Date post: | 24-Jan-2016 |
Category: |
Documents |
Upload: | maria-carmen-hidalgo-henriquez |
View: | 215 times |
Download: | 0 times |
TRIGONOMETRIA
Preparado por:
Prof. Evelyn Dávila
Trigonometría se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo.– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía,
navegación e ingeniería.
Podemos desarrollar el tema
de trigonometría por medio de
dos enfoques, éstos son:– El círculo– El triángulo rectángulo
Trigonometría
Enfocada por medio del
TRIANGULO RECTANGULO
Triángulo Rectángulo
Triángulo
rectángulo
hipotenusa
catetos
Característica principal de un triángulo rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900
Observaciones importantes sobre los triángulos
rectángulos.
Un triángulo consta de tres lados y de tres ángulos.
La suma de los tres ángulos es 1800
La suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.
Sea c la hipotenusa, a y b los catetos, entonces c2 = a2 + b2
Los ángulos se nombran con letras para identificarlos. Algunas de las letras que utilizamos son del alfabeto griego como por ejemplo;
“gamma”; “alpha” ; “betha”
Podemos relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos por medio de las relaciones trigonométricas.
Por medio de éstas relaciones trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que desconocemos del triángulo.
Las relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan origen a las otras.
RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN TRIANGULO RECTANGULO
Relaciones básicas Relaciones recíprocas
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusa
opuestoladoseno
tangente
coseno
opuestolado
hipotenusa
senecante
1
cos
adyacentelado
hipotenusa
enoante
cos
1sec
opuestolado
adyacenteladoangente
tan
1cot
Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo
Las tres funciones trigonométricas básicas para el ángulo
Lado adyacente
a “gamma”
Lado opuesto a “gamma
”
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusa
opuestoladoseno
tangente
coseno
EJEMPLO 1
3
4 tangente
5
3 coseno
5
4
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusa
opuestoladoseno
5
2591634 22
22
c
c
bac
HIPOTENUSALADEMEDIDA
4
3
4
51cos
senecante
3
5
cos
1sec
enoante
4
3
tan
1cot
angente
Continuación EJEMPLO 1
33.13
4 tangente6.0
5
3 coseno8.0
5
4 seno
4
3
25.14
5cos ecante 67.1
3
5sec ante 75.
4
3cot angente
Podemos utilizar cualquiera de los valores anteriores para determinar la medida del ángulo
Veamos el siguiente ejemplo
4
3Hallar la medida del ángulo indicado.
La razón seno es .8 , si necesito hallar la medida de
y conozco el valor de seno , la función inversa de seno me permite encontrar el valor de de la siguiente forma:
)8(.,8. 1 senoentoncessenoSi
Calcula una de las relaciones trigonométricas según la información
que te provea el ejercicio. 8.05
4seno
)8(.
,8.
1
seno
entonces
senoSi
CALCULAR LA INVERSA DE SENO
Utilizaremos la calculadora
ENTRADA EN LA CALCULADORA
.8 SEN-1 =
Presenta la respuesta en :
Grados___ Radianes___
ENTRADA EN LA CALCULADORA
.8 SEN-1 =
Pantalla
Radianes.927
Grado53.13
Recuerda escoger en tu calculadora la unidad de medida para el ángulo, (grados o radianes)
antes de hacer los cómputos.
4
3
Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.
PRACTICA 1
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para
2. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación coseno.
3. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación tangente.
Respuestas -PRACTICA 1
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para
75.4
3 tangente
8.5
4 coseno
6.5
3
seno67.1
3
5cos ecante
25.14
5sec ante
33.13
4cot angente
2. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la
relación coseno.
87.366435.
)8(.1
cos8.5
4 coseno
gradosradianes
eno
3. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación tangente.
087.366435.
)75(.1
tan;75.4
3 tangente
gradosradianes
Compara las relaciones
trigonométricas seno y coseno de y
8.5
4 coseno
6.5
3
seno
= 36.870=53.130
6.05
3 coseno
8.05
4
seno
La suma de y es 900
Por tanto y son ángulos complementarios.
Sean y dos ángulos complementarios, entonces, encontramos las siguientes
relaciones:
cottan
seccsc
cos
sen
cottan
seccsc
cos
sen
Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.
PRACTICA 2
1`. Halla el valor de , en grados y en radianes.
2. Halla el valor de , en grados y en radianes.
2
2
3
Respuestas -PRACTICA 2
1. Halla el valor de , en grados y en radianes.
11.498571.
)1547.1(1
tan1547.13
2 tangente
gradosradianes
gente
2. Halla el valor de , en grados y en radianes.En la forma corta tenemos que + = 90,
Por lo tanto = 90 - = 90-49.11=40.89
Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos
89.407137.
)866(.1
tan866.2
3 tangente
gradosradianes
gente
Observación
Si conozco dos de los lados de un triángulo rectángulo puedo hallar la
medida de sus ángulos.
Ejemplo 2
Halla la medida de la hipotenusa del siguiente triángulo.
40
12
12 es la medida del lado opuesto a 40 grados
12 es la medida del lado adyacente de 50 grados
668.186428.
12
126428.
1240
xx
xparadespejamosx
xseno
668.186428.
12
126428.
1250cos
xx
xparadespejamosx
xeno
ó
Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50
PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo
30
25b
a
Respuestas-PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo
30
25b
a
5.12)25)(5(.
2525.
2530
b
bparadespejamos
b
bseno
65.21)25)(87(.
2587.
2530cos
b
bparadespejamos
a
aeno
Estamos cargando una escalera de largo Lpor un pasillo de 3 pies de ancho hacia un area de 4 pies de ancho, según el siguiente dibujo.
Halla la medida del largo de la escalera como función del ángulo tal como se ilustra.
3 pies
4 piesescalera
APLICACION
3 pies
4 piesescalera