Tópicos en teoría de números: Prueba de primalidad

Prof. Ángel Fonseca

Departamento de Matemáticas

Centro de Competencias de la Comunicación

Indice de contenido

Introducción Objetivos generales Objetivos específicos Motivación Reglas de divisibilidad Teorema de la raíz cuadrada

Este módulo está dirigido a estudiantes que no pertenecen a ciencias naturales y puede ser utilizado por cualquiera persona interesada en el tema.

No se especifican pre-requisitos; necesitas papel y lápiz y sólo se requiere que la persona tenga dominio de las destrezas básicas de aritmética y que pueda realizar tareas básicas con una calculadora. La navegación es sencilla y no se requiere estar conectado a internet para completar el mismo.

Pre-requisitos

Objetivos generales:

Se espera que al concluir este módulo los/as estudiantes puedan:

Conocer las reglas de divisibilidad. Aplicar la prueba de primalidad de la raíz cuadrada en la solución de

problemas.

Objetivos específicos:

Enunciar las definiciones de número primo y número compuesto.

Identificar las reglas de divisibilidad y aplicarlas a cualquier entero.

Determinar si un número es primo o compuesto mediante la prueba de la raíz cuadrada.

Motivación… ¿Sabías que….?

874,913,692 es compuesto porque termina en número par.

13,948,527 es divisible por 3 dado que la suma de dígitos resulta en 39 lo cual es divisible por 3 ( 3 x 13)

18,300,381 es divisible por 11 dado que es palindrómico con cantidad par de dígitos n=8.

529 ??? Tenemos que investigar...

Pre-prueba

Antes de comenzar sería conveniente que conociera cuánto realmente sabe acerca de este tema. Así podrá determinar si, ya completado el módulo, aprendiste acerca de la teoría de números.Conteste las preguntas a continuación en una hoja de papel o en su libreta. Luego, podrá comparar sus resultados con la post-prueba y saber cuánto aprendió y decidir si necesita repasar este módulo otra vez.

PRE-PRUEBA,PRE-PRUEBA,

Inicio del módulo

Ahora está listo/a para iniciar con el contenido del módulo.

¡Adelante!¡Adelante!

Clasificación de números enteros Existen dos grandes grupos para los

números enteros; es decir, todo entero mayor que 1 se clasifica en uno de dos conjuntos:

i) compuestos

ii) primos

Definición: Los números primos son enteros mayores que 1 los cuales no tienen divisores excepto ellos mismos y el uno.

Primos ={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, 37,41,43,47...}

Números primos

Números compuestos

Números que no son primos. Por ejemplo 4,6,9,12,14,15 etc.

Note que pueden ser divididos por un factor distinto de uno o de él mismo.

Reglas de divisibilidad

Un entero es divisible...por 2: si termina en 0,2,4,6,8

Ejemplo

a) 245,678 divide por 2

b) 23,457 no es divisible por 2

Divide por 3: Si la suma de sus dígitos es divisible por 3

Ejemplo

a) 462 es divisible por 3 ya que 4 + 6 + 2 =12 y 12 divide por 3

b) 236 no divide por 3 ya que 2 + 3 + 6= 11 y 11 no divide por 3

Ejercicio # 1

Llene el blanco de tal manera que el número resulte divisible por 3:

649672___. Explique su respuesta en un párrafo.

Contestación ejercicio #1

Dado que la regla del tres dice que la suma de dígitos debe ser divisible por tres entonces 6+4+9+6+7+2=34 por lo cual notamos que bastaría sumar 2 para alcanzar 36 y luego 5 u 8 funcionan de igual manera. En conclusión la respuesta es {2,5,8}

Divide por 4: si los últimos dos dígitos dividen por 4

Ejemplo

a) 409,124 divide por 4 ya que los últimos dos dígitos forman 24 el cual divide por 4

b) 42,018 no divide por 4 debido a que la terminación es 18 el cual no divide por 4

Divide por 5: Si termina en cero o cinco

Ejemplos

100 135

1945 etc.

Divide por 6:Si divide por 2 y 3 simultáneamente.

Ejemplo: 852,438

Divide por 2 dado que es par y la suma de dígitos es 30 lo cual lo hace dividir por 3.

En conclusión, divide por 6.

Continuación regla del 6

Ejemplo 7,532

Este número es par y divide por 2, pero la suma de dígitos es 17 y por lo tanto

no divide por 3. Conclusión:no divide

por 6.

Ejemplo 7,532

Este número es par y divide por 2, pero la suma de dígitos es 17 y por lo tanto

no divide por 3. Conclusión:no divide

por 6.

suma de dígitos

2 3 5 6

64,240

43,776

809

37,260

Ejercicio:marque donde haya divisibilidad

suma de dígitos

2 3 5 6

64240 16 sí no sí no

43776 27 sí sí no sí

809 17 no no no no

37260 18 sí sí sí sí

Respuesta

Regla para divisibilidad por 7

Se corta el dígito de la derecha , se multiplica por 2 y se resta al número truncado. El nuevo número es más corto que el anterior. Se repite el proceso hasta que el número sea suficientemente pequeño para decidir, por inspección visual, si es múltiplo de 7.

Ejemplo regla del 711,127,522

1 1 1 2 7 5 2 2- 4

1 1 1 2 7 4 8- 1 6

1 1 1 2 5 8- 1 6

1 1 1 0 9- 1 8

1 0 9 2- 4

1 0 5-1 0

0número original divide por 7

divide por 7

Aplique regla del 7

Verifique que 3,166,226 es divisible por 7, usando el esquema mostrado anteriormente. Use una hoja de papel y lápiz.

Divide por 8 :Si los últimos tres dígitos del número son divisibles por 8

Ejemplo

a) 3,451,800 divide por 8 debido a que termina en800 el cual divide por 8

b) 2,125No divide por 8 el 125 por lo tantotampoco el 2,125

Ejemplo

a) 3,451,800 divide por 8 debido a que termina en800 el cual divide por 8

b) 2,125No divide por 8 el 125 por lo tantotampoco el 2,125

Divide por 9: Si la suma de dígitos es divisible por 9

Ejemplo: 45,936

La suma de dígitos es 27, por lo tanto el número es divisible por 9.

Divide por 10: Sólo si termina en cero

Ejemplos:

a) 120

b) 35,980

c) 1,497,650

Regla de divisibilidad del 11

Primero halle la suma de los dígitos alternos. ...531 tororo

Luego reste esas dos cantidades. Si el resultado es 0 u 11 ó 22 ó 33 etc.(es decir múltiplo de 11) entonces el número es divisible por 11

...642 totondo

Ejercicio regla del once:

493572__

•Llene el blanco de tal manera que el número sea divisible por 11.

•Explique brevemente su respuesta.

Respuesta ejercicio regla del once

Por las sumas alternas se verifica que por un lado resulta en 16 y por el otro "14 + blanco" lo cual nos sugiere sumarle 2 y así

16 -16 = 0 luego 4935722 resulta divisible por 11.

Números palindrómicos

Definición: Enteros que se leen de igual manera al derecho que al revés.

Ejemplos:

i) 523,325

ii) 1,572,992,751

iii) 4,821,284

Divisibilidad de los palindrómicos

Todo palindrómico que tenga una cantidad par de dígitos será divisible por 11. Si tiene una cantidad impar de dígitos no se garantiza divisiblidad por 11.

Ejemplo: 17644671 es palindrómico con 8 dígitos por lo cual es divisible por 11. Note que las sumas alternas resultan ambas en 18.

II Los números primos

En esta segunda parte del módulo estudiaremos los números primos, sus características y aplicaremos la prueba de primalidad.

¿Cuántos números primos hay del 1 al 100 ?

Veamos la siguiente tabla y el método de Eratóstenes y luego podremos contestar la pregunta.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Cedazo de Eratóstenes(aplique a tabla anterior)

Seleccione el 2 y elimine todo número par subsiguiente (4,6,8,10,12,14, etc.)

Seleccione el 3 y elimine todo múltiplo de 3 (6,9,12,15,18,21,24,... etc.)

Seleccione el 5 y elimine todo múltiplo de 5 (10,15,20,25,...etc.)

Seleccione el 7 y elimine todo múltiplo de 7 (14,21,28,35,42,49,... etc.)

Al terminar sólo quedan números primos

¿ Por qué?

Luego de remover múltiplos de 2 , 3, 5 y 7 nos quedan 25 números primos

2 3 5 7 11

13 17 19 23 29

31 37 41 43 47

53 59 61 67 71

73 79 83 89 97

¿Por qué nos detuvimos en los múltiplos de 7 ?

Dado que los únicos primos menores que 10 son 2,3,5 y 7.

A continuación un teorema que refuerza nuestro razonamiento.

10100

Teorema de la raíz cuadrada : Sea n un número natural, si n es compuesto entonces existe al menos un factor primo p de n tal que

np

Ejemplos de aplicación del teorema de la raíz cuadrada

Ejemplo 1

Tome n = 42 ; Vemos que los números primos

menores que 6.48 son 2 ,3 y 5 (candidatos a ser divisores). Al verificar notamos que 42 divide por 2 y por lo tanto es compuesto.

48.642

Ejemplo 2

Tome n = 53 ; Vemos que los primos menores que

7.28 son 2 ,3 , 5 y 7 .

Al verificar notamos que 53 no es divisible por ninguno de ellos y ¡¡¡concluimos que es primo!!!

28.753

Conteste Cierto o Falso

___1) 459,954 es divisible por 11.

___2) Todo entero que divida por 2 y 4 es divisible por 8.

___3) El producto de tres enteros consecutivos será siempre divisible por 3.

___4) Aplicando la prueba de la raíz a 391 resulta ser número compuesto.

Respuestas al Cierto o Falso

1) Cierto, pues es palindrómico con 6 dígitos.

2) Falso, tome por ejemplo el 12.

3) Cierto, pues entre tres enteros consecutivos habrá al menos un par y al menos un múltiplo de 3.

4) Cierto, el número es compuesto y se verifica con la prueba de la raíz.

Primos de Mersenne

En honor al monge francés Marin Mersenne (1588-1648)

Definición: Sea p primo, entonces si

es primo se llama primo de Mersenne.

12 p

Primos de Mersenne

p ¿Mersenne?

2 3 C

3 7 C

5 31 C

7 127 C

11 2047 F(no es primo)

13 8191 C

12 p

Para investigar: Primos de Mersenne: son un subconjunto de

números primos especiales muy estudiados y apreciados. La persona que descubra el próximo número de Mersenne será acreedor de un premio de $100,000.

El problema abierto de la hipótesis de Riemann ofrece 1 millón de dólares a quien la demuestre.

Programados para computadoras

Para trabajos más complejos los teoristas de números hacen uso de programados como Maple o Matlab (entre otros) para trabajar con números GRANDES con el propósito de agilizar cómputos.

Vea ejemplos a continuación usando Maple

>Isprime(64);

false (significa que 64 no es un número primo)

>prevprime(31);

29 (significa el número primo menor adyacente a 31 es 29.)

>prevprime(2);

error (no existe número primo menor que 2)

>nextprime(135,671);135,697 (este es el próximo número primo después de 135,671)

>ithprime(347);2341 (este es el número primo en la 347-ava. posición)

>with(numtheory):>Mersenne([11]);162259276829213363391578010288127(este es el 11avo. primo de Mersenne)

Fórmulas que generan números primos

41)( 2 nnnf

para n = 1,2,3,... verifique que ésta fórmula genera una cantidad finita de números primos y prediga para que valor de n falla la fórmula.

note que si n = 41 entonces tendremos obviamente un número compuesto

)41)(41(414141)41( 2 f

Hasta aquí hemos tratado el tema que nos ocupaba. La teoría de números es mucho más compleja que lo que hemos explorado en este módulo, pero para nuestros propósitos esto es suficiente.

Para dudas, puede comunicarse con el profesor Fonseca en el Departamento de Matemáticas o remitirse a las referencias que se presentan en la próxima página.

Referencias Billstein/Libeskind/Lott (2004) Mathematics for

elementary School Teachers (8th ed.), Montana: Pearson.

Rosen, Kenneth H. (2005) Elementary Number Theory and its Applications (5th ed.), New Jersey: AT&T Laboratories/Pearson.

http://mersenne.org http://primes.utm.edu http://en.wikipedia.org/wikiPrime_number

Ir a la Post-prueba

Evaluación del módulo

Evalúa el módulo y da tu opinión objetivamente y con franqueza utilizando la escala:

3: excelente 2: bueno 1: deficiente

Evaluación del módulo

3 2 1Presenta los conceptos en forma clara y concisa

El nivel de dificultad es apropiado

Hace buen uso de ejemplos

El módulo tiene cohesión y continuidad

El tamaño del módulo es apropiado

Fin de la evaluación

Sume las cantidades que asignó en latabla previa y clasifique este trabajo:

15-12 Excelente 11-9 Aceptable 8-0 Pobre

Por favor, comunícate con el Prof. Fonsecapara que le informessobre tu apreciación

del módulo.

Fin...

Prof. Ángel A. Fonsecaafonseca@mate.uprh.edu

(787)850-9386

Prof. Ángel A. Fonsecaafonseca@mate.uprh.edu

(787)850-9386

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Pre-prueba: Escoja la mejor contestación

1) ¿Cuál de los siguientes es divisible por 6? a) 44 b) 196 c) 198 d) 423

2) ¿Cuál de los siguientes es palindrómico? a) 191919 b) 463,364 c) 442844 d) 1811

3) ¿Cuál de los siguientes conjuntos contiene solamente números primos?

a) {1,3,5,7,11,13} b) {2,3,5,7,11,13,17,19,23} c) {2,4,6,8,10,12,14} d) {2,3,5,7,9,11,13,15}

4) ¿Cuál de los siguientes es número compuesto? a) 237 b) 199 c) 53 d) 67

5) Todo número divisible por 2 y 4 también es divisible por 8.

a) Cierto b) Falso6) ¿Cuál de los siguientes enteros entre 80 y 90 es

número primo? a) 81 b) 87 c) 83 d) 857) Coloque un dígito(0 al 9) en el blanco de tal

manera que el número 43,26__ sea divisible por 11.

a) 3 b) 4 c)6 d)9

Ver respuestasVer respuestas

Respuestas a la Pre-prueba

1) c2) b3) b4) a5) b6) c7) a Pulse aquí para comenzar

Post prueba: Escoja la mejor contestación

1) ¿Cuál de los siguientes es palindrómico? a) 442844 b) 191919 c) 463,364 d) 1811 2)¿Cuál de los siguientes es divisible por 6? a) 44 b) 423 c) 196 d) 198

3) ¿Cuál de los siguientes conjuntos contiene solamente números primos?

a) {1,3,5,7,11,13} b) {2,3,5,7,11,13,17,19,23}

c) {2,4,6,8,10,12,14} d) {2,3,5,7,9,11,13,15}

4) ¿Cuál de los siguientes es número compuesto? a) 237 b) 199 c) 53 d) 67

5) Todo número divisible por 3 y 6 también es divisible por 12.

a) Cierto b) Falso

6) ¿Cuál de los siguientes enteros entre 80 y 90 es número primo?

a) 83 b) 85 c) 87 d) 81

7) Coloque un dígito(0 al 9) en el blanco de tal manera que el número 92,57_ sea divisible por 11.

a) 3 b) 4 c) 6 d)9

Respuestas a Post-prueba

1) c2) d3) b4) a5) b6) a7) c

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