Unidad n°2Parte A

Hernán Andrés Artigas

Los equipos de Basquet se dividen en 1°, 2° y 3° división. Cada división, a su vez, cuenta con 20, 19 y 25 equipos respectivamente.La probabilidad de que un equipo permanezca en la división o pase a otra, viene dada por la siguiente tabla que se lee de fila hacia columna en el sentido indicado.

1° 2° 3°1° 80% 20% 0%2° 20% 60% 20%3° 30% 30% 40%

Así, la probabilidad de que un equipo de❑iaapase a ❑j1a es del❑ij20 % .❑ Así tal cual cada fila i da la suma del 100% respectivamente.

a) Determine la distribución de equipos por categoría para el próximo periodo de juegos.b) Construya la probabilística de permanecía o cambio de división de los equipos dentro de

tres años.

Previamente contruimos A=0.8 0.2 00.2 0.6 0.20.3 0.3 0.4

, en la cual a ij es la probabilidad de salir de i y llegar a

j al cabo de n-periodos, X=20 19 25 representa el estado incial de las divisiones y XA n es la población en el n-ésimo periodo. Luego las respuestas solicitadoas son:

a) Solución:

P = X· A =    20     19     25    ·   0.8     0.2     0    0.2     0.6     0.2    0.3     0.3     0.4  

 =

=   27.3   22.9   13.8 

Los componentes de la matriz P se calculan del modo siguiente:P1,1 = X1,1  ·  A1,1 + X1,2  ·  A2,1 + X1,3  ·  A3,1 = = 20  ·  (0.8) + 19  ·  (0.2) + 25  ·  (0.3) = 16 + (3.8) + (7.5) = 27.3

P1,2 = X1,1  ·  A1,2 + X1,2  ·  A2,2 + X1,3  ·  A3,2 = = 20  ·  (0.2) + 19  ·  (0.6) + 25  ·  (0.3) = 4 + (11.4) + (7.5) = 22.9

P1,3 = X1,1  ·  A1,3 + X1,2  ·  A2,3 + X1,3  ·  A3,3 = = 20  ·  0 + 19  ·  (0.2) + 25  ·  (0.4) = 0 + (3.8) + 10 = 13.8

Es decir que para el primer periodo va haber: P=27.3 22.9 13.8 equipos

b) Primero se debe multiplicar la matriz A tres veces:

Solución:

B = A · A =   0.8     0.2     0    0.2     0.6     0.2    0.3     0.3     0.4  

 ·   0.8     0.2     0    0.2     0.6     0.2    0.3     0.3     0.4  

 =

=  0.68   0.28   0.04  0.34   0.46   0.2  0.42   0.36   0.22 

Los componentes de la matriz B se calculan del modo siguiente:B1,1 = A1,1  ·  A1,1 + A1,2  ·  A2,1 + A1,3  ·  A3,1 = = (0.8)  ·  (0.8) + (0.2)  ·  (0.2) + 0  ·  (0.3) = (0.64) + (0.04) + (0) = 0.68

B1,2 = A1,1  ·  A1,2 + A1,2  ·  A2,2 + A1,3  ·  A3,2 = = (0.8)  ·  (0.2) + (0.2)  ·  (0.6) + 0  ·  (0.3) = (0.16) + (0.12) + (0) = 0.28

B1,3 = A1,1  ·  A1,3 + A1,2  ·  A2,3 + A1,3  ·  A3,3 = = (0.8)  ·  0 + (0.2)  ·  (0.2) + 0  ·  (0.4) = (0) + (0.04) + (0) = 0.04

B2,1 = A2,1  ·  A1,1 + A2,2  ·  A2,1 + A2,3  ·  A3,1 = = (0.2)  ·  (0.8) + (0.6)  ·  (0.2) + (0.2)  ·  (0.3) = (0.16) + (0.12) + (0.06) = 0.34

B2,2 = A2,1  ·  A1,2 + A2,2  ·  A2,2 + A2,3  ·  A3,2 = = (0.2)  ·  (0.2) + (0.6)  ·  (0.6) + (0.2)  ·  (0.3) = (0.04) + (0.36) + (0.06) = 0.46

B2,3 = A2,1  ·  A1,3 + A2,2  ·  A2,3 + A2,3  ·  A3,3 = = (0.2)  ·  0 + (0.6)  ·  (0.2) + (0.2)  ·  (0.4) = (0) + (0.12) + (0.08) = 0.2

B3,1 = A3,1  ·  A1,1 + A3,2  ·  A2,1 + A3,3  ·  A3,1 = = (0.3)  ·  (0.8) + (0.3)  ·  (0.2) + (0.4)  ·  (0.3) = (0.24) + (0.06) + (0.12) = 0.42

B3,2 = A3,1  ·  A1,2 + A3,2  ·  A2,2 + A3,3  ·  A3,2 = = (0.3)  ·  (0.2) + (0.3)  ·  (0.6) + (0.4)  ·  (0.3) = (0.06) + (0.18) + (0.12) = 0.36

B3,3 = A3,1  ·  A1,3 + A3,2  ·  A2,3 + A3,3  ·  A3,3 = = (0.3)  ·  0 + (0.3)  ·  (0.2) + (0.4)  ·  (0.4) = (0) + (0.06) + (0.16) = 0.22

Da como resultado la siguiente matriz: 0.68 0.28 0.040.34 0.46 0.20.42 0.36 0.22

C = B · A =   0.68     0.28     0.04    0.34     0.46     0.2    0.42     0.36     0.22  

 ·   0.8     0.2     0    0.2     0.6     0.2    0.3     0.3     0.4  

 =

=  0.612   0.316   0.072  0.424   0.404   0.172  0.474   0.366   0.16 

Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:C1,1 = B1,1  ·  A1,1 + B1,2  ·  A2,1 + B1,3  ·  A3,1 = = (0.68)  ·  (0.8) + (0.28)  ·  (0.2) + (0.04)  ·  (0.3) = (0.544) + (0.056) + (0.012) = 0.612

C1,2 = B1,1  ·  A1,2 + B1,2  ·  A2,2 + B1,3  ·  A3,2 = = (0.68)  ·  (0.2) + (0.28)  ·  (0.6) + (0.04)  ·  (0.3) = (0.136) + (0.168) + (0.012) = 0.316

C1,3 = B1,1  ·  A1,3 + B1,2  ·  A2,3 + B1,3  ·  A3,3 = = (0.68)  ·  0 + (0.28)  ·  (0.2) + (0.04)  ·  (0.4) = (0) + (0.056) + (0.016) = 0.072

C2,1 = B2,1  ·  A1,1 + B2,2  ·  A2,1 + B2,3  ·  A3,1 = = (0.34)  ·  (0.8) + (0.46)  ·  (0.2) + (0.2)  ·  (0.3) = (0.272) + (0.092) + (0.06) = 0.424

C2,2 = B2,1  ·  A1,2 + B2,2  ·  A2,2 + B2,3  ·  A3,2 = = (0.34)  ·  (0.2) + (0.46)  ·  (0.6) + (0.2)  ·  (0.3) = (0.068) + (0.276) + (0.06) = 0.404

C2,3 = B2,1  ·  A1,3 + B2,2  ·  A2,3 + B2,3  ·  A3,3 = = (0.34)  ·  0 + (0.46)  ·  (0.2) + (0.2)  ·  (0.4) = (0) + (0.092) + (0.08) = 0.172

C3,1 = B3,1  ·  A1,1 + B3,2  ·  A2,1 + B3,3  ·  A3,1 = = (0.42)  ·  (0.8) + (0.36)  ·  (0.2) + (0.22)  ·  (0.3) = (0.336) + (0.072) + (0.066) = 0.474

C3,2 = B3,1  ·  A1,2 + B3,2  ·  A2,2 + B3,3  ·  A3,2 = = (0.42)  ·  (0.2) + (0.36)  ·  (0.6) + (0.22)  ·  (0.3) = (0.084) + (0.216) + (0.066)

= 0.366

C3,3 = B3,1  ·  A1,3 + B3,2  ·  A2,3 + B3,3  ·  A3,3 = = (0.42)  ·  0 + (0.36)  ·  (0.2) + (0.22)  ·  (0.4) = (0) + (0.072) + (0.088) = 0.16

La matriz final es: A30.612 0.316 0.0720.424 0.404 0.1720.474 0.366 0.16

Entonces multiplicamos la matriz X inicial, con esta matriz final que será la matrizA3:

Solución:

C = X ·A3  =    20     19     25    ·   0.612     0.316     0.072    0.424     0.404     0.172    0.474     0.366     0.16  

 =

=   32.146   23.146   8.708 

Los componentes de la matriz C se calculan del modo siguiente:C1,1 = X1,1  ·  A3

1,1 + X1,2  ·  A32,1 + X1,3  ·  A3

3,1 = = 20  ·  (0.612) + 19  ·  (0.424) + 25  ·  (0.474) = (12.24) + (8.056) + (11.85) = 32.146

C1,2 = X1,1  ·  A31,2 + X1,2  ·  A3

2,2 + X1,3  ·  A33,2 = 

= 20  ·  (0.316) + 19  ·  (0.404) + 25  ·  (0.366) = (6.32) + (7.676) + (9.15) = 23.146

C1,3 = X1,1  ·  A31,3 + X1,2  ·  A3

2,3 + X1,3  ·  A33,3 = 

= 20  ·  (0.072) + 19  ·  (0.172) + 25  ·  (0.16) = (1.44) + (3.268) + 4 = 8.708

Es decir que al pasar los tres años las distitas divisiones van a estar compuestas por C=32.146 23.146 8.708

Si bien esta operación, dio resultado matematicamente, lógicamente, no va a ser factible ya que no pueden haber partes de equipos en una división y después en otra.

Parte B

La actividad consiste en recrear el Ejemplo 28 del material de estudio. Para recrearlo:

1) Reemplace  la matriz T de la Guía de estudio por otra de la lista siguiente, y observe la acción que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.

Nombres identificatorios:

T= nueva matriz de transformación

D= matriz de coordenadas.

TD=H=nueva matriz del transformado por T.

D=0 0.5 60 0 0

5.5 0.5 01.58 6.42 8

5.5 68 8

T= k 00 1

(k∈R ,0<k<1)

A k le doy valor 3/4

T.D=H=Nueva matriz

Wolfram Alfa

Wiris

Obtenemos: H=0 0.375 4.50 0 0

4 .125 0.375 01.58 6.4 2 8

4 .125 4.58 8

¿Qué matriz calcularía y cómo la usaría con la matriz del transformado H, para obtener la matriz de coordenadas original? Esto es, ¿cómo procedería, operando con matrices, para obtener las coordenadas de  la letra original?

Multiplicaría la inversa de la matriz T, por la matriz H, que seria de la siguiente forma:

3/ 4 00 1

−1

∗0 0. 375 4.50 0 0

4 .125 0. 375 01.58 6. 4 2 8

4 .125 4.58 8

Wiris:

Wolfram Alfa:

Gráfico con coordenadas Originales:

Gráfico con las nuevas Coordenadas:

2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llámela S,  y repita el proceso pero ahora tomando como matriz de coordenadas a H.

 

Nuevos nombres identificatorios:

 

S= nueva matriz de transformación

H= nueva matriz de coordenadas.

SH=J=nueva matriz del transformado por S.

La idea es aplicar un movimiento atrás de otro y estudiar como cambia de posición la letra N (esto es, hacer una composición).  Así se trabajan las imágenes en una pantalla.

H :nuevamatriz decoordenadasH=0 0.375 4.50 0 0

4.125 0.375 01.58 6.42 8

4.125 4.58 8

S=nuevamatriz de transformaciónS=k 00 1

,(k∈R ,k>1)

“k” toma valor 2

SH=J=nuevamatriz del transformado por S2 00 1

∗0 0.375 4.50 0 0

4.125 0.375 01.58 6.42 8

4.125 4.58 8

=J

Wiris:

WolframAlfa:

Obtenemos J=0 0.75 90 0 0

8.25 0.75 01.58 6.42 8

8.25 98 8

¿Qué matriz calcularía y cómo la usaría con la matriz del transformado H, para obtener la matriz de coordenadas original? Esto es, ¿cómo procedería, operando con matrices, para obtener las coordenadas de la letra original?

Multiplicaría la inversa de la matriz S, por la matriz J, que sería de la siguiente forma:

Wiris:

WolframAlfa:

Gráfico con coordenadas originales:

Grafico con nuevas Coordenadas: