dos miembros de una igualdad y sta no se altera.
Si 5+1=4+2, entonces:5+1-2 = 4+2-2
4=4
Propiedad de la multiplicacin
Si a=b, entoncesac=bc
Puedes multiplicar el mismo nmero a los dos miembrosde una igualdad y sta no se altera.
Si 5+1=4+2, entonces:(5+1)3 = (4+2)3
(6)3=(6)318=18
Propiedad de la divisin
Si a=b, entonces Puedes dividir los miembros de una igualdad entre el mismo nmero y sta no se altera.
Si 5+1=4+2, entonces:
523532 =+=+xxxxxx 523532 =+=+
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Estapropiedaddicequesiestssumandotresomsnmerosomultiplicandotresomsnmeros,puedesagruparojuntarlosnmerosendiferentesformasyapesardeelloobtenerelmismoresultado.Porejemplo:Si te fijas bien vers que no importa de qu manera se asocien los trminos, elresultadosiempreserelmismo.Lomismopasaconlamultiplicacin:Observaqueelresultadosiempreeselmismo,noimportacomoagrupeslostrminos.Tpuedesasociar(agrupar)encualquierformalasumaomultiplicacinsinalterarelresultado,peroOJO!!!,jamsusesestapropiedadconrestasodivisionesporquenosiempreobtendrselmismoresultado.Observaque(35)6noeslomismoque3(56);obien,(35)6noeslomismoque3(56).PropiedaddistributivaLapalabradistributivavienedelverbodistribuirquesignificarepartir.Estapropiedaddicequesiestsmultiplicandountrminopor lasumadedosomstrminos, puedes multiplicar el primer trmino por cada uno de los otros y luegosumar para obtener el resultado; es decir, distribuyes el producto en la suma. Porejemplo:PropiedadesdelosneutrosExistendosnmerosespecialesentrelosnmerosreales:elceroyeluno.Porqu sonespeciales?Puesporque soncompletamenteneutralesoneutrosantealgunas operaciones; es decir, no pueden hacer nada con ellas, no cambian elresultado.Elceroesneutralfrentealasumaylaresta,yelunoesneutralantelamultiplicacinyladivisin.Alnmero0seleconocecomoneutroaditivoyalnmero1comoneutromultiplicativo.Porejemplo:
mm 303;808;606 =+==+mm 313;818;616 ===
( ) ( ) 1235412354 =++=++( ) ( ) mmmmmmmm 1235412354 =++=++
( ) ( ) 6035460354 ==( ) ( ) 33 6035460354 mmmmmmmm ==
( ) ( ) ( )4232432 +=+( ) ( ) ( )mmmmmmm 4232432 +=+
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PropiedadesdelosinversosSirecuerdas,paratodonmerorealpositivo,existedelotroladodelarectanumrica,a la misma distancia del cero, un nmero de la misma magnitud pero de signocontrario.Dichonmeroessusimtrico.Dichos nmeros tienen la caracterstica de que si se suman siempre, dan comoresultadoCERO.Debidoaello,aestosnmerosselesdenominainversosaditivos.Porejemplo:Sedicequeelinversoaditivode10es10yviceversa.Otronmeroimportanteesaquelquemultiplicandoporotronosdacomoresultadoalnmero1.Estenmeroespecialseconocecomo inversomultiplicativoo recproco.Porejemplo:
Comoves,el inversomultiplicativo (orecproco)deunnmeroenteroserepresentamediante launidad sobreelnmeroen cuestin, yel inversomultiplicativodeunafraccin,estambinunafraccincon laspartes invertidas;esdecir,elnumeradordeuna,eseldenominadordeotrayviceversa,sinimportarsiesnegativoopositivo.Prctica35Indica que propiedad de los nmeros reales se est utilizando en cada una de lassiguientesexpresionesalgebraicas.1.2.3.4.5.6.7.
165
561
13
311
818 =
=
=
021
2104401010 =+=+=+
( ) ( )pnmpnm =
+
=
zxyxzyx432
212
43
212
( ) 8513 =+
11083 =++
( ) ( ) 05656 =++
( ) 1221 =
( ) ( )nmnm 12374121212374 +=+
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2.EcuacindeprimergradoconunaincgnitaApartirdesta sesin,encadaunode los temasqueversutilizars losconceptosaprendidos en las sesiones anteriores. Tanto el lenguaje algebraico, como laspropiedades de la igualdad, las operaciones con nmeros reales, los productosnotables,entreotros,teservirndebaseparalograrlosprximosaprendizajes.EcuacionesLinealesLasecuacionesconunavariableounaincgnitasonaquellasenlasqueapareceslounaliteraloletra(normalmentelax);ysedicequesondeprimergradocuandodichaliteral est elevada a la potencia 1. Por ello, las ecuaciones se pueden clasificar deacuerdoasugradocomo:Ecuacinlinealodeprimergrado.Ejemplo:Ecuacincuadrticaodesegundogrado.Ejemplo:Ecuacincbicaodetercergrado.Ejemplo:yassucesivamente.Unaecuacin linealoecuacindeprimergradoconuna incgnitaesunaexpresindelaformaAlgunosejemplosson:Cualquierotraecuacinenlaquesedebanrealizaroperaciones,peroqueadoptenesaforma,sern llamadasecuaciones linealesdeprimergradoconuna incgnita,comoporejemplo:Las tres ecuaciones anteriores aunque no tienen la forma ax+b, son ecuaciones deprimer grado con una incgnita, pues slo tienen una variable y est elevada a lapotencia1.Slosetienenquesimplificarparallegaralaformadeseada.2.1.SolucindeunaecuacinlinealmedianteelmtodoformalExistenproblemascotidianosqueseresuelvenpormediodeecuacioneslineales,comola distancia que recorre un objeto con un movimiento uniforme, los costos deproduccin, el inters simple o las mezclas en general. No puedes concebir unaecuacin sin que est relacionada con la resolucin de un problema, ya sea en lasustitucindedatosoeneldespejedealgunaincgnita.Puedesresolverunaecuacindeprimergradodetresformas;porelmtodoformalque ocupa las propiedades de la igualdad, por el mtodo de transposicin o dedespejes,yporelmtodogrfico.Enocasionesteconvienemsutilizarunatcnicapor las caractersticas de la ecuacin, el problema que deseas resolver o lasintencionesquebuscas.
843 =x0352 2 =+ xx
0162 23 =++ xxx
0 con 0 =+ abax,50108 =+x ,75 =x 5132 =+ x
,7287 =+ xx ,235 =+y
( ) ( ) 3712352 =++ aaa
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MtodoformalPara resolver ecuaciones lineales mediante el mtodo formal debers indicar laspropiedadesdelaigualdadydelosnmerosrealesqueutilices.Ejemplo:problemadecantidadyvalor.Juantiene15pesosydesearepartirlosentresusdossobrinos.A Pepe le da 3 pesos, cunto le toca a Javier? Plantea la ecuacin y resulvelamatemticamente.SolucinLaecuacindeprimergradoconunaincgnitaporresolveres:Tutrabajoconsisteenaveriguarcuntovalex;mentalmenteyalosabes,perolodebesdemostrarmatemticamente.Paraaislaroaveriguarelvalordexdebesquitarelnmero3;esdecir,debeshacerlocero,yesololograssumndoloconsuinversoaditivoquees3.Recuerdaquetambindebesrestarloal15paranoalterarlaigualdad.Generalmenteenestepaso,setedecael3pasarestandodelotrolado,peroahorayasabesporqu.Entonces:Despusdeefectuarlaoperacin3+3=0,hasobtenidoelcero,entonces te basas en los hechos que viste para el neutroaditivo,conloque0+x=x,ydelotrolado153=12:ConclusinAJavierlecorresponden12pesos.Deahoraenadelantecuandoresuelvascualquiertipodeecuacin,siempredebersercomprobadaparaverificarquelasolucinescorrecta.ComprobacinParacomprobarqueunvaloressolucindeunaecuacin,locolocasenellugardelaincgnitay realizas lasoperacionesparaverificarque la igualdad secumple.Paraelejemplo:Porlotanto,laecuacinseresolvicorrectamente,Javierrecibir12pesosyPepesolamente$3.Prctica36Enunapanadera sehizounpedidode20donasde chocolate.Elpanaderopuso2donas en un plato y las restantes las deposit en nueve canastitas adornadas.Cuntasdonashayporcanastita,sihaylamismacantidadentodas?
153 =+ x31533 =++ x
120 =+ x12=x
153 =+ x15123 =+
1515 =
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2.2. Solucin de una ecuacin lineal mediante el mtodo de transposicin detrminosLatransposicin de trminoses unmtodo que te permite resolver ecuaciones deprimer grado de manera sencilla y ahorrar una cantidad significativa de pasos.Tambinllamadosolucinpordespejes.Enestatcnicadebesagruparenunmiembrotodos los trminos con la incgnita (por ejemplox), y en otro, los trminosindependientes.Elmtododetransposicin odedespejesabreviaelmtodoformalyaquepuedeshacerqueun trminoqueapareceenunmiembro,aparezcade forma inversaenelotro, sin necesidad de indicar la o las propiedades utilizadas; es decir, realizardespejes:
Siuntrminoestsumandoenunmiembro,aparecerestandoenelotro,ysiestrestando,aparecesumando.
Siuntrminoestmultiplicandoenunmiembro,aparecedividiendoenelotro,ysiestdividiendo,aparecemultiplicando.
Ejemplo1.Observalatransposicindelaecuacin:Solucin:Ya no es necesario indicar cada propiedad queapliquesparadespejarlaincgnita.Con laayudadeestemtodo slo tienesquehacerlossiguientespasos:
Elnmero8queseestabarestandodel ladoizquierdo,pasaalladoderechosumando.
El 2x que se estaba sumando del ladoderecho,sepasadelladoizquierdorestando.
Porltimo,el2quemultiplicaa la incgnita,pasadel ladoderechodividiendoal14,yas,elvalordexes7.
Comprobacin:Sustituyeelvalordexenlaecuacinoriginal:Prctica37En una tienda de ropa para dama, una empleada coloca el precio de $900 a unconjuntodedospiezas,conlaleyendadequeyatieneincluidoundescuentodel25%sobreelpreciodeventa.Culeraelpreciodelconjuntoantesdeldescuento?
xx 2684 +=
xx 2684 +=( ) ( )726874 +=
146828 +=2020 =
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Se mezcla x cantidad de caf cuyo precio es de $69.60 por kilogramo, con 80kilogramos de otro caf cuyo precio es de $100.80 el kilogramo, para obtener unamezcla que puede venderse a $88.80 el kilogramo. Cuntos kilogramos de $69.60debenemplearseenlamezcla?2.3.SolucindeunaecuacinlinealmedianteelmtodogrficoSirecuerdas,unaecuacinlinealoecuacindeprimergradoconunaincgnitaesunaecuacindelaforma:dondexes la incgnitayelcoeficienteapuedeserunacantidadnumricadiferentedecero.Unaecuacindeprimergradooecuacin lineal tiene lasmismascaractersticasquecualquierotraecuacin:
a) Toda ecuacin tiene dos miembros separados por el signo igual. El de laizquierda se llama primer miembro y el de la derecha se llama segundomiembrodelaecuacin.
b) Se les llamatrminosde laecuacinacadaunade lasexpresiones literalesonumricasseparadaspor lossignosdesumaoresta (+o ),ytambinpuedehaberecuacionesconunslotrmino.
c) Resolverunaecuacineshallarunnmeroquealsustituirloen la igualdad lahagaverdadera,estenmerosedenominasolucinorazdelaecuacin.
d) Elgradode laecuacinest indicadoporelmayorexponentede lavariable,queenestecaso,siempreser1.
Paraintroducirnosdellenoalmtodogrfico,queeslaterceratcnicadesolucindeunaecuacinlineal,primeronecesitasconoceralgunosconceptosmatemticos.
2.3.1.Ecuacindeprimergradocondosincgnitas
Unaecuacindeprimergradooecuacinlinealcondosincgnitasseexpresacomo:Si recuerdas,en sesionesanteriores vistequeel conjuntode losnmeros reales serepresenta por la letra R (Figura 6), y que el smbolo significa pertenencia. EstoquieredecirqueloscoeficientesA,ByCpertenecenalconjuntodelosreales,locualindica que pueden tomar cualquier valor: positivo, negativo, fraccionario, entero,racionaloirracional,peroAyBdebenserdiferentesdecero.Laecuacinanterior involucraadosvariableso incgnitas,representadasporxyy,por loqueesevidenteque lasolucindestaecuacinesunaparejadevaloresquesatisfacenlaigualdad.
0con0 =+ abax
0=++ CByAx RCy B A, donde 0By 0,A
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Ejemplo:determinalosvaloresdexyyquesatisfacenlasiguienteecuacinlinealcondosincgnitasx+y=2.Lasolucinmsobviaes:x=1yy=1,yaque1+1=2Sinembargo,x=1.5yy=0.5 tambinesuna solucin.Pero, tambinesuna solucinx=0.5yy=1.5.Procediendodeestamanerapuedesdeterminarunnmeroinfinitodesoluciones.El procedimiento para encontrar todas las parejas de valores de x y y queconstituyenelconjuntosolucindeunaecuacinlinealcondosincgnitasconsisteen:
1. Despejacualquierade lasdosvariables(comnmente,seacostumbradespejarlaincgnitayparaquequedeenfuncindex).
2. Asgnalevaloresalaotravariable.3. Determinaelvalorquelecorrespondealavariablequedespejaste.
Prctica38
a) Dadalaecuacin5x+2y3=0,encuentraalmenostressoluciones.
b) Enelparquedetucoloniaseestableciunacanchadetenisperosintomarencuentalasmedidasreglamentarias.Lonicoquesabesesquesupermetroesde120metros.Cmopuedessabercuntomidensuslados?
Hasta lo quehasvistoahora, ya entendiste la diferencia entre una ecuacin deprimer grado conunaincgnita yotracondos incgnitas?, no?
Analiza los siguientes ejemplos:
Ecuacin conuna incgnita Ecuacin con dos incgnitas
Sisetienela ecuacin Si se tiene la ecuacindespejando la incgnita seobtiene: Lo primero que debe hacerse es
expresarla como funcin, despejando y:
Dando diferentes valores axseobtendrndiferentes valores paray. Algunos deellospueden ser:
Si observas, en la ecuacin lineal con una incgnita se obtiene un slo valor que hace vlida laigualdad, mientras que en la ecuacin lineal con dos incgnitas, una de ellas se convierte en lavariable dependiente (y), ytoma infinitos valores dependiendo de los valores queseleasignen a lavariable independiente (x).
2029 =+x
2029 =+x2209 =x
918=x2=x
0724 =+ yx
0724 =+ yx
27
24 += xy
x -2 -1 0 1 2y 7.5 5.5 3.5 1.5 -0.5
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Prctica39Instrucciones: plantea la ecuacin lineal del problema y resulvela mediante elmtododedespejes.Problemademezclas.Cuntoskilogramosdedulce,cuyoprecioesde$1000cadauno, debenmezclarsecon6kilogramosdeotrodulcequevale$750elkilogramo,paravender lamezclaalpreciode$900porkilogramo?Problemademezclas.Unafloristavendeunarreglocondosdocenasdefloresen$750.Elramoestformadoporrosascuyoprecioesde$500ladocena,ydeclavelesa$300ladocena.Cuntasfloresdecadaespeciedebeponerparaformarelramo?Sugerencia:llamaxalnmeroderosas,y24xalnmerodeclaveles.
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Sesin10Lostemasarevisareldadehoyson:
2.3.2.Introduccinalasfunciones2.3.3.Planocartesiano2.3.4.Lafuncinlinealysurelacinconlaecuacinlineal2.3.5.Graficacinmediantetabulacin2.3.6.Graficacinapartirdelapendienteylaordenadaalorigen2.3.7.Graficacinpormediodelasinterseccionesconlosejes2.3.2.IntroduccinalasfuncionesElconceptodefuncinimplicalaasociacinentreloselementosdedosconjuntos,queporlogeneralsonnmeros,ycuyacorrespondenciaseestablecemedianteunaregladeasociacin.Algunossucesosqueocurrenentuentornosonejemplossencillosdefunciones:
Cuando viajas en autobs o automvil, en un tiempo determinado recorresdistanciasquedependende la velocidad conque sedesplazael vehculo. Ladistanciarecorridaesten funcinde lavelocidad,ycomosabes, laregladeasociacines:distancia=velocidadportiempo.
Latemperaturaoelgradodehumedadambientealolargodeundadependedelahora;esdecir,concadahoraestasociadaunadeterminadatemperaturaociertogradodehumedad,demaneraque latemperaturaohumedadestnenfuncindelahoradelda.
Aldepositardineroenunbancoaciertatasadeinters,obtienesunaganancia.Dichagananciaestenfuncindelatasadeinters.
Unarelacinestablecelacorrespondenciaoasociacinentreloselementosdedosconjuntosdeobjetos.
Ejemplo Acadapersonaseleasocia: unaedad, unaestatura, unpeso,etc. Acadaautomvilseleasocia: unmodelo, unnmerodemotor, unnmerodeplacas,etc. Enunalmacnacadaartculoseleasocia:unprecio, unnmerodeinventario, unvolumen,etc. Acadapasseleasocia: unrgimensocioeconmico, unnombre, unasuperficie, unaalturasobreelniveldelmar,unclima,etc.
EsteestudunvaespeUnaunpquedeldUnaunoyalgunParaEjem
Ejem
En eautorelacelemestaDefinSi caconjufunci
Ma
18 Univers
tipodereladiodeundalorprecisoraunresult
relacinesrimerconjuse llamacodominiolec
funcinesyslounelnasrelacion
distinguiremplo:
mplo:
esta relacimvilyelpcionados comentodeldorelacines
nicindefuada elemenuntoY a trinfdeXe
Dominioarca de Autom
FiatRenaultCitrenToyota
sidadCNCId
acionestameterminadoo,obien,patado.
unaregladuntoqueseontradomincorresponde
una relaciementodenesnosonf
entreunasy
n la reglapasalcualon un misominiolecsunafunci
uncinnto de unravsdeunenY.
mvil
deMxico
mbinseestofenmenoarahacerun
decorrespoe llamadomnio,rangooeunooms
nen laqulrango.Enfunciones.
yotrasrevis
a de correpertenece.smo elemeorresponden.
conjunto Xna reglade
ContraPIta
Fra
Ja
Tallerd
tablecenenodelanatunaestimula
ondenciaquminiocon loorecorridoselemento
ueacadaeconsecuenc
salossiguie
spondenciaObservacu
ento del coeunoyslo
X se asociaeasociacin
adominioasalia
ancia
apn
deMatem
trelasvariaraleza,socicindelos
ueseestabloselementoo,de talmasenelrang
elementodcia,todafu
entesejemp
a se estabulesdoselontradominounodelco
a con exacno corresp
Encorentcapdelysrela
mticasI
ablesqueinal,etc.,yasvaloresent
leceentrelosdeunseaneraqueago.
deldominioncinesun
plos:
lece entreementosdenio; sin emontradomin
ctamente upondencia,
esta relacrespondenctre cada papital. Comodominiolelounodelacinesuna
I Semana
ntervieneneseaparacaltreloscuale
oselementegundoconacadaelem
o lecorrespnarelacin,
una marceldominiombargo, anio,porlot
n elementoestodefine
cin la recia se estas y su resa cada ele
ecorresponrangoentoafuncin.
3y4
enellcularesse
tosdejunto
mento
ponde,pero
ca deestncada
tanto,
o deleuna
egla detablecepectivaementodeunooncesla
TallerdeMatemticasI Semana3y4
19 UniversidadCNCIdeMxico
Elconjuntodeimgenesf(x)constituyenelconjuntoY,alqueseleconocecomorango,contradominioorecorridodelafuncinf.
Cadaelementodeldominioseasociaconexactamenteunelementodelrango,enotraspalabras,unelementodeldominioseasociaconunoyslounelementodelrango.
Las imgenes y o f(x), que corresponden a los elementos x del dominio, sedeterminanmediantelaregladeasociacinocorrespondencia.
Enunafuncin,dosomselementosdeldominiopuedenasociarseconelmismoelementodelrango,cumplindoselomencionadoen ladefinicinacercadequeaun elemento del dominio slo lo corresponde un nico elemento del rango. Sinembargo,elmismoelementodeldominionopuedeasociarsecondoselementosdiferentesdelrango.
Lossiguientescasosejemplificanfunciones:
x1x2x3
xn
f(x1)f(x2)f(x3)
f(xn)
f(x)Conjunto X
Conjunto Y
Dominio Rango
M M
12
34
5
911
13
20
1
15
118
579
21
48
12
20
16879
6
1 2345 3
CASO 1Dos elementos deldominio seasocian con elmismo del rango.Observaqueal elemento 2 deX lecorresponde un nicoelemento deY, el 11.Auncuandoal elemento11deY, se cumple con ladefinicindefuncin.
X Y A B W Z
CASO 2En tres ocasiones, parejasde elementos del conjuntoA se asocian con el mismoelemento delconjuntoB.Aun as, se cumple con ladefinicinde funcin.
CASO 3Todos los elementos delconjuntoW se asocian conel mismo elemento delrango; aunas, se cumpleque cada elemento deldominio se asociacon unslo elemento del rango,por lo tantoes una funcin.
De la definicin anterior convienedestacarlosiguiente: AlconjuntoXseleconocecomo
eldominiodelafuncinf. Alelemento yque corresponde
a determinado elemento x deldominio se le conoce comoimagendexbajofysedenotacomof(x).
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20 UniversidadCNCIdeMxico
NotacindefuncionesLossmbolosmsusadosparadenotarfuncionesson:queseleen: lafuncinfdeXenY faplicaxenlaobtencindef(x) faplicaxenlaobtencindey(estanotacineslaquemsusarsenestecurso)Paradenotar loselementosdeldominiodeunafuncinsepuedeusarcualquier letradelalfabeto(exceptoyparaevitarconfusiones):x,s,t,u,v,w,l,yparadenotarelrangoseusanlossmbolos:Ejemplo:Usode lasimbologapara identificareldominio,rangoy laexpresinde lafuncin.
2.3.3.Planocartesiano
Ladefinicindefuncinimplica,comoyaseexplic,laasociacinentreloselementosdedosconjuntosdados,formndoseparejasdeelementosquepuedenrepresentarsecomo pares ordenados de valores, donde el primer elemento del par pertenece aldominioyelsegundoalrango.ParesordenadosdevaloresAl asociar los elementos de los dos conjuntos se determinan pares ordenados devalores;sedicequesonordenadosporqueelprimerelementosiempreprovienedelprimerconjuntoyelsegundoelementodelsegundoconjunto.Unparordenadodevaloresserepresentacolocandoloselementosqueloconstituyendentrodeunparntesis separando loselementos conuna coma.Por lo general, seidentificaalparmedianteunaletramayscula,comoseilustraacontinuacin.Prctica40Representaenelplanocartesianolossiguientesparesordenados:
Dominio Rango Expresin
x
t
u
f(x)
f(t)
f(u)
)(: xfxf )(: tftf )(: ufuf
YXf : )(: xfxf yxf :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lfwfvfuftfsfxf ,,,,,,
( ) ( ) ( ) ( )6,08,31,32,5 DCBA
( )( )( )( )0,0
5.3,5.45,6
3,5
DCBA
TallerdeMatemticasI Semana3y4
21 UniversidadCNCIdeMxico
Deacuerdoaladefinicindefuncinpuedesidentificarcundounconjuntodeparesordenadosesunafuncinono.Recuerda:UnafuncinfdeXenY,esunconjuntodeparesordenadosdevalores(x,y)talqueparacadaxdeldominiolecorrespondeunanicaydelrango.Sienningunode losparesordenadosdelconjunto, unmismoelementodeldominiose encuentra asociado con dos elementos diferentes del rango, este conjuntorepresentauna funcin. Sino seda lo anterior, concluimosqueno se tratadeunafuncin.Prctica41Verificasilossiguientesparesordenadosrepresentanunafuncin.(3,2)(4,3)(1,0)y(7,2)
(4,2)(5,7)(8,3)(10,3)(3,5)(7,4)y(3,6)
2.3.4.LafuncinlinealysurelacinconlaecuacinlinealCuando la asociacin entre los elementos de dos conjuntos de nmeros reales seestablece mediante una ecuacin de primer grado o ecuacin lineal con dosincgnitas,quevienea ser la regladeasociacino correspondencia, sedefineunafuncinlineal.Lafuncinfdefinidaporlaecuacindeprimergradoolinealcondosincgnitasrecibeelnombredefuncinlineal,dondemybsonconstantes.Laecuacinanteriorseinterpretacomolaasociacinentreloselementosdedosconjuntosdenmerosreales,dondefaplicaxenlaobtencindey.Lamaneramsusualdeexpresarlaecuacines:Anteriormenteyavistequelaecuacindeprimergradooecuacinlinealcondosincgnitasseexpresadelasiguienteforma:lacualpuedetransformarseenlaecuaciny=mx+b,delasiguientemanera:
bmxy +=
bmxyxf +==)( )1(LLLL
0=++ CByAx
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22 UniversidadCNCIdeMxico
2.3.5.GraficacinmediantetabulacinYa que hiciste un repaso de cmo graficar, adems de que conociste un poco defunciones y de ecuaciones lineales, ahora s, vaymonos de lleno con la tercera yltimatcnicadesolucindeecuacionesdeprimergrado:elmtodogrfico.Dadaunaecuacinquedefineaunafuncinlineal,puedesdeterminarinfinitosparesordenadosdevaloresquepertenezcanaella;graficadosestosenunplanocartesianoyunidoslospuntossubsecuentesmedianteunalneacontinua,obtieneslagrficadelafuncin.Ejemplo.Representalagrficadelafuncinlinealdefinidaporlaecuacin:SolucinRecuerdaqueestsdeterminandolaasociacinentreloselementosdedosconjuntosmedianteunaregladecorrespondenciadefinidaporlaecuacindada.
BCAxy =
BCx
BAy =
BAm =
BCb =
bmxy += )2(LLLL
CAxBy =
m representa la pendiente de la recta, es decir, la inclinacin que la recta forma con el eje x. En este caso es el coeficiente de x.
b es la ordenada al origen, es decir, es el valor donde la recta corta, cruza o intersecta a la ordenada o eje y, adems es el valor independiente de la ecuacin (no se multiplica por alguna incgnita).
Del conjuntoX, llamadodominio de lafuncin,eligearbitrariamentecualquierelemento, por eso se le conoce comovariable independiente; por ejemplo,elegidox=3,veamosconculelementodelconjuntoYseasocia.
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23 UniversidadCNCIdeMxico
Comopudisteveren lafigura,elelementoconelqueseasociadelconjuntoYes 7,asegurando que con ningn otro; a estos elementos se les conoce como variabledependienteporquesuvalordependedelasignadoax.Paratrazar lagrficade laecuacin linealnecesitasrealizarunatabulacin;esdecir,debesasignarvaloresalaincgnitaxparacalcularelvalordeycorrespondienteacada uno de ellos y formar los pares ordenados que se localizarn en el planocartesiano.
Prctica42Estprximotucumpleaosyharsunafiestamexicanacon10deliciososplatillosparaunataquiza.Sielkilodetortillascuesta15pesos,completalasiguientetablacolocandoelprecioapagarporxkilosdetortillas.Sillenaslatablaygraficassucontenido,quformatendrlagrfica?
Kilosdetortillas
Precioapagar
1 15
2
3
4
5
6
7
8
x f(x) Pares ordenados
-3 -7 A(-3, -7)
0 2 B(0, 2)
3 11 C(3, 11)
5 17 D(5, 17)
La grfica se obtiene uniendolos puntos A, B, C, Dmediante una lnea continua,como lo puedes observar enla figura 13.
Tabulacin de los pares ordenados
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24 UniversidadCNCIdeMxico
2.3.6.GraficacinapartirdelapendienteylaordenadaalorigenEnunafuncinlinealhaydosvaloresquetienenmuchaimportancia,elprimeroesb,laordenadaalorigen,queeselnmeroenelque la funcin intersectaalejede lasordenadasoejey.
Elotrovalor importanteenunafuncin linealesm, lapendiente, lacualsedefinecomo el incremento en y, que se representa por y (se lee: delta y), entre elincrementoenx,representadoporx(deltax).Estarelacindeterminaelnmerodeunidadesquecambiayporcadaunidaddecambioenx:Elsignodelapendienteinfluyedirectamenteenlainclinacindelarecta:
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25 UniversidadCNCIdeMxico
Prctica43Ejemplo1.Trazalagrficadeunafuncinlinealquepasaporelparordenado(1,1)yquetienependiente.2.3.7.GrficapormediodelasinterseccionesconlosejesExisten ciertos pares ordenados caractersticos que facilitan la construccin de lagrficadeunafuncinlineal.La funcin lineal representada grficamente es una lnea recta, y por lomismo, esposible trazarla conociendo slodospuntosde lamisma, loque significaqueparaconstruiresagrficadebesconocerdosparesordenadosdevaloresnicamente.Lospares ordenados ms sencillos de determinar son aqullos donde la grfica de lafuncinintersectaocruzaalosejescoordenados.
Prctica44Construyelagrficadelafuncinlinealdefinidaporlaecuacindeterminandonicamentesusinterseccionesconlosejescoordenados.
Si m > 0, es decir, si es positiva:La recta est inclinada hacia la derecha
Si m < 0, es decir, si es negativa:La recta est inclinada hacia la izquierda
Grfica de la funcin g(x)= -x-5
Pendientepositiva
1=m
Grfica de la funcin h(x)=x+2
Pendientenegativa
1=m
En la Figura 24 se representan lasgrficas de dos funciones linealesidentificadas por (1) y (2).
La interseccin de (1) con el eje x seidentifica con A, la caracterstica deeste punto es que su ordenada y of(x) es igual a cero.
La interseccin de (1) con el eje y seidentifica con B, la caracterstica deeste punto es que la abscisa x esigual a cero.
Grfica de dos funciones lineales intersectando los ejes
23
63 += xy
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26 UniversidadCNCIdeMxico
Sesin11Lostemasarevisareldadehoyson:
3.Sistemadeecuacioneslinealescondosincgnitas3.1.Clasificacindelossistemasdeecuaciones3.2.Mtodosdesolucindesistemas223.2.1.Mtododesumayresta3.2.2.Mtododesustitucin3.2.3.Mtododeigualacin3.2.4.Mtodogrfico
3.SistemasdeecuacioneslinealescondosincgnitasUnsistemadeecuacionesesunconjuntodeecuacionesparalascualessebuscaunasolucincomn.Una solucin comn de un sistema de dos ecuaciones con dos variables es un parordenadodevaloresquehacequeambasecuacionesseanverdaderas.A un sistema de ecuaciones tambin se le conoce con el nombre de ecuacionessimultneasdebidoaque lasolucindeunsistemasatisfacetodas lasecuacionesalmismotiempo,esdecir,simultneamente.DefinicinUnsistemadeecuacioneslinealescondosincgnitasosistemadeecuaciones22osistemadeecuaciones simultneas, suele representarseempleando la letraa conloscorrespondientessubndicespara loscoeficientes; lax,consussubndicesparalasincgnitasylabparalostrminosindependientes,porloquesurepresentacines:
dondea1,1 = Coeficientede la ecuacin1 y de la variable x1.a1,2 = Coeficientede la ecuacin1 y de la variable x2.a2,1 = Coeficientede la ecuacin2 y de la variable x1.a2,2 = Coeficientede la ecuacin2 y de la variable x2.
x1 = Incgnita 1 o literal 1.x2 = Incgnita 2.
b1 = Trmino independiente 1.b2 = Trmino independiente 2.
=+
=+222,211,2
122,111,1
bxaxabxaxa
Interseccin de dos planos
=+=+feydxcbyax
Por sencillez y por costumbre, a la incgnita 1 se le suele llamar x, y a la incgnita 2 se le llama y.Adems, se procura evitar el empleo de subndices debido a que pueden resultar confusos, por loque, un sistema de ecuaciones 2 2 se suele representar por:
Perosiste3.1.CAlmcasos
Estegrfi
Porde e
se c
esecu
Obs
Siincqueunaendelesta
27 Univers
, cmo semadeecua
Clasificaciomentodes:
Sistemaco
Sistematipo de sicasondos
ejemplo, lasecuaciones lin
cortan o inter
decir, la saciones 2 2
serva la soluc
recuerdas, ugnitas repree un sistemaa representacel plano carsistema el
as dos rectas
Sistema couna soluci
La representcortan en unpunto son la
Por ejemploecuaciones:
se muestra e
sidadCNCId
e obtuvo laaciones22
ndelossiseresolveru
ompatible.
compatiblestema admrectascoin
rectas que gneales 2 2:
rsectan en el
solucin dees x=2 y y
cin en la Figu
=+=+
425
yxyx
una ecuacinesenta una
de dos ecucin grfica crtesiano, sienpunto de i
s.
ompatible den.
tacin grfican punto; los vsolucin al s
o, la nica so
en la Figura 2
+
4243yxyx
deMxico
a solucin?,peroprim
temasdeensistemad
Estetipod
eindetermimite un nmncidentes.L
genera el siste
punto:
el sistemay=3.
ura 1.
n lineal conrecta, de m
uaciones permcomo dos recndo la solucinterseccin
eterminado.
a son dos recvalores de xistema.
olucin del
2.
==16
6
Tallerd
? Ms adeleroconoce
ecuacionesdeecuacion
esistemad
inado.Tienmero infinasdosecua
FS
ema
de
dosmodo
mitectascinn de
Tiene solo
ctas que sey y de ese
sistema de
deMatem
lante verselaformaco
nessepued
deecuacion
eunnmeito de soluacionesson
Figura 1. GrficaSu solucin es x
Figurcione
mticasI
s 5 formasomoseclas
denpresent
essitienes
roinfinitoduciones; suequivalent
a de un sistemax=2 y y=3.
ra 2. Grfica de ues 2 2. Su soluc
I Semana
de resolvesifican.
tarlossiguie
soluciones.
desolucionu representtesyunade
a de ecuaciones
un sistema de ecin es x=2 y y=
3y4
er un
entes
nes.acineellas
s 2 2.
ecua-3.
TallerdeMatemticasI Semana3y4
28 UniversidadCNCIdeMxico
sepuedeconsiderarcomo redundante,debidoaquecualquierpuntode la rectaessolucindelsistema.Porejemplo,elnmeroinfinitodesolucionesdelsistemadeecuaciones:
Sistemaincompatible.Estetipodesistemanotienesolucin.Enestecaso, su representacingrfica sondos rectasparalelas,esdecir,no tienenningnpuntoencomnporquenosecruzanocortan.Elcumplimientodeunadelasecuacionessignificaelincumplimientodelaotrayporlotantonotienenningunasolucinencomn.Porejemplo,lasdosrectasparalelasdelsistemadeecuaciones:
Lasiguientetablamuestra las4caractersticasquedescribenacadatipodesistemasdeecuaciones.
Figura3. Grfica de un sistema de ecuaciones 2 2. Las soluciones son todos los puntos de la recta.
Grficamente se obtienen dos rectascoincidentes, es decir, una recta encima deotra. Por lo tanto, todos los puntos que selocalicen en esa recta, son solucin delsistema 2 2.
Figura4. Grfica de un sistema de ecuaciones 2 2. No tiene solucin, las rectas paralelas no se cruzan.
Grficamente se obtienen dos rectasparalelas que nunca se cruzarn. Por lotanto, este sistema de ecuaciones 2 2 notiene solucin.
=+=+
2221
yxyx
=+=+
2223
yxyx
TallerdeMatemticasI Semana3y4
29 UniversidadCNCIdeMxico
3.2.Mtodosdesolucindesistemasdeecuaciones22Ya sabes loque son los sistemasdeecuaciones lineales22ycomo seclasificandeacuerdo a la cantidadde solucionesque tiene.Ahora,partiendodeque tendrsunsistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos incgnitas como elsiguiente:entonces, resolverel sistemaconsistirenencontrar losvaloresdexydeyquesatisfaganlasdosecuacionessimultneamente.Los5mtodosderesolucindesistemasdeecuacionesquepuedesutilizarson:
1. Sumayresta.2. Sustitucin.3. Igualacin.4. Mtodogrfico.5. Determinantes.
3.2.1.MtododesumayrestaTambinrecibeelnombredemtododereduccinomtododeeliminacinyeselms fcil de aplicar. Consiste en eliminar una variable sumando las ecuacionesoriginaleso susequivalentes;paraelloesnecesarioque lamismavariable tengaenambasecuacionescoeficientesinversos.Ejemplo. Lacompetencia caninadeagilityconsisteenqueelperro,dirigidopor sugua,supereuncircuitodeobstculosenelmenor tiempoposible.Elguanopuedetocarasuperronialosobstculosyelperrocompitesincollarnicorrea.Sinembargo,las sealesverbalesyvisuales sonpermitidas.Cada faltaal superarunobstculo sepenaliza quitndole puntos al equipo humanoperro. Asimismo, existe un tiempoestndarparacadacircuitoysepenalizaalequipoquetardemsqueesetiempo.
SISTEMA
COMPATIBLEDETERMINADO
COMPATIBLE INDETERMINADO INCOMPATIBLE
La solucin es nica.
Analticamente se obtiene un valor para x y un valor para y.
Grficamente las rectas se intersectanen un punto.
Las rectas tienen distinta pendiente.
Tiene infinitas soluciones.
Analticamente se llega a la expresin: 0x=0 o bien a 0y=0.
Grficamente las rectas son coincidentes.
Las rectas tienen igual pendiente e igual ordenada al origen.
No tiene solucin.
Analticamente se llega a la expresin: 0x=a o bien 0y=a, siendo a0.
Grficamente las rectas son paralelas.
Las rectas tienen igual pendiente y distinta ordenada al origen.
=+=+feydxcbyax
TallerdeMatemticasI Semana3y4
30 UniversidadCNCIdeMxico
Supn que en una competencia de agility entre los perros y sus guas suman 18cabezasy52extremidades inferiores(piesypatas).Podras indicarcuntosperrosycuntosguashayenlacompetencia?SolucinPara resolver cualquier problema de este tipo, tienes que formar el sistema deecuaciones,esdecir,debesdeterminardoscosas:
1. Culessonlasincgnitasy2. Qurelacinhayentreellas.3. Enestecasolapropiapreguntadiceculessonlasincgnitas:elnmerode
perrosyelnmerodeguas.
4. Entonces,definamos:
5. x=Nmerodeperros
6. y=Nmerodeguas
Sabesquecadaperroycadaguatienenunasolacabeza,porlotanto,elnmerodeperrosporunacabeza,mselnmerodeguasporunacabezatambin,tienenquesumar18:
Porotrolado,losperrostienencuatropatasylosguas2pies,porlotanto,elnmerodeperrospor4patascadauno,mselnmerodeguaspordospiescadauno,tienenquesumar52:
Lasdosecuacionesanterioresformanunsistemadeecuacioneslinealescondosincgnitasotambinllamadosistemadeecuacionessimultneas22:
Lacuestinesencontrarlosvaloresdexyyquecumplanlasdosecuacionesalmismotiempo.
Sia laprimeraecuacin lanumeramos como (1)ya la segundaecuacin como (2),entonces:Ahoras,resolvamoselsistemadeecuacionesporelmtododereduccin.Pasospara resolverun sistemadeecuaciones22medianteelmtodode sumayrestaLa parte importante de este mtodo es que busques en el sistema de ecuacionescoeficientes simtricosen lamisma literal,porejemplo, sise tieneel trmino9xenunaecuacin,seesperaqueseobtengadealgunamanera9xenlaotraecuacin.En casodeque la ecuacin tenga todos los coeficientesdistintos, es necesarioquemultipliques losmiembrosdeunade lasecuaciones,demaneraque segeneren losnmerossimtricos.Sielsistemayacumplecon lacondicinmencionada,entoncesrealiza lossiguientespasos:
1811 =+ yx
5224 =+ yx
=+=+
522418
yxyx
( )( )
=+=+
25224118
LLLLLLLL
yxyx
1
2
3
Elsis
Loqucumpmult
MultparaPaso
PorlPasoordePasolaincconlguas
31 Univers
1. Suma losincgnita
2. Despeja ldelaslit
3. Sustituyeecuacion
stemaquet
uedebeshaplacondichiplicaryqu
tiplicalaecueliminarla
o1.Sumala
otanto,lan
o2.Despejanado:
o3.Sustituycgnitaque
loqueyates.
+8
sidadCNCId
miembrosasyseformanuevaecerales. el valornesoriginal
tratasderes
aceresmulthacondicineaprovech
uacin(1)variablex,
sdosecuac
nuevaecua
ar la incgn
yeelvaloraefalta.Ennu
enemoslas
++
24xx
=162x
=18y
deMxico
de lasdosmeunanuevcuacinque
de la incesydespeja
solvernopr
tiplicaralgun.Esimporteslascarac
por2paratdecidec
cionespara
cines:
nitade lan
anteriorenuestrocaso
solucinde
==
52218
LL
yy
(=+=+
5241
yxyx
=+=
2422yxyx
2x
x
Tallerd
ecuacionevaecuacinetienesde
gnita delalaliteralq
resentanm
unadeellastantequebctersticasd
aeliminarlcualdelasd
formaruna
uevaecuac
cualquierao,sustityel
elproblema
( )( 21
LLLLLLLL
)( )52
218
==5236
16=x
=2
16x
= 818y
deMatem
s,demanen.maneraqu
paso antequehacefal
merossim
porunnmbusquesnmelsistema.
avariableydosvariable
anuevaecu
cinyobte
delasecuaoenlaecua
:Enlacom
))
x
mticasI
eraqueelim
eobtengas
rior en cultaencontra
tricosenla
mero,demamerosquer
y(podrasmesdeseasel
uacin:
nerelprim
acionesorigacin(1):
mpetenciah
8=
1=y
I Semana
minesunad
selvalorde
ualquiera dar.
sliterales:
aneraqueresultesenc
multiplicarpiminar).
mervalorde
ginalesyde
ay8perros
0
3y4
de las
euna
e las
cillo
por4
elpar
espeja
sy10
TallerdeMatemticasI Semana3y4
32 UniversidadCNCIdeMxico
ComprobacinPuedescomprobarestosresultadossustituyndolosenelsistemadeecuaciones:Enresumen,apartirdeunproblemaenformadetexto,hasidentificadolasincgnitasyhasestablecidolasrelacionesquehayentreellas,dandolugaraunsistemaquetienetantas ecuaciones independientes como incgnitas. Resuelto el sistema, tienes lasolucin,quepuedescomprobarqueescorrectaeneltextooriginal.Prctica45Una seora tienebilletesde200 yde500pesosen su cartera. Sien total tiene20billetes,yeltotaldedineroensucarteraesde$7300,cuntosbilletestienedecadadenominacin?3.2.2.MtododesustitucinComosunombreloindica,enestemtodosedespejaunavariabledeunadelasdosecuaciones y se sustituye en la otra para que slo quede una variable. Tiene unaaplicacin fundamental en Fsica y Qumica cuando es necesario resolver algnproblemaenelquesedesconocendosomscantidades.Pasospararesolverunsistemadeecuaciones22medianteelmtododesustitucin
1. Toma una de las ecuaciones del sistema y despeja una de las literales, depreferencialaqueseamsfcildedespejar.
2. Sustituyeenlaotraecuacinelvalordelaliteraldespejadaenelpasoanterior,paraasobtenerunanuevaecuacinconunaincgnita.
3. Despejalaincgnitadelanuevaecuacin.4. Sustituyeelvalorde la incgnitadespejadaen laexpresinqueobtuvisteenel
primerpasoparadeterminarelvalordelaotravariable.Ejemplo.Unhotelde5estrellas tienehabitacionesdobles (2camas),yhabitacionessencillas (1 cama). En total el hotel tiene 50 habitaciones y 87 camas. Cuntashabitacionestienedecadatipo?Loprimeroquedebeshaceresplantearelsistemadeecuaciones22:Si x=Nmerodehabitacionessencillas y=Nmerodehabitacionesdoblesentonceselsistemadeecuacioneses:
18=+ yx 5224 =+ yx18108 =+
1818 =( ) ( ) 5210284 =+
522032 =+5252 =
=+=+
872150
yxyx
TallerdeMatemticasI Semana3y4
33 UniversidadCNCIdeMxico
Paso1.Despejaunadelasliteralesovariablesdecualquieradelasdosecuaciones.Comopuede ser cualquierade lasdosecuaciones y cualquierade lasdos variables,entonces,sedespejarxdelaprimeraecuacin:Paso 2. Sustituye lo anterior en la otra ecuacin del sistema y obtn una nuevaecuacinconunaincgnita.Paso3.Despejalaincgnitadelanuevaecuacin.Paso4.Sustituyeelresultadoanteriorenlaecuacindelpaso1.Por lo tanto,elhotelde5estrellas tiene13habitacionessencillasy37habitacionesdobles.ComprobacinPuedescomprobarlosresultadossustituyndolosenelsistemadeecuaciones:Prctica46Unfanticodelasseriestelevisivascompr5DVDsdelaserieSmallvilley4DVDsdelaserieLosten390pesos.Posteriormente,volviacomprar4DVDsdeSmallvilley2DVDsdeLosten$240.CuleselpreciodelosDVDsdecadaserie?3.2.4.MtododeigualacinEstemtodoesunpocomslargoyaquesebasa,comosunombrelomenciona,enlaigualacindelasdosecuacionesapoyndoseenqueambastienenelmismovalorenelpuntodeinterseccin.Pasospararesolverunsistemadeecuaciones22medianteelmtododesustitucin
1. Tomaunadelasecuacionesydespejaunadelasincgnitasdelaecuacin.2. Despejalamismaliteralenlaotraecuacindelsistema.3. Por la propiedad transitiva de la igualdad, puedes igualar las dos literales
despejadasencadaecuacinparaobtenerunanuevaecuacin.4. La ecuacin que obtuviste en el paso anterior es de primer grado con una
variable,despejalaincgnitaquetiene.5. Sustituye el valor de la literal que obtuviste en alguna de las ecuaciones
despejadasdelpaso1odelpaso2.
50=+ yxyx = 50
8721 =+ yx( ) 872501 =+ yy87250 =+ yy8750 =+ y
8750 =+ y5087 =y
37=yyx = 503750=x
13=x
50=+ yx 8721 =+ yx503713 =+5050 = ( ) ( ) 87372131 =+ 877413 =+
8787 =
TallerdeMatemticasI Semana3y4
34 UniversidadCNCIdeMxico
Recuerdaque
Lapropiedadtransitivadelaigualdadindicaquesia=byb=c,entoncesa=c,esdecir,sidosexpresionesson igualesauna tercera,entoncesstasson igualesentres.Porejemplo:
Si1+3=4y4=22,entonces:1+3=22
Ejemplo.Una pizzera vende dos tipos de pizzas tamao individual:mexicana a 40pesosyhawaianaa60pesos.Unanochevendieron74pizzasyserecaudaron3660pesos.Cuntaspizzassevendierondecadatipo?SolucinLoprimeroquedebeshaceresplantearelsistemadeecuaciones22:Sidefines x=Cantidaddepizzasmexicanasvendidas. y=Cantidaddepizzashawaianasvendidas.entonceselsistemadeecuacioneses:Ahoras,resuelveporelmtododeigualacin.Paso1.Tomaunadelasecuacionesydespejaunadelasincgnitas.Comopuedes seleccionarcualquierecuacin, se recomiendaque sea lams fcildedespejarincgnitas.Enestecaso,seleccionalaecuacin1ydespejacualquiervariable,digamos,lax:Paso2.Despejalamismaliteralenlaotraecuacindelsistema.Paso3.Por lapropiedad transitivade la igualdad,puedes igualar lasdos incgnitasdespejadasencadaecuacinparaobtenerunanuevaecuacin.Paso 4. La ecuacin que obtuviste en el paso anterior es de primer grado con unavariable.Despejalaincgnitaquetiene.
=+=+
3660604074
yxyx
74=+ yxyx = 74
36606040 =+ yxyx 60366040 =
40603660 yx =
4060366074 yy =
xx =
35=y
( ) yy 6036607440 = 4060366074 yy =
yy 603660402960 =yy 406036602960 +=
y20700 =y=
20
700
TallerdeMatemticasI Semana3y4
35 UniversidadCNCIdeMxico
Paso5.Sustituyeelvalorde la incgnitaqueobtuvisteenalgunade lasecuacionesdespejadasdelpaso1odelpaso2.Enestecaso,enlamssencilladelasdos,eneldespejedelaecuacin1:Porlotanto,esanochesevendieron39pizzasmexicanasy35hawaianas.
Prctica47
Unacuerdade120metrossetienequecortarendospartes,detalmaneraqueunapartesea12metrosmayorquelaotra,Culeslamedidadecadaparte?
3.2.5.MtodogrficoEnestemtodosetrazandosrectasenelmismoplanocartesianoparadeterminarlainterseccin(puntodondesecruzan)yentoncesdefiniraesepuntocomolasolucindelsistema.Pasospararesolverunsistemadeecuaciones22medianteelmtodogrfico
1. Representacadaunadelasecuacionesquecomponenelsistemacomounpardefunciones,esdecir,despejalaincgnitaydecadaecuacin.
2. Traza la grfica de cada funcin utilizando alguno de los mtodos vistos lasemana pasada (por tabulacin, conocidos la pendiente y ordenada, y porinterseccinconlosejes).
3. Localizardondelasrectasquedeterminanlasfuncioneslinealessecortan.4. Asocialosvaloresdexyydelacoordenadaalasolucinquesatisface.
Ejemplo1.Carmengasta55pesosenlacomprade17gomitasychicles.Lasgomitaslecostaron$2.60yloschicles$3.50cadauno.Cuntosdulcesdecadatipocompr?SolucinSi x=Cantidaddegomitascompradas. y=Cantidaddechiclescomprados.entonces,elsistemadeecuacionesquerepresentaalproblemaes:
Paso 1. Despejar de cada ecuacin la incgnita y y represntalascomo funciones:
Paso 2. Trazar la grfica de cada funcin mediante el mtodo seleccionado. En este caso sedecidi utilizar la tabulacin:
17=+ yx 5550.360.2 =+ yxxy = 17 yx 50.35560.2 =
yx =
50.35560.217)( += xxf
50.35560.2)(
= xxf
yx = 743574=x
39=x
=+=+
5550.360.217
yxyx
PasoObsepuedposibecuaElpuPasoecuaelvaPorlPrcDosautoecuaDeac
36 Univers
o3.Identifierva que exde interpretble que deciones.untodeinte
o 4. Relaciociones.Reclordexy
otanto,Ca
ctica48hermanos, al mismociones:
TrayectoTrayecto
cuerdoalo
x12345678910
Tabla de la fun
sidadCNCId
caelpuntoxiste un putarse comoetermines lo
erseccinse
ona las cocuerdaqueydespusel
armenpag
JuanyPedo tiempo y
oriadeJuanoriadePedranterior,
f(x)16151413121110987
ncin f(x)=-x+1
deMxico
dondelasrunto en elo la solucios valores
eencuentra
oordenadasse llamanldey:
$55enlac
dro,seponey caminan
:ro:enqupun
Pun
7
( ,5
23 + yx23 + yx
Tallerd
rectassecocual las recn del sistemde las inc
en(5,12).
del puntoparesorde
comprade
endeacuerdescribien
ntoseencon
nto de intersecc
) (12 x
08 =08 =y
deMatem
ortan.ctas se corma. Es decgnitas que
o con lasnadosporq
5gomitasy
rdopara irdo como t
ntrarnlos
cin
Ta
) )(, xfx
mticasI
rtan. Este pcir, que a pe satisfacen
incgnitasquesiempre
y12chicles
decampamtrayectorias
dosherman
x12345678910
bla de la funci
( ) , yx
I Semana
punto en copartir de aqn el sistem
del sistemeestarpri
.
mento.Sales las sigui
nos?
f(x)15.014.213.512.712.011.310.59.89.08.3
n f(x)= 2.60x-5-3.50
==
125
yx
3y4
omnqu esma de
ma demero
endelentes
55
25
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37 UniversidadCNCIdeMxico
Sesin12Lostemasarevisareldadehoyson:
3.2.5.Mtodopordeterminantes4.Sistemadeecuacioneslinealescontresincgnitas4.1.Mtodosdesolucindesistemas334.1.1.Mtodogrfico4.1.2.Mtodopordeterminantes4.1.3.Mtododesustitucin
3.2.5.MtodopordeterminantesEl mtodo de solucin de un sistema de ecuaciones lineales 22 mediantedeterminantesse llamaRegladeCramerenhonordeGabrielCramerque fuequienescribilaregla.Undeterminanteesunarreglomatemticoqueconstadeciertonmeroderenglonesy de columnas. Para resolver un determinante se debe realizar una resta demultiplicaciones,esdecir,esunaoperacinquedacomoresultadounnmeroreal.Existendiferentesrdenesdedeterminantes,porejemplo,desegundoorden:
Todoslosdeterminantesdebensercuadrados,esdecir,debentenerelmismonmeroderenglonesydecolumnas:22,33,44,Eldeterminante
estformadoporcuatronmerosquesonsuselementos:3,5,2,4.Silosacomodasenunordenespecial: 3,5y2,4sonrenglonesosi 3,2y5,4soncolumnas.Sidebesresolverundeterminantedelaforma:
entonces,suresultadoseobtienepor:
3 -52 4 Las lneas | |, representan un determinante.
Es de segundo orden porque tiene 2 renglones y 2 columnas.
Columnas
Renglones
3 -52 4
a bc d
ParanecedeecLos cimpoacalcont
Paso
1Para
23
4
Diasecu
=
38 Univers
utilizar deesarioquepcuacionesli
coeficientesortantesdeblcular losvainuacin:
osparareso1. Establececadaunod
2. Colocaun3. Coloca u
cantidad4. Restaalre
gonal undaria
edba ==
sidadCNCId
eterminantepongasatenineales22
s (a, b,bidoaquealoresde la
olverunsisteloscoeficiedelostresdaflechaquna flechades.esultadode
Multiplicb por c
( )( ) (bea =
deMxico
es en la soncinalossereprese
, d y eseutilizanpas incgnita
LelaEsue
temadeecuentesenlosdeterminantepaseporque pase
eladiagona
ca c
ac
)( )db
Tallerd
olucin decoeficiententapor:
) y los trmparacalculaasxyy
=Delta.etra maysatinaD.seldetermtiliza loscuaciones.
uaciones2stresdetertes:ladiagonalpor la d
lprincipal,e
bd
da
deMatem
sistemas dsdelsistem
minos indeartresdete. Esosdet
scula grieg
minantegen4 coefic
2mediantminantesa
principalyiagonal se
elresultado
= (a)(d) -
Multa p
=+=+feydxcbyax
mticasI
de ecuacioma.Sirecue
ependienteserminantesterminante
ga que rep
neral,no ticientes de
teelmtodresolver.
multiplicalecundaria y
odeladiago
(b)(c)
tiplica or d
I Semana
ones linealeerdasunsis
s (c y fqueteayudssedescrib
presenta la
iene subndel sistema
ogrfico
ascantidady multiplic
onalsecund
Diagprin
3y4
es, esstema
) sondarnbena
letra
diceya de
des.a las
daria.
gonal cipal
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39 UniversidadCNCIdeMxico
Ejemplo.Resuelveelsiguienteproblemautilizandodeterminantes.
Losboletosparaunaexcursinsondedosprecios:$50paralosniosy$100paralosadultos. Si se pagaron $7 250 en total y asistieron 90 personas, cuntos nios ycuntosadultosfueronalaexcursin?
SolucinLoprimeroquedebeshaceresestablecerelsistemadeecuaciones22.Si x=Cantidaddeniosenlaexcursin. y=Cantidaddeadultosenlaexcursin.
entonces, el sistema es:
Representando lo anterior sin las literales:
Paso 1. Establece los determinantesa resolver:
=+=+
72501005090
yxyx
7250100509011
Coeficientes Trminos independientes
fedcba
Para cada uno de los tres determinantes:
Paso 2. Coloca una flecha que pase por la diagonal principal y multiplica las cantidades.
Paso 3. Coloca una flecha que pase por la diagonal secundariay multiplica las cantidades.
1005011=
1007250190= x
725050901= y
(1)(100)=100
(90)(100)=9000
(1)(7250)=7250
1005011=
(1)(50)=50
1005011==
edba
1007250190==
efbc
x
725050901==
fdca
y
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40 UniversidadCNCIdeMxico
Prctica49SusanalediceaKarina:tupesoyeldobledelmosuman130Kg.KarinalediceaSusana:tupesoyeldobledelmosuman140Kg.Cuntopesacadaunadelaschicas?4.SistemadeecuacioneslinealescontresincgnitasRecuerdaqueunsistemadeecuaciones linealesesunconjuntodeecuacionescuyasvariablesdebensatisfacerlascondicionesplanteadassimultneamente.Unsistemadetresecuacioneslinealescontresincgnitassiempresepuedeescribirdelaforma:
Paso 4. Resta al resultado de la diagonal principal, el resultado de la diagonal secundaria.
La solucin del sistema de ecuaciones se obtiene con:
Por lo tanto, en la excursin se encuentran 35 nios y 55 adultos.
1007250190= x 725050
901= y
(1)(7250)=7250 (90)(50)=4500
= 100 50 = 50
x = 9000 7250 = 1750
y = 7250 4500 = 2750
3550
1750 === xx 55
502750 ==
= yy
dondea1,1 a3,3 = Coeficientes de las incgnitas.x1 x3 = Incgnitas del sistema.b1 b3 = Trminos independientes.
O como comnmente se representanpor:
=++=++=++
333,322,311,3
233,222,211,2
133,122,111,1
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
=++=++=++
3333
2222
1111
dzcybxadzcybxadzcybxa
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41 UniversidadCNCIdeMxico
4.1.Mtodosdesolucindesistemas33Pararesolversistemasdeecuaciones33puedesutilizarlosmtodosqueusastepararesolversistemas22comoeldesumayresta,eldeigualacin,eldesustitucinolosdeterminantes.Enestaocasin,sloestudiarslossiguientesmtodos:
1. Mtodopordeterminantes.2. Mtodoporsustitucin.
Sirecuerdas, lossistemasdeecuaciones lineales2x2seexpresangrficamentecomorectas que pueden estar en tres casos: con solucin, sin solucin y con mltiplessoluciones.De igualmanera lasecuaciones linealesdetres incgnitasseexpresanenun sistema tridimensional como un plano infinito. Por supuesto que no podemosdibujarunplanoinfinito,porloqueslosedibujaunapartedelosplanos.Unaecuacin linealdetres incgnitasrepresentaunplanoquepuedeserubicadoenunsistemadetresdimensionesconejesqueestnmutuamentea90:
TallerdeMatemticasI Semana3y4
42 UniversidadCNCIdeMxico
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43 UniversidadCNCIdeMxico
Siobservaste, lasgrficassonmuycomplicadasdehacer,puesyasontrespuntos losque debes localizar en el plano cartesiano, es por ello, que slo vers mtodosanalticoscomoelquesigue.4.1.1.MtodopordeterminantesAqutambinseaplicalaregladeCramer,sirecuerdas,consisteentrabajarsobreloscoeficientes de las ecuaciones que forman el sistema. De esta manera, dado unsistemadeecuaciones33:Representandoelsistemaanteriorcomounarreglomatricial,dondeslosecolocanloscoeficientessonlasliterales,ylostrminosindependientes,setieneque:
Unamaneraquepuedeayudarteacalculareldeterminantedeunarreglomatricialde33,seobtieneagregandolasdosprimerasfilasenlaparteinferiordelarreglo.Lassolucionesdelos4determinantesson:
El determinante general se obtiene con:
Los determinantes de x, y y z se obtienen de la misma manera que para un sistema 2 2, es decir, encada uno se va reemplazando la columna de la variable correspondiente por los trminosindependientes, segncorresponda:
De esta manera, la solucin del sistema est dada por:
333
222
111
cbacbacba
=
333
222
111
cbdcbdcbd
x =333
222
111
cdacdacda
y =333
222
111
dbadbadba
z =
= xx
= yy = zz
=++=++=++
3333
2222
1111
dzcybxadzcybxadzcybxa
3333
2222
1111
dcbadcbadcba
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44 UniversidadCNCIdeMxico
Ejemplo.EntreArmando,BeatrizyCarlos tienen140pesos.Armando cuenta coneldoble de pesos que Carlos. Tambin Armando tiene $10ms que Beatriz. Cuntoposeecadauno?SolucinPrimerodefinelasincgnitas: x=DineroqueposeeArmando(pesos). y=DineroqueposeeBeatriz($). z=DineroquetieneCarlos($).
333
222
111
cbacbacba
=
333
222
111
cbacbacba
333
222
111
cbdcbdcbd
x =
333
222
111
cbdcbdcbd
( )213132321213132321 abcabcabccbacbacba ++++=
( )213132321213132321 dbcdbcdbccbdcbdcbd ++++=
333
222
111
cdacdacda
y =
333
222
111
dbadbadba
z =
333
222
111
dbadbadba
( )213132321213132321 adcadcadccdacdacda ++++=
( )213132321213132321 abdabdabddbadbadba ++++=
AhorPorlComvalor
Losd
=
==
= x
==
x
x
= y
==
y
y
45 Univers
raplantealaEntrelostArmandoArmando
otanto,els
osabes,esrdelasinc
determinant
011201
111
333
201111
cba
(5
210
110001140
=
33
101140
bd
3002000
=+=
33
011401
cda
010101
11401=
250280100
=+=
sidadCNCId
asecuaciontrestienentieneeldobtiene$10msistemade
necesarioqgnitas,por
tesson:
2
3
2
)0)(1(=
( )020 =++
02
1
3
21
c
)(140(=
( 02800 ++
3
21
c
02
1
)(0)(1(=
( 2000 +
deMxico
nesqueseg140pesos:bledeCarlomsqueBeaecuaciones
quecalculerlotanto,el
1)(1()0( +
210 =
)(0()0)(0( +
) 2000 +=
1)(10)(1()0 +
) 1000 +=+
Tallerd
generandelos:atriz:slineales3
slos4detelarregloma
)(1)(1()1)( +
020
)1)(10()1)(1 +
280020
)(140)(1()1 +
20280 +
=++ zyxzx 2== yx
deMatem
problema:
3aresolve
erminantesatricialdels
[ 0)(1()2
[ )0)(1()2)(
0
[ )(0)(1()2
020
140=10+y
mticasI
res:
paraasposistemaant
)(2()1)( +
)(2()10)( +
)10)(2()1( +
+
xxx
I Semana
oderenconteriores:
)(0()1)(1 +
)0()140)(1 +
140)(0()1)( +
===+
100214
yzzy
3y4
trarel
])1)(1(
])0)(1(
])1)(
40
TallerdeMatemticasI Semana3y4
46 UniversidadCNCIdeMxico
Prctica50Unganaderodeseahacernegociosdecompraventadeanimalesconunvecino,perotieneunproblemayaqueelvecinonoledicecualeselpreciodecadaanimal,sloledicelosiguiente:
Sivendesdosvacasycincocabrasparacomprar13cerdostesobran1000pesos. Si vendes seis cabras y ocho cerdos para comprar cinco vacas, tendrs una
prdidade$600. Sivendes tresvacasy trescerdos tealcanzaexactamenteparacomprarnueve
cabrasCulessonlospreciosdeunavaca,deunacabraydeuncerdo?4.1.2.MtodoporsustitucinSirecuerdas,enestemtodosedespejabaunavariabledeunadelasdosecuacionesyse sustituaen laotraparaque sloquedarauna variable.Eneste caso, sehar lomismo,delas3ecuaciones,sedespejarunavariablededosdeellas,despusseharlomismoconlatercera.Pasospararesolverunsistemadeecuaciones33medianteelmtododesustitucin
1. Toma una de las ecuaciones del sistema y despeja una de las literales, depreferencialaqueseamsfcildedespejar.
2. Sustituye en las otras 2 ecuaciones el valor de la literaldespejada en el pasoanterior,paraasobtenerdosnuevasecuacionescon2incgnitas.
3. Conesas2nuevasecuacionesformaunsistemadeecuaciones22yresulveloporestemismomtododesustitucin.
4. Sustituyeelvalorobtenidoenunadelasecuacionesdelpaso2.5. Porltimo,sustituye losdosvaloresencontradosen laecuacindespejadadel
paso1.
1011001
14011
= z
33 1001
14011
da
[ ])1)(1)(10()1)(1)(0()1)(0)(140()0)(1)(1()140)(1)(1()10)(0)(1( ++++=
( )150
100001400100001400=
++=++=z
z
Como ya conoces los determinantes, ahora obtn los valores de las incgnitas:
Por lo tanto, Armando tiene 60 pesos, Beatriz$50 y Carlos posee 30 pesos.
= xx
= yy = zz
5300
=x5
250
=y5
150
=z
60=x 50=y 30=z
TallerdeMatemticasI Semana3y4
47 UniversidadCNCIdeMxico
Ejemplo. Enun localdecomidarpida,unpedidode5hamburguesas,2rdenesdepapasfritasy3refrescoscuesta56pesos.Unpedidode4hamburguesas,3rdenesdepapasfritasy2refrescoscuesta46pesos.Unpedidode6hamburguesas,4rdenesdepapas fritas y 3 refrescos cuesta 68 pesos Cul ser el precio de una solahamburguesaconunrefresco?SolucinLasincgnitasson: x=Preciodeunahamburguesa(pesos). y=Preciodeunaordendepapasfritas($). z=Preciodeunrefresco($).Elsistemadeecuacioneslineales33aresolveres:
Empleandoelmtododesustitucin:Paso 1. Toma una de las ecuaciones del sistema y despeja una de las literales, depreferencialaqueseamsfcildedespejar.Tomalaecuacin(1)ydespejaax:Paso2.Sustituyeenlasotras2ecuaciones(2)y(3),elvalordelaliteraldespejadaenelpasoanterior,paraasobtenerdosnuevasecuacionescon2incgnitas.
46234 =++ zyx 68346 =++ zyx
46235
32564 =++
zyzy 68345
32566 =++
zyzy
46235
128224 =++ zyzy
46235
1258
5224 =++ zyzy
5224462
5123
58 =++ zzyy
5224
5230
510
512
515
58 =++ zzyy
56
52
57 = zy
68345
1812336 =++ zyzy
68345
185
125
336 =++ zyzy
5336683
5184
512 =++ zzyy
5336
5340
515
518
520
512 =++ zzyy
54
53
58 = zy
Ecuacin 2 Ecuacin 3
( )4LLLLL ( )5LLLLL
=++=++=++
683464623456325
zyxzyxzyx ( )1LLLLL
( )2LLLLL( )3LLLLL
56325 =++ zyxzyx 32565 =
53256 zyx =
TallerdeMatemticasI Semana3y4
48 UniversidadCNCIdeMxico
Paso 3. Con esas 2 nuevas ecuaciones forma un sistema de ecuaciones 22 y resulvelo por estemismo mtodo de sustitucin.
Despejandoy de la ecuacin (4):
Y sustituyndolaen (5):
=
=
54
53
58
56
52
57
zy
zy
56
52
57 = zy
zy52
56
57 +=
5752
56 z
y+
=
zy
5752
5756
+=
zy3510
3530 +=
=54
53
58 zy
54
53
3510
3530
58 =
+ zz
54
53
17580
175240 =+ zz
54
53
17580
175240 =+ zz
175240
175140
175105
17580 = zz
175100
17525 = z
17525
175100
=z
437517500=z
4=z
Paso 4. Sustituye el valor obtenido en cualquiera delas ecuaciones (4) o (5) del paso 2.En este caso en la ecuacin (5):
54
53
58 = zy
( )544
53
58 =y
54
512
58 =y
512
54
58 +=y
516
58 =y
585
16
=y
4080=y
2=y
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Paso5.Porltimo,sustituyelosdosvaloresencontradosenlaecuacindespejadadelpaso1.Aspues,unahamburguesacuesta8pesos,unaordendepapasfritas$2yunrefresco4pesos.Contestando la pregunta, Cul ser el precio de una sola hamburguesa con unrefresco? 1Hamburguesa+1refresco=8+4=12Sedebernpagar12pesosporunahamburguesayunrefresco.Prctica51ElsalariomensualdeGuillermo,Robertoy Juanesde$8200.ElsalariomensualdeRoberto yGuillermo es de $8 000, y el salariomensual deGuillermo y Juan es de$8100.Determinaelsalariomensualdecadauno.
53256 zyx =
( ) ( )5
432256 =x
512456 =x
540=x
8=x
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Semana4
Sesin13Lostemasarevisareldadehoyson:
5.Ecuacionescuadrticas5.1.Mtodosdesolucindeecuacionescuadrticas5.1.1.Mtododesolucinpordespejedeecuacionescuadrticaspuras5.1.2.Mtododesolucinporfactorizacindeecuacionescuadrticasmixtas
5.Ecuacionescuadrticas
Hastaahorasabesqueunaecuacinesunaigualdadentreunpardeexpresiones,quecontieneuna incgnita representadaporuna literal. Es importante recordarqueelgrado de una ecuacin depende de lamxima potencia que tenga la incgnita. Enbloquesanteriores resolvisteecuacionesdeprimergrado,enestebloque resolversecuacionesde segundogrado;esdecir,elmayorgradoquepresenta la incgnitaesdos.La forma general o forma estndar de una ecuacin de segundo grado con unaincgnitaotambinllamadaecuacincuadrticaesdonde:ax2=Eltrminocuadrtico.bx=Eltrminolineal.c=Eltrminoindependiente.Lasecuacionescuadrticasseclasificandedosformas:encompletaseincompletas.Completas.Sonaquellasquetienenlostrestrminos:eltrminocuadrtico,ellinealyelindependiente,siendodelaforma:Incompletas.Sonaquellasenlasqueleshacefaltaalgunodelosdosltimostrminos,debidoaqueb=0obienc=0,sinembargo,eltrminocuadrticosiempredebeestarpresente,siendodelaforma:
5.1.Mtodosdesolucindeecuacionescuadrticas
Debidoaqueelgradodeunaecuacincuadrticaesdos,unaecuacindeestetipotienedos soluciones.Porello,encomparacinde lasecuacionesdeprimergradooecuacioneslineales,laresolucindelasecuacionescuadrticasesmscomplejaporloqueexistenvariosmtodospararesolverlas.Algunosdeellosson:
1. Pordespejedeecuacionescuadrticaspuras
2. Porfactorizacindeecuacionescuadrticasmixtas
02 =++ cbxax Rcbaa ,,,0
02 =++ cbxax
02 =+ bxax 02 =+ caxIncompletaPuraIncompletaMixta
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3. Completandoeltrinomiocuadradoperfecto
4. Porfrmulageneral
5.1.1.MtododesolucinpordespejedeecuacionescuadrticaspurasLa solucindeunaecuacin cuadrticade la formaax2+c=0 consisteendespejar laincgnitacomoaprendisteeneltemadeecuaciones lineales,para luegoobtener lasdossolucionespormediodeunarazcuadrada.
Enestemtodolasolucinsiempreser:
Ejemplo.Resuelvelaecuacincuadrticaincompleta.Observaqueesunaecuacincuadrticapuradebidoaquenotieneentrminolineal.Despejalaincgnitacomolohicisteconlasecuacioneslineales:
Ahora aplica a ambos miembros de la ecuacin una raz cuadrada, con el fin deeliminarelcuadradodelaincgnita:
As pues, tienes dos valores: el positivo y el negativo, siendo ambos solucin de laecuacin:Comprobacin
Si
Si
acxcaxSi ==+ 02
0123 2 =x
0123 2 =x123 2 =x3
122 =x42 =x
Recuerda que
La raz cuadrada de un nmero x se puede representar de dos formas:
21
xx =
42 =x42 =x4=x
21 +=x 22 =x
0123 2 =x+= 21x
= 22x
( ) 01223 2 =( ) 01243 =01212 =00 =0123 2 =x
( ) 01223 2 = ( ) 01243 =01212 =00 =
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Prctica52
Obtnlasdossolucionesdelaecuacin
Ejemplo.Resuelvelasiguienteecuacincuadrtica
Solucin
Te enfrentas a la raz cuadrada de una cantidad negativa, y t sabes que no existeningnnmerorealqueelevadoalcuadradosea9.Al tipo de nmeros que obtienen races negativas se les conoce como nmerosimaginarios,yaqueenelsigloXVIIRenDescartes(15961650)losllamasporquepensquesloeranproductodesuimaginacin.Las siguientes definiciones te ayudarn a obtener las races cuadradas de nmerosnegativos:Definicin1Sedefineunnmeroimaginariocomo:Definicin2Larazcuadradadeunamultiplicacinsedistribuyesobrelosfactores:Regresandoanuestroejercicio,obtengamoslarazcuadradadel9: Lacantidadnegativaasepuederepresentarpor1a. Porladefinicin2. Porladefinicin1yporlarazde9. Porlapropiedadconmutativadelamultiplicacin.
Porlotanto,lassolucionesdelaecuacincuadrticason:
5.1.2.MtododesolucinporfactorizacindeecuacionescuadrticasmixtasLa condicinnecesariaparautilizar estemtodo esque a la ecuacin cuadrtica lefalteeltrminoindependiente,esdecir,queseaunaecuacincuadrticamixta:
0155 2 =+ x
092 =+x92 =x
92 =x9=x
1=i
baab =
9=x91=x91=x3= ixix 3=
092 =+xix 31 += ix 32 =
092 =+x
02 =+ bxax
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La solucin de este tipo de ecuaciones es pormedio de la factorizacinpor factorcomn,yaqueambostrminoscontienenalaincgnitax.Elmtodoconsisteenfactorizarlaecuacineigualaracerocadafactor,procediendoaresolverlasecuacionesobtenidas.Lasecuacionesdeestetiposiempretienensolucinyademsunadesussolucionesesx=0.Pasospararesolverunaecuacinmixta
1. Factorizalaexpresindelprimermiembrodelaigualdadporelfactorcomn.2. Utilizalapropiedaddelosnmerosrealesqueindicaqueunodelosdosfactores
escero.3. Despejacadafactorparaencontrarelvalordelaincgnita.
Ejemplo.Resuelvelaecuacin
SolucinLo primero que debes observar es que la ecuacin presenta la forma general oestndar,porloqueesposibleutilizarlospasosdescritosanteriormente.Paso1.Factorizalaexpresindelprimermiembrodelaigualdadporelfactorcomn.Elfactorcomndelprimertrminoes4x,porloque:Paso 2. Utiliza la propiedad de los nmeros reales que indica que uno de los dosfactoresescero.
Recuerda,sielproductodedosfactoresescero,unodelosdosolosdos,soncero:
Porlotanto:
Paso3.Despejacadafactorparaencontrarelvalordelaincgnita.
Porlotanto,laecuacincuadrticatienedosresultados,02.
Prctica52
Determinaelvalordelaincgnitaenlaecuacin
Sabas que
La propiedad cero de la multiplicacin o tambin llamada propiedad de producto cero dice que existe un nmero nico, el cero, tal que el producto de cualquier nmero real x por cero es cero: 00 =x
084 2 = xx
( ) 024 =xx
000 === boaabSi( ) 024 =xx
02bien, o04 == xx
40=x 02 =x01 =x 22 =x
8582 2 = xx
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Sesin14Lostemasarevisareldadehoyson:
5.1.3.Mtododesolucincompletandoeltrinomiocuadradoperfecto5.1.4.Mtododesolucinporfrmulageneral
5.1.3.Mtododesolucincompletandoeltrinomiocuadradoperfecto
Estemtodo seaplicaaecuacionescompletas: yaecuacionesincompletasmixtas:.
Pasosparacompletaruntrinomiocuadradoperfecto1. Despejaeltrminoindependiente.2. Dividecadatrminodelaecuacinentreelcoeficientedex2.3. Sumaenambosmiembrosdelaecuacinelcuadradodelamitaddelcoeficiente
dex.4. Factorizaelprimermiembroysimplificaelsegundomiembro.5. Despejalavariableencuestinytomadosraces,unapositivayunanegativa.Ejemplo.EncuentralassolucionesdelaecuacinSolucinPaso1.Despejaaltrminoindependiente.
Paso2.Divideentreelcoeficientedex2.
Paso3.Sumaelcuadradodelamitaddelcoeficientedexaambosmiembrosdelaecuacin.
02 =++ cbxax02 =+ bxax
02463 2 = xx02463 2 = xx
2463 2 = xx
2463 2 = xx
32463 2 = xx822 = xx
822 = xx
La mitad
1El cuadrado
( ) 11 2 =
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Porlotanto,
Paso4.Factorizaelprimermiembroysimplificaelsegundo.
Paso5.Despejalaincgnitayobtndosvalores.
Porloquelassolucionesdelaecuacincuadrticason4o2.
Prctica53
Encuentralasracesde
5.1.4.Mtododesolucinporfrmulageneral
La frmula general o tambin llamada frmula cuadrtica obtiene las races osolucionesdeunaecuacindesegundogradoconunaincgnita.Lafrmulaes:dondea=Coeficientedeltrminocuadrtico.b=Coeficientedeltrminolineal.c=Coeficientedeltrminoindependiente.Ejemplo.Elproductodedosnmerosnaturaleses48ysudiferenciaes8.Culessonesosnmeros?
= 822 xx 18122 +=+ xx
18122 +=+ xx( ) 91 2 =x
( ) 91 2 =x( ) 91 2 =x
31 =x13 +=x
131 ++=x 132 +=x41 =x 22 =x
062 2 = xx
aacbbx
242 =
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SolucinSirepresentasambosnmeroscomo: x=Elnmeronaturalmayor y=Elnmeronaturalmenorentoncesladiferenciaentreellosserepresentapor:debidoaloanterior,esposiblerepresentaralnmeromayorcomo:Elproductodelosnmerosnaturaleses:Ahora,sustituyeelvalordexenlamultiplicacin:Representandolaecuacinanteriordelaformageneraloestndar(igualadaacero):Yatienesunaecuacincuadrticaqueestcompleta,ahorautiliza lafrmulageneralparaobtenerelvalordelaincgnita(enestecasoy):Paraesteproblema:Sustituyendovalores:
8= yx
yx += 8
48= yx
48= yx( ) 488 =+ yy
488 2 =+ yy
488 2 =+ yy04882 =+ yy
aacbby
242 =
4881
===
cba
aacbby
242 =
( ) ( )( )( )12
481488 2 =y
2192648 +=y
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Lassolucionesdelaecuacincuadrticason4y12.Recuerdaqueoriginalmente sehablabadedosnmerosnaturalesyel 12noesunnmeronatural,porellonoessolucindelproblema.Paraencontrarelsegundonmero,sustituyeel4enlaecuacin:Aspues,losdosnmerosnaturalesquemultiplicadosdan48yrestadosdan8,sonel4yel12.Prctica54
Elreadeunrectnguloesde96cm2.Sisulargoes4cmmayorquesuancho,culessonlasdimensionesdelrectngulo?
22568 =y
2168 =y
2168
1+=y
2168
2=y
28
1 =y41 =y
224
2=y
122 =y
yx += 848 +=x
12=x
A = 96 cm2
X+4
x
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Sesin15Lostemasarevisareldadehoyson:
6.Funcionescuadrticas6.1.Caractersticasdeunaecuacincuadrtica6.1.1.Elementosdelaparbola6.1.2.Sentidodelaparbola6.1.3.Tiposdesolucionesapartirdesuscoeficientes
6.FuncionescuadrticasEnbloquesanterioresaprendistequeunaecuacinlineal,lacualrepresentaunalnearecta, puede convertirse en una ecuacin de dos variables, omejor dicho, en unafuncin.Deformasimilar,unaecuacincuadrticaqueseigualaay,esdecir,y=ax2+bx+c,seconvierteenunafuncinygeneraunagrficallamadaparbola(curvaabierta).Definicin.Atodafuncindelaforma
selellamafuncincuadrtica.6.1.Caractersticasdeunaecuacincuadrtica6.1.1.ElementosdelaparbolaEldominiodelafuncinesR,esdecir,lavariablexpuedesercualquiernmeroreal,ysugrficaoparbolatienelossiguienteselementos:
0 , , )( 2 ++== ayRcbaconcbxaxxfy
Figura 1. Parbola de una funcin cuadrtica
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Cadaunodeloslugaresenlosquelagrficacortaalejexseconocecomoraz. Elvrticeeselpuntoenelcuallagrficaalcanzasuvalormnimo(omximo). El eje de simetra es una recta que permite observar claramente que las
parbolassoncurvassimtricas.6.1.2.SentidodelaparbolaEl sentidode lagrficadeuna funcin cuadrticadependerdel signoque tengaelcoeficienteadeltrminocuadrtico:Sielvalordeaespositivo,laparbolaestarabiertahaciaarriba.Sielvalordeaesnegativo,laparbolaestarabiertahaciaabajo.
Sia>0laparbolaabrehaciaarriba
Sia
eldis
yseSegtiene
sol
Por
so
Por
sol
Po
60 Univers
scriminante
representa
n el signoeunaecuac
Si>0,laeucionesor
rejemplolatiene
Si=0,laeolucioneso
rejemplolatiene
x
Si
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Sonracesconjugadasporqueunaespositivaylaotranegativa.
Ejemplo. La longitud de un terreno donde se desea poner una tienda de abarrotesexcede su ancho en 7 metros y el rea del terreno es de 120 metros cuadrados.Culessonlasdimensionesquetendrlatiendadeabarrotes?SolucinSidefines x=Longituddelterreno(m). y=Anchodelterreno(m).grficamentelainformacindadaes:entonces,laecuacinquerepresentaalreaes:ylaecuacinquerepresentaelanchodelterrenoes:Sustituyeloanteriorenlaecuacindelrea:Representalaecuacinobtenidacomolaformageneraldeunaecuacincuadrtica:Ahora,antesderesolverporfrmulageneralindicalascaractersticasdeestaecuacincuadrtica:
Recuerda que
Un nmero complejo est formado por dos partes y tienen la forma
Donde a y b son nmeros reales, adems a es la parte real y bi es la parte imaginaria. bia +
x
y A=120 m2
xyA =xy=120
7= xy
xy=120( )7120 = xx
xx 7120 2 =
012072 = xx
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Sentido de la parbola: Como el signo del coeficiente del trmino cuadrtico espositivo,entonceslaparbolaestarabiertahaciaarriba.Tiposdesoluciones:Parasabercuntasydequtiposernsussoluciones,obtnelvalordeldiscriminante:Como,entonces:a=1,b=7yc=120.Sustituyendoenlafrmuladeldiscriminante:Como>0entonces,laecuacincuadrticatendrdosracesrealesdistintas.Comprobemosloanteriorresolviendoporfrmulageneral:Por lo tanto, se tienen dos races reales distintas, de las cuales, el valor de 15 sedescartadebidoaquenoexistendistanciasnegativas.Sustituyex1enlafrmuladelanchoparaconocersuvalor:Porlotanto,lasdimensionesdelatiendadeabarrotessern:
acb 42 =( ) ( )( )120147 2 =
012072 = xx
48049 +=529=
aacbbx
242 =
( )( )12
5297 =x
2237 =x
2237
1+=x
2237
2=x
151 =x 82 =x
715 =y8=y
15 m
8 m
7= xy
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Ahorarealizalagrficadelaparbolaparaqueobservesloselementosquecontiene.Lafuncincuadrticaagraficares:Tabula algunos valores de x, de preferencia, tomando 1 o 2 valores anteriores a lamenor de las soluciones (x2 =8), y 1 o 2 valores posteriores a la mayor de lassoluciones(x1=15).Enestecaso,latablatomarvaloresde9a16:x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3y 24 0 22 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132x 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16y 132 130 126 120 112 102 90 76 60 42 22 0 24Laparbolacorrespondientees:
Siobservas lagrficapuedeverque lasracesosolucionesde laecuacincuadrticacortanocruzanalejex.Tambinpuedesobservarqueeltrminoindependientedelaecuacineselpuntoquecruzaalejey.Prctica55
Elalmacndeunajugueteratienelassiguientesdimensiones:mide5mdealturaysuanchoesdecincometrosmsquede largo.Adems,elvolumendelalmacnesde1500m3.Calculalalongitudylaanchuradelalmacndelajuguetera.
Figura 2. Parbola de la funcin cuadrtica y=x2-7x-120
1207)( 2 == xxxfy
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Sesin16Lostemasarevisareldadehoyson:6.2.Grficadeunaecuacincuadrtica
7.Formaestndardeunafuncincuadrtica7.1.Desplazamientovertical7.2.Desplazamientohorizontal
6.2.GrficadeunaecuacincuadrticaSi te diste cuenta en estos dos ejemplos, para obtener la grfica de una funcincuadrtica tuviste que establecer la ecuacin cuadrtica, resolverla por frmulageneralyalfinalgraficarlamediantetabulacin,untrabajomuytediosono?Existeunaformamsfcildegraficarunafuncincuadrtica,yesmedianteelusodesuvrtice.DefinicinElvrticedeunaparbolaeselpuntodondelagrficacambiadesentido.Lafrmulaparacalcularlascoordenadasdelvrticees:dondea,bycsonloscoeficientesdelaecuacincuadrtica.
Elvalorde lacoordenadaxvdelvrticese llamaejedesimetra,yaquegeneraunarectaparalelaalejey,ylacualsiempreestcolocadaexactamenteenmediodelasdos races dividiendo a la grfica exactamente a la mitad. Se determina por laecuacin:
abac
abV
44,
2
2
( )vv yxV ,
abx
2=
Figura 4. Vrtice y Eje de simetra de una parbola
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Cuando la parbola abre hacia arriba, el vrtice es el valormnimo de la parbola.Cuandoabrehaciaabajo,elvrtice representaelvalormximo.Enamboscasos, lacoordenadaquerepresentaestoes:PasospararealizarunagrficadeunafuncincuadrticaExisteunprocedimientoqueagilizalagraficacindeunaecuacincuadrtica:
1. Obtn las racesde laecuacincuadrticautilizandoelmtodoquemejor teconvengaylocalzalosenunejecartesiano.
2. Calculaelvrticedelaparbolaylocalzaloenelplanocartesiano.3. Localizaotrosdospuntosenlarectaparagraficar.4. Unelospuntosdelagrficaparaobtenerunaparbola.
Ejemplo. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas de laboratorio, quefueronalimentadasconunadietaquecontena10%deprotena.Laprotenaconsistaen levadurayharinademaz.Alvariarelporcentajepde levaduraen lamezcladeprotenaseestimqueelpesopromedioganadoengramosdeunarataenunciertoperiodofuedef(p),donde:
a) Realizalagrficadelafuncincuadrtica.b) Cuntoporcentajede levaduradebehaberen laprotenaparaque lasratas
tenganelmximopesoengramos?c) Encuentraelolosvaloresdepenqueelpesoganadoporlasratasseade45.5
gramos.
SolucinSi p=Cantidaddelevaduraenlaprotena(%). f(p)=Pesoganadoporlasratas(gr.)entonces,loquedebeshacerparagraficarlafuncinsemuestraacontinuacin.
a) GrficadelafuncincuadrticaPaso1.Obtenerygraficarlasracesdelafuncin.Para resolver la ecuacin de la funcin, primero debes igualarla a cero ydespusutilizalafrmulageneralparaobtenerlasraces:
abac
44 2
202501)( 2 ++= pppf 1000 p
++= 202501)( 2 pppf 0202
501 2 =++ pp
=a
acbbp2
42
202
02.0501
==
==
cb
a
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Lospuntosquedebersubicarenelplanocartesianoson:(9.25,0)y(109.25,0