Date post: | 27-Jun-2015 |
Category: |
Education |
Upload: | jmancisidor |
View: | 2,921 times |
Download: | 0 times |
MATEMATIKA I IBATXILERGOA
UD4: GEOMETRIA
UD4:GEOMETRIA - H1
1.1. Puntuaren adierazpena:
1. Puntua, zuzena eta planoen adierazpen matematikoa
O jatorria ezarrita, espazioko edozein X puntuk OX bektorea zehazten du. Orokorrean, A puntua adierazteko beraz bektorearen 3 koodenadak erabiliko ditugu;
Puntuaren adierazpena
UD4:GEOMETRIA - H1
Zuzenki baten erdiko puntua:
1. Puntua, zuzena eta planoen adierazpen matematikoa
Adibidez; Bila ezazu bi puntu hauek osatzen duten zuzenkiaren erdipuntua; A (1,2,4) eta B (2, -1, 2)
Puntuaren adierazpena
UD4:GEOMETRIA - H1
Puntu baten simetrikoa beste puntu batekiko:
1. Puntua, zuzena eta planoen adierazpen matematikoa
Adibidez; Bila ezazu A puntuaren simetrikoa B puntuarekiko; A (1,2,4) eta B (2, -1, 2)
Puntuaren adierazpena
UD4:GEOMETRIA - H1
1.2. Zuzenaren adierazpena:
1. Puntua, zuzena eta planoen adierazpen matematikoa
Zuzen baten adierazpenarako ekuazioak zehazteko, beharrezkoak dira gutxienez PUNTU BAT eta BEKTORE BAT.Demagun puntu bat eta bektore bat;
Zuzenaren adierazpena
EKUAZIO BEKTORIALA:
EKUAZIO PARAMETRIKOAK:
UD4:GEOMETRIA - H1
1. Puntua, zuzena eta planoen adierazpen matematikoa
Zuzenaren adierazpena
EKUAZIO JARRAITUAK:
EKUAZIO INPLIZITUAK:Aurreko ekuazioetatik binaka berdinketak askatzen baditugu, honelako itxurako ekuazioetara iritxiko gara;
UD4:GEOMETRIA - H1
1.3. Planoaren adierazpena:
1. Puntua, zuzena eta planoen adierazpen matematikoa
Plano baten adierazpenarako ekuazioak zehazteko, beharrezkoak dira gutxienez PUNTU BAT eta BI BEKTORE.Demagun puntu bat eta bi bektore;
Planoaren adierazpena
EKUAZIO BEKTORIALA:
EKUAZIO PARAMETRIKOAK:
UD4:GEOMETRIA - H1
1. Puntua, zuzena eta planoen adierazpen matematikoa
Planoaren adierazpena
EKUAZIO INPLIZITUA:Aurrekotatik eragiketa hau egitearen ondorioz bila daitezke;
PLANO BATEN BEKTORE NORMALA (EDO ELKARTUA):
Aurreko ekuazioa duen plano bat emanda, planoaren bektore normala edo elkartua deitzen zaio honako bektoreari:
Honek aukera berri bat eskeintzen digu plano bat bilatzeko planoko puntu bat eta bektore normala ezagutu ezkero.
UD4:GEOMETRIA - H1
1.4. Zuzen bat eta plano baten arteko ebakidura: puntu bat.
1. Puntua, zuzena eta planoen adierazpen matematikoa
Demagun zuzen bat eta plano bat ematen dizkigutela. Pauso hauek jarraituz kalkulatu dezakegu ebaki puntua;
r ∩ π A
1. Zuzenaren ekuazio parametrikoak bilatu.2. Planoaren ekuazio inplizitua bilatu.3. Zuzenaren x, y, z balioak planoaren ekuazioan
ordezkatu eta λ askatu.4. λ horren balioa x, y eta z ezezagunetan
ordezkatuz, A puntua lortzen dugu.
Adibidea; Kalkula ezazu r zuzena eta π planoaren arteko ebaki puntua;
UD4:GEOMETRIA – H2
2.1. Bi zuzenen arteko posizio erlatiboak:
2. Posizio erlatiboak
Posizio erlatiboak
Demagun bi zuzen ditugula:
Beraiekin honako matrizea osatuko dugu:
Matrize hauen heinak kontutan izanik:
Heina(M) Heina (M/N) Sistema Posizio erlatiboa Irudia
2 3 Bateraezina
Elkar gurutzatu
UD4:GEOMETRIA – H2
2.1. Bi zuzenen arteko posizio erlatiboak:
2. Posizio erlatiboak
Posizio erlatiboak
Heina(M) Heina (M/N) Sistema Posizio erlatiboa Irudia
2 2 SBD Ptu batean ebaki
1 2 Bateraezina Paraleloak
1 1 SBI Bat datoz
UD4:GEOMETRIA – H2
2.2. Zuzen bat eta plano baten arteko posizio erlatiboak:
2. Posizio erlatiboak
Posizio erlatiboak
Demagun zuzen bat eta plano bat ditugula:
Beraiekin honako matrizea osatuko dugu:
Matrize hauen heinak kontutan izanik:
UD4:GEOMETRIA – H2
2.2. Zuzen bat eta plano baten arteko posizio erlatiboak:
2. Posizio erlatiboak
Posizio erlatiboak
Heina(M) Heina (M/N) Sistema Posizio erlatiboa Irudia
3 3 SBD r ∩ π A
2 3 Bateraezina r // π
2 2 SBI r Є π
UD4:GEOMETRIA – H2
2.3. Bi planoen arteko posizio erlatiboak:
2. Posizio erlatiboak
Posizio erlatiboak
Demagun bi plano ditugula:
Beraiekin honako matrizea osatuko dugu:
Matrize hauen heinak kontutan izanik:
Heina(M) Heina (M/N) Sistema Posizio erlatiboa Irudia
2 2 SBI π1 ∩ π2 r
UD4:GEOMETRIA – H2
2.3. Bi planoen arteko posizio erlatiboak:
2. Posizio erlatiboak
Posizio erlatiboak
Heina(M) Heina (M/N) Sistema Posizio erlatiboa
Irudia
1 2 Bateraezina π1 // π2
1 1 SBI π1 π2
UD4:GEOMETRIA – H2
2.4. Hiru planoen arteko posizio erlatiboak:
2. Posizio erlatiboak
Posizio erlatiboak
Demagun hiru plano ditugula:
Beraiekin honako matrizea osatuko dugu:
Matrize hauen heinak kontutan izanik:
Heina(M) Heina (M/N) Sistema Posizio erlatiboa Irudia
3 3 SBD Ptu batetan ebaki
UD4:GEOMETRIA – H2
2.4. Hiru planoen arteko posizio erlatiboak:
2. Posizio erlatiboak
Posizio erlatiboak
Heina(M) Heina (M/N) Sistema Posizio erlatiboa Irudia
2 3 Bateraezina
π1 // π2 eta 3ak ebaki
Binaka ebakitzen dira
UD4:GEOMETRIA – H2
2.4. Hiru planoen arteko posizio erlatiboak:
2. Posizio erlatiboak
Posizio erlatiboak
Heina(M) Heina (M/N) Sistema Posizio erlatiboa Irudia
2 2 SBI
π1 = π2 eta besteak zuzen batean
ebakitzen ditu.
3 planoek zuzen batean ebakitzen
dute elkar
UD4:GEOMETRIA – H2
2.4. Hiru planoen arteko posizio erlatiboak:
2. Posizio erlatiboak
Posizio erlatiboak
Heina(M) Heina (M/N)
Sistema Posizio erlatiboa Irudia
1 2 S BATERAEZINA
π1 = π2 // π3
π1 // π2 // π3
UD4:GEOMETRIA – H2
2.4. Hiru planoen arteko posizio erlatiboak:
2. Posizio erlatiboak
Posizio erlatiboak
Heina(M) Heina (M/N)
Sistema Posizio erlatiboa Irudia
1 1 SBI π1 = π2 = π3
UD4:GEOMETRIA – H3
3.1. Bektoreak:
3. Espazio euklidearra
Bektoreak
• Demagun v bektorea dugula;
V bektorearen modulu ala norma deitzen diogu honako zenbaki positiboari;
• Biderkadura eskalarra; (Bektoreen arteko angelua)
• Biderkadura bektoriala; • Modulua; biderkaduraren emaitza.• Norabidea; bi bektoreei elkartzuta.• Norantza; torlojuaren erregelaren araberakoa
UD4:GEOMETRIA – H3
3.2. Angeluak:
3. Espazio euklidearra
Angeluak
• Zuzenen arteko angelua;
vr eta vs bektoreen arteko angelua da.
• Zuzen baten eta plano baten arteko angelua;
vr eta n bektoreen arteko angelua da .
= 90º -
• Bi planoen arteko angelua;
n eta n bektoreen arteko angelua da.
UD4:GEOMETRIA – H3
4.1. A puntuak planoan duen proiekzio ortogonala:
4. Proiekzio ortogonalak
Proiekzio ortogonalak
Izanik; A eta , honako pausoak jarraituko ditugu:
1. An = vr
2. r ∩ A´ aurkitu.
r zuzena bilatu.
4.2. A puntuak r zuzenean duen proiekzio ortogonala:
Izanik; A eta r, honako pausoak jarraituko ditugu:
1. Avr = n
2. r ∩ A´ aurkitu.
r zuzena bilatu.
UD4:GEOMETRIA – H3
4.3. r zuzenak ala AB zuzenkiak planoan duen proiekzio ortogonala:
4. Proiekzio ortogonalak
Proiekzio ortogonalak
Izanik; r eta , honako pausoak jarraituko ditugu:
1. r ∩ P P´
2. R zuzeneko A puntu bat aukeratu.
3. A puntuaren proiekzioa bilatu; A´.
4. A´ eta P´ puntuetatik igarotzen den r´zuzena bilatu.
UD4:GEOMETRIA – H3
5.1. A puntuaren simetrikoa planoarekiko:
5. Simetriak
Simetriak
Izanik; A eta , honako pausoak jarraituko ditugu:
1. A puntuaren proiekzio ortogonala bilatu A´
2. A puntuaren simetrikoa A´-rekiko bilatu A´´
5.2. A puntuaren simetrikoa r zuzenarekiko:
Izanik; A eta r, honako pausoak jarraituko ditugu:
1. A puntuaren proiekzio ortogonala bilatu A´
2. A puntuaren simetrikoa A´-rekiko bilatu A´´
UD4:GEOMETRIA – H3
5.3. Zuzenki baten simetrikoa planoarekiko:
5. Simetriak
Simetriak
Izanik; AB eta , honako pausoak jarraituko ditugu:
1. A puntuaren proiekzio ortogonala bilatu A´ 2. A puntuaren simetrikoa A´-rekiko bilatu A´´3. B puntuaren proiekzio ortogonala bilatu B´ 4. B puntuaren simetrikoa A´-rekiko bilatu B´´5. A´´ eta B´´ puntuetatik igarotzen den zuzenkia.
5.4. A puntuaren simetrikoa r zuzenarekiko:
Izanik; r eta π, honako pausoak jarraituko ditugu:
1. P puntuaren simetrikoa P P´ P´´ 2. A puntuaren simetrikoa planoarekiko A´´3. A´´eta P´´ puntuetatik igarotzen den zuzena r´´
UD4:GEOMETRIA – H3
6.1. Bi puntuen arteko distantzia:
6. Espazio metrikoa
Distantziak
Izanik; A eta B, honako pausoak jarraituko ditugu:
6.2. A puntutik π planorainoko distantzia:
Izanik; A eta π, honako pausoak jarraituko ditugu:
Hala zuzenean:
6.3. Plano paraleloen arteko distantzia:
1. π planoaren A puntu bat aukeratu.2. A-ren proiekzioa bilatu -ren gainean A´3. AA´ distantzia kalkulatu.
UD4:GEOMETRIA – H3
6.4. Zuzen batetik puntu baterainoko distantzia:
6. Espazio metrikoa
Distantziak
1. A puntuaren proiekzioa bilatu r zuzenarengan. A´
2. A A´distantzia bilatu.
6.5. Zuzen batetik plano baterainoko distantzia (r // π):
1. r zuzeneko A puntu bat aukeratzen dugu.
2. A puntuaren proiekzioa bilatu π planorengan. A´
3. A A´distantzia bilatu.
6.6. Bi zuzenen arteko distantzia (r // s):
1. r zuzeneko A puntu bat aukeratzen dugu.
2. A puntuaren proiekzioa bilatu s zuzenarengan. A´
3. A A´distantzia bilatu.
UD4:GEOMETRIA – H3
6.7. Elkar gurutzatzen diren bi zuzenen arteko distantzia:
6. Espazio metrikoa
Distantziak
1. r zuzenari paraleloa den eta s zuzena barne duen π planoaren ekuazioa bilatu.
vr vs n s zuzeneko P puntua planoa bilatu
2. A Є r puntu bat aukeratu.
3. A eta π-ren arteko distantzia kalkulatu.