Transformada de Lapace

CONTROL E INSTRUMENTACION DE PROCESOS AMBIENTALES

UNIDAD I: FUNDAMENTOS DEL CONTROL DE PROCESOSCapítulo 2: Transformada de Laplace

Toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace, matemático francés, (1749-1827)

Es una generalización de la Transformada de Fourier

Su principal ventaja radica en que las operaciones de la integración y derivación se convierten en operaciones de multiplicación y división de funciones racionales

Su principal aplicación está en la solución de ecuaciones diferenciales lineales

1. INTRODUCCION


2. DEFINICIÓN: La Transformada de Laplace, TdL, de una función f(t), definida para todos los números reales, t ≥ 0 es la función F(s), se define como:

La anterior definición corresponde a la TdL unilateral

La condición necesaria y suficiente para que la TdL exista es la la convergencia de la integral impropia

El parámetro s, permanece constante durante la integración

La TdL es lineal, esto significa que:

Siempre que f(t) y g(t) existan para t > 0


3. CALCULO DE LA TdL DE FUNCIONES ELEMENTALES

Procede mediante la aplicación de la definición

Calcule la TdL de f(t) = 1

NOTA: PARA LA INTEGRACIÓN SE UTILIZA EL MÉTODO “POR PARTES”

Calcule la TdL de f(t) = t


El resultado anterior se puede generalizar para f(t) = t n como:

para: y

Calcule la TdL de f(t) = ekt

para

Calcule la TdL de f(t) = Senkt

Calcule la TdL de f(t) = Coskt


De donde podemos concluir que:

Por lo que la transformada de Senkt queda


Calcule la TdL de y’(t) = df(t)/dt

Si

es continua por tramos en el intervalo Entonces:

De manera similar se puede comprobar que:

Y generalizando para la derivada n-ésima:


4. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Teorema del Valor Inicial

Si y existe y es igual a , entonces:

Teorema del Valor Final

Si y el existe. Entonces:

Primer Teorema de Traslación

Segundo Teorema de Traslación

Tabla de las transformadas de Laplace selectas

Función Dominio en el tiempo

Dominio en Laplace

Región de convergencia

Retraso ideal Impulso unitario n-ésima potencia

Escalón unitario

Escalón unitario con retraso

Rampa

Potencia n-ésima con cambio de frecuencia

Amortiguación exponencial

Seno

Cseno

Seno Hiperbólico

Coseno hiperbólico

Onda senoidal con amortiguamiento

exponencial

Onda cosenoidal con amortiguamiento

exponencial


5. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Ya hemos dicho que una de las principales ventajas de la TdL es su propiedad de convertir una EDO en una ecuación racional. Esta última se puede resolver para la variable de interés y “retornar” al espacio temporal para obtener la solución en el tiempo.

Esta última etapa requiere de una operación inversa a la TdL mediante la llamada Transformada Inversa de Laplace

DEFINICION

Si es la Transformada de Laplace de una función continua , tal que

, entonces, la Transformada Inversa de Laplace de

denotada como , es , es decir,


EJEMPLO 1: Calcule

Ya que entonces:

Métodos para obtener la transformada inversa de Laplace:

1. Usando la integral de inversión compleja

jc

jc

stdsesFj

sFLtf )(21

)}({)( 1

2. Por tablas de transformadas.

3. Por expansión en fracciones parciales

Los métodos 2 y 3 pueden aplicarse, debido a la unicidad de la TdL


6. Expansión en fracciones parciales

Considere que F(s) está en la forma:

mnpspspszszszsk

sdsn

sFn

m ,

)())(()())((

)()(

)(21

21

),,,( 21 mzzzs Donde las raíces de n(s): son los ceros de F(s)

Mientras que las raíces de d(s): ),,,( 21 nppps son los polos de F(s)

Si F(s) se descompone en sus componentes: F1(s)+F2(s)+……Fn(s) y si

las transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s) , . . . , Fn(s) son obtenidas

fácilmente, entonces:

L-1[F(s)] = L-1[F1(s)] + L-1[F2(s)] +. . . + L-1[Fn(s)]

= f1(t) + f2(t) + . . . + fn(t)

La ventaja del procedimiento de expansión en fracciones parciales es que los términos individuales de F(s), resultantes de la expansión en forma de fracciones parciales, son funciones muy simples de s.

Conviene señalar, sin embargo, que al aplicar la técnica de expansión en fracciones parciales en búsqueda de la transformada inversa de Laplace de F(s) = n(s)/ds) deben conocerse previamente las raíces del polinomio denominador d(s). Es decir, este método no se aplica hasta que se ha factorizado el polinomio denominador.


CASOS DE EXPANSION

1. CASO UNO: F(s) tiene solo polos distintos

n

n

psa

psa

psa

sdsn

sF

2

2

1

1

)()(

)(


Donde el coeficiente constante ak es conocido como el residuo en el polo s = - pk y se obtiene mediante:

kpskk sFpsa )]()[(

tpk

k

k keapsa

L

1

Ya que: entonces f(t) estará dada por:

tpn

tptp neaeaeasFLtf 2121

1 )}({)(

EJEMPLO DOS: Hallar la transformada inversa de Laplace de

La expansión de F(s) en fracciones parciales es:


Donde a1 y a2 se calculan mediante:

Entonces: f(t) = L-1[F(s)] = 2e–t – e–2 t

EJEMPLO 3: Hallar la transformada inversa de Laplace de

Nótese que el polinomio denominador puede factorizarse como:

s2 + 2s + 5 = (s + 1 + j2)(s + 1 – j2)

Como la función F(s) incluye un par de polos complejos conjugados, es conveniente no expandir en las fracciones parciales habituales, sino en una suma de una función seno y una función coseno amortiguadas


Ya que: s2 + 2s + 5 = (s + 1)2 + 22

y que las TdL de e– µ t sen wt y e– µ tcos wt, son:

Ya que: f(t) = L-1[F(s)]

= 5e–t sen 2t + 2e–t cos 2t (t ≥ 0)


2. CASO DOS: F(s) tiene polos repetidos

Considere que F(s) tiene un polo múltiple en s = -p1 de multiplicidad r. Entonces la expansión en fracciones parciales es de la forma:

n

n

r

rr

rr

r

psa

psa

psb

psb

psb

sF

1

1

1

11

1

1

1 )()()(

Donde los coeficientes br, br-1, ……….b1 se calculan como:

1

1

1

1

]))(([)!1(

1

]))(([!

1

]))(([

]))(([

11

1

1

1

11

1

ps

rr

r

ps

rj

j

jr

ps

rr

psr

r

pssFdsd

rb

pssFdsd

jb

pssFdsd

b

pssFb


EJEMPLO 4: Hallar la transformada inversa de Laplace de

y los valores de los bi se obtienen como:

La expansión en fracciones parciales es:

NOTA: b1 = 1


Ya que: f(t) = L-1[F(s)]

= t2 e–t + 0 + e–t = (t2 +1) e–t (t ≥ 0)

6. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

La aplicación de la TdL en la solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes es de gran importancia en los problemas sobre sistemas de control.

Dado que las condiciones iniciales están incluidas en la transformada de Laplace de la ecuación diferencial, este método nos proporciona la solución completa (solución complementaria + solución particular) de la ecuación diferencial.


El método para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes con la TdL comprende:

1. Tomar la TdL de ambos lados de la ecuación, en este punto se incorporan las condiciones iniciales en las transformadas de las derivadas.

2. Resolver algebraicamente la ecuación resultante para la TdL de la función desconocida.

3. Obtener la transformada inversa de Laplace con el fin de encontrar la función de t cuya TdL es la obtenida en el paso 2. esta función satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales y es la solución deseada

EJEMPLO 5: Resolver la siguiente ecuación diferencial

x' + 3x = 0

x(0) = 2

1. sX(s) – 2 + 3X(s) = 0

Resolviendo de acuerdo a las etapas indicadas:


FIN DEL CAPITULO

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