DISTRIBUCIONES MUESTRALES
DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Teora del Muestreo:Uno de los propsitos de la inferencia
estadstica es estimar las caractersticas poblacionales
desconocidas, examinando la informacin obtenida de una muestra, de
una poblacin. El punto de inters es la muestra, la cual debe ser
representativa de la poblacin objeto de estudio.
Hay que seguir ciertos procedimientos de seleccin para asegurar
de que las muestras reflejen fielmente a la poblacin de la que
proceden, ya que solo se pueden hacer afirmaciones probabilsticas
sobre una poblacin cuando se usan muestras representativas de la
misma.
Poblacin: es el conjunto de todos los posibles individuos,
objetos o medidas de inters para un estadstico en una investigacin
particular.
Muestra: es una porcin, o parte, de una poblacin de inters.
Parmetro: es cualquier caracterstica numrica de una poblacin.
(N, , etc.)Estadstico: es cualquier caracterstica numrica de una
muestra. (n, , etc.)En muchos casos, la muestra es la nica forma de
inferir algo acerca de una poblacin. Muestras Aleatorias:
Algunas de las principales razones por las que el muestreo es
necesario son:
1. La naturaleza destructiva ciertas pruebas.2. La imposibilidad
fsica de revisar todos los integrantes de la poblacin.
3. El costo de estudiar a todos los integrantes de una poblacin,
frecuentemente es prohibitivo.
4. En ocasiones se necesitara mucho tiempo para entrevistar a
toda la poblacin.
A continuacin veremos los usos del muestreo en diversos
campos:
Poltica: las muestras de las opiniones de los votantes se usan
para que los candidatos midan la opinin pblica y el apoyo en las
elecciones.
Educacin: las muestras de las calificaciones de los exmenes de
estudiantes se usan para determinar la eficiencia de una tcnica o
programa de enseanza. Industria: muestras de los productos de una
lnea de ensamblaje sirve al propsito de controlar la calidad.
Medicina: muestras de medidas de azcar en la sangre de pacientes
diabticos prueban la eficacia de una tcnica o de un nuevo
frmaco.
Agricultura: las muestras del maz cosechado en una parcela
proyectan en la produccin los efectos de un fertilizante nuevo.
Gobierno: una muestra de opiniones de los votantes se usara para
determinar los criterios del pblico sobre cuestiones relacionadas
con el bienestar y la seguridad nacional.
Errores en el Muestreo:
Cuando se utilizan valores muestrales, o estadsticos para
estimar valores poblacionales, o parmetros, pueden ocurrir dos
tipos de errores: 1. Error muestral: se refiere a la variacin
natural existente entre muestras tomadas de la misma poblacin.
Cuando una muestra no es una copia exacta de una poblacin,
incluso si se ha tenido mucho cuidado para asegurar que dos
muestras del mismo tamao sean representativas de una cierta
poblacin, no se puede esperar que las dos sean idnticas en todos
sus detalles. El error muestral es un concepto muy importante que
nos ayudar a entender mejor la naturaleza de la inferencia
estadstica.2. Errores no muestrales: son los errores que surgen al
tomar las muestras
El sesgo muestral es un tipo de error no muestral. El sesgo
muestral se refiere a una tendencia sistemtica inherente a un mtodo
de muestreo que da estimaciones de un parmetro que son, en
promedio, menores (sesgo negativo), o mayores (sesgo positivo) que
el parmetro real.
El sesgo muestral puede eliminarse, o minimizarse, usando la
aleatoriedad.
La aleatoriedad se refiere a cualquier proceso de seleccin de
una muestra de una poblacin en el que la seleccin es imparcial o no
est sesgada. Una muestra elegida con procedimientos aleatorios se
llama muestra aleatoria.Los mtodos ms comunes para muestreos
aleatorios son:
1. Muestreo aleatorio simple: todos los miembros de la poblacin
tienen la misma probabilidad de ser seleccionados.
Ejemplo:Un mtodo para lograrlo es asignarle a cada uno un nmero,
escribir cada nmero en un papel, y realizar en una urna un sorteo
justo con ellas. Un mtodo alternativo consiste en recurrir a una
tabla de nmeros aleatorios que viene en todos los libros de
estadstica especialmente construida para tal efecto. Como su nombre
lo indica, estos nmeros han sido generados por un proceso aleatorio
(en este caso, por una computadora). Para cada dgito de un nmero,
la probabilidad de 0, 1, 2, ., 9 es la misma. As, la probabilidad
de que una persona con nmero 011 sea elegido, es la misma que la de
otra persona con el nmero 722, o el 356. Por lo tanto, quedan
eliminados as los sesgos en el proceso de seleccin. En este
procedimiento de muestreo, y en los restantes que veremos, se
supone que el muestreo se realiza sin reemplazo. Esto es, un
elemento que se selecciona para la muestra no se devuelve a la
poblacin para ser, quizs, seleccionado de nuevo. Existen otros
casos en los que el muestreo se realiza con reemplazo, donde cada
elemento elegido se devuelve a la poblacin antes de hacer la
siguiente seleccin.
Hay muchas situaciones en las cuales el muestreo aleatorio
simple es poco prctico, imposible o no deseado. Aunque sera
deseable usar muestras aleatorias simples para las encuestas
nacionales de opinin sobre productos o sobre elecciones
presidenciales, sera muy caro y demoroso.2. Muestreo estratificado:
requiere de separar a la poblacin en subgrupos, denominados
estratos, y de elegir despus una muestra aleatoria simple en cada
estrato.
Ejemplo:
Suponga que nos interesa obtener una muestra de los docentes de
Inacap. Puede ser difcil obtener una muestra con todos los
docentes, as que supongamos que elegimos una muestra aleatoria de
cada sede, entonces los estratos vendran a ser las sedes.
3. Muestreo por conglomerados: requiere de elegir una muestra
aleatoria simple de unidades heterogneas entre s de la poblacin
llamadas conglomerados. Cada elemento de la poblacin pertenece
exactamente a un conglomerado, y los elementos dentro de cada
conglomerado son usualmente heterogneos o dismiles.
Ejemplo:
Supngase que Metrpolis, una compaa de servicio de televisin por
cable est pensando en abrir una sucursal en una ciudad grande. La
compaa planea realizar un estudio para determinar el porcentaje de
familias que utilizaran sus servicios, como no es prctico preguntar
en cada casa, la empresa decide seleccionar una parte de la ciudad
al azar, la cual forma un conglomerado. En el muestreo por
conglomerado, stos se forman para representar, tan fielmente como
sea posible, a toda la poblacin, por lo que se usa una muestra
aleatoria simple de conglomerados para estudiarla. Este tipo de
muestreo se usa frecuentemente para reducir el costo de muestrear
una poblacin dispersa en un rea geogrfica grande y son utilizados
especialmente por instituciones sociales como iglesias, hospitales,
escuelas y prisiones.4. Muestreo sistemtico: es una tcnica de
muestreo que requiere de una seleccin aleatoria inicial de
observaciones seguida de otra seleccin de observaciones obtenida
usando algn sistema o regla.
Ejemplo:
Para obtener una muestra de suscriptores telefnicos en una
ciudad grande, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los
nmeros de las pginas de la gua telefnica. Al elegir dcimo nombre de
cada pgina obtendramos un muestreo sistemtico. Tambin podemos
escoger un nombre de la primera pgina de la gua telefnica y despus
escoger cada nombre del lugar nmero cien a partir del ya escogido.
Por ejemplo, podramos seleccionar un nmero al azar de entre los
primeros cien. Supongamos que el elegido es el 40, entonces
escogimos los nombres de la gua telefnica que corresponden a los
nmeros 40, 140, 240, 340, 440 y as sucesivamente.Error
Muestral:Cualquier medida conlleva algn error. Si se usa la media
para medir, estimar, la media poblacional , entonces la media
muestral, como medida, conlleva algn error. Por ejemplo, supongamos
que se ha obtenido una muestra aleatoria de tamao 22 en una
poblacin con media ; si la media de la muestra es , entonces a la
diferencia observada se le denomina error muestral. Una media
muestral puede pensarse como la suma de dos cantidades, la media
poblacional y el error muestral. Si e denota el error muestral,
entonces:
Ejemplo:
Se toman muestras de tamao 2 de una poblacin consistente en tres
valores, 2, 4 y 6, para simular una poblacin grande de manera que
el muestreo pueda realizarse un gran nmero de veces, supondremos
que este se hace con reemplazo, es decir, el nmero elegido se
reemplaza antes de seleccionar el siguiente, adems, se seleccionan
muestras ordenadas. En una muestra ordenada, el orden en que se
seleccionan las observaciones (datos) es importante, por tanto, la
muestra ordenada (2,6) es distinta de la muestra ordenada (6,2). En
la muestra (6,2), primero se seleccion el 4 y despus el 3. A
continuacin mostraremos una tabla que contiene una lista de todas
las muestras ordenadas de tamao 2 que es posible seleccionar con
reemplazo y tambin contiene las medias muestrales y los
correspondientes errores muestrales. Observemos que la media
poblacional es igual a .Muestras ordenadas
Error muestral
(2,2)22 4 = -2
(2,4)33 4 = -1
(2,6)44 4 = 0
(4,2)33 4 = -1
(4,4)44 4 = 0
(4,6)55 4 = 1
(6,2)44 4 = 0
(6,4)55 4 = 1
(6,6)66 4 = 2
Hay 3(3) = 9 muestras de tamao 2 que se pueden tomar con
reemplazo de la poblacin (por que cualquiera de los tres nmeros de
la primera extraccin puede asociarse con uno cualquiera de la
segunda).Ntese de las interesantes relaciones contenidas en la
tabla:
La media del conjunto de medias muestrales es 4, lo mismo que la
media de la poblacin de la que se extraen las muestras.
La suma de los errores muestrales es cero.
En consecuencia, si se usa para medir, estimar, la media
poblacional , el promedio de todos los errores muestrales es
cero.
Consideremos todas las posibles muestras de tamao n en una
poblacin dada (con o sin reposicin). Para cada muestra, podemos
calcular un estadstico (tal como la media o la desviacin estndar)
que variar de muestra a muestra. De esta manera obtenemos una
distribucin del estadstico que se llama muestral.Dependiendo del
estadstico, es como se llamar la distribucin muestral. Para cada
distribucin muestral podemos calcular la media y la desviacin
estndar, etc. As pues, podremos hablar de la media y la desviacin
estndar de la distribucin muestral que corresponda.Distribuciones
Muestrales:
Las muestras aleatorias obtenidas de una poblacin son por
naturaleza propia, impredecibles. No se esperara que dos muestras
aleatorias del mismo tamao y tomadas de la misma poblacin tengan la
misma media muestral o que sean completamente parecidas. Puede
esperarse que cualquier estadstico, como la media muestral,
calculado a partir de las medias en una muestra aleatoria, cambie
su valor de una muestra a otra, por ello se quiere estudiar la
distribucin de todos los valores posibles de un estadstico. Tales
distribuciones sern muy importantes en el estudio de la inferencia
estadstica, porque las inferencias sobre las poblaciones se harn
usando estadsticas muestrales. Con el anlisis de las distribuciones
asociadas con los estadsticos muestrales, podremos juzgar la
confiabilidad de un estadstico muestral como un instrumento para
hacer inferencias sobre un parmetro poblacional desconocido.
En otras palabras, analizaremos la exactitud de este proceso de
inferencia. Una vez que se infiere que la poblacin posee las mismas
caractersticas de la muestra, el analista debe determinar la
magnitud de los errores posibles inherentes a este proceso. Como el
muestreo es algo comn en la mayora de las reas u organizaciones, es
vital para todos ustedes conocer como medir y entender este error
inherente. Evaluar un posible error supone la comprensin cabal del
concepto ms importante de la estadstica: la distribucin
muestral.Como los valores de un estadstico, tal como , varan de una
muestra aleatoria a otra, se le puede considerar como una variable
aleatoria con su correspondiente distribucin de frecuencias.
La distribucin de frecuencia de un estadstico muestral se
denomina distribucin muestral. En general, la distribucin muestral
de un estadstico es la de todos sus valores posibles calculados a
partir de muestras del mismo tamao.Ejemplo:Supongamos que se han
seleccionado muestras aleatorias de tamao 30 en una poblacin
grande. Se calcula la media muestral para cada muestra. El conjunto
de todas estas medias muestrales recibe el nombre de distribucin
muestral de medias, lo que se puede ilustrar en la siguiente
figura:
Supongamos que se han seleccionado muestras aleatorias de tamao
30 en una poblacin grande y se calcula la desviacin estndar
muestral para cada una. El conjunto de todas estas medias
muestrales recibe el nombre de distribucin muestral de la desviacin
estndar, y lo podemos ver en la siguiente figura:
Ejemplo:
Se eligen muestras ordenadas de tamao 2, con reemplazo, de la
poblacin de valores 0. 2, 4 y 6. Encuentre:
a) , la media poblacional.
b) , la desviacin estndar poblacional.
c) , la media de la distribucin muestral de medias.
d) , la desviacin estndar de la distribucin muestral de la
media.
Adems, grafique las frecuencias para la poblacin y para la
distribucin muestral de medias
Respuesta:
a) la media poblacional es: Grfica de frecuencias para la
poblacin
Distribucin poblacionalb) la desviacin estndar de la poblacin
es:
c) A continuacin mostramos en una tabla los elementos de la
distribucin muestral de la media y la correspondiente distribucin
de frecuencias.Muestra
Muestra
(0,0)0(4,0)2
(0,2)1(4,2)3
(0,4)2(4,4)4
(0,6)3(4,6)5
(2,0)1(6,0)3
(2,2)2(6,2)4
(2,4)3(6,4)5
(2,6)4(6,6)6
Distribucin de frecuencias de
f
01
12
23
34
43
52
61
Grfica de frecuencias para las medias de las muestras
Distribucin muestralLa media de la distribucin muestral de
medias es:
d) la desviacin estndar de la distribucin muestral de medias
es:
De aqu que podamos deducir que la desviacin estndar de la
distribucin muestral es:
Como para cualquier variable aleatoria, la distribucin muestral
de medias tiene una media o valor esperado, una varianza y una
desviacin estndar, se puede demostrar que la distribucin muestral
de medias tiene una media igual a la media poblacional. Esto
es:
Conclusin:Despus de haber realizado el ejercicio anterior se
puede ver que una distribucin muestral se genera extrayendo todas
las posibles muestras del mismo tamao de la poblacin y calculndoles
a stas su estadstico.Si la poblacin de la que se extraen las
muestras es normal, la distribucin muestral de medias ser normal
sin importar el tamao de la muestra.
Si la poblacin de donde se extraen las muestras no es normal,
entonces el tamao de la muestra debe ser a 30, para que la
distribucin muestral tenga forma de campana. Mientras mayor sea el
tamao de la muestra, ms cerca estar la distribucin de ser
normal.Para muchos propsitos, la aproximacin normal se considera
buena si se cumple n = 30. La forma de la distribucin muestral de
medias sea aproximadamente normal, inclusive en casos donde la
poblacin original es bimodal, es realmente notable.
Teorema central del lmite:
Otro enfoque de este teorema dice que si seleccionan muestras
aleatorias de observaciones de una poblacin con media y desviacin
estndar , entonces cuando es grande, la distribucin muestral de
medias tendr aproximadamente una distribucin normal con una media
igual a y una desviacin estndar de . La aproximacin ser cada vez ms
exacta a medida de que sea cada vez ms grande.Ejemplo:
Para la distribucin muestral de medias del ejercicio pasado,
encuentre:
a) El error muestral de cada media.
b) La media de los errores muestrales.
c) La desviacin estndar de los errores muestrales.
Respuesta:
a) En la siguiente tabla se ven las muestras, las medias de las
muestras y los errores muestrales:
Muestra
Error muestral ()
(0,0)0 0 3 = -3
(0,2)1 1 3 = -2
(0,4)2 2 3 = -1
(0,6)33 3 = 0
(2,0)1 1 3 = -2
(2,2)2 2 3 = -1
(2,4)33 3 = 0
(2,6)44 3 = 1
(4,0)2 2 3 = -1
(4,2)33 3 = 0
(4,4)44 3 = 1
(4,6)55 3 = 2
(6,0)33 3 = 0
(6,2)44 3 = 1
(6,4)55 3 = 2
(6,6)66 3 = 3
b) la media de los errores muestrales () es:
c) la desviacin estndar de la distribucin de los errores
muestrales () es:
La desviacin estndar de la distribucin muestral de un estadstico
se conoce como error estndar del estadstico. En nuestro ejercicio
anterior, el error estndar de la media () es 1,58. Con esto se
demuestra que si de una poblacin se eligen muestras de tamao con
reemplazo, entonces el error estndar de la media es igual a la
desviacin estndar de la distribucin de los errores muestrales.Por
lo tanto,
Cuando las muestras se toman de una poblacin pequea y sin
reemplazo, se puede usar la siguiente frmula para encontrar :
donde
: es la desviacin estndar poblacional de donde se toman las
muestras.
: es el tamao de la muestra.N: es el tamao de la poblacin.
: factor de correccin para una poblacin finita que se aplica si
es mayor que 0,05. De lo contrario se omite.Ejemplos:1. El despacho
de abogados Gonzlez & Asociados tiene cinco socios. En su junta
de socios semanal cada uno informa el nmero de horas que cobraron a
los clientes por sus servicios la semana anterior.SociosHoras
1. Castro22
2. Donoso26
3. Figueroa30
4. Gonzlez26
5. Molina22
a) Si se seleccionan al azar dos socios, cuntas muestras
diferentes son posibles sin reemplazo? Adems calcule las horas
media de cobro para cada muestra.b) Calcule la media de la
distribucin muestral y comprela con la media poblacional.
c) Calcule el error estndar, o la desviacin estndar de la
distribucin muestral y comprela con la poblacional.Respuesta:a)
Para determinar la distribucin de muestreo de las medias
muestrales, se seleccionan todas las muestras posibles de tamao 2
sin reemplazo en la poblacin, de la siguiente manera:
Las 10 medias de todas las muestras posibles de tamao 2 que
pueden tomarse a partir de la poblacin son:SociosTotalMedia
muestral
1 , 222+26 = 4824
1 , 322+30 = 5226
1 , 422+26 = 4824
1 , 522+22 = 4422
2 , 326+30 = 5628
2 , 426+26 = 5226
2 , 526+22 = 4824
3 , 430+26 = 5628
3 , 530+22 = 5226
4 , 526+22 = 4824
Distribucin de muestreo de las medias para n = 2
Media muestralFrecuenciaFrecuencia relativa
2211/10
2444/10
2633/10
2822/10
b)
La media poblacional es:
La media de la distribucin muestral es:
Fijmonos que .
c) La desviacin estndar poblacional es:
El error estndar o la desviacin estndar de la distribucin
muestral es:
Si utilizamos la frmula del error estndar sin el factor de
correccin tendramos que:
Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Pero
agregando el factor de correccin obtendremos el valor correcto
que es exactamente lo mismo que habamos obtenido antes.
El diagrama de flujo resume las decisiones que deben tomarse
cuando se calcula el valor del error estndar:
Distribucin muestral de media:
Como recordarn la distribucin normal es una distribucin
continua, en forma de campana y tanto la media, la mediana y la
moda tienen un mismo valor y es simtrica.
Con esta distribucin podamos calcular la probabilidad de algn
evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente
frmula:
En donde Z es una variable estandarizada con media igual a cero
y desviacin estndar igual a uno. Con esta frmula se pueden hacer
los clculos de probabilidad para cualquier ejercicio, usando la
tabla de reas bajo la curva normal.
Sabemos que cuando se extraen muestras de tamao grande () o bien
de cualquier tamao de una poblacin normal, la distribucin muestral
de medias tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo
que se puede utilizar la frmula de la distribucin normal estndar
con y , entonces la frmula para calcular la probabilidad del
comportamiento del estadstico, en este caso la media de la muestra,
quedara de la siguiente forma:
y para poblaciones finitas y muestreo sin reemplazo:
Ejemplos:
1.Una empresa fabrica pilas alcalinas tipo D que tienen una
duracin que se distribuye aproximadamente en forma normal, con
media de 19 horas y desviacin estndar de 1,2 horas. Encuentre la
probabilidad de que una muestra aleatoria de 9 pilas tenga una vida
til promedio de menos de 18 horas.Respuesta:
Este valor se busca en la tabla de reas bajo la curva normal
2. Las estaturas de 1000 estudiantes de Inacap estn distribuidas
aproximadamente en forma normal con una media de 1,745 metros y una
desviacin estndar de 0,069 metros. Si se extraen 200 muestras
aleatorias de tamao 25 sin reemplazo de esta poblacin,
determine:
a)El nmero de las medias muestrales que caen entre 1,725 y 1,758
metros.
b)El nmero de medias muestrales que caen por debajo de 1,72
metros.
Respuesta:
En este ejercicio se cuenta con una poblacin finita y un
muestreo sin reemplazo, por lo que se tendr que agregar el factor
de correccin.
a)
Por lo tanto, (0,7607)(200) = 152 medias muestrales
b)
Por lo tanto, (0,0336)(200) = 7 medias muestrales.
Distribucin muestral de proporciones:
Existen ocasiones en que no estamos interesados en la media de
la muestra, sino que queremos investigar la proporcin de artculos
defectuosos o la proporcin reprobados en la muestra. La distribucin
muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas
situaciones. Esta distribucin se genera de igual manera que la
distribucin muestral de medias, a excepcin de que al extraer las
muestras de la poblacin se calcula el estadstico proporcin en lugar
del estadstico media. Es decir:
donde
p: estadstico proporcin
x: es el nmero de xitos en la muestra
: es el nmero total muestreado
Una poblacin binomial est estrechamente relacionada con la
distribucin muestral de proporciones, ya que una poblacin binomial
es una coleccin de xitos y fracasos, mientras que una distribucin
muestral de proporciones contiene las posibilidades o proporciones
de todos los nmeros posibles de xitos en un experimento binomial, y
como consecuencia de esta relacin, las afirmaciones probabilsticas
referentes a la proporcin muestral pueden evaluarse usando la
aproximacin normal a la binomial, siempre que y sean ambos mayores
que 5 (en la Unidad II hablbamos de como la probabilidad de xito,
pero en estos casos la denotaremos como P ya que hablamos de la
proporcin de xito). Cualquier evento se puede convertir en una
proporcin si se divide el nmero obtenido entre el nmero de
intentos.Generacin de la Distribucin muestral de
Proporciones:Supongamos que se cuenta con un lote de 12
termostatos, el cual tiene 4 unidades defectuosas. Se van a
seleccionar 5 termostatos al azar de ese lote sin reemplazo. Genere
la distribucin muestral de proporciones para el nmero de
termostatos defectuosas.Como se puede observar en este ejemplo, la
proporcin de termostatos defectuosos de esta poblacin es . Por lo
que podemos decir que el 33% de los termostatos de este lote estn
defectuosos.
El nmero posible de muestras de tamao 5 a extraer de una
poblacin de 12 elementos es , las cuales se pueden desglosar de la
siguiente forma:
Termostatos buenosTermostatos malosProporcin de termostatos
defectuososNmero de manera en las que se puede obtener la
muestra
144/5 = 0,8
233/5 = 0,6
322/5 = 0,4
411/5 = 0,2
500/5 = 0
Total: 792
Para calcular la media de la distribucin muestral de
proporciones tendramos que hacer la sumatoria de la frecuencia por
el valor de la proporcin muestral y dividirla entre el nmero total
de muestras. Es decir:
Por lo que podemos decir que la media de la distribucin muestral
de proporciones es igual a la proporcin de poblacin, o sea
Tambin podemos calcular la desviacin estndar de la distribucin
muestral de proporciones:
La varianza de la distribucin binomial es , por lo que la
varianza de la distribucin muestral de proporciones es . Si
sustituimos los valores en esta frmula tendramos que:
pero este valor no coincide con el de 0,1681, ya que nos falta
agregar el factor de correccin para una poblacin finita y un
muestreo sin reemplazo:
Por lo tanto,
La frmula que se utilizar para el clculo de probabilidad en una
distribucin muestral de proporciones est basada en la aproximacin
de la distribucin normal a la binomial. Esta formula nos servir
para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporcin en
la muestra.
A esta frmula se le puede agregar el factor de correccin de si
se cumple con las condiciones necesarias.Ejemplo:
Se ha determinado que el 60% de los alumnos de Inacap fuman
cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes.
Calcule la probabilidad de que la proporcin de la muestra de los
alumnos que fuman cigarrillos sea menor que 0,55.Respuesta:
Hay dos mtodos para resolver este ejercicio:
1 Utilizando la aproximacin de la distribucin normal a la
binomial. (visto en la Unidad II) P: 0,60 x : alumnos
: 800
Media = P = 800 (0,60) = 480
donde 0,5 es el factor de correccin por continuidad.0,0017
significa que existe una probabilidad del 0,17% de que al extraer
una muestra de 800 alumnos, menos de 440 fuman cigarrillos.
2 Usando la Distribucin Muestral de Proporciones
n = 800 alumnos
P = 0,60
= 0,55
p
Como podemos darnos cuenta este valor es idntico al obtenido en
el mtodo anterior, por lo que si buscamos en la tabla de reas bajo
la curva normal nos da la misma probabilidad de 0,0017. Tambin se
debe tomar en cuenta que el factor de correccin de 0,5 se est
dividiendo entre el tamao de la muestra, ya que estamos hablando de
una proporcin.
Por lo tanto, al interpretacin en esta solucin, estara enfocada
a la proporcin de la muestra, por lo que diramos que la
probabilidad de que al extraer una muestra de 800 alumnos de
Inacap, la proporcin de alumnos que fuman cigarrillos sea menor al
55% es 0,17%.
Distribucin muestral de diferencia de medias:
Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con
media y desviacin estndar , y la segunda con media y desviacin
estndar . Ms an, se elige una muestra aleatoria de tamao de la
primera poblacin y una muestra independiente aleatoria de tamao de
la segunda poblacin. Luego se calcula la media muestral para cada
muestra y la diferencia entre dichas medias. El conjunto de todas
esas diferencias se llama distribucin muestral de las diferencias
entre medias o la distribucin muestral del estadstico .
La distribucin es aproximadamente normal para y . Si las
poblaciones son normales, entonces la distribucin muestral de
medias es normal sin importar los tamaos de las muestras.En
ejemplos anteriores se haba demostrado que y que , por lo que no es
difcil deducir que y que .La formula que utilizaremos para el
clculo de probabilidad del estadstico de diferencia de medias
es:
Ejemplo:
Uno de los principales fabricantes de televisores compra los
tubos de rayos catdicos a dos compaas. Los tubos de la compaa A
tienen una vida media de 7,2 aos con una desviacin estndar de 0,8
aos, mientras que los de la compaa B tienen una vida media de 6,7
aos con una desviacin estndar de 0,7 aos. Determine la probabilidad
de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compaa A tenga una
vida promedio de al menos un ao ms que la de una muestra aleatoria
de 40 tubos de la compaa B.Respuesta:
aos
aos
aos
aos
tubos
tubos
p(>1) = ?
Distribucin muestral de diferencia de proporciones:
Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos
que deben compararse utilizando proporciones o
porcentajes.Ejemplos:
Educacin: Es mayor la proporcin de los estudiantes que aprueban
matemticas que la de los que aprueban ingls? Medicina: Es menor el
porcentaje de los usuarios del medicamento A que presentan una
reaccin alrgica que el de los usuarios del frmaco B que tambin
presentan una reaccin del mismo tipo?
Administracin: Hay diferencia entre los porcentajes de hombres y
mujeres en posiciones gerenciales? Ingeniera: Existe diferencia
entre la proporcin de artculos defectuosos que genera la mquina A a
los que genera la mquina B?
Cuando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales y se
trabaja con dos proporciones muestrales, la distribucin muestral de
diferencia de proporciones es aproximadamente normal para tamaos de
muestra grande . Entonces y tienen distribuciones muestrales
aproximadamente normales, as que su diferencia tambin tiene una
distribucin muestral aproximadamente normal.
Cuando estudiamos a la distribucin muestral de proporciones se
comprob que y que , por lo que no es difcil deducir que y que .La
frmula que utilizaremos para el clculo de probabilidad del
estadstico de diferencia de proporciones es:
Ejemplo:Los hombres y mujeres adultos radicados en Iquique
difieren en sus opiniones sobre la promulgacin de la pena de muerte
para personas culpables de asesinato. Se cree que el 15% de los
hombres adultos estn a favor de la pena de muerte, mientras que
solo el 12% de las mujeres adultas lo estn. Si se pregunta a dos
muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinin sobre la
promulgacin de la pena de muerte, determine la probabilidad de que
el porcentaje de hombres a favor sea al menos 4% mayor que el de
las mujeresRespuesta:
p
Recordemos que debemos incluir el factor de correccin de 0,5 por
ser una distribucin binomial y se est utilizando la distribucin
normal
Por lo tanto, se concluye que la probabilidad de que el
porcentaje de hombres a favor de la pena de muerte, al menos 4%
mayor que el de mujeres es de 0,4602.Teora de Pequeas Muestras o
Teora exacta del Muestreo:
Anteriormente manejamos el uso de la distribucin normal estndar
(Z), la cual se poda utilizar siempre y cuando los tamaos de las
muestras fueran mayores o iguales a 30 en muestras ms pequeas si la
distribucin o las distribuciones de donde proviene la muestra o las
muestras son normales.Ahora utilizaremos muestras pequeas siempre y
cuando la distribucin de donde proviene la muestra tenga un
comportamiento normal. Esta es una condicin para utilizar las
distribuciones que veremos a continuacin.
A la teora de pequeas muestras tambin se le llama teora exacta
del muestreo, ya que tambin la podemos utilizar con muestras
aleatorias de tamao grande.
Ahora se ver un nuevo concepto necesario para poder utilizar las
distribuciones que veremos. Este concepto es grados de
libertad.
Para definir grados de libertad haremos referencia a la varianza
muestral:
Fjense que esta frmula est basada en n-1 grados de libertad.
Esta terminologa resulta del hecho de que si bien est basada en n
cantidades , stas suman cero, as que especificar los valores de
cualquier de las cantidades determina el valor restante.Por
ejemplo, si n = 4 y y , entonces automticamente obtenemos , as que
slo tres de los cuatro valores de est libremente determinados. Es
decir, por lo tanto hay 3 grados de libertad.Entonces, aqu la
frmula de grados de libertad ser y su simbologa es (se lee
nu).Distribucin t de Student:
Supongamos que se toma una muestra de una poblacin con media y
varianza . Si es el promedio de las observaciones que contiene la
muestra aleatoria, entonces la distribucin es una distribucin
normal estndar. Supongamos que la varianza de la poblacin es
desconocida. Qu sucede con la distribucin de esta estadstica si se
reemplaza por ? La distribucin t proporciona la respuesta a esta
pregunta.La media y la varianza de la distribucin t son y para ,
respectivamente.El siguiente diagrama nos presenta dos
distribuciones t. La apariencia general de la distribucin t es
similar a la de la distribucin normal estndar, ya que ambas son
simtricas y unimodales, y el valor mximo de la ordenada se alcanza
en la media . Sin embargo, la distribucin t tiene colas ms amplias
que la normal, es decir, la probabilidad de las colas es mayor que
en la distribucin normal. A medida que el nmero de grados de
libertad tiende a infinito, la forma del lmite de la distribucin t
es la distribucin normal estndar.
Propiedades de las distribuciones t:1. Cada curva t tiene forma
de campana con centro en 0.
2. Cada curva t est ms dispersa que la curva normal estndar
Z.
3. A medida que aumenta, la dispersin de la curva t
correspondiente disminuye.
4. A medida que , la secuencia de curvas t se aproxima a la
curva normal estndar, por lo que la curva z recibe a veces el
nombre de curva t con
Sean variables aleatorias independientes que son todas normales
con media y desviacin estndar . Entonces la variable tiene una
distribucin t con grados de libertad.La distribucin t difiere de la
de la Z en que la varianza de t depende del tamao de la muestra y
siempre es mayor a uno. nicamente cuando el tamao de la muestra
tiende a infinito las dos distribuciones sern las mismas.
Se acostumbra representar con el valor t por arriba del cual se
encuentra un rea igual a . Como la distribucin t es simtrica
alrededor de una media de cero, tenemos , es decir, el valor t que
deja un rea de a la derecha y por tanto un rea de a la izquierda,
es igual al valor t negativo que deja un rea de en la cola derecha
de la distribucin. Esto es, , etc.Para encontrar los valores de t
utilizaremos la tabla de valores crticos de la distribucin t de
cualquier libro de Estadstica.Ejemplo:
1. El valor t con grados de libertad que deja un rea de 0,025 a
la izquierda, y por lo tanto un rea de 0,975 a la derecha, es
Si observan la tabla, el rea sombreada de la curva es de la cola
derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de . La manera
de encontrar el valor t es buscar el valor de en la primera fila de
la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primera
columna y donde se intercepten y ( gl.) se obtendr el valor de
t.
Porcin de la tabla de distribucin t
gl
Cantidad de en una cola
.. 0,025 ..
: : : 14 2,145
2.Encuentre la probabilidad de .Respuesta:
Como deja un rea de 0,05 a la derecha, y deja un rea de 0,025 a
la izquierda, encontramos un rea total de
Por lo tanto, .3.Suponga que de una poblacin normal con una
media de 14 se toma una muestra de tamao 11. Si la media muestral
es 18 y la desviacin estndar muestral 14,3, calcule el valor del
estadstico t.
Respuesta:
El valor t es:
Distribucin ji-cuadrada :
En realidad la distribucin ji-cuadrada es la distribucin
muestral de . O sea que si se extraen todas las muestras posibles
de una poblacin normal y a cada muestra se le calcula su varianza,
se obtendr la distribucin muestral de varianzas.Para estimar la
varianza poblacional o la desviacin estndar, se necesita conocer el
estadstico . Si se elige una muestra de tamao de una poblacin
normal con varianza , el estadstico:
tiene una distribucin muestral que es una distribucin
ji-cuadrada con grados de libertad y se denota (es la minscula de
la letra griega ji). El estadstico ji-cuadrada esta dado por:
donde
es el tamao de la muestra
es la varianza muestral
es la varianza de la poblacin de donde se extrajo la
muestra.
El estadstico ji-cuadrada tambin se puede dar con la siguiente
expresin:
Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada:
1. Los valores de son mayores o iguales que 0.
2. La forma de la distribucin depende del . En consecuencia, hay
un nmero infinito de distribuciones .3. El rea bajo una curva
ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
4. Las distribuciones no son simtricas. Tienen colas estrechas
que se extienden a la derecha, esto es, estn sesgadas a la
derecha.
5. Cuando , la media de una distribucin es y la varianza es .6.
La moda de una distribucin se da en el valor .
Ntese que la moda aparece en el valor .
La tabla que ocuparemos contiene los valores de que corresponden
a un rea especfica de la extremidad de la derecha y a un nmero
determinado de de grados de libertad. Recuerde que en la mayora de
los libros de estadstica se encuentra la tabla de valores crticos
de ji cuadrada.Por ejemplo para encontrar en la tabla se localiza
en el lado izquierdo y a lo largo del lado superior de la misma
tabla.
12,592
0
El clculo de probabilidad en una distribucin muestral de
varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o
desviacin estndar en una muestra que proviene de una distribucin
normal.
Ejemplo:
Supongamos que los tiempos requeridos por una cierta micro para
alcanzar uno de sus destinos en Santiago forman una distribucin
normal con una desviacin estndar minuto. Si se elige al azar una
muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza
muestral sea mayor que 2.Respuesta:
Primero encontraremos el valor de ji- cuadrada correspondiente a
de la siguiente manera:
El valor de 32 se busca adentro de la tabla en la fila de 16
grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde
un rea a la derecha de 0,01. Por lo tanto, el valor de la
probabilidad es
0 =32
Distribucin F de Fisher:
La necesidad de disponer de mtodos estadsticos para comparar las
varianzas de dos poblaciones es evidente a partir del anlisis de
una sola poblacin. Frecuentemente se desea comparar la precisin de
un instrumento de medicin con la de otro, la estabilidad de un
proceso de manufactura con la de otro o hasta la forma en que vara
el procedimiento para calificar de un profesor universitario de
otro.
Intuitivamente, podramos comparar las varianzas de dos
poblaciones, y , utilizando la razn de de las varianzas muestrales
. Pero si es casi igual a 1, se tendr poca evidencia para indicar
que y no son iguales. Por otra parte, un valor muy grande o muy
pequeo para , proporcionar evidencia de una diferencia en las
varianzas de las poblaciones.La variable aleatoria F se define como
el cuociente de dos variables aleatorias ji, cuadrada
independientes, cada una dividida entre sus respectivos grados de
libertad. Esto es:
Donde U y V son variables aleatorias Ji-cuadrada independientes
con grados de libertad y .La variable aleatoria F no puede ser
negativa, y la distribucin tiene un sesgo a la derecha (positivo).
La distribucin F tiene una apariencia muy parecida a la distribucin
ji- cuadrada, sin embargo, se encuentra centrada respecto a 1, y
los dos parmetros y (o y ) proporcionan una flexibilidad adicional
con respecto a la forma de la distribucin.Si y son las varianzas
muestrales independientes de tamao y tomadas de poblaciones
normales con varianzas y , respectivamente, entonces:
Tambin se puede trabajar con tablas de Distribucin F que
aparecen en los libros de Estadstica.
Como podemos imaginar existen varias curvas Fisher, ya que ahora
su forma depende de dos variables que son los grados de libertad
()Ejemplos:
1. Encontrar el valor de F, en cada uno de los casos:
a) El rea a la derecha de F, es de 0,10 con
b) El rea a la izquierda de F, es de 0,95 con
Respuesta:a) Como el rea de la tabla es de cero a F, se tiene
que localizar primero el rea , es decir, y luego la interseccin de
los grados de libertad del denominador () con los grados de
libertad del numerador (), lo que nos da un valor de F = 2,69
0 F=2,69
b) En este caso, tenemos que localizar primero el rea , es
decir, y luego la interseccin de los grados de libertad del
denominador () con los grados de libertad del numerador (), lo que
nos da un valor de F = 2,85
0 F=2,85
2. En una prueba sobre la efectividad de dos tipos distintos de
pldoras para dormir, A y B, se utilizarn dos grupos independientes
de personas con insomnio. A un grupo de tamao 41 se le administrar
la pldora A y al otro grupo, de tamao 121, se le administrar la B,
registrndose el nmero de horas de sueo de cada individuo
participante en el estudio. Si se supone que el nmero de horas de
sueo de quienes usan cada tipo de pldora se distribuye normalmente
y que . Calcule el valor estadstico F y determine y si
EMBED Equation.3 y y encuentre . Respuesta:El valor estadstico F
es:
=
luego establecemos los grados de libertad. Como en el numerador
est la poblacin A y en el denominador est la poblacin B, entonces
los grados de libertad A equivalen a y los grados de libertad B a
.Luego vamos a la tabla de distribucin F a buscar la interseccin de
los grados de libertad de A y B donde aparezca 1,50, lo que da por
resultado:
0 F=1,5
Distribucin muestral
de medias EMBED Equation.3
Poblacin
EMBED Equation.3
...
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Muestra K
Muestra 3
Muestra 2
Muestra 1
Distribucin muestral de desviacin estndar EMBED Equation.3
Poblacin
EMBED Equation.3
...
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Muestra K
Muestra 3
Muestra 2
Muestra 1
Poblacin
Distribucin muestral de medias generada con muestras de
tamao
Distribucin muestral de medias generada con muestras de
tamao.
Poblacin
Exponencial
Es la poblacin infinita?
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Se muestrea con reemplazo?
Inicio
Es n/N>0,05?
Si
Si
Si
No
No
18 19
0,0062
1,725 1,745 1,758
0,7607
0,0336
1,72 1,745
Distribucin muestral de Proporciones
Poblacin
EMBED Equation.3
...
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Muestra K
Muestra 3
Muestra 2
Muestra 1
439,5 480
0,0017
440-0,5=439,5
0,549375 0,60 0,60
0,0017
0,55-(0,5/800) = 0,549375
Poblacin 2
Poblacin 1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Muestra 1
Muestra 2
Muestra 3
MuestraK EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Muestra K
Muestra 3
Muestra 2
Muestra 1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Distribucin muestral de diferencia de medias
EMBED Equation.3
0,0023
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Distribucin muestral de diferencia de proporciones
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Poblacin 2
Poblacin 1
EMBED Equation.3
Muestra 1
Muestra 2
Muestra 3
MuestraK EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Muestra K
Muestra 3
Muestra 2
Muestra 1
0,4602
EMBED Equation.3
0,04 (0,5/100) = 0,035
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
0
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 rea de una cola
EMBED Equation.3 Distribucin Z
EMBED Equation.3 15 Distribucin t
EMBED Equation.3
P=0,95
EMBED Equation.3
0,10
0,05
0,05
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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