Date post: | 30-Jun-2015 |
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Transformada de FourierTransformada de Fourier
http://www.fiec.espol.edu.ec
Transformadas de FourierTransformadas de Fourier
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830)1830)
Contribuyo a la idea de que una Contribuyo a la idea de que una función puede ser representada por función puede ser representada por la suma de funciones sinusoidales la suma de funciones sinusoidales
)2
sin()2
cos()(1 1 T
ktb
T
ktactf
k kkk
Transformada de FourierTransformada de Fourier
Transformada de FourierTransformada de Fourier
Transformada de FourierTransformada de Fourier
Trasformada de FourierTrasformada de Fourier
Es interesante descomponer una Es interesante descomponer una señal en sinusoides por la:señal en sinusoides por la:• FIDELIDAD SINUSOIDALFIDELIDAD SINUSOIDAL
Eso garantiza que si entra un Eso garantiza que si entra un sinusoide a un sistema lineal solo sinusoide a un sistema lineal solo variará su fase y su amplitud pero su variará su fase y su amplitud pero su frecuencia sera la mismafrecuencia sera la misma
Transformadas de FourierTransformadas de Fourier
Dependiendo del tipo de función que Dependiendo del tipo de función que se desee transformar se utilizan se desee transformar se utilizan diferentes métodosdiferentes métodos
Transformadas de FourierTransformadas de Fourier
Aperiodiodicas Aperiodiodicas ContinuasContinuasTransformada de FourierTransformada de Fourier
Periódicas ContinuasPeriódicas ContinuasSeries de FourierSeries de Fourier
Aperiódicas DiscretasAperiódicas DiscretasT. Discreta en Tiempo de T. Discreta en Tiempo de FourierFourier
Periódicas DiscretasPeriódicas DiscretasTransformada Discreta de Transformada Discreta de FourierFourier
Transformada de FourierTransformada de Fourier
Nosotros manejamos señales con un Nosotros manejamos señales con un número finito de muestrasnúmero finito de muestras
Hay dos opcionesHay dos opciones• Convertirlas a Aperiódicas DiscretasConvertirlas a Aperiódicas Discretas• Convertirlas a Periódicas DiscretasConvertirlas a Periódicas Discretas
Para sintetizar una señal aperiódica Para sintetizar una señal aperiódica se necesita un número se necesita un número infinitoinfinito de de sinusoidessinusoides
Transformada de FourierTransformada de Fourier
Por lo tanto nos concentraremos en Por lo tanto nos concentraremos en la Transformada Discreta de Fourierla Transformada Discreta de Fourier
Llamada más comúnmente por su Llamada más comúnmente por su siglas en ingles DFTsiglas en ingles DFT
Para hacerlo debemos pensar en la Para hacerlo debemos pensar en la señal digital como periódica, o sea señal digital como periódica, o sea que se repite indefinidamenteque se repite indefinidamente
Transformada de FourierTransformada de Fourier
Existen dos maneras de atacar Existen dos maneras de atacar matemáticamente la DFTmatemáticamente la DFT• DFT Sinusoidal (Real)DFT Sinusoidal (Real)• DFT Exponencial (Complejo)DFT Exponencial (Complejo)
DFT RealDFT Real
Se basa en calcular los coeficientes Se basa en calcular los coeficientes de la siguiente ecuación:de la siguiente ecuación:
2/
0
2/
0
)/2sin()/2cos(][N
kk
N
kk NknbNknanx
][][Im
][][Re
nbnX
nanX
DFT RealDFT Real
DFT RealDFT Real
DFT ComplejoDFT Complejo
Se basa en la identidadSe basa en la identidad
De tal manera que:De tal manera que:
)()cos( xisenxeix
Real vs. ComplejoReal vs. Complejo
La verdadera transformada de La verdadera transformada de Fourier es compleja por naturalezaFourier es compleja por naturaleza
Hacerla real permite estudiarla Hacerla real permite estudiarla mejor, pero introduce ciertos mejor, pero introduce ciertos problemasproblemas
Nosotros utilizaremos las dos Nosotros utilizaremos las dos dependiendo de la aplicacióndependiendo de la aplicación
El dominio de la frecuenciaEl dominio de la frecuencia
Aplicar la transformada de fourier a Aplicar la transformada de fourier a una señal en el dominio del tiempo una señal en el dominio del tiempo tiene como efecto expresar esa señal tiene como efecto expresar esa señal en el dominio de la frecuenciaen el dominio de la frecuencia
X[n]=DFT(x[n])X[n]=DFT(x[n]) Por lo tanto el eje x de la Por lo tanto el eje x de la
transformada de fourier representa transformada de fourier representa frecuenciafrecuencia
El dominio de la frecuenciaEl dominio de la frecuencia
El dominio de la frecuenciaEl dominio de la frecuencia
El eje x se puede expresar de 4 El eje x se puede expresar de 4 maneras:maneras:• Fracción de la frecuencia de MuestreoFracción de la frecuencia de Muestreo• Número de MuestraNúmero de Muestra• Frecuencia Natural (radianes)Frecuencia Natural (radianes)• Frecuencia AbsolutaFrecuencia Absoluta
Inversa de la DFTInversa de la DFT
Así como podemos ir del dominio del Así como podemos ir del dominio del tiempo al dominio de la frecuenciatiempo al dominio de la frecuencia
Usamos la inversa de la DFT para Usamos la inversa de la DFT para pasar de la frecuencia al tiempopasar de la frecuencia al tiempo
Por lo tanto podemos ver que al Por lo tanto podemos ver que al pasar del tiempo a la frecuencia solo pasar del tiempo a la frecuencia solo estamos expresando la misma estamos expresando la misma información de otra manerainformación de otra manera
Inversa de la DFTInversa de la DFT
Eso nos lleva a un concepto muy Eso nos lleva a un concepto muy importante en analisis de señales y importante en analisis de señales y sistemas: Dualidadsistemas: Dualidad
Cálculo de la DFTCálculo de la DFT
Hay 3 métodos para calcular la DFTHay 3 métodos para calcular la DFT• DFT por ecuaciones simultaneasDFT por ecuaciones simultaneas• DFT por correlaciónDFT por correlación• FFTFFT
Hoy veremos los dos primerosHoy veremos los dos primeros
DFT por ecuaciones DFT por ecuaciones simultaneassimultaneas
Tenemos N valores en tiempo y hay Tenemos N valores en tiempo y hay que calcular N valores en frecuenciaque calcular N valores en frecuencia
Debemos escribir N ecuaciones Debemos escribir N ecuaciones lineales independienteslineales independientes
2/
0
2/
0
)/2sin()/2cos(][N
kk
N
kk NknbNknanx
2/
0
2/
0
)/2sin()/2cos(]1[N
kk
N
kk NkbNax
DFT por ecuaciones DFT por ecuaciones simultaneassimultaneas
Se puede resolver usando los Se puede resolver usando los métodos como Eliminación de Gaussmétodos como Eliminación de Gauss
Pero en la práctica es muy lentoPero en la práctica es muy lento Solo se utiliza de manera teóricaSolo se utiliza de manera teórica
DFT por correlaciónDFT por correlación
Correlacionamos la señal original con Correlacionamos la señal original con cada una de las funciones cada una de las funciones sinusoidales basesinusoidales base
Esto significa multiplicar cada punto Esto significa multiplicar cada punto de la señal de entrada por la función de la señal de entrada por la función sinusoidal y luego sumar todos los sinusoidal y luego sumar todos los puntospuntos
DFT por correlaciónDFT por correlación
1
0
1
0
)/2sin(][][Im
)/2cos(][][Re
N
i
N
i
NkiixkX
NkiixkX
M
i
ibianc0
][][][
DF
T p
or c
orre
laci
ónD
FT
por
cor
rela
ción
Notación PolarNotación Polar
Tal como representamos a la función Tal como representamos a la función en frecuencia con una parte real y en frecuencia con una parte real y una imaginaria podemos expresarla una imaginaria podemos expresarla en forma de Magnitud y Faseen forma de Magnitud y Fase
Mag X[0] y Fas X[0] son calculadas a Mag X[0] y Fas X[0] son calculadas a partir de Re X[0] y Im X[0] y asi con partir de Re X[0] y Im X[0] y asi con las demas muestraslas demas muestras
Notación PolarNotación Polar
Esta forma de representar la función Esta forma de representar la función en frecuencia nos ayuda a en frecuencia nos ayuda a visualizarla mejorvisualizarla mejor
Notación PolarNotación Polar
Se calcula de la siguiente maneraSe calcula de la siguiente manera
Notación PolarNotación Polar
Notación PolarNotación Polar
Usamos la notación polar para Usamos la notación polar para visualizar la señalvisualizar la señal
Usamos la notación rectangular para Usamos la notación rectangular para hacer los cálculoshacer los cálculos
Análisis EspectralAnálisis Espectral
Como ya vimos, en muchas señales, Como ya vimos, en muchas señales, la información no esta codificada en la información no esta codificada en la forma de la señal, sino en su la forma de la señal, sino en su frecuenciafrecuencia
Ejemplo de esto:Ejemplo de esto:• SonidoSonido• Radar SubmarinoRadar Submarino• ColorColor
Análisis EspectralAnálisis Espectral
Para analizar este tipo de señales el Para analizar este tipo de señales el dominio del tiempo es insatisfactoriodominio del tiempo es insatisfactorio
Trate de analizar su voz simplemente Trate de analizar su voz simplemente viendo a forma de la señal en tiempoviendo a forma de la señal en tiempo
Se utiliza la transformada de fourier Se utiliza la transformada de fourier para representar estas señales en para representar estas señales en frecuencia y asi poderlas analizarfrecuencia y asi poderlas analizar
Análisis EspectralAnálisis Espectral
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-4
-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
4
Time(seconds)
Vowel A
Análisis EspectralAnálisis Espectral
Obtenemos la transformada de Obtenemos la transformada de FourierFourier
Obtenemos la parte real y la Obtenemos la parte real y la graficamosgraficamos
Análisis EspectralAnálisis Espectral
0 1000 2000 3000 4000 5000 600010
4
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
Frequency(Hz)
Pow
erVowel A (256 samples - hamming)
Análisis EspectralAnálisis Espectral
Vamos tomando grupos de muestras Vamos tomando grupos de muestras y realizamos la misma técnica y y realizamos la misma técnica y luego las graficamos juntasluego las graficamos juntas
Análisis EspectralAnálisis Espectral
Seconds
Hz
Sida.txt, 256, hamming
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
Análisis EspectralAnálisis Espectral
A representar una función en sus A representar una función en sus componentes de frecuencia se le componentes de frecuencia se le llama Análisis Espectralllama Análisis Espectral
Nos permite saber que frecuencias Nos permite saber que frecuencias están presentes dentro de una señalestán presentes dentro de una señal
Análisis EspectralAnálisis Espectral
Al tomar un grupo de muestras Al tomar un grupo de muestras estamos multiplicando la función por estamos multiplicando la función por una ventana cuadradauna ventana cuadrada
Eso provoca distorsiones en las Eso provoca distorsiones en las frecuencias obtenidasfrecuencias obtenidas
Análisis EspectralAnálisis Espectral
Multiplicación por VentanaMultiplicación por Ventana
VentanasVentanas
Existen varias ventanasExisten varias ventanas• CuadradaCuadrada• Barlett (triangulo)Barlett (triangulo)• Welch (parabola)Welch (parabola)• Hann (Hanning)Hann (Hanning)• HammingHamming
VentanasVentanas
0 1000 2000 3000 4000 5000 600010
2
104
106
108
1010
1012
Vowel O - SQUARE (256 samples)
Frequency(Hz)
Pow
er
0 1000 2000 3000 4000 5000 600010
2
104
106
108
1010
1012
Vowel O - BARTLETT (256 samples)
Frequency(Hz)
Pow
er
0 1000 2000 3000 4000 5000 600010
2
104
106
108
1010
1012
Vowel O - WELCH (256 samples)
Frequency(Hz)
Pow
er
0 1000 2000 3000 4000 5000 600010
2
104
106
108
1010
1012
Vowel O - HANN (256 samples)
Frequency(Hz)
Pow
er
Cuadrada Barlett
Welch Hann
ResoluciónResolución
Si tomamos más puntos tendremos Si tomamos más puntos tendremos una mejor definición en frecuenciauna mejor definición en frecuencia
Pero empeorara la definición en Pero empeorara la definición en tiempotiempo
Si tomamos menos puntos, tendremos Si tomamos menos puntos, tendremos una mejor definición en tiempouna mejor definición en tiempo
Pero empeorara la definición de la Pero empeorara la definición de la frecuenciafrecuencia
ResoluciónResolución
Seconds
Hz
Sidai.txt, 64, hamming
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
ResoluciónResolución
Seconds
Hz
Sidai.txt, 128, hamming
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
ResoluciónResolución
Seconds
Hz
Sidai.txt, 256, hamming
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
ResoluciónResolución
Seconds
Hz
Sidai.txt, 512, hamming
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
ResoluciónResolución
Seconds
Hz
Sidai.txt, 1024, hamming
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
Respuesta en FrecuenciaRespuesta en Frecuencia
Asi como en el dominio del tiempo un Asi como en el dominio del tiempo un sistema puede ser caracterizado por sistema puede ser caracterizado por su Respuesta a Impulsosu Respuesta a Impulso
En la Frecuencia un sistema se En la Frecuencia un sistema se caracteriza por su Respuesta en caracteriza por su Respuesta en FrecuenciaFrecuencia
La relación entre las dos es la La relación entre las dos es la transformada de Fouriertransformada de Fourier
Respuesta en FrecuenciaRespuesta en Frecuencia
Respuesta en FrecuenciaRespuesta en Frecuencia
Muchas veces podemos entender Muchas veces podemos entender mejor el funcionamiento de un mejor el funcionamiento de un sistema si analizamos la Respuesta a sistema si analizamos la Respuesta a Frecuencia en vez de la Respuesta a Frecuencia en vez de la Respuesta a ImpulsoImpulso
Respuesta en FrecuenciaRespuesta en Frecuencia
Convolución en FrecuenciaConvolución en Frecuencia
SiSi• x[n] * h[n] = y[n]x[n] * h[n] = y[n]
EntoncesEntonces• X[f] ? H[f] = Y[f]X[f] ? H[f] = Y[f]
RespuestaRespuesta• MultiplicaciónMultiplicación
Convolución en FrecuenciaConvolución en Frecuencia
Convolucionar dos señales en el Convolucionar dos señales en el dominio del tiempo, significa dominio del tiempo, significa multiplicarlas en el dominio de la multiplicarlas en el dominio de la frecuenciafrecuencia
Y viceversaY viceversa
Con
volu
ción
en
Fre
cuen
cia
Con
volu
ción
en
Fre
cuen
cia
Convolución en FrecuenciaConvolución en Frecuencia