TRIGONOMETRA(Primera parte)Realizado por M Jess Arruego Bags

INTRODUCCINTrigonometra significa, etimolgicamente, medida de tringulos.En los trabajos topogrficos y de la construccin es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ngulos que permiten calcular distancias.El instrumento que se utiliza para medir ngulos en tierra firme es el teodolito.Conociendo algunos elementos de un tringulo- algn lado, algn ngulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midi la altura de una pirmide aprovechando el momento en que su propia sombra meda tanto como su estatura

NOCIONES PREVIASSISTEMAS DE MEDIDA DE NGULOS. RADIN.RAZONES TRIGONOMTRICAS (R.T.) DE UN NGULO AGUDO.R.T. DE LOS NGULOS 30, 45 Y 60.RELACIN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRAR.T. DE LOS NGULOS 0 Y 90 CIRCUNFERENCIA GONIOMTRICA.

NOCIONES PREVIASa. Proporcionalidad de segmentos y semejanzab.TEOREMA DE TALES

2. TEOREMA DE PITGORAS

1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanzaLas sombras de los dos rboles son proporcionales a las respectivas alturasTales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midi la altura de una pirmide aprovechando el momento en que su propia sombra meda tanto como su estatura

1.b. TEOREMA DE TALESSi varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan tambin segmentos iguales sobre cualquier otra recta r a la que cortenTEOREMA DE TALES:Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.

Medida de ngulosLos ngulos pueden medirse en tres sistemas:Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)Radianes (En la calculadora MODE RAD)

ngulo completongulo llanongulo rectoUn gradoUn minutoSEXAGESIMAL360180906060CENTESIMAL400g200g100g100m100sRADIANES2/2

Expresa los siguientes ngulos en los tres sistemas de medida

ngulos en los tres sistemas de medida

RAZONES TRIGONOMTRICAS (R.T.)Los tringulos ABC, ABC y ABC sonsemejantesporquetienen los ngulos iguales.En consecuencia los lados sonproporcionales :

RAZONES TRIGONOMTRICAS (R.T.) DE UN NGULO AGUDOSea ABC un tringulo rectngulo en A.Se definen seis razones trigonomtricas

RELACIN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULOSea ABC un tringulo rectngulo en A.

VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDOEn todo tringulo rectngulo los catetos son menores que la hipotenusa.Es decir: 0 < c < a 0 < b < aEn consecuencia:

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 30, 45 y 60R.T. DE 30 y 60R.T. DE 45

R.T. DE LOS NGULOS 30 y 60 (1)ABCSea ABC un tringulo equilteroHllll/2x6030Es decir, cada uno de sus tres ngulos mideEn el tringulo CHB, rectngulo en H el ngulo B mideTrazamos una altura CH60Podemos calcular x en funcin de l, aplicando elT de Pitgoras60y el ngulo C mide30El lado BH midel/2

R.T. DE LOS NGULOS 30 y 60 (2)Observa que:sen 60 = cos 30cos 60 = sen 30tg 60 = cotg 30cotg60 = tg 30sec 60 =cosec30Cosec 60 =sec30

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 45 (1)Sea ABCD un cuadradollx45Es decir, cada uno de sus cuatro ngulos mideEn el tringulo ABC, rectngulo en B, el ngulo A mideTrazamos la diagonal AC90Podemos calcular x en funcin de l, aplicando elT de Pitgoras45y el ngulo C mide4545

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 45 (2)Observa que:sen 45 = cos 45tg 45 = cotg 45sec 45 =cosec45

R.T. DE NGULOS COMPLEMENTARIOS Sea ABC un tringulo rectngulo ABC, rectngulo en ASi el ngulo B mide grados, el ngulo C mide

R.T. DE NGULOS COMPLEMENTARIOS Sea ABC un tringulo rectngulo ABC, rectngulo en ASi el ngulo B mide radianes, el ngulo C mide

RELACIN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRASi en el tringulo rectngulo BAC, aplicamos el teorema de Pitgoras, tenemos:Si dividimos la expresin anterior por a2Expresndolo de otra forma:O lo que es lo mismo:Que normalmente expresaremos de la forma:

Si dividimos la expresin anterior por b2 o por c2Expresndolo de otra forma:Si en el tringulo rectngulo BAC, aplicamos el teorema de Pitgoras, tenemos:OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES

R.T. DE LOS NGULOS 0 Y 90sen acos asen asen asen asen a1Observa que al ir aumentando el ngulo hasta 90 el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto sen 90 = 1A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0cos 90 = 0Observa que al ir disminuyendo el ngulo hasta 0 el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir,sen 0 = 0cos 0 = 1

Circunferencia goniomtricaR.T. DE NGULO CUALQUIERAVALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN NGULOVALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA COTANGENTER.T. DE NGULOS SUPLEMENTARIOSR.T. DE NGULOS QUE DIFIEREN EN 180 R.T. DE NGULOS QUE SUMAN 360R.T. DE NGULOS OPUESTOS

CIRCUNFERENCIA GONIOMTRICATrazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadasaUno de los lados del ngulo deber coincidir con el semieje positivo de las x, el vrtice en el origen de coordenadas y el otro lado donde correspondaA esta circunferencia donde situaremos los ngulos la llamaremos circunferencia goniomtrica.1

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO CUALQUIERAa1P(x,y)Q(x,y)rA partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 (Circunferencia goniomtrica)

SENO Y COSENO DE UN NGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.cos asen bcos bsen gcos gsen dcos dEl seno y el coseno de cualquier ngulo toma valores mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 1++____++

TANGENTE Y COTANGENTE DE UN NGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.tg acotg atg bcotg btg gcotg gtg dcotg dLa tangente y la cotangente de un ngulo puede tomar cualquier valor .+_+_

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 120AEn la circunferencia goniomtrica dibujamos 120 (quitamos 60 a 180)Axy-xyDibujamos el ngulo de 60 y las lneas que representan sus razones trigonomtricas.

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 135AEn la circunferencia goniomtrica dibujamos 135 (quitamos 45 a 180)ADibujamos el ngulo de 45 y las lneas que representan sus razones trigonomtricas.

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 150En la circunferencia goniomtrica dibujamos 150 (quitamos 30 a 180)Dibujamos el ngulo de 30 y las lneas que representan sus razones trigonomtricas.

RELACIN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS SUPLEMENTARIOSAa y 180- aa y p-aEn la circunferencia goniomtrica dibujamos a y 180- a Axy-xy

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 210En la circunferencia goniomtrica dibujamos 210 (aadimos 30 a 180).Dibujamos el ngulo de 30 y las lneas que representan sus razones trigonomtricas.

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 225En la circunferencia goniomtrica dibujamos 225 (aadimos 45 a 180).Dibujamos el ngulo de 45 y las lneas que representan sus razones trigonomtricas.

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 240En la circunferencia goniomtrica dibujamos 240 (aadimos 60 a 180).Dibujamos el ngulo de 60 y las lneas que representan sus razones trigonomtricas.

RELACIN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS QUE DIFIEREN EN 180Aa y 180+ aa y p+aEn la circunferencia goniomtrica dibujamos a y 180+a Axy-x-y

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 300En la circunferencia goniomtrica dibujamos 300 (quitamos 60 a 360).

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 315En la circunferencia goniomtrica dibujamos 315 (quitamos 45 a 360).

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE 330 (las mismas que las de 30)En la circunferencia goniomtrica dibujamos 330 (quitamos 30 a 360).

RELACIN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS QUE SUMAN 360Aa y 360-aa y 2 p-aEn la circunferencia goniomtrica dibujamos a y 360- a Axy-y

RELACIN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS OPUESTOSAa y - aEn la circunferencia goniomtrica dibujamos a y - a Axy-y

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIAALas razones trigonomtricas de un ngulo mayor que una circunferencia ( a+360k, donde k es un nmero entero) son las mismas que las del ngulo a xy

RELACIN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS QUE DIFIEREN EN 270Aa y 270+aEn la circunferencia goniomtrica dibujamos a y 270+ a Axyy-x

RELACIN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS COMPLEMENTARIOSAa y 90 - aEn la circunferencia goniomtrica dibujamos a y 90- a Axyyx

SENO DE 0 , 90,180, 270 y 360Observa que al ir aumentando el ngulo de 0 a 90 el seno va creciendo, de 0 a 1. sen 0 = 0 sen 90 = 1Al ir aumentando el ngulo de 90 a 180 el seno va decreciendo, de 1 a 0. sen 180 = 0Al ir aumentando el ngulo de 180 a 270 el seno va decreciendo, de 0 a -1. sen 270 = -1Al ir aumentando el ngulo de 270 a 360 el seno va creciendo, de -1 a 0. sen 360 = 0

COSENO DE 0 , 90,180, 270 y 360Observa que al ir aumentando el ngulo de 0 a 90 el coseno va decreciendo, de 1 a 0. cosen 0 = 1 cosen 90 = 0Al ir aumentando el ngulo de 90 a 180 el coseno va decreciendo, de 0 a -1. cosen 180 = -1Al ir aumentando el ngulo de 180 a 270 el coseno va creciendo, de -1 a 0. cosen 270 = 0Al ir aumentando el ngulo de 270 a 360 el coseno va creciendo, de 0 a 1. cosen 360 = 1

TANGENTE DE 0 , 90,180, 270 y 360Observa que al ir aumentando el ngulo de 0 a 90 la tangente va decreciendo, de 0 a + . tg 0 = 0 tg 90 + . Al ir aumentando el ngulo de 90 a 180 la tangente va creciendo, de - . a 0. tg 90 - tg 180 = 0Al ir aumentando el ngulo de 180 a 270 el tangente va creciendo, de 0 a +. . tg 270 + . Al ir aumentando el ngulo de 270 a 360 el coseno va creciendo, de - a 0. tg 270 - tg 360 = 0

COTANGENTE DE 0 , 90,180, 270 y 360Observa que al ir aumentando el ngulo de 0 a 90 la cotangente va decreciendo, de + a 0cotg 0 + cotg 90 =0 Al ir aumentando el ngulo de 90 a 180 la cotangente va creciendo, de 0 a - cotg 180 - Al ir aumentando el ngulo de 180 a 270 la cotangente va decreciendo, de + a 0 cotg 180 + cotg 270 = 0 Al ir aumentando el ngulo de 270 a 360 la cotangente va decreciendo, de 0 a - cotg 360 -

VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO++____+++_+_

FUNCIONES TRIGONOMTRICASFUNCIN SENOFUNCIN COSENOFUNCIN TANGENTE FUNCIN COTANGENTEFUNCIN SECANTEFUNCIN COSECANTE

GRFICA DE LA FUNCIN SENO f(x)=sen x

asen a

GRFICA DE LA FUNCIN SENO f(x)=sen x

GRFICA DE LA FUNCIN COSENO f(x)=cos x

aCOS a

GRFICA DE LA FUNCIN COSENO f(x)=cos x

GRFICA DE LA FUNCIN TANGENTE f(x)=tg x

GRFICA DE LA FUNCIN TANGENTE f(x)=tg x

GRFICA DE LA FUNCIN COTANGENTE f(x)=cotg x

GRFICA DE LA FUNCIN COTANGENTE f(x)=cotg x

GRFICA DE LA FUNCIN SECANTE f(x)=sec x

GRFICA DE LA FUNCIN SECANTE f(x)=sec x

GRFICA DE LA FUNCIN COSECANTE f(x)=cosec x

GRFICA DE LA FUNCIN COSECANTE f(x)=cosec x

TRIGONOMETRA(Segunda parte)Realizado por M Jess Arruego Bags

INTRODUCCINTrigonometra significa, etimolgicamente, medida de tringulos.En los trabajos topogrficos y de la construccin es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ngulos que permiten calcular distancias.El instrumento que se utiliza para medir ngulos en tierra firme es el teodolito.Conociendo algunos elementos de un tringulo- algn lado, algn ngulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midi la altura de una pirmide aprovechando el momento en que su propia sombra meda tanto como su estatura

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE NGULOSR.T. DEL NGULO DOBLE.R.T. DEL NGULO MITADTEOREMA DEL SENOTEOREMA DEL COSENOREA DE UN TRINGULO. FRMULA DE HERON

SENO DE LA SUMA DE DOS NGULOSANMPBDibujamos el ngulo a y a continuacin el ngulo b. Tenemos el ngulo a+b en el tringulo rectngulo OPB. Trazamos MN y BM.Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el tringulo rectngulo OAB.

COSENO DE LA SUMA DE DOS NGULOSANMPBDibujamos el ngulo a y a continuacin el ngulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el tringulo rectngulo OAB.Tenemos el ngulo a+b en el tringulo rectngulo OPB. Trazamos MN y BM.

COSENO DE LA SUMA DE DOS NGULOS(otra forma de deducir la frmula)

TANGENTE DE LA SUMA DE DOS NGULOSSi dividimos numerador y denominador por cosa.cosbSimplifi-cando

R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS NGULOS(nos basaremos en las frmulas de las r.t. de la suma de dos ngulos)

R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS NGULOS

R.T. DEL NGULO DOBLE (nos basaremos en las frmulas de las r.t. de la suma de dos ngulos)

R.T. DEL NGULO MITAD (nos basaremos en las frmulas de las r.t. Del ngulo doble)

Teorema del senoTeorema del coseno

TEOREMA DEL SENOLos lados de un tringulo son proporcionales alos senos de los ngulos opuestos.El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un tringulo con los ngulos opuestos.Consideremos un tringulo ABC. Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vrtice A:hChAHTrazamos la altura correspondiente al vrtice C. Los tringulos AHC y BHC son rectngulos. Entonces:

Medida de los ngulos en una circunferencia Los ngulos inscritos miden la mitad del ngulo central correspondienteABCO180-2 ab360-(180-2 a+180-2 b)= =360 - 360 + 2 a+2 b = = 2 a+2 b = 2 (a+ b)2(a+b)2(a+b)

Todos los ngulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales18090 Todos los ngulos inscritos que abarcan un dimetro, son rectos.Medida de los ngulos en una circunferencia

Consecuencia del TEOREMA DEL SENOLa constante de proporcionalidad entre los lados de un tringulo y los senos de los ngulos opuestos es igual al dimetro de la circunferencia circunscrita a dicho tringulo.Consideremos un tringulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho tringulo.Los ngulos A y A son iguales (Todos los ngulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego:Trazamos el dimetro CA y unimos A con B. El tringulo ABC es rectngulo (Todo ngulo que abarca un dimetro es recto).

Consecuencia del TEOREMA DEL SENOrea de un tringuloLa superficie del tringulo ABC es:En el tringulo AHC :Sustituyendo en la primera expresin:

Consecuencia del TEOREMA DEL SENOrea de un tringuloSea un tringulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.La superficie del tringulo ABC es:Por el Teorema del seno :Sustituyendo en la primera expresin:

TEOREMA DEL COSENO

hHmc-mAplicando el T de Pitgoras en el tringulo BHC:(Como en AHC m = b . cos A)Anlogamente (trazando las otras alturas) obtendramos:El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ngulo correspondiente

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Clasificacin de tringulosEn un tringulo ABC, el T del coseno dice que:Si A < 90 cos A >0 Si A = 90 cos A = 0 Si A > 90 cos A < 0 ( Teorema de Pitgoras )

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOrea de un tringulo. Frmula de HernPor el T del cosenoLa superficie del tringulo ABC es:

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOrea de un tringulo. Frmula de HernSi a+b+c=2pLa superficie del tringulo ABC es:... b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....(p ser el semipermetro)FRMULA DE HERN

Trigonometra es la rama de las Matemticas que trata las relaciones entre los lados y los ngulos de un tringulo. La Trigonometra ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.

Se usa en la navegacin, en Agrimensura y en Astronoma . Tiene aplicacin en Fsica, en Qumica y en Ingeniera, en especial en el estudio de fenmenos peridicos como la vibracin del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...

La Trigonometra comenz con las civilizaciones babilnica y egipcia y se desarrollo en la Antigedad gracias a los griegos e hindes. A partir del siglo VIII d.C., astrnomos islmicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindes.

La Trigonometra moderna comenz con el trabajo de matemticos en Occidente a partir del siglo XV. La invencin de los logaritmos por el escocs John Naiper y del clculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los clculos trigonomtricos.

PGINAS WEBhttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htmhttp://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyejhttp://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htmhttp://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/APPUNTI.HTMhttp://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htmhttp://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htmhttp://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.htmlhttp://descartes.cnice.mecd.es/

http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htmhttp://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm