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27/03/2013
1
DISCRETIZACIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIAS
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Se mostrarán distintos procedimientos
para obtener sistemas en tiempo
discreto que se comporten
aproximadamente igual que un sistema
en tiempo continuo dado. Esta
operación suele denominarse
discretización. El problema no tiene
solución exacta en general, aunque las
diferentes técnicas que se describirán
son de frecuente aplicación, si el
período de muestreo es pequeño.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
27/03/2013
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Están basadas en la idea de reconstruir la entrada con un retenedor. Resulta entonces una simulación exacta (invariante) para aquellas formas de la entrada que el retenedor reconstruya exactamente. Para discretizar la función de transferencia con este método, después del muestreador se coloca el retenedor, este puede ser unitario, de orden cero (ZOH) o primer orden (FOH), según corresponda.
A continuación se muestra cuatro procedimientos para obtener la discretización con estos métodos.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• Para discretizar por este método el
retenedor es unitario (Gh(s)=1), o
sea la función de transferencia es
muestreada directamente por los
trenes de impulso del muestreador,
en este caso la respuesta al
impulso permanece invariante.
También, se puede considerar como
discretizador la función de
transferencia con la Transformada Z
de forma directa.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
27/03/2013
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Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Delta de Kronecker o
Función Impulso
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
De la figura
Discretizando, aplicamos la
Transformada Z, y conociendo
que Z[δ0(k)]=1, se obtiene,
Finalizando:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)]([)(
)()( sGZ
zU
zXzG
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1. G(z) preserva la respuesta al impulso de
G(s).
2. Si G(s) es estable G(z) también lo es.
3. No preserva la respuesta en frecuencia.
4. Las frecuencias transformadas en G(z) que
son múltiplos de la frecuencia de muestreo
pueden ocasionar aliasing.
5. Si G(s) es una función complicada se
requiere de expandir la función en
fracciones parciales.
6. Los polos en s se transforman mediante e Ts
=z . Pero no así los ceros, que dependen de
las fracciones parciales.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• Ejemplo: Obtenga la función de
transferencia impulso donde G(s) es:
• Solución : De la tabla de transformada se
puede obtener directamente esta forma:
Por lo tanto
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
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Para este método el retenedor empleado es
de orden cero (ZOH); este permite
conservar la respuesta al escalón de su
equivalente analógico.
Para encontrar la discretización se
sustituye el ZOH por su función de
transferencia continua y se discretiza
el conjunto de retenedor - planta. Una
forma alternativa, es igualar la
respuesta ante un escalón del sistema
analógico con la del discreto.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
27/03/2013
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• De la figura anterior:
• Discretizando se aplica la Transformada
Z, y se obtiene
• Finalmente
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)(.)()(
)(
)(.)(1
)]([)(
1
*
zUs
sGZz
s
sGZzX
sUZsGs
eZsXZzX
Ts
1. Conserva la ganancia estática.
2. No preserva las respuestas al impulso y en frecuencia.
3. Preserva la respuesta al escalón.
4. Si G(s) es estable G(z) también lo es.
5. Requiere G(s) sea expandida en fracciones parciales.
6. Los polos en s se transforman mediante e Ts =z. Pero no así los ceros, que dependen de las fracciones parciales.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
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• Ejemplo: Obtenga la
Transformada Z de:
• Solución:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• En este método el retenedor empleado es el
de primer orden (FOH). Para lograr la
discretización se sustituye el FOH por su
función de transferencia continua y se
discretiza el conjunto de retenedor-planta.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
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• De la gráfica anterior
• Discretizando aplicando la Transformada Z, se
obtiene,
• Finalmente
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
1. Conserva la ganancia estática.
2. No preserva las respuestas al
impulso, escalón ni frecuencia.
3. Si G(s) es estable G(z) también lo
es.
4. Requiere G(s) sea expandida en
fracciones parciales.
5. Los polos en s se transforman mediante e Ts =z. Pero no así los
ceros, que dependen de las fracciones
parciales.
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Este método el retenedor empleado es el triangular, este permite conservar la respuesta a la rampa de su equivalente analógico. Para encontrar la discretización se iguala la respuesta ante una rampa del sistema analógico con la del discreto.
Sea la respuesta ante una rampa de una planta analógica:
Entonces la respuesta ante una rampa del sistema digital equivalente sería
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)(1
)(2
sGs
sY
)()1(
)(2
zGz
TzzY
Igualando la respuesta en el tiempo
en los dos casos anteriores, se
obtiene:
Despejando G(z) obtenemos la función
de transferencia:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)()1(
)(1
22zG
z
TzsG
s
21
21
2
2 )()1()()1()(
s
sGZ
Tz
z
s
sGZ
Tz
zzG
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1. Conserva la ganancia estática.
2. No preserva las respuestas al impulso, escalón ni frecuencia.
3. Preserva la respuesta a la rampa.
4. Si G(s) es estable G(z) también lo es.
5. Requiere G(s) sea expandida en fracciones parciales.
6. Los polos en s se transforman mediante e Ts =z. Pero no así los ceros, que dependen de las fracciones parciales.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• 1) Obtenga la función de
transferencia impulso donde
G(s) es:
Solución :
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Continuando
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Este método se basa en sustituir en G(s), la variable s, por una función racional en z. Son sencillas y flexibles de aplicar, en casi cualquier situación.
Los casos analizados serán:
1. Puede verse como una derivación (backward rule) o como una integración rectangular.
2. Puede verse como una derivación adelantada, no causal (forward rule) o como una integración rectangular retrasada.
3. Puede verse como una integración trapezoidal. Es la transformación bilineal. Se conoce también como regla de Tustin.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
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Este método también se conoce como
aproximación de derivada como una
diferencia en atraso, reemplazando
la derivada de una función por:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Tomando la transformada
de Laplace de esta expresión
• Despejando a s:
• Y como z = esT , entonces:
• Por consiguiente
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)(zG
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Como se puede
apreciar, esta
transformada
comprime la
región estable
del plano s en
una zona reducida
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
del plano z, lo cual ocasiona que la zona de
altas frecuencias del plano s no sean
mapeadas a la zona de altas frecuencias del
plano z.
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
Características de este método:
1. Los sistemas analógicos estables
siempre se convertirán en
equivalentes digitales estables. Si
G(s) es estable G(z) también lo es.
2. De hecho, algunos sistemas
analógicos inestables se
convertirán en digitales estables.
3. No requiere factorización de la
función de transferencia.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
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Este método también se conoce como
aproximación de derivada como una
diferencia en adelanto o método de
Euler. Esta es una técnica que
aproxima la derivada de una función
de la siguiente forma:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Tomando la transformada de Laplace de
la ecuación anterior se obtiene
Despejando a s se obtiene
Y como z = esT , entonces:
Por consiguiente
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
T
zs
sGzG 1)()(
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Como se puede ver,
esta transformada
traslada el origen
del plano s a z= -
1, lo que ocasiona
que una función
estable en el plano
s, pueda comportarse
como inestable en el
plano z.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Características de este método:
1. Algunos sistemas analógicos estables se convertirán en sistemas digitales inestables.
2. Los sistemas analógicos inestables también serán digitales inestables bajo esta conversión.
3. Una desventaja es que el contorno de frecuencia en el plano z no sigue el círculo unidad. Por lo tanto, la discretización por medio de diferencias hacia delante no es la mejor.
4. No requiere factorización de la función de transferencia.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
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Este método aproxima numéricamente las
integrales, a diferencia de los dos
métodos anteriores donde lo que se
aproxima es la derivada. Se determina una
aproximación numérica para,
Debe recordarse que la integral definida de
una función, no es más que el área bajo
la curva
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
tf
o
dttxty )()(
Se aproximará el área bajo la curva
mediante una sumatoria de las áreas
individuales de una serie de
trapecios.
Entonces el área del trapecio k-ésimo
será:
De lo anterior, la integral de x(t)
se podría aproximar de la siguiente
forma
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k
n
k
n
TnxnTxT
nTAkTyty11
))1(()(2
)()()(
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Ahora haciendo:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)])1(()([2
))1(()(
))1(()(2
))1((
)])1(()([2
))1(()(2
)(
1
1
1
1
TnxnTxT
TkykTy
TnxnTxT
Tky
TnxnTxT
TnxnTxT
kTy
k
n
k
n
Como:
Nos queda:
Tomando la transformada de Laplace de
la anterior expresión
Con lo que
Sabiendo que:
igualamos ambas expresiones
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
ssX
sY 1
)(
)(
)()(2
)()( 11 zXzzXT
zYzsY
1
1
1
1
2)(
)(
z
zT
zX
sY
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Obteniendo
Despejando a s:
Finalmente se obtiene:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
1
1
1
1
2
1
z
zT
s
1
12
1
121
1
z
z
Tz
z
Ts
1
12)()(z
z
Ts
sGzG
Como se puede
apreciar en la
siguiente
figura, esta
transformada
comprime la
región estable
del plano s
dentro del
círculo
unitario del
plano z.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
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Características de este método:
1. Todos los sistemas analógicos estables se convertirán en equivalentes digitales estables.
2. Además, el eje jw del plano s se convierte en el círculo unidad del plano z.
3. No requiere factorización de la función de transferencia.
4. Preserva tanto la respuesta al impulso como la respuesta en frecuencia.
5. Crea una distorsión en la zona de altas frecuencias
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
No MÉTODO Ganancia
Simulaciones Invariantes
1.1 Respuesta invariante G(z)=Z[G(s)]
al impulso Ajustada
1.2 Repuesta invariante 𝐺 𝑧 =
𝑧−1
𝑧𝑍
𝐺(𝑠)
𝑠
al escalón
Igual
1.3 Repuesta de 𝐺 𝑧 =
𝑧−1 2
𝑧2 𝑍(𝑇𝑠+1)𝐺(𝑠)
𝑇𝑠2
Primer orden
Igual
1.4 Repuesta de 𝐺 𝑧 =
𝑧−1 2
𝑇𝑧𝑍
𝐺(𝑠)
𝑠2
Primer orden
Igual
II Discretización por aproximación
2.1 Diferencias finitas 𝑠 =
𝑧−1
𝑇
hacia adelante Igual
2.2 Diferencias finitas 𝑠 =
𝑧−1
𝑇𝑧
hacia atrás Igual
2.3 Transformación Bilinea 𝑠 =2
𝑇
𝑧−1
𝑧+1 Igual
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La integral es Igual a:
Al sustituir esT por z se obtiene
Al cambiara la notación de p por la
variable compleja s se obtiene:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
• Si X(s) tiene polos s1, s2…sm ; y
s=sj es un polo simple se halla el
residuo:
• Si el polo s=si es un polo de orden
múltiple con orden ni se halla el
residuo:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
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• Ejemplo 1: Obtenga la X(z) empleando
la Integral de convolución en el
semiplano izquierdo de:
• Solución: Observe que X(s) tiene 2
polos simples.
Un polo simple en -1 y un simple en -3.
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)3)(1(
1)(
sssX
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
TT
TssTss
TssTss
ez
z
ez
zzX
ez
z
sez
z
szX
ez
z
ss
s
ez
z
ss
szX
3
31
31
)2(
1
)2(
1)(
)1(
1lim
)3(
1lim)(
)3)(1(
)3(lim
)3)(1(
)1(lim)(
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Cuya solución se desarrolla:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
))((2)(
))((
)()(
2
1)(
3
3
3
3
TT
TT
TT
TT
ezez
eezzX
ezez
ezzezzzX
• Ejemplo 2: Obtenga la X(z) empleando la Integral de
convolución en el semiplano
izquierdo de:
• Solución: Observe que X(s) tiene 3 polos.
Un polo simple en -1 y un polo
múltiple de orden 2 en cero.
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La solución de la ecuación es:
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
)(zX
)(zX
• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición.
• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto
• BIBLIOGRAFÍA WEB
• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición
• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Contol Ingineering. Primera Edición.
• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición
• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición
• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.