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113
Trigonometra
18 Identidades Trigonomtricas I
Son aquellas igualdades entre las razones trigonomtricas de una cierta variable, las cuales se verifican para todo valor admitido por la variable.
Ejemplo:
1Csc
Senq =
q
Es una identidad trigonomtrica, porque se verifica la igualdad para todo valor de diferente a 180n:
(0, 180, 360, ......)
Probamos para: = 30, 53 y 270
1 1
Csc30 2 2 21Sen302
= = =
1 5 1 5 5
Csc534Sen53 4 4 45
= = =
1 1
Csc270 1 1 1Sen270 1
= = =
As podemos seguir dndole valores a y siempre se va a verificar la igualdad pero no para: 0, 180, 360, ......
MIGUEL GARAYCOCHEA(1815 1861)
Poeta y matemtico Arequipeo. Se inici en el Colegio San Francisco, luego pas al seminario San Jernimo y finalmente a la Universidad de San Agustn. A los 23 aos se gradu como doctor en Jurisprudencia. Fu profesor de Derecho, Filosofa y Matemticas. Fue Director del Colegio Nacional San Juan de Trujillo. Antes de abandonar su ciudad natal expuso en la universidad el problema de la triseccin del ngulo.
En 1849 pas a ser juez de Chachapoyas y vocal Superior de Cajamarca. Su obra pstumamante publicada, incluye: Clculo Binomial en dos tomos, cuyo mrito dilucid nada menos de Federico Villarreal en el prlogo. Asi mismo realiz demostraciones analticas sobre Geometra Elemental, Geometra Analtica Indeterminada, e hizo una nueva exposicin de la Trigonometra Plana. Para muchos es el Lagrange americano.
Miguel Garaycochea
Motivacin
114
3ro Secundaria
a) Identidades Recproca En el OPH:
OP 1
Csc Csc Sen Csc 1PH Sen
q = q = q q =q
OP 1
Sec Sec Cos Sec 1OH Cos
q = q = q q =q
PHTg
PH OHOH Tg .Ctg . Tg Ctg 1OH PH
OHCtg
PH
q = q q = q q =
q =
b) Identidad por Cociente
En el OPH:
PH Sen
Tg TgOH Cos
qq = q =
q
OH Cos
Ctg CtgHP Sen
qq = q =
q
Los ejercicios en este captulo son de tipo demostracin, simplificacin. Para resolverlos se requiere un manejo efi-ciente de las identidades ya mencionadas.
En una identidad trigonomtrica la variable angular es la misma para todas las razones trigonomtricas.
Ejemplos: Sen20Csc20=1 Tg3xCtg3x=1
Cos18Ctg18Sen18
=
APLICACIONES
1. Demuestra que: SenCtgSec= 1 En este caso, desarrollaremos el primero miembro.
SenqCosq
Senq
1Cos
q
1=
1 = 1
2. Demostrar que: Tg2q Ctgq Cos= Sen Senq=Senq
Ahora estudiaremos:
Identidades Recprocas
1Sen Csc 1 ; n , n Csc
Sen1
Cos Sec 1 ; (2n 1) , n Sec2 Cos
1Tg Ctg 1 ; n , n Ctg
2 Tg
q q = q q =q
q q = q + q =
q
q q = q q =q
Identidades de Divisin
SenTg ; (2n 1) ; n
Cos 2Cos
Ctg ; n ; nSen
q q = q +
q = q q
Para obtener dichas identidades, estimado alumno, ha-cemos uso de la circunferencia trigonomtrica que ya estudiamos.
A
P
HO
1
IDENTIDAD En matemtica se define una identidad como una igual-dad que verifica para todo valor admitido de variable real.
Ejemplo:
(x 3) (x + 3) = x2 9 ; x En esta identidad, al sustituir x por un nmero real cualquiera, se obtiene en ambos miembros de la igualdad un mismo valor real.
Ejemplo:
{ }
2x 4x 2 ; x 2
x 2
= +
En esta igualdad, la identidad slo se verifica para todos los valores reales de x, menos el valor 2.
115
Trigonometra
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3El equivalente de la expresin:
SecP Ctg
Cscq = q q
Resolucin:
La expresin:
1 SenxE Tgx
Cosx+
=
es igual a:
Resolucin:
Simplificar:
M = Tgx . Cosx + Sen2x . Cscx
Resolucin:
Simplificar:
P = Sen3. Csc2+ Cos2. TgResolucin:
116
3ro Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Si la expresin es una identidad:
1 CosxA Ctgx
Senx
=
Dar el valor de A
Resolucin:
Simplificar:
Sen CosE
Csc Secq + q
=q + q
Resolucin:
7. Simplificar:
1 TgE1 Ctg
+ q=
+ q
8. Simplificar:
M = (Sec x 1)Ctg x Csc x
9. Simplificar
2
2
Sen CtgE
Cos Tg
q q=
q q
10. Simplificar:
E = Ctg. Sen2+ Tg. Cos2
11. Simplificar:
12. Simplificar:
M = (Cscx + 1)Tgx Secx
1 TgxK
Cscx Secx+
=+
117
Trigonometra
1. Simplificar:
1 tgxE SenxSecx+
=
a) Cosx b) Senx c) Secxd) Tgx e) Cscx
2. Simplificar:
Senx 1E
Tgx Secx= +
a) 2Cosx b) 3Cosx c) 4Cosxd) Secx e) Ctgx
3. El equivalente de la expresin:
CscK Tg
Secq = q q
a) 1 b) Sen c) Cosd) Sec e) Tg2
4. La expresin:
1 CosxP Ctgx
Senx
= +
a) Secx b) Tgx c) 1d) Cscx e) Ctgx
5. Simplificar:
E = Ctg x . Sen x + Cos x
a) 2 Senx b) Tgx c) Secxd) 2 Cosx e) Ctg x
6. Simplificar:
1 CtgxE Cosx
Cscx+
=
a) Sen x b) Sen x c) 0d) Cos x e) Cos x
7. Simplificar:
P = Cos3q Sec2q + Senq . Ctgq
a) 2Sen b) 2Tg c) 2d) 2Cos e) 2Sec
8. El equivalente de la expresin:
E = Sen2. Csc + Cos2. Sec
a) 2Sen b) SenCos c) 2 d) 2Cos e) Sen+Cos
9. La expresin:
H = Tg. Ctg2. Sen
es igual a:a) 1 b) Cos c) Secd) Csc e) Tg2
10. Simplificar:
CscxK Ctgx
Secx= +
a) 2Senx b) 2Tgx c) 0d) 2Cosx e) 2Ctgx
11. Reducir:
Cosx 1P
Ctgx Cscx= +
a) 1 b) 2Senx c) Senxd) 2 e) 2Cosx
12. Simplificar:
1 CtgE
Sec Csc q
=q q
a) Sen b) Cos c) Tgd) Sec e) Csc
118
3ro Secundaria
19Identidades Trigonomtricas II
Es una igualdad en la que intervienen razones trigonom-tricas de una misma variable angular y que se verifica para todo valor permitido de dicha variable.
Estudiaremos ahora las identidades pitagricas:
2 2
2 2
2 2
Sen Cos 1 ;
Sec Tg 1 ; (2n 1) ; n2
Csc Ctg 1 ; n ; n
q + q = q
q q = q +
q q = q
De estas identidades se van a obtener otras formas equivalentes mediante la manipulacin algebrica.
2 2Sen Cos 1q + q =
2 2Sen 1 Cosq = q
2 2Cos 1 Senq = q
2 2Sec Tg 1q q =
2 2Sec 1 Tgq = + q
2 2Tg Sec 1q = q
2 2Csc Ctg 1q q =
2 2Csc 1 Ctgq = + q
2 2Ctg Csc 1q = q
Para obtener dichas identidades, estimado alumno, hacemos uso de la circunferencia trigonomtrica, ya que estudiamos:
A
P
HO
1
En el OPH : Por el teorema de Pitgoras.
OP2 =PH2 + OH2 12 = Sen2q + Cos2q
2 2Sen Cos 1 .......(I) q + q =
Si dividimos (I) entre Sen2q, tenemos:
2 2
2 2 2
Sen Cos 1
Sen Sen Sen
q q+ =
q q q
1 + Ctg2 q= Csc2q
2 2Csc Ctg 1 q q =
Si dividimos (I) entre Cos2q, tenemos:
2 2
2 2 2
Sen Cos 1
Cos Cos Cos
q q+ =
q q q
1 + Tg2q = Csc2q
2 2Sec Tg 1 q q =
119
Trigonometra
Motivacin
En una identidad trigonomtrica la variable angular es la misma para todas las razones trigonomtricas.
Sen210+Cos210=1 Sec235=1+Tg235 Csc24xCtg24x=1
APLICACIN
1. Demostrar que:Tg2(1 Sen2) = Sen2
En este caso desarrollaremos el primer miembro, para obtener un resultado igual al otro miembro.
2 2 2Tg (1 Sen ) Senq q = q
2 2 2Tg Cos Senq q = q
2
2 2Sen Cos SenCos
q q = q q
2
2
Sen
Cos
q
q2.Cos q 2Sen= q
Sen2q= Sen2q
2. Reducir:
E = (Tgq.Cosq)2 + (Ctgq.Senq)2
Para reducir esta espresin, se recomienda colocar en trminos de senos y cosenos; as:
E = (Tgq. Cosq)2 + (Ctgq. Senq)2
SenE
Cosq
=q
Cos q2
CosSen
q+ q
Sen q2
E = Sen2q + Cos2q
E = 1
JEAN BAPTISTE FORIER(1768 1730)
Naci en Auxerre. Intent seguir una carrera militar que se vi frustrado por no pertenecer a la nobleza. Ingres a la obada de la orden Benedictina que abandon antes de ser sacerdote. Se dedic al estudio de las matemticas, contribuyendo con mtodos para resolver ecuaciones diferenciales de cualquier grado, lo cual utiliz en el estudio de la propagacin del calor en cuerpos slidos.
El nombre de Forier suele relacionarse con el estudio de las funciones peridicas por l desarrolladas. Este campo de trabajo es conocido con el nombre de Anlisis Armnico; otros estudios lo ubicaron en la investigacin meteorolgica y en los estudios precursores de la estadstica matemtica.
Jean Baptiste Forier
120
3ro Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Simplificar:
3
2
SenP Csc
1 Cos
q= q q
Resolucin:
Simplificar:
E = (Senx + Cosx)2 2Senx Cosx
Resolucin:
Simplificar:
P = (1 + Cosx)2 + Sen2x 2
Resolucin:
El equivalente de la expresin:
E = (1 + Senx) (1 Senx)
Resolucin:
121
Trigonometra
Rpta:
5
Rpta:
6El equivalente de la expresin:
E = (Tgq . Cscq)2 1
Resolucin:
Simplificar:
Sec CosK
Csc Senq q
=q q
Resolucin:
7. Reducir la expresin:
1 1H
1 Senx 1 Senx= +
+
8. Reducir la expresin:
E = (1 Sen4x) Sec2x
9. Simplificar:
E = (Cscx Senx) Tgx
10. Reducir la expresin:
3
3
Sen SenH
Cos Cos
q q=
q q
11. Simplificar:
E = Secx Secx . Sen2x
12. Reducir la expresin:
H = Sen3q. Cscq + Cos3q. Sec
122
3ro Secundaria
1. Simplificar:
E = Senq+ Cosq. Ctgq
a) Sen b) Cos c) Tgd) Sec e) Cscq
2. Simplificar:
3
2
CosP Tg
1 Sen
q= q q
a) Senq b) Cosq c) Tgq
d) Secq e) Cscq
3. Simplificar:
E = Tgx (Ctgx + Tgx)
a) Sen2x b) Cos2x c) Tg2x
d) Sec2x e) Csc2x
4. Simplificar:
E = (Cscx Senx)Senx
a) Sen2x b) Cos2x c) Tg2x
d) Sec2x e) Csc2x
5. El equivalente de la expresin:
E = (1 Cosx) (1 + Cosx)
a) Sen2x b) Cos2x c) Tg2x
d) Sec2x e) Csc2x
6. Simplificar:
E = (Sec q Cosq) Ctgq
a) Sen b) Cos c) Tgd) Sec e) Csc
7. El equivalente de la expresin:
P = (Tgq + Ctgq) . Cosq
a) Senq b) Cosq c) Tgq
d) Secq e) Cscq
8. Simplificar:
P = (1 Cos2q) . Ctgq
a) Senq b) Cosq c) Tgq
d) Secq e) SenqCosq
9. Simplificar:
E = (1 + Ctg2q) (1 Cos2q)
a) 1 b) Sen2q c) Csc2q
d) 2 e) Tg2q
10. El equivalente de la expresin:
E = (Secx 1) (Secx + 1)
a) Sen2x b) Cos2x c) Tg2x
d) Ctg2x e) Sec2x
11. Simplificar:
H = (Senq + Cosq)2 + (Senq Cosq)2
a) 1 b) 2Senq Cosq c) 0
d) 2 e) Secq Cscq
12. Simplificar:
E = Cscx Cscx . Cos2x
a) Senx b) Cosx c) Tgx
d) Secx e) Cscx
123
Trigonometra
20 Identidades Auxiliares
SIMPLIFICACIONES
En este tipo de aplicaciones se buscar reducir al mxi-mo la expresin con la ayuda de las identidades fundamen-tales (ya estudiadas).
Tambin podremos considerar en el desarrollo de los pro-blemas a las identidades algebricas, como por ejemplo:
(a b)2 = a2 2ab + b2
a2 b2 = (a + b) (a b)
(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)
De las identidades fundamentales se podrn deducir otras, as:
2 2Sen Cos 1q + q =
Senq = 1 Cos2q
Cos2q = 1 Sen2q
APLICACIN
1. Simplificar:
2 2Sen CosE Cos
Sen Cosq q
= + qq + q
Recordar: a2 b2 = (a + b) (a b)
Adaptamos a la expresin E y simplificamos:
( Sen CosE
q + q=
)(Sen Cos )( Sen Cos
q qq + q
Cos)
+ q
E = Senq Cosq + Cosq
E = Senq
2. Simplificar:
2
2
Cos xM 1
1 Sen x= +
Observacin: Cos2x = 1 Sen2x
Reemplazamos en el denominador:
2Cos xM =
2Cos x1+
M = 1 + 1
M = 2
124
3ro Secundaria
Motivacin
IDENTIDADES AUXILIARES
1. tg x + Ctg x = Sec x Csc x
2. Sec2x + Csc2x = Sec2x + Csc2x
3. Sen4x + Cos4x = 1 2Sen2x Cos2x
4. Sen6x + Cos6x = 1 3 Sen2x Cos2x
Demostrar:
Tg x + Ctg x = Se cx Csc x
Sabemos:
Senx CosxTgx y Ctgx
Cosx Senx= =
Senx CosxTgx Ctgx
Cosx Senx+ = +
2 2Sen x Cos xTgx Ctgx
Cosx Senx+
+ =
Sabemos: Sen2x + Cos2x = 1
1Tgx Ctgx
Cosx Senx+ =
Sabemos:
1 1Secx Cscx
Cosx Senx= =
Tgx Ctgx Secx Cscx + =
Demostrar:
Sen4x + Cos4x = 1 2 Sen2x Cos2x
Sabemos: Sen2x + Cos2x = 1
(Sen2x + Cos2x) = (1)2
Sen4x + 2Sen2x Cos2x + Cos4x = 1
4 4 2 2Sen x Cos x 1 2Sen x Cos x+ =
Demostrar:
Sen6x + Cos6x = 1 3Sen2x Cos2x
Sen2x + Cos2x = 1
(Sen2x + Cos2x)3 = (1)3
Sen6x + 3Sen4x Cos2x + 3Sen2x Cos4x + Cos6x = 1
Ordenando y factorizando
Sen6x + Cos6x + 3Sen2x Cos2x2 2
1
(sen x Cos x)+ =1
6 6 2 2sen x Cos x 1 3Sen x Cos x+ =
CARL. F. GAUSS(1777 1855)
Naci en la ciudad Alemana de Brunswick. Es considerado el ms grande matemtico del siglo XIX. A pesar de su preeminencia se procupaba de cosas simples como la claridad en la expresin. Se le recuerda en Trigonometra sobre todo cuando expres que La notacin Sen2 es verdaderamente detestable puesto que ello puede interpretarse como Sen (Sen). Como bien se sabe el uso convencional de Sen2 , significa(Sen)2.
Es te cientfico trabaj con W. Weber, desarrollando juntos la teora matemtica del magnetismo.
Carl F. Gauss
125
Trigonometra
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Simplifique:
D = (Tgx + Ctgx) Senx
Resolucin:
Reducir:
A = (Tgx + Ctgx) Cosx
Resolucin:
Reducir:
E = (Sen2x Cos2x)2 + 4Sen2x Cos2x
Resolucin:
Si: Sec2x + Csc2x = 2
Calcule:
M = Sec2x Csc2x 1
Resolucin:
126
3ro Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Si: Sen2x Cos2x = 1/36
Calcule:
M = Sen4x + Cos4x
Resolucin:
Reducir:
A = Sen6x + Cos6x + 3Sen2x Cos2x
Resolucin:
7. Simplifique:
B = Sen4x + Cos4x + 2Sen2x Cos2x
8. Simplifique:
4 4 2 2
6 6
Sen x Cos x Sen x Cos xM
Sen x Cos x+
=+
9. Reduce:
Tgx CtgxE
Secx+
=
10. Simplifique:
2 2
2
Sec x Csc xM
(Tgx Ctgx)+
=+
11. Si: Tgx + Ctgx = 2 Calcule:
M = Secx Cscx 2
12. Si: 2 2Sec Csc 8q + q =
Calcule:2 2M Sec Csc 5= q q
127
Trigonometra
1. Simplifique:
Secx CscxA
Cscx Secx= +
a) 2Senx Cosx b) Cscx c) Secx Cscx d) Secx Cscx e) Secx
2. Reduce:B = (Tgx + Ctgx) Sec1x
a) Cscx b) Senx c) Cosxd) Secx e) Tgx
3. Simplifique:
C = (Sec2x + Csc2x) Cos2x
a) Sen2x b) Cos2x c) Sec2xd) Csc2x e) Tg2x
4. Simplifique:
D = Sen4x + Cos4x + 2Sen2x Cos2x
a) 1 b) 0 c) 2 d) Sen2x Cos2x e) 1
5. Si: Sen2x Cos2x = 1/9 Calcule:
M = Sen4x + Cos4x
a) 2/81 b) 7/9 c) 5/9d) 3/7 e) 1/9
6. Simplifique:
( )2 24 4E 2 4Sen CosSen Cos= + q qq + q
a) 1 b) 2 c) 3d) 1 e) 2
7. Si: Tgx + Ctgx = 2 Calcule:
M = Sen6x + Cos6x
a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4d) 1 e) 2
8. Simplifique:
6 6 2 2E Sen Cos 3Sen Cos= q + q + q q
a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 2Sen Cosq qe) 2 22Sen Cosq q
9. Simplifique:
E = (Sec2x + Csc2x)(Sec2x)1
a) Cscx b) Csc2x
c) Sen2x
d) Cos2x e) Sec
2x
10. Simplifique:
( )2 26 6 9Sen CosA 3 Sen Cos + q q= q + q
a) 1 b) 2c) 3 d) 0 e) 2 2Sen Cosq q
11. Si: Senx Cosx = 2
Calcule:
M = Tgx + Ctgx
a) 1/3 b) 4 c) 1/2d) 1/4 e) 1/9
12. Si: Sen2x Cos2x = 2/5
Calcule:
M = Sen4x + Cos4x
a) 1/3 b) 1/5 c) 1/2d) 1/10 e) 1/4
128
3ro Secundaria
21 Identidades Trigonomtricas de la suma y diferencia de dos arcos
INTRODUCCIN Este captulo constituye la generalizacin de las identi-dades trigonomtricas y esto se da porque a partir de aqu encontraremos relacionadas entre las identidades que efecten entre s operaciones algebraicas de adicin o sustraccin.
En este captulo compararemos que las identidades trigo-nomtricas no son algebraicas como por ejemplo:
Sen (x+y) = Senx + Seny, de este modo el resultado del operador (Sen) y el nmero (x+y), no es una operacin algebraica de simple multiplicacin, sino una operacin de tipo trascendente.
Tomemos dos puntos cualesquiera P(cosb; Senb) y Q(Cosa; Sena) que estn en una circunferencia trigonom-trica.
Py
x
Q
Entonces calculando la distancia PQ :
2 2PQ = (Cos - Cos ) + (Sen - Sen )
PQ = 2 - 2Cos Cos - 2Sen Sen (a)
P = (Cosb; Senb) Q = (Cosa; Sena)
QP =
Ahora tomemos un arco igual a (a - b) en el primer cuadrante con una cuerda d :
R( )Cos( ); Sen( ) - -
A
y
x
d -
(1; 0)
de los grficos QP = AR = d
2 2d = (1 - Cos( - )) + (0 - Sen( - ))
d = 2 - 2Cos( - )(b)
Luego de:
* (a) = (b) tenemos :
2-2Cos(a - b) = 2-2(CosaCosb+SenaSenb)
Cos ( - ) Cos Cos Sen Sen ..... (1) = +
* Sustituyendo b por -b Cos(a-(-b)) = Cosa Cos (-b) + Sena Sen (-b)
Cos( ) = Cos Cos - Sen Sen ..... (2) +
129
Trigonometra
* Se sabe que :
Sen (a+b) = Cos ( )2 +
Sen(a+b) = Cos2
Sen(a+b)= Cos Cos Sen Sen2 2 +
Sen( ) Sen Cos Cos Sen ..... (3) + = +
Cos Sen2
Sen Cos2
=
=
* Sustituyendo b por -b
Sen (a+(-b)) = SenaCos(-b)+CosaSen(-b)
Sen( ) Sen Cos - Cos Sen ..... (4) =
En conclusin:
I. Para la suma de Arcos:
Sen( ) Sen Sen Cos Cos
Cos( ) Cos Cos Sen Sen
+ = + = +
II. Para la diferencia de Arcos:
Sen( ) Sen Cos Cos Sen
Cos( ) Cos Cos Sen Sen
= = +
Motivacin
CLAUDIO PTOLOMEO(100 - 168)
Astrnomo griego, realiz sus ms importantes trabajos a mediados del siglo II, haciendo progresar a la Trigonometra enriquecindola con nuevas frmulas, jams conocidas por Hiparco.
Los trabajos de Ptolomeo estn contenidos en su obra Composicin, llamada Gran Composicin por los griegos.
Al Magisti por los traductores rabes y Almagesto por los latinos. En esta obra figuran frmulas que, si bien no hacen referencia a senos ni a cosenos , si no nicamente a cuerdas, son miradas como equivalentes a:
Sen2a+Cos2a=1
Sen (a-b)=Sena.Cosb-Senb.Cosa
2 a 1 CosaSen2 2
=
Es autor de la Teora Geocntrica que mantuvo su vigencia durante 14 siglos. Aplica la Geometra y Trigonometra a la Astronoma, logrando un gran
130
3ro Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Determinar el valor de:
Sen( ) Sen CosL
Cos Cos
+ q q=
q
Resolucin:
Calcular el valor de: Cos 67
Resolucin:
Calcular el valor de: Cos 7
Resolucin:
Determinar el valor de:
E=Cos25.Cos35Sen35.Sen25
Resolucin:
131
Trigonometra
Rpta:
5
Rpta:
6Determinar el valor de:
Cos( )M Ctg
Sen Cos
=
Resolucin:
Calcular el valor de:
P=Cos20.Cos17Sen17 Sen20
Resolucin:
7. Determinar el valor de:
N=Cos(x-30)Cos(x+30)
8. Calcular el valor de:
Cos20 Cos10 Sen20 Sen10E
Sen25 Cos5 Sen5 Cos25
=
+
9. Calcular el valor de:
E=(Cos50+Cos20)2+(Sen50+Sen20)2
10. Determinar el valor de:
Sen(y x)P Tgx
Cosy Cosx
= +
11. Si:
1Senx Cosy
31
Seny Cosx2
=
=
Hallar: E = 6Cos(x + y)
12. Si: Sen x = 5/13 Tg y = 3/4 Calcular: Sen(x + y)
132
3ro Secundaria
1. Calcular el valor de:
E=Sen30.Cos7+Sen7.Cos30
a) Sen23 b) Cos7 c) Sen37d) Sen7 e) Cos37
2. Calcular un valor agudo de x, si:
Cosx.Cos10Sen10.Senx=Cos80
a) 60 b) 50 c) 70d) 90 e) 100
3. Determinar el valor de:
M=Cos72.Cos12+Sen12 Sen72
a) 1/2 b) 2 c) 1d) 2 e) 1/2
4. Determinar el valor de:
Sen3xCos4x Sen4x Cos3xP
Sen5xCos2x Sen2x Cos5x
+ =
+
a) Cos7x b) Sen7x c) 1d) Senx e) Cos3x
5. Calcular el valor de:
E = Sen42.Cos5-Sen5.Cos42
a) Cos37 b) Sen47 c) Sen37d) Cos47 e) Sen38
6. Determinar el valor de:
Senx Cosy Sen(x y)E
Seny
+=
a) Senx b) Cosy c) Senyd) Cosx e) Senx
7. Calcular el valor de:
Cos(x y) Senx SenyM
Cosy
+ + =
a) Cosx b) Cosy c) Senx
d) Seny e) Senx
8. Calcular el valor de:
Sen60 Cos30 Sen30 Cos60M
Sen15 Cos75 Sen75 Cos15
=
+
a) 2 b) 0 c) 1/3
d) 1/2 e) 1
9. Calcular el valor de: Sen 16
a) 7/25 b) 24/25 c) 7/24
d) 24/7 e) 25/24
10. Calcular el valor de:
E = Sen19 . Cos18 + Sen18 . Cos19
a) 4/5 b) 3/5 c) 3/4
d) 4/3 e) 5/4
11. Determinar el valor de:
Sen5x Cos3x Sen3x Cos5xJ
Cos4x Cos2x Sen4x Sen2x
=
+
a) Tgx b) Tg5x c) Tg2x
d) Tg4x e) 1
12. Calcular un valor agudo de x; si:
Cos5x . Cos3x + Sen3x . Sen5x = Cos60
a) 60 b) 20 c) 40
d) 30 e) 50