Trabajo de geometria

¿Cómo medir la tierra? Proyecto final de geometría.

Proyecto investigativo y de aplicación de conocimientos sobre geometría, sus aplicaciones, como medir la tierra y la teoría de las sombras.

Cristina Parreño, Andrea Santillán, Jenny Vilema UESTAR

3º Bach D

UNIDAD EDUCATIVA FISCOMISIONAL

“SANTO TOMÁS APÓSTOL RIOBAMBA”

AREA DE INVESTIGACIÓN

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ÍNDICE . Introducción .......................................................................................................................................................... 2

Objetivos ............................................................................................................................................................... 2

Desarrollo del tema ...................................................................................................................................................... 3

Para que nos ayuda saber geometría ........................................................................................................................ 3

Medición de objetos de gran tamaño usando sombras ............................................................................................ 4

Eratóstenes, matemático, astrónomo, geógrafo ...................................................................................................... 5

Eratóstenes mide el radio de la tierra ....................................................................................................................... 6

Nuestro proyecto de medición de la tierra ............................................................................................................... 7

El Inti Raymi ............................................................................................................................................................... 8

Los solsticios y equinoccios ....................................................................................................................................... 8

La colaboración en los proyectos científicos ............................................................................................................. 9

Ejecución ....................................................................................................................................................................... 9

Conclusiones ............................................................................................................................................................... 10

Recomendaciones ....................................................................................................................................................... 10

Bibliografía .................................................................................................................................................................. 10

INTRODUCCION

Este trabajo tiene como eje principal el conocimiento de Eratóstenes, donde aplicaremos nuestros

conocimientos sobre geometría, y creamos una amalgama con sus conocimientos. A través de estas

páginas iremos desarrollando temas como el uso y aplicación de la geométrica, quien fue

Eratóstenes, que nos dejó al mundo, como midió la tierra, nuestro experimento, que es el Inti

Raymi, los solsticios y equinoccios y la colaboración científica.

Es el resultado del arduo trabajo investigativo y de lectura, que sobresaltando el ingenio de

Eratóstenes lo aplicaremos para nuestro tiempo.

OBJETIVO.

Hacer una estimación del radio terrestre siguiendo el método que usó Eratóstenes.

Conocer y profundizar temas de geometría como ángulos, sombras, el teorema de Pitágoras entre

otros.




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Aplicación de los temas aprendidos.

Investigar que son las latitudes y equinoccios.

Desenterrar la historia de los Incas conociendo su mayor fiesta el Inti Raymi.

CUERPO O DESARROLLO.

USO Y APLICACIÓN DE LA GEOMETRÍA

La geometría ha sido desde los principios de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar

soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida, pues, entre otros usos,

facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y

además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.

En este trabajo se busca destacar y lograr reconocer los usos de la geometría en teoría y aplicación

La geometría, del griego geo (tierra) y métria (medida), es

una rama de la matemática que se ocupa de las

propiedades de las figuras geométricas en el plano o el

espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos,

puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas,

perpendiculares, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se

remontan a la solución de problemas concretos relativos a

medidas y es la justificación teórica de muchos

instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el

pantógrafo.

Cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. También da fundamento teórico a inventos

como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el

análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños

(justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de

artesanías).

1 . E N M E D I C I O N E S

La geometría es quizás la aplicación más importante de la matemática egipcia. Después de ver las

grandes construcciones que llevaron a cabo los egipcios deberíamos esperar una geometría muy

avanzada. Pero desgraciadamente no es así, lo único que nos aportan son algunos datos para el cálculo

de áreas y volúmenes de figuras geométricas muy básicas. Medir y calcular sobre los cuerpos físicos que

nos rodean es una tarea imprescindible. Conocer las propiedades dimensionales y dominar la

representación de los objetos son la esencia de la mayoría de las disciplinas derivadas de las ciencias y la




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tecnología.

2 . E N E L A R T E

Muchos artistas aplican conceptos geométricos en su construcción plástica, aunque en algunas de ellas

no se aprecie una forma geométrica clara. En este sentido, la geometría es el elemento "básico" en estas

creaciones y el uso de ésta se aplica en varias tendencias plásticas como el constructivismo.

Muchos ofrecen espacios que reflejan arte geométrico combinado con música e imagen en movimiento.

Las creaciones de los pintores Eusebio Sempere, Michavila y el Equipo 57, muestran su evolución con el

uso conceptual y artístico de la geometría.

La geometría nunca ha dejado de estar presente en el arte por lo que estas formas siempre

Presentan conceptos creativos y expresivos.

3 . E N E L L E N G U A J E C O T I D I A N O

Nuestro lenguaje verbal diario posee muchos términos geométricos, por ejemplo: punto, recta, plano,

curva, ángulo, paralela, círculo, cuadrado, perpendicular, etc. Si nosotros debemos comunicarnos con

otros a cerca de la ubicación, el tamaño o la forma de un objeto la terminología geométrica es esencial.

En general un vocabulario geométrico básico nos permite comunicarnos y entendernos con mayor

precisión acerca de observaciones sobre el mundo en que vivimos.

4 . E N P R O B L E M A S D E L A V I D A R E A L

Por ejemplo, está relacionada con problemas de medidas que a diarios nos ocupan, como diseñar un

cantero o una pieza de cerámica o un folleto, cubrir una superficie o calcular el volumen de un cuerpo;

con leer mapas y planos, o con dibujar o construir un techo con determinada inclinación.

DESCRIBA Y EJEMPLIFIQUE LA MEDICIÓN DE UN OBJETO DE GRAN ALTURA USANDO SOMBRAS O ESPEJOS

M É T O D O D E L A S S O M B R A S

Cuando mi cuerpo no proyecta una sombra, el árbol que está a MI lado tampoco la proyecta, cuando dos

horas después mi cuerpo ya proyecta una sombra, el árbol de al lado también la proyecta y si dos horas

después mi cuerpo proyecta una sobra más larga que la anterior, la nueva sombra del mismo árbol será

también más grande, en la misma proporción, que la sombra hace dos horas.

Sabemos que la sombra de una persona o de un objeto cambia según la hora

del día, pero estas sombras son siempre proporcionales.

Aprovechamos este fenómeno para realizar una medición de la forma más

sencilla y muy precisa a la vez, del siguiente modo:




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1. Vemos que el árbol a medir proyecte una sombra definida.

2. Colocamos una marca en cualquier lugar plano

3. Luego nos colocamos entre la marca y el sol, de modo que el borde de nuestra sombra, por el lado de

la cabeza, caiga sobre la marca.

4. Medimos el largo de nuestra propia sombra.

5. Medimos el largo de la sombra del árbol.

6. Aplicamos una regla de tres simple del siguiente modo:

(Sombra Árbol)/(Altura Árbol) = (Sombra Explorador)/(Altura Explorador)

Despejando mediante una regla de tres obtenemos:




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Altura Árbol = (Altura Explorador x Sombra Árbol)/(Sombra Explorador)

De dónde reemplazando los datos que tenemos obtenemos la altura del árbol con gran exactitud.

EJEMPLO:

Por ejemplo, si tú sombra mide 2metros 20cm (2.20 m, lo cual has determinado contando los pasos),

sabes que tu talla es de 1.42m y la sombra del árbol es de 21.60m entonces aplicando la fórmula

obtenemos:

Altura Árbol = (Altura Explorador x Sombra Árbol)/(Sombra Explorador)

Y reemplazando datos:

Altura Árbol = (1.42m x 21.70m)/(2.20m) = 14m

¿QUIÉN FUE ERATÓSTENES Y CUÁLES FUERON SUS CONTRIBUCIONES A LA CIENCIA Y LA ASTRONOMÍA?

E R A T Ó S T E N E S

(Cirene, c. 284 a.J.C. - Alejandría, c. 192 a.J.C.) Astrónomo, geógrafo, matemático y

filósofo griego, una de las figuras más eminentes del gran siglo de la ciencia griega:

el de Euclides, Arquímedes y Apolonio. Once años menor que Arquímedes,




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mantuvo con éste relaciones de amistad y correspondencia científica. Cultivó no sólo las ciencias, sino

también la poesía, la filología y la filosofía, por lo que fue llamado por sus coetáneos "pentatleta", o sea

campeón de muchas especialidades.

A Eratóstenes se le atribuye la invención de la esfera armilar: un instrumento formado

por anillos metálicos que giran con diferentes velocidades alrededor de un centro

común. En el tiempo de Eratóstenes se pensaba que la Tierra estaba en el centro de un

sistema de esferas, en las que se encontraban el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas

fijas. La esfera armilar permitía calcular con buena exactitud el movimiento de los

astros como se observa desde la Tierra.

También se atribuye a Eratóstenes la invención de un sencillo

tamizador numérico que permite obtener los números primos. Este

aparato se puede reproducir fácilmente en el salón de clases o en

casa, de la siguiente manera: sobre el pizarrón se dibuja una tabla

que contiene los números en orden ascendente, empezando desde 2,

y se borran todos los múltiplos de cada número exceptuando el

número base. De esta manera, los números que quedan en la tabla

son todos primos.

Entre otras grandes aportaciones están la creación de mapas a través de coordinas ya que fue el primeo

en lograr con gran exactitud medir los meridianos y latitudes.

EN QUÉ SE BASÓ ERATÓSTENES PARA REALIZAR ESTE EXPERIMENTO

¿ C Ó M O M I D I Ó E R A T Ó S T E N E S L A T I E R R A ?

Eratóstenes observo, en Aswan, que cerca del equinoccio de verano, un rayo solar entraba

perfectamente por un pozo, lo cual le dio a entender que el sol estaba en pleno cenit. O sea no

proyectaba sombra. Pero por esas mismas fechas en la ciudad de Alejandría situada a unos 5000

estadios de distancia, a la misma hora se proyecta sombra.

Lo cual le hizo pensar que gracias a la redondez de la tierra esto era posible. Su ingenio le permitió

idearse la manera de conocer el ángulos que poseían estas sombras en comparación y asi llevarlo a gran

escala y poder medir la tierra.

Con varios cálculos matemáticos y con la teoría de los ángulos pudo determinar que los ángulos entre la

sombra y el objeto era de 7.2º y esto lo dividió para la circunferencia de la circunferencia que es sabido

360º lo cual le dio un resultado de 50 veces.




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He aquí cuando conoce las latitudes, y les da el valor de 500º estadios que él conocía como la distancia

entre Aswan y Alejandría. Después de esto solo tuvo que multiplicar y ta dah! La redondez de la tierra

era 252000 estadios.

AHORA NUESTRO TURNO.

Después de conocer cómo se las ingenio Eratóstenes, era nuestro turno de hacer el experimento así que realizamos un mapa a escala desde Aswan hasta Alejandría donde pegamos dos pirámides de papel que representarían los objetos que Eratóstenes utilizo en su experimento.

Despues desde las 11:30 de la mañana salimos en caceria del sol para encontrar el punto exacto donde no se produzca sombra en nuestras piramides. Al conseguirlo lo doblamos ligeramente el papel para que la parte de Alejandria haya sombra simulando una parte de la tierra.

Conociendo que de acuerdo a los ángulos internos opuestos son iguales se puede saber que el ángulo es de 7.2º




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DESPUÉS FUE LA HORA DE LOS CÁLCULOS, DIVIDIMOS LA CIRCUNFERENCIA, 360º PARA 7.2º LOS QUE SALIÓ FUE 50. ES DECIR

ESTE ÁNGULO SE REPITE 50 VECES EN TODA LA CIRCUNFERENCIA.

DESPUÉS MULTIPLICAMOS LA CANTIDAD QUE SE REPITE POR LA DISTANCIA ENTRE LAS DOS CIUDADES, 50*5000=250000

AHORA TENÍAMOS QUE BUSCAR CUAL ES EL VALOR DE UN ESTADIO LOS CUALES VARÍAN DE 140 HASTA 185. PERO LOS

ESTADIOS GRIEGOS DE ESA ÉPOCA TENÍAN UNA MEDIA APROXIMADA DE 160 M. 250000*1,6=40000KM.

¿Q UÉ ES EL INTI RAYMI, PORQUÉ Y EN QUÉ FECHA SE CELEBRA?

Inti Raymi del quechua, fiesta del sol. Es festejada por los incas peruanos y ecuatorianos, es una de las

ceremonias más importantes de esta cultura ancestral, ya que es la fiesta al Dios Inti o Dios Sol.

Festejada en el solsticio de invierno, Cada 24 de junio, día en que el sol se encuentra en su punto más

distante de la tierra Indicaba el inicio del año, así como el origen mítico del Inca.

¿QUÉ SON LOS SOLSTICIOS Y QUE LOS EQUINOCCIOS?

Como se dijo anteriormente, el sol con los movimientos de traslación y de rotación produce que cada

cierto tiempo sus rayos golpeen de forma perpendicular la tierra, en los trópicos de capricornio, cáncer

y en el Ecuador. Y estos toques por así decirlos marcan el inicio de cada estación. Lo cual divide de forma

exacta el calendario. Las fechas en las que esto sucede son:

Solsticio de invierno en el trópico de capricornio, se produce el 21 de diciembre.

Solsticio de verano en el trópico de cáncer, el 21 de junio.

Equinoccio de primavera y otoño en el Ecuador, el 21 de septiembre y 21 de marzo respectivamente.

EN ECUADOR EN QUÉ FECHA EL SOL CAE EN FORMA PERPENDICULAR.

De acuerdo al movimiento del sol durante el año se presentan dos equinoccios y dos solsticios los cuales

marcan las estaciones del año. Así que gracias a este movimiento se puede saber que en el Ecuador los

rayos solares golpean perpendicularmente en el equinoccio de primavera y el de otoño los cuales son el

21 de septiembre y 21 de marzo respectivamente.




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¿CÓMO INCIDE LA COLABORACIÓN EN LOS PROYECTOS CIENTÍFICOS?

A través de los años se ha visto que los genios y equipos se han individualizado y aislado hasta la

invención y la colaboración a través de este medio, es decir desde que todos compartimos todo lo que

podamos en la internet, la ciencia ha hecho lo mismo con los cual se ha cambiado drásticamente la

manera de explorar, analizar y de inventar.

Los genios en cierto tema se pueden comunicar de forma instantánea con genios de otra parte del

mundo, comparten sus herramientas y enriquecen la ciencia.

Esto nos ayuda enormemente, no solo a genios, sino a todo aquel interesado con los temas de la ciencia.

La tecnología va dándonos la mano y nos ayuda a que de a poco los límites entre todos sean tan solo

imaginarios.

EJECUCIÓN DE LA MEDICIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS.

M E D I C I O N D E L O B J E T O .

En un día soleado salimos a medir en comparación la sombra de un objeto con la de un lápiz. Para esto

utilizamos una tiza y una cinta métrica además del lápiz.

A la misma hora colocamos el lápiz perpendicular e hicimos una lineal final de la sombra con la tiza,

realizamos lo mismo con la sombra de la tribuna, medimos con la cinta métrica y realizamos los cálculos.

𝑎

𝑏=𝑐

𝑑

𝑎 =14

8∗ 1.8 = 3.15

M E D I C I O N D E L A T I E RR A .

En un día soleado salimos a realizar el experimento de Eratóstenes para esto utilizamos. Dos pirámides

pequeñas de cartulina, una cartulina grande, marcadores, regla y una cámara.

En el papel realizamos dos señales a aproximadamente 40 cm de distancia donde pegamos las

pirámides, colocamos los nombres de Aswan y de Alejandría a cada una de las pirámides y alrededor de

las 11:52 de la mañana no se proyectaba sombra, doblamos el papel de forma que asemejara una

circunferencia y así había sombra en Alejandría pero no en Aswan. Tomamos la foto en ese instante.

Dividimos la circunferencia, 360º para 7.2º los que salió fue 50. es decir este ángulo se repite 50 veces

en toda la circunferencia. Después multiplicamos la cantidad que se repite por la distancia entre las dos

ciudades, 50*5000=250000. Ahora teníamos que buscar cual es el valor de un estadio los cuales varían

de 140 hasta 185. Pero los estadios griegos de esa época tenían una media aproximada de 160 m.

250000*1,6=40000km.




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CONCLUSIONES

En conclusión descubrimos que la curiosidad nos permite descubrir todo tipo de incógnitas y que las

tecnologías no son necesarias ni rivales para el desarrollo intelectual. Lograos descubrir por nosotros

mismos como medir la tierra y la altura de un objeto desconocido tan solo con sus sombras.

Cabe recalcar que todo gracias a la colaboración científica, ya que muchas personas con sus fuentes a

través de internet nos ayudaron a llegar a este punto clave.

RECOMENDACIONES

Les recomendamos que estos experimentos sean realizados en días muy soleados y cercanos al medio

día ya que será el punto ideal para llevarlo a cabo, el experimento de medir cuerpos es preferible

hacerlo a las 14:00 aproximadamente o a las 10:00 de la mañana ya que las sombras no serán

exageradamente grandes y los datos serán más cercanos a los reales.

Y por último que no se limiten a hacerlos sino a compartir sus experiencias, y así crear un ambiente de

colaboración científica.

BIBLIOGRAFÍA

http://www.clubdeexploradores.org/bytalturas.htm

F O R M A , M E D I D A Y R E P R E S E N T A C I Ó N D E L A TI E R R A

http://www.youtube.com/watch?v=yPNsE9huZaU

F O R M A , M E D I D A Y R E P R E SE N T A C I Ó N D E L A TI E R R A


F O R M A , M E D I D A Y R E P R E S E N T A C I Ó N D E L A TI E R R A


C O M O M E D I R L A T I E R R A

http://www.natureduca.com/blog/como-medir-la-longitud-de-la-tierra-andando/

I N T I R A Y M I

http://es.wikipedia.org/wiki/Inti_Raymi




http://www.natureduca.com/blog/como-medir-la-longitud-de-la-tierra-andando/

http://es.wikipedia.org/wiki/Inti_Raymi




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M E D I C I Ó N D E L A T I E R R A

http://www.geociencias.unam.mx/geociencias/experimentos/serie/libro6_medicion_tierra.pdf

http://www.geociencias.unam.mx/geociencias/experimentos/serie/libro6_medicion_tierra.pdf

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