Date post: | 14-Apr-2017 |
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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
FISICA I PROYECTO MOMENTO ANGULAR
DOCENTE: ABILIO CUZCANORIVASALUMNO : WILDER JESUS LUNA LLANTIRHUAY
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• Marco teórico• Aplicación • Conclusiones
MOMENTO ANGULAR
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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INTRODUCCIÓN
• En esta presentación realizaremos el estudio teórico y practico de un dispositivo masa-cilindro-resorte, en el cual se conserva el momento angular.
• Desarrollaremos el ejercicio de manera tal de explicar con detalle los sucesos con diferentes variables. Llegando a concluir las distintas proporcionalidades entre las variables.
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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Momento angular (L)
Definimos momento angular de una partícula, para luego extender su definición a un sistema de partículas o rígido.
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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Para una partícula• L es el producto vectorial entre (vectores
posición y momento lineal respectivamente)
• L es perpendicular al plano definido por los vectores y sus sentidos los indicamos con la regla de la mano derecha.
L = r p = r v. m
r y P
r y P
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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• Él módulo de Lo se obtiene de la siguiente ecuación:
• para un sistema de partículas L se obtiene sumando la contribución de cada una de las partículas
L = p r sen
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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• Cuando el torque externo es nulo (= 0) L se conserva( ) .
• Para la resolución del ejercicio utilizamos conceptos de energía definidos por la siguiente ecuación.
Li = Lf
Ec to ta l = Ec ro tación + Ec t raslación I 2 m VCM
2
2 2PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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• Un cilindro de radio R y masa M que está inicialmente en reposo y montado sobre un eje horizontal que pasa por su centro de masa.
Este eje está apoyado sobre un par de guías horizontales sobre las cuales desliza sin fricción y unido a dos resortes de igual constante k sujetos por sus otros extremos a una pared lejana.
En el siguiente ejercicio aplicaremos lo dado anteriormente
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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• Al cual se le lanza un trozo de arcilla de masa m y rapidez v siendo m << M.
• El trozo de arcilla impacta sobre el cilindro (quedando
pegado luego a él) siguiendo una dirección perpendicular al eje y a una distancia d por encima del mismo (d < R).
• Dado que la masa m es pequeña, se puede suponer que la simetría del conjunto (masa y momento de inercia del conjunto masa+cilindro) es la misma que la del cilindro solo.
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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Y más gráficamente …
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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Nuestros objetivos son:
1. Calcular la velocidad angular del conjunto luego del impacto.
2. Hallar la compresión máxima que pueden alcanzar los resortes.
3. Calcular la energía perdida durante la colisión.
4. Repetir las partes 1. y 3. suponiendo que el eje del cilindro no puede desplazarse sobre las guías.
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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1. Calcular la velocidad angular del conjunto luego del impacto.
• Y siendo: y
• Es decir:
Entonces: y como en este caso : sustituyendo:
Como el ح ext = o Li = Lf
Lf = I . (k )
d.m.v = I .
= d.m.v I
I= M.R2
2
= 2 d.m.v
MR2
Li = d.m.v ( k )
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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2. Hallar la compresión máxima que pueden alcanzar los resortes.
• instante después del choque• Se conserva la energía mecánica • ausencia de fuerzas no conservativas
• Sea: • Sustituimos en (2):
Emi = Emf
Em i = I 2 + MV2
2 2 I 2 + MV2
2 2
(2)
2 2
mf 22 2
k x IE
2 2
22 2
k x I
2Mx Vk
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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• Por el mismo supuesto la cantidad de movimiento del centro de masas se conserva:
• Siendo: y• Entonces:
• Despejamos V:
• (Como m << M podemos suponer que (m+M) = M)
• Sustituyendo V :
P f = P i
P i = m.v P f = ( m + M ). V
= ( m + M ). V m.v
m.v V = (m+M)
2mvxkM
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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3. Para calcular la energía perdida durante la colisión nos consideramos dos instantes:
• Antes de la colisión, donde la masa m se encuentra a una altura d respecto por encima del CM del cilindro.
• luego de la colisión, encontrándonos con el movimiento combinado de ambos objetos.
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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• Primer instante:
• Ug es despreciable:
• Segundo instante:
• Calculando la energía perdida:
• Sustituyendo en:
Emi = K + Ug
m.v 2
Emi = K = 2
Emf = Ktras + Krot M.V2 I.2 Emf = + 2 2
Eperdida = Emi - Emf
m.v 2 - MV2 - I2 Ep = 2
m.v V = M
d.m.v = I
2 2
12P
mv m mdEM I
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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• es igual a la calculada anteriormente, dado que las magnitudes para calcularla no se ven afectadas por el cambio citado; siendo estas: m (masa de la partícula), v (la velocidad de la misma), d (la distancia de la partícula al centro de masa de el cilindro) e I (la inercia).
4.Ahora suponemos la misma situación pero el eje
del cilindro no puede desplazarse sobre las guías. f
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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• Al suponer que el eje del cilindro no puede desplazarse sobre las guías, el cilindro no posee energía de traslación (su velocidad final V es nula) y como consecuencia solo rota.
m.v 2 - MV2 - I2 Ep = 2
V = 0 m.v 2 - I2 Ep = 2 2
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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¿Como varía W en función de los parámetros?
2
2MRdmv
Mostraremos dichas rel. con valores a modo de ej. en las siguientes gráficas
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
20
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25
v
W
V (m/s) (Rad./s)
0 0
5 2,92
10 5,83
15 8,7520 11,66
V
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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El siguiente gráfico tiene sentido físico solo hasta = R.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
d
W
(m) (Rad./s)0 0
0,05 (R/4) 2,080,1 (R/2) 4,17
0,15 (3R/4) 6,250,2 (R) 8,3
d
d
d
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
22
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
MW
m M (Kg) W (Rad./s)
0,6 11,66
1,2 5,83
2 3,5
3 2,3
m
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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R (m) W (Rad./s)
0,1 33,33
0,2 5,83
0,3 3,7
0,4 2,08
0,5 1,33
R
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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¿Cómo varía la energía perdida en función del parámetro de impacto?
Siendo la energía perdida
MRmd
Mm
2
2212
2mvEp (d) =
Ep
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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00,5
11,5
22,5
33,5
44,5
5
-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6
d
Ep
(m)-0,447 0
0 4,590,447 0
Ep d
Ep
d
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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Conclusiones
• Cuando d = 0, la energía perdida es máxima pues el cilindro no realiza un movimiento rotacional. De esta manera llegamos a que la energía rotacional que el cilindro hubiera obtenido (si d fuera mayor que cero) es entregada a los resortes, y como consecuencia el rígido solo se traslada.
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
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• según el gráfico, cuando d = R no se pierde energía.
• La energía rotacional alcanza su valor máximo
No se produce traslación.
• Al no trasladarse el cilindro no brinda energía a los resortes pues nunca llega a ellos.
El sistema no pierde energía
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- Bueche, Fundamento de Física I, Editorial McGraw-Hill.
- Resnick, (y otros). Física. Volumen I, Editorial: C.E.C.S.A. (5ta., Edición).
- Sears, (y otros). Física Universitaria, Volumen I. Editorial: Pearson Educación.
- Volkeinsthéin (y otros). Problemas de Física General. Editorial MIR.
- FISICA 1 Resnick- Halliday- FÍSICA - La naturaleza de las cosas -
Volumen 1 - Lea y Burke.
Bibliografía
PROYECTO MOMENTO ANGULAR
Muchas Gracias….