1.- Movemento Ondulatorio. Clases de onda! 22.- Ondas Harmónias. Función de onda unidimensional! 33.- Enerxía! 5
.............................................................................................................3.1.- Absorción! 64.- Principio de HUYGENS! 6
..............................................................................................................4.1.- Reflexión! 6
............................................................................................................4.2.- Refracción! 75.- Interferencias! 7
.........................................................................................5.1.- Experimento de Young! 8
............................................................................................5.2.- Ondas estacionarias! 96.- Difracción! 117.- Polarización! 118.- Son! 12
...............................................................................................8.1.- Calidades do son! 12
...........................................................................................8.2.- Eco e reverberación! 13
..............................................................8.3.- Ondas sonoras estacionarias en tubos! 13
................................................................................................8.4.- Efecto DOPLER! 13
.................................................................................................8.5.- Onda de choque! 14
ONDAS
1
• 1.- Movemento Ondulatorio. Clases de onda! Que é unha onda? Para moita xente, a palabra “onda” trae á mente unha descrición dun océano, coas ondas procedentes do mar aberto varrendo as praias. Ao ver as cristas cabalgando, adquírese un certo sentido de asalto masivo da auga sobre a terra, e verdadeiramente as ondas poden facer un gran dano, o que equivale a dicir que son portadoras de enerxía. Pero a pesar de todo, cando as ondas xa romperon e volven atrás, a auga está praticamente no mesmo sítio no que estaba antes respeito da praia. A avalancha cara adiante non significa un movimento físico da auga. En realidade, o mar xogou un papel de axente mediante o cal transmite un certo efecto. E aquí temos a característica esencial do que se denomina movimento ondulatório.! Unha onda é unha perturbación que se propaga no espazo, transmite unha propiedade dun lugar a outro a través dun medio, pero o medio en si mesmo non se transporta. Pode relacionarse un efecto local a unha causa distante e existe unha diferenza de tempo entre a causa e o efecto que depende das propiedades do medio e que atopa a súa expresión na velocidade da onda. Todos os medios materiais (sólidos, líquidos e gases) poden transportar enerxia e información por medio de ondas.! As magnitudes físicas que definen a perturbación poden ser unha deformación elástica ou unha sobrepresión en acústica, campos eléctricos e magnéticos, unha probabilidade de presenza en mecánica cuántica, etc. Os fenómenos ondulatorios están descritos por unha función Ψ(r, t), que se denomina función de ondas, e pode ser escalar ou vectorial, e que satisfai unha ecuación en derivadas parciais denominada “ecuación de ondas”. ! Nun instante dado Ψ(r, t) é unha función da posición; nun punto dado Ψ(r, t) é unha función do tempo.! Un movemento ondulatorio é unha función dobremente periódica, no tempo e no espazo.! Se a función de ondas non necesita un medio para propagarse denomínase onda electromagnética. Se precisa un medio para propagarse, denomínase onda mecánica. As ondas mecánicas pasan a través dun medio porque cada átomo está ligado a unha posición de equilibrio por forzas de orixe electromagnética. Cando son perturbadas actúan da mesma forma que as masas unidas por resortes: unha perturbación nun deles pasa ao seguinte e así sucesivamente.! A velocidade de propagación depende da natureza do medio e da conexión entre as partículas.
Clases de ondas:a) onda lonxitudinal: a vibración das partículas do medio realízase no sentido da propagación. Por exemplo, as ondas acústicas.b) onda transversal: a vibración da perturbación é perpendicular á dirección de propagación. Non precisa un medio para propagarse.
E
B Propagación
Propagación
Lonxitudinal Transversal
Ondas
2
Consideremos unha perturbación Ψ que se propaga cara á dereita segundo o eixe X, cunha velocidade constante, se o medio é homoxéneo e isótropo, sen amortecemento.
t=t2t=t1
x1
x2
Representación da perturbación Ψ en función de x nos instantes t=t1 e t=t2 !! Se Ψ (x1, t1) = Ψ(x2, t2) , o punto x1 no tempo t1 ten a mesma perturbación que o punto x2 no tempo t2, e pódese escribir a seguinte relación x2 - x1 = v(t2 - t1), v t2 - x2 = v t1 - x1 , t2 - x2 / v = t1 - x1 / v,
! A función de ondas é unha función de t - x/v, tempo de vibración, que se denomina fase da onda.! ! ! ! Ψ(x,t) = f(t - x/v)
! En x=0 Ψ(0,t) = f( t0 ) , se se coñece o valor da función na orixe, coñécese a perturbación en calquera punto e tempo.
• 2.- Ondas Harmónias. Función de onda unidimensional
! No punto x = 0 prodúcese unha perturbación harmónica, realiza un M.H.S. O valor da perturbación é: W(0,t) = f(t0) = Asen(~t0+{)A perturbación nun punto P e nun tempo t é:
W(x,t) =W(0,t) = f(t0) = Asen(~t0+{)sendo t0 o tempo que nos permite superpoñer a onda en P coa onda en x =0, o punto P e a orixe teñen a mesma función de ondas.
�
to = t − xv
Eliximos! !
W(x,t) = Asen ~(t - vx )+{9 C Para simplificar calculos consideraremos que { = 0
Esta función é periódica no tempo A sen~t0 = Asen~ t0+T^ h ao introducir o período prodúcese no ángulo un aumento de 2 r ! ~ t0+T^ h=~t0+2r
ONDAS
3
�
ω = 2πT
frecuencia angular, representa o cambio de fase co tempo.
W(x,t) = A sen T2r (t - v
x ) = A sen2r(Tt - Tv
x )
Definimos lonxitude de onda como o espazo percorrido pola onda durante un período m = vT
�
Ψ(x,t) = A sen 2π(tT
− xλ
)
Presenta periodicidade no espazo, para t = cte
W(x,t) = W(x+a,t)
A sen2r mx = A sen2r m
x+a
! Ao introducir o período espacial prodúcese un aumento en 2 r no ángulo.
�
2πxλ
+ 2π = 2π x + αλ
⇒ 2πx + 2πλλ
= 2πx + 2παλ
⇒ λ = α
! ! O período espacial é a lonxitude de onda.
W(x,t) = A sen2r(Tt - m
x) = A sen( T2rt - m
2rx)
�
K = 2πλ
Definimos nº de onda coa expresión !
representa a velocidade de cambio de fase coa distancia. A medida que nos movemos no espazo nun tempo fixo, a fase cambia.
É a parte imaxinaria da función
�
Ψ(x, t) = A ei(ω t-k x)
De haber fase inicial
W(x,t) = Aei ~t-Kx+{^ h
Os puntos do medio realizan un M.H.S de amplitude A e frecuencia anguar w.
! Os puntos de igual fase veñen dados por wt - Kx = cte . Os puntos x correspondentes a instantes de tempo determinados que verifican a relación dirase que son puntos con igual fase e ademais a función de onda toma o mesmo valor. Estes desprázanse cunha velocidade que se denomina velocidade de fase
~t - kx = cte derivando dtdx = k
~ = 2rm
2rT = T
m , vf =v
Denomínase “fronte de ondas” o lugar xeométrico de puntos do espazo que teñen igual perturbación, é dicir, que están en fase. Poden ser
�
Ψ(x,t ) = A sen(ω t - kx)
Ondas
4
Planas: o lugar xeométrico é un plano, son os frontes de onda das ondas unidimensionales.Esféricas: o lugar xeométrico é unha esferaDous puntos de frentes de onda distntos están en fase nun determinado instante se a diferenza de fase é un múltiplo par de pi
~t -m2r x1c m- ~t -
m2r x2c m= 2rn
m2r x2 - x1] g= 2rn
x2 - x1 = nm A diferenza das súas distancias ao foco é un nº enteiro de lonxitudes de onda. A ecuación de ondas unidimensional é:
2x222W - v2
12t222W = 0
• 3.- Enerxía
! Unha das características das ondas é que transmiten enerxía. A enerxía transmitida polo foco distribúese por todo o espazo por onde se propaga o movemento ondulatorio. ! Consideremos que o foco realiza un MHS e que xera unha onda harmónica que se propaga por un medio material, transmitindo a enerxía ás partículas do medio. A enerxía total transmitida vén dada pola expresión
E = 21KA2 = 2
1m ~2A2 = 21m 4 r2f2A2
A enerxía transmitida é proporcional ao cadrado da amplitude e da frecuencia.! Canto maior se vai facendo a superficie de propagación da onda, menor é a enerxía que lle corresponde por unidade de superficie.! Definimos intensidade de onda como a enerxía que na unidade de tempo atravesa a unidade de superficie perpendicular á dirección de propagación da onda.
Foco
F.O.1
F.O.2
I =TS $TtTE =
TSPotencia = cte f2A2
Para unha superficie S1 I1 = TS1 $TtTE1 = 4rR1
2TtTE1
Para unha superficie S2 I2 = TS2 $TtTE2 = 4rR2
2TtTE2
Como a enerxía nas dúas superficies é a mesma
I2I1 = R1
2R2
2
Para as ondas esféricas, a intensidade é inversamente proporcional ao cadrado da distancia ao foco. Tendo en conta a relación entre a intensidade e a amplitude, podemos escribir
A2
A1 = R1
R2
A amplitude dunha onda esférica é inversamente proporcional á distancia ao foco.Nunha onda bidimensional(ondas na auga)
ONDAS
5
As ondas esfericas e as ondas circulares sofren unha disminución de amplitude coa distancia, dinse que as ondas sofren unha atenuación.! Nunha onda plana non hai variación de intensidade no paso dun plano a outro.
! 3.1.- Absorción! É a perda de enerxía por parte da onda na súa propagación. Consideremos unha onda plana que se propaga por un medio absorbente e sexa I a intensidade da onda nun punto que se atopa a unha distancia x do foco. Cando a onda atravesa un espesor de material dx, a intensidade diminúe unha cantidade dI.! Compróbase experimentalmente que a diminución de intensidade é proporcional á intensidade nese punto antes de atravesar o material e ao espesor atravesado. - dI = b dI dx b é o coeficiente de absorciónPara determinar a intensidade en cada punto integraremos a ecuación
Id I
I0
I# =- b dx
0
x# , Ln I0
I =-bx, I = I0e-bx
A intensidade decrece exponencialmente co espesor do medio.
• 4.- Principio de HUYGENS
! En 1690 Christian Huygens publica o seu tratado sobre a luz. Nel expón un modelo de propagación de ondas que permite explicar os fenómenos ondulatorios.! Unha fronte de onda S1, que se produce nun tempo t + Dt nun punto r + D r é consecuencia da fronte de onda S0, que se produciu nun instante anterior t e no punto r. Cada punto da fronte de onda convértese nun foco, foco secundario, emisor de novas ondas, que son ondas secundarias. A envolvente ás ondas secundarias xera a nova fronte de ondas. Con este principio xéranse dúas frontes de ondas, unha que vai na dirección (no sentido) de propagación, que é a onda progresiva, e outra que se dirixe cara ao foco, que é a onda regresiva. Como a onda regresiva non se observa, houbo que realizar unha corrección da teoría introducindo o factor de oblicuidade, pola que esta non transporta nin enerxía nin momento.
Onda plana Onda esférica
! 4.1.- ReflexiónDenomínase reflexión o fenómeno polo que parte dunha onda que se move polo medio 1, ao incidir sobre a superficie de separación con outro medio, é devolta ao medio orixinal.
Ondas
6
! Cando a fronte de ondas AB incide sobre a superficie de separación, os puntos deste transfórmanse en focos secundarios, emitindo ondas secundarias. O radio destas ondas é decrecente, xa que os focos prodúcense progresivamente.
B
A C
D
DC = vt = AC sentrAB = vt = AC sen ti
4& AC sentr = AC sen ti & tr = ti
1ª Lei de Snell
! 4.2.- RefracciónCando unha onda que se propaga por un medio pasa a outro medio no que a velocidade de propagación é diferente, a onda transmitida cambia a dirección no que se propaga respecto á que tiña a onda incidente
A C
A´
B
BC = v1 t = AC sen tiAA´ = v2t = AC sen tr
3& v2v1 = sentr
sen ti
2ª Lei de Snell
• 5.- Interferencias! Cando nun punto e nun tempo determinado coinciden dúas ou máis ondas, a perturbación resultante é a suma de cada unha das perturbacións. Este fenómeno denomínase interferencia. Para que isto sexa observable, é dicir, ofreza un diagrama de interferencias, as ondas teñen que ser coherentes. Ondas coherentes son aquelas que teñen a mesma frecuencia e a súa diferenza de fase inicial permanece constante.
W1 x,t^ h=A1sen ~t - kx1^ h
W2 x,t^ h=A2sen ~t - kx2+d^ h
Si d = 0W1 x,t^ h+W2 x,t^ h=A1sen ~t - kx1^ h+A2sen ~t - kx2^ h
ONDAS
7
W(x,t) = Asen(~t+{) O diagrama corresponde a un M.H.S
A = A12+A2
2+2A1A2cos kT tg { = A1coskx1+A2coskx2
A1senkx1+A2senkx2
onde D = x2 - x1 e a diferenza de camiñosA amplitude será máxima, interferencia construtiva, A = A1+A2 se cos kT = 1
m2r (x2 - x1) = 2nr x2 - x1 = nm
a diferenza de camiños é un múltiplo enteiro de lonxitudes de onda A amplitude será mínima, interferencia destructiva, A = A1 -A2 se cos kT =-1
m2r (x2 - x1) = (2n+1)r x2 - x1 = (2n+1) 2
m
a diferenza de camiños é un múltiplo impar de semilonxitudes de onda Se as dúas ondas teñen a mesma amplitude, os mínimos de interferencia terán valor cero da amplitude e non haberá perturbación.
! 5.1.- Experimento de Young
F d x
D
β
β
r1
r2
Consideramos que D (distancia das aberturas á pantalla) é moito maior que d (distancia entre as dúas aberturas).As dúas ondas proceden do mesmo foco, polo tanto son coherentes e identicas.A diferencia de camiños entre as dúas ondas é Tr = r2 - r1 = dsenb
tgb = Dx si b11 tgb - senb = D
x
A onda resultante no punto x é a suma das dúas ondas
W(x,t) = W1(x,t) +W2(x,t) = Asen(~t - kr1) +Asen(~t - kr2) = 2Acos 2k(r1 - r2) sen(~t - 2
k(r1 + r2))
A amplitude está modulada pola función coseno, e esta será máxima cando o coseno valga +/-1, é dicir
2kTr = nr
m2r d senb = 2nr m
2r d Dxmáx = 2nr
Ondas
8
Os máximos de interferencia se encontran na posición xmáx = n d
D m
A amplitude é mínima e farase cero cando o coseno valga cero, é dicir
2kTr = (2n+1) 2
r
m2r d senb = (2n+1)r m
2r d Dxmín = (2n+1)r
Os mínimos de interferencia se encontran na posición xmín = (2n+1) d
D2m
! 5.2.- Ondas estacionarias
a)! Cando nun medio elástico interfiren entre si dúas ondas iguais que se propagan en sentidos opostos, dan lugar a unha onda estacionaria.
W1 x,t^ h=Asen ~t - kx] g
W2 x,t^ h=Asen ~t+kx] g
W1 x,t^ h+W2 x,t^ h=Asen ~t - kx] g+Asen ~t+kx] g
tendo en conta sen a + sen b = 2cos 2a - b sen 2
a+b
W(x,t) = 2Acos 22kx sen 2
2~t = 2Acoskx sen~t
non son ondas de propagación, cada punto vibra cunha frecuencia angular w e amplitude que varía coa posición AT = 2Acoskx
Será máxima cuando kx = nrm2r x = nr & xmáx = n 2
m
Os puntos onde a amplitude é máxima, denominados cristas ou vales, son aqueles nos que a distancia ao foco é un múltiplo da semilonxitude de onda.
Será mínimo cuando kx = (2n+1) 2r
m2r x = (2n+1) 2
r& xmín = (2n+1) 4
m
Os puntos onde a amplitude é nula, denominados nodos, son aqueles nos que a distancia ao foco é un múltiplo impar da cuarta parte da lonxitude de onda.
ONDAS
9
b) Corda vibrante Consideremos unha onda que viaxa cara á esquerda e reflictese producindo unha onda que viaxa cara á dereita
na onda reflectida prodúcese un desfasamento de valor r, producindose unha interferencia
cada punto vibra cunha frecuencia angular w e amplitude que varía coa posición
Os puntos onde a amplitude é maxima, denominados ventres, son aqueles nos que a distancia ao foco é un múltiplo impar da cuarta parte da lonxitude de onda.
Os puntos onde a amplitude é nula, denominados nodos, son aqueles nos que a distancia ao foco é un múltiplo da semilonxitude de onda.
Se os puntos estan fixos, os dous puntos corresponden a un nodo, e debe haber un número enteiro de semilongitudes de onda
Ondas
10
• 6.- DifracciónFenómeno que se produce cando unha onda atopa un obstáculo ou unha abertura ao propagarse e cuxo tamaño é comparable á lonxitude de onda. O diagrama de difracción é semellante ao das interferencias, polo que se soe dicir que a interferencia prodúcese para un nº discreto de abertura e a difracción para un nº infinito.
A difracción obsérvase cando se fai pasar unha onda a través dunha abertura cuxas dimensións son com-parables á lonxitude de onda de aquela.
Cando se teñen N aberturas o patrón de difracción re-sultante é a superposición dun patrón debido á interfe-rencia das N fontes máis o patrón de difracción debido a unha abertura.
• 7.- PolarizaciónNunha onda transversal as oscilacións produncense en todas ás direccións perpendiculares a dirección de propagación e pode ser vista como superposición de varias ondas. Podemos considerala como unha superposición de dúas ondas armónicas perpendiculares, de igual frecuencia (monocromáticas), desfasadas unha cantidade Oz
Se di que a onda esta polarizada cando o desfase Oz e constante no tempo. As dúas compoñentes vectoriales transversais varían a súa amplitude co tempo, e a suma de ambas vai trazando unha figura xeométrica. Se devandita figura é unha recta, a polarización denomínase lineal; se é un círculo, a polarización é circular; e se é unha elipse, a polarización é elíptica• Polarización lineal se a diferenza é 0 ou un múltiplo enteiro (positivo ou negativo) de Π.• Polarización circular se a diferenza é un múltiplo enteiro (positivo o negativo) de Π/2.
Neste caso se cumple, ademais, que as amplitudes son iguais.
ONDAS
11
• No resto de casos producirase polarización elíptica.
• 8.- Son! As ondas sonoras son ondas mecánicas lonxitudinais e prodúcense por unha vibración periódica de algo material. Se as vibracións non son periódicas, o efecto producido recibe o nome de ruído. ! O son pode considerarse como unha sucesión de ondas de compresión e rarefacción que se propaga polo aire. Sen embargo se nos situamos nun punto do espacio veremos como a presión atmosférica aumenta e disminue periódicamente a medida que teñen lugar nas sucesivas perturbaciones.Velocidade das ondas sonoras:! Os sons propáganse a través dos tres estados de agregación.
vsólido 2vlíquido 2 vgases
Velocidade nos gases:
v = McRT
c coeficiente adibático
R constante dos gasesT temperatura absolutaM masa molar do gas
Velocidade nun sólido
Velocidade nun líquido
As ondas graves (de longitude de onda grande) son capaces de eludir obxetos ordinarios e por exemplo dar a volta a unha esquina. Polo contrario os agudos tenden a propagarse en línea recta e forman sombras acústicas.
! 8.1.- Calidades do son! Sonoridade: é a calidade pola que se perciben os sons con maior ou menor forza.
b = 10log I0
I nivel de intensidade do son, se mide en dbI0 intensidade umbral
! Ton: calidade do son que depende da frecuencia. Se esta é alta, o son é agudo; se é baixa, o son é grave.! Timbre: calidade pola que se distinguen dous sons de igual sonoridade e do mesmo ton. Ten que ver coa forma da onda (harmónicos).
Ondas
12
Velocidade do sonido no airevs=331,4 + 0,61·t
! 8.2.- Eco e reverberación! O ser humano distingue dous sons se chegan ao seu oído cunha diferenza de 0,1 s. Como a velocidade do son no aire é de 340 m/s, podemos distinguir entre dous sons simultáneos se están separados 34 m. Se emitimos un son e este se reflicte, percibiremos dous sons diferentes (eco) se a distancia mínima á superficie reflectinte é de 17 m.! A reverberación ocurre cando o tempo que tarda en chegar o son refleitido é minor que 0,1 s, non percibimos eco, pero se un peculiar efecto sonoro: como se o son relexado se superpusera e alargase. Iste fenómeno determina as cualidades acústicas ou sonoras dos locais.
! 8.3.- Ondas sonoras estacionarias en tubosa)Tubo fechado nun extremo e aberto no outro. !No extremo fechado haberá un nodo e no aberto un ventre, e estableceranse ondas estacionarias no interior do tubo cando:
l = (2n+1) 4m f = (2n+1) 4l
v
b)Tubo aberto nos extremosFormaranse ventres nos extremos e estableceranse ondas estacionarias cando
l = n 2m f = n 2l
v
! 8.4.- Efecto DOPLERO cambio na frecuencia do son cando existe movemento relativo entre a fonte e o observador recibe o nome de efecto doppler.a) Fonte en repouso e observador en movementoA velocidade do observador é vo e vs a velocidade do son. Si o observador se aproxima a fonte, recibe por unidade de tempo mais frontes de onda que si estibera en repousoA velocidade relativa das ondas rispeto o obserbador é:
vso = vo + vs
Como a lonxitude de onda non varía, o observador ten que oir o son con frecuencia distinta a si estivese en repouso
lf =m
v0+vs
Tendo en conta que
ONDAS
13
f = mvs
a frecuencia nova sera:
lf =fvs
v0+vs = f vsv0+vs lf 2 f
O observador percibe un son mais agudoSi o observador se alexa a velocidade relativa é vso= vo - vs e recibe menos frontes de onda, a frecuencia nova é:
lf = f vsv0 - vs lf 1 f
O observador percibirá un son mais grave.b) Observador en repouso e fonte en movementoConsideremos unha fonte que se despraza cara a direita cunha velocidade vF achegando se a un observador que esta en repouso. A fonte emite ondas esfericas pero como esta en movemento, os frontes de onda no son concéntricas, sin non que a separación entre ondas é menor no lado dereito que no esquerdo. Para o observador a lonxitude de onda é menor, polo o que a frecuéncia é maior, percebé un son agudo. ! ! vs - vF velocidade do son observado pola fonte.
m´ = (vs - vf)T = fvs - vf
visto polo o observador
f´ =m´vs = f(vs - vf
vs )& f´ > f
Se a fonte se alexa
f´ = f(vs+vfvs )& f´ < f
c) Se o observador e a fonte estan en movemento
! 8.5.- Onda de choqueÉ unha onda de presión abrupta producida por un obxecto que viaxa máis rápido que a velo-cidade do son en devandito medio.Se a fonte que emite as ondas sonoras viaxa a velocidades superiores á do son, un avión por exemplo, prodúcese un cono (a figura en tres dimensións correspondente ao ángulo debu-xado no ilustración) en cuxas generatrices acumúlanse as cristas de onda. En consecuencia, cando esta acumulación de aire comprimido alcanza a un observador (home con sueter verde na figura), este percibirá un son moi intenso (estampido sónico).Unha vez que a onda de
Ondas
14
vs
vF
vs
vO
choque pasa (muller con vestido vermello) o son do avión percíbese con normalidade. Curio-samente a parella que ten o avión encima das súas cabezas non percibe son algún.Un avión produce duas ondas de choque, morro e cola superpoñendose ambas
ONDAS
15