Universidad Peruana de Ciencias

Aplicadas

TÓPICOS DE MÁTEMATICA

MA112(EPE)

UPC

TEMA :

TRANSFORMACIONES

LINEALES

• Definir el concepto de Transformación Lineal (T.L)

• Identificar las principales propiedades de las T.L.

• Describir el concepto de Núcleo e Imagen de una

Transformación Lineal.

• Mostrar la aplicación de las Transformaciones

Lineales en las rotaciones.

Objetivos:

Introducción:

• En un circuito eléctrico con m mallas y n fuentes de voltaje, las m corrientes de malla son funciones de los n voltajes de las fuentes.

• Las coordenadas en la pantalla del Display de un punto son función de las coordenadas (x,y,z) del punto en el mundo real y de las coordenadas (xo,yo,zo) del observador.

• Una empresa puede concebirse como un objeto que relaciona un conjunto de entradas (capital, productividad de los operarios,parámetros de operación , inventarios, etc)

con un conjunto de salidas o resultados que son función de las entradas, entre ellas: producción de diferentes productos, ganancias, capital acumulado, etc.

Las transformaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones importantes, así tenemos:

Con la graficación por computadora se disponeCon la graficación por computadora se dispone

de recursos en el cual se desplaza la imagen dede recursos en el cual se desplaza la imagen de

un diseño ,hacia la derecha ,la izquierda ,girarun diseño ,hacia la derecha ,la izquierda ,girar

la imagen para apreciar otro lado de ella ,reducirlala imagen para apreciar otro lado de ella ,reducirla

,ampliarla,etc.,ampliarla,etc.

Este recurso que posee una computadora medianteEste recurso que posee una computadora mediante

un software se realiza a través de las transforma-un software se realiza a través de las transforma-

ciones lineales.ciones lineales.

1.1. Reflexión respecto al eje YReflexión respecto al eje Y. En R2 consideremos la aplicación f tal que f(x,y)=(-x,y)f(x,y)=(-x,y). Es fácil probar que es una transformación lineal.

Ejemplos de transformaciones Ejemplos de transformaciones linealeslineales

Ejemplo 1:

(x,y)(-x,y)

Reflexión respecto al eje Y

x

y

2.2. Operadores de proyección.Operadores de proyección.La aplicación definida por: T(x,y,z)=(x,y,0)T(x,y,z)=(x,y,0) es una transformación lineal. Su función es la de proyectar un vector del espacio tridimensional en el plano XY.

Ejemplo 2:

(x,y,z)

(x,y,0)

Proyección en el plano XY

x

y

z

TRANSFORMACIÓN LINEALTRANSFORMACIÓN LINEAL

Sea T una aplicación de Rn en Rm :

T: Rn Rm

T se llama Transformación LinealTransformación Lineal si se cumple:

T ( V + V ) = T( V ) + T ( V )

T ( c V ) = c T( V ) , c: escalar 11

1.

2.

Ejemplos:

Probar si las siguientes aplicaciones son Transformaciones Lineales:

1. T: R2 R2 , T(x,y) = (x , y2 )

2. T: R3 R2 , T(x,y,z) = (-2x, x+y)

Forma general de las Forma general de las transformaciones linealestransformaciones lineales

1. T: R2 R2 ,T(x,y) = (a1x+a2y, b1x+b2y)

2. T: R3 R2 ,T(x,y,z) = (a1x+a2y+a3z, b1x+b2y+b3z)

3. T: R2 R3 ,T(x,y) = (a1x+a2y, b1x+b2y, c1x+c2y)

4. T: R3 R3 ,T(x,y,z) =

(a1x+a2y+a3z, b1x+b2y+b2z, c1x+c2y+c3z)

PROPIEDADES DE LAS T.L.

T(0 ) = 0R mR n

T(a V + b V ) = a T ( V ) + b T( V )21 1 2

T(a V + a V +... + a V ) = a T ( V ) + a T( V ) +21 k 1k 22 1 21

k k+ ... + a T ( V )

1)

2)

3)

Ejemplo:Ejemplo:

T: RT: R2 2 R R22

Definamos solamente:Definamos solamente:

T( i ) = (2; 3) , T( j ) = (1; 4)T( i ) = (2; 3) , T( j ) = (1; 4)

Luego: T(5; 6) = T( 5 i + 6 j )Luego: T(5; 6) = T( 5 i + 6 j )

= 5 T( i ) + 6 T( j )= 5 T( i ) + 6 T( j )

= 5 (2; 3) + 6 (1; 4)= 5 (2; 3) + 6 (1; 4)

= (16; 39)= (16; 39)

T: RT: R2 2 R R22

Definamos solamente:Definamos solamente:

T( i ) = (2; 3) , T( j ) = (1; 4)T( i ) = (2; 3) , T( j ) = (1; 4)

Luego: T(5; 6) = T( 5 i + 6 j )Luego: T(5; 6) = T( 5 i + 6 j )

= 5 T( i ) + 6 T( j )= 5 T( i ) + 6 T( j )

= 5 (2; 3) + 6 (1; 4)= 5 (2; 3) + 6 (1; 4)

= (16; 39)= (16; 39)

Encontremos ahora, la forma Encontremos ahora, la forma

general de T :general de T :

T(x; y) = T( x i + y j )T(x; y) = T( x i + y j )

= x T( i ) + y T( j )= x T( i ) + y T( j )

= x (2; 3) + y (1; 4)= x (2; 3) + y (1; 4)

= ( 2 x + y; 3 x + 4 y )= ( 2 x + y; 3 x + 4 y )

Así tenemos: T: RAsí tenemos: T: R2 2 R R22

T(x; y) = ( 2 x + y; 3 x + 4 y )T(x; y) = ( 2 x + y; 3 x + 4 y )

Encontremos ahora, la forma Encontremos ahora, la forma

general de T :general de T :

T(x; y) = T( x i + y j )T(x; y) = T( x i + y j )

= x T( i ) + y T( j )= x T( i ) + y T( j )

= x (2; 3) + y (1; 4)= x (2; 3) + y (1; 4)

= ( 2 x + y; 3 x + 4 y )= ( 2 x + y; 3 x + 4 y )

Así tenemos: T: RAsí tenemos: T: R2 2 R R22

T(x; y) = ( 2 x + y; 3 x + 4 y )T(x; y) = ( 2 x + y; 3 x + 4 y )

Observaciones:Observaciones:• Una aplicación T de Rn en Rm es

lineal si la imagen de toda combinación lineal en Rn es una combinación lineal en Rm.

En particular en 2 para b=0 y

para a=b=1 se tiene

T(a x) =a T(x)T(a x) =a T(x)

T(x+y) = T(x)+T(y)T(x+y) = T(x)+T(y)

La aplicación f(x,y)=(x-y,y+x+2)

NO ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

f(0,0)=(0,2)

Ejemplo:

Ya que :

TRANSFORMACIÓN LINEAL Y MATRICESTRANSFORMACIÓN LINEAL Y MATRICES

Sea A: matriz de orden m x n.Entonces, la transformación:

T( X ) = A X ,

es una Transformación Lineal

T : R R tal quemn

TEOREMA:TEOREMA:

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNAREPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA

TRANSFORMACIÓN LINEALTRANSFORMACIÓN LINEAL

TEOREMA:TEOREMA:

Toda T.L. de R a R se puede representar matricialmente como

T( X ) = A m x n X

de forma única.

mn

matriz estándar o canónica

(( RESPECTO A LAS BASES CANÓNICASRESPECTO A LAS BASES CANÓNICAS ) )

MATRIZ QUE REPRESENTA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL RESPECTO A LAS

BASES CANÓNICAS

Dada la transformación lineal T : Rn Rm

A =...

T( e ) j

Las columnas de A son las coordenadas de T( ej )

relativas a la base canónica Rm

DADA LA TRANSFORMACIÓN LINEAL :DADA LA TRANSFORMACIÓN LINEAL :DADA LA TRANSFORMACIÓN LINEAL :DADA LA TRANSFORMACIÓN LINEAL :

T:Rn Rm

Ker ( T ) = { v Rn / T( v ) = 0 }Rm

EL NÚCLEO o KERNEL DE T, ES:EL NÚCLEO o KERNEL DE T, ES:

Img ( T ) = { w Rm / T( v ) = w }

LA IMAGEN DE T, ES:LA IMAGEN DE T, ES:

Ker(T)

Img(T)

Rn Rm

0

T: Rn Rm

Ejemplo:

Dada la transformación lineal: T:R2 R2 : T(x,y) = (x-2y, 4y-2x)

a) determine el núcleo o kernel de T y dé una base,

b) determine la imagen de T y represéntela geométricamente en el sistema de coordenadas rectangulares XY.