Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
1
Universidad Abierta y a Distancia de Mxico
Licenciatura en Matemticas
Programa de la asignatura:
Clculo Integral
Unidad 3. Mtodos de integracin
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
2
ndice UNIDAD 3. MTODOS DE INTEGRACIN ............................................................................................. 3
Propsito de la unidad ........................................................................................................................ 3
Competencia especfica ...................................................................................................................... 3
Presentacin de la unidad ................................................................................................................... 3
Actividad 1. Mtodos de integracin .................................................................................................. 3
Integracin por partes ......................................................................................................................... 4
INTEGRALES POR PARTES ....................................................................................................................................... 4
SUSTITUCIN PARA RACIONALIZAR .......................................................................................................................... 5
Integracin de funciones racionales mediante fracciones parciales .................................................. 5
Q(X) ES PRODUCTO DE FACTORES LINEALES DISTINTOS ................................................................................................ 7
Q(X) CONTIENE FACTORES LINEALES, ALGUNOS SE REPITEN .......................................................................................... 9
Q(X) CONTIENE FACTORES CUADRTICOS REDUCIBLES, NINGUNO SE REPITE .................................................................. 11
Q(X) CONTIENE UN FACTOR CUADRTICO IRREDUCTIBLE REPETIDO .............................................................................. 13
Actividad 2.integracin por partes y de funciones racionales .......................................................... 15
Integrales trigonomtricas ................................................................................................................ 15
INTEGRALES TRIGONOMTRICAS ........................................................................................................................... 15
INTEGRALES QUE CONTIENEN SENOS Y COSENOS ...................................................................................................... 17
INTEGRALES QUE CONTIENEN TANGENTES Y SECANTES .............................................................................................. 19
SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA ........................................................................................................................... 20
Estrategias de la integracin por medio de tablas integrales ........................................................... 22
TABLAS DE FRMULAS INTEGRALES ....................................................................................................................... 22
ESTRATEGIAS PARA INTEGRAR .............................................................................................................................. 23
Actividad 3. Integrales trigonomtricas ............................................................................................ 23
Integrales impropias .......................................................................................................................... 23
TIPO 1. INTERVALOS INFINITOS ............................................................................................................................ 24
TIPO 2. INTEGRANDOS DISCONTINUOS .................................................................................................................. 25
Actividad 4. Integrales impropias ...................................................................................................... 27
Evidencia de aprendizaje. Clculo de una integral ............................................................................ 27
Consideraciones especficas de la unidad ......................................................................................... 28
Fuentes de consulta .......................................................................................................................... 28
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
3
UNIDAD 3. MTODOS DE INTEGRACIN
Propsito de la unidad
Al trmino de la unidad habrs incrementado tu competencia en resolver integrales
mediante diferentes mtodos y reglas de integracin. Desarrollars tu habilidad de
escoger mtodos apropiados para resolver integrales. Identificars integrales que
requieran el uso de tablas de integrales para su resolucin.
Competencia especfica
Utilizar mtodos de integracin para resolver integrales mediante reglas, identidades,
sustituciones, simplificaciones, definiciones, estrategias y tablas, con base en ejercicios
de prctica.
Presentacin de la unidad
En la unidad 1 hemos visto el teorema fundamental del clculo, el cual menciona que es
posible integrar una funcin si conocemos su antiderivada, o su integral definida. Tambin
hemos adquirido habilidad para resolver cierto tipo de integrales; sin embargo, existen
integrales ms complicadas que no es posible resolverlas con las frmulas y mtodos
hasta ahora expuestos. Por ello, en este captulo abordaremos diferentes tcnicas y
mtodos para resolver integrales.
Entre los mtodos que veremos estn integracin por partes, integracin usando
funciones trigonomtricas, integraciones por sustitucin trigonomtrica, integracin de un
cociente mediante la descomposicin de fracciones parciales entre sus diferentes casos.
Tambin veremos el cmo abordar cierto tipo de integrales mediante tablas y/o aplicando
algunas estrategias para realizar el proceso de integracin con xito. Incluso abordaremos
las integrales impropias en donde extenderemos el concepto de integral definida al caso
donde el intervalo es infinito y tambin al caso donde f tiene una discontinuidad infinita en
un intervalo [a, b].
Actividad 1. Mtodos de integracin
Revisa el documento de actividades para revisar las indicaciones por el cual se realizar la actividad.
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
4
Integracin por partes
Como inicio de la unidad empezaremos a estudiar el mtodo de integracin por partes.
Dicho mtodo es una consecuencia inversa del proceso de derivacin de un producto de
funciones. Veremos tambin el proceso de integracin cuando tengamos funciones
expresadas como races cuadradas.
Integrales por partes
La regla de integracin por partes surge de la regla de derivacin de un producto de dos
funciones. Supongamos que f y g son funciones derivables.
La regla de derivacin de un producto de funciones establece:
)()()()()()( xfxgxgxfxgxfdx
d
Si aplicamos la integral al producto de funciones, tenemos:
dxxfxgxgxfdxxgxfdx
d )()()()()()(
En el primer trmino se cancela la integral.
dxxfxgdxxgxfxgxf )()()()()()( Despejamos el primer trmino de la suma del lado derecho.
dxxfxgxgxfdxxgxf )()()()()()( Llegamos a lo que se conoce como frmula de integracin por partes.
Si renombramos los trminos )(xfu y )(xgv y sus respectivos diferenciales
dxxfdu )( y dxxgdv )( ; reescribimos la frmula de integracin por partes como:
duvuvdvu Reescribiendo de esta manera una integral, es ms sencillo resolverla. Escrita de esta
manera te ser ms fcil recordarla.
Ejemplo
Queremos determinar la integral de la forma dxxsenx . Solucin
Antes de realizar la integral identificamos a u y v .
u dv u v v du Lo que est en rosa es lo que identificamos y lo que est en amarillo es lo que tenemos
que encontrar para poder aplicar la regla.
xu encontrar: dxdu
senxdxdv encontrar: xv cos
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
5
Sustituimos en nuestra frmula de integracin por partes, y procedemos a integrar las
integrales faltantes. En caso de que fuera necesario, volvemos nuevamente a aplicar la
regla de integracin por partes. En este caso no es necesario.
Csenxxx
dxxxcoxx
dxxxsenxdxxduvvudvu
cos
cos
)cos()cos(
La integral del coseno la sacamos de las tablas de
integrales.
El objetivo de la integracin por partes es obtener una integral ms fcil de resolver, en
comparacin con la inicial.
Sustitucin para racionalizar
En esta seccin evaluaremos integrales que tienen una expresin de la forma n xg )( , en
la cual efectuaremos una sustitucin n xgu )( .
Ejemplo
Evaluar la integral
dxx
x 4
Solucin
Haremos la sustitucin de n xgu )( , es decir:
4 xu que es lo mismo que 42 xu , despejando x y determinando sus
diferencias,
42 ux ; ududx 2
Sustituyendo en la integral, llegamos a:
duu
u
duu
uudu
u
udx
x
x
42
422
4
4
2
2
2
2
2
Este ltimo trmino ser evaluado usando fracciones parciales.
Integracin de funciones racionales mediante fracciones parciales
Revisaremos algunos mtodos para calcular integrales racionales de la forma:
xQxP
xf
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
6
En donde )(xP y )(xQ son polinomios.
Para integrar funciones con esta forma, lo que haremos es expresar a )(xf como una
suma de fracciones ms sencillas, siempre que el grado del polinomio P sea de menor
grado que el polinomio Q.
Nota:
Recordemos que un polinomio se puede expresar de la siguiente manera.
011
1 axaxaxaxPn
n
n
n
En donde 0na . El grado del polinomio est denotado por n .
Por otra parte, debemos considerar que una funcin propia )(xf es cuando el grado de
)(xP es menor que el grado de )(xQ . Y una impropia es cuando el grado de )(xP es
mayor que el grado de )(xQ .
Considerando el caso que tengamos una funcin impropia, lo primero que haremos ser
realizar la divisin de polinomios )(xP entre )(xQ hasta obtener el residuo. Es decir,
)(
)()(
)(
)()(
xQ
xRxS
xQ
xPxf
En donde )(xR y )(xS tambin son polinomios.
Revisemos el siguiente ejemplo para entenderlo mejor.
Ejemplo
Supongamos que nos piden determinar la integral racional de:
Solucin
Observemos. Se trata de una integral impropia, pues el grado del polinomio P es mayor
que el grado del polinomio Q.
Procedemos a realizar la divisin y la sustituimos dentro del radicando, tenemos:
dxx
xxdxx
xx
1
22
1
23
Cxxxx
1ln2223
23
dxx
xx
1
3
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
7
El clculo de la integral fue ms trivial al realizar la divisin.
Sin embargo, despus de haber realizado la divisin, es posible que nos quedemos
trabajando con el cociente )(
)(
xQ
xR que pueda tener la forma de una funcin propia. El grado
de )(xR es menor que el grado de )(xQ .
)(
)(
xQ
xR
Cuando tengas esto, lo que debes hacer es descomponer el denominador Q(x) en
factores, tanto como sea posible para convertir nuestro cociente )(
)(
xQ
xR en una suma de
fracciones parciales cuyos denominadores son potencias de polinomios de grado menor o
igual a dos.
rFFFxQ
xR 21
)(
)(
El siguiente paso consiste en expresar la funcin racional propia, )(
)(
xQ
xR como una suma
de fracciones parciales, dependiendo del factor que est contenido en )(xQ .
ibaxA
jcbxaxBAx
2
Esto siempre va a ser posible.
Veremos en las siguientes secciones los diferentes casos que se pueden encontrar para
el denominador )(xQ de la funcin propia.
Q(x) es producto de factores lineales distintos
Sea el caso que tengamos una funcin propia. El grado de )(xP es menor que el grado de
)(xQ .
rFFFxQ
xR 21
)(
)(
Caso I, cuando el denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos.
Es decir, puedes representar tu polinomio )(xQ como producto de factores lineales, la
potencia de cada uno de ellos es uno.
kk babxabxaxQ 2211
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
8
No debe haber factores repetidos. Con esto es posible reescribir el cociente como:
donde kAAA ,,, 21 son constantes a encontrar.
Ejemplo
Resuelve la siguiente integral.
Solucin
Se trata de una funcin propia, ya que el polinomio del denominador es de mayor grado
que el polinomio del numerador.
Como comentamos anteriormente, tenemos que expresar el denominador en trminos de
factores de grado uno.
Mira, lo hemos puesto con TRES FACTORES LINEALES DISTINTOS, con polinomios de
grado uno. Soy muy redundante? Pues, s, que no se te olvide que el grado de cada
factor es uno!
Entonces, ahora reescribimos nuestro cociente como el resultado de fracciones parciales,
en trminos de las constantes A, B y C .
Lo que haremos ahora es hallar las constantes A , B y C . Para lograrlo multiplicamos
ambos lados de la expresin por
212 xxx .
Reordenado para conseguir la igualacin de literales.
Encontramos que los coeficientes en ambas ecuaciones tienen que ser iguales.
CBA 221 CBEA 22
kk
x
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xR
22
2
11
1
dxxxx
xx
232
1223
2
212232232 223 xxxxxxxxx
212212122
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
122212122 xCxxBxxxAxx
AxCBEAxCBAxx 222212 22
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
9
A21
Es un sistema de ecuaciones que hay que resolver para encontrar los valores de A , B y
C . Puedes usar cualquier mtodo que desees para resolverlo.
Resolviendo el sistema de ecuaciones se encontraron los siguientes valores
Al resolver el sistema obtenemos: 2
1A ,
5
1B y
10
1C
Finalmente, podemos reescribir nuestra integral original en trminos de fracciones
parciales
Cxxx
dxxxx
dxxxx
xx
210
112ln
10
1ln
2
1
2
1
10
1
12
1
5
11
2
1
232
1223
2
Recalcando, el denominador )(xQ se escribi como un producto de factores lineales
distintos kk babxabxaxQ 2211
Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten
Si )(
)()(
)(
)()(
xQ
xRxS
xQ
xPxf , analizaremos el caso II, cuando el denominador Q(x) es
un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.
Sea el cociente de polinomios
rFFFxQ
xR 21
)(
)(
El cual es una funcin propia, donde descomponemos el denominador Q(x) en un
producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.
rr
bxa
A
bxa
A
bxa
A
11
2
11
2
11
1
Observa que los factores )( 11 bxa se repiten r veces.
Un ejemplo claro es el siguiente:
212212122
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
10
322323
1111
1
x
E
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Hicimos esto, ya que el factor x es lineal y se repite 2r veces, por lo que se escriben
los trminos x
A y
2x
B. Y tambin el factor )1( x es lineal y se repite 3r , por lo que
puedes escribir tres trminos)1( x
C,
2)1( x
D y
)1( x
E
Analicemos un ejemplo de integracin.
Ejemplo
Determine la integral
dxxxx
xxx
1
14223
4
Solucin
El primer paso es dividir para obtener el cociente de la forma anteriormente vista
)(
)()(
)(
)()(
xQ
xRxS
xQ
xPxf
Dividiendo resulta
1
41
1
1422323
4
xxx
xx
xxx
xxx
El segundo paso es expresar a 123 xxxxQ en factores.
Factorizamos, dado que 1 es solucin de 0123 xxx tenemos el primer factor
)1( x , tambin a )1( 2 x lo podemos descomponer en dos factores )1( x )1( x .
Reescribiendo tenemos:
11
111111
2
223
xx
xxxxxxxx
El factor lineal 1x , aparece dos veces.
Con esto ya podemos trabajar con la parte )(
)(
xQ
xR as que este cociente queda expresado
como:
Realizando la misma tcnica del ejemplo anterior para hallar las constantes, multiplicamos
por el mnimo comn denominador 11 2 xx y obtenemos
111114
22
x
C
x
B
x
A
xx
x
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
11
CBAxCBxCA
xCxBxxAx
2
11114
2
2
Igualamos coeficientes en relacin con las literales:
0
42
0
CBA
CB
CA
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:
1A , 2B y 1C
Una vez que hemos hallado el valor de las constantes procedemos a sustituirlas en
nuestras fracciones parciales y reescribimos nuestra integral para resolverlas.
Cx
xin
xx
x
Cxinx
xinxx
dxxxx
xdxxxx
xxx
1
1
1
2
2
11
21
2
1
1
1
2
1
11
1
142
2
2
223
24
Una vez ms hemos descompuesto el denominador Q(x) en un producto de factores
lineales, algunos de los cuales se repiten.
rr
bxa
A
bxa
A
bxa
A
11
2
11
2
11
1
Q(x) contiene factores cuadrticos reducibles, ninguno se repite
Caso III. Es el caso tal que la descomposicin de xQ contiene factores cuadrticos
irreducibles, de los cuales ninguno se repite. Esto es cuando xQ posee el factor
cbxax 2 , en donde 042 acb . El cociente )(
)(
xQ
xR tendr un trmino de la forma:
cbxax
BAx
2
Siendo Ay B constantes a ser determinadas. Considera que es posible que xQ contenga trminos lineales y no lineales.
Si el denominador contiene factores lineales, utilizars el mtodo de la seccin anterior
para determinar las fracciones parciales debido a los trminos lineales. Y para determinar
la forma de las fracciones parciales cuando los factores del denominador tienen factores
cuadrticos, usars el mtodo expuesto en esta seccin.
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
12
El siguiente ejemplo lo ilustra mejor.
Ejemplo
La funcin 412 22 xxx
xxf descompuesta en fracciones parciales queda de
la siguiente manera:
412412 2222
x
EDx
x
CBx
x
A
xxx
x
Las fracciones parciales 12
x
CBxy
42
x
EDxsurgen debido a los factores cuadrticos
12 x y 42 x respectivamente; y la fraccin 2x
Aes consecuencia del trmino lineal
)2( x .
Veamos un ejemplo donde se tenga que integrar una funcin racional.
Ejemplo
Calcule la siguiente integral dxxx
xx
4
423
2
Solucin
Procedemos a descomponer )4(4)( 23 xxxxxQ y reescribimos el cociente (surgen
dos fracciones, una debido a un factor lineal y otra debido al factor cuadrtico).
4442
22
2
x
CBx
x
A
xx
xx
Igual que en los ejemplos anteriores multiplicamos por 42 xx para resolver los valores de A, B y C.
ACxxBA
xCBxxAxx
4
442
2
22
Resolviendo llegamos a los valores
1A 1B , 1C Entonces, al reemplazar estos valores para A, B, y C, la integral toma la forma:
dxx
x
xdx
xx
xx
4
11
4
4223
2
Fjate que esta integral, ahora est expresada como la integral de una suma, que es lo
mismo que la suma de dos integrales.
dxx
xdx
xdx
xx
xx
4
11
4
4223
2
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
13
El clculo del primer trmino es trivial; sin embargo, el segundo trmino lo podemos
expresar en dos partes como:
dx
xdx
x
xdx
x
x
4
1
44
1222
La primera integral la resolvemos usando una sustitucin de variable con 42 xu y
xdxdu 2 respectivamente. En la segunda integral se usa la integral:
Ca
x
aax
dx
1
22tan
1
Identificamos que 2a . Observemos que finalmente nuestra integral original puede ser
descompuesta en tres fracciones parciales, una lineal y dos cuadrticas.
CxxInxIn
dxx
dxx
xdx
xdx
xx
xx
2tan4
4
1
4
1
4
42
1
212
21
223
2
Q(x) contiene un factor cuadrtico irreductible repetido
En este tpico tendremos el caso IV en el cual el denominador )(xQ se puede
descomponer en el factor rcdxax 2 repetido r veces.
)(
)(
xQ
xRse descompone en las fracciones parciales de la forma:
rrr
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
22
22
2
11
Ejemplo
Descompn en fracciones parciales el siguiente cociente:
32223
111
1
xxxxx
xx
Solucin
32222232223
11111111
1
x
JIx
x
HGx
x
FEx
xx
DCx
x
B
x
A
xxxxx
xx
El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el trmino x
A, el factor
)1( x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que tambin se escribe el trmino )1( x
B.
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
14
El factor )1( 2 xx es cuadrtico y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el trmino
)1( 2
xx
DCx .
Ahora pon mucha atencin, como el factor 32 )1( x no es lineal y tiene una potencia
3r , es posible escribir tres factores de la forma:
)1( 2
x
FEx,
22 )1(
x
HGx y
32 )1(
x
JIx.
Ejemplo
Determinar
dxxx
xxx
22
32
1
21
Solucin
Para la descomposicin de fracciones, debemos poner atencin en la potencia r de cada
factor )(xQ .
El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el trmino x
A; sin
embargo, el factor )1( 2 x no es lineal y tiene potencia 1r , entonces se escribe el
trmino )1( 2
x
CBx y el trmino
22 )1(
x
DDx.
Entonces tenemos que el cociente )(
)(
xQ
xR es:
2222232
1112
21
x
EDx
x
CBx
x
A
x
xxx
Multiplicamos por 22 1xx para hacer una igualacin de coeficientes:
AxECxDBACxxBA
ExDxxxCxxBxxA
xEDxxxCBxxAxxx
234
232424
22223
2
12
1112
Se tiene:
0 BA 1C 22 DBA 1 EC 1A
Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a las soluciones:
1A 1B 1C 1D 0E
Sustituyendo los valores de las constantes, llegars a:
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
15
Cx
xxx
x
xdx
x
dxdx
x
x
x
dx
dxx
x
x
x
xdx
xx
xxx
12
1tan1lnln
111
11
11
1
21
2
12
21
2222
22222
32
Actividad 2.integracin por partes y de funciones racionales
En esta actividad resolvers ejercicios sobre integracin por partes y de funciones racionales mediante las fracciones parciales. Para eso revisa el documento de actividades donde se dan las instrucciones y espera el documento del docente con los ejercicios que debers resolver.
Integrales trigonomtricas
En esta seccin nos enfrentaremos a integrales que contienen funciones trigonomtricas.
Para ello conoceremos y aplicaremos algunas identidades trigonomtricas
frecuentemente usadas.
Integrales trigonomtricas
Las identidades trigonomtricas juegan un papel importante a la hora de integrar ciertas
combinaciones de funciones trigonomtricas.
La idea central de este mtodo consiste en reescribir una integral dada en una integral
ms accesible que permita realizar el proceso de integracin de forma prctica.
Podemos usar las siguientes identidades, segn nuestra conveniencia a la hora de
evaluar integrales.
1cossen 22 xx xx 22 cos1sen xx 22 sen1cos
xxen 2cos12
1s 2
xx 2cos12
1cos2
1sectan 22 xx
xx 2csccot1 2
Para evaluar integrales de la forma dxnxmx cossen , dxnxmx sen sen
dxnxmx cos cos , puedes usar las siguientes identidades.
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
16
)(sen )(sen 2
1cossen BABABA
)( c)( cos2
1sen sen BAosBABA
)( c)( cos2
1coscos BAosBABA
Adems, podemos usar otras identidades como:
Identidades recprocas
senxx
1csc
xx
cos
1sec
xx
tan
1cot
x
senxx
costan
senx
xx
coscot
Identidades pitagricas
1cossen 22 xx
xxan 22 sec1t
xx 22 csccot1
Identidades de paridad
senxx )(sen
xxos cos)(c
xx tan)(tan
Ejemplo
Queremos evaluar la integral dxx cos3 . Como notars, no la puedes evaluar
directamente con los mtodos anteriormente vistos.
Solucin
Por ello, utilizaremos las identidades anteriores para hacerla ms fcil de resolver.
Para empezar, x3cos lo podemos reescribir con ayuda de las funciones trigonomtricas
como:
xxxxx cos) sen1(coscoscos 223
Reescribiendo la integral inicial con un cambio de variable xu sen y xdxdu cos
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
17
Cuu
du
dxxxdxx
3
2
23
3
1
)u1(
cos) sen1(cos
Regresamos a la variable inicial x, reemplazando xu sen
Cxxdxx 33 sen
3
1sen cos
Integrales que contienen senos y cosenos
En esta seccin conocers el mtodo de evaluar integrales de la forma
dxxxn cos senm
Para evaluar este tipo de integrales, hay que considerar los siguientes tres casos:
CASO UNO. En el caso que tengamos 12 kn una potencia impar, descomponemos el
xncos en factores, posteriormente utilizamos la identidad xx 22 sen1cos con la
intencin de expresar los factores restantes en trminos de funciones trigonomtricas
senos.
Finalmente, tenemos la integral con potencia par reescrita en trminos de senos.
dxxxxdxxx kk cos)(cos sen cos sen 2m12m
Reemplazando nuestra identidad xx 22 sen1cos tenemos una integral de la forma,
dxxxxdxxx kk cos)sen1( sen cos sen 2m12m
Puedes resolver esta integral haciendo un cambio de variable xu sen y al hacer
xdxosdu c . Al final tendramos que resolver una integral de la forma:
duuu mk )1(2
CASO DOS. Si te enfrentaras con integrales donde la potencia m es impar, 12 km .
Usamos la misma tcnica que en el caso uno.
Descomponemos xnsen en factores, sustituimos la identidad xx22 cos1sen
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
18
dxxxx
dxxxxdxxx
nk
nkn
cos sen )cos1(
cos sen )(sen cos sen
2
212k
Esta forma se puede resolver por medio de una sustitucin, haciendo xosu c ,
senxdxdu . Como en la expresin no tenemos un dxxsen )( multiplicamos ambos
lados por -1 y nos queda la expresin dxxsendu )( . Finalmente tendrs que calcular
esta integral.
duuu nk )1(2
Como te dars cuenta esta integral es ms fcil de resolver.
CASO TRES. Veremos que ste es ms fcil, ya que se trata de un caso donde las
potencias son pares, tanto para el seno como para el coseno. En este caso tendremos
que aplicar las siguientes identidades:
xxen 2cos12
1s 2
xx 2cos12
1cos2
xxx 2sen 2
1sen cos
Ejemplo
Determina
xdxxsen25 cos
Solucin
Podramos convertir x2cos a xsen21 pero nos quedaramos con una expresin en
trminos de senx sin factor xcos extra. En vez de eso, separamos un slo factor seno y
reescribimos el factor xsen4 restante en trminos de xcos :
xsenxxxsenxxsenxxsen 22222245 cos)cos1(cos)(cos
Sustituyendo xu cos , tenemos senxdxdu luego
.
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
19
Otro ejemplo
Evaluar
=
=
=
=
Integrales que contienen tangentes y secantes
En esta seccin nos interesa evaluar integrales de la forma: dxxxn sec tanm .
Tienes dos casos.
i) Cuando la potencia kn 2 es par: descompondrs xnsec en factores, manteniendo en
un factor una potencia igual a 2. Reemplazars la identidad xx 22 tan1sec .
Expresars la integral en trminos de xtan .
dxxxx
dxxxxdxxx
k
kk
sec)tan1( tan
sec)(sec tan sec tan
212m
212m2m
Hacemos una sustitucin y y la integral que evaluars
quedara as:
duuudxxxan mkk 122m 1 sec t ii) Cuando la potencia 12 km es impar: lo que hars ser descomponer xk 12tan en
factores, manteniendo en un factor una potencia igual a 2. Despus reemplazars la
identidad 1sectan 22 xx . Posteriormente, expresars la integral en trminos de sec x.
dxxxxx
dxxxxxdxxx
nk
nkn
tansecsec)1sec(
tansecsec)tan( sec tan
12
1212k
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
20
Convertimos y y nos queda una forma ms sencilla de
integral:
Sustitucin trigonomtrica
En esta seccin aprenderemos a integrar funciones de la forma dxxa 22
, siendo a
una constante MAYOR a cero.
Haremos un cambio de variable de x a mediante la sustitucin asenx . Emplearemos
la identidad 22 1cos sen con el objetivo de quitar la raz, observa:
coscos)1( 222222222 aasenasenaaxa
Podrs ver que, con este cambio de variable, la integral se convierte en una ms sencilla
facilitando la integracin. Hemos eliminado la raz que nos complicaba el trabajo.
A este tipo de sustitucin se le llama sustitucin inversa.
Existen otros casos en los que se puede emplear el mismo seguimiento. A continuacin
tenemos una tabla donde se muestra la expresin y lo que puedes usar dependiendo de
los signos de los trminos del radicando.
Forma del radical
Sustitucin Nuevo lmite de
integracin
Identidad
empleada
1. 22 xa asenx
22
22 1cos sen
2. 22 xa tanax
22
22 tan1sec
3. 22 ax secax
20
2
3
1sectan 22
En video puedes ver algunos ejemplos.
http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8
http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related
Ejemplo
Determina la integral
dxxx 4
122
Solucin
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
21
Identificamos que se trata del segundo caso que se encuentra en la tabla. Entonces, la
sustitucin empleada ser tan2x definida en el intervalo 2/2/, . El
diferencial de x es ddx 2sec2 .
Trabajando con el radical y realizando las sustituciones respectivas se tiene:
sec2sec2sec4)1(tan44 222 x
Reemplazamos en nuestra integral original:
d
d
xx
dx
222
2
22 tan
sec
4
1
)sec2)(tan2(
sec2
4
El integrando lo podemos reescribir de la siguiente forma:
22
2
2
coscos
cos
1
tan
sec
sensen
La integral queda:
d
send
xx
dx2222
cos
tan
sec
4
Realizando la sustitucin senxu y su respectivo diferencial se tiene:
2222 41cos
4
1
4 u
dud
sendx
xx
dx
Resolviendo
CCsen
Cuu
du
4
csc
4
11
4
1
4
12
Emplearemos el tringulo siguiente para identificar los lados y la cosecante del ngulo en
cuestin.
x
x 4csc
2
Cx
x
xx
dx
4
4
4
2
22
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
22
Estrategias de la integracin por medio de tablas integrales
Dado que la integracin ofrece ms retos que la diferenciacin, daremos unos puntos que
debes tener en consideracin cuando trates de resolver integrales.
Es de mucha ayuda tener tablas de integrales y es muy aconsejable tratar de
memorizarlas, por lo menos las frmulas bsicas de integracin.
Tablas de frmulas integrales
La tabla siguiente te ser de mucha ayuda a la hora de resolver integrales.
Tabla de frmulas de integracin
1.
1
1
n
xdxx
nn con )1( n
11. xxdxx tanseclnsec
2. xIndxx
1
12. xxdxx cotcsclncsc
3. xx edxe 13. xIndxx sectan
4. aa
dxax
x
ln
14. senxIndxxcot
5. sen x xdx cos 15. xdxxsenh cosh
6. xsendxxcos 16. xsenhdxxcosh
7. xdxx tansec2
17.
ax
aax
dx 122
tan1
8. xdxx cotcsc2 18.
a
xsen
xa
dx 122
9. xdxxx sectansec 19.
ax
ax
aax
dxln
2
122
10. xdxxx csccotcsc 20.
22
22ln axx
ax
dx
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
23
Estrategias para integrar
Hemos visto varias tcnicas de integracin; sin embargo, es necesario tener una
estrategia para enfrentar las integrales.
Para resolver una integral, lo primero que tienes que hacer es:
1. Simplificar el integrando en lo posible.
2. Detectar si existe una sustitucin obvia.
3. Clasificar el integrando de acuerdo a la forma que tenga, para aplicar los mtodos
apropiados de integracin ya sean:
a. Integracin de funciones trigonomtricas
b. Integracin de funciones racionales
c. Integracin por partes
d. Integracin de radicales
4. Intentar de nuevo si no se ha llegado a la respuesta con los primeros pasos, se
puede intentar con lo bsico, por sustitucin o por partes.
a. Prueba la sustitucin
b. Intenta integrar por partes
c. Intenta integrar modificando el integrando
d. Relaciona integrales con problemas resueltos anteriormente, considera que
la experiencia es muy importante.
e. Utiliza varios mtodos de integracin, a veces no se llega al resultado con
un mtodo.
Una manera ms eficiente que te ayudar a incrementar tus habilidades para resolver
integrales es la experiencia, por lo cual te recomiendo que resuelvas tantos integrales
como te sea posible para cada uno de los mtodos vistos a lo largo del curso y en
especial de esta unidad.
nimo!, sigue resolviendo muchas integrales.
Actividad 3. Integrales trigonomtricas
.la intencin de esta actividad, es que realices ejercicios sobre integrales trigonomtricas , utilizando las tablas de frmulas integrales y diversas estrategias.
Integrales impropias
Una integral impropia es aquella que se encuentra en el caso que est definida en un
intervalo infinito y tambin en el caso donde existe una discontinuidad infinita en [a, b].
Estudiemos ambos casos.
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
24
Tipo 1. Intervalos infinitos
Consideremos una integral en un intervalo infinito. Por ejemplo, la curva descrita por la
funcin 2
1
xy .
La regin S est acotada por la funcin 2
1
xy y el eje x , acotada en el lado izquierdo
por la recta vertical 1x en el lado derecho hasta el infinito. En principio se pensara que
el rea S es infinita; sin embargo, esto no es as.
El rea de una regin acotada por la vertical 1x y por la recta vertical movible en el eje
tx est dada por:
tx
dxx
tA
tt 1
111
11 2
Si nos ponemos a hacer clculo variando t , sin importar qu tan grande sea, notaremos
que el rea no rebasa el valor de una unidad, por lo tanto, concluimos que 1)( tA .
Observamos tambin, que si calculamos el lmite cuando t , llegamos a un valor
diferente de infinito.
111limlim
ttA
tt
El rea de la regin es igual a uno y esto lo podemos escribir como:
11lim1
1 21 2
dxxt
dxx
t
Este ejemplo te dio una nocin intuitiva de que el rea no es infinita; sin embargo,
considera la definicin siguiente, la cual te expone tres casos:
Definicin de una integral impropia de tipo 1
i) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma dxxft
a para cualquier at , entonces:
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
25
dxxfdxxft
ata
lim
Mucho ojo! Siempre y cuando exista el lmite como un nmero finito.
ii) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma dxxfb
t para cualquier
bt , entonces:
dxxfdxxfb
tt
b
lim
Mucho ojo! Siempre y cuando exista el lmite como un nmero finito.
Estos dos casos de integrales impropias nos permiten nombrarlas como
convergentes si existe dicho lmite y divergentes si no lo hay.
iii) Si en ambas integrales dxxfa
y dxxfb
de los casos anteriores, son divergentes, entonces por definicin se tiene la suma de integrales:
dxxfdxxfdxxfa
a
Ejemplo
Determina si la integral es divergente o convergente
dxx1
Solucin
De acuerdo con la definicin anterior, la integral se amolda al caso i.
tt
xdxx
dxx
tt
t
t
t
t
lnlim1lnlnlim
lnlim1
lim1
111
El valor es infinito, no es un nmero finito, por lo tanto de la definicin podemos concluir
que la integral impropia diverge.
Si tuvieses una integral impropia de la forma:
1
1dx
x p
Ser convergente siempre y cuando 1p y divergente cuando 1p .
Tipo 2. Integrandos discontinuos
Tenemos abajo una tabla que define las integrales impropias con integrandos
discontinuos.
Definicin de una integral impropia de tipo 2
i) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en [a, b) y discontinua en b.
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
26
dxxfdxxft
abt
b
a lim
Mucho ojo! Siempre y cuando exista el lmite como un nmero finito.
ii) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en (a, b] y discontinua en a.
dxxfdxxfb
tat
b
a lim
Mucho ojo! Siempre y cuando exista el lmite como un nmero finito.
Estos dos casos de integrales impropias nos permiten llamarlas como convergentes
si existe dicho lmite y divergentes si no lo hay.
iii) Si tienes una discontinuidad en c que est entre los intervalos a y b , y adems son
convergentes las integrales dxxfc
a y dxxfb
c , por definicin tendrs:
dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
27
Ejemplo
Determina la integral dxx
5
2 2
1
Solucin
La grfica de la funcin es la siguiente.
Observa y veras que tiene una asntota vertical en 2x . La discontinuidad es infinita
marcada en 2x . De la definicin ii) de esta seccin, se tiene:
32
232lim
22lim
2lim
2
2
5
2
5
2
5
2
t
x
x
dx
x
dx
t
tt
tt
Por lo tanto, podemos concluir que se trata de una integral impropia convergente. El rea
es regin sombreada de la regin.
Actividad 4. Integrales impropias
Revisa el documento de actividades y espera las indicaciones del docente para las indicaciones de la actividad.
Evidencia de aprendizaje. Clculo de una integral
La actividad que te presenta el docente, corresponde a la relacin de la unidad 1 y 2, para determinar la propuesta de solucin del problema prototpico planteado en la informacin general de la asignatura, para ello espera las indicaciones de la actividad, revisando las indicaciones en el archivo de actividades de la unidad.
Clculo integral Unidad 3. Mtodos de Integracin
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas
28
Consideraciones especficas de la unidad
En esta seccin requerimos el siguiente material:
Calculadora.
Tablas de integracin. Existen libros en las bibliotecas que podras utilizar o bien
adquirir las tablas de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para
evaluar las integrales.
Es necesario que repases las frmulas para encontrar reas a figuras geomtricas
planas y volumtricas comunes.
Es necesario que tengas conocimientos sobre:
lgebra
Geometra analtica
Clculo diferencial
Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias.
Fuentes de consulta
Apostol, T. M. (2008). Calculus. Espaa: Revert.
Larson, R. E. (2005). Clculo. Mxico: Mc Graw Hill.
Leithold, L. (2009). El Clculo. Mxico: Oxford University Press.
Stewart, James. (2008). Clculo. Trascendentes tempranas. Mxico: Cengage Learning.
Integracin por partesIntegrales por partesSustitucin para racionalizar
Integracin de funciones racionales mediante fracciones parcialesQ(x) es producto de factores lineales distintosQ(x) contiene factores lineales, algunos se repitenQ(x) contiene factores cuadrticos reducibles, ninguno se repiteQ(x) contiene un factor cuadrtico irreductible repetido
Integrales trigonomtricasIntegrales trigonomtricasIntegrales que contienen senos y cosenosIntegrales que contienen tangentes y secantesSustitucin trigonomtrica
Estrategias de la integracin por medio de tablas integralesTablas de frmulas integralesEstrategias para integrar
Integrales impropiasTipo 1. Intervalos infinitosTipo 2. Integrandos discontinuos