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Un vector fijo es un segmento orientado determinado por dos puntos. Vectores En todo vector...

Date post: 23-Jan-2016
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ector fijo es un segmento orientado determinado por dos puntos. Vectores do vector distinguiremos: el módulo, la dirección y el sentido. Los vectores que tienen la misma dirección, mismo sentido y mismo módulo se llaman equipolentes . Módulo: distancia del origen al extremo Dirección: determinada por la recta que contiene al vector y sus paralelas. Sentido: el que va del origen al extremo
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Page 1: Un vector fijo es un segmento orientado determinado por dos puntos. Vectores En todo vector distinguiremos: el módulo, la dirección y el sentido. Los vectores.

Un vector fijo es un segmento orientado determinado por dos puntos.

Vectores

En todo vector distinguiremos: el módulo, la dirección y el sentido.Los vectores que tienen la misma dirección, mismo sentido y mismo módulo se llaman equipolentes.

Módulo: distancia del origen al extremoDirección: determinada por la recta que contiene al vector y sus paralelas.Sentido: el que va del origen al extremo

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Componentes de un vector

Se obtienen restando a las coordenadas del extremo del vector las coordenadas de su origen.

ABSi consideramos el vector

Coordenadas del origen son A = (1,3) y las del extremo son B = ( 3,5)

)2,2()35,13( AB

Componentes:

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CDSi consideramos el vector

Coordenadas del origen son C = (3,3) y las del extremo son D = ( 4,4)

)1,1()34,34( CD

Componentes:

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GHSi consideramos el vector

Coordenadas del origen son G = (3,2) y las del extremo son H = (1,0)

)2,2()20,31( GH

Componentes:

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PQLMJK ,,Los vectores son equipolentes. Observa que tienen las mismas

componentes.

¿Cuáles son? (3,-1)

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Módulo de un vector

Tomemos por ejemplo el vector AB

Coordenadas del origen son A = (1,1) y las del extremo son B = ( 5,4)

)3,4()14,15( AB

Componentes:

Las componentes se corresponden con las medidas de los catetos. Por Pitágoras:

52534 22 AB

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Tomemos por ejemplo el vector EF

Coordenadas del origen son E = (2,1) y las del extremo son F = ( 1,4)

)3,1()14,21( EF

Componentes:

Las componentes se corresponden (con signo positivo) con las medidas de los catetos. Por Pitágoras:

103)1(31 2222 scomponenteAB

En general, dado un vector ),( baAB su módulo será:22 baAB

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Ejemplos

1.-Sean los puntos A ( -1,3), B (3,0), C(2,-2) , D (6,-5). Calcula las componentes, módulos, y representa los vectores BCCDAB ,,

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2.-Dados los puntos A(0,0) B(1,1) C(0,2). Calcula las coordenadas del punto D

para que los vectores CDAB, sean equipolentes.

)1,1()01,01( AB

)1,1(CD

Para que sean equipolentes tendrán que tener las mismas componentes

Ahora bien, como

CDCD

(1,1) = D – (0,2)

D = (0,2) + (1,1)

D = (1,3)Las coordenadas finales se obtienen sumando a las iniciales el “camino recorrido” (las componentes)

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Un vector libre es un representante del conjunto de vectores equipolentes a él. A partir de ahora cuando hablemos de vector supondremos que es un vector libre.

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Operaciones con vectores

Suma

Consideremos los vectores

)5,2(u

)1,4(v

)6,2()15),4(2()1,4()5,2( vu

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Opuesto de un vector

Consideremos el vector )3,2(u

su opuesto es )3,2( v

Dos vectores opuestos tienen el mismo módulo, misma dirección y sentido contrario.

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Resta

Consideremos los vectores

)5,2(u

)1,4(v

)4,6()15,42()1,4()5,2( vu

Directamente:

)4,6()15),4(2()1,4()5,2( vu

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Ejemplo

Calcula la suma y diferencia de los vectores

)2,0(v

)3,3(u

)5,3()23,03()2,0()3,3( vu

)1,3()23,03()2,0()3,3( vu

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• Suma:

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• Resta:

)2,0( v

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• Multiplicación de un vector por un número

Consideremos el vector )1,2( u

)2,4()1,2(22 u

)3,6()1,2(33 u

2

1,1)1,2(

2

1

2

1u

)1,2()1,2(11 u

)3,6()1,2(33 u

Si multiplicas un vector por un número el vector resultante no cambia de dirección, se alarga o encoge si el número es positivo. Si el número es negativo el vector resultante además cambia de sentido.

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Efectúa vu

32

)2,6(u

)1,2(v

2 · (6,2) + 3 · (-2,1) = (12,4) + (-6,3) = (6, 7)

Efectúa uv

- ( -2,1) – (6,2) = (2, -1) – ( 6,2) = (-4, -3)

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Efectúa gráficamente vu

32

)2,6(u

)1,2(v

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)2,6(u

)1,2(v

Efectúa gráficamente uv

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Traslación de un punto mediante un vector

AAu ´

uAA

´

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Ejemplo

Calcula los puntos que se obtienen trasladando el punto A(-2,0) mediante los vectores:

)2,0(u

A´= (-2,0) + (0,2) = (-2,2)

)0,2(u

A´= (-2,0) + (2,0) = (0,0)

)2,1(u

A´= (-2,0) + (-1,2) = (-3,2)

)1,3( u

A´= (-2,0) + (3,-1) = (1,-1)

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Distancia entre dos puntos

Consideramos los puntos A(1,-4) y B(3,-5). La distancia que hay entre ellos es el módulo del vector

(3-1, -5-(-4)) = (2,-1) AB

5)1(2),( 22 ABBAd

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1.-Calcula el perímetro de un triángulo equilátero que tiene dos vértices situados en los puntos A(0,0) y B(-3,-2)

(-3-0,-2-0) = (-3, -2) AB

13)2()3(),( 22 ABBAd

133Perímetro =

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2.-Determina el área de un cuadrado si sabes que dos vértices consecutivos son los puntos A(-1,1) y B(3,4)

:AB (3- (-1),4-1) = (4, 3)

52534),( 22 ABBAd

Área = lado · lado = 5 · 5 = 25

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3.-Calcula la diagonal del rectángulo

:AC ( 6, -4)

22 )4(6),( ACCAd

521636

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Punto medio de un segmento

Calculemos M el punto medio del segmento AB siendo A = (-2,3) y B(0,-1)

1º.- Determinaremos el vector AB

2º.- Determinaremos el vector ABAM 2

1

3º.- Trasladaremos el punto A mediante el

vector AM

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)2,1()4,2(2

1AM

M = A+ AM = (-2,3) + (1,-2) = (-1,1)

AB (0 – (-2) , -1 – 3) = (2, -4)

También se podría calcular M de forma directa:

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)1,1(2

)1(3,

2

02

M

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Sin la fómula:

AB (7 – (-4) , 6 – 5) = (11, 1)

A(-4,5) B(7,6)

2

1,

2

11)1,11(

2

1AM

AMAM

2

1,

2

11)5,4(

2

15,

2

114

2

11,2

3

2

11,2

3

2

65,

2

74MCon la fórmula:

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2.-Determina los puntos que dividen al segmento de extremos A(-1,0) y B(2,-3) en tres partes iguales.

El punto C se obtiene trasladando el

punto A mediante el vector AC

que es la tercera parte del vector AB

(2 – (-1) , -3 – 0) = (3, -3) AB

1,1)3,3(3

1AC

1,01,1)0,1( ACAC

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1,0 C

El punto D se obtiene trasladando el

punto C mediante el vector CD

cuyas componentes son las mismas

que las de AC

2,11,1)1,0( ADCD

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De la fórmula deducimos que:

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Vectores paralelos

Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección

)1,3()21),2(1( AB

)2,6())1(3),2(4( CD

)5.0,5.1()5.01),5.0(2( FG

5,1

5,0

6

2

3

1

En general, dos vectores

),( 21 uuu

),( 21 vvv

son paralelos cuando 1

2

1

2

v

v

u

u

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1.-Determina cuales de los siguientes vectores son paralelos.

)1,1( u

)4,2( v

)3,3( w

)4,2(n

no es paralelo a u

)4,2( v

ni a )4,2(n

ya que 2

4

1

1

y

2

4

1

1

u

es paralelo a )3,3( w

ya que 3

3

1

1

v

es paralelo a )4,2(n

ya que 2

4

2

4

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2.- Comprueba si A(1,2) B(0,0) C(3,5) pueden ser los vértices de un triángulo.

)2,1()20,10( AB

)3,2()25,13( AC

2

3

1

2

No son paralelos por tanto los tres puntos pueden construir un triángulo.

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3.- Comprueba si A( -2,0) B(1,1) C(-5,-1) pueden ser los vértices de un triángulo.

)1,3()01),2(1( AB

)1,3()01),2(5( AC 3

1

3

1

Son paralelos por tanto los tres puntos están alineados. No pueden construir un triángulo.

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(-1,-1) · (2,-2) = -2 + 2= 0

El producto escalar es cero, por tanto son perpendiculares. El triángulo es rectángulo.

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