UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

NOMBRE: Linda Susana Cóndor Sango CURSO: CA4-7 FECHA: Quito, 18 de Octubre del 2012

PROBABILIDADES

EJERCICIOS:

1. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

Hombre Mujer Total

Ojos castaños 5 10 15

Total 10 20 30

Sea A el suceso que la persona sea hombre y B el suceso de que tenga los ojos castaños.

P (AUB) = P (A) + P (B) - P (A∩B)

= = = =

2. Encontrar la probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un número par.

P= {2, 4, 6}

P=

P= =

3. Tenemos 2 dados y queremos saber cuál es la probabilidad que se dé 5 veces 6.

P (A) = P (B) =

P (A.B) = P(A). P (B)

=

=

4. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas.

a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

Solución:

Hombre Mujer Total

Casados 35 45 80 Solteros 20 20 40

Total 55 65 120

a) P (hs) = 20/120 = 1/6.

b) P (m/c) = 45/80 = 9/16.

5. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

a) Dos caras

1/2 C

1/2 C X

1/2 C

X

P{E1.E2} = =

b) Dos cruces

P{E1.E2} = =

1/2

2

1/2

1/2

X

c) Dos caras y una cruz

p {E1.E2+E1.E2} = =

6. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

A (>9) = {(4,6); (5,5); (5,6); (6,6)}

B(A) = {(b, 4); (1,3); (2,2) ;(2,6); (3,5); (4,4); (6,6)}

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B)

=

7. Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

a) Salga 6 en todos

A: {1, 2, 3, 4, 5,6}

B: {1, 2, 3, 4, 5,6}

C: {1, 2, 3, 4, 5,6}

P {A.B.C} = P {A}. P {B}. P {C}

=

8. La probabilidad de al lanzar un dado al aire, salga:

a) Un número impar

I = {1 ,3 ,5}

P(A/B) =

b) Mayor que cuatro

p (>4) =

9. Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 8 azules, 20 verdes, 15 naranjas y 10

blancas. Hallar la probabilidad de que salga:

a) Naranja o Verde

8 BA 20 BV 15 BN 10 BB 53

E1: Evento Bola Naranja E2: Evento Bola Verde

P {E1+E2} =

b) No verde o azul

E1: Evento Bola Naranjas E2: Evento Bola Blancas

P {E1+E2} =

10. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras.

Hallara la probabilidad de que salga:

a) Roja o Blanca

4 BR 5 BB 6 BN 15

E1: Evento Bola Roja E2: Evento Bola Blanca

P {E1+E2} =

b) No sea Blanca

p {E1} = =

p {E2} = 1-

11. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

Solución

P (AUB) = P (A) + P (B) - P (A∩B)

=

12. La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

a) De que ambos vivan 20 años.

P (H.M) =

b) De que ambos mueran antes de los 20 años

p {H} = 1-

P {M} =1-

P {H.M} = P {H}. P {M}

=

13. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos.

Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta:

a) Sea hombre

p (hombre) =

b) Sea mujer blanca

p (mujer morena) =

14. Un dado esta trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras

son proporcionales a los números de estas. Hallar:

a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento

p (1)+p (2)+p (3)+ p (4)+p (5)+p (6) = 21 p

21 p = 1 p= 1/21

P (6) = 6.

15. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

A: Suceso elegir un chico B: Suceso elegir estudiante de francés

P (AUB) = P(A) + P (B) - P (A∩B)

=

= (A y B sucesos compatibles)

16. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? b) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

Solución

Pelo castaño Pelo no castaño Total

Ojos castaños 15 10 25

Ojos no castaños 25 50 75 Total 40 60 100

a) P (ojos castaños/pelo castaño) = 15/40 = 3/8

b) P (pelo no castaño/ojos castaño) = 10/25 = 2/5

c) P (pelo no castaño y ojos no castaño) = 50/100 = 1/2

17. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas; si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? b) Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?

Solución

Gafas Sin gafas Total

Hombres 15 25 40 Mujeres 15 45 60 Total 30 70 100

a) P (mujer y sin gafas) = 45/100 = 9/20

b) P (hombres/sin gafas) = 25/70 = 5/14

18. En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche si: a) se saca una papeleta, b) se sacan dos papeletas, c) se sacan tres papeletas.

Sea Ai el suceso de sacar "i" papeletas en las que al menos una tiene el dibujo de un coche y Bj el suceso de sacar "j" papeletas blancas.

P (A1) = 1 - P (B1) = 1 - (12/20) = 8/20 = 2/5.

P (A2) = 1 - P (B2) = 1 - (12/20)(11/19) = 1 - 33/95 = 62/95.

P (A3) = 1 - P (B3) = 1 - (12/20)(11/19)(10/18) = 1 - 11/57 = 46/57.

19. Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la

probabilidad de que sean: a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros.

a) Extraer una carta oro

P (AA) = P (A∩A) = P (A).P (A/A) = =

b) Extraer una carta de copas

P (AUB) = P (A) +P (B) – P (A∩B)

= 0 =

20. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

A: Saben hablar ingles B: Saben hablar francés

P (AUB) = P(A) + P (B) - P (A∩B)

=

TEOREMA DE BAYES

EJERCICIOS:

1. Tenemos tres urnas. A con 3 bolas rojas y 5 negras. B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con

2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha

sido roja. ¿Cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

R= Sacar bola roja N= Sacar bola negra 3/8

½ A 5/8

1/3 B

1/3 2/5

3/5

P(A/R) =

=

2. Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

SUCESOS: Suceso P: seleccionar el primer aparato Suceso S: seleccionar el segundo aparato Suceso T: seleccionar el tercer aparato Suceso E: seleccionar un resultado con error

P (P/E) =

=

2/3

1/3

C

3. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20%mson economistas.

El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también.

Mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto

directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea

ingeniero?

Ingenieros 0.75 Directivo

0.6

Otros 0.20 Directivo

P(Ingeniero/Directivo) =

=

=

4. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1.

La probabilidad de que suene esta si se ha producido algún incidente es de 0.97 y la

probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya

habido ningún incidente?

SUCESOS:

I = Producirse incidente A = Sonar la alarma

0.03 A

A

i

0.98

Economistas 0.50 Directivo

0.2

0.2

0.1

0.9

0.97

0.02

I

A

A

P (I/A) =

5. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.

a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses. b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

SUCESOS:

Suceso H: seleccionar una niña. Suceso V: seleccionar un niño. Suceso M: infante menor de 24 meses.

a) P (M) = P (H) P (M/H) +P (V) P (M/V)

= (0.6) (0.2) + (04) (0.35)

= (0.12) + (0.14)

=0.26 ó 26%

b) P (H/M) =

=

6. Un almacén está considerado cambiar su política de otorgamiento de créditos para

reducir el número de clientes que finalmente no pagan sus cuentas.

El Gerente de crédito sugiere que en lo futuro el crédito le sea cancelado a cualquier

cliente que se demore una semana o más en sus pagos en 2 ocasiones distintas. La

sugerencia del cliente se basa en el hecho de que en el pasado, el 90% de todos los

clientes que finalmente no pagaron sus cuentas, habían demorado en sus pagos en por lo

menos 2 ocasiones.

Suponga que de una investigación independiente encontramos que el 2% de todos los

clientes con crédito finalmente no pagan sus cuentas y que de aquellas que finalmente si

pagan el 45% se han demorado en por lo menos 2 ocasiones.

Encontrar la probabilidad de que un cliente que ya se demoro por lo menos en 2

ocasiones finalmente no pague su cuenta y con la información obtenida analice la política

que ha sugerido el Gerente de ventas.

0.45 P

0.98 0.55

0.02

0.10 P

P (P).P(S/P) = P(S P) (0.98)(0.45) = 0441

P(P).P(S/P) = P(S P) (0.02)(0.90)= 0.018

P (P´/M) =

=

0.90

S

S