Tipos de funcionesMáximos y Mínimos
Margarita Toro
March 11, 2015
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 1 / 23
Función Continua
Sea f : D ⊂ R2 → R
f es continua en (x0, y0) si
lim(x ,y )→(x0,y0)
f (x , y) existe y lim(x ,y )→(x0,y0)
f (x , y) = f (x0, y0)
f es continua si es continua en todo su dominio.
Ejemplos:
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
x2 + y2= 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 2 / 23
Función Continua
Sea f : D ⊂ R2 → R
f es continua en (x0, y0) si
lim(x ,y )→(x0,y0)
f (x , y) existe y lim(x ,y )→(x0,y0)
f (x , y) = f (x0, y0)
f es continua si es continua en todo su dominio.
Ejemplos:
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
x2 + y2= 0
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Función Continua
Sea f : D ⊂ R2 → R
f es continua en (x0, y0) si
lim(x ,y )→(x0,y0)
f (x , y) existe y lim(x ,y )→(x0,y0)
f (x , y) = f (x0, y0)
f es continua si es continua en todo su dominio.
Ejemplos:
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
x2 + y2= 0
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Función Continua
Sea f : D ⊂ R2 → R
f es continua en (x0, y0) si
lim(x ,y )→(x0,y0)
f (x , y) existe y lim(x ,y )→(x0,y0)
f (x , y) = f (x0, y0)
f es continua si es continua en todo su dominio.
Ejemplos:
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
x2 + y2= 0
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Función Continua
lim(x ,y )→(0,0)
xx2 + y2
no existe
lim(x ,y )→(0,0)
xyx2 + y2
no existe
lim(x ,y )→(0,0)
xy√x2 + y2
= 0
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Función Continua
lim(x ,y )→(0,0)
xx2 + y2
no existe
lim(x ,y )→(0,0)
xyx2 + y2
no existe
lim(x ,y )→(0,0)
xy√x2 + y2
= 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 3 / 23
Función Continua
lim(x ,y )→(0,0)
xx2 + y2
no existe
lim(x ,y )→(0,0)
xyx2 + y2
no existe
lim(x ,y )→(0,0)
xy√x2 + y2
= 0
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Función Continua
Veamos ahora las gráficas de las funciones, para observar los distintoscomportamiento.
f (x , y) =xy2
x2 + y2
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Función Continua
f (x , y) =xy
x2 + y2
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Función Continua
f (x , y) =x
x2 + y2
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Función Continua
f (x , y) =xy√x2 + y2
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 7 / 23
Derivadas parciales
(i) f tiene derivada parcial respecto a x en el punto (x0, y0) , que se
denota como fx (x0, y0) o∂f (x0, y0)
∂xsi
limh→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)h
existe
(ii) f tiene derivada parcial respecto a y en el punto (x0, y0) , que se
denota como fx (x0, y0) o∂f (x0, y0)
∂xsi
limh→0
f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)h
existe
(iii) Dado un vector unitario u = (a, b) = a−→i + b
−→j , f tiene
derivada direccional en el punto (x0, y0) en la dirección u, si
limh→0
f (x0 + ah, y0 + bh)− f (x0, y0)h
existe
Se denota Du f (x0, y0)
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Derivadas parciales
(i) f tiene derivada parcial respecto a x en el punto (x0, y0) , que se
denota como fx (x0, y0) o∂f (x0, y0)
∂xsi
limh→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)h
existe
(ii) f tiene derivada parcial respecto a y en el punto (x0, y0) , que se
denota como fx (x0, y0) o∂f (x0, y0)
∂xsi
limh→0
f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)h
existe
(iii) Dado un vector unitario u = (a, b) = a−→i + b
−→j , f tiene
derivada direccional en el punto (x0, y0) en la dirección u, si
limh→0
f (x0 + ah, y0 + bh)− f (x0, y0)h
existe
Se denota Du f (x0, y0)
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 8 / 23
Derivadas parciales
(i) f tiene derivada parcial respecto a x en el punto (x0, y0) , que se
denota como fx (x0, y0) o∂f (x0, y0)
∂xsi
limh→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)h
existe
(ii) f tiene derivada parcial respecto a y en el punto (x0, y0) , que se
denota como fx (x0, y0) o∂f (x0, y0)
∂xsi
limh→0
f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)h
existe
(iii) Dado un vector unitario u = (a, b) = a−→i + b
−→j , f tiene
derivada direccional en el punto (x0, y0) en la dirección u, si
limh→0
f (x0 + ah, y0 + bh)− f (x0, y0)h
existe
Se denota Du f (x0, y0)Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 8 / 23
Derivadas parciales
Ejemplo: Estudiar las derivadas parciales de
f (x , y) =
xy2
x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)
0 si (x , y) = (0, 0)en el punto (0, 0) .
Para estudiar fx calculamos el limite
limh→0
f (0+ h, 0)− f (0, 0)h
= limh→0
h(0)2
h2 + 02− 0
h= 0
o sea quefx (0, 0) = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 9 / 23
Derivadas parciales
Ejemplo: Estudiar las derivadas parciales de
f (x , y) =
xy2
x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)
0 si (x , y) = (0, 0)en el punto (0, 0) .
Para estudiar fx calculamos el limite
limh→0
f (0+ h, 0)− f (0, 0)h
= limh→0
h(0)2
h2 + 02− 0
h= 0
o sea quefx (0, 0) = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 9 / 23
Derivadas parciales
Ejemplo: Estudiar las derivadas parciales de
f (x , y) =
xy2
x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)
0 si (x , y) = (0, 0)en el punto (0, 0) .
Para estudiar fx calculamos el limite
limh→0
f (0+ h, 0)− f (0, 0)h
= limh→0
h(0)2
h2 + 02− 0
h= 0
o sea quefx (0, 0) = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 9 / 23
Derivadas parciales
Para estudiar fy calculamos el limite
limh→0
f (0, 0+ h)− f (0, 0)h
= limh→0
0(h)2
02 + h2− 0
h= 0
o sea quefy (0, 0) = 0
O sea que existen las derivadas parciales en (0, 0) .
En todos los otros puntos tiene derivadas parciales, pues es cocientede polinomios.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 10 / 23
Derivadas parciales
Para estudiar fy calculamos el limite
limh→0
f (0, 0+ h)− f (0, 0)h
= limh→0
0(h)2
02 + h2− 0
h= 0
o sea quefy (0, 0) = 0
O sea que existen las derivadas parciales en (0, 0) .
En todos los otros puntos tiene derivadas parciales, pues es cocientede polinomios.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 10 / 23
Derivadas parciales
Para estudiar fy calculamos el limite
limh→0
f (0, 0+ h)− f (0, 0)h
= limh→0
0(h)2
02 + h2− 0
h= 0
o sea quefy (0, 0) = 0
O sea que existen las derivadas parciales en (0, 0) .
En todos los otros puntos tiene derivadas parciales, pues es cocientede polinomios.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 10 / 23
Derivadas parciales
Para estudiar fy calculamos el limite
limh→0
f (0, 0+ h)− f (0, 0)h
= limh→0
0(h)2
02 + h2− 0
h= 0
o sea quefy (0, 0) = 0
O sea que existen las derivadas parciales en (0, 0) .
En todos los otros puntos tiene derivadas parciales, pues es cocientede polinomios.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 10 / 23
Función diferenciable
f es diferenciable en (x0, y0) si
i) Existen las derivadas direccionales fx (x0, y0) y fy (x0, y0) , y
ii) Existe el limitelim
(x ,y )→(x0,y0)f (x ,y )−f (x0,y0)−fx (x0,y0)(x−x0)−fy (x0,y0)(y−y0)
||(x ,y )−(x0,y0)|| = 0
Como
z = f (x0, y0) + fx (x0, y0) (x − x0) + fy (x0, y0) (y − y0)
es la ecuación del plano tangente a f en el punto (x0, y0) , lo que estadefinición significa es que se puede aproximar la función por su planotangente cerca del punto.Ejemplo: Estudiar si la función
f (x , y) =
xy2
x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)
0 si (x , y) = (0, 0)es diferenciable en el
punto (0, 0) .
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 11 / 23
Función diferenciable
f es diferenciable en (x0, y0) si
i) Existen las derivadas direccionales fx (x0, y0) y fy (x0, y0) , yii) Existe el limite
lim(x ,y )→(x0,y0)
f (x ,y )−f (x0,y0)−fx (x0,y0)(x−x0)−fy (x0,y0)(y−y0)||(x ,y )−(x0,y0)|| = 0
Como
z = f (x0, y0) + fx (x0, y0) (x − x0) + fy (x0, y0) (y − y0)
es la ecuación del plano tangente a f en el punto (x0, y0) , lo que estadefinición significa es que se puede aproximar la función por su planotangente cerca del punto.Ejemplo: Estudiar si la función
f (x , y) =
xy2
x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)
0 si (x , y) = (0, 0)es diferenciable en el
punto (0, 0) .
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 11 / 23
Función diferenciable
f es diferenciable en (x0, y0) si
i) Existen las derivadas direccionales fx (x0, y0) y fy (x0, y0) , yii) Existe el limite
lim(x ,y )→(x0,y0)
f (x ,y )−f (x0,y0)−fx (x0,y0)(x−x0)−fy (x0,y0)(y−y0)||(x ,y )−(x0,y0)|| = 0
Como
z = f (x0, y0) + fx (x0, y0) (x − x0) + fy (x0, y0) (y − y0)
es la ecuación del plano tangente a f en el punto (x0, y0) , lo que estadefinición significa es que se puede aproximar la función por su planotangente cerca del punto.
Ejemplo: Estudiar si la función
f (x , y) =
xy2
x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)
0 si (x , y) = (0, 0)es diferenciable en el
punto (0, 0) .
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 11 / 23
Función diferenciable
f es diferenciable en (x0, y0) si
i) Existen las derivadas direccionales fx (x0, y0) y fy (x0, y0) , yii) Existe el limite
lim(x ,y )→(x0,y0)
f (x ,y )−f (x0,y0)−fx (x0,y0)(x−x0)−fy (x0,y0)(y−y0)||(x ,y )−(x0,y0)|| = 0
Como
z = f (x0, y0) + fx (x0, y0) (x − x0) + fy (x0, y0) (y − y0)
es la ecuación del plano tangente a f en el punto (x0, y0) , lo que estadefinición significa es que se puede aproximar la función por su planotangente cerca del punto.Ejemplo: Estudiar si la función
f (x , y) =
xy2
x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)
0 si (x , y) = (0, 0)es diferenciable en el
punto (0, 0) .
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 11 / 23
Ejemplo
Ya sabemos que existen las parciales, así que se cumple la primeracondición
Ahora debemos calcular el límite
lim(x ,y )→(0,0)
f (x , y)− f (0, 0)− fx (0, 0) (x − 0)− fy (0, 0) (y − 0)|| (x , y)− (0, 0) || =
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
x2 + y2− 0− 0 (x − 0)− 0 (y − 0)√
x2 + y2=
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
(x2 + y2)3/2 ???
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 12 / 23
Ejemplo
Ya sabemos que existen las parciales, así que se cumple la primeracondición
Ahora debemos calcular el límite
lim(x ,y )→(0,0)
f (x , y)− f (0, 0)− fx (0, 0) (x − 0)− fy (0, 0) (y − 0)|| (x , y)− (0, 0) || =
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
x2 + y2− 0− 0 (x − 0)− 0 (y − 0)√
x2 + y2=
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
(x2 + y2)3/2 ???
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 12 / 23
Ejemplo
Ya sabemos que existen las parciales, así que se cumple la primeracondición
Ahora debemos calcular el límite
lim(x ,y )→(0,0)
f (x , y)− f (0, 0)− fx (0, 0) (x − 0)− fy (0, 0) (y − 0)|| (x , y)− (0, 0) || =
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
x2 + y2− 0− 0 (x − 0)− 0 (y − 0)√
x2 + y2=
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
(x2 + y2)3/2 ???
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 12 / 23
Ejemplo
Para analizar
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
(x2 + y2)3/2
usamos distintos caminos
Para x = 0 se tiene
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
(x2 + y2)3/2 = lim,y→0
(0) y2
(02 + y2)3/2 = 0
Para x = y
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
(x2 + y2)3/2 = limx→0
xx2
(x2 + y2)3/2 = limx→0
x3
(2x2)3/2
= limx→0
1
(2)3/2 =1
(2)3/2
Como son distintos por distintos caminos, el limite no existe.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 13 / 23
Ejemplo
Para analizar
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
(x2 + y2)3/2
usamos distintos caminos
Para x = 0 se tiene
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
(x2 + y2)3/2 = lim,y→0
(0) y2
(02 + y2)3/2 = 0
Para x = y
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
(x2 + y2)3/2 = limx→0
xx2
(x2 + y2)3/2 = limx→0
x3
(2x2)3/2
= limx→0
1
(2)3/2 =1
(2)3/2
Como son distintos por distintos caminos, el limite no existe.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 13 / 23
Ejemplo
Para analizar
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
(x2 + y2)3/2
usamos distintos caminos
Para x = 0 se tiene
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
(x2 + y2)3/2 = lim,y→0
(0) y2
(02 + y2)3/2 = 0
Para x = y
lim(x ,y )→(0,0)
xy2
(x2 + y2)3/2 = limx→0
xx2
(x2 + y2)3/2 = limx→0
x3
(2x2)3/2
= limx→0
1
(2)3/2 =1
(2)3/2
Como son distintos por distintos caminos, el limite no existe.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 13 / 23
Ejemplo
Entonces
f (x , y) =
xy2
x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)
0 si (x , y) = (0, 0)
es un ejemplo de una función que no es diferenciable en (0, 0) pero si tienederivadas parciales.
Teorema: Si f es diferenciable en (x0, y0) entonces es continua en(x0, y0) .
Teorema: Si las derivadas parciales existen y son continuas cerca de(x0, y0) entonces f es diferenciable en (x0, y0) .
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 14 / 23
Ejemplo
Entonces
f (x , y) =
xy2
x2 + y2si (x , y) 6= (0, 0)
0 si (x , y) = (0, 0)
es un ejemplo de una función que no es diferenciable en (0, 0) pero si tienederivadas parciales.
Teorema: Si f es diferenciable en (x0, y0) entonces es continua en(x0, y0) .
Teorema: Si las derivadas parciales existen y son continuas cerca de(x0, y0) entonces f es diferenciable en (x0, y0) .
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 14 / 23
Derivadas de orden superior
Las funciones fx y fy pueden ser o no ser continuas.
Pueden o no a su vez tener derivadas parciales en el punto (x0, y0).
Serían:
fxx =∂fx∂x
=∂
∂x
(∂f∂x
)=
∂2f∂x2
fxy =∂fx∂y
=∂
∂y
(∂f∂x
)=
∂2f∂y∂x
fyx =∂fy∂x
=∂
∂x
(∂f∂y
)=
∂2f∂x∂y
fyy =∂fy∂y
=∂
∂y
(∂f∂y
)=
∂2f∂y2
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 15 / 23
Derivadas de orden superior
Las funciones fx y fy pueden ser o no ser continuas.
Pueden o no a su vez tener derivadas parciales en el punto (x0, y0).
Serían:
fxx =∂fx∂x
=∂
∂x
(∂f∂x
)=
∂2f∂x2
fxy =∂fx∂y
=∂
∂y
(∂f∂x
)=
∂2f∂y∂x
fyx =∂fy∂x
=∂
∂x
(∂f∂y
)=
∂2f∂x∂y
fyy =∂fy∂y
=∂
∂y
(∂f∂y
)=
∂2f∂y2
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 15 / 23
Derivadas de orden superior
Las funciones fx y fy pueden ser o no ser continuas.
Pueden o no a su vez tener derivadas parciales en el punto (x0, y0).
Serían:
fxx =∂fx∂x
=∂
∂x
(∂f∂x
)=
∂2f∂x2
fxy =∂fx∂y
=∂
∂y
(∂f∂x
)=
∂2f∂y∂x
fyx =∂fy∂x
=∂
∂x
(∂f∂y
)=
∂2f∂x∂y
fyy =∂fy∂y
=∂
∂y
(∂f∂y
)=
∂2f∂y2
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 15 / 23
Tipos de funciones
De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C0 si f escontinua.
De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C1 si susderivadas parciales son continuas.
De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C2 si f tienederivadas parciales de primero y segundo orden y ellas son funcionescontinuas.
Teorema: Si f es de clase C2 en D entonces fxy = fyx
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 16 / 23
Tipos de funciones
De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C0 si f escontinua.
De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C1 si susderivadas parciales son continuas.
De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C2 si f tienederivadas parciales de primero y segundo orden y ellas son funcionescontinuas.
Teorema: Si f es de clase C2 en D entonces fxy = fyx
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 16 / 23
Tipos de funciones
De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C0 si f escontinua.
De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C1 si susderivadas parciales son continuas.
De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C2 si f tienederivadas parciales de primero y segundo orden y ellas son funcionescontinuas.
Teorema: Si f es de clase C2 en D entonces fxy = fyx
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 16 / 23
Tipos de funciones
De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C0 si f escontinua.
De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C1 si susderivadas parciales son continuas.
De dice que f definida en un disco D de R2 es de clase C2 si f tienederivadas parciales de primero y segundo orden y ellas son funcionescontinuas.
Teorema: Si f es de clase C2 en D entonces fxy = fyx
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 16 / 23
Máximos y mínimos
Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:
Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 17 / 23
Máximos y mínimos
Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .
En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 17 / 23
Máximos y mínimos
Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.
Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
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Máximos y mínimos
Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.
En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
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Máximos y mínimos
Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.
Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
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Máximos y mínimos
Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .
En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
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Máximos y mínimos
Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.
Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
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Máximos y mínimos
Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.
En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 17 / 23
Máximos y mínimos
Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.
Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 17 / 23
Máximos y mínimos
Definiciones:Una función f : D ⊂ R2 → R tiene:Máximo local en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor máximo local.Máximo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≤ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor máximo.Mínimo local en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) cuando (x , y) escercano a (a, b) .En este caso f (a, b) es el valor mínimo local.Mínimo absoluto en (a, b) si f (x , y) ≥ f (a, b) para todo (x , y) enel dominio.En este caso f (a, b) es el valor mínimo.Un punto (a, b) se llama punto crítico de f si
fx (a, b) = fy (a, b) = 0Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 17 / 23
Máximos y mínimos
Teorema: Si f tiene un máximo o un mínimo local en (a, b) y lasderivadas parciales de primer orden de f existen en (a, b) entonces
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
Los puntos críticos pueden ser máximo local, mínimo local o puntosde silla.El comportamiento lo determina (en muchos casos) las segundasderivadas.Suponga que f tiene segundas derivadas continuas, definimos D comoel determinate de la matriz [
fxx fxyfyx fyy
]es decir
D =
∣∣∣∣fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 18 / 23
Máximos y mínimos
Teorema: Si f tiene un máximo o un mínimo local en (a, b) y lasderivadas parciales de primer orden de f existen en (a, b) entonces
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
Los puntos críticos pueden ser máximo local, mínimo local o puntosde silla.
El comportamiento lo determina (en muchos casos) las segundasderivadas.Suponga que f tiene segundas derivadas continuas, definimos D comoel determinate de la matriz [
fxx fxyfyx fyy
]es decir
D =
∣∣∣∣fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 18 / 23
Máximos y mínimos
Teorema: Si f tiene un máximo o un mínimo local en (a, b) y lasderivadas parciales de primer orden de f existen en (a, b) entonces
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
Los puntos críticos pueden ser máximo local, mínimo local o puntosde silla.El comportamiento lo determina (en muchos casos) las segundasderivadas.
Suponga que f tiene segundas derivadas continuas, definimos D comoel determinate de la matriz [
fxx fxyfyx fyy
]es decir
D =
∣∣∣∣fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 18 / 23
Máximos y mínimos
Teorema: Si f tiene un máximo o un mínimo local en (a, b) y lasderivadas parciales de primer orden de f existen en (a, b) entonces
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
Los puntos críticos pueden ser máximo local, mínimo local o puntosde silla.El comportamiento lo determina (en muchos casos) las segundasderivadas.Suponga que f tiene segundas derivadas continuas, definimos D comoel determinate de la matriz [
fxx fxyfyx fyy
]es decir
D =
∣∣∣∣fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 18 / 23
Ejemplo
Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1
Encuentre los puntos críticos de f y para cada uno de ellos calcule Dpara cada uno de ellos.Solución:
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4xEntonces
fx = fy = 0
nos produce el sistema de ecuaciones
4x3 − 4y = 0 y 4y3 − 4x = 0Que equivale a
x3 − y = 0 y y3 − x = 0Reemplazo y = x3 en la segunda ecuación y me queda(
x3)3 − x = x9 − x = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 19 / 23
Ejemplo
Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1Encuentre los puntos críticos de f y para cada uno de ellos calcule Dpara cada uno de ellos.
Solución:
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4xEntonces
fx = fy = 0
nos produce el sistema de ecuaciones
4x3 − 4y = 0 y 4y3 − 4x = 0Que equivale a
x3 − y = 0 y y3 − x = 0Reemplazo y = x3 en la segunda ecuación y me queda(
x3)3 − x = x9 − x = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 19 / 23
Ejemplo
Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1Encuentre los puntos críticos de f y para cada uno de ellos calcule Dpara cada uno de ellos.Solución:
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4xEntonces
fx = fy = 0
nos produce el sistema de ecuaciones
4x3 − 4y = 0 y 4y3 − 4x = 0Que equivale a
x3 − y = 0 y y3 − x = 0Reemplazo y = x3 en la segunda ecuación y me queda(
x3)3 − x = x9 − x = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 19 / 23
Ejemplo
Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1Encuentre los puntos críticos de f y para cada uno de ellos calcule Dpara cada uno de ellos.Solución:
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x
Entoncesfx = fy = 0
nos produce el sistema de ecuaciones
4x3 − 4y = 0 y 4y3 − 4x = 0Que equivale a
x3 − y = 0 y y3 − x = 0Reemplazo y = x3 en la segunda ecuación y me queda(
x3)3 − x = x9 − x = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 19 / 23
Ejemplo
Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1Encuentre los puntos críticos de f y para cada uno de ellos calcule Dpara cada uno de ellos.Solución:
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4xEntonces
fx = fy = 0
nos produce el sistema de ecuaciones
4x3 − 4y = 0 y 4y3 − 4x = 0
Que equivale ax3 − y = 0 y y3 − x = 0
Reemplazo y = x3 en la segunda ecuación y me queda(x3)3 − x = x9 − x = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 19 / 23
Ejemplo
Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1Encuentre los puntos críticos de f y para cada uno de ellos calcule Dpara cada uno de ellos.Solución:
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4xEntonces
fx = fy = 0
nos produce el sistema de ecuaciones
4x3 − 4y = 0 y 4y3 − 4x = 0Que equivale a
x3 − y = 0 y y3 − x = 0
Reemplazo y = x3 en la segunda ecuación y me queda(x3)3 − x = x9 − x = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 19 / 23
Ejemplo
Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1Encuentre los puntos críticos de f y para cada uno de ellos calcule Dpara cada uno de ellos.Solución:
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4xEntonces
fx = fy = 0
nos produce el sistema de ecuaciones
4x3 − 4y = 0 y 4y3 − 4x = 0Que equivale a
x3 − y = 0 y y3 − x = 0Reemplazo y = x3 en la segunda ecuación y me queda
(x3)3 − x = x9 − x = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 19 / 23
Ejemplo
Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1Encuentre los puntos críticos de f y para cada uno de ellos calcule Dpara cada uno de ellos.Solución:
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4xEntonces
fx = fy = 0
nos produce el sistema de ecuaciones
4x3 − 4y = 0 y 4y3 − 4x = 0Que equivale a
x3 − y = 0 y y3 − x = 0Reemplazo y = x3 en la segunda ecuación y me queda(
x3)3 − x = x9 − x = 0
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 19 / 23
Ejemplo
Factorizando tenemos
0 = x(x8 − 1
)= x
(x4 − 1
) (x4 + 1
)
0 = x(x2 − 1
) (x2 + 1
) (x4 + 1
)= x (x − 1) (x + 1)
(x2 + 1
) (x4 + 1
)Las únicas soluciones de esta ecuación son entonces
x = 0, x = 1 y x = −1Hay entonces tres puntos críticos, que se encuentran reemplazando eny = x3
Los puntos críticos son
(0, 0) , (1, 1) y (−1,−1) .Ahora necesitamos calcular
D =
∣∣∣∣fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 20 / 23
Ejemplo
Factorizando tenemos
0 = x(x8 − 1
)= x
(x4 − 1
) (x4 + 1
)0 = x
(x2 − 1
) (x2 + 1
) (x4 + 1
)= x (x − 1) (x + 1)
(x2 + 1
) (x4 + 1
)
Las únicas soluciones de esta ecuación son entonces
x = 0, x = 1 y x = −1Hay entonces tres puntos críticos, que se encuentran reemplazando eny = x3
Los puntos críticos son
(0, 0) , (1, 1) y (−1,−1) .Ahora necesitamos calcular
D =
∣∣∣∣fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 20 / 23
Ejemplo
Factorizando tenemos
0 = x(x8 − 1
)= x
(x4 − 1
) (x4 + 1
)0 = x
(x2 − 1
) (x2 + 1
) (x4 + 1
)= x (x − 1) (x + 1)
(x2 + 1
) (x4 + 1
)Las únicas soluciones de esta ecuación son entonces
x = 0, x = 1 y x = −1
Hay entonces tres puntos críticos, que se encuentran reemplazando eny = x3
Los puntos críticos son
(0, 0) , (1, 1) y (−1,−1) .Ahora necesitamos calcular
D =
∣∣∣∣fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 20 / 23
Ejemplo
Factorizando tenemos
0 = x(x8 − 1
)= x
(x4 − 1
) (x4 + 1
)0 = x
(x2 − 1
) (x2 + 1
) (x4 + 1
)= x (x − 1) (x + 1)
(x2 + 1
) (x4 + 1
)Las únicas soluciones de esta ecuación son entonces
x = 0, x = 1 y x = −1Hay entonces tres puntos críticos, que se encuentran reemplazando eny = x3
Los puntos críticos son
(0, 0) , (1, 1) y (−1,−1) .Ahora necesitamos calcular
D =
∣∣∣∣fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 20 / 23
Ejemplo
Factorizando tenemos
0 = x(x8 − 1
)= x
(x4 − 1
) (x4 + 1
)0 = x
(x2 − 1
) (x2 + 1
) (x4 + 1
)= x (x − 1) (x + 1)
(x2 + 1
) (x4 + 1
)Las únicas soluciones de esta ecuación son entonces
x = 0, x = 1 y x = −1Hay entonces tres puntos críticos, que se encuentran reemplazando eny = x3
Los puntos críticos son
(0, 0) , (1, 1) y (−1,−1) .
Ahora necesitamos calcular
D =
∣∣∣∣fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 20 / 23
Ejemplo
Factorizando tenemos
0 = x(x8 − 1
)= x
(x4 − 1
) (x4 + 1
)0 = x
(x2 − 1
) (x2 + 1
) (x4 + 1
)= x (x − 1) (x + 1)
(x2 + 1
) (x4 + 1
)Las únicas soluciones de esta ecuación son entonces
x = 0, x = 1 y x = −1Hay entonces tres puntos críticos, que se encuentran reemplazando eny = x3
Los puntos críticos son
(0, 0) , (1, 1) y (−1,−1) .Ahora necesitamos calcular
D =
∣∣∣∣fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy )2Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 20 / 23
Ejemplo
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x
fxx = 12x2, fxy = −4fyy = 12y2, fyx = −4
D = fxx fyy − (fxy )2 = 144x2y2 − 16
Para (0, 0) , D = −16 < 0.Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12.Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 21 / 23
Ejemplo
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x
fxx = 12x2, fxy = −4fyy = 12y2, fyx = −4
D = fxx fyy − (fxy )2 = 144x2y2 − 16
Para (0, 0) , D = −16 < 0.Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12.Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 21 / 23
Ejemplo
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x
fxx = 12x2, fxy = −4fyy = 12y2, fyx = −4
D = fxx fyy − (fxy )2 = 144x2y2 − 16
Para (0, 0) , D = −16 < 0.Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12.Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 21 / 23
Ejemplo
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x
fxx = 12x2, fxy = −4fyy = 12y2, fyx = −4
D = fxx fyy − (fxy )2 = 144x2y2 − 16
Para (0, 0) , D = −16 < 0.
Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12.Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 21 / 23
Ejemplo
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x
fxx = 12x2, fxy = −4fyy = 12y2, fyx = −4
D = fxx fyy − (fxy )2 = 144x2y2 − 16
Para (0, 0) , D = −16 < 0.Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12.
Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 21 / 23
Ejemplo
fx = 4x3 − 4y , fy = 4y3 − 4x
fxx = 12x2, fxy = −4fyy = 12y2, fyx = −4
D = fxx fyy − (fxy )2 = 144x2y2 − 16
Para (0, 0) , D = −16 < 0.Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12.Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 21 / 23
Prueba de segundas derivadas
Suponga que f tiene segundas derivadas continuas en un disco concentro en (a, b) y tal que
fx (a, b) = 0 = fy (a, b)
D = D (a, b) = fxx (a, b) fyy (a, b)− (fxy (a, b))2
(a) Si D > 0 y fxx (a, b) > 0 entonces f (a, b) es un mínimo local.
(b) Si D > 0 y fxx (a, b) < 0 entonces f (a, b) es un máximo local.
(c) Si D < 0 entonces f (a, b) es un punto de silla, es decir, no tieneni mínimo local ni máximo local.
Si D = 0 la prueba no dice nada.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 22 / 23
Prueba de segundas derivadas
Suponga que f tiene segundas derivadas continuas en un disco concentro en (a, b) y tal que
fx (a, b) = 0 = fy (a, b)
D = D (a, b) = fxx (a, b) fyy (a, b)− (fxy (a, b))2
(a) Si D > 0 y fxx (a, b) > 0 entonces f (a, b) es un mínimo local.
(b) Si D > 0 y fxx (a, b) < 0 entonces f (a, b) es un máximo local.
(c) Si D < 0 entonces f (a, b) es un punto de silla, es decir, no tieneni mínimo local ni máximo local.
Si D = 0 la prueba no dice nada.
Margarita Toro () Tipos de funciones Máximos y Mínimos March 11, 2015 22 / 23
Prueba de segundas derivadas
Suponga que f tiene segundas derivadas continuas en un disco concentro en (a, b) y tal que
fx (a, b) = 0 = fy (a, b)
D = D (a, b) = fxx (a, b) fyy (a, b)− (fxy (a, b))2
(a) Si D > 0 y fxx (a, b) > 0 entonces f (a, b) es un mínimo local.
(b) Si D > 0 y fxx (a, b) < 0 entonces f (a, b) es un máximo local.
(c) Si D < 0 entonces f (a, b) es un punto de silla, es decir, no tieneni mínimo local ni máximo local.
Si D = 0 la prueba no dice nada.
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Prueba de segundas derivadas
Suponga que f tiene segundas derivadas continuas en un disco concentro en (a, b) y tal que
fx (a, b) = 0 = fy (a, b)
D = D (a, b) = fxx (a, b) fyy (a, b)− (fxy (a, b))2
(a) Si D > 0 y fxx (a, b) > 0 entonces f (a, b) es un mínimo local.
(b) Si D > 0 y fxx (a, b) < 0 entonces f (a, b) es un máximo local.
(c) Si D < 0 entonces f (a, b) es un punto de silla, es decir, no tieneni mínimo local ni máximo local.
Si D = 0 la prueba no dice nada.
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Prueba de segundas derivadas
Suponga que f tiene segundas derivadas continuas en un disco concentro en (a, b) y tal que
fx (a, b) = 0 = fy (a, b)
D = D (a, b) = fxx (a, b) fyy (a, b)− (fxy (a, b))2
(a) Si D > 0 y fxx (a, b) > 0 entonces f (a, b) es un mínimo local.
(b) Si D > 0 y fxx (a, b) < 0 entonces f (a, b) es un máximo local.
(c) Si D < 0 entonces f (a, b) es un punto de silla, es decir, no tieneni mínimo local ni máximo local.
Si D = 0 la prueba no dice nada.
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Ejemplo
Para el ejemplo Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1 tenemos entoncesPara (0, 0) , D = −16 < 0, el origen (0, 0) es punto de silla.
Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12, el punto (1, 1) esmínimo local.
Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12, el punto(−1,−1) es mínimo local.
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Ejemplo
Para el ejemplo Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1 tenemos entoncesPara (0, 0) , D = −16 < 0, el origen (0, 0) es punto de silla.Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12, el punto (1, 1) esmínimo local.
Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12, el punto(−1,−1) es mínimo local.
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Ejemplo
Para el ejemplo Sea f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1 tenemos entoncesPara (0, 0) , D = −16 < 0, el origen (0, 0) es punto de silla.Para (1, 1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (1, 1) = 12, el punto (1, 1) esmínimo local.
Para (−1,−1) , D = 144− 16 > 0, y fxx (−1,−1) = 12, el punto(−1,−1) es mínimo local.
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