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Trabajo acreedor a Segundo Lugar

Categoría Investigación

Administración Coherente de Riesgos con Futuros del MexDer.

Francisco Venegas Martínez

ADMINISTRACION COHERENTE

DE RIESGOS CON FUTUROS

DEL MEXDER

(Categorıa Investigacion, Area Finanzas)

Por: Mr. MM3

Resumen

En este trabajo de investigacion se derivan varias propiedades de las medidas coherentesde riesgo. Se examinan diversas medidas de riesgo de uso frecuente y se indaga si soncoherentes o no. Cuando no hay coherencia se proporcionan contraejemplos. Esta investi-gacion va mas alla de verificar si una medida de riesgo es coherente o no. En este sentido,con base en el concepto de copula de distribuciones y las propiedades de las colas de com-binaciones convexas de distribuciones Gaussianas, se muestra que el uso de la volatilidadcomo una medida de riesgo conlleva a limitaciones mas serias que no satisfacer un con-junto de axiomas de coherencia. Especıficamente, la volatilidad es incapaz de distinguirdiferencias entre las colas de distribuciones, con lo cual se subestiman perdidas potenciales.Asimisimo, se muestra que el valor en riesgo (VaR), la medida de riesgo mas utilizadaspor intermediarios financieros, no es una medida coherente. La metodologıa del VaR noproporciona informacion cuando el tamano potencial de la perdida excede el umbral deter-minado por el VaR. Afortunadamente, se puede construir una medida coherente de riesgoque sı toma en cuenta dicha informacion, la llamada esperanza condicional de la cola delVaR. No solo la propiedad de subaditividad es la que con menos frecuecia es satisfecha poruna medida de riesgo. Al respecto, se proporciona un ejemplo de una medida de riesgo, enterminos del precio de una opcion europea de venta, que no es invariante bajo traslaciones.Tambien, se proporciona una demostracion sencilla del teorema de representacion de me-didas coherentes de riesgo en terminos de una familia de probabilidades condicionales. Seestablecen varias reglas sencillas para construir medidas coherentes a partir de otras me-didas coherentes. Por ultimo, se muestra que en un portafolio de contratos a futuro sobreCETES, el VaR aumenta en lugar de disminuir cuando se diversifica anadiendo contratoscon vencimientos diferentes. Mientras que si se utiliza una medida coherente de riesgo, setiene que diversificar siempre conduce a una reduccion en riesgo.Clasificacion JEL: G11, G13Palabras clave: Medidas de riesgo, contratos a futuro

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AbstractIn this paper several properties of coherent measures of risk are derived. Many commonlyused measures of risk are examined to investigate whether they are coherent or not. In casethey are not coherent, counter-examples are provided. This research goes beyond verifyingwhether a risk measure is coherent or not. On the basis of the concept of copula ofdistributions and properties of the tails of convex combinations of Gaussian distributions,it is shown that the use of volatility as a measure of risk entails more serious limitationsthan just not satisfying a set of coherence axioms. Specifically, volatility is not capable ofdistinguishing differences between the tails of distributions, which leads to underestimatingpotential losses. Moreover, it is shown that value at risk (VaR), the measure of risk mostused by financial intermediaries, is not a coherent measure. The VaR methodology doesnot provide information when the potential size of a loss exceeds the threshold determinedby VaR. Fortunately, it can be constructed a coherent measure of risk that does takes intoaccount such information, the so-called conditional expectation of the tail of VaR. It isalso shown that subaditivity is not the property that is less frequently satisfied by a riskmeasure. In this regard, it is constructed an example of a risk measure, in terms of the priceof a European call option, that is not invariant under translations. Furthermore, a simpledemonstration of the representation theorem of coherent measures of risk is provided interms of a family of conditional probabilities. Several simple rules are stated to constructcoherent measures from other coherent measures. Finally, it is shown that in a portfolio offutures contracts on zero-coupon bonds (CETES), the VaR increases instead of decreasingwhen such a portfolio is diversified by adding contracts with different expiration dates. Incontrast, when a coherent measure of risk is used, diversification must always lead to areduction in risk.JEL Classification: G11, G13Keywords: Risk measures, futures contracts

1. Introduccion

El desarrollo de metodos para cuantificar el riesgo de mercado con base en modelos analıti-cos no es un asunto de interes contemporaneo. Su inicio se situa en la decada de los treintacon el trabajo de Macaulay (1939). Desde entonces varias medidas de riesgo se encuentrandisponibles en la literatura. Sin embargo, la mayorıa de estas medidas no cumplen conpropiedades basicas ni deseables. Por ejemplo, algunas medidas no reflejan la reduccionde riesgo cuando se diversifica y otras mas subestiman perdidas potenciales.

El trabajo seminal de Artzner et al. (1999), sobre medidas coherentes de riesgo,ha conducido a cambios y transformaciones profundas en la forma de cuantificar riesgos.Artzner (1999) expresa las propiedades basicas y/o deseables de una medida coherente deriesgo a traves de un conjunto de axiomas. En los ultimos anos, la literatura sobre medidascoherentes de riesgos a crecido de manera considerable. En este sentido, es importantemencionar los trabajos de Acerbi (2001), Delbaen (2000), Jarrow (2002), Yang y Siu (2001)y Venegas-Martınez (2003) and (2005).

Uno de los objetivos que persigue este trabajo es derivar un conjunto de propiedadesadicionales a las que se conocen en la literatura que una medida coherente de riesgo debe

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satisfacer. Asimismo, se examinan varias medidas de riesgo de uso frecuente para indagarsi son coherentes o no. Cuando no hay coherencia se proporcionan en detalle varios contra-ejemplos. Esta investigacion va mas alla de verificar si una medida de riesgo es coherente ono. En este sentido, con base en el concepto de copula de distribuciones y las propiedadesde las colas de combinaciones convexas de distribuciones Gaussianas, se muestra que eluso de la volatilidad como una medida de riesgo conlleva a limitaciones mas serias quesatisfacer o no un conjunto de axiomas de coherencia. Especıficamente, la volatilidad esincapaz de distinguir diferencias entre las colas de distribuciones, con lo cual se subestimanperdidas potenciales.

Asimsimo, el presente trabajo muestra que el valor en riesgo (VaR), una de las medidadmas utilizadas por intermediarios financieros, no es una medida subaditiva y, por lo tanto,no es coherente. Esta metodologıa de uso comun subestima perdidas potenciales puesno proporciona informacion cuando el tamano potencial de la perdida excede el umbraldeterminado por el VaR. Afortunadamente, se puede construir una medida de riesgo que sıtoma en cuenta dicha informacion, la llamada esperanza condicional de la cola del valor enriesgo. Al respecto, se muestra que la esperanza condicional de la cola del valor en riesgo,o VaR condicional, es una medida coherente de riesgo.

No solo la propiedad de subaditividad es la que con menos frecuecia es satisfechapor una medida de riesgo. En este sentido, se proporciona un ejemplo de una medida deriesgo, en terminos del precio de una opcion europea de venta, que no es invariante bajotraslaciones. En este caso, el valor de mercado de los tıtulos (de capital y/o deuda) de unaempresa sigue un movimiento geometrico Browniano y existe en el mercado un put quepaga dicho valor de mercado si la empresa se declara en bancarrota en una fecha futurapredeterminada, y cero en otro caso, bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo.Tambien, se presenta una demostracion sencilla del teorema de representacion de medidascoherentes de riesgo en terminos de una familia de probabilidades condicionales. En estetrabajo tambien se establecen varias reglas sencillas para construir medidas coherentes apartir de otras medidas coherentes.

Por ultimo, se se muestra en un portafolio de contratos futuros de CETES, el VaR enlugar de reducir aumenta cuando se diversifica anadiendo contratos con otros vencimientos.Mientras que si se utiliza una medida coherente de riesgo, en particular la esperanzacondcional del VaR, se tiene que diversificar siempre conduce a una reduccion en riesgo.

El presente trabajo de investigacion se encuentra organizado de la siguiente manera.En la proxima seccion se define, en terminos generales, una medida de riesgo. En la seccion3 se enlistan y justifican los axiomas que definen una medida coherente de riesgo. En laseccion 4 se deriva un conjunto de propiedades adicionales que una medida coherente deriesgo debe satisfacer. En el transcurso de la seccion 5 se muestra que la varianza no es unamedida coherente de riesgo. En las secciones 6 y 7 se exhibe que el uso de la varianza comouna medida de riesgo conlleva a limitaciones mas serias que satisfacer o no un conjuntode axiomas de coherencia. En la seccion 8 se presentan en forma breve algunos resultadosde la metodologıa de VaR. En la seccion 9 se muestra que el valor en riesgo (VaR) noes una medida coherente de riesgo. A traves de la seccion 10, se proporciona un ejemplode una medida de riesgo, en terminos del precio de una opcion europea de venta, que noes invariante bajo traslaciones. En la seccion 11 se muestra que la esperanza condicional

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de la cola del VaR es una medida coherente de riesgo. En la seccion 12 se demuestra elteorema de representacion de medidas coherentes de riesgo en terminos de una familia deprobabilidades condicionales. En la seccion 13 se establecen varias reglas para construirmedidas coherentes a partir de otras medidas coherentes. En la seccion 14 se muestraque en un portafolio de contratos futuros de CETES el VaR en lugar de reducir aumentacuando se diversifica anadiendo contratos con otros vencimientos. Mientras que si se utilizauna medida coherente de riesgo, en particular la esperanza condcional del VaR, se tieneque una reduccion en riesgo. Por ultimo, en la seccion 15, se presentan las conclusiones ylimitaciones del trabajo.

2. Medidas de riesgo

El posible cambio en el valor de un portafolio, en una fecha futura, sera visto, de ahora enadelante, como una variable aleatoria. Una medida de riesgo se define como una funcionde dicha variable aleatoria. En forma mas precisa, considere un intervalo de tiempo [t, T ].El valor inicial, en t, de un portafolio que consiste de w1 unidades del activo S1t y w2

unidades del activo S2t esta dado por

Πt = w1S1t + w2S2t.

El cambio en el valor del portafolio, entre las fechas t y T , manteniedo las cantidades w1

y w2 contantes, es decir, sin rebalancear el portafolio, satisface

X := ΠT − Πt = w1D1T + w2D2T

dondeD1T = S1T − S1t, D2T = S2T − S2t.

Si S1T : Ω1 −→ IR y S2T : Ω2 −→ IR son variables aleatorias definidas sobre dos espaciosmuestrales, entonces X : Ω −→ IR, con Ω = Ω1 × Ω2, es una variable aleatoria asociadaal cambio en el valor del portafolio. Asimismo, se supone que X esta definida sobre unespacio de probabilidad fijo (Ω,F , IP). Se define la familia

A = X | X : Ω −→ IR .

De ahora en adelante, la variable aleatoria X sera llamada cambio en el valor del portafolioy A denotara el conjunto de todos los posibles cambios en el valor del portafolio. Evidente-mente, el esquema anterior puede generalizarse, sin dificultad, a un portafolio con mas dedos activos. Si se desea que X represente el cambio en valor de un solo activo, entonces setoman, simplemente, w1 = 1 y w2 = 0. Una medida de riesgo sera vista como una funcionρ : A −→ IR. En terminos generales, una medida de riesgo sera definida con base en unamedida de probabildad IP.

Por otro lado, si en lugar del cambio en valor del portafolio, ΠT − Πt, se considera elrendimiento del portafolio,

ΠT − Πt

Πt= α1

S1T − S1t

S1t+ α2

S2T − S2t

S2t,

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dondeα1 =

w1S1t

Πt, α2 =

w2S2t

Πty α1 + α2 = 1,

se tiene que los rendimientos (cambios porcentuales en los precios) de los activos estanacotados inferiormente por −1, mientras que los cambios en valor de los activos D1T yD2T pueden tomar cualquier valor en IR.

En ocasiones, la variable aleatoria X asociada al cambio en el valor de un portafolioentre dos fechas, recibe el nombre de riesgo, lo cual parece apropiado y en cuyo casoρ(X) deberıa leerse como “medida de riesgo del riesgo X,” lo cual genera repeticion determinos. Compare esta situacion con el caso de una medida de probabilidad, la cual esllamada simplemente probabilidad, si a la medida de riesgo se le llama simplemente riesgo,entonces ρ(X) deberıa leerse como “riesgo del riesgo.” Para evitar estos problemas determinologıa se insiste en hacer referencia a X como el cambio en valor de un portafolio, oincluso de manera simple como un elemento de A y en el peor de los casos como la posicionX.

3. Propiedades deseables de una medida coherente de riesgo

Las propiedades deseables de una medida coherente de riesgo ρ se enlistan y justifican acontinuacion:

(i) Monotonıa no creciente. Si X, Y ∈ A son tales que X ≤ Y , entonces

ρ (X) ≥ ρ (Y ) .

Es decir, si partiendo de un mismo portafolio, el cambio en el valor del portafolio Xes menor que el de Y , entonces, por la perdida de valor de X, el riesgo de X deberaser mayor que el de Y .

(ii) Subaditividad. Si X, Y ∈ A, entonces

ρ (X + Y ) ≤ ρ (X) + ρ (Y ) .

Esta propiedad expresa que una fusion de portafolios no crea riesgo adicional. En elcontexto de portafolios de inversion esta propiedad dice que la diversificacion reduceel riesgo. El cumplimiento de la subaditividad permite practicas de administracion deriesgos mas eficientes. Por ejemplo, si dos areas de analisis de una misma institucionfinanciera calculan, de manera independiente, las medidas ρ (X) y ρ (Y ) de los riesgosque tomaran y la medida de riesgo que utilizan es subaditiva, el director general puedeestar seguro de que ρ (X)+ρ (Y ) es una garantıa aceptable relativa al riesgo de X +Y .

(iii) Homogeneidad positiva (homogeneidad de grado uno con constantes positivas). Siα ≥ 0 y X ∈ A, se tiene que

ρ (αX) = αρ (X) .

Esta propiedad establece que el tamano del portafolio influye directamente en el riesgo.No es lo mismo invertir una unidad monetaria en activos financieros que invertir un

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millon en los mismos activos. En el segundo caso es un millon de veces mas riesgoso.En este contexto, tambıen se dice que ρ(·) es una funcion homogenea de grado uno.Observe, por ultimo, que la subaditividad implica que ρ(nX) ≤ nρ(X) para todan ∈ IN.

(iv) Invarianza bajo traslaciones. Si X ∈ A y α ∈ IR, se tiene que ρ(X + α) = ρ(X) − α.Si se tiene un sistema bancario en el que los agentes pueden prestar y pedir prestadoa una tasa de interes libre de riesgo, r, y si se escribe

ρ(X + α) = ρ(X +

α

rr)

,

se puede interpretar a α como el interes, libre de riesgo, que paga un deposito bancariosobre una inversion inicial α/r. De esta manera, la propiedad de invarianza bajotraslaciones dice que el riesgo disminuye en dichos intereses. Si α es negativa, estase interpreta como un adeudo al banco, lo que incrementa el riesgo en el portafolio.Ademas, si se escribe α = ρ(X), entonces ρ(X + ρ(X)) = 0, ya que ρ(X + ρ(X)) =ρ(X) − ρ(X) = 0. De esta manera, α = ρ(X) se puede interpretar como la cantidadmonetaria que se requiere para eliminar el riesgo de X. Es decir, ρ(X) funciona comocomo cobertura de X.Por ultimo, observe que en terminos estrictos, ρ(X) no es invariante bajo traslacionespor el cambio de signo en α dentro y fuera de ρ. Sin embargo, en la literaturaespecializada esta propiedad ha adoptado dicho nombre y lo mismo se hara en eltrancurso del presente capıtulo. Un buen nombre para esta propiedad podrıa ser“invarianza monetaria”.

4. Tratamiento axiomatico de una medida coherente de riesgo

A continuacion se formaliza el concepto de medida coherente de riesgo con base en laspropiedades anteriores.

Se dice que una medida de riesgo ρ es coherente, en el sentido de Artzner et al (1999), sipara X, Y ∈ A y α ∈ IR se cumple lo siguiente:

(i) Y ≥ X ⇒ ρ(X) ≥ ρ(Y ),

(ii) ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y ),

(iii) ρ(αX) = αρ(X), α ≥ 0,

(iv) ρ(X + α) = ρ(X) − α, α ∈ IR.

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4.1 Propiedades adicionales de una medida coherente de riesgo

Algunas proposiciones sobre la funcion ρ que se desprenden de los axiomas son:

(a) La funcion ρ es convexa en A. Es decir, si X, Y ∈ A y λ ∈ [0, 1], entonces

ρ(αX + (1 − α)Y ) ≤ αρ(X) + (1 − α)ρ(Y ).

Esto se sigue de los axiomas de subaditividad y homogeneidad positiva. La propiedadde convexidad de la funcion objetivo en los problemas de optimizacion de portafolios esesencial ya que esta, junto con otras condiciones, garantiza la existencia de soluciones.

(b) La funcion ρ es continua en A. Este resultado se sigue de la convexidad de ρ. De estamanera, cambios pequenos en X conducen a cambios pequenos en ρ(X).

(c) El conjunto B = X | ρ(X) ≤ 0 es es cerrado y convexo. Esto se debe a la continuidady convexidad de ρ en A. Por lo tanto, el conjunto B contiene todos sus puntos lımite.

(d) ρ(α) = −α para toda α ∈ IR. En efecto, las propiedades de homogeneidad positivae invarianza bajo traslaciones conducen a que 0 = ρ(0) = ρ(α − α) = ρ(α) + α, locual implica que ρ(α) = −α. El mismo resultado se obtiene a partir de la propiedadde invarianza bajo traslaciones con X = 0. De lo anterior, se concluye que en unainversion libre de riesgo, el riesgo es reducido justamente en el rendimiento de lainversion, lo cual hace que el rendimiento de la inversion y el riesgo se eliminen entresı. Por supuesto, se supone, como antes, la existencia de un sistema bancario en elque lo agentes pueden prestar o pedir prestado a una tasa de interes constante y librede riesgo.

(e) ρ(X +ρ(X +ρ(X))) = ρ(X). En efecto, ρ(X +ρ(X +ρ(X))) = ρ(X)−ρ(X+ρ(X)) =ρ(X) − ρ(X) + ρ(X) = ρ(X). De esta manera, si se toman al mismo tiempo unacobertura ρ(X) de X y la posicion contraria a dicha cobertura, el efecto total seanula.

(f) ρ(α) es continua para para toda α ∈ IR. Sea (αn)n∈IN, αn ↓ α. Debido a la propiedad(d), se tiene que

limn→∞

ρ(αn) = − limn→∞

αn = −α = ρ(α) = ρ(

limn→∞

αn

).

En consecuencia, la continuidad de ρ(·) se mantiene para inversiones libres de riesgo.

(g) Si α > 0, entonces ρ(X + α) ≤ ρ(X)+ α, mientras que si α < 0, entonces ρ(X + α) ≥ρ(X) + α. De lo anterior, se tiene una cota superior para el riesgo de un portafolioque incluye un deposito y una cota inferior cuando se incluye un adeudo.

(h) Si α > 0, entonces ρ(X + α) ≤ ρ(X) ≤ ρ(X − α). Por lo tanto, un deposito en unbanco reduce el riesgo y un adeudo lo incrementa.

(i) Si X ≤ 0, entonces ρ(X) ≥ 0. Basta aplicar la propiedad de monotonıa no creciente.Lo anterior implica que una reduccion en el cambio de valor en el portafolio siempreconlleva riesgo.

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(j) Si a ≤ X ≤ b, entonces a ≤ −ρ(X) ≤ b. En efecto, observe que X − b ≤ 0 y queX−a ≥ 0, entonces ρ(X)+b = ρ(X−b) ≥ ρ(0) = 0 y ρ(X)+a = ρ(X−a) ≤ ρ(0) = 0.Ası, ρ(X) ≥ −b y ρ(X) ≤ −a. Por lo tanto, −b ≤ ρ(X) ≤ −a.

(k) Sea ||X − Y ||∞ = supω∈Ω |X(ω)− Y (ω)|, entonces

|ρ(X)− ρ(Y )| ≤ ||X − Y ||∞.

En efecto, evidentemente, ||X − Y ||∞ ≥ X − Y o Y + ||X − Y ||∞ ≥ X. Por lo tanto,

ρ(X) ≥ ρ(Y + ||X − Y ||∞) = ρ(Y ) − ||X − Y ||∞,

lo cual implica que||X − Y ||∞ ≥ ρ(Y ) − ρ(X).

Si se procede de la misma forma partiendo de ||X − Y ||∞ ≥ X − Y , se puede verque ||X − Y ||∞ ≥ −(ρ(Y ) − ρ(X)), con lo cual se obtiene al resultado previamenteplanteado.

(l) Si se reescribe ρ(X) := ρ(w1, w2), donde w1 y w2 son las cantidades de activos queconforman el portafolio, entonces el teorema de Euler conduce a

ρ(w1, w2) = w1∂ρ

∂w1(w1, w2) + w2

∂ρ

∂w1(w1, w2).

De esta manera, si w1 y w2 cambian simultaneamente en la misma proporcion, en-tonces ρ(w1, w2) cambia en exactamente dicha proporcion.

(m) ∂ρ/∂w1 y ∂ρ/∂w2 son funciones homogeneas de grado cero. Este resultado tambiense sigue del teorema de Euler.

5. Medidas de riesgo mas usuales

En esta seccion se enlistan algunas de las medidas de riesgo mas populares que se definenen terminos de una medida de probabilidad. Sea X una variable aleatoria definida sobreun espacio de probabilidad (Ω,F , IP).

(a) Se define la varianza de X como:

ρ(1)(X) := VarIP[X] = EIP[(

X − EIP [X])2]

.

La volatilidad σIP(X) se define como la raız cuadrada de la varianza.

(b) Se define el valor en riesgo (VaR), al nivel 1 − q, 0 < q < 1, como:

ρ(2)(X) := VaRX

1−q = − inf x ∈ IR | IP X ≤ x ≥ q .

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(c) Se define la esperanza condicional de la cola del VaR, para 0 < q < 1, como:

ρ(3)(X) := EX1−q = −EIP

[X | X < −VaR

X

1−q

]= EIP

[−X | − X > VaR

X

1−q

].

6. La varianza no es una medida de riesgo coherente

Aun cuando la varianza representa una de las formas mas utilizadas para medir riesgos,posiblemente por la gran difusion de la teorıa de portafolios desarrollada por Markowitz,la varianza no satisface ninguno de los axiomas de coherencia.

La varianza no satisface la propiedad de homogeneidad positiva ya que las constantessalen al cuadrado, ni es invariante bajo traslaciones pues la varianza de una variable masuna constante es igual a la varianza de la variable. Observe tambien que si X y Y sonvariables aleatorias definidas sobre (Ω,F , IP),

ρ(1)(X + Y ) =VarIP[X + Y ]

=VarIP[X] + VarIP[Y ] + 2CovIP(X, Y )

=ρ(1)(X) + ρ(1)(Y ) + 2CovIP(X, Y ).

Por lo tanto, el cumplimiento o no de la subaditividad depende del signo de CovIP(X, Y ).La unica ventaja que presenta la desviacion estandar (o volatilidad),

σIP(X) =√

VarIP[X],

es que satisface la propiedad de homogeneidad positiva, σIP(αX) = ασIP(X).

7. Otras limitaciones mas serias de la varianza como medida deriesgo

Insistir en utilizar a la varianza como una medida de riesgo conlleva a limitaciones masserias que satisfacer o no un conjunto de axiomas de coherencia. Los siguientes ejemplosmuestran que la varianza es incapaz de detectar diferencias entre las colas de dos distribu-ciones y, por lo tanto, no distingue diferencias entre las probabilidades de ocurrencia devalores extremos de dichas distribuciones.

7.1 La varianza no detecta efectos de colas pesadas

Considere la distribucion normal bivariada(

D1T

D2T

)∼ N

((00

),

(1 ρρ 1

)),

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entonces su funcion de distribucion conjunta esta dada por

FD1T ,D2T(x, y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞

1

2π√

1 − ρ2e−(u2−2ρuv+v2)/2(1−ρ2)dudv.

Si ρ = 0, es decir, si D1T y D2T son variables aleatorias no correlacionadas, entonces

FD1T ,D2T(x, y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞

1

2π√

1 − ρ2e−

12 (u2+v2)dudv

=∫ x

−∞

1√2π

e−12u2

du

∫ y

−∞

1√2π

e−12 v2

dv

= Φ(x)Φ(y),

en cuyo caso D1T y D2T son variables aleatorias independientes. Claramente, el recıprocosiempre se cumple, es decir, variables aleatorias independientes son no correlacionadas. Acontinuacion, se examina un caso, fuera del mundo Gaussiano, en donde variables aleatoriasno correlacionas, no necesariamente son independientes. Con este proposito, se define,primero, la funcion C(x, y) como

C(x, y) =∫ x

0

∫ y

0

[1 + f (u) g (v)]dudv

= xy +(∫ x

0

f(u)du

)(∫ y

0

g(v)dv

), para 0 ≤ x, y ≤ 1,

dondef(u) = 1[α,1−α](u) − 1 − 2α

2α1[0,α)∪(1−α,1](u),

g(v) = −1[α,1−α](v) +1 − 2α

2α1[0,α)∪(1−α,1](v)

y14≤ α ≤ 1

2.

Ası, f(v) = −g(v). De lo anterior, se tiene que 1 + f (u) g (v) = 1 + (1)(−1) = 0 para toda(u, v) ∈ [α, 1 − α] × [α, 1 − α]. Por otro lado,

∫ 1

0

f(u)du = −∫ α

0

1 − 2α

2αdu +

∫ 1−α

α

du −∫ 1

1−α

1 − 2α

2αdu

= − 1 − 2α

2+ 1 − 2α − 1 − 2α

2= 0.

Por lo tanto, ∫ 1

0

g(v)dv = −∫ 1

0

f(v)dv = 0.

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De la misma forma,

∫ 1

0

uf(u)du = − 1 − 2α

2α

∫ α

0

udu +∫ 1−α

α

udu − 1 − 2α

2α

∫ 1

1−α

udu

= − 1 − 2α

2α

(α2

2

)+

(1 − α)2

2− α2

2− 1 − 2α

2α

(12− (1 − α)2

2

)

= − (1 − 2α)α4

+1 − 2α

2− 1 − 2α

4(2 − α) = 0.

En consecuencia,∫ 1

0

vg(v)dv = −∫ 1

0

vf(v)dv = 0.

Observe tambien que C(1, 1) = 1 · 1 + 0 · 0 = 1, C(0, 0) = 0. Por otro lado, el productof(u)g(v) solo puede tomar los siguiente valores:

−1, −1 − 2α

2α,

1 − 2α

2αy

(1 − 2α

2α

)2

.

En virtud de que

0 ≤ 1 − 2α

2α≤ 1,

se tiene 1 + f(u)g(v) ≥ 0. Dado que C(x, y) representa el volumen acumulado por 1 +f(u)g(v) hasta (x, y), la funcion C(x, y) es creciente en ambos argumentos. Se puedeconcluir entonces que C(x, y), 0 ≤ x, y ≤ 1, es una funcion de distribucion con marginalesuniformes en [0,1]. Concretamente,

CU(x) = C(x, 1) = x · 1 +

(∫ x

0

f(u)du

)(∫ 1

0

g(v)dv

)= x

y

CV(y) = C(1, y) = 1 · y +

(∫ 1

0

f(u)du

)(∫ y

0

g(v)dv

)= y.

La funcion de distribucion bivariada FU,V

(x, y) = C(x, y) se llama copula uniforme. En

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este caso, la covarianza entre U y V satisface

Cov(U, V )

=∫ 1

0

∫ 1

0

(u − 1

2

) (v − 1

2

)(1 + f(u)g(v))dudv

=∫ 1

0

∫ 1

0

(uv − 1

2(u + v) + 14

)(1 + f(u)g(v))dudv

=(∫ 1

0

udu

)(∫ 1

0

vdv

)+(∫ 1

0

uf(u)du

)(∫ 1

0

vg(v)dv

)

− 12

[∫ 1

0

udu +∫ 1

0

vdv +(∫ 1

0

uf(u)du

)(∫ 1

0

g(v)dv

)

+(∫ 1

0

vg(v)dv

)(∫ 1

0

f(u)du

)]+ 1

4 + 14

(∫ 1

0

f(u)du

)(∫ 1

0

g(v)dv

)

=(∫ 1

0

udu

)(∫ 1

0

vdv

)− 1

2

[∫ 1

0

udu +∫ 1

0

vdv

]+ 1

4

= 14 − 1

2 + 14 = 0.

Es decir, U y V son variables aleatorias no correlacionadas. Evidentemente, U y V noson independientes, ya que para (x, y) ∈ [α, 1 − α] × [α, 1 − α], se tiene que c(x, y) = 0; laindependencia estocastica exigirıa que C(x, y) ≡ 1 en [0, 1]× [0, 1].

Ahora suponga que se tienen dos variables aleatorias D1T y D2T con funcion dedistribucion conjunta

FD1T ,D2T

(x, y) = C(Φ(x), Φ(y)),

dondeΦ(x) =

∫ x

−∞

1√2π

e−12 v2

dv.

Observe que FD1T ,D2T

(x, y) no es normal bivariada, ya que si

(Φ(x), Φ(y)) ∈ [α, 1 − α] × [α, 1 − α] ,

se tiene que

FD1T ,D2T

(x, y) =∫ Φ(x)

α

∫ Φ(y)

α

[1 + f (u) g (v)] dvdu

=∫ Φ(x)

α

∫ Φ(y)

α

0dvdu = 0.

Claramente, FD1T ,D2T

(x, y) = C (Φ(x), Φ(y)) tiene marginales Gaussianas estandar ya que

FD1T

(x) = FD1T ,D2T

(x,∞) = C (Φ (x) , Φ (∞)) = C (Φ (x) , 1) = Φ (x)

yF

D2T(y) = F

D1T ,D2T(∞, y) = C (Φ (∞) , Φ (y)) = C (1, Φ (y)) = Φ (y) ,

12

con Cov(D1T , D2T ) = 0. Es facil verificar que D1T y D1T no son variables aleatoriasindependientes ya que C (Φ(x), Φ(y)) 6= Φ (x)Φ (y) . En conclusion, el ejemplo desarrolladoproporciona dos variables aleatorias D1T y D2T normales estandar con covarianza cero queno son independientes. Con el fin de determinar la funcion de densidad conjunta de D1T

y D2T , considere

C(Φ(x), Φ(y)) =∫ Φ(x)

0

∫ Φ(y)

0

[1 + f (u) g (v)] dudv

=∫ x

−∞

∫ y

−∞

[1 + f

(Φ−1(u)

)g(Φ−1(v)

)] (Φ−1(u)

)′ (Φ−1(v)

)′dudv.

De esta manera, el integrando constituye la densidad de D1T y D2T . Dicha densidad seanula en puntos (x, y) ∈ [Φ−1

X (α), Φ−1X (1 − α)] × [Φ−1

Y (α), Φ−1Y (1 − α)]. En la figura 6.1

se compara la densidad de C(Φ(x), Φ(x)) con la densidad normal bivariada. Dado que elvolumen bajo ambas densidades tiene que ser igual a la unidad y la densidad 1 + fg seanula en el conjunto [Φ−1

X (α), Φ−1X (1 − α)] × [Φ−1

Y (α), Φ−1Y (1 − α)], entonces su volumen

tiene que compensar en las colas, haciendolas mas pesadas. Por lo tanto, la densidad deC(Φ(x), Φ(y)) tiene colas mas pesadas que la densidad normal bivariada. Ası, la proba-bilidad de que ocurran valores extremos, tanto positivos como negativos, es mayor enC(Φ(x), Φ(y)) que en la distribucion normal bivariada.

a) Densidad de C(x, y) b) Densidad Normal bivariada

Figura 6.1 Densidades de la Copula Gaussiana y la normal bivariada.

Considere ahora dos portafolios

X = w1D1T + w2D2T ,

13

donde D1T y D2T provienen de la normal bivariada de la seccion 6.1, y

Y = w1D1T + w2D2T

donde D1T y D2T provienen de la copula Gaussiana. Observe

ρ(1)(X) = Var[X] = w21 + w2

1 = Var[Y ] = ρ(1)(Y ).

Sin embargo, la copula Gaussiana tiene colas mas pesadas que la normal bivariada y porlo tanto el riesgo de Y debe ser mayor que el de X.

7.2 Otro ejemplo en donde la varianza no detecta efectos de colaspesadas

Considere ahora la distribucion normal bivariada(

D1T

D2T

)= N

((00

),

(1 ρ0

ρ0 1

))

para un ρ0 dado, y considere la distribucion conjunta

Fρ0D1T ,D2T

(x, y) =∫ x

−∞

∫ y

−∞

12π√

1 − ρ20

exp

−u2 − 2ρ0uv + v2

2(1 − ρ2

0

)

dudv.

Defina ahora la distribucion

GD1T ,D2T

(x, y) = λF ρ1

D1T ,D2T

(x, y) + (1 − λ)F ρ2

D1T ,D2T

(x, y)

con ρ1 < ρ2, 0 < λ < 1, −∞ < x, y < ∞. Claramente, G tiene marginales

GD1T

(x) = λF ρ1

D1T ,D2T

(x,∞) + (1 − λ) F ρ2

D1T ,D2T

(x,∞) = Φ (x) ,

GD2

(y) = λF ρ1

D1T ,D2T

(∞, y) + (1 − λ) F ρ2

D1T ,D2T

(∞, y) = Φ (y)

y covarianza λρ1 + (1 − λ) ρ2. Sin perdida de generalidad, dados ρ1, ρ2 tales que ρ1 < ρ2,existe λ tal que ρ0 = λρ1 + (1 − λ)ρ2. Ahora bien, como

D1T + D2TF ρ0∼ N (0, 2 (1 + ρ0))

y

D1T + D2TF ρi

∼ N (0, 2 (1 + ρi)) ,

esto implica que la cola de D1T + D2T bajo F ρ0 satisface

IPF ρ0 D1T + D2T > z = 1 − Φ

(z√

2 (1 + ρ0)

)

14

y la cola de D1T + D2T bajo G cumple con

IPGD1T + D2T > z

=λ(1 − IPF ρ1

D1T + D2T > z

)+ (1 − λ)

(1 − IPF ρ2

D1T + D2T > z

)

=λ

(1 − Φ

(z√

2 (1 − ρ1)

))+ (1 − λ)

(1 − Φ

(z√

2 (1 − ρ2)

)).

Si se utiliza la siguiente propiedad de la cola de la distribucion normal estandar:

1 − Φ (x) = φ(x)(

1x

+ o

(1x2

)),

la cual se demuestra como sigue

limx→∞

1 − Φ (x)φ(x)

x

= limx→∞

−φ(x)xφ(x)(−x) − φ(x)

x2

= limx→∞

1

1 + 1x2

= 1

donde Φ′(x) = φ(x), se tiene que

1 − Φ(

z√2(1 − ρi)

)

1 − Φ(

z√2(1 − ρ0)

) =φ

(z√

2(1 − ρi)

)(√2(1 + ρi)

z + o (·))

φ

(z√

2(1 + ρ0)

)(√2(1 + ρ0)

z + o (·))

≈

1√2π

exp− z2

4(1 + ρi)

1√2π

exp− z2

4(1 + ρ0)

√

1 + ρi

1 + ρ0

= exp

−z2

4

(1

1 + ρi− 1

1 + ρ0

)√1 + ρi

1 + ρ0

.

Sin embargo, ρ0 , ρ1 y ρ2 satisfacen

11 + ρ2

− 11 + ρ0

< 0 y1

1 + ρ1− 1

1 + ρ0

> 0.

Por lo tanto,

limz→∞

1 − Φ(

z√2(1 − ρ2)

)

1 − Φ(

z√2(1 − ρ0)

) = ∞

15

y

limz→∞

1 − Φ(

z√2(1 − ρ1)

)

1 − Φ(

z√2(1 − ρ0)

) = 0.

Ası,

limz→∞

IPGD1T + D2T > z

IPF ρ0 D1T + D2T > z= lim

z→∞

λ

1 − Φ(

z√2(1 + ρ1)

)

1 − Φ(

z√2(1 + ρ0)

)

+ (1 − λ)

1 − Φ(

z√2(1 + ρ2)

)

1 − Φ(

z√2(1 + ρ0)

)

=0 + ∞ = ∞.

Esto quiere decir que los cuantiles altos de G son mucho mayores que los cuantiles altosde F ρ0 . Por lo tanto, valores extremos bajo G tienen mayor probabilidad de ocurrir quebajo F ρ0 . Ası, si se escribe X = D1T + D2T y Y = D1T + D2T , el riesgo asociado a X esmayor que el de Y . Sin embargo,

ρ(1)(X) = Var[X] = 2(1 + ρ0) = Var[Y ] = ρ(1)(Y ).

Observe tambien que bajo ambas distribuciones G y F ρ0 , Cov(X, Y ) = ρ0 6= 0. En conse-cuencia, la covarianza, ρY (X) := Cov(X, Y ) con Y fija, tampoco es una medida coherentede riesgo, lo cual implica que la beta obtenida a traves del CAPM (Capital Asset PricingModel) tampoco es una medida coherente de riesgo.

7.3 Un ejemplo mas de que la varianza no es una medida coherentede riesgo

Considere la funcion de densidad conjunta

fD1T ,D2T

(u, v) =1

4π√

1 − ρ2

[e−(u2−2ρuv+v2)/2(1−ρ2) + e−(u2+2ρuv+v2)/2(1−ρ2)

].

Se puede verificar que, para cualquier valor ρ ∈ [−1, 1], D1T ∼ N (0, 1), D2T ∼ N (0, 1),Cov(D1T , D2T ) = 0, y D1T y D2T no son independientes. Sea X(ρ) = w1D1T + w2D2T .Claramente, Var[X(ρ)] = w2

1 + w22 para cualquier valor de ρ ∈ [0, 1]. La figura 6.2 muestra

la funciones de densidades conjuntas para los valores ρ = 0.1 y ρ = 0.9. Se puede observarel comportamiento diferente de las colas de las densidades para estos valores, lo cual esignorado por la varianza.

16

a) ρ = 0.1 b) ρ = 0.9

Figura 6.2 Densidades conjuntas con diferentes valores de ρ.

8. Valor en riesgo (VaR)

En 1995, el banco J. P. Morgan publico un documento tecnico en donde se proponıa unmetodo novedoso para cuantificar el riesgo de mercado asociado a todas las posiciones desu banco a traves del calculo de un solo numero, lo que se conoce como valor en riesgo (oVaR por las iniciales en ingles del termino Value at Risk). Casi desde entonces, el valoren riesgo es una las medidas que se utilizan con mayor frecuencia, por los intermediariosfinancieros, en la estimacion de perdidas potenciales, ya sea en el valor o en el rendimientode un portafolio, en un periodo de tiempo y con un nivel de confianza dado. La literaturasober VaR es abundante. Vale la pena mencionar los trabajos de Ahn et al. (1999), Dufiey Pan (1997), Jorion (2001).

8.2 Mapeo de flujos para simplificar el calculo y actualizacion deVaR

Usualmente, la estimacion y actualizacion del VaR de un portafolio de activos requiere deun numero considerable de calculos, sobre todo cuando el portafolio contiene productosderivados como forwards, opciones o swaps. En este sentido, cuando los cambios (abso-lutos o porcentuales) del portafolio, y de los derivados que en el participan, se puedenexpresar en funcion de cambios (absolutos o porcentuales) de activos financieros “simples”(acciones, divisas, bonos cupon cero, etc.), entonces se obtiene una reduccion importanteen el numero de calculos. De preferencia, es deseable que dicha dependencia sea lineal, encuyo caso los activos financieros “simples” son llamados vertices. Es importante destacarque cuando no se tiene dicha linealidad, se puede siempre recurrir al teorema de Taylor paralinealizar alrededor de un punto. Afortunadamente, el supuesto de normalidad, con unatransformacion adecuada de la matriz de varianzas-covarianzas, aunado a la propiedad delinealidad (una combinacion lineal de variables aleatorias normales es normal) disminuyesignificativamente el numero de calculos.

17

8.3 El concepto de valor en riesgo (parametrico)

En esta seccion se presenta la definicion formal del valor en riesgo parametrico del cambioen el valor de un portafolio. Por simplicidad, se considera un portafolio que combina dosactivos risgosos.

Considere un intervalo de tiempo [t, T ]. El valor inicial, en t, de un portafolio queconsiste de w1 unidades del activo S1t y w2 unidades del activo S2t esta dado por

Πt = w1S1t + w2S2t.

El cambio en el valor del portafolio, entre las fechas t y T , manteniedo las cantidades w1

y w2 contantes, se puede escribir de la siguiente manera:

X := ΠT − Πt = w1(S1T − S1t) + w2(S2T − S2t).

Si S1T : Ω1 −→ IR y S2T : Ω2 −→ IR son variables aleatorias definidas sobre dos espaciosmuestrales, Ω1 y Ω2, entonces X : Ω −→ IR, con Ω = Ω1 × Ω2, es una variable aleatoriaasociada al cambio en el valor del portafolio. Asimismo, se supone que X esta definidasobre un espacio de probabilidad fijo (Ω,F , IPθ), donde θ es un vector de parametrosasociados con la distribucion de X. Si se desea que X represente el cambio en valor de unsolo activo, entonces se toman, simplemente, w1 = 1 y w2 = 0. Evidentemente, el esquemaanterior puede generalizarse, sin dificultad, a un portafolio con mas de dos activos.

El valor en riesgo de X al nivel 1 − q denotado por −VaRX1−q, se define como el peor

valor del portafolio, en un periodo de tiempo dado, [t, T ], para un intervalo de confianzadel (1 − q)100%. En forma mas precisa,

IPθ

−VaRX

1−q ≤ X

= 1 − q.

Claramente, la cantidad −VaRX1−q tambien satisface

IPθ

X ≤ −VaRX

1−q

= q.

Es decir,VaR

X

1−q = − inf x ∈ IR | IPθ X ≤ x ≥ q= − sup x ∈ IR | IPθ X ≤ x ≤ q .

Esta definicion es aplicable tanto a variables aleatorias continuas como discretas. De loanterior se desprende, inmediatamente, que

VaRX

1−q = − inf x ∈ IR | IPθ X > x ≤ 1 − q .

Como puede observarse, el numero VaRX

1−q es una estimacion estadıstica del peor valor deX con cierto grado de confianza en un intervalo de tiempo dado. La figura 8.1 ilustra elconcepto del valor en riesgo.

18

Figura 8.1 Valor en riesgo de X al nivel 1 − q.

8.4 Valor en riesgo y la funcion de cuantiles

Si X es una variable aleatoria definida en (Ω,F , IPθ), la funcion

QX(q) = inf x ∈ IR | IPθ X ≤ x ≥ q= sup x ∈ IR | IPθ X ≤ x ≤ q

es llamada la funcion de cuantiles de X. La funcion QX(q) es creciente y continua porla derecha. Claramente, si la variable aleatoria es continua, entonces QX(q) = F−1

X (q).Observe que si X es una variable aleatoria continua, entonces

E[g(X)] =∫ 1

0

g(QX(q))dq.

En efecto, por definicion

E[g(X)] =∫ ∞

−∞g(x)dFX(x),

Defina el siguiente cambio de variable x = QX(q) = F−1X (q), entonces QX(−∞) = 0,

QX(∞) = 1 y

E[g(X)] =∫ 1

0

g(QX(q))dFX(F−1X (q))

=∫ 1

0

g(QX(q))dq.

Evidentemente, el VaR y la funcion de quantiles estan relacionados mediante

VaRX

1−q = −QX (q).

19

8.5 Valor en riesgo del rendimiento de un portafolio y el teoremade Euler

En esta seccion se demuestra que el valor en riesgo tiene la propiedad de homogeneidadpositiva. Asimismo, se discute sobre la relacion que existe entre el VaR y el teorema deEuler sobre funciones homegeneas de grado uno.

Sean λ > 0 y Y = λX, entonces

FY (y) = IPY ≤ y = IP λX ≤ y = IP

X ≤ y

λ

= FX

( y

λ

),

de aquı se obtieneVaRY

1−q = − inf y ∈ IR |FY (y) ≥ q= − inf λx ∈ IR |FY (λx) ≥ q

= − inf

λx ∈ IR |FX

(λx

λ

)≥ q

= − inf λx ∈ IR |FX (x) ≥ q= − λ inf x ∈ IR |FX (x) ≥ q=λVaRX

1−q.

Observe que al multiplicar X por λ, cada wi, i = 1, 2, es multiplicada por λ. Por lo tanto,si se escribe VaRX

1−q := VaR1−q(w1, w2), se tiene que

VaR1−q(λw1, λw2) = λVaR1−q(w1, w2).

Es decir, si VaRX1−q se ve como funcion de w1 y w2, se tiene que Var1−q(w1, w2) es ho-

mogenea de grado uno. En consecuencia, el teorema de Euler produce

VaR1−q(w1, w2) = w1∂VaR1−q

∂w1(w1, w2) + w2

∂VaR1−q

∂w2(w1, w2). (1)

Si λ < 0, en general, la propiedad de homogeneidad no se cumple. En particular si, λ = −1se tiene que que

VaR−X1−q = −VaRX

q

En efecto, sea Y = −X, observe primero que

FY (y) =IPθY ≤ y = IPθ−X ≤ y = IPθX ≥ −y=1 − IPθX ≤ −y = 1 − FX(−y).

Por lo tanto,VaRY

1−q = − inf y ∈ IR |FY (y) ≥ q= − inf −x ∈ IR |F−X (−x) ≥ q= − inf −x ∈ IR | 1 − FX(x) ≥ q= − inf −x ∈ IR |FX (x) ≤ 1 − q= inf x ∈ IR |FX (x) ≤ 1 − q .

20

Por supuesto, si X es una variable aleatoria continua entonces VaR−X1−q = −VaRX

q .

8.6 Valor en riesgo bajo el supuesto de normalidad

Posiblemente, el supuesto normalidad en el VaR ha contribuido de manera muy importantea que el mismo VaR sea tan popular. Bajo este supuesto, el calculo del VaR se convierteen una expresion muy sencilla y facil de recordar.

Si el cambio de valor en un portafolio durante [t, T ], X, es visto como una variablealeatoria continua y F es su funcion de distribucion, entonces VaRX

1−q = F−1(q), es decir,VaRX

1−q es el quantil q de F . Por ejemplo, si el cambio en el valor de Πt satisface

dΠt = µdt + σdWt

donde µ ∈ IR, σ > 0 y (Wt)t∈[0,T ] es un movimiento Browniano definido en un espacio deprobabilidad equipado con su filtracion aumentada, (Ω,F , (Ft)t∈[0,T ], IP), entonces

X = ΠT − Πt ∼ N (µ(T − t), σ2(T − t)).

En este caso, se tiene que

IP

X − µ(T − t)σ√

T − t≤ −zq

∣∣∣∣ Ft

= q,

lo cual implica queIPX ≤ µ(T − t) − zqσ

√T − t

∣∣∣ Ft

= q.

En consecuencia,VaR

X

1−q =zqσ√

T − t + EIP[−X∣∣ Ft ]

=zqσ√

T − t − µ(T − t).

A partir de las tablas de quantiles de la funcion de distribucion acumulada de una variablenormal estandar, se tiene que si 1 − q = 0.95, zq = 1.65, y si 1 − q = 0.99, zq = 2.33. Siel rendimiento medio y la volatidad son anualizados, valores tıpicos de T − t son 5/360 (5dıas) y 10/360 (10 dıas). Si se definen µd = µ/360 y σd = σ/

√360 como el rendimiento y

la volatilidad diarios, se tiene que

VaRX

1−q = zqσd

√T − t − µd(T − t),

y, en este caso, T − t toma los valores de 5 (dıas) y 10 (dıas).

8.7 Valor en riesgo del cambio en valor de la suma de dos portafoliosbajo el supuesto de normalidad

Como se ha visto, en la seccion anterior, el supuesto de normalidad simplifica, considera-blemente, el calculo del VaR del cambio en valor de un portafolio. Este supuesto tambien

21

facilita los calculos del valor en riesgo del cambio en valor de la suma (combinacion) dedos portafolios. En efecto, si X ∼ N (µ

X(T − t), σ2

X(T − t)) y Y ∼ N (µ

Y(T − t), σ2

Y(T − t))

con Cov(X, Y ) = σXY

(T − t), entonces

VaRX+Y

1−q =zqσX+Y

√T − t − µ

X+Y(T − t)

=zq

√σ2

X+ 2σ

XY+ σ2

Y

√T − t − (µ

X+ µ

Y)(T − t).

8.8 Valor en riesgo del rendimiento de un portafolio

En las dos secciones anteriores se ha calculado el VaR del cambio en valor de un portafolio.El siguiente ejemplo muestra que cuando los rendimientos de los activos son normales elcalculo del valor en riesgo de un portafolio tambien es muy sencillo. Por simplicidad, seconsidera un portafolio con dos activos cuyos rendimientos estan correlacionados entre sı.

Considere dos movimientos Brownianos (Wt)t∈[0,T ] y (Ut)t∈[0,T ] correlacionados entresı, de tal forma que

Cov(dWt, dUt) = ρdt

Se supone que los precios, S1t y S2t, de dos activos son conducidos, respectivamente, por

dS1t = µ1S1tdt + σ1S1tdWt

ydS2t = µ2S2tdt + σ2S2tdUt,

donde µ1, µ2 ∈ IR y σ1, σ2 > 0. El cambio porcentual en valor del portafolio satisface

dΠt

Πt= α1

dS1t

S1t+ α2

dS2t

S2t,

dondeα1 =

w1S1t

Πt, α2 =

w2S2t

Πty α1 + α2 = 1.

En este caso,

E[dΠt

Πt

]= (α1µ1 + α2µ2) dt.

Var[dΠt

Πt

]=(α2

1σ21 + α2

2σ22 + 2α1α2σ1σ2ρ

)dt.

Por lo tanto,

VaRdΠ/Π1−q = zq

√α2

1σ21 + α2

2σ22 + 2α1α2σ1σ2ρ

√dt − (α1µ1 + α2µ2) dt.

Por otro lado, si se considera el cambio de valor en el portafolio, se tiene que

dΠt = w1S1tdS1t

S1t+ w2S2t

dS2t

S2t.

22

Ahora,E [dΠt] = (w1S1tµ1 + w2S2tµ2) dt

yVar [dΠt] =

(w2

1S21tσ

21 + w2

2S22tσ

22 + 2w1w2σ1σ2ρ

)dt.

De esta manera,

VaRdΠ1−q =zq

√w2

1S21tσ

21 + w2

2S22tσ

22 + 2w1w2S1tS2tσ1σ2ρ

√dt

− (w1S1tµ1 + w2S2tµ2) dt.

Por lo tanto, se cumple la propiedad

VaRdΠ/Π1−q =

1Πt

VaRdΠ1−q.

La cantidad VaRdΠ/Π1−q es tambien conocida como VaR diversificado.

8.9 VaR del rendimiento de un portafolio y factorizacion de Cho-lesky

En esta seccion se presenta el metodo de factorizacion de Cholesky y su aplicacion en elcalculo del VaR del rendimiento de un portafolio. Suponga que un portafolio consiste de nactivos, entonces el rendimiento del portafolio es la media de los rendimientos ponderadapor la participacion de cada activo en el valor del portafolio. Si los rendimientos delos activos siguen distribuciones normales y son no correlacionadas, la factorizacion deCholesky permite transformar los rendimientos originales en variables aleatorias con ciertaestructura de correlacion.

Pora llevar a cabo una exposicion sencilla de las ideas centrales, se considera unportafolio con solo dos activos. Suponga que los precios, S1t y S2t, de dos activos financierosson conducidos, respectivamente, por

dS1t = µ1S1tdt + σ1S1t

√dt ε1

ydS2t = µ2S2tdt + σ2S2t

√dt ε2,

donde µ1, µ2 ∈ IR, σ1, σ2 > 0, ε1, ε2 ∼ N (0, 1) y Cov(ε1, ε2) = 0. La informacion sobre ε1

y ε2 se puede resumir como

ε :=(

ε1

ε2

)∼((

00

),

(1 00 1

)).

Considere la transformacion:

η1 = ε1,

η2 = ρε1 +√

1 − ρ2 ε2,(2)

23

entonces se tiene queVar [η1] = Var [ε1] = 1,

Var [η2] = ρ2Var [ε1] +(1 − ρ2

)Var [ε2] = 1

yCov (η1, η2) =Cov

(ε1, ρε1 +

√1 − ρ2 ε2

)

=ρVar [ε1] +√

1 − ρ2Cov (ε1, ε2)=ρ.

¿Como se eligio la transformacion (2)? La respuesta esta en la factorizacion (descomposi-cion) de Cholesky. Si se denota

C =(

1 ρρ 1

).

Claramente, la matriz C es simetrica y definida positiva, entonces existe una matriz A,tambien llamada la raız cuadrada de C, tal que

C = AAT,

donde A es triangular inferior. Equivalentemente,

(1 ρρ 1

)=(

a11 0a12 a22

)(a11 a12

0 a22

)=(

a211 a11a12

a11a12 a212 + a2

22

),

lo cual implica que1 =a2

11,

ρ =a11a12,

1 =a212 + a2

22,

o (1 ρρ 1

)=(

1 0ρ√

1 − ρ2

)(1 ρ0√

1 − ρ2

).

Ahora bien, la transformacion (2) se puede reescribir como

η = Aε.

En este caso

E[η ηT

]= E

[Aε εT AT

]= AE

[ε εT

]AT = AAT = C.

En conclusion, η1, η2 ∼ N (0, 1) y Cov(η1, η2) = ρ. La informacion sobre η1 y η2 se puederesumir como:

η :=(

η1

η2

)∼((

00

),

(1 ρρ 1

)).

24

Ası pues, con base en la transformacion (2), se puede escribir


√dtε1


√dtη2,

dondeη2 = ρε1 +

√1 − ρ2ε2, ε1, ε2 ∼ N (0, 1)

yCov (ε1, ε2) = 0.

Equivalentemente,dS1t = µ1S1tdt + σ1S1tdW1t

ydS2t = µ2S2tdt + σ2S2tdW2t,

dondedW2t = ρdW1t +

√1 − ρ2dUt

yCov (dW1t, dUt) = 0.

Por lo tanto,

Cov (dW1t, dW2t) = ρVar [dW1t] +√

1 − ρ2Cov (dW1t, dUt) = ρdt.

Por ultimo, con base en lo anterior, es posible construir un sistema de ecuaciones diferen-ciales estocasticas en el que los rendimientos tengan la matriz de varianzas-covarianzas C.En efecto, si se escribe

dS1t = µ1S1tdt + S1tdW1t

ydS2t = µ2S2tdt + S2tdW2t,

dondedW2t = ρdW1t +

√1 − ρ2dUt

yCov (dW1t, dUt) = 0,

entonces

Var[dS1t

S1t

]= Var

[dS2t

S2t

]= dt

y

Cov(

dS1t

S1t,dS2t

S2t

)= ρdt.

25

Por lo tanto, si, en particular, µ1 = µ2 = 0, entonces

VaRdΠ/Π1−q = zq

√1 + 2α1α2(ρ − 2)

√dt.

8.10 VaR del rendimiento de un portafolio y componentes princi-pales

En esta seccion se presenta el metodo de componentes principales y su aplicacion en elcalculo del VaR del rendimiento de un portafolio. Suponga que un portafolio consistede n activos. Como se sabe, el rendimiento del portafolio se calcula en terminos de losrendimientos de los n activos. Concretamente, el rendimiento del portafolio es la mediade los rendimientos ponderada por la participacion de cada activo en el valor total delportafolio. En el metodo de componentes pricipales dichos rendimientos se tranforman en nnuevas variables llamadas componentes principales. La transformacion involucra el calculode valores y vectores propios de la matriz de varianzas-covarianzas de los rendimientos.Dichas componentes principales son combinaciones lıneales de los rendimientos originalesy cada una de ellas explica una parte de la varianza total de la transformacion. Despues deordenar las componentes por su peso explicativo en la varianza total, aquellas que tenganuna contribucion insigificante a la varianza total pueden eliminarse. De esta manera ladimension del problema inicial se reduce en el problema transformado. Por ejemplo, si lasultimas k componentes principales se eliminan, el problema transformado consiste de n−kvariables. Por ultimo, observe que dado que las componentes principales son combinacioneslineales de los rendimientos originales, cualquier informacion que estos puedieran aportaren la explicacion de la varianza total de la tranformacion es tomada en cuenta.

Por simplicidad en la exposicion, se considera un portafolio con dos activos. Losprecios, S1t y S2t, de dos activos financieros son conducidos por las siguientes ecuacionesdiferenciales parciales:


√dtη1


√dtη2,

dondeη2 = ρη1 +

√1 − ρ2ε

η1, ε ∼ N (0, 1) y Cov (η1, ε) = 0.

En este caso,

η :=(

η1

η2

)∼((

00

),

(1 ρρ 1

)),

con ρ > 0. En lo que sigue se denota

C =(

1 ρρ 1

).

26

En primer lugar se determinan los eigenvalores (valores propios), λ1 y λ2, y los eigenvectores(vectores propios), v1 y v2, de C, es decir, se determinan λi y vi 6= (0, 0)T , i = 1, 2, talesque

Cvi = λivi, i = 1, 2. (3)

Observe que C es una matriz simetrica definida positiva. En efecto, dado que ρ > −1, six = (x1, x2)T 6= (0, 0)T ,

xT Cx = x21 + 2x1x2ρ + x2

2 > x21 − 2x1x2 + x2

2 = (x1 − x2)2 ≥ 0.

Ahora bien, si se premultiplica (3) por vi, se sigue que λi||vi||2 = vTi Cvi > 0, es decir,

λi > 0, i = 1, 2. En este caso, (3) se puede reescribir como

(C − λI)vi = 0.

Para que el sistema anterior tenga una solucion no trivial, vi, se debe cumplir que

det(C − λI) = 0, (4)

donde I es la matriz identidad de 2 × 2. Es decir,

∣∣∣∣1 − λ ρ

ρ 1 − λ

∣∣∣∣ = 0

o(1 − λ)2 = ρ2,

lo cual produce dos soluciones λ1 = 1+ρ y λ2 = 1−ρ. Dado el supuesto ρ > 0, se sigue queλ1 > λ2. La ecuacion (4) es conocida como el polinomio caracterıstico de C. Claramente,

det(C) = λ1λ2 = (1 + ρ)(1 − ρ) = 1 − ρ2

ytraza(C) = λ1 + λ2 = 2.

Los vectores propios se determinan a traves de los sistemas:

(−ρ ρρ −ρ

)(v11

v12

)=(

00

)y

(ρ ρρ ρ

)(v21

v22

)=(

00

).

Por lo tanto,

v1 =(

11

)y v2 =

(1−1

)

Claramente, eigenvectores correspondientes a distintos eigenvalores son linealmente inde-pendientes. Si esto no fuera ası, entonces v1 = αv2 para algun α 6= 0, ası Cv1 = λ1v1

27

implica Cαv2 = λ1αv2, en consecuencia, λ1 = λ2. Observe que, en este caso, vT1 v2 = 0,

es decir son v1 y v2 son ortogonales. Si se normalizan estos vectores, es decir,

u1 =(

1/√

21/

√2

)y u2 =

(1/

√2

−1/√

2

),

entonces u1 y u2 son eigenvectores ortonormales. De hecho, el teorema espectral dice quelos eigenvectores de toda matriz simetrica con entradas reales son ortogonales. Sean

Ω =(

u11 u21

u12 u22

)=(

1/√

2 1/√

21/

√2 −1/

√2

)y Λ =

(λ1 00 λ2

)=(

1 + ρ 00 1 − ρ

)

las matrices de eigenvectores y eigenvalores, respectivamente de C. La matriz Ω = [u1,u2]es simetrica, Ω = ΩT , e invertible, Ω = ΩT = Ω−1. Es decir Ω es una matriz ortogonal.Ası, ΩΩT = Ω2 = I. Observe tambien que

CΩ = ΩΛ,

lo cual, evidentemente, equivale a

Cu1 = λ1u1 y Cu2 = λ2u2.

Por lo tanto, se puede escribir

C = ΩΛΩ−1 = ΩΛΩT .

A esta factorizacion se le llama eigendescomposicion y en ocasiones eigendiagonalizacion.Defina ahora la transformacion

γ = ΩT η. (5)

Claramente, E[γ] = (0, 0)T y

Var[

γ]

=ΩT Var[

η](ΩT )T

=ΩT Var[

η]Ω

=ΩT CΩ

=ΩT ΩΛΩT Ω=Λ.

Es decir la transformacion (5) preserva la media pero modifica la matriz de varianzas-covarianzas, de C a Λ. De acuerdo con (5), se tiene que

γ1 =u11η1 + u12η2 =1√2

(η1 + η2)

γ2 =u21η1 + u22η2 =1√2

(η1 − η2) .

(6)

28

A la primera ecuacion se le conoce como primera componente principal y a la segundacomo segunda componente principal. En ocasiones, el vector propio asociado con el valorpropio mas grande, λ1, es llamado la primer componente principal, etc. Observe que

Var [γ1] =12

(2 + 2ρ) = 1 + ρ = λ1,

Var [γ2] =12

(2 − ρ) = 1 − ρ = λ2,

y

Cov (γ1, γ2) =14Cov (η1 + η2, η1 − η2) =

14(1 − ρ + ρ − 1) = 0.

Por lo anterior,

det(C) = Var [γ1] × Var [γ2] y trasa(C) = Var [γ1] + Var [γ2] .

Asimismo, se tiene que

u1 = arg max

maxx:||x||=1

Var[xT η

].

Si ahora se escribe, con base en las transformaciones (2) y (6), se tiene que


√dtγ1


√dtγ2,

γ1 =1√2

(ε1 + η2) , γ2 =1√2

(ε1 − η2) ,

η2 = ρε1 +√

1 − ρ2ε2, ε1, ε2 ∼ N (0, 1), Cov (ε1, ε2) = 0,

Var [ε1] = Var [η2] = 1, Cov (ε1, η2) = ρ.

Por lo tanto,

Var [γ1] =12Var [ε1 + η2]

=12Var

[(1 + ρ)ε1 +

√1 − ρ2ε2

]

=12((1 + ρ)2 + 1 − ρ2

)

=1 + ρ,

Var [γ2] =12Var [ε1 − η2]

=12Var

[(1 − ρ)ε1 −

√1 − ρ2ε2

]

=12((1 − ρ)2 + 1 − ρ2

)

=1 − ρ,

29

Cov (γ1, γ2) =12Cov

((1 + ρ)ε1 +

√1 − ρ2ε2, (1 − ρ)ε1 −

√1 − ρ2ε2

)

=12((1 + ρ)(1 − ρ) − (1 − ρ2)

)

= 0.

Ası pues, con base en lo anterior, se puede escribir

dS1t = µ1S1tdt + σ1S1tdW1t

y

dS2t = µ2S2tdt + σ2S2tdW2t,

donde

dW1t =1√2

(dU1t + dU2t) , dW1t =1√2

(dU1t − dU2t)

dU2t = ρdU1t +√

1 − ρ2dVt,

Cov (dU1t, dVt) = 0.

De esta manera,

Var [dW1t] =12Var [dU1t + dU2t]

=12Var

[(1 + ρ)dU1t +

√1 − ρ2dVt

]

=(1 + ρ)dt,

Var [dW2t] =12Var [dU1t − dU2t]

=12Var

[(1 − ρ)dU1t −

√1 − ρ2dVt

]

=(1 − ρ)dt,

Cov (dW1t, dW2t)

=12Cov

((1 + ρ)dU1t +

√1 − ρ2dVt, (1 − ρ)dU1t −

√1 − ρ2dVt

)

=12((1 + ρ)(1 − ρ) − (1 − ρ2)

)dt

= 0.

30

Si se supone que µ1 = µ2 = 0, se cumple que

VaRdΠ/Π1−q =

√(α1VaRdS1/S1

1−q

)2

+(α2VaRdS2/S2

1−q

)2

=zq

√(α1σ1

√λ1

)2

+(α2σ2

√λ2

)2 √dt

=zq

√α2

1σ21λ1 + α2

2σ22λ2

√dt

=zq

√2α2

1σ21

(λ1

λ1 + λ2

)+ 2α2

2σ22

(λ2

λ1 + λ2

) √dt.

¿Cual es la utilidad del metodo de componentes principales en el calculo del Var? Larespuesta a esta pregunta es simple. Suponga que ρ = 0.95, entonces

Var [dW1t] = (1 + ρ)dt = 1.95dt.

Ası, la varianza de dW1,t con respecto de la varianza total es λ1/(λ1+λ2) = 1.95/2 = 0.975,mientras que dW2t solo explica el 0.025 (= λ1/(λ1+λ2)) de la varianza total. Si α2 = 1/

√2,

α1 = 1 − (1/√

2), σ1 = 1/√

10 y σ2 = 0.05, entonces

2α22σ

22

(λ2

λ1 + λ2

)= (0.0025)(0.025) = 0.0000625.

Por lo tanto, la segunda componente principal puede eliminarse ya que su contribucion ala varianza total es insigificante. De esta manera, un problema de dimension 2, de dosactivos, puede reducirse a un problema de dimension 1, de la combinacion lineal de los dosactivos y

VaRdΠ/Π1−q = zq

√2α2

1σ21

(λ1

λ1 + λ2

) √dt = zq(0.1293)

√dt.

8.11 Valor en riesgo incremental del rendimiento de un portafolio

En el calculo del VaR del rendimiento de un portafolio, es natural preguntar cual de losactivos contribuye mas al riesgo total. El calculo aislado del VaR para cada uno de losactivos no es la aproximacion correcta debido a que se omiten los efectos de correlacioncon los otros activos. En esta seccion se determina la contribucion de cada uno de losactivos en el VaR del rendimiento de un portafolio. Para ello se utiliza la propiedad dehomogeneidad positiva y el teorema de Euler en (1).

Suponga que las dinamicas de los precios, S1t y S2t, de dos activos son conducidas,respectivamente, por

dS1t = µ1S1tdt + σ1S1tdWt

31

ydS2t = µ2S2tdt + σ2S2tdUt,

de tal forma queCov(dWt, dUt) = ρdt,

donde µ1, µ2 ∈ IR y σ1, σ2 > 0. El valor en riesgo del rendimiento de portafolio, calculadocon anterioridad en la seccion 8.6, satisface

VaRdΠ/Π1−q = zq

√α2

1σ21 + α2

2σ22 + 2α1α2σ1σ2ρ

√dt − (α1µ1 + α2µ2) dt.

El VaR incremental de un activo se define como la razon de cambio entre el VaR y laproporcion del valor del portafolio que se invierte en el activo. Por supuesto, para estohay que ver el VaR como funcion de los porcentajes en que participan los activos en elportafolio. De esta manera, el VaR incremental con respecto de α1, denotado por VaRIα1

1−q,esta dado por:

VaRIα11−q =

∂VaR1−q

∂α1(α1, α2) − µ1dt

=zq

2

(2α1σ1 + 2α2σ12√

Var [dΠt/Πt]

)√

dt − µ1dt

=zq

Cov(

dS1tS1t

, α1dS1tS1t

+ α2dS2tS2t

)

√Var [dΠt/Πt]

√dt − µ1dt

=zq

Cov(

dS1tS1t

, dΠtΠt

)

√Var [dΠt/Πt]

√dt − µ1dt

=zq β1σΠ

√dt − µ1dt,

dondeσΠ =

√Var [dΠt/Πt]

y

β1 =Cov

(dS1tS1t

, dΠtΠt

)

Var [dΠt/Πt].

Por lo tanto, en virtud del teorema de Euler, se puede escribir

VaR1−q(α1, α2) =α1VaRIα11−q + α2VaRIα2

1−q.

Es decir, el VaR del rendimiento de un portafolio es una combinacion lineal convexa de losvalores en riesgo incrementales. De esta manera, las posiciones se pueden cambiar paramodificar el VaR. Esta procedimiento es mas eficiente comparado con el uso de valores

32

en riesgo en forma individual. Si se denota βΠ = α1β1 + α2β2 y µΠ = α1µ1 + α2µ2, laexpresion anterior se puede reescribir como

VaR1−q(α1, α2) =α1VaRIα11−q + α2VaRIα2

1−q

=zq(α1 β1 + α2 β2)σΠ

√dt − (α1µ1 + α2µ2) dt

=zqβΠσΠ

√dt − µΠdt.

8.12 Indice de Herfindahl-Hirschman

El ındice de Herfindahl-Hirschman proporciona una medida de concentracion del valor enriesgo de los activos del portafolio. De acuerdo con la seccion anterior, se puede escribir

VaRdΠ/Π1−q =

n∑

k=1

xk,

donde

xk = αkVaRIαk1−q.

El ındice de Herfindahl-Hirschman se define como

IHH =n∑

k=1

y2k

donde

yk =xk

VaRdΠ/Π1−q

Para ilustrar la utilidad de este ındice suponga, por ejemplo, que un portafolio contiene 4activos para los cuales y1 = 0.45, y2 = y3 = 0.25 y y4 = 0.05. En este caso,

IHH = 0.33

La interpretacion de este ındice radica es que su inverso 1/IHH = 3 significa que el portafo-lio bajo consideracion, de 4 activos, es equivalente a uno con tres activos que contribuyenigualmente al VaR original.

33

8.13 VaR-promedio, AVaR (Average VaR), y esperanza condicionalel VaR

Un concepto muy util en administracion de riesgos es el VaR-promedio, el cual consisteen tomar el promedio de perdidas potenciales con respecto al cuantil q. Ası pues el VaR-promedio se define como

AVaRX1−q =

1q

∫ q

0

VaRX1−sds.

Si, por ejemplo,FX(x) = 1 − e−λx, x > 0, λ > 0,

es decir, X es una variable aleatoria exponencial con parametro λ > 0, se puede demostrarque

VaRX1−q =

ln(1 − q)λ

Por lo tanto, se sigue que

AVaRX1−q =

1q

∫ q

0

VaRX1−sds

=1q

∫ q

0

ln(1 − s)λ

ds

=1qλ

∫ q

0

ln(1 − s)ds.

Considere ahora el cambio de variable u = 1 − s. En este caso, la ecuacion anterior puedeescribirse como

AVaRX1−q = − 1

qλ

∫ 1−q

1

ln(u)du

= − 1qλ

[(u ln(u) − u)

∣∣∣∣1−q

1

]

= − 1qλ

[(1 − q) ln(1 − q) − (1 − q) + 1]

= − 1λ

[(1 − q

q

)ln(1 − q) + 1

].

Por otro lado, la metodologıa de valor en riesgo no proporciona informacion alguna cuandoel tamano esperado del cambio de valor en el portafolio excede el umbral −VaRX

1−q. Poresta razon es conveniente introducir la siguiente medida de riesgo si se define esperanzacondicional de la cola del VaR como

EX1−q = −EIP

[X|X < −VaRX

1−q

],

34

se puede reescribir

EX1−q = EIP

[−X|X < −VaRX

1−q

]

= E[−X − VaRX

1−q + VaRX1−q

∣∣X < −VaRX1−q

]

= VaRX1−q + E

[−X − VaRX

1−q

∣∣− VaRXq − X > 0

]

= VaRX1−q − E

[X + VaRX

1−q

∣∣VaRXq + X < 0

]

Observe que si se denota VaRX1−q = −u, y se define e(u) = E [X − u|X < u] , entonces

EX1−q = −u − e(u). En este caso,

e(u) =

∫ u

−∞(x − u)dFX(x)FX(u)

=

∫ u

−∞ xdFX(x) − uFX(u)FX(u)

=1

FX(u)

∫ u

−∞xdFX(x) − u

=1

FX(u)

(uFX(u) −

∫ u

−∞FX(x)dx

)− u

= − 1FX(u)

∫ u

−∞FX(x)dx.

Si se toma en cuenta que −u = VaRX1−q, se tiene que

e(−VaRX1−q) =

1λ

+ln(1 − q)

λ

(1

1 − exp ln(1 − q)

)

=1λ

+ln(1 − q)

qλ

.

Por lo tanto,EX1−q =VaRX

1−q − e(−VaRX1−q)

=ln(1 − q)

λ− 1

λ− ln(1 − q)

qλ

= − 1λ

[(1 − q

q

)ln(1 − q) + 1

].

Es decir, AVaRX1−q = EX

1−q.

35

8.14 Valor en riesgo del rendimiento de un portafolio y el peor casode VaR (Pc-VaR)

En esta seccion se determina el peor valor del VaR del rendimiento de un portafolio condos activos en funcion del coeficiente de correlacion de dichos activos. Si, en particular,µ1 = µ2 = 0, entonces

VaRdΠ/Π1−q =

√ZTCZ,

donde

Z =

(α1VaRdS1/S1

1−q

α2VaRdS2/S21−q

)y C =

(1 ρρ 1

).

Si ρ ≤ 1, entonces

VaRdΠ/Π1−q

=√

ZTCZ

=

√(α1VaRdS1/S1

1−q

)2

+ 2α1α2VaRdS1/S11−q VaRdS2/S2

1−q ρ +(α2VaRdS2/S2

1−q

)2

≤√(

α1VaRdS1/S11−q

)2


1−q +(α2VaRdS2/S2

1−q

)2

=α1VaRdS1/S11−q + α2VaRdS2/S2

1−q .

Esta cota superior es llamada el peor caso de VaR (Pc-VaR). Obviamente, si ρ = 1,entonces C es la matriz unidad (todas las entradas de la matriz son iguales a 1) y

VaRdΠ/Π1−q =

√ZTCZ

=

√(α1VaRdS1/S1

1−q

)2


1−q +(α2VaRdS2/S2

1−q

)2

=α1VaRdS1/S11−q + α2VaRdS2/S2

1−q .

Es decir, la cota superior es alcanzada cuando ρ = 1.

8.15 Valor en riesgo de un portafolio y el modelo CAPM (Modelodiagonal)

A continuacion se examina, bajo un conjunto de supuestos, la relacion que existe entre elvalor en riesgo del rendimiento de un portafolio y el modelo CAPM (por las iniciales inglesde Capital Asset Pricing Model). Una de las formas del modelo CAPM establece que:

E [dRit] − rdt = βi (E [dRmt] − rdt) , (7)

dondedRit =

dSit

Sit= µidt + σidWit, i = 1, 2, (8)

36

y

βi =Cov(dRit, dRmt)

Var[dRmt].

El subındice m hace referencia al mercado. Se supone que

Cov(dW1t, dW2t) = ρ12dt.

Observe que en este caso, el rendimiento del portafolio satisface

dRΠ :=dΠt

Πt= α1

dS1t

S1t+ α2

dS2t

S2t,

dondeα1 =

w1S1t

Πt, α2 =

w2S2t

Πty α1 + α2 = 1.

Por lo tanto,Var [dRΠ] =

(α2

1σ21 + α2

2σ22 + 2α1α2σ12

)dt (9)

yE [dRΠ] = (α1µ1 + α2µ2)dt. (10)

Suponga ahora quedRit = φidt + βidRmt + dUit, i = 1, 2, (11)

donde Uit es normal con E[dUit] = 0 y Var[dUit] = σ2iudt, y dRmt es normal con E[dRmt] =

µmdt y Var[dRmt] = σ2mdt. Se supone ademas que

Cov(dUit, dRmt) = 0

yCov(dU1t, dU2t) = 0.

Observe que si en la ecuacion anterior se escribe φi = r(1 − βi) y se toman esperanzas, seobtiene de nuevo la expresion 7). Se puede verificar, a partir de 11), que

σ12dt = β1β2σ2mdt (12)

yσ2

i dt =(β2

i σ2m + σ2

iu

)dt, i = 1, 2. (13)

Observe ademas que de acuerdo con (8) y (11)

σidWit = βidRmt + dUit,

lo cual produce de nuevo (13),

σ2i dt =

(β2

i σ2m + σ2

iu

)dt, i = 1, 2,

37

como era de esperarse. Las cantidades (12) y (13) se pueden reexpresar matricialmentecomo

Σ =(

σ21 σ12

σ21 σ22

)=(

β1

β2

)(β1 β2 ) σ2

m +(

σ21u 00 σ2

2u

).

Ahora bien, si se sustituyen (12) y (13) en (9), se sigue que

Var [dRΠ] =(α2

1β21 + α2

2β22 + 2α1α2β1β2

)σ2

mdt + (α21σ

21u + α2

2σ22u)dt.

Asimismo, de (8) y (11) se tiene que

µi = φi + βiµm,

con lo cual

E [dRΠ] = (α1φ1 + α2φ2)dt + (α1β1 + α2β2)µmdt.

Esta expresion se puede simplificar aun mas si se denotan φΠ = α1φ1 + α2φ2, βΠ =α1β1 + α2β2 y σ2

Π,u = α21σ

21u + α2

2σ22u, de tal suerte que

Var [dRΠ] =(β2

Πσ2m + σ2

Π,u

)dt

E [dRΠ] = (φΠ + βΠµm)dt.

En consecuencia,

VaRdRΠ1−q = zq

√β2

Πσ2m + σ2

Π,u

√dt − (φΠ + βΠµm)dt.

Si la cantidad σ2Π,u es despreciable (usualmente lo es), se tiene que

VaRdRΠ1−q = zqβΠσm

√dt − (φΠ + βΠµm)dt.

Si, en particular, φ1 = φ1 = µm = 0, entonces

VaRdRΠ1−q = α1β1zqσm

√dt + α2β2zqσm

√dt.

Esta expresion, bajo los supuestos establecidos, permite calcular el valor en riesgo delrendimiento de un portafolio mediante las betas de los activos y la volatilidad del mercado.Compare este resultado con el VaR incremental estudiado en la seccion 8.9.

38

8.16 Valor en riesgo del valor de un portafolio con un activo librede riesgo

En esta seccion se calcula el valor en riesgo del valor de un portafolio con un activo librede riesgo. El portafolio consiste de una accion y un deposito bancario.

Considere un movimiento Browniano (Wt)t∈[0,T ]. Se supone que el precio, St, de unaaccion es conducido por la ecuacion diferencial estocastica

dSt = µStdt + σStdWt,

donde µ ∈ IR y σ > 0. Considere un portafolio

Πt = wSt + M,

donde M es una cantidad que se deposita en un banco y que paga una tasa de interesconstante y libre de riesgo r. El cambio en el valor del portafolio satisface

dΠt = wdSt + Mrdt,

En este caso,E [dΠt] = (wµSt + Mr)dt

yVar [dΠt] = w2σ2S2

t dt.

De esta manera,VaRdΠ

1−q = zqwσSt

√dt − (wµSt + Mr)dt.

En consecuencia,VaRwdS+Mrdt

1−q = wVaRdS1−q − Mrdt.

8.17 Valor en riesgo del valor de un portafolio con un activo conriesgo credito

A continuacion se calcula el valor en riesgo del valor de un portafolio con un activo conriesgo credito. En paricular, el portafolio consiste de una accion y bono, en este ultimoexiste una probabilidad positiva de que los intereses se recuperen parcialmente en T .

Se supone que el precio, St, de una accion es conducido por una ecuacion diferencialestocastica de la forma


donde µ ∈ IR, σ > 0 y (Wt)t∈[0,T ] es un movimiento Browniano. Considere un portafolio

Πt = wSt + M,

39

donde M es una cantidad que se destina a comprar un bono. Existe una probabilidad Qde que los intereses se recuperen parcialmente en T , es decir, si δ es la tasa de recuperacionde los intereses, entonces

IPδ δ = δ0 = Q, 0 < δ0 < 1,

yIPδ δ = 1 = 1 − Q.

El cambio en valor del portafolio satisface

dΠt = wdSt + Mrδdt,

Sea X = ΠT − Πt, entonces

EW [X | δ,Ft ] = (wµSt + Mrδ)(T − t),

yE [X | Ft] = Eδ [EW [X | δ,Ft ]] = (wµSt + Mr(1 − Q(1 − δ0)))(T − t).

Por otro lado,VarW [X | δ,Ft ] = w2σ2S2

t (T − t).

Por lo tanto,

Var [X | Ft ] =Varδ [EW [X | δ,Ft ]] + Eδ [VarW [X | δ,Ft ]]

=w2σ2S2t (T − t).

En consecuencia,

VaRX1−q = zqwσSt

√T − t − (wµSt + Mr(1− Q(1 − δ0)))(T − t).

La expersion anterior puede ser reescrita como

VaRX1−q = wVaRSt

1−qσSt

√T − t + µ

M(T − t),

donde µM

= pago esperado de los de intereses del bono. Si −VaRSt1−q es el peor valor del

cambio en el valor del activo, al (1 − q)100% de confianza en [t, T ], entonces la cantidad−wVaRSt

1−q se reduce en el pago esperado de los de intereses del bono, µM

.

8.18 Valor en riesgo de productos derivados, aproximacion Delta-Gamma

En esta seccion se calcula el valor en riesgo de un portafolio que contiene productos deriva-dos. En lo que sigue, por simplicidad, se considera el caso de un portafolio con un activoy una opcion europea de compra sobre dicho activo.

40

Considere un movimiento Browniano (Wt)t∈[0,T ] definido sobre un espacio fijo de pro-babilidad equipado con su filtracion aumentada, (Ω,F , (Ft)t∈[0,T ], IP). Se supone que elprecio, St, de un activo subyacente, v.g., una accion, es conducido por


donde µ ∈ IR y σ > 0. Si c = c(St, t) el valor de la opcion europea de compra, entonces elcambio marginal en el precio de la opcion, durante [t, t + dt], satisface (via el lema de Ito)

dc =(

∂c

∂t+

∂c

∂StµSt + 1

2σ2S2t

∂2c

∂S2t

)dt +

∂c

∂StσStdWt.

Considere ahora un portafolio con ω1 unidades del activo subyacente y ω2 unidades de unaopcion de compra sobre el subyacente, entonces el valor del portafolio esta dado por

Πt = ω1St + ω2c(St, t).

El cambio en el valor del portafolio, durante el instante dt, se calcula mediante

dΠt =(

ω1 + ω2∂c

∂St

)µStdt

+ ω2

(∂c

∂t+ 1

2σ2S2t

∂2c

∂S2t

)+(

ω1 + ω2∂c

∂St

)σStdWt

=[(ω1 + ω2∆)µSt + ω2

(θ + 1

2Γσ2S2

t

)]dt + (ω1 + ω2∆)σStdWt,

donde

θ =∂c

∂t, ∆ =

∂c

∂Sty Γ =

∂2c

∂S2t

.

Por lo tanto,VaRdΠ

1−q =zq (ω1 + ω2∆) σSt

√dt

+[

ω1µSt − ω2

(θ + ∆µSt + 1

2Γσ2S2

t

)]dt.

En particular, si ω1 = 1 y ω2 = 0,

VaRdS1−q = zqσSt

√dt − µStdt.

De la misma forma, si ω1 = 0 y ω2 = 1,

VaRdc1−q =zqσ∆St

√dt −

(θ + ∆µSt + 1

2Γσ2S2t

)dt

=∆VaRdS1−q −

(θ + 1

2Γσ2S2t

)dt.

41

8.19 Valor en riesgo de un derivado con base en una aproximacioncuadratica del precio del derivado

Cuando un portafolio incluye productos derivados es conveniente considerar el sesgo de ladistribucion del cambio de valor del derivado para calcular el VaR. En este sentido, cuandola Gamma es positiva el sesgo de la distribucion del cambio de valor del derivado es positivo,mientras que cuando la Gamma es negativa el sesgo de la distribucion es negativo.

Sea c = c(St) el precio de una opcion europea de compra. Considere la aproximacioncuadratica del cambio en precio del derivado,

dc ≈ ∂c

∂StdSt + 1

2

∂2c

∂S2t

(dSt)2.

Por lo tanto,

Var [dc] ≈ ∆Var [dSt] + 14Γ2Var

[(dSt)2

]+ ∆ΓCov

(dSt, (dSt)2

).

Si los momentos impares de dSt se anulan, entonces

Cov(dSt, (dSt)2

)= E

[(dSt)3

]− E [dSt] E

[(dSt)2

]= 0.

En consecuencia,Var [dc] ≈ ∆Var [dSt] + 1

4Γ2Var

[(dSt)2

]

y

VaRdc1−q ≈ zq

√∆Var [dSt] + 1

4Γ2Var [(dSt)2].

En particular, si St sigue un proceso de la forma

dSt = σStdZ, dZ ∼ N (0, 1),

se tiene queVar [dc] ≈∆Var [dSt] + 1

4Γ2Var[(dSt)2

]

=∆S2t σ2 + 1

4Γ2Var

[(dSt)2

]

=∆S2t σ2 + 1

4Γ2(E[(dSt)4

]− E

[(dSt)2

]2)

=∆S2t σ2 + 1

4Γ2(3S4

t σ4 − S4t σ4)

=∆S2t σ2 + 1

2Γ2S4

t σ4.

Observe que en este caso Var[(dSt)2] = 2(Var[dSt])2. Claramente,

VaRdc1−q ≈zq

√∆S2

t σ2 + 12Γ2S4

t σ4

=zqStσ√

∆ + 12Γ2S2

t σ2 .

42

8.20 Valor en riesgo y expansion de Cornish y Fisher

Usualmente en el calculo del valor en riesgo de un portafolio con productos derivados, seel tercer momento de la distribucion del precio del derivado se ignora. Sin embargo, dichomomento proporciona informacion relevante sobre el sesgo de la distribucion.

En lo que sigue, se supone que la dinamica del activo subyacente carece de tendencia.En particular, se supone que

dSt = σStdZ, dZ ∼ N (0, 1),

es decir dSt/St tiene distribucion N (0, σ2). En este caso, (dSt/σSt)2 tiene distribucionχ2

1. Por lo tanto,

E

[(dSt

σSt

)2]

= 1 y Var

[(dSt

σSt

)2]

= 2.

Si c = c(St) el precio de una opcion europea de compra, la aproximacion cuadratica delcambio en precio del derivado, dc, satisface

dc ≈ ∆StdSt

St+ 1

2ΓS2t

(dSt

St

)2

.

Por lo tanto,µdc := E [dc] ≈ 1

2Γ2S2t σ2. (14)

Tambien, dado queσ2

dc := Var [dc] ≈ ∆S2t σ2 + 1

2Γ2S4

t σ4,

se tiene queE[(dc)2

]≈∆S2

t σ2 + 12Γ2S2

t σ2 + (E [dc])2

=∆S2t σ2 + 3

4Γ2S2

t σ2.(15)

Por otro lado,

(dc)3 ≈ ∆3S3t

(dSt

St

)3

+ 32∆2ΓS4

t

(dSt

St

)4

+ 34∆Γ2S5

t

(dSt

St

)5

+ 18Γ3S6

t

(dSt

St

)6

.

Consecuentemente,

E[(dc)3

]≈ 3

2∆2ΓS4t E

[(dSt

St

)4]

+ 18Γ3S6

t E

[(dSt

St

)6]

,

ya que los momentos impares de la distribucion normal con media cero se anulan. Asimis-mo, por propiedades de la distribucion normal

E

[(dSt

St

)4]

= 3σ4 y E

[(dSt

St

)6]

= 15σ6.

43

En consecuencia,E[(dc)3

]≈ 9

2∆2ΓS4

t Eσ4 + 158

Γ3S6t σ6. (16)

El valor en riesgo corregido por sesgo con la expansion de Cornish y Fisher, VaR-CFdc1−q,

se define en forma similar al valor en riesgo:

VaR-CFdc1−q =zqσdc − µdc

=zq

√∆S2

t σ2 + 12Γ2S4

t σ4 − 12Γ2S2

t σ2

=zqStσ√

∆σ2 + 12Γ2S2

t σ2 − 12Γ2S2

t σ2,

donde zq es el percentil q corregido por sesgo de la expansion de Cornish y Fisher,

zq = zq + 16(z2

q − 1)κdc3 (17)

y

κdc3 =

1σ3

dc

E[(dc − E[dc])3

]

=E[(dc)3

]− 3E

[(dc)2

]µdc + 2µ3

dc

σ3dc

=92∆2ΓS4

t σ4 + 158 Γ3S6

t σ6 − 3(∆S2

t σ2 + 34Γ2S2

t σ2)

12Γ2S2

t σ2 + 2(

12Γ2S2

t σ2)3

(∆S2

t σ2 + 12Γ2S4

t σ4)3/2

=92∆2ΓS4

t σ4 + 158 Γ3S6

t σ6 − 32∆Γ2S4

t σ4 − 98Γ4S4

t σ4 + 14Γ6S6

t σ6

(∆S2

t σ2 + 12Γ2S4

t σ4)3/2

=

(92∆2 − 3

2∆Γ − 98Γ3

)ΓS4

t σ4 +(Γ3 + 15

2

)14Γ3S6

t σ6

(∆S2

t σ2 + 12Γ2S4

t σ4)3/2

=

(92∆2 − 3

2∆Γ − 9

8Γ3)ΓS4

t σ4 +(Γ3 + 15

2

)14Γ3S6

t σ6

(∆ + 1

2Γ2S2

t σ2)3/2

S3t σ3

,

en donde se han utilizado las formulas 14)-16). Por ultimo, es importante justificar laprocedencia de la expresion 17). Cornish y Fisher en (1937) desarrollaron una expansionpara el cuantil, zq, de una distribucion F (x) en terminos los cuantililes de la distribucionnormal estandar Φ(x) y de los cumulantes de F (x). Se supone que dichos cumulantes sonconocidos. Concretamente, si

∫ zq

−∞dF (x) = q =

∫ zq

−∞dΦ(x),

entonceszq =zq + 1

6

(z2q − 1

)κ3 + 1

24

(z3q − 3zq

)κ4 − 1

36

(2z3

q − 5zq

)κ2

3

+ 1120

(z4q − 6z2

q + 3)κ5 − 1

24

(z4q − 5z2

q + 2)κ3κ4

+ 1324

(12z4

q − 53z2q + 17

)κ3

3 + · · · ,

44

dondeµ2 =κ2,

µ3 =κ3,

µ4 =κ4 + 3κ22,

µ5 =κ5 + 10κ2κ3

...

La cantidad µi representa el i-esimo momento, de la distribucion de F (x), respecto a lamedia. Los polinomios

x,

x2 − 1,

x3 − 3x,

x4 − 6x2 + 3...

son conocidos como polinomios Hermitianos.

8.21 Valor en riesgo de un bono cupon cero

En esta seccion se calcula el VaR de un bono cupon cero. Es importante destacar que si latasa cupon de un bono cuponado es constante, entonces el bono con cupones puede versecomo la suma de bonos cupon cero.

Si B(t, T ) denota el precio de un bono que se coloca en t y que al vencimiento, T ,paga una unidad monetaria y R = R(t, T ) es la curva de rendimiento asociada al bono,entonces en el contexto determinista y de tasa de interes continuamente capitalizable setiene que

B(t, T ) = e−R(t,T )(T−t). (18)

La sensibilidad del bono con respecto al tiempo de maduracion esta dada por

dB

dR= −(T − t)B, (19)

y la duracion (de Macaulay) por

γ := −dB

dR

1B

= T − t. (20)

La cantidades en (18) y (19) se miden en “unidades monetarias×tiempo” y“tiempo”, respectivamente,. A partir de 20), se tiene que el cambio porcentual en el preciodel bono satisface

dB

B= −γdR.

45

De esta manera,

E[dB

B

]= −γE [dR]

y

Var[dB

B

]= γ2Var [dR] .

Si se supone que dR ∼ N (µdR, σ2

dR), entonces

VaRdB/B1−q =zqγσdR

+ γµdR

=zq(T − t)σdR+ (T − t)µdR

.(21)

En caso de que R = R(t, T ) sea una cantidad aleatoria, en lugar 18), se tiene que

B(t, T ) = Ee−R(T−t)

∣∣∣ Ft

.

AsıdB

dR=

ddR

Ee−R(T−t)

∣∣∣ Ft

=E

ddR

e−R(T−t)

∣∣∣∣∣ Ft

=E−(T − t)e−R(T−t)

∣∣∣ Ft

= − (T − t)B.

Si dR ∼ N (µdR, σ2

dR), se sigue de nuevo la ecuacion 21).

8.22 Valor en riesgo de un bono cupon cero con tasa corta conducidapor el modelo de Vasicek

En el modelo de Vasicek la tasa corta, rt, tiene la siguiente dinamica estocastica

drt = a(b − rt)dt + σdWt (22)

o

rt = r0e−at + b

(1 − e−at

)+ σ

∫ t

0

e−a(t−s)dWs, (23)

donde a, b y σ son constantes positivas y conocidas, y Wt es un movimiento Browni-ano definido en un espacio de probabilidad fijo equipado con su filtracion aumentada,(Ω,F , (Ft)t∈[0,T ], IP). Claramente, si r0 es constante, rt se distribuye Normal con media

E[rt] = r0e−at + b

(1 − e−at

)(24)

46

y varianza

Var[rt] = σ2

∫ t

0

e−2a(t−s)ds =σ2

2a

(1 − e−2at

). (25)

Observe que para calcular la ecuacion anterior se ha utilizado la propiedad estandar de laintegral del movimiento Browniano

Var(∫ t

0

g(s)dWs

)= E

[(∫ t

0

g(s)dWs

)2]

=∫ t

0

[g(s)]2ds. (26)

Por otra parte, el precio de un bono cupon cero se obtiene descontando el nominal, eneste caso una unidad monetaria, con el promedio de los valores futuros de la tasa corta, esdecir,

B(rt, t) = E

exp

(−∫ T

t

rsds

)∣∣∣∣∣ Ft

.

Defina ahora

I(t, T ) =∫ T

t

rsds.

A continuacion se vera que I(t, T ) es normal. Por un lado, en virtud del modelo de Vasiceken 22), se sigue que

∫ T

t

drs = ab(T − t) − a

∫ T

t

rsds + σ

∫ T

t

dWs. (27)

Equivalentemente

rT − rt = ab(T − t) − aI(t, T ) + σ

∫ T

t

dWs.

En consecuencia,

I(t, T ) = −1a

(rT − rt) + b(T − t) +σ

a

∫ T

t

dWs. (28)

Por otro lado, del mismo modelo de Vasicek se tiene que si en (23) se sustituye 0 por t y tpor T , es decir, se cambia de solucion con otro valor final, entonces

rT = rte−a(T−t) + b

(1 − e−a(T−t)

)+ σ

∫ T

t

e−a(T−s)dWs.

Por lo tanto,

rT − rt =rt

(e−a(T−t) − 1

)+ b

(1 − e−a(T−t)

)+ σ

∫ T

t

e−a(T−s)dWs

=(b − rt)(1 − e−a(T−t)

)+ σ

∫ T

t

e−a(T−s)dWs.

(29)

47

A partir de (28) y (29), se encuentra que

I(t, T ) = − 1a

[(b − rt)

(1 − e−a(T−t)

)+ σ

∫ T

t

e−a(T−s)dWs

]

+ b(T − t) +σ

a

∫ T

t

dWs

=b(T − t) + (rt − b)(

1 − e−a(T−t)

a

)+ σ

∫ T

t

(1 − e−a(T−s)

a

)dWs.

(30)

Por lo tanto,dB

drt=E

− dI

drte−I

∣∣∣∣∣ Ft

= −(

1 − e−a(T−t)

a

)Ee−I∣∣∣ Ft

= −(

1 − e−a(T−t)

a

)B.

Ası,dB

B= −

(1 − e−a(T−t)

a

)drt.

Es decir, dB/B sigue una distribucion normal con

E[dB

B

]= −

(1 − e−a(T−t)

a

)E [drt]

= −(

1 − e−a(T−t)

a

)a(b − rt)dt.

y

Var[dB

B

]=(

1 − e−a(T−t)

a

)2

Var [drt]

=(

1 − e−a(T−t)

a

)2

σ2dt.

De esta manera,VaRdB/B

1−q = zqD(t, T )σ√

dt + D(t, T )a(b− rt)dt (31)donde

D(t, T ) =1 − e−a(T−t)

a.

Si desea utilizar la ecuacion 21), como alternativa para calcular el VaR de un bono cuponcero, observe que la curva de rendimiento esta dada por

R(t, T ) = rt1 − e−a(T−t)

a(T − t)−(

1 − e−a(T−t)

a(T − t)− 1)(

b − σ2

2a2

)

+σ2(1 − e−a(T−t)

)2

4a3(T − t).

48

Evidentemente,

dR =1 − e−a(T−t)

a(T − t)drt.

Por lo tanto,

µdR= E[dR] =

(1 − e−a(T−t)

a(T − t)

)E[drt]

=(

1 − e−a(T−t)

a(T − t)

)a(b − rt)dt.

y

σ2dR

= Var[dR] =(

1 − e−a(T−t)

a(T − t)

)2

Var[drt]

=(

1 − e−a(T−t)

a(T − t)

)2

σ2dt.

De esta manera,

VaRdB/B1−q =zqγσdR

+ γµdR

=zqD(t, T )σ√

dt + D(t, T )a(b − rt)dt,

y como era de esperarse se tiene plena coincidencia con 31).

8.23 Valor en riesgo de un bono cupon cero, duracion y convexidad

Hasta ahora se ha calculado el valor en riesgo de un bono cupon cero tomando en cuenta laduracion. Sin embargo, el empleo de la duracion esta asociada a pequenos desplazamientosparalelos de la curva de rendimiento, dR. Es decir, la duracion solo es util para cuantificarel riesgo de mercado de un bono cupon cero debido a pequenos desplazamientos de R =R(t, T ). Por lo tanto, se requiere incorporar otra cantidad que mida el cambio en laduracion misma para modelar en forma mas realista el valor en riesgo del bono cuponcero. Esta cantidad se conoce como convexidad y se define como

ζ =1B

dγ

dR=

1B

d2B

dR2.

Considere la siguiente aproximacion de serie de Taylor en terminos de segundo orden

dB

B=

1B

dB

dRdR +

12

(1B

d2B

dR2

)(dR)2

≈− γdR + 12ζ(dR)2

donde γ y ζ son la duracion y convexidad del bono. En particular, si

dR = σdZ, dZ ∼ N (0, 1),

49

se tiene que

E[dB

B

]≈ 1

2ζE[(dR)2] = 1

2ζσ2E[Z2] = 1

2ζσ2

y

Var[dB

B

]≈ γ2Var [dR] + 1

4ζ2Var

[(dR)2

]− γ ζCov(dR, (dR)2).

Observe que en este caso

Cov(dR, (dR)2

)= E

[(dR)3

]− E [dR] E

[(dR)2

]= 0,

ya que los momentos impares de dR se anulan. Por lo tanto,

Var[dB

B

]≈γ2σ2 + 1

4ζ2Var[(dR)2

]

=γ2σ2 + 14ζ2(E[(dR)4

]− E

[(dR)2

]2)

=γ2σ2 + 14ζ2

(3σ4 − σ4

)

=γ2σ2 + 12ζ2σ4.

En consecuencia,

VaRdB/B1−q ≈zq

√γ2σ2 + 1

2ζ2σ4

=zqσ√

γ2 + 12ζ2σ2 .

8.24 Valor en riesgo de un contrato forward de tipo de cambio

Los contratos forward de tipo de cambio son muy populares en los mercados sobre mostra-dor. A continuacion se calcula el VaR para este tipo de contrato.

Sea V el valor de un contrato forward sobre tipo de cambio, en condiciones de equi-librio, entonces

V = (Ft,T − K)e−Rd(t,T )(T−t),

donde Ft,T es el tipo de cambio forward, K es el tipo de cambio pactado y Rd(t, T ) es latasa de interes domestica de plazo T − t. En este caso, el tipo de cambio forward satisface

Ft,T = Ste(Rd(t,T )−Rf (t,T ))(T−t),

donde St es el tipo de cambio nominal (moneda domestica/moneda extranjera) y Rf (t, T )es la tasa extranjera de plazo T − t. De esta forma, el valor del contrato puede reescribirsecomo

V = Ste−Rf (t,T )(T−t) − Ke−Rd(t,T )(T−t).

Evidentemente, V = V (St, Rd, Rf). Por lo tanto, la diferencial de V satisface

dV =∂V

∂StdSt +

∂V

∂RddRd +

∂V

∂RfdRf ,

50

es decir,

dV = e−Rf (t,T )(T−t)dSt + (T − t)Ke−Rd(t,T )(T−t)dRd − (T − t)Ste−Rf (t,T )(T−t)dRf .

Dado quedBd

Bd= −(T − t)dRd y

dBf

Bf= −(T − t)dRf .

se tiene

dV = Ste−Rf (t,T )(T−t) dSt

St− Ke−Rd(t,T )(T−t) dBd

Bd+ Ste

−Rf (t,T )(T−t) dBf

Bf

o, en forma mas breve,dV

V= Λ1

dSt

St+ Λ2

dBd

Bd+ Λ3

dBf

Bf ,

donde

Λ1 = Ste−Rf (t,T )(T−t)/V, Λ2 = −Ke−Rd(t,T )(T−t)/V y Λ3 = Ste

−Rf (t,T )(T−t)/V.

Suponga que las tasas cortas domestica y extranjera satisfacen, respectivamente,

dr(d)t = α(r(d)

t , t)dt + β(r(d)t , t)dW2t (32)

ydr

(f)t = δ(r(f)

t , t)dt + η(r(f)t , t)dW3t. (33)

Asimismo, suponga que existen M = M(t, T ) y N = N(t, T ) tales que

dRd =M(t, T )T − t

dr(d)t y dRf =

N(t, T )T − t

dr(f)t . (34)

Muchos de los modelos mas usuales de valuacion de bonos cupon cero que se basan en ladinamica de la tasa corta permiten que la curva de rendimiento se pueda escribir como en34). De esta manera,

dBd

Bd= −M(t, T )α(r(d)

t , t)dt − M(t, T )β(r(d)t , t)dW2t

ydBf

Bf= −N(t, T )δ(r(f)

t , t)dt − N(t, T )η(r(f)t , t)dW3t,

o en forma mas compactadBd

Bd= µ2dt + σ2dW2t (35)

ydBf

Bf= µ3dt + σ3dW3t, (36)

51

donde

µ2 = −M(t, T )α(r(d)t , t), σ2 = M(t, T )β(r(d)

t , t),

µ3 = −N(t, T )δ(r(f)t , t) y σ3 = N(t, T )η(r(f)

t , t).

Observe tambien que ha utilizado el hecho de que si dWit es movimiento Browniano,−dW2t tambien lo es. Suponga ademas que la dinamica estocastica del tipo de cambio esconducida por

dSt

St= µ1dt + σ1dW1t

y que Cov(dWit, dWjt) = ρijdt, j = 1, 2, 3, Por lo tanto,

VaRdV/V1−q = zq

√√√√3∑

i=1

Λ2i σ

2i + 2

3∑

1≤i<j≤3

ΛiΛjσiσjρij

√dt −

(3∑

i=1

Λiµi

)dt

o

VaRdV/V1−q = zq

√√√√3∑

i=1

Λ2i σ

2i + 2

3∑

1≤i<j≤3

ΛiΛjσij

√dt −

(3∑

i=1

Λiµi

)dt.

8.25 Valor en riesgo de un swap de tasa de interes

En ausencia de riesgo credito, un swap de tasa de interes puede verse como la diferenciade dos bonos cuponados, uno de tasa cupon fija y otro de tasa cupon flotante. Es usualllamar al bono cuponado de tasa cupon fija como “pata fija”y al bono cuponado de tasacupon flotante como “pata flotante”. En la fecha en que coloca un swap, su precio es cero.Un dıa despues ya no es cero, a menos que sea por pura casualidad. Observe que conrespecto de la pata flotante, inmediatamente despues de cualquier pago, el precio del bonocon tasa cupon flotante es igual al principal. Para fijar ideas, suponga que el swap se emiteen t = 0, que las fechas de pago son T1, T2 y T3, las cuales son igualmente espaciadas,y que el principal es N . Inmediatamente despues del primer pago, en t = T1 + dT1 condT1 > 0,

Vt = N − RKN

(1

1 + R1

+1

1 + R2

)(37)

donde RK = RK∆Ti, i = 1, 2, 3,, Ri = R(t, Ti+1)(Ti+1 − t), i = 1, 2. En este casoR(t, T ) es la curva de ceros asociada al bono cuponado de tasa constante. Ahora bien,inmediatamente antes de T1 se espera el pago del principal N mas el primer pago de tasaflotante R1N . Para valuar el swap, es necesario traer N + R1N a valor presente y deducirlos pagos a tasa fija, es decir,

52

Vt = (N + R1N)(

11 + R1

)− RKN

(1

1 + R1

+1

1 + R2

+1

1 + R3

),

dondet = T1 − dT1

con dT1 > 0, yRi = R(t, Ti)(Ti − t), i = 1, 2, 3.

En consecuencia,

dVt

Vt= A1

dB1

B1+ A2

dB2

B2+ A3

dB3

B3, (38)

donde

A1 = B1(1 + R1 − RK)NV −1t , A2 = −RKNB2V

−1t y A3 = −RKNB3V

−1t .

Si se supone quedBi

Bi∼ N

(µi(Ti − t), σ2

i (Ti − t)), i = 1, 2, 3, (39)

con

Cov(

dBi

Bi,dBj

Bj

)= σij min(Ti − t, Tj − t), j = 1, 2, 3,

donde µi, σij ∈ IR, σi > 0, i, j = 1, 2, 3, son constantes conocidas, entonces

VaRdVt/Vt

1−q =zq

√√√√3∑

i=1

A2i (Ti − t)σ2

i + 23∑

1≤i<j≤3

AiAjσij [min(Ti, Tj) − t]

−(

3∑

i=1

Aiµi(Ti − t)

).

53

9. El valor en riesgo no es una medida coherente de riesgos

En esta seccion se muestra que el valor en riesgo no es una medida coherente. No esdıficil construir casos en los que el VaR conduce a resultados contradictorios. Por ejemplo,es sencillo verificar que si c es una constante, entonces VaRc

1−q = −c. En particular,VaR1

1−q = −1. Suponga ahora que el cambio en el valor del portafolio satisface

X =

− 1, con probabilidad p,

a, con probabilidad 1 − p,

donde a << 1. Si p < q, entonces VaRX

1−q = −a. Por lo tanto, −VaRX

1−q = a <<

1 = −VaR11−q. En otras palabras, es menos riesgoso el portafolio con un cambio en valor

representado por X que una inversion libre de riesgo de una unidad, aun cuando bajoX se puede perder una unidad con probabilidad p y ganar a, mucho menor que 1, conprobabilidad 1 − p.

9.1 El valor en riesgo satisface la propiedad de monotonıa no cre-ciente

En esta seccion se comprueba que el valor en riesgo satisface la propiedad de monotonıano creciente. Si X y Y son variables aleatorias con Y ≥ X, se tiene que

FY (z) = IP Y ≤ z ≤ IP X ≤ z = FX(z)

para toda z ∈ IR, ya que si ω ∈ Ω es tal que Y (ω) ≤ z, entonces X(ω) ≤ Y (ω) ≤ z, esdecir, X(ω) ≤ z. Por lo tanto, si z es tal que q ≤ FY (z), como q ≤ FY (z) ≤ FX(z), sesigue que q ≤ FX(z). Consecuentemente,

y ∈ IR |FY (y) ≥ q ⊆ x ∈ IR |FX(x) ≥ q .

Ası,

inf y ∈ IR |FY (y) ≥ q ≥ x ∈ IR |FX(x) ≥ q .

Es decir,

VaRY1−q = − inf y ∈ IR |FY (y) ≥ q ≤ − inf x ∈ IR |FX(x) ≥ q = VaRX

1−q

o

ρ(2)(Y ) ≤ ρ(2)(X).

54

9.2 El valor en riesgo satisface la propiedad de homogeneidad po-sitiva

En esta seccion se demuestra que el valor en riesgo es homogeneo positivo. Sean α > 0 yY = αX, entonces

FY (y) = IP(Y ≤ y) = IP (αX ≤ y) = IP(X ≤ y

α

)= FX

( y

α

),

de aquı se obtieneVaRY

1−q = − inf y ∈ IR |FY (y) ≥ q= − inf αx ∈ IR |FY (αx) ≥ q

= − inf

αx ∈ IR |FX

(αx

α

)≥ q

= − inf αx ∈ IR |FX (x) ≥ q= − α inf x ∈ IR |FX (x) ≥ q=αVaRX

1−q

oρ(2)(αX) = αρ(2)(X).

9.3 El valor en riesgo satisface la propiedad de invarianza bajotraslaciones

A continuacion se prueba que el valor en riesgo es invariante bajo traslaciones. Sea α ∈ IRy Y = X + α, entonces

FY (y) = IP Y ≤ y = IP X + α ≤ y = IP X ≤ y − α = FX(y − α).

Por lo tanto,VaRY

1−q = − inf y ∈ IR |FY (y) ≥ q= − inf x + α ∈ IR |FY (x + α) ≥ q= − inf x + α ∈ IR |FX (x) ≥ q= − (inf x ∈ IR |FX (x) ≥ q + α)= − inf x ∈ IR |FX (x) ≥ q − α

=VaRX1−q − α

oρ(2)(X + α) = ρ(2)(X) − α.

55

9.4 El valor en riesgo no satisface la propiedad de subaditividad

En esta seccion se construye un ejemplo que muestra que el valor en riesgo no satisfacela propiedad de subaditividad. Esta propiedad es esencial en la optimizacion de portafo-lios pues de ella se desprende la convexidad en una superficie de riesgo, lo cual asegurarun unico portafolio optimo. Considere dos variable aleatorias, X y Y , independientes eidenticamente distribuidas con densidad

fX(x) =

0.9 si x ∈ (0, 1],0.05 si x ∈ [−2, 0],0 en cualquier otro caso.

Observe que la funcion de distribucion, evaluada en 0, satisface

FX(0) = P X ≤ 0 =∫ 0

−2

0.05dx = 0.1

Por lo tanto, los valores en riesgo de X y Y , con un nivel de confianza del 90%, satisfacen,respectivamente,

VaRX0.9 = VaRY

0.9 = 0.

Por otro lado, observe que

IP X + Y ≥ 0 =∫ ∫

X+Y ≥0

fXY (x, y) dxdy.

Para calcular esta integral observe primero que debido a la independencia estocastica deX y Y , se sigue que la funcion de densidad conjunta esta dada por el producto de lasdensidades marginales, ası

fXY (x, y) =

(0.05)2 si −2 ≤ x ≤ 0 y −2 ≤ y ≤ 0,(0.05)(0.9), si −2 ≤ x ≤ 0 y 0 < y ≤ 1,(0.9)(0.05), si 0 < x ≤ 1 y −2 ≤ y ≤ 0,(0.9)2, si 0 < x ≤ 1 y 0 < y ≤ 1,

la cual se muestra en la figura 6.4.

56

Figura 6.4 Funcion de densidad conjunta de las variables aleatorias X y Y .

Se observa en la figura 6.4 que la region x + y ≥ 0 se encuentra a la derecha de la lınearecta x + y = 0. Por lo tanto, con base en el area del triangulo sombreado, se tiene que

IP X + Y ≥ 0 = 2∫ 1

0

∫ 0

−y

(0.9)(0.05)dxdy + (0.9)2

= 2(0.9)(0.05)(

12

)+ (0.9)2

= 0.855

En consecuencia,IP X + Y ≤ 0 = 0.145

De aquı, se tiene que

0 > inf z|FX+Y (z) ≥ 0.1 = −VaRX+Y0.9

se sigue entonces queVaRX+Y

0.9 > 0 = VaRX0.9 + VaRY

0.9,

es decir, en este ejemplo, el valor en riesgo no cumple con la propiedad de subaditividad.

57

10. Un ejemplo de una medida de riesgo, en terminos de una opcionde venta, que no es invariante bajo traslaciones

Sea X el valor de mercado de los tıtulos (de capital y/o deuda) de una empresa. Supongaque existe en el mercado un contrato que paga X si la empresa se declara en bancarrota enuna fecha futura predeterminada, y 0 en otro caso. Este contrato puede verse como unaopcion europea de venta sobre X, con precio de ejercicio K = 0, y su valor, en t, bajo unamedida de probabilidad neutral al riesgo IP, esta dado por:

p =e−r(T−t)EIP [max(−X, 0) | Ft]

=e−r(T−t)[EIP [max(−X, 0) | X ≤ 0] IP X ≤ 0

+ EIP [max(−X, 0) | X > 0] IP X > 0]

=e−r(T−t)(−EIP [X | X ≤ 0]

)IP X ≤ 0

=e−r(T−t)ρp(X),

dondeρ

p(X) = −EIP

[X1X≤0

].

A continuacion se muestra que la cantidad ρp(X) no es una medida coherente de riesgo

pues no es invariante bajo traslaciones. En efecto, claramente

(X + Y )1X+Y ≤0 ≥ X1X≤0 + Y 1Y ≤0,

o−(X + Y )1X+Y ≤0 ≤ −X1X≤0 − Y 1Y ≤0,

lo cual implica queρ

p(X + Y ) = ρ

p(X) + ρ

p(Y ).

Asimismo, si X ≥ Y , entonces

X1X≤0 ≥ Y 1Y ≤0.

o−X1X≤0 ≤ −Y 1Y ≤0.

Por lo tanto,ρp(X) ≤ ρp(Y ).

Observe tambien que si α > 0

ρp(αX) = − EIP

[αX1αX≤0

]

= − EIP[αX1X≤0

]

=α(−EIP

[X1X≤0

])

=αρp(X).

58

Por ultimo, suponga que X ∼ U [−1, 0], es decir, X se distribuye uniformemente en [−1, 0],y α = 1, entonces

ρp(X) = −EIP

[X1X≤0

]= −EIP [X] = 1

2 .

Por otro ladoρ

p(X + 1) = −EIP

[(X + 1)1X≤−1

]= 0.

Ası,ρ

p(X + 1) = 0 > ρ

p(X) − 1 = −1

2.

Es decir, ρp

no es invariante bajo traslaciones.

11. La esperanza condicional de la cola del VaR es una medidacoherente de riesgo

La metodologıa de valor en riesgo no proporciona informacion alguna cuando el tamanoesperado del cambio de valor en el portafolio excede el umbral −VaRX

1−q. Por esta razones conveniente introducir la siguiente medida de riesgo:

EX1−q = −EIP

[X|X < −VaRX

1−q

].

Esta cantidad recibe tambien el nombre de esperanza condicional de la cola del VaR.Considere la siguiente forma alternativa de escribir EX

1−q,

EX1−q = EIP

[−X|X < −VaRX

1−q

]

= E[−X − VaRX

1−q + VaRX1−q


]

= VaRX1−q + E

[−X − VaRX

1−q

∣∣ − VaRXq − X > 0

]

= VaRX1−q − E

[X + VaRX

1−q

∣∣ VaRXq + X < 0

]

Observe que si se denota VaRX1−q = −u, y se define

e(u) = E [X − u|X < u] ,

entoncesEX1−q = −u − e(u).

Observe ahora que por definicion

e(u) =

∫ u

−∞(x − u)dFX(x)FX(u)

=

∫ u

−∞ xdFX(x) − uFX(u)FX(u)

=1

FX(u)

∫ u

−∞xdFX(x) − u

=1

FX(u)

(uFX(u) −

∫ u

−∞FX(x)dx

)− u

= − 1FX(u)

∫ u

−∞FX(x)dx.

59

11.1 Un ejemplo ilustrativo sobre la esperanza condicional de lacola de VaR

En esta seccion se desarrolla un ejemplo ilustrativo sobre la esperanza condicional de lacola de VaR. En particular, si

FX(x) = 1 − e−λx, x > 0, λ > 0,

entonces ∫ u

0

FX(x)dx =∫ u

0

(1 − e−λx

)dx

=u − 1λ

(1 − e−λu

).

Por lo tanto,

e(u) =1λ− u

1 − e−λu.

Por otro lado,VaRX

1−q = − inf x ∈ IR |FX(x) ≥ q= − inf

x ∈ IR | 1 − e−λx ≥ q

= − inf x ∈ IR |λx ≥ − ln(1 − q)

= − inf

x ∈ IR |x ≥ − ln(1 − q)λ

=ln(1 − q)

λ

(10.20)

y tomando en cuenta que −u = VaRX1−q, se tiene que

e(−VaRX1−q) =

1λ

+ln(1 − q)

λ

(1

1 − exp ln(1 − q)

)

=1λ

+ln(1 − q)

qλ

.

Por lo tanto,EX1−q =VaRX

1−q − e(−VaRX1−q)

=ln(1 − q)

λ− 1

λ− ln(1 − q)

qλ

= − 1λ

[(1 − q

q

)ln(1 − q) + 1

].

(10.22)

Si, por ejemplo, λ = 1 y q = 0.05, entonces VaRX0.95 = −0.05, y de acuerdo con (6.30) y

−u = VaRX0.95, se tiene que

e(−VaRX0.95) =1 +

VaRX0.95

1 − expVaRX

0.95

=1 − 0.051 − exp −0.05

=1 − 1.02 = −0.02.

60

En este caso,

EX1−q = VaRX

1−q − e(−VaRX1−q) = −0.05 + 0.02 = −0.03

Por ultimo observe que si q = 0, se tiene que EX1−q = 0 = VaRX

1−q. En la figura 6.5 seilustran los resultados cuando X tiene una distribucion exponencial.

Figura 6.5 VaR y la esperanza condicional de la cola VaRde una distribucion exponencial

11.2 VaR-promedio, AVaR (Average VaR)

Una forma equivalente de definir la esperanza condicional del VaR es a traves del VaR-promedio, el cual se define como

AVaRX1−q =

1q

∫ q

0

VaRX1−sds. (10.21)

Si por ejemplo,FX(x) = 1 − e−λx, x > 0, λ > 0,

es decir, X es una variable aleatoria exponencial con parametro λ > 0, se ha visto en(10.20) que

VaRX1−q =

ln(1 − q)λ

Por lo tanto, con base en (10.12), se sigue que

AVaRX1−q =

1q

∫ q

0

VaRX1−sds

=1q

∫ q

0

ln(1 − s)λ

ds

=1qλ

∫ q

0

ln(1 − s)ds.

61

Considere ahora el cambio de variable u = 1 − s. En este caso, la ecuacion anterior puedeescribirse como

AVaRX1−q = − 1

qλ

∫ 1−q

1

ln(u)du

= − 1qλ

[(u ln(u) − u)

∣∣∣∣1−q

1

]

= − 1qλ

[(1 − q) ln(1 − q) − (1 − q) + 1]

= − 1λ

[(1 − q

q

)ln(1 − q) + 1

].

Este resultado coincide con (10.22). En otras palabras,

AVaRX1−q = EX

1−q = −EIP[X|X < −VaRX

1−q

].

11.3 La esperanza condicional de la cola de VaR es homogenea po-sitiva

A continuacion se demuestra que la esperanza condicional de la cola de VaR satisface lapropiedad de homogeneidad positiva. En efecto, sean α > 0 y X ∈ A, se define Y = αX,entonces se cumple que

EY1−q =EIP

[−Y |Y < −VaRY

1−q

]

=EIP[−αX|αX < −VaRaX

1−q

]

=EIP[−αX|αX < −αVaRX

1−q

]

=EIP[−αX|X < −VaRX

1−q

]

=αEIP[−X|X < −VaRX

1−q

]

=αEX1−q.

Es decir, ρ(3)(αX) = αρ(3)(X).

62

11.4 La esperanza condicional de la cola de VaR es invariante bajotraslaciones

Ahora se demuestra que la esperanza condicional de la cola de VaR es invariante bajotraslaciones. Sean α ∈ IR y X ∈ A, se define Y = X + α, entonces

EY1−q =EIP

[−Y |Y < −VaRY

1−q

]

=EIP[−X − α|X + α < −VaRX+α

1−q

]

=EIP[−X − α|X + α < −

(VaRX

1−q − α)]

=EIP[−X − α|X < −VaRX

1−q

]

=EIP[−X|X < −VaRX

1−q

]− EIP

[−α


]

=EIP[−X|X < −VaRX

1−q

]− α

=EX1−q − α.

En otras palabras, ρ(3)(X + α) = ρ(3)(X) − α.

11.5 La esperanza condicional de la cola de VaR satisface la propie-dad de monotonıa no creciente

En esta seccion se muestra que la esperanza condicional de la cola de VaR satisface lapropiedad de monotonıa no creciente. Con este proposito, suponga que X ≥ Y , entonces

EIP[Y |Y < −VaRY

1−q

]

= − VaRY1−q + EIP

[Y + VaRY

1−q|Y < −VaRY1−q

]

= − VaRY1−q +

EIP[(

Y + VaRY1−q

)1Y <−VaRY

1−q]

IPY < −VaRY

1−q

= − VaRY1−q +

EIP[(

Y + VaRY1−q

)1Y <−VaRY

1−q1X<−VaRX1−q

]

q

+EIP

[(Y + VaRY

1−q

)1Y +VaRY

1−q<01X≥−VaRX

1−q]

q

≤− VaRY1−q +

EIP[(

Y + VaRY1−q

)1Y <−VaRY

1−q1X<−VaRX1−q

]

q

≤− VaRY1−q +

EIP[(

Y + VaRY1−q

)1X<−VaRX

1−q]

IPX < −VaRX

1−q

= − VaRY1−q + EIP

[Y + VaRY

1−q|X < −VaRX1−q

]

=EIP[Y |X < −VaRX

1−q

]≤ EIP

[X|X < −VaRX

1−q

].

63

La primera desigualdad se debe al hecho de que la segunda esperanza de la tercera igualdades negativa. La segunda desigualdad se sigue de que la interseccion de dos eventos estacontenida en cada uno de los eventos. Por lo tanto,

−EIP[X|X < −VaRX

1−q

]≤ −EIP

[Y | − Y > VaRY

1−q

].

Equivalentemente, EX1−q ≤ EY

1−q o ρ(3)(X) ≤ ρ(3)(Y ).

11.6 La esperanza condicional de la cola de VaR es subaditiva

En esta seccion se verifica que la esperanza condicional de la cola de VaR es subaditiva.Observe primero que si X, Y ∈ A, entonces

EIP[X|X < −VaRX

1−q

]

= − VaRX1−q + EIP

[X + VaRX

1−q|X < −VaRX1−q

]

= − VaRX1−q +

EIP[(

X + VaRX1−q

)1X<−VaRX

1−q]

IPX < −VaRX

1−q

= − VaRX1−q +

EIP[(

X + VaRX1−q

)1X<−VaRX

1−q1X+Y <−VaRX+Y1−q

]

IPX < −VaRX

1−q

+EIP

[(X + VaRX

1−q

)1X+VaRX

1−q<01X+Y ≥−VaRX+Y

1−q ]

IPX < −VaRX

1−q

≤− VaRX1−q +

EIP[(

X + VaRX1−q

)1X<−VaRX

1−q1X+Y <−VaRX+Y1−q

]

q

≤− VaRX1−q +

EIP[[

X + VaRX1−q

)1X+Y <−VaRX+Y

1−q ]

IPX + Y < −VaRX+Y

1−q

= − VaRX1−q + EIP

[X + VaRX

1−q|X + Y < −VaRX+Y1−q

]

=EIP[X|X + Y < −VaRX+Y

1−q

].

Por simetrıa en los calculos, tambien se tiene que

EIP[Y |Y < −VaRY

1−q

]≤ EIP

[Y |X + Y < −VaRX+Y

1−q

].

En consecuencia,

EX+Y1−q = −EIP

(X + Y |X + Y < −VaRX+Y

1−q

)

= −EIP(X|X + Y < −VaRX+Y

1−q

)− EIP

(Y |X + Y < −VaRX+Y

1−q

)

≤ −EIP(Y |Y < −VaRY

1−q

)− EIP

(X|X < −VaRX

1−q

)

= EX1−q + EY

1−q.

64

Ası, ρ(3)(X + Y ) ≤ ρ(3)(X) + ρ(3)(Y ).

12. Teorema de representacion de medidas coherentes de riesgo

Considere un variable aleatoria X definida sobre dos espacios de probabilidad (Ω,F , IP1)y (Ω,F , IP1). Es decir, X : Ω −→ IR tiene asociadas dos distribuciones. Se define

ρm(X) := −max(EIP1 [X], EIP2 [X]

),

entonces ρm(X) es una medida coherente de riesgo. Observe que esta medida de riesgo sedefine en terminos de dos medidas de probailidad IP1 y IP1. Si α > 0

ρm(αX) = − max(EIP1 [αX], EIP2 [αX]

)

=α(−max

(EIP1 [X], EIP2 [X]

))

=αρm(X).

Asimismo, si α ∈ IR, entonces

ρm(X + α) = − max(EIP1 [X + α], EIP2 [X + α]

)

=(−max

(EIP1 [X], EIP2 [X]

))− α

=ρm(X) − α.

Ademas,

ρm(X + Y ) = − max(EIP1 [X + Y ], EIP2 [X + Y ]

)

≤(−max

(EIP1 [X] + EIP1 [Y ], EIP2 [Y ] + EIP2 [Y ]

))

= − max(EIP1 [X], EIP2 [X]

)− max

(EIP1 [Y ], EIP2 [Y ]

)

=ρm(X) + ρm(Y ).

Por ultimo, Si X ≤ Y , entonces

ρm(Y ) = − max(EIP1 [Y ], EIP2 [Y ]

)

≤(−max

(EIP1 [X], EIP2 [X]

))

=ρm(X).

A continuacion se discute sobre el teorema de representacion de una medida coherente deriesgo, el cual se puede enunciar como sigue: Una medida de riesgo, ρ, es coherente sı ysolo sı existe una familia, P, de probabilidades definidas en (Ω,F , IP) tal que:

ρ(X) = supIP∈P

EIP[−X].

65

Este resultado se puede motivar de la siguiente manera. Sea Ω un espacio muestral con nposibles resultados igualmente probables. Considere una familia C = Aim

i=1 de subcon-juntos de Ω, con la propiedad de que cada Ai tiene ν elementos y

m⋃

i=1

Ai = Ω.

Se define la medida de probabilidad IPi como la probabilidad condicional de que ω ∈ Ai,y 0 de otra manera. Esto es,

IPi(ω) := IPi(ω) =

1ν

si ω ∈ Ai,

0 si ω /∈ Ai.

Sea X una variable aleatoria definida en (Ω,F). Denote los posibles valores que X puedetomar, en orden creciente, como x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn. Sea k un numero entero, 0 ≤ k < n,y α ∈ [k/n, (k + 1)/n). Dado que

IP X ≤ xk+1 =k + 1

n> α

y

IP X ≤ xk+1 ≤ k

n≤ α,

se tiene que −VaRX1−α = xk+1. Suponga ahora que cada Ai tiene exactamente ν = n−k el-

ementos. En este caso, IPiω = 1/(n − k). Defina la familia de medidas P = IPi1≤i≤m.Sea A` el miembro de C con elementos mas pequenos, es decir, x1, x2, ..., xn−k. Se tieneentonces que

EX1−q = EIP`[−X|X ≤ −VaRX

1−α]

= −x1 + x2 + · · ·+ xn−k

n − k

= EIP`[−X]

,

donde IP` es la medidad de probabilidad asociada a A`. Para cualquier otra IPi ∈ P, setiene que

EIPi [−X] ≤ EIP` [−X].

En consecuencia,EX1−q = sup

IPi∈PEIPi [−X].

66

13. Construccion de medidas coherentes de riesgo

En esta seccion se establecen varias reglas para construir medidas coherentes a partirde otras medidas coherentes. Sean ρ1, ρ2,...,ρn, medidas coherentes de riesgo, entonces,cualquier combinacion convexa ρ :=

∑ni=1 βiρi, con βi ≥ 0 y

∑ni=1 βi = 1, es una medida

coherente de riesgo. Similarmente, si ρδ, δ ∈ [a, b] es una familia parametrica de medidas

coherentes de riesgo, entonces para cualquier medida dµ(δ) en [a, b] con∫ b

adµ(δ) = 1, se

tiene que ρ :=∫ b

aρ

δdµ(δ) es una medida coherente de riesgo.

14. Diversificacion coherente con futuros del MexDer

Uno de los metodos mas utilizados en la medicion de riesgos de mercado es el VaR. Enla metodologıa del VaR historico se genera la distribucion de perdidas potenciales. Estadistribucion se utiliza para estimar intervalos de confianza de posibles perdidas con ciertogrado de confianza estadıstica y en un plazo determinado. En esta seccion, estamos in-teresados en analizar el riesgo perdidas potenciales en el valor presente de un conjunto deflujos de efectivo (obligaciones y activos) combinado con contratos futuros de CETES.

Los objetivos especıficos de este ejercicio son: 1) calcular el VaR del portafolio com-binado de flujos de efectivo (obligaciones y activos) y futuros; 2) mostrar como la diversi-ficacion incluyendo contratos de futuros de vencimientos diferentes, a los contemplados enel portafolio, aumenta el VaR en lugar de disminuirlo; 3) calcular, con base en el teoremade representacion de medidas coherentes la esperanza condicional del VaR del portafoliocombinado de flujos de efectivo y futuros; y 4) mostrar como la diversificacion incluyendocontratos de futuros de vencimientos diferentes, a los ya contemplados en el portafolio,reduce la esperanza condicional del VaR (ECVaR).

En el siguiente ejercicio, a partir de un registro historico de la estructura de plazosCETES, se genera la distribucion del valor presente de los flujos financieros. En el Cuadro14.1 se presenta un conjunto de flujos financieros dados, ası como las fechas de vencimientode los contratos a futuro. La muestra de curvas de rendimiento que se considero es del 31de diciembre de 2002 al 30 de junio de 2003.

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Fechas de Montos de Vencimientosflujos flujos de los contratos

1 Futuro = 1 lotede 10,000 CETES

31-Dic-02 912,300 12-Dic-02N1 = −4.92

31-Ene-03 -972,200 11-Ene-03N2 = 5.04

31-Mar-03 998,100 10-Mar-03 µ 18,565.62N3 = −5.98

30-Jun-03 -933,800 12-Jun-03 σ 401.71N4 = 6.17

Portafolio diversificado

12-Dic-02N1 = −4.9011-Feb-03N2 = 5.0410-Mar-03 µ 19,652.89N3 = −5.8128-Jun-03 σ 481.85N4 = 0.1712-Jun-03N5 = 6.17

Cuadro 14.1 Flujos de efectivo, vencimientos de bonos y estrategias de cobertura

Como puede observarse, en el Cuadro 14.1, las fechas preestablecidas de los flujos deefectivo no coinciden con las fechas de vencimiento de los contratos a futuro de CETES.Las cantidades Ni, representan posiciones en contratos futuros. Un valor negativo de Ni

es una posicion corta. Despues de generar la distribucion del valor presente del portafoliocombinado de flujos de efectivo esperados y contratos a futuro, se tiene los Cuadros 14.2y 14.3 resumen el valor en riesgo (historico) (VaR) y de la esperanza condicional del VaR(ECVaR) para 4 y 5 posiciones en contratos futuros.

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VaR VaR

4 posiciones en futuros 5 posiciones en futurosµ 18,565.62 µ 19,652.89σ 401.71 σ 481.85

Percentil VP Cambio respecto VP Cambio respectoa la base a la base

Maximo 21,134.98 3,564.72 21,569.57 3,952.910.995 20,354.61 2,153.27 20,741.11 3,179.560.990 19,765.56 1,343.55 20,423.88 1,893.220.950 19,423.02 887.38 20,477.45 979.290.900 19,376.87 567.99 19,123.45 603.340.800 19,213.76 256.88 19,675.34 245.620.700 19,208.29 193.71 19,664.72 219.450.600 19,199.65 141.92 19,293.75 127.970.500 19,188.11 97.22 19,648.33 122.270.400 19,134.10 -17.89 19,032.51 -18.750.300 19,100.68 -65.89 19,772.74 -72.350.200 19,023.65 -188.73 19,872.42 -196.550.100 18,956.86 -395.22 19,558.37 -445.460.050 18,156.45 -769.59 19,975.21 -779.220.010 18,033.19 -1,398.21 19,448.66 -1,967.520.005 17,865.33 -1,251.82 18,826.99 -1,734.17

Mınimo 15,657.78 -3,548.72 18,993.41 -3,972.96

Cuadro 14.2 Cuadro resumen del VaR.

De acuerdo con el Cuadro 14.2, por ejemplo, al nivel q = 0.05 (cuarto renglon de abajohacia arriba), el valor en riesgo con cuatro posiciones en futuros es de 769.59, mientras queal mismo nivel, q = 0.05, el valor en riesgo de 5 posiciones en contratos futuros aumentaa 779.22. En el Cuadro 14.3 se muestran los valores ECVaR calculados con la formula delteorema de representacion de medidas coherentes de riesgo para el caso discreto. Observeque al nivel q = 0.05 el valor en riesgo con cuatro posiciones en futuros es de 950.57 y elvalor en riesgo de 5 posiciones en contratos futuros se reduce a 578.22.

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ECVaR ECVaR

4 posiciones en futuros 5 posiciones en futurosµ 18,565.62 µ 19,652.89σ 401.71 σ 481.85

Percentil VP Cambio respecto VP Cambio respectoa la base a la base

Maximo 21,986.46 3,764.342 21,321.57 3,952.910.995 21,476.87 2,568.78 20,342.11 3,179.560.990 21,759.34 1,503.47 20,278.88 1,893.220.950 21,623.56 1,187.83 20,167.45 979.290.900 21,546.85 983.58 19,098.45 603.340.800 20,213.49 734.54 19,002.34 245.620.700 19,748.02 659.34 18,876.72 219.450.600 19,645.16 567.99 18,956.75 427.970.500 19,576.16 345.27 19,142.33 322.270.400 19,476.12 117.85 19,011.51 98.750.300 19,345.49 165.76 19,005.74 103.350.200 19,128.88 -993.38 18,457.42 -667.550.100 18,112.56 -962.05 18,432.37 -593.460.050 18,106.47 -950.57 18,275.21 -578.220.010 18,021.29 -998.84 17,934.66 -356.520.005 17,945.74 -997.80 17,927.99 -314.17

Mınimo 17,995.38 -1,000.58 17,845.41 -305.96

Cuadro 14.3 Cuadro resumen del ECVaR.

15. Conclusiones

En un mundo globalizado con incertidumbre y riesgo, las autoridades y reguladores exigena los intermediarios financieros, cada vez, mas requisitos en materia de administracion deriesgos, tales como: sistemas integrales de medicion y control de riesgo, fondos contingentes,comites tecnicos de riesgos, unidades especializadas, reportes periodicos, evaluaciones fre-cuentes de polıticas, modelos, tecnicas, herramientas, procedimientos y metodologıas. Esdeseable entonces que el cumplimiento de todos estos requisitos tome como base una me-dida coherente del riesgo. El presente trabajo es un intento modesto de fomentar la culturade la esperanza condicional del VaR. Para ello, no solo es necesario transformar la formade hacer las cosas, sino tambien modificar la forma de pensar, pensar coherentemente.

15. Bibliografıa

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