U2. metodos de_demostracion

Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 1

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

2° cuatrimestre

Introducción al pensamiento matemático

Unidad 2. Métodos de demostración

Clave:

050910208/06091208



Índice Unidad 2. Métodos de demostración. ................................................................................ 3

Presentación de la unidad ................................................................................................... 3

Propósitos ............................................................................................................................. 3

Competencia específica ...................................................................................................... 3

2.1. Métodos de demostración ............................................................................................ 4

2.1.1. Método progresivo – regresivo ........................................................................................ 4

2.1.2. Método de demostración directa ................................................................................... 10

2.1.3 Método por reducción al absurdo .................................................................................. 15

2.1.4 Método por inducción matemática ................................................................................. 18

2.1.5 Método de demostración por contraejemplo ................................................................ 23

2.1.6 Método de demostración por casos .............................................................................. 24

2.1.7 Método de demostración por contraposición ............................................................... 27

Actividad 1. Características de los métodos de demostración ....................................... 31

Actividad 2. Métodos de demostración ........................................................................... 31

Autoevaluación ................................................................................................................... 32

Evidencia de aprendizaje. Aplicación de los métodos de demostración .................... 32

Autorreflexiones ................................................................................................................. 32

Cierre de la unidad ............................................................................................................. 33

Para saber más ................................................................................................................... 33

Fuentes de consulta ........................................................................................................... 33



Unidad 2. Métodos de demostración.

Presentación de la unidad

En matemáticas, a menudo nos encontraremos con diferentes demostraciones, que

consisten en comprobar la veracidad o falsedad de axiomas, postulados y teoremas, entre

otros.

En los libros de texto así como cuando un profesor presenta demostraciones, en su

mayoría omiten uno o más pasos al momento de su realización, debido a que se suponen

que están destinadas a un público meramente matemático, lo cual, cierra las puertas a

aquellos que presenten algún interés por comprenderlas.

Uno de los principales objetivos que se tiene en este curso es comprender como se

aplican los diferentes métodos de demostración y decidir cuál es el más adecuado de

acuerdo a la situación que se nos presente. Para ello, vamos a usar las tablas de verdad,

los conceptos como premisas y conclusiones, las cuales trabajamos en la unidad 1.

Además, uno de los principales problemas que se nos presenta al abordar una

demostración es su lenguaje, que por lo general aparece expresado en símbolos

matemáticos, con ello, tenemos el trabajo de memorizar una serie de símbolos y al mismo

tiempo comprender lo que se trata de decir con ellos. Por esta razón, en cada una de las

demostraciones, se detallaran todas las operaciones efectuadas, esto, con el objetivo de

que el alumno pueda comprenderlas y de esta manera, adquiera las bases que se

necesitan para desarrollarlas en diferentes áreas de conocimiento que se encontrara a lo

largo de su carrera.

Propósitos

Identificar las hipótesis y las conclusiones de un teorema.

Diferenciar en qué casos se aplica cada método de demostración.

Aplicar los diferentes métodos de demostración para verificar si el teorema es

verdadero.

Crear demostraciones propias de enunciados planteados.

Competencia específica

Crear demostraciones para verificar la validez de un enunciado mediante los diferentes

métodos de demostración.



2.1. Métodos de demostración

Una demostración de un teorema matemático es una sucesión de pasos que conducen a

la conclusión que deseamos, la lógica nos permite realizar las reglas de las sucesiones de

pasos a seguir.

Hacer una demostración es escribir una serie de enunciados matemáticos encadenados,

se parte de las definiciones, hipótesis y propiedades conocidas hasta demostrar la

conclusión.

Antes de trabajar con los diferentes métodos de demostración, definiremos los conceptos

de axioma, lema, teorema y corolario.

Un axioma es un enunciado matemático que se admite como verdadero y no se tiene que

demostrar. Los axiomas son las verdades básicas.

Un lema es una proposición que ya ha sido demostrada y se utiliza para establecer un

teorema menor o una premisa auxiliar que es parte de un teorema general.

Un teorema es una afirmación que debe ser demostrada.

Un corolario es una conclusión que se desprende de un teorema que ya se ha

demostrado.

2.1.1. Método progresivo – regresivo

El método progresivo – regresivo es un método de demostración que en la mayoría de las

ocasiones se presenta combinado con otros métodos distintos, la característica

fundamental de este método es que se puede partir de las hipótesis y llegar directamente

a la conclusión, por esta razón se le llama progresivo, o bien, puede partir de la

conclusión y llegar a la hipótesis, por esa razón se le llama regresivo. También, puede

partirse de la hipótesis y llegar a una conclusión secundaria que se deduce de la

conclusión principal, de forma que al ser verdadera la conclusión secundaria, se deduce

que es verdadera la conclusión final y por esta razón se le llama método progresivo –

regresivo. Para comprenderlo mejor, vamos a analizar algunos ejemplos, de manera que

se indique en qué momento es progresivo y cuando es regresivo.

Ejemplo:

Si sumamos tres números consecutivos, entonces nos resulta 114

“Una demostración consiste en una sucesión de fórmulas que, o bien son axiomas, o

bien son teoremas, o se han obtenido de éstas mediante inferencias admisibles”.

Hilbert



Lo primero que hacemos es separar nuestros datos, los cuales son la hipótesis y la

conclusión

H: Sumamos tres números consecutivos.

C: La suma es 114

Podemos partir de la conclusión, es decir, iniciamos de manera regresiva. Sabemos que

la suma es 114, por hipótesis sabemos que vamos a sumar tres números, entonces,

podemos obtener una conclusión secundaria, la cual es:

En la conclusión se trata únicamente de sumar tres números y no se puede obtener una

conclusión más sencilla, entonces, podemos dejar de utilizar el método regresivo y nos

concentraremos en aplicar el método progresivo a la hipótesis.

Sabemos por hipótesis que vamos a sumar tres números consecutivos, si llamamos x al

primer número, entonces, podemos obtener la siguiente hipótesis

Donde representa el número consecutivo a x y (x + 2) representa el número

consecutivo a

Como estamos trabajando sobre la hipótesis, estamos empleando el método progresivo,

tenemos la suma de tres números y nuestra conclusión afirma que la suma de tres

números es 114, podemos igualar H1 al resultado que deseamos obtener, de la siguiente

manera.

Utilizamos las reglas del algebra para simplificar la ecuación.



De aquí obtenemos que:

Si hacemos:

Entonces, obtendremos la conclusión deseada, es decir:

y sustituyendo, tenemos que:

Por lo cual podemos concluir que los números son: 37, 38 y 39.

Como se puede apreciar, con el método regresivo se trata de llegar de la conclusión a la

hipótesis o hacia alguna conclusión secundaria que al ser verdadera, automáticamente

haga verdadera la conclusión principal, mientras que, con el método progresivo se trata

de llegar de la hipótesis a la conclusión o hacia alguna hipótesis secundaria que sea

verdadera siempre que la hipótesis principal sea verdadera.

Es necesario aclarar que cuando se emplea el método progresivo – regresivo, puede

obtenerse alguna hipótesis secundaria o segunda hipótesis de la cual se puede obtener

una tercera hipótesis, a partir de ahí se puede derivar una cuarta hipótesis y

progresivamente se pueden derivar más, las cuales deben cumplir el requisito de que

siempre que la hipótesis que le antecede sea verdadera, la hipótesis que continua sea

verdadera. No debe olvidarse que cada una de las hipótesis, deben estar encaminadas a

encontrar la conclusión, además de que un número excesivo de hipótesis pueden

complicar el proceso progresivo, en lugar de facilitarlo.



Al emplear el método regresivo pueden obtenerse varias conclusiones derivadas de la

conclusión final, con la característica de que si se cumple una, debe de cumplirse

automáticamente aquella conclusión de la cual se deriva.

Analizaremos el siguiente ejemplo, para comprender mejor el método progresivo –

regresivo.

Ejemplo:

Demostrar la validez del siguiente enunciado.

Si x e y son números positivos y = , entonces

Lo primero que hacemos es aplicar el método regresivo, para esto, utilizamos la

conclusión x = y, para aplicar adecuadamente el método regresivo, lo que podemos hacer

es preguntarnos, ¿en qué momento es ?, la respuesta a esta pregunta es que

, cuando

A continuación utilizamos el método progresivo, es decir, utilizamos la hipótesis como

punto de partida.

¿Cuándo es = ?, la respuesta a esta pregunta es, cuando - = 0.

Continuando con el método progresivo, aplicamos las reglas del álgebra sobre - = 0,

de la siguiente manera.

- = 0, se puede expresar como:

y esto ocurre cuando

, o bien cuando

Si elegimos a , estaríamos contradiciendo la hipótesis, ya que, esto nos dice

que la suma de los x e y es cero, por su parte la hipótesis nos dice que x e y son números

positivos. Por esta razón, tenemos que no puede ser igual a cero, entonces, la

única opción que podemos tomar es , la cual es verdadera.

Por el método regresivo encontramos que si , entonces se verifica que .

Por lo tanto, el enunciado es verdadero.

El siguiente ejemplo, será el último de esta sección, aunque este método lo seguiremos

usando en otras secciones, ya que su generalidad lo permite, es decir, siempre que haya

hipótesis y conclusiones, existen las condiciones apropiadas para aplicar este método de

demostración.



Ejemplo:

Si el área del cuadrado de lado es 100 , entonces la suma de sus diagonales

es √ cm.

Las proposiciones son:

p: El área del cuadrado de lado x es 100 .

q: La suma de las diagonales del cuadrado es √ .

Para demostrar este enunciado, aplicaremos el método progresivo – regresivo.

Lo primero que hacemos es trabajar con q, para esto, necesitamos utilizar toda la

información con la cual contamos.

Como estamos hablando de un cuadrado, entonces sabemos que es una figura que tiene

sus cuatro lados iguales, y que tiene dos diagonales que también son iguales, esta

información de las diagonales nos ayuda a simplificar la proposición q, puesto que:

La suma de las diagonales del cuadrado es √ .

El cuadrado tiene dos diagonales, por lo que, una diagonal del cuadrado debe medir:

√

√

Si x es el valor de uno de los lados del cuadrado, entonces cada uno de sus lados mide x.

Como se trata de un cuadrado, cada uno de los ángulos del cuadrado es recto, al trazar la

diagonal se forma un triángulo rectángulo y recordemos que la suma de los cuadrados de

los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Con esto podemos afirmar que:

√

Reduciendo términos semejantes:

√

De aquí se observa que:

Simplificando



Es decir, que q será verdadera siempre que el lado del cuadrado mida 10 cm.

Hasta este momento, lo que hemos hecho, es aplicar el método regresivo, ya que

únicamente trabajamos con q. A continuación trabajaremos con p, para conocer la verdad

de nuestro enunciado, es decir, utilizaremos el método progresivo.

p: el área del cuadrado de lado x cm es 100 .

Esta proposición nos permite conocer que se trata de un cuadrado, es decir, una figura

con cuatro lados iguales, para la cual cada uno de sus lados mide x cm.

Con esta información, podemos establecer que el área del cuadrado está dada por:

Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación anterior obtenemos que:

Es decir, que si el área del cuadrado es 100 y x representa a cada uno de sus lados,

entonces x = 10 cm.

Dado que q será verdadera cuando cm se cumpla, entonces tenemos que:

Si p entonces q es un enunciado cuyo valor de verdad es verdadero. Q.E.D. (Quedó

entonces demostrado).

Haciendo un breve resumen de la sección, tenemos entonces que aplicar el método

progresivo – regresivo en la implicación lógica, consiste en aplicar el método regresivo

sobre la conclusión y mediante algunas deducciones y procedimientos, un tanto lógicos,

matemáticos y de sentido común, encontrar una conclusión equivalente a la original que

sea más sencilla de demostrar al utilizar la hipótesis. El método progresivo se aplica al

utilizar la hipótesis y mediante procedimientos y deducciones lógicas, matemáticas y de

sentido común, encontrar una hipótesis equivalente a la original, con la diferencia de que

a partir de ella sea mucho más sencillo demostrar la veracidad de la conclusión o

inclusive, llegar directamente a ella.

A medida que se avanza con este método pueden presentarse algunas definiciones que

faciliten la demostración del enunciado a resolver, por otra parte, algunas definiciones

pueden provocar que dicha demostración se torne muy difícil o imposible de realizar, por

esta razón, es necesario tener en cuenta el o los resultados que deseamos obtener, ya

que de lo contrario podemos comenzar el desarrollo de una demostración y llegar a un

callejón sin salida.



2.1.2. Método de demostración directa

El método de demostración directa se utiliza cuando tenemos un enunciado que consta de

un conjunto de hipótesis que se consideran verdaderas y un conjunto de conclusiones

cuyo valor de verdad debe ser demostrado, este método consiste, en utilizar las hipótesis

para avanzar progresivamente en la demostración del enunciado, alcanzando la

conclusión, ya sea para demostrarla o para encontrarla. Se le llama método de

demostración directa, porque utiliza directamente la hipótesis para demostrar la

conclusión, en otras palabras, es un método que no se desvía analizando negaciones de

alguna proposición o de la conclusión.

Ejemplo:

Si x e y son números reales, con y xy = xz, entonces y = z.

Para demostrar este enunciado, vamos a utilizar las hipótesis y a partir de ellas,

llegaremos de manera directa a la conclusión de que sea verdad o falso que y = z.

Porque todo número es igual al producto de la unidad por sí mismo

Cualquier número distinto de cero (hipótesis x 0) se puede

expresar como el producto de sí mismo por su inverso multiplicativo.

Por las propiedades conmutativas y asociativas de la

multiplicación.

Por hipótesis

Por las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación.

Por la propiedad del inverso multiplicativo.

La unidad es el elemento neutro de la multiplicación.

Hemos llegado finalmente a la conclusión de que y = z, aplicando únicamente el método

progresivo, la solución del enunciado ha sido encontrada de manera directa. Como se

puede apreciar los elementos que se usaron en el desarrollo de la demostración son las

hipótesis que el enunciado nos ofrece y se ha llegado a la conclusión de que y = z es

verdadero si se cumplen las condiciones del ejemplo anterior.

En el siguiente ejemplo, analizaremos un teorema referente a geometría plana.



Ejemplo:

Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a dicho

lado también son iguales.

En este caso, el problema es sobre triángulos iguales, como no existe ningún dato

adicional, es decir, algún valor numérico, entonces vamos a trabajar con geometría plana,

comenzaremos esquematizando dos triángulos de la siguiente manera.

Tomaremos las hipótesis con base en los triángulos que se muestran en la imagen, de la

siguiente manera:

Dos triángulos tienen un lado igual, supongamos que =

Los ángulos adyacentes al lado igual, son iguales, es decir:

La conclusión del enunciado es:

Los triángulos son iguales, es decir,

Vamos a demostrar este teorema de manera directa, es decir, si a partir de las hipótesis

es verdad que los triángulos son iguales, tenemos que demostrar que los lados:

, y <C = <C’.

Tenemos que:

1)

2) ya que la suma de los ángulos interiores de un

triángulo suman 180°.

3) Igualando 1) y 2).

B

C A C’ A’

B’ B



4) , por hipótesis.

Esto quiere decir que los tres ángulos del son iguales a los ángulos del

Lo único que hace falta demostrar es que los lados sean iguales, para ello, vamos a

utilizar la ley de senos.

Ley de senos: en todo triangulo con lados A, B, C se cumple que:

Es decir, que en todo triángulo cualquier lado entre el seno de su ángulo opuesto es igual

a cualquier otro lado entre el seno de su ángulo opuesto.

Aplicaremos la ley de senos entre el lado que coincide en ambos triángulos, es decir, en

el lado que es igual en ambos triángulos, comenzaremos con el triángulo ABC.

5)

Aplicando la ley de senos a el ΔABC

6)

Despejando

7)

Sustituyendo por , <B por <B’ y <C por <C’, por

Hipótesis y por el paso 4) de la demostración.

Ahora aplicamos la ley de senos en el ΔA’B’C’, empleando el lado igual de ambos

triángulos y los ángulos utilizados al aplicar la ley de senos en el ΔABC.

8)

Aplicando ley de senos a el ΔA’B’C’.

9)

Despejando .

10) Sustituyendo los resultados de los pasos 7) y 9).

Volvemos a aplicar la ley de senos utilizando el lado que no coincide de ambos triángulos,

es decir, en los lados . Iniciamos con el triángulo ABC.

11)

Aplicando la ley de senos.



12)

Despejando .

13)

Sustituyendo por , <A por <A’ y <B por <B’, por

hipótesis y por el paso 4) de la demostración.

Ahora aplicamos la ley de senos en el ΔA’B’C’.

14)

Aplicando la ley de senos.

15)

Despejando .

16) Sustituyendo los resultados de los pasos 13) y 15).

Entonces tenemos que:

Si dos triángulos tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a dicho lado

también son iguales.

Se obtiene que los tres ángulos de ambos triángulos son iguales y además, que los tres

lados de ambos triángulos también son iguales, es decir, se obtiene que los dos triángulos

son iguales, con esto, se demuestra que el siguiente enunciado es verdadero:

Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a dicho

lado también son iguales

Como último ejemplo de esta sección analizaremos el plano cartesiano.

Ejemplo:

Si una figura plana tiene como vértices los puntos A (0, 1), B(3, 5), C(7, 2) y D(4, -2),

entonces la figura es un cuadrado.

Figura plana



Para poder resolver este problema, primeramente, necesitamos verificar que los lados

formados por vértices consecutivos son iguales entre sí. Para ello, necesitaremos conocer

una definición más.

Distancia entre dos puntos: Si x = ( ) e y = ( ), son dos puntos en el plano,

entonces la distancia entre ellos, representada por d(x, y), se encuentra aplicando la

siguiente fórmula:

√

Vamos a demostrar el enunciado de manera directa, para ello, las hipótesis, las cuales

son:

A(0, 1), es el vértice de una figura plana.

B(3, 5), es el vértice de una figura plana.

C(7, 2), es el vértice de una figura plana.

D(4, -2), es el vértice de una figura plana.

Partiendo de nuestras hipótesis, encontramos las distancias de los puntos sucesivos, de

la siguiente manera.

1) √ , sustituyendo los valores de los puntos A y B en

la fórmula de la distancia.

2) √ √ , por aritmética, al resolver las operaciones

3) √ , sustituyendo los valores de los puntos B y C en


4) √ √ , por aritmética, al resolver las operaciones.

5) √ , sustituyendo los valores de los puntos C y D en


6) √ √ , por aritmética, al realizar las operaciones.

7) √ , sustituyendo los valores de los puntos D y A

en la fórmula de la distancia.

8) √ √



Entonces tenemos una figura que tiene sus cuatro lados iguales, utilizaremos la línea que

une al punto A con el punto C y la línea que une al punto B con el D y encontraremos sus

valores, de manera similar a como encontramos los lados de la figura, estas

representaran los valores de las diagonales de la figura. Esto se utilizará para comprobar

si se trata de un cuadrado o de un rombo, ya que ambos tienen sus cuatro lados iguales,

pero, a diferencia del rombo, el cuadrado tiene sus dos diagonales iguales.

9) √ , sustituyendo los valores de los puntos A y C en la

fórmula de la distancia.

10) √ √ , por aritmética, resolviendo las operaciones.

11) √ , sustituyendo los valores de los puntos B y D en


12) √ √ , por aritmética, resolviendo las operaciones.

Como hemos encontrado de manera progresiva que las diagonales de la figura son

iguales y de manera regresiva establecimos que la única figura que tiene sus cuatro lados

iguales y además tiene sus dos diagonales iguales es un cuadrado, entonces, está

demostrado que efectivamente la figura que buscábamos es un cuadrado.

2.1.3 Método por reducción al absurdo

Este método se utiliza frecuentemente por muchos matemáticos, debido a la facilidad con

la que permite realizar una demostración. En ocasiones, hasta no es posible creer que así

se realice una demostración puesto que podemos llegar a pensar que se hizo por arte de

magia. Sin embargo, gracias a lo que ya conoces de la lógica proposicional te podrás dar

cuenta de que matemáticamente lo que has hecho es correcto.

Este método está basado en la siguiente equivalencia lógica:

para alguna r

Esta simbología significa que p implica q, es casi igual a tener p y no q, y en algún

momento llegaremos a una contradicción en la que al mismo tiempo tendremos r y no r, lo

cual es imposible, ahí es donde tendremos la contradicción.

Para demostrar que , se construye un absurdo usando la hipótesis p y la negación

de la conclusión ¬q. También se puede enunciar de la siguiente manera:



Para demostrar que , se construye un absurdo, cuando suponemos falsa la

conclusión q y usamos la hipótesis p.

En resumen, para realizar una demostración por reducción al absurdo debemos suponer

que la proposición que queremos demostrar, es decir, la conclusión es falsa, usamos

deducciones matemáticas para llegar a una contradicción o algo absurdo, lo que implica

que la proposición de la que partimos es cierta.

Ejemplo:

Si m y n son enteros tales que n , entonces n es par.

En la conclusión tenemos que n es par, lo contrario a par es impar. A partir de la negación

de la conclusión debemos conseguir una contradicción. Escribiremos en un recuadro y

con color azul los enunciados que nos permitan hacer cálculos matemáticos para

ejemplificar que lo que afirmamos es cierto, en la demostración, podemos predecir de

esos recuadros sólo se pusieron con el propósito de ejemplificar.

Como n es impar, entonces n2 y n3 son impares.

Ejemplo:

Sea entonces

Como te puedes dar cuenta, al elevar un número impar al cuadrado o al cubo el resultado

es impar.

De lo anterior tenemos que es impar porque es la suma de tres impares.

Sabemos que por lo tanto es impar porque es el

resultado de la suma de tres números impares.

Observa que m + m2 es siempre par, como m es un entero, supongamos que o 3

el resultado es un número par.

Sin embargo, m + m2 siempre es par puesto que y para que esto

suceda alguno tiene que ser par m o m + 1. Por lo que hemos llegado a una contradicción,

la contradicción es que m + m2 es par y n + n2 + n3 es impar. Por lo tanto n es par y es lo

que queríamos demostrar.

El método por reducción absurdo o por contradicción se utiliza cuando deseas demostrar

que algo es imposible. Debes asumir que es posible y encontrar una contradicción. Una

de las primeras demostraciones por contradicción es la que se le atribuye al gran Euclides

y está dada por el siguiente teorema.



Teorema: Existen infinitos primos.

Antes de empezar con la demostración hay que recordar la definición de número primo y

el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Definición de número primo: Son primos todos los números naturales mayores que 1 y

únicamente deben ser divididos por ellos mismos y la unidad.

Ejemplo: 2, 3 y 5 son números primos porque son divisibles por ellos mismos y la unidad.

El siguiente teorema nos permite expresar a cualquier número entero que sea mayor que

1 como producto de primos.

Teorema fundamental de la aritmética: todo entero n > 1 puede expresarse como

producto de primos.

n = p1k1p2

k2… prkr donde p1, p2, …, pr son primos y k1, k2, …, kr son enteros positivos.

Ejemplos:

10 = (2)(5), 20 = (22)(5), 70 = (2)(5)(7), etc.

Retomando el teorema de Euclides y utilizando la definición de número primo y el

Teorema Fundamental de la Aritmética, realizaremos la demostración.

Teorema: Existen infinitos primos.

Al negar la proposición tenemos que existen finitos primos, entonces podemos enumerar

a todos los primos que existen con los números p1, p2, p3, …, pn. Sea el número q =

p1p2…pn + 1, si q no tuviera de resto al 1 sería divisible por cada uno de los números

primos que son p1, p2, p3, …, pn. Entonces q es divisible por el mismo y la unidad por lo

que es un número primo y no es uno de los que ya tenemos numerados, esto contradice

nuestra afirmación de que todos los primos están numerados como p1, p2, p3, …, pn,

porque tenemos un primo más que es q.

En conclusión, existen infinitos primos.

Ahora demostraremos el siguiente teorema para ejemplificar el método por reducción al

absurdo.

Teorema: √ es un número irracional.

Suponemos que raíz de 2 no es irracional lo que significa que es racional, entonces puede

ser escrito de la forma:



√ =

con q ≠ 0

p y q tienen como máximo común divisor al 1, es decir, el mayor número que los divide es

el 1. Si existiera otro número diferente, ese número sería el máximo común divisor de p y

q, y la expresión √ =

con q ≠ 0, se puede simplificar al dividir entre el máximo común

divisor de ambos números. Por lo tanto, son primos relativos porque el máximo común

divisor de ellos es el 1.

Retomando que √ =

con q ≠ 0

elevamos al cuadrado a ambos miembros de la igualdad

despejamos a

Esto significa que debe ser múltiplo de 2 porque el resultado de elevar un número al

cuadrado siempre es par, por lo tanto, p también es múltiplo de 2. Es decir, para

un cierto k.

Sustituimos el valor de p en la siguiente expresión:

Elevamos al cuadrado

Simplificamos y despejamos a

De esta última expresión tenemos que es múltiplo de 2, y por lo tanto, q también. Aquí

es donde encontramos la contradicción que buscábamos porque afirmamos que p y q no

tenían factores comunes y encontramos que los dos son múltiplos de 2, es decir, que el

máximo común divisor es el 2.

Por lo tanto √ es irracional.

2.1.4 Método por inducción matemática

La propiedad fundamental de los números naturales N es el principio de inducción

matemática. Supongamos que P(x) significa que la propiedad P se cumple para el número

x. Entonces, el principio de inducción matemática afirma que P(x) es verdad para todos

los números naturales x siempre que:

(1) P(1) sea verdad.



(2) Si P(k) es verdad, también lo es P(k + 1)

En la segunda condición se afirma la verdad de P(k + 1) cuando se supone que P(k) es

verdad. Las dos condiciones se deben cumplir para afirmar la verdad de P(x) para todo x.

En resumen, en el principio de inducción matemática, tenemos que si P(1) es verdad,

entonces P(2) es verdad al aplicar la segunda condición que afirma que si P(1) es verdad,

también lo es P(1 + 1) = P(2). Ahora como P(2) es verdad por la misma razón lo es P(3).

Como te puedes dar cuenta todo número será alcanzado alguna vez mediante este

procedimiento, de tal forma que P(k) será verdad para todos los números k.

El principio de inducción matemática, se utiliza cuando se desea demostrar problemas en

los que se debe probar que a partir del número natural dado cumplen cierta propiedad.

Para realizar una demostración por este método, primero debes demostrar que el primer

término de la fórmula cumple la propiedad. En segundo lugar, se supone que la propiedad

es verdadera para un número k y se demuestra que también lo es para el siguiente

número que es k + 1. Cuando se demuestran estos dos pasos, como se cumple para el

primer término, se cumple para el segundo; como se cumple para el segundo, se cumple

para el tercero y así sucesivamente. De esta manera se demuestra que la propiedad la

cumplen todos los números naturales.

Ejemplo:

Demostrar que la suma de los n primeros números está dada por:

Vamos a verificar la primera condición del principio de inducción, en este caso cuando n =

1 tenemos que:

1 = 1

En esta ocasión, sólo para ejemplificar el principio de inducción vamos a verificar que se

cumple la fórmula que debemos demostrar. En este caso, si n = 2, utilizarías la suma

hasta 1 + 2 y sustituyes en el segundo miembro de la ecuación el valor de n que es 2.

Cuando n = 3 realizarías la suma hasta 1 + 2 + 3 y reemplazas del lado derecho de la

igualdad el valor de n = 3. Analiza los siguientes cálculos:

de aquí tenemos que 3 = 3



al realizar los cálculos, tenemos que 6 = 6.

Como te podrás dar cuenta podemos seguir realizando este procedimiento pero es aquí

donde se presenta la importancia del método de inducción matemática porque nos

ahorramos todos esos cálculos y podemos demostrar que se cumple para todo x.

Ahora verifiquemos que se cumple la segunda condición, suponemos que la propiedad es

cierta para n = k, es decir:

Observa que cuando aparece n sustituimos el valor de k.

A partir de la suposición anterior de que se cumple para n = k, hay que probar que se

cumple para n = k +1. En la fórmula original tenemos que:

Sustituyendo el valor de n por k + 1 tenemos que probar que se cumple la fórmula que se

muestra a continuación:

Trabajamos con el lado izquierdo de la igualdad y tenemos que:

Al sustituir

porque suponemos que se cumple para n = k

realizando la suma de fracciones

factorizando (k+1)



Esta última expresión nos asegura que la propiedad se cumple para n = k +1. Entonces

por el principio de inducción matemática la propiedad es cierta para cualquier número

natural.

Ejemplo:

Si r es cualquier número distinto de 1 (no necesariamente natural), entonces:

Cuando n = 1 tenemos que:

Supongamos que se cumple para n = k

(Ecuación 1)

Debemos demostrar que se cumple para n = k+1, es decir:

(Ecuación 2)

Entonces podemos trabajar con el lado izquierdo de la igualdad de la ecuación para llegar

al resultado del lado derecho, como se supuso que se cumple para n = k, podemos

sustituir el lado derecho de la ecuación 1 en el lado izquierdo de la ecuación 2, que sería

nuestra hipótesis.

( )

( )

( )



Esta última expresión es la que queríamos demostrar, por el principio de inducción

matemática, podemos afirmar que la fórmula es cierta para cualquier número natural n.

En el siguiente ejemplo, el primer término es cuando n = 6, como te podrás dar cuenta no

necesariamente se debe comenzar cuando n = 1.

Ejemplo:

Demostrar que 4n < n2 -7 para todo n ≥ 6.

Sea P(n) la proposición 4n < n2 -7

Como condición tenemos que n debe ser mayor o igual a 6.

Cuando n=6, tenemos que P(6) = 4(6) = 24 y 62 -7 = 36 – 7 = 29

Como 24 < 29 entonces P(6) es verdadera.

Supongamos que P(k) es verdadera, entonces, 4k < k2 -7 para k > 6 porque cuando es

igual a 6 ya se verificó que es verdadera.

Tenemos que demostrar que se cumple para n = k + 1

4(k+1) < (k+1)2 -7

Al realizar las operaciones tenemos que:

4k + 4 < k2 + 2k + 1 – 7

4k + 4 < k2 – 7 + (2k + 1)

Para que esta desigualdad se cumpla, podemos separar la desigualdad como:

4k < k2 – 7 y 4 < 2k + 1 para k ≥ 6, aplicando la propiedad de que a < b y c < d al sumar

cada miembro de la desigualdad tenemos que a + c < b + d

Entonces, 4 (k +1) < ( k2 + 2k + 1) – 7 = (k+1)2 – 7

Por lo tanto, por el principio de inducción P(n) es verdadero para todo n ≥ 6.



2.1.5 Método de demostración por contraejemplo

Este método se utiliza para demostrar que un argumento que pensemos que no es válido

realmente no es válido. Es decir, no se utiliza para demostrar la validez si no que para

demostrar la falsedad. Pero, el hecho de que no se pueda encontrar un contraejemplo no

significa la validez de un argumento, en este caso, se debe utilizar alguno de los métodos

de demostración de esta unidad que sirva para demostrar la validez del argumento. Con

un único contraejemplo es suficiente para demostrar la falsedad de un argumento.

Ejemplo:

Demostrar que ; (x + y)3 = x3 + y3

Debemos de encontrar dos pares de números que pertenezcan a los enteros y que no

cumplan la igualdad dada.

Si recuerdas como se desarrolla un binomio al cubo, te puedes dar cuenta

inmediatamente que no en todos los casos se va a cumplir esta igualdad.

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 fórmula del binomio al cubo

En la igualdad que tenemos que demostrar faltan dos términos que son 3x2y + 3xy2 para

que sea igual a la fórmula del binomio al cubo.

Si x = 1 y y = 1, la igualdad se cumple.

Si x = 2 y y = 2, en la igualdad que debemos demostrar no nos condicionan si x y y

pueden ser iguales pero deben ser números enteros.

(2 + 2)3 = 23+23 =

43 = 8 + 8 por lo tanto,

64 no es igual a 16.

Con este contraejemplo es suficiente para demostrar que la igualdad no es cierta pero

vamos a mostrar otro en el que los números x y y son diferentes.

Si x = 2 y y = 3

(2 + 3)3 = 23 +33



53 = 8 + 27

125 = 35

Por lo tanto, no es cierto que ; (x + y)3 = x3 + y3.

Ejemplo:

La suma de 5 enteros positivos consecutivos cualquiera es divisible por 9.

Como la condición que nos piden es que los números sean enteros positivos

consecutivos, podemos tomar a 1, 2, 3, 4 y 5.

1 + 2 + 3 +4 + 5 = 15

15 no es divisible por 9, porque no existe un número entero k tal que 9K = 15.

Como se encontraron cinco números positivos consecutivos para los cuales no se cumple

la fórmula, entonces queda demostrado por contraejemplo que el enunciado es falso.

2.1.6 Método de demostración por casos

En este método debemos tener presente lo que trabajamos en la unidad 1, puesto que

para demostrar que p → q es correcta, donde p es la fórmula p1 ˅ p2 ˅ … ˅ pn, se

demuestra que cada una de las deducciones p1 → q, p2 → q, …, pn → q se cumplan.

Ejemplo:

Teorema: sean a y b números reales, si a = 0 o b = 0 entonces a.b = 0

Suponemos que a = 0 o b = 0 esta es nuestra hipótesis a partir de esto vamos a

demostrar que a.b = 0. Pero, lo vamos a hacer por casos, es decir que si a = 0 entonces

a.b = 0 y si b = 0 entonces a.b = 0.

Primer caso:

Suponemos que a = 0

Tenemos que a.b = 0.b por nuestra segunda hipótesis

0.b = 0 Todo número multiplicado por cero es cero

a.b = 0 al sustituir 0.b = 0 en a.b = 0.b



Si a = 0 entonces tenemos que a.b = 0

Segundo caso:

Suponemos que b = 0

a.b = a.0 al sustituir a b

a.0 = 0 todo número multiplicado por 0 es cero

a.b = 0 porque a.0 = 0

Si b = 0 entonces a.b = 0

Por lo tanto, si a = 0 o b = 0 entonces a.b = 0.

En el método de demostración por casos puedes utilizar los diferentes métodos de

demostración que ya viste anteriormente, incluso el último método de demostración lo

puedes utilizar, pero en un problema que se va a poner de ejemplo se utilizó el método de

demostración por casos, por esa razón presentamos en este orden el contenido de la

unidad.

En el siguiente ejemplo, vamos a utilizar el método por reducción al absurdo.

Ejemplo:

Demuestre que si n no es múltiplo de 4.

Como n es número entero es par o impar por esa razón vamos a demostrar este teorema

en dos casos.

Primer caso:

Cuando n es par, es decir cuando se escribe de la forma n = 2k

Tenemos que demostrar que (2k)2 – 3 no es divisible por 4.

Supongamos que (2k)2 – 3 si es divisible por 4.

Entonces se puede expresar como el cociente de un número q.



Lo que significa que 4q + 3 es par porque 4k2 es par.

Pero 4q es par y 3 es impar y la suma de un número par con un impar es impar por lo que

tenemos una contradicción.

Por lo tanto, (2k)2 – 3 no es divisible por 4.

Segundo caso:

Si n = 2k + 1, debemos demostrar que (2k+1)2 – 3 no es divisible por 4.

Supongamos que si es divisible por 4, por lo que podemos expresarlo como el cociente de

un número q.

El primer miembro de la ecuación 2(k2+k) es un número par puesto que es el producto de

la suma de dos números enteros (k2+k) y el 2, por esta razón es un múltiplo de 2; mientras

que el segundo miembro es la suma de un número par más la unidad y la suma de un

número par con un número impar es impar.

Hemos llegado a una contradicción ya que , es decir, que 2q + 1 es

par y ya hemos demostrado que es impar.

Con los dos casos hemos demostrado que si n no es múltiplo de 4



2.1.7 Método de demostración por contraposición

Existe una gran cantidad de demostraciones que se realizan por medio de la implicación

lógica, las cuales pueden estar constituidas por una o varias hipótesis y una conclusión.

Los métodos como el de la demostración directa y por reducción al absurdo son los que

se utilizan para resolver este tipo de demostraciones. Aunque existen métodos por medio

de los cuales se resuelve la demostración de implicaciones matemáticas, no siempre es

posible demostrarlas con los métodos ya mencionados, para estos casos se cuenta con el

método por contraposición.

El método de demostración por contraposición lo utilizamos cuando queremos demostrar

una implicación lógica, este consiste en negar la hipótesis y la conclusión cambiándolas

de lugar en la implicación lógica, podemos representar simbólicamente este método de la

siguiente manera.

Si tenemos

Aplicando el método por contraposición a la implicación anterior demostraremos su

contrapositiva, la cual es la siguiente.

Como vimos en la primera unidad, la implicación lógica y su contrapositiva son

operaciones lógicas equivalentes, es decir, si demostramos que, la implicación lógica es

verdadera significa que entonces su contrapositiva también es verdadera y viceversa.

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Sean m y n dos números reales, si es un número impar, entonces m y n son

números impares.

Como vamos a demostrar este enunciado utilizando el método por contraposición,

entonces escribimos el enunciado en su forma contrapositiva, para esto, primeramente

identificamos las proposiciones que componen a la implicación lógica.

Sean p, q y r las siguientes proposiciones.

p: mn es un número impar.

q: m es un número impar

r: n es un número impar.



El antecedente de la implicación lógica es mn es un número impar, su negación sería que

mn no es un número impar, entonces, tenemos que:

¬p: mn es un número par.

Porque ya establecimos que mn no es impar, lo único que le queda es que sea par.

El consecuente de la implicación está formado por la conjunción de dos proposiciones, su

representación sería:

q ˄ r: m y n son números impares.

La negación del consecuente la realizamos utilizando las Leyes de Morgan, con esto la

conjunción nos quedaría de la siguiente manera.

¬(q ˄ r) = ¬q ˅ ¬r

Que significa:

¬(q ˄ r) = ¬q ˅ ¬r: m es un número par o n es un número par.

De esta manera tenemos que la contrapositiva del enunciado que vamos a demostrar es:

Sean m y n dos números reales, si m o n son números pares, entonces mn es un

número par.

La demostración de este enunciado será el mismo valor de verdad que el enunciado del

ejemplo.

Entonces por hipótesis tenemos:

m y n son número reales.

m o n son número pares.

Como tenemos que m o n son pares o ambos lo son, vamos a analizar por casos lo que

ocurre al operar con ellos en distintas situaciones.

Primer caso:

Cuando m y n son pares.



En este caso, es obvio que mn será un número par, ya que el producto de números pares

es un número par, matemáticamente lo podemos ver de la siguiente manera.

Sean:

m = 2

n = 2

mn = (2 )( 2 ) = 4( )

Cualquier número que sea múltiplo de 4 es un número par, lo cual significa que mn es un

número par.

Podemos concluir en este caso que el enunciado es verdadero.

Segundo caso:

Uno de los números es par y el otro es impar.

Si m es par y n es impar.

Sean:

m = 2

n = 2 + 1

mn = 2 (2 + 1), mn = 4 + 2 , mn = 2(2 + )

Dado que 2 + es un número, su producto por 2 nos da como resultado un número

par, por esta razón, mn es un número par.

En este caso, el enunciado es verdadero. Si hubiéramos elegido a n par y a m impar el

resultado sería el mismo, porque al final de cuentas es la multiplicación de un par por un

impar y la multiplicación es conmutativa.

En ambos casos obtuvimos que el enunciado contrapositivo es verdadero. Por lo tanto, el

enunciado:

Sean m y n dos números reales, si mn es un número impar, entonces m y n son

números impares.

Es verdadero.



Tal y como podemos apreciar el método de demostración por contrapositiva es un método

indirecto ya que no trabaja directamente sobre las proposiciones originales, sino que

trabaja sobre sus negaciones.

Ejemplo:

Sea n un número entero. Demostrar que si n3 es impar, entonces n es impar.

Primero hay que identificar las proposiciones que componen el enunciado.

p: n3 es impar

q: n es impar

La negación de las proposiciones sería:

¬p: n3 es par

¬q: n es par

La contrapositiva del enunciado se expresa de la siguiente manera:

Si n es par, entonces n3 también es par.

Tomando la hipótesis de la contrapositiva, tenemos:

n es par, es decir, que en los enteros tal que:

n = 2k

(el símbolo , significa que existe un k).

Al realizar las operaciones con n, tenemos lo siguiente:

n2 = (2k)(2k)

n = 4k2

n = 2(2k2)

Como n2 es un múltiplo de 2, entonces n2 es par.

n3 = (n2)(n)

n3 = (4k2)(2k)

n3 = 2(4k3)



Como 4k3 representa un producto de números enteros, su resultado también es un

número entero, entonces tenemos que n3 es el doble producto de un entero, es decir, es

un múltiplo de 2, por esta razón n3 es un número par.

Por lo tanto, hemos demostrado que:

si n es par, entonces n3 también es par

y como es equivalente con su contraposición, entonces es verdadero el enunciado:

Sea n un número entero. Demostrar que si n3 es impar, entonces n es impar.

Con este ejemplo, terminamos esta sección, cabe mencionar que el método por

contraposición generalmente se utiliza combinado con otros métodos, como es el caso del

primer ejemplo, donde lo combinamos con el método de demostración por casos.

Actividad 1. Características de los métodos de demostración

A través de esta actividad podrás diferenciar las características entre cada uno de los métodos de demostración, además de argumentar en qué casos se utiliza uno u otro. instrucciones

1. De acuerdo a lo visto en los temas anteriores de la unidad, investiga que características tiene cada uno de los métodos de demostración, presenta un ejemplo de demostración de cada uno de ellos y argumenta las razones por las cuales se desarrolla la demostración por ese método.

2. Ingresa al foro y anota los ejemplos de demostración de cada método y el argumento por el cual lo demostraste con ese método.

3. Revisa las respuestas de dos de tus compañeros aceptando o rechazando su

respuesta.

Nota: Antes de participar en el foro, recuerda consultar la Rúbrica general de participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.

Actividad 2. Métodos de demostración A través de esta actividad podrás demostrar cinco enunciados, utilizando diferentes métodos de demostración. Instrucciones

1. Descarga el documento llamado “Actividad.2. Métodos de demostración”



Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación. Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

Autorreflexiones

Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de

autorreflexión y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de

2. Demuestra cada uno de los enunciados presentados en el documento.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MIPM_U2_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación.

Evidencia de aprendizaje. Aplicación de los métodos de demostración

Ha llegado el momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde podrás demostrar

un lema, un teorema y un corolario, para ello:

Instrucciones:

1. Descarga el documento llamado “EA_ Aplicación de los métodos de demostración”.

2. Demuestra los enunciados correctamente que se te plantean en el documento.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MIPM_U2_EA_XXYZ.

Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu

facilitador(a), atiende sus comentarios y renvía la nueva versión de tu evidencia.

Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.



ellos debes elaborar tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones.

No olvides que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad

En matemáticas, para que un resultado se considere válido debe ser demostrado de

manera formal. Para verificar si el procedimiento es correcto utilizas la lógica matemática.

Ya que una pequeña falla o un argumento erróneo en el proceso de demostración no

permite el paso de la hipótesis a la tesis o de la tesis a la hipótesis dependiendo del tipo

de método de demostración que se utilice en cada caso.

Cada uno de los métodos de demostración que se vieron en la unidad, tienen

características comunes o diferentes pero cada uno de ellos tiene un propósito que es

demostrar la validez de un enunciado. Saber utilizar cada tipo de método en cada tipo de

enunciado que se te presente, es un reto que has comenzado a realizar al trabajar con las

bases de cada tipo de método y que mejorarás a lo largo de tu carrera.

Para saber más

Puedes revisar el siguiente material para que refuerces lo aprendido. Este material ofrece

métodos de demostraciones, sus características y diversos ejemplos que te permitirán

reforzar los conocimientos obtenidos durante la unidad.

Linero A. (2011). “La demostración en matemáticas” España. Recuperado de

http://www.um.es/docencia/jsimon/depmat/2012-2013/CyN/Linero-

DemostracionMatematicas(jsimon).pdf

Fuentes de consulta

Solow, D. (1993). “Cómo entender y hacer demostraciones en Matemáticas”

México. Limusa.

Lehmann, C. (2001). “Geometría Analítica, Solucionario” Lima. América.

Spivak, M. (1992). “Cálculo Infinitesimal” España. Reverté

.

http://www.um.es/docencia/jsimon/depmat/2012-2013/CyN/Linero-DemostracionMatematicas(jsimon).pdf

http://www.um.es/docencia/jsimon/depmat/2012-2013/CyN/Linero-DemostracionMatematicas(jsimon).pdf

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U2. metodos de_demostracion

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