Trigonometríay recursosdidácticos

República Bolivariana de VenezuelaUniversidad Pedagógica Experimental Libertador

Instituto Pedagógico de MirandaJosé Manuel Siso Martínez

Tópicos en Cálculo I

La Urbina, junio de 2015.

Autor: Alveiro SierraProfesor: Ramón Vielma

IntroducciónEn esta unidad didáctica vas aprender se desarrollaran conceptos de triángulos y los ángulos y sobre todo, aplicaciones a problemas reales, como medir árboles o edificios, medir distancias con una cinta métrica, entre otrosEn este tema vamos a trabajar con triángulos rectángulos (ángulo recto) y te hará falta recordar tres cosas:1.- Los lados que forman el ángulo recto se llaman "catetos", y el que queda enfrente, "hipotenusa" ( el mayor de los tres.)2.- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º.3.- El Teorema de Pitágoras: "La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado".

Conceptos La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. La palabra trigonometría procede del griego trigonos, triángulo y metría, medida.

Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

MotivaciónEl estudio de la trigonometría pasó después a Grecia,  donde debemos destacar al matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea(190 a.c.-120 a.c.), por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.

Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que la hace hoy parte de las matemáticas.

En el siglo III A.C. el sabio griego Eratóstenes calculó por primera vez, que se sepa, el radio de la Tierra. Partiendo de la idea de que la Tierra tiene forma esférica y que el sol está tan alejado de ella que se puede considerar que los rayos solares llegan a la Tierra paralelos, Eratóstenes, el día del solsticio de verano(21 de junio), a las doce de la mañana, midió en Alejandría, con ayuda de un palo colocado sobre el suelo el ángulo de inclinación del sol, que resultó ser 7,2º; o lo que es lo mismo  360º / 50, es decir,   1 / 50 de 360º.

¿Cómo midió Eratóstenes el radio de la Tierra?

Eratóstenes sabía que en la ciudad de Siena (actual Asuán, a orillas del Nilo), los rayos del sol llegaban de forma perpendicular al suelo pues se podía observar el fondo de un pozo profundo. Entre Alejandría y Siena había una distancia de 5 000 estadios ( 1 estadio = 160m)  y ambas ciudades estaban en el mismo paralelo.

Eratóstenes pensó que  entonces la distancia entre las ciudades debía ser  1 / 50  de toda la circunferencia de la Tierra y por tanto la circunferencia completa debía medir:  50 · 5 000 = 250 000 estadios, o lo que es lo mismo 40 000 km. Despejando de la fórmula de la longitud de la circunferencia: L = 2πr,   sacó que el radio de la Tierra era 6366,19 km.

Las actuales mediciones dan el valor de 6378 Km, con lo que se trata de una extraordinaria exactitud teniendo en cuenta los escasos medios de que disponía Eratóstenes.

¿Cómo midió Eratóstenes el radio de la Tierra?

Ángulos

Sistema SexagesimalEl sistema sexagesimal consiste en tomar como unidad de medida la 90-ava parte de un ángulo recto. Se denomina a dicha unidad grado sexagesimal y se la denota 1º.A la 60-ava parte de un grado se la llama minuto y se la denota 1' ; y la 60-ava parte de un minuto se la denomina segundo y se denota 1''. Si se requiere más precisión se consideran décimas, centésimas, etc. de segundo.

Sistema radian

Un radián representa la medida de un ángulo central de una circunferencia, de modo tal que la longitud del arco comprendido sea igual al radio de la circunferencia y se denota por 1 rad.

El siguiente cuadro muestra la correspondencia entre las longitudes de distintos arcos de circunferencia y sus correspondientes ángulos centrales medidos en radianes.

Sistema radian

Razones trigonométricas

Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.      

Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está

a 7 m de la base de la torre, el ángulo con el que

está observando la cúspide es de 60º y sostiene el

artilugio a una altura de 1,5 m.

Si nos fijamos en el triángulo, el lado c mide 7 m y una vez que tengamos calculado el lado b, para calcular la altura de la torre sólo tendremos que sumarle los 1,5 m. Así pues, vamos a calcular el lado b.

Para el ángulo 60º, el lado que conozco es el cateto contiguo y el que quiero calcular es el cateto opuesto, así pues planteo la tangente de 60º.

Por tanto la altura de la torre es 12,11 m + 1,5 m = 13, 61 m.

Aplicaciones

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