TRANSITORIOS EN SISTEMAS ELECTRICOS
Dr. Armando Llamas
Dr. Federico Viramontes
Octubre 10 de 2011
Agenda.
• Solución del problema 1.
• Solución del problema 2.
• Solución del problema 3.
• Ondas viajeras.
2
3
Problema 1.- La curva de magnetización de un transformador se describe
con los siguientes puntos:
Corriente (A) 0 0.5 1.0 3.0 5.0 10.0 14.0 19.0
Densidad de flujo
(T)
0 0.56 0.8 1.34 1.52 1.64 1.68 1.70
La densidad de flujo máxima normal es de 1.0 T. Antes de energizar el
transformador, la densidad de flujo es de + 0.45 T. El voltaje de
energización hace que el flujo aumente positivamente y está 10
antes
del pico. Determine el pico transitorio de la corriente de energización.
Nota: Este es el problema 5.7 del libro de texto.
4
Problema 1.-
i
v
Ф
t)sen(ω2I
)90- tcos(ω2X
Vi
09X
V
JX
0V
0V
t)cos(ω2Vv
:estable estadoEn
l
ll
I
V
5
Problema 1.-
f
0
λ
λ
t
0
2
t)dtcos(ω2V dλ
t)cos(ω2Vdt
dλe
R
iN λ Nφ
R
i N φ
6
Problema 1.-
t)sen(ωω
2V λ
0.0 λ si
t)sen(ωω
2V λ λ
t)sen(ωω
2V t)sen(ω
ω
2V λ λ
f
0
0f
t
0
0f
7
Problema 1.-
8
Problema 1.-
i=0.75
9
Problema 1.-
0=1.0
10
Problema 1.-
11
Problema 1.-
3.5 λ 2.5i
2 λ si
λ 0.75i
2 λ si
1.0λ0
12
Problema 1.-
3.5 λ 2.5i
2 λ si
λ 0.75i
2 λ si
13
Problema 1.-
1 NAω
2V
t)sen(ω NAω
2Vβ
t)cos(ωNA
2V dβ
dt
dβNA
dt
dλ t)cos(ω2Vv
NAβ Nφλ
t
0
β
0
t
0
14
Problema 1.-
De acuerdo con el problema, t=0 cuando faltan 10
para alcanzar el
punto máximo.
15
Problema 1.-
A 9.3167i
T 1.6236β
)sen(-10)10- tsen(ω0.45 β
)10- tsen(ω NAω
2V0.45 β
)dt10- tcos(ωNA
2V dβ
m
max
t
0
B
0.45
t
0
16
Problema 1.-
17
Problema 5_7 Problema 5_7
(100°, 9.32 A)
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
0 90 180 270 360
grados eléctricos, °
v, V
; B
, T
-10.00
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
i, A
v
B
i
Bfi
tttB
tttv
10sin10sin0.145.080cos80cos0.145.0)(
10cos0.180sin0.1)(
18
Microtran – Inductancia no lineal i, A -19 -14 -10 -5 -3 -1 -0.5 0 0.5 1 3 5 10 14 19
Vs/rad -1.7 -1.68 -1.64 -1.52 -1.34 -0.8 -0.56 0 0.56 0.8 1.34 1.52 1.64 1.68 1.7
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
19
MicroTran- Condiciones iniiciales
20
Archivo MicroTran * * . . . . . . . Case identification card Prob 5-7 del libro Greenwood * * . . . . . . . Time card 4.6296E-5 .05 * * . . . . . . . Nonlinear inductance (card 1) 93 A 1 * * . . . . . . . Nonlinear inductance (card 2) -19 -1.7 -14 -1.68 -10 -1.64 -5 -1.52 -3 -1.34 -1 -.8 -.5 -.56 0 0 .5 .56 1 .8 3 1.34 5 1.52 10 1.64 14 1.68 19 1.7 9999999. $ = = End of level 1: Linear and nonlinear elements = = = = = = = = = = = = $ = = = End of level 2: Switches and piecewise linear elements = = = = = = = = * * . . . . . . . Voltage or current sources 14 A 376.99 60 -10 $ = = = End of level 3: Sources = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = * * . . . . . . . Initial conditions (currents) 4 A 0 0.45 1 **** All voltages will be printed **** $ = = = Level 5: End of data case = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Vpk = 376.99 V
f = 60 Hz
= -10°
i, A -19 -14 -10 -5 -3 -1 -0.5 0 0.5 1 3 5 10 14 19
Vs/rad -1.7 -1.68 -1.64 -1.52 -1.34 -0.8 -0.56 0 0.56 0.8 1.34 1.52 1.64 1.68 1.7
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
I0 = 0 A, 0 = 0.45 Wb t (V s /rad)
A
t = 1/60/360 = 4.6296E-5
tf = 3/60 = 0.05
21
Gráfica MicroTran
Problema 2.
Ejercicio 1.- La figura muestra un transformador trifásico de:
230 kV Δ / 34.5 kV Y, 100 MVA, con X=0.1 pu, conectado a
un bus infinito. El sistema opera con una frecuencia de 60 Hz.
Cerca de sus terminales de baja tensión, en el punto P,
ocurre una falla trifásica de línea a tierra. Para éste caso
calcule:
22
Problema 2.
a) La corriente de falla.
b) El tiempo que tarda en aparecer el pico del
voltaje de recuperación transitoria, después de
que el interruptor elimina la falla. Asuma que
en el lado de baja tensión hay una
capacitancia por fase, del sistema, de 12.7 nF.
Este es el problema 3.5, que se encuentra en
la página 58 del libro de texto.
23
Problema 2.
V )os(376.99t28,169.13c
t)*60* cos(2π23
10*34.5v
Ω 1.1903 11.9025*0.1X
Ω 11.9025100
34.5Z
MVA 100 S kV, 34.5 V
a. Inciso
3
t
2
base
basebase
24
Problema 2.
I 010
3
34.5 3
gV
A )90os(376.99t23,666.57ci
90416,734.087J1.1903
0319,918.584
I
25
Problema 2.
clear;
dtp=1/(60*500);
tp=1/60;
j=1;
t(j)=0.0;
while t(j) <= tp
v(j)=28169.13*cos(2*pi*60*t(j));
i(j)=23666.57*cos(2*pi*60*t(j)-pi/2);
j=j+1;
t(j)=t(j-1)+dtp;
end;
while t(j) <= 2*tp;
v(j)=28169.13*cos(2*pi*60*t(j));
i(j)=0.0;
j=j+1;
t(j)=t(j-1)+dtp;
end;
v(j)=28169.13*cos(2*pi*60*t(j));
i(j)=0.0;
plot(t,v, t,i);
grid
xlabel ('Tiempo, s.')
ylabel ('Voltaje, V, y Corriente, A.')
title ('CORTO CIRCUITO EN ESTADO ESTABLE')
axis ([ 0 0.035 -3.5e04 3.5e004])
Inciso b.-
26
Problema 2.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035
-3
-2
-1
0
1
2
3
x 104
Tiempo, s.
Voltaje
, V
, y C
orr
iente
, A
.
CORTO CIRCUITO EN ESTADO ESTABLE
i
v
Inicia el voltaje de
recuperación transitoria
27
Problema 2.
vrt
Suposición: vg=28,169.13 V
i0=0.0, vc0=0.0
i
28
Problema 2.
u(t) tLC
1sen
L/C
Vu(t) t
LC
1senLC
L
Vi(t)
1/LCs
1
L
VI(s)
s
V
LCs
1sI(s)L
Cs
1LsI(s)I(s)
Cs
1LsI(s)V(s)
0.0y v 0.0i :doConcideran
)dλ i(λC
1
dt
diLv
2
c00
t
29
Problema 2.
sμ 19.893/2tpico alllegar para Tiempo
V u(t)3.62t)cos(157,92128,169.132v
sμ 39.786ω
2π tr/s , 157,923.62
LC
1 ω
u(t) tLC
1cos1V λ
LC
1cosV
dλ λ LC
1sen
L/C
V
C
1v
:Finalmente
p
p
t
0
t
0rt
30
Problema 2.
clear;
l=3.1572e-03;
c=12.7e-09;
w=sqrt(1.0/(l*c));
dtp=1/(60*500);
tp=2*pi/w;
dtp=tp/500;
j=1;
t(j)=0.0;
while t(j) <= tp*4
v(j)=28169.13;
vrt(j)=v(j)*(1.0-cos(w*t(j)));
j=j+1;
t(j)=t(j-1)+dtp;
end;
v(j)=28169.13;
vrt(j)=v(j)*(1.0-cos(w*t(j)));
plot(t,v, t,vrt);
grid
xlabel ('Tiempo, s.')
ylabel ('Voltaje, V')
title ('VOLTAJE DE RECUPERACION TRANSITORIA')
axis ([ 0 1.6e-4 0 7.0e004])
Gráfica con Matlab.
31
Problema 2.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
x 10-4
0
1
2
3
4
5
6
7x 10
4
Tiempo, s.
Voltaje
, V
VOLTAJE DE RECUPERACION TRANSITORIA
Voltaje de
la fuente
Voltaje de recuperación
transitoria.
(Vmax = 56,338.26 V)
Inicio del voltaje de
recuperación transitoria.
dt=19.893e-6 s
32
Problema 2.
*
* . . . . . . . Case identification card
PROBLEMA 3.5 (GREENWOOD)
*
* . . . . . . . Time card
0.1E-06 12.0E-03 10
*
* . . . . . . . Lumped RLC branch
G A 3.1572 3
A 0.0127 3
A S 1.0E-8 3
$ = = End of level 1: Linear and nonlinear elements = = = = = = = = = = = =
*
* . . . . . . . Time-controlled switch
S -0.1 8.3E-03 3
$ = = = End of level 2: Switches and piecewise linear elements = = = = = = = =
*
* . . . . . . . Voltage or current sources
14 G 0 28169.132 60.0 180.0
$ = = = End of level 3: Sources = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
1 **** All voltages will be printed ****
$ = = = Level 5: End of data case = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Simulación con Microtran.
33
Problema 2.
34
Problema 2.
19.89 μs
35
Problema 3.
Calcule el valor pico de la corriente de falla de corto
circuito, en el sistema de potencia del problema 3.5,
considerando que el transformador tiene una relación
de X/R de 12, y la falla ocurre cuando el voltaje tiene
70˚ después del pico. La frecuencia es de 60 Hz.
Este es el problema 3.11 que se encuentra en la
página 61 del libro de texto.
36
Problema 3.
A eφ- θsenφ- θ tωsenL ωR
Vi
V θ) tsen(ω 28,169.132v
V 28,169.13223
10*34.5Vm
s 31.4171R/L α
r/s 376.91160* π2ω Ω, 0.099212
1.1903R
H 10*3.157260* π*2
1.1903L Ω, 1.190311.9025*0.1X
11.9025100
34.5Z
tα
222
m
3
1-
3
2
b
37
Problema 3.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
4
Tiempo, s.
Voltaje
, V
.
VOLTAJE DEL GENERADOR
70+90
r 1.3048φ-θ
2.7925r
1607090 θ
r 1.4877
85.23640.0992
1.1903tan
R
L ωtan φ
1
1
38
Problema 3.
e 1.3048sen 1.3048 376.9911t sen 23,584.337i 31.4171t
39
Problema 3.
% Este programa grafica la corriente que circula cuando se
% tiene una falla de corto circuito en un sistema de potencia.
%
t=linspace(0, 0.08333, 500)
i=23584.3369*(sin(376.9911*t+1.3048)-sin(1.3048)*exp(-31.4171*t))
plot (t,i)
grid
xlabel('Tiempo, s.')
ylabel ('Corriente, A.')
title ('CORRIENTE DE CORTO CIRCUITO')
Gráfica con Matlab.
40
Problema 3.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
4
Tiempo, s.
Corr
iente
, A
.
CORRIENTE DE CORTO CIRCUITO
- 40,756.0 A
41
Problema 3.
*
* . . . . . . . Case identification card
PROBLEMA 3.11 DEL LIBRO DE GREENWOOD
*
* . . . . . . . Time card
1.0E-4 0.1
*
* . . . . . . . Lumped RLC branch
G A 3.1572 3
A B 0.0992 3
$ = = End of level 1: Linear and nonlinear elements = = = = = = = = = = = =
*
* . . . . . . . Time-controlled switch
B -0.1 1.0 3
$ = = = End of level 2: Switches and piecewise linear elements = = = = = = = =
*
* . . . . . . . Voltage or current sources
14 G 0 28169.132 60 70
$ = = = End of level 3: Sources = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
1 **** All voltages will be printed ****
$ = = = Level 5: End of data case = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Simulación con Microtran.
42
Problema 3.
43
Problema adicional.
Problema 3.- Para el interruptor del problema
anterior, seleccione una resistencia que se
conecta en paralelo con los contactos del
interruptor, con el objeto de reducir un 40 % la
magnitud del voltaje de recuperación
transitoria.
Este es el problema 4.12 que se encuentra en la
página 91 del libro de texto.
44
Problema adicional.
019,918.5803
10*34.5
tωcos23
10*34.5v
.R desprecia se caso ésteEn
3
g
3
g
l
V
45
Problema adicional.
A tωen23,665.57s
90- tωcos216,734.09i
9016,734.09901.1903
19,918.58
Ω 1.1903 11.9025*0.1X
Ω 11.9025100
34.5Z
MVA 100 S kV, 34.5 V
f
f
l
2
base
basebase
I
46
Problema adicional.
Vrt(t)
i
2
0t0t
f
s
998,921,710.sI99t8,921,710.i
998,921,710.
tωcos 23,665.57 ωdt
(t)diI'
tI'i
47
Problema adicional.
48
2
nn
2
2
n
22
22
22
2
ωs ω 2ζss
ωL'I
LC
1
RC
sss
LC
1
LI'
LC
1
RC
ssC
LC
LC
s
I'
LC
1
RC
ssC
s
s
I'I(s)ZsVrt(s)
LC
1
RC
ssC
s
LC
RLC
RC
RLCsRLCs
RLsZs
RLs
LsRLCsR
R
1Cs
Ls
1
Zs
1
Problema adicional.
49
iento.amortiguam bajocon escalón un a
respuesta la para dasgeneraliza curvas las de Tomado
Ω 553.99C 2ζ
1R
r/s 157,923.62LC
1 ω
0.45ζ que requiere se2V1.2v
:que desea se caso esteEn
2Vv
nC 12.7C mH, 3.1572L 98,8,921,710.I'
:problema del datos losCon
*
n
n
*
maxrt
maxrt
max
max
Problema adicional.
50
u(t))141,030.3t0.5039sen(
0.3t)cos(141,03e128,167.6v
:Finalmente
u(t)t) sen(ω ζ1
1t) cos(ωe1LI'v
ζ1 ω ω
:doConsideran
71,065.6t-
rt
d2
d
t ω ζ
rt
2
nd
n
Problema adicional.
% Este programa grafica el voltaje de recuperación transitoria
% que se obtiene cuando se incerta una resistencia de 554.0
% Ohms.
%
t=linspace (0, 80e-06, 1000)
vrt=28167.63*(1-exp(-71065.63*t).*(cos(141031.3*t)+ ...
0.5039*sin(141030.3*t)))
plot (t,vrt)
grid
xlabel ('Tiempo, s')
ylabel ('Voltaje, V.')
title ('VOLTAJE DE RECUPERACION TRANSITORIA')
axis ([0 80e-06 0 3.7e4])
Gráfica utilizando Matlab.
51
Problema adicional.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 10-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x 104
Tiempo, s
Voltaje
, V
.VOLTAJE DE RECUPERACION TRANSITORIA
Vmax = 33952.0 V
22.26 microsegundos
52
Problema adicional.
*
* . . . . . . . Case identification card
PROBLEMA 4-12 (GREENWOOD)
*
* . . . . . . . Time card
1.8E-6 0.018
*
* . . . . . . . Lumped RLC branch
G A 0.0992 3
A B 3.1572 3
B 0.0127 3
B C 553.99 3
C 1.0E-6 3
$ = = End of level 1: Linear and nonlinear elements = = = = = = = = = = = =
*
* . . . . . . . Time-controlled switch
B C -0.1 0.016 3
$ = = = End of level 2: Switches and piecewise linear elements = = = = = = = =
*
* . . . . . . . Voltage or current sources
14 G 0 28169.132 60 -4.76
$ = = = End of level 3: Sources = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
1 **** All voltages will be printed ****
$ = = = Level 5: End of data case = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Simulación con Microtran:
53
Problema adicional.
54
21 μs
55
Ondas Viajeras
x
V
I
C en F/m, L en H/m
n)propagació de (Velocidad υ
LC
1υ
V υV C LΔt
ΔxL υV C
Δt
Δφ
Δx L υV CΔx L Iφ Δ
υV CI
Δt
Δx V C
Δt
ΔQ
Δx V CQ Δ
2
56
Ondas Viajeras
d
d >> r
r
00
00
0
0
ε μ
1
m/s
r) / (dln π
r) / (dln ε μ π
1υ
F/m
r
dln
ε πC
H/m r
dln
π
μ L
57
Ondas Viajeras
ZC
L
I
V
LC
1CVI
:doSustituyen
luz. la de Velocidad
m/s 10*2.998 υ
F/m 10*8.854 ε
H/m 10 4π μ :Cuando
0
8
12
0
-7
0
58
Ondas Viajeras
x
V
I
I
V
HEP
m
2
e
00
2
m
2
e
ΔWC
L xICΔ
2
1ΔW
IZVZC
L
I
V
I x LΔ2
1ΔW
V x CΔ2
1ΔW
59
Ondas Viajeras
t
vC
x
i
t
vΔx Ci Δ
t
i L
x
v
t
i Δx L vΔ
ax
i+ i
i
i
V+ v
v
v
x
60
Ondas Viajeras
2
2
2
2
2
22
2
2
2
t
vLC
x
v
t
vC
t x
i
t
vC
x
i
x t
i L
x
v
t
i L
x
v
2
2
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61
Ondas Viajeras
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21
62
Ondas Viajeras
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63
Ondas Viajeras
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64
Ondas Viajeras
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65
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66
Ondas Viajeras
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67
Ondas Viajeras
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68
Ondas Viajeras
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69
Ondas Viajeras
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70
Ondas Viajeras
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71
Comentarios