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Probabilidad II
Unidad 1
Arreglos aleatorios
Clave
50920415
Octubre de 2011
2
II. Desarrollo de contenidos por unidad
Unidad 1. Arreglos Aleatorios
Presentación de la unidad
Cuando se analizan situaciones aleatorias del entorno, generalmente no se interesa en
un espacio muestral (conjunto) sino en un evento (subconjunto), cuyos miembros tienen
una característica común, se debe analizar las probabilidades de ocurrencia y no
ocurrencia de tal evento. Para esto, es necesario que aprendas a hacer análisis
cualitativo y cuantitativo de situaciones que se le presentan, para su interpretación es
necesario emplear estrategias que surgen de la probabilidad.
De acuerdo con este planteamiento, la presente unidad proporciona elementos teóricos
sobre arreglos aleatorios, distribuciones e independencia para estimar las posibilidades de
ocurrencia y no ocurrencia de resultados, incluido en las lecturas y ejercicios, que
permitirán el logro del aprendizaje a través de la práctica.
Propósitos
Al finalizar la unidad:
Clasificarás elementos dentro de un conjunto para formar subconjuntos.
Determinarás una función de densidad conjunta mediante la distribución de dos
variables.
Utilizarás variables aleatorias condicionadas para obtener una distribución
condicional.
Competencia específica
Generar un sentido teórico y práctico para estimar las posibilidades de ocurrencia de
resultados en las diversas situaciones que así lo requieran en problemas de su profesión.
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1.1. Definiciones básicas
Dentro de la ciencia de las matemáticas, la teoría de la probabilidad es responsable del
estudio de los experimentos aleatorios. Un experimento aleatorio es aquel que al repetirse
bajo las mismas condiciones iniciales, no produce el
mismo resultado.
Partiendo de esto, la teoría de la probabilidad es
responsable de modelar matemáticamente cualquier
experimento aleatorio ubicando arreglos aleatorios.
Un arreglo aleatorio es un conjunto, agrupación o
zona de almacenamiento continuo, que contiene una
serie de elementos o variables del mismo tipo,
asociados a un proceso, cuyo resultado no es
previsible más que en razón de la intervención del
azar. El estudio de los fenómenos aleatorios queda
dentro del ámbito de la teoría de la probabilidad.
1.1.1 Sigmas álgebras
Sigma álgebra denotado por - algebra es una colección de subconjuntos del espacio
muestral que contiene el conjunto vacío ø y es cerrada bajo uniones contables y
complementación de esos subconjuntos.
Observa que el conjuntó potencia 2x siempre es un una - álgebra del conjunto X
Un espacio muestral puede tener más de un -álgebra, y puede aplicar con las
operaciones de conjuntos más comunes (unión, intersección, complemento, diferencia,
etc.)
Notación (conjunto de los subconjuntos). Sea X un conjunto.
Entonces denotemos por 2X al conjunto de todos los subconjuntos
de X, este conjunto se le llama conjunto potencia de X
Definición de σ-algebra, espacio medible o evento. Una colección F de
subconjuntos de Ω es una σ-álgebra si cumple las siguientes condiciones:
4
X ∈ F.
F es cerrado bajo complementos: si A ∈ F, entonces X \A∈ F.
F es cerrado bajo uniones numerables: si Ai ∈ F para todo i ∈ N y
B =i∈N Ai, entonces B ∈ F.
Espacio muestral. El conjunto Ω es llamado espacio muestral o espacio muestra, y tiene
como objetivo agrupar a todos los posibles resultados del experimento aleatorio en
cuestión. No es imprescindible darle esta interpretación al conjunto Ω, y matemáticamente
se le considera entonces como un conjunto arbitrario.
Espacio de probabilidad. Un espacio de probabilidad es una terna (Ω, F, P), en donde Ω
es un conjunto arbitrario, F es una σ-algebra de subconjuntos de Ω, y P es una medida de
probabilidad definida sobre F.
1.1.2. Ejemplos
Ejemplo 1.
Se tiene S= 1, 2, 3, 4
Evaluar si S=Ǿ, 1, 2, 3, 4 es -álgebra
Para resolver este planteamiento, Tendríamos que consultar las tres condiciones que nos
permiten verificar su pertenece a un -álgebra o no.
Solución:
La condición 1 se cumple, si A= Ǿ entonces su complemento Ac = 1, 2, 3, 4, y de
esta manera también se cumple la condición 2.
Verificando la condición 3 si A1 = Ǿ, A2 = 1, 2, 3, 4 entones la condición de ambos
conjuntos también pertenece al -álgebra An € S
Ejemplo 2.
Sea el conjunto S = 1, 2, 3, 4,
2. Evaluar si el conjunto S es -álgebra: S = Ǿ, 1, 2, 2, 3, 4, 1, 3, 4, 1, 2, 3, 4
Como se puede apreciar que las dos primeras condiciones se cumplen fácilmente. Para
el caso de la segunda condición A=2, su complemento Ac está en el conjunto S y todo
esto se da para todo conjunto potencial A.
5
Actividad 1. Sigma álgebra
Al finalizar la actividad serás capaz de:
Identificar un sigma álgebra.
Clasificar elementos en conjuntos y subconjuntos.
De acuerdo a lo descrito en el tema 1.1 Definiciones básicas. Realiza lo siguiente:
1. Descarga el documento sigma álgebra. Ubicado en la pestaña de la unidad 1.
2. Observa la imagen y clasifica los elementos que pueden ser un conjunto y una
sigma álgebra.
3. Entra al foro sigma álgebra y presenta tu propuesta en el foro.
4. Entra al foro, lee con atención las propuestas de tus compañeros y comenta una
de las propuestas de tus compañeros. No olvides que debes realizar tus
comentarios con claridad, precisión y respeto.
5. Concluye la actividad del foro mencionando un ejemplo de conjuntos con los
elementos que lo componen.
6. Consulta la Rúbrica de participación del foro en la sección Material de apoyo.
1.2. Distribuciones
Por medio de las distribuciones podemos explicar y resolver algunos problemas de
probabilidad, en donde está implícito el azar y donde podemos tener diversas variables
para dar solución o enfoque a los resultados solicitados.
Entre las principales distribuciones para Variables Aleatorias discretas tenemos:
Distribución Uniforme
Distribución de Bernoulli
b,axab
1)x(f
)b,a(x
ab
ax)x(F
)1,0(xP1)x(F)x1)(P1(Px)x(f
6
Distribución Binomial
Distribución Poisson
Distribución Hipergeométrica
Distribución Multinomial
Distribución Gamma
Distribución Exponencial 0xa1)x(Fae)x(f axax
Distribución Beta
Distribución de Weibull
Distribución de Gumbel
Distribución Logística
Distribución de Pareto
rnr )P1(Pr
n)rS(P)r(f
!ke)kX(P
kλλ
kx x
k
x
1
k1
kk11 PPxx
!n)xX,,xX(P
0x,dueu)a(
1)x(Fex
)a(b
1)x(f
b/x
0
u1ab
x
1a
a
ΓΓ
)1,0(x)x1(x)b,a(
1)x(f 1b1a
β
0x0)X(F
0xe1)X(F
0x0)x(f
0xxea2)x(f
22
22
xa
xa2
xb
xaexpexp)X(F
xb
xaexp
b
xaexp
a
1)x(f
x
b
axexp1
1)x(F
x
b
axexp1b
b
axexp
)x(f
bx0)x(f
bxxab)x(f 1aa
)!nN!*(n
!N
)!knN)!*(kn(
!N
)!kN!*(k
!N
n
N
kn
N
k
N
)xX(p 2
2
1
121
7
Distribución de Laplace
Distribución de Cauchy
Distribución Geométrica
Distribución Erlang
f x x x x( ; , )
( )exp( / ),
101
1.2.1. Distribución conjunta
Si X y Y son dos variables aleatorias sobre un espacio de probabilidad común (£.A, P ).
Se les llama función de distribución conjunta o simplemente distribución conjunta de X y
Y, a la función.
F(x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y)
Para representarlos podemos utilizar dos formas FX,Y(x, y) o en su caso F(x,y). Estas dos
formas indican que es una distribución conjunta de X e Y.
Para representarlo gráficamente y poder darle una definición, se pude mencionar que la
F(x,y) es la probabilidad de que el punto (x,y) se localice dentro del cuadrante que queda
abajo y a la izquierda del punto (x,y), incluyendo el borde.
Si analizamos las dos figuras podemos obtener de esta manera:
F(x,y) = P(w: X(w) ≤ x ∩ w: Y(w) ≤ y)
b
xaexp
2
11)x(Fy
b
axexp
2
1)x(F
xb
axexp
b2
1)x(f
x
b
axarctan
1
2
1)x(F
b)ax(
b)x(f
22 ππ
r)P1(P)r(f
y (x,y)
x
a
d (x,y)
b
b
c
a
8
Si unimos la formula anterior con los elementos de la formula obtenemos.
P(a < X ≤ b, c<Y ≤ d) = P(X ≤ b, Y ≤ d) – P(X ≤ b, Y ≤ c)
- P ( X≤ a, Y ≤ d) + P(X ≤ a, Y ≤ c)
= F (b, d) – F(b, c) –F(a, d) + F(a, c)
Propiedades
Si manejamos una distribución conjunta de dos variables debemos de tomar en cuenta las
siguientes propiedades:
F(x, y) es creciente en cualquiera de las dos variables. Un ejemplo, si x<x´ entonces:
w: X(w) ≤ x w: X(w) ≤ x´
Por lo tanto
F(x; y) = P (w: X(w) ≤ x ∩ w: Y (w) ≤ y)
≤ P (w: X(w) ≤ x´ ∩ w: Y (w) ≤ y)
= F (x´, y)
= ;
Como la función F es creciente en ambas variables se referencia para cualquiera x, y,
0 ≤ F(x,y) ≤ 1
La función F(x, y) es continua por la derecha en cualquiera de sus variables.
Ejemplo: Restaurant de comida rápida cuenta con ventanilla de atención a clientes en
auto o caminando sea X=el tiempo de atención a clientes en auto y Y= el tiempo que se
destina a los clientes que acceden caminando. De tal forma el conjunto de valores
posibles (X,Y) es el rectángulo D=(x,y): 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1. Supongamos que la función
de densidad de probabilidad conjunta de (X,Y) está dada por
Para comprobar que ésta es una función de densidad de probabilidad legitima, se observa
que
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
9
∫
∫
1.2.2. Distribuciones marginales
Las funciones de probabilidad marginal de X y de Y son representadas por y
Se denotan por
∑ ∑
De tal forma que para poder obtener la función de probabilidad marginal de X
∑ , con un valor por ejemplo de 100, la distribución de
∑ se suman a los valores posibles de y para de esta formar obtener la
función de probabilidad marginal de X, sin hacer ninguna referencia a Y. De esta manera
es posible calcular las probabilidades de eventos en los que interviene de manera
excluyen X o Y.
Ejemplo:
En un experimento se obtuvieron los siguientes resultados que muestra la tabla de
frecuencias absolutas y que corresponde a 180 observaciones de una variable
bidimensional. Calcular las distribuciones marginales de X y de Y,
X \ Y 10 15 20 25 30 35
8 8 10 10 6 0 10
10 10 20 0 14 10 0
12 24 10 10 6 20 10
Respuesta:
La última fila contiene la distribución marginal de la variable Y, y la última columna
contiene la distribución marginal de la variable X.
X \ Y 10 15 20 25 30 35 nI
8 8 10 10 6 0 10 44
10 12 20 0 14 10 0 56
12 24 10 10 6 20 10 80
nj 44 40 20 26 30 20 180
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Ejercicios
Sea (x, y) un vector aleatorio discreto con las siguientes distribuciones de probabilidad.
x/y 0 1 2 3
1 0 3/5 2/5 1/5
2 1/5 0 0 1/5
Calcular las distribuciones marginales de X e Y.
1.2.3. Vectores aleatorios discretos
Un vector aleatorio discreto es un modelo de probabilidad conjunta y se caracteriza por
una función de probabilidad conjunta, que es el resultado de cada uno de sus posibles
valores.
Entonces, un vector aleatorio (X, Y) es discreto cuando sólo puede tomar un número finito
o numerable de valores, podemos apreciar lo anterior mediante una tabla de doble
entrada
X\Y y1 y2 y… yn
x1
x2
x… P( X=xn,; Y=yn )
xn
1.2.4. Densidades y densidades marginales
Las funciones de densidad de probabilidad marginal de X y Y, denotadas por y
vienen dadas por
∫
∫
11
1.2.5. Distribuciones condicionales
Sean X,Y dos variables aleatorias continuas con función de densidad de probabilidad
conjunta y la función de densidad de probabilidad marginal , se tiene que
para cualquier valor de x de X para el que , la función de densidad de
probabilidad condicional de Y dado que X=x es
*Notese que la formula es muy proxima a la probabilidad condicional de que
Es decir la probabilidad de que ocurra B dado que ya ocurrio A
Ya sabemos que si P(A) > 0
Si X y Y son variables aleatorias discretas y tenemos los eventos (A:X =x), (B: Y = y),
entonces (a) se convierte en
Donde f(x,y) = P(X=x, Y=y) es la función de probabilidad conjunta y f1 (x) es la función de
probabilidad marginal para X. Definimos
Y la llamamos función de probabilidad condicional de Y dado X. de igual manera, la
función de probabilidad condicional de X, dado Y, es
Definición. (Función de distribución condicional). Sea (X, Y) un vector aleatorio
absolutamente continuo con función de densidad f X,Y (x, y), y sea y tal que fY (y) ≠ 0. A
la función
∫
12
Se le conoce como la función de distribución condicional de X dado que Y toma el valor y.
Actividad 2. Identificación de variables
Propósitos
Al finalizar la actividad serás capaz de resolver un ejercicio en el cual tienes que
identificar la función de distribución de dos variables.
1. Resuelve los siguientes ejercicios en un documento de Word.
Ejercicio. Revisa las siguientes variables y asigna la letra que corresponda:
( ) Variable
independiente
a)
( ) Variable continua b)
( ) Variable aleatoria
discreta
c)
( ) Variable aleatoria d)
2. Envíatu documento con la nomenclatura:PRO2_U1_A2_XXYZ. Sustituye las XX
por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la
Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4
MB.
3. Espera la retroalimentación de tu facilitador(a).
Actividad 3. Agencia automotriz
Al finalizar la actividad serás capaz de determinar una función de densidad conjunta
mediante la distribución de dos variables, aplicado en actividades que pueden realizar
robots en una agencia automotriz.
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1. Descarga el documento “Agencia automotriz”. ubicada en la pestaña de la unidad
1
2. Lee y resuelve el problema que ahí se plantea.
3. Envía tu documento con la nomenclatura PRO2_U1_A3_XXYZ. Sustituye las XX
por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la
Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4
MB.
4. Espera la retroalimentación de tu facilitador(a).
Actividad 4. Distribución condicional
Propósitos
Al finalizar la actividad serás capaz de resolver un ejercicio el cual implica un el desglose
de distribución condicional.
1. Descarga y resuelve el siguiente problema: “Distribución condicional”, ubicada
en la pestaña de la unidad 1.
2. Envía tu documento con la nomenclatura: PRO2_U1_A4_XXYZ. Sustituye las XX
por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la
Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4
MB.
3. Espera la retroalimentación de tu facilitador(a).
1.3. Independencia
Dos eventos A y B son independientes si P (A|B)=P(A), de lo contrario son dependientes
o son independientes si y solo si la probabilidad de que ocurran ambos es el
producto de cada una de las probabilidades y lo podemos comprobar mediante
14
Se puede mencionar que dos eventos son independientes cuando uno de ellos no afecta
el resultado del otro, para representar esta definición podemos ejemplificarlo de la
siguiente manera:
Ejemplo 1: Eventos independientes.
Lanzamiento de moneda (Primer evento)
El resultado puede ser cara o cruz
Lanzamiento de moneda (2° evento)
El resultado puede ser cara o cruz y no
depende del resultado del primer evento
Estos dos eventos son independientes
Ejemplo 2: Eventos no independientes
¿Cuál es la probabilidad de lanzar dos dados. La suma de los resultados sea 7?
Son eventos no independientes o dependientes
Ejemplo:
Un equipo de ventas tiene una probabilidad de ganar en un negocio de 0.6 una
probabilidad de no ganar, ni perder de 0.3 y una probabilidad de perder el dinero invertido
El resultado del tiro
del Primer dado
El resultado del tiro
del segundo dado
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de 0.1, si este equipo de ventas participa en dos negocios con las mismas características
determine la probabilidad de que:
a) Obtenga ganancias en el segundo negocio
b) Obtenga ganancias en ambos negocios
c) Obtenga ganancias en uno de los dos negocios
d) Obtenga ganancias en el primer negocio y pierda en el segundo negocio
Si representamos gráficamente el problema tendríamos lo siguientes:
Si identificamos el espacio muestral nos quedaría de la siguiente forma:
(GG, GE, GP, EG, EE, EP, PG, PE, PP)
Solución:
a) p (Ganancias en el Segundo Negocio)
= p (GG, GE, GP)
= (0.6) (0.6) + (0.6) (0.3)+ (0.6) (0.1)
= 0.18+ 0.06 + 0.18+ 0.06
= 0.48
b) p (Gane en ambos negocios)
p (G, G)
= (0.6) (0.6)
= 0.18
0.6 gane
• 0.6
• 0.3
• 0.1
0.3 ni gane , ni pierda
• 0.6
• 0.3
• 0.1
0.1 pierda
• 0.6
• 0.3
• 0.1
16
c) p (Gane en uno de los negocios)
= p (GE, GP, EG, PG)
= (0.6)(0.3)+(0.6)(0.1)+(0.3)(0.6)+(0.1)(0.6)
= 0.18 + 0.06 + 0.18 +0.06
=0.48
d) p (Gane en el primer negocio y ni gane, ni pierda en el segundo negocio)
= p (GE)
= (0.6)(0.3)
= 0.18
Ejercicio:
Resuelve el ejercicio siguiente para medir el avance de tu conocimiento.
En los juegos panamericanos del 2011, un boxeador mexicano gana 5 de 8 peleas en las
que compite, si este boxeador participara en tres peleas en categorías diferentes, en los
próximos 5 meses, determina la probabilidad de que:
a) Gane dos de las peleas
b) Si ganara dos peleas, ¿Cuál es la probabilidad sea que sea la primera y la tercera?
c) Qué gane la segunda pelea
1.3.1. Convolución
La convolución se puede mencionar que es un operador matemático por el cual dos
funciones de transforman f y g en una tercera función, la cual se estudia, para ver la
magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g.
La convolucion de f y g se denota como f * g, se determina como la integral del
producto de ambas funciones después de desplazar una de ellas una distancia Ƭ, es
decir:
( f * g ) ( t ) = ∫
El intervalo de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las
funciones, en el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo
como extendidas.
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Tomemos el siguiente ejemplo, sean dos funciones:
f ( t ) = e t y g ( t ) = Sen ( t )
Encontremos la convolucion de f y g, para esto emplearemos de la integración por
partes:
e t * Sen (t) = ∫
=
Cabe mencionar que las leyes conmutativa, asociativa y distributiva se pueden aplicar,
como se aprecia a continuación:
Ley Conmutativa: f * g = g * f
Ley Asociativa ( f * g ) * h = f * ( g * h )
Ley Distributiva f * ( g + h ) = f * g + f * h
La convolucion la podemos encontrar en muchas aplicaciones de ingeniería y
matemáticas, como veremos a continuación.
1.3.2. Aplicaciones de la Convolución
Algunas de las aplicaciones de convolución, las enlistamos a continuación:
Cuando se manejan la suma de dos variables independientes se puede
mencionar que es la convolución de cada una de sus distribuciones de
probabilidad
En estadística, un promedio móvil ponderado es una convolución.
En óptica muchos tipos de manchas se describen con convoluciones. Por ejemplo
la sombra que proyecta un cuerpo entre una fuente de luz y un fondo es la
convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del cuerpo que
se está proyectando
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En el campo de la acústica se representa una convolución cuando el sonido
original están en función con los objetos que la reflejan.
Este es un ejemplo de convolución en un dispositivo óptico
Autoevaluación
Felicidades, haz llegado al final de la Unidad.
Para finalizar la unidad resuelve el siguiente crucigrama, al contenido visto en la unidad.
Analiza cada pregunta y de acuerdo a eso anota la respuesta en el número del cuadro
que corresponda.
HORIZONTALES
1. σ-algebra ¿es un evento o espacio?
2. Es un tipo de variable al cual no se le puede medir exactamente
VERTICALES
3. son los elementos de un conjunto
4. Es el tipo de distribución donde X es simplemente la Ley de probabilidad de X
haciendo caso omiso de la información de Y.
5.
esta es una función de probabilidad
PSF
Objeto
Imagen
19
Evidencia de aprendizaje. Caso de estudio distribución condicional
Al finalizar la actividad serás capaz de resolver ejercicios que implican el desglose de
distribución condicional.
1. Descarga el documento llamado “Estudio distribución condicional”.ubicada en la
pestaña de la unidad 1.
2. Resuelve el problema que en el documento se plantea.
3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura PRO2_U1_EA_XXYZ.
4. Recuerda sustituir las XX por las dos primeras de tu primer nombre, la Y por la
inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.
5. Envía el documento a tu facilitador (a) mediante la herramienta de Portafolio de
Evidencias.
20
Autorreflexiones
Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio
correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que
también se toman en cuenta para la calificación final.
Para saber más
Puedes revisar la siguiente página:
http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/45/probabeco.htm
La información mencionada en la página de Gestiopolis.com te permitirá obtener un
panorama más amplio de distribución de probabilidad, variable aleatoria y valor esperado.
Podrás obtener un ejemplo específico y determinar procesos de mejora para resolver los
ejercicios planteados en el programa desarrollado.
Otra página que te recomendamos consultar es:
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu4-5.html
Fuentes de consulta
Milton J y Arnold J. (2004). Probabilidad y estadística con aplicaciones para ingeniería y
ciencias computacionales. México: Mc Graw Hill.
Rincon L. (2007). Curso intermedio de probabilidad. México: Departamento de
matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM.
Spiegel M. (2006). Probabilidad y estadística. Madrid: Mc Graw Hill.