Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 34
UNIDAD 3
MÉTODO DE LAS FUERZAS.
POR SECCIONES
Los métodos clásicos para resolver estructuras indeterminadas se basan esencialmente
en el concepto de las deformaciones consistentes o las deformaciones conocidas que debe
sufrir la estructura analizada.
El enfoque de este método plantea que cualquier estructura, hiperestática puede
convertirse en estáticamente determinada y estable, al suprimir los vínculos adicionales o
acciones sobrantes. Y a esta estructura obtenida luego de eliminar los vínculos adicionales
para ser isostática, se le denomina estructura primaria, la misma se considera como la
acción combinada de fuerzas externas iniciales, más las acciones de las fuerzas
hiperestáticas, evidenciadas y no conocidas. Estas fuerzas, junto con las cargas aplicadas,
deben provocar que la estructura se deforme de tal forma que los desplazamientos sean
consistentes con las condiciones de los soportables o, en algunos casos, consistentes con
algunas restricciones internas requeridas.
Objetivo General.
Analizar las distintas Propiedades de los elementos que constituyen las formas
resistentes de una estructura, de acuerdo con las cargas que inducen a la deformación de
estos elementos.
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 35
Persigue la determinación de fuerzas superabundantes internas y externas, generadas
en una estructura por condiciones de vínculos internos o externos en exceso al número
mínimo exigido por las condiciones estáticas.
Consideraciones para la Aplicación del Método de las Fuerzas.
* La estructura debe ser Hiperestática o de Vínculos Superabundantes (se debe identificar
los grados de hiperestaticidad aplicando la ecuación: GIE = 3n - (Ve + Vi) y proponer la
estructura primaria).
* Elegir un sistema Isostático Estable.
* El sistema se compondrá en la cantidad de cargas reales unitarias + el número de
incógnitas redundantes [Q].
* El sistema virtual vendrá dado por el número de redundantes que posea la estructura.
* Se hallarán los desplazamientos en función de la dirección las redundantes, a través de
las cargas dadas, para la obtención de la matriz de desplazamientos [D].
* Obtenida la estructura isostática, se denominarán las cargas con un valor unitario P=1
para cada sistema como cargas externas existan. Los valores determinados formarán la
matriz de flexibilidad [F]
* Hallar la Ecuación de compatibilidad [D] = [F] x [Q].
* Calcular las fuerzas finales en la estructura debida tanto a las cargas aplicadas como a
las redundantes, considerando la estructura resuelta.
W P
A B C D
SISTEMA ORIGINAL HIPERESTÁTICO
W P
RB RC
A B C D
SISTEMA PRIMARIO ISOSTÁTICO ESTABLE
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 36
El sistema primario se divide, empleando el principio de superposición de los efectos, en
varios sistemas, para calcular el desplazamiento en los puntos y dirección de las
redundantes.
Coeficientes de Flexibilidad.
La estructura primaria, se encuentra solicitada por acciones externas y las
redundantes seleccionadas, las mismas actúan como fuerzas externas (unitarias) en el
sistema con valor desconocido.
Los valores de las fuerzas redundantes son unitarios como bien se mencionaba en el
párrafo anterior, los desplazamientos calculados se denominan “Coeficientes de
Flexibilidad de la Estructura”. Esto quiere decir, que no es más que los desplazamientos de
la estructura debido a fuerzas puntuales unitarias, y estos valores se obtendrán
multiplicando el desplazamiento de las cargas unitarias por el valor de la redundante, una
vez determinada.
W P
X1 X2
* X1
1
* X2
1
La ecuación de Compatibilidad viene dada por:
D10 + d11 . X1 + d12 . X2 = 0
D20 + d21 . X1 + d22 . X2 = 0
De donde: d11, d12, dnn, son los coeficientes de flexibilidad en función a las solicitudes de
desplazamientos dados por:
𝑑𝐼𝐽 = 𝑁.𝑛
𝐴𝐸𝑑𝑙 +
𝑙
0
𝐶𝑣 𝑉.𝑣
𝐴𝐺𝑑𝑙 +
𝑙
0
𝑀.𝑚
𝐸𝐼𝑑𝑙 +
𝑇. 𝑡
𝐺𝐼𝑝𝑑𝑙 +
𝑚.𝛥(𝛥𝑡)
ℎ.𝛼𝑡 𝑑𝑙 +
𝑙
0
𝑙
0
𝑙
0
𝑛.𝛥𝑡𝑜.𝛼𝑡 𝑑𝑙𝑙
0
Axiales Cortantes Momentos Flectores Momentos Torsores Variaciones de Temperaturas
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 37
EJEMPLO 1.-
2 T/m
B C
2m
3 T.m
A 2 t/m
2m B C
D 2m 3 t.m
5m 3m A
2m FDX
5m 3m
D
1
2m 1
2m
5m 3m 5m 3m 5m 3m
Determinar el trabajo interno generado por los
Momentos de Flexión de la Estructura,
aplicando el Método de las Fuerzas, hasta
conseguir el sistema determinado.
Considérese.
AE= ∞ AG = ∞ EI= Ctte
.
3.- Estados de Cargas Reales Unitaria
1
I II III
Solución:
1.- Se Calcula la Indeterminación Estática
GIE = 3n – (Ve + Vi)
GIE = 3(1) – (4 + 0)
GIE = 1 Vínculo Redundante
2.- Sistema Equivalente Determinado Estable
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 38
Aplicando Método de Secciones; determinamos los esfuerzos para cada miembro de la estructura
RCY
MDC
C’
x
D
1/8 t
x
RBY
C
MCB
B’
D
1/8 t
x 3m
C
MBA
A’
RAY
D
1/8 t
5m 3m
2m
1 x FDX
1
2m
5m 3m
5m 3m
RDY
B
x
4.- Estados de Cargas Virtuales
A
5.- Determinación de Fuerzas Equivalentes
- Para Sistema de Carga Unitaria I
I
Aplicando las Ecuaciones de equilibrio
+ ΣMA
= 0
1 + 8RDY = 0 RD
Y = - 1/8 t
+ ΣMC’
= 0
-1/8 (X) + MDC = 0
MDC = x/8
+ ΣMB’
= 0
-1/8 (x + 3) + MCB = 0
MCB = (x+3)/8
+ ΣMA’
= 0
-1/8 (8) + MBA = 0
MBA = 1
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 39
RCY
MDC
C’
x
D
25/16 T
x
RBY
1 T/m
C
MCB
B’
D
25/16 T
x 3m
C
MBA
A’
RAY
D
25/16T
5m 3m
5T
1 T/m
B C
2m II
A
2m D
5m 3m
RDY
1 T/m
B
x
Fuerzas Equivalentes
- Para Sistema de Carga Unitaria II
Aplicando las Ecuaciones de equilibrio
+ ΣMA
= 0
-5 (5/2) + 8RDY = 0
RD
Y = +25/16 T
+ ΣMC’
= 0
25/16 (X) + MDC = 0
MDC = - 25x/16
+ ΣMB’
= 0
25/16 (x + 3) – 1(x)(x/2) + MCB = 0
MCB = x2/2 - (25x+75)/16
+ ΣMA’
= 0
25/16 (8) – 1(5)(5/2) + MBA = 0
MBA = 0
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 40
RCY
MDC
C’
RCX
x
D 1
1/4
x
RBY
C
MCB
B’
D
1/4
x 3m
C
MBA
A’ RAX
RAY D 1
1/4
5m 3m
B C
2m III
A
2m D 1 x FDX
5m 3m
RDY
MÉTODO DE SECCIONES
B
x
4m
1
7.- Determinación de Momentos de Flexión
Elemento MI MII MIII MA
C-D x/8 -25x/16 -3x/4 -3x/4
B-C (x+3)/8 x2/2 – (25x +75)/16 (x-13)/4 (x-13)/4
A-B 1 0 x - 2 x - 2
Fuerzas Equivalentes
- Para Sistema de Carga Unitaria III (Virtual)
Aplicando las Ecuaciones de equilibrio
+ ΣMA
= 0
1 (2) + 8RDY = 0
RD
Y = - 1/4 t
+ ΣMC’
= 0
-1/4 (x) + 1(x) + MDC = 0
MDC = - 3x/4
+ ΣMB’
= 0
-1/4 (x + 3) + 1(4) + MCB = 0
MCB = (x-13)/4
+ ΣMA’
= 0
-1/4 (8) + 1(4-x) + MBA = 0
MBA = x - 2
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 41
8.- Determinación de Matriz de Indeterminación
ωe = ωi = 𝑁𝑁´
𝐴𝐸𝑑
𝑙
0𝑙 + 𝐶𝑣
𝑉𝑉´
𝐴𝐺𝑑
𝑙
0𝑙 +
𝑴𝑴´
𝑬𝑰𝒅
𝒍
𝟎𝒍 +
𝑇𝑇´
𝐺𝐼𝑝𝑑
𝑙
0𝑙 + 𝑀´ 𝛼
𝛥.𝛥𝑡
𝑛𝑑
𝑙
0𝑙 + 𝑁 𝛼𝑡 𝛥𝑡𝑜 𝑑
𝑙
0𝑙
El trabajo interno producido por los esfuerzos de la estructura, y considerando únicamente los
efectos de flexión viene dado por:
𝛚i = 𝑴𝑴´
𝑬𝑰𝒅
𝒍
𝟎𝒍
I. FDX; 3 t.m =
𝒙𝟖
–𝟑𝒙𝟒
𝑬𝑰𝒅
𝟓
𝟎𝒙 +
𝒙+𝟑𝟖
𝒙−𝟏𝟑𝟒
𝑬𝑰𝒅
𝟓
𝟎𝒙 +
𝟏 −𝒙+𝟐
𝑬𝑰𝒅
𝟐
𝟎𝒙
Tramo DC Tramo CB Tramo BA
FDX; 3 t.m = −
𝟓𝟎𝟗
𝟒𝟖𝑬𝑰
II. FDX; 2 t/m =
−𝟐𝟓𝒙𝟏𝟔
−𝟑𝒙𝟒
𝑬𝑰𝒅
𝟓
𝟎𝒙 +
𝒙𝟐
𝟐−
𝟐𝟓𝒙+𝟕𝟓𝟏𝟔
𝒙−𝟏𝟑𝟒
𝑬𝑰𝒅
𝟓
𝟎𝒙
FDX; 2 t/m =
𝟑𝟖𝟕𝟓
𝟔𝟒𝑬𝑰
III. FDX; FD
X =
−𝟑𝒙𝟒
−𝟑𝒙𝟒
𝑬𝑰𝒅
𝟓
𝟎𝒙 +
𝒙−𝟏𝟑𝟒
𝒙−𝟏𝟑𝟒
𝑬𝑰𝒅
𝟓
𝟎𝒙 +
𝒙−𝟐 (𝒙−𝟐)
𝑬𝑰𝒅
𝟐
𝟎𝒙
FDX; FD
X =
𝟏𝟒𝟔𝟗
𝟐𝟒𝑬𝑰
9.- Ecuación de Compatibilidad
𝜟 = 𝑭 . 𝑸
0 = −509
48𝐸𝐼+
3875
64𝐸𝐼+
1469
24𝐸𝐼 .
32𝐹𝐷𝑋
𝑭𝑫𝑿 = −𝟏,𝟒𝟔 𝒕
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 42
10.- Sistema Real Determinado
2 T/m
B C
2m
3T.m
RAX A
2m RAY D 1,46t
5m 3m
RDY
+ ΣMA
= 0
-1.46 (2) - 2(5)(5/2) + 3 + 8RDY = 0
RDY = +3,12 T
+ ΣFH
= 0
-1.46 + RAX = 0
RAX = +1,46 T
+ ΣFV
= 0
-2 (5) + 3,12 + RAY = 0
RAY = +6,88 T
Aplicando las Ecuaciones de equilibrio para hallar las reacciones del sistema determinado.
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 43
Δ1Y= 20cm
Θ1= 0,05 t.m
EJEMPLO 2.-
3
4m
1 2 5 T.m
6m 4m
Θ3
Δ1Y
3
4m
Θ1 2 5t.m
1
6m 4m
I 1 . Δ1Y II
1 t.m 1. Θ3
1. Θ1 III IV
Halle las reacciones indeterminadas de la
Estructura, aplicando el Método de las Fuerzas,
hasta conseguir la matriz de indeterminación y
su diagrama de Momento Flector.
Solución:
1.- Se Calcula la Indeterminación Estática
GIE = 3n – (Ve + Vi)
GIE = 3(1) – (6 + 0)
GIE = 3 Vínculo Redundante
2.- Sistema Equivalente Determinado Estable
a.- La estructura viene condicionada con dos
(2) movimientos de apoyo en el nodo 1, lo
que conlleva a tomar las redundantes en
sentido de esos desplazamientos indicados.
Dado que la estructura es de grado de
indeterminación 3, de los cuales 2 de ellos
ya condicionados, se elije un sistema
isostático estable.
3.- Estados de Cargas Reales Unitaria
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 44
1 2’ M21
R2X
M32 3’
1 1t.m 2
1/4
1 x Δ1Y
1 2’ M21
5/2 t R2X
x
1 x Δ1Y M32 3’
x
1 2
5/2
6m x
R3X
R3Y 3
R1X 1 2 1 t.m 4m
6m 4m
1/4 x
x
6m x
3
1 x Δ1Y R3
X
R1X 1 R3
Y 4m
2
6m 4m
4.- Estados de Cargas Virtuales
Sistemas Unitarios II, III y IV
5.- Determinación de Fuerzas Equivalentes
- Para Sistema de Carga Unitaria I
5.- Determinación de Fuerzas Equivalentes
- Para Sistema de Carga Unitaria I
Aplicando las Ecuaciones de equilibrio
+ ΣM3 = 0
1 + 4R1X = 0 R1
X = - 1/4 t
+ ΣM2’
= 0
M21 = 0 M21 = 0
+ ΣM3’
= 0
-1/4(x) + 1 + M32 = 0 M32 = x/4 - 1
Fuerzas Equivalentes
- Para Sistema de Carga Unitaria II
Aplicando las Ecuaciones de equilibrio
+ ΣM3 = 0
-1(10) + 4R1X = 0
R1X = + 5/2 T
+ ΣM2’
= 0
- 1(x) + M21 = 0 M21 = x
+ ΣM3’
= 0
-1(x+6) + 5/2 (x) + M32 = 0
M32 = - (3x/2) + 6
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 45
1x θ1
1 2’ M21
1/4 t R2X
x
M32 3’
1xθ1 x
1 2
1/4
6m x
1 2’ M21
1/4 t R2X
x
M32 3’
x
1 2
1/4
6m x
Fuerzas Equivalentes
- Para Sistema de Carga Unitaria IV
3
R3Y R3
X
1 1xΘ1 2 4m
R1X 6m 4m
1xΘ3 R3X
3 R3Y
4m
1 2
R1X
6m 4m
Fuerzas Equivalentes
- Para Sistema de Carga Unitaria III Aplicando las Ecuaciones de equilibrio
+ ΣM3 = 0
1 + 4R1X = 0
R1X = - 1/4 t
+ ΣM2’
= 0
1 + M21 = 0 M21 = - 1
+ ΣM3’
= 0
-1/4(x) + 1 + M32 = 0
M32 = x/4 - 1
+ ΣM2’
= 0
M21 = 0 M21 = 0
+ ΣM3’
= 0
-1/4(x) + M32 = 0
M32 = + x/4
Aplicando las Ecuaciones de equilibrio
+ ΣM3 = 0
1 + 4R1X = 0
R1X = - 1/4 t
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 46
7.- Determinación de Momentos de Flexión
Momentos de Cargas Unitarias Momentos de Cargas Virtuales
Elementos MI MII MIII MIV MA MB MC 1-2 0 x -1 0 x -1 0
2-3 x/4 - 1 -3x/2 + 6 x/4 - 1 x/4 -3x/2 + 6 x/4 - 1 x/4
8.- Determinación de Matriz de Indeterminación
ωe = 𝛚i = 𝑴𝑴´
𝑬𝑰𝒅
𝒍
𝟎𝒍
I. Δ1Y; 5 t.m =
𝒙𝟒−𝟏
–𝟑𝒙𝟐
+ 𝟔
𝑬𝑰𝒅
𝟑𝟐
𝟎𝒙 Δ1
Y; 5 t.m =
𝟐𝟗𝟐𝟗
𝟏𝟐𝟓𝑬𝑰
Δ1Y
; Δ1Y
= 𝒙 𝒙
𝑬𝑰𝒅𝒙 +
–𝟑𝒙
𝟐+ 𝟔
–𝟑𝒙
𝟐+ 𝟔
𝑬𝑰
𝟑𝟐
𝟎𝒅
𝟔
𝟎𝒙 Δ1
Y; ΔD
Y =
𝟏𝟐𝟑.𝟒𝟏
𝑬𝑰
Δ1Y
; θ1 =
−𝟏 𝒙
𝑬𝑰𝒅𝒙 +
𝒙
𝟒− 𝟏
–𝟑𝒙
𝟐+ 𝟔
𝑬𝑰
𝟑𝟐
𝟎𝒅
𝟔
𝟎𝒙 Δ1
Y; θ1
=
𝟓𝟒𝟑
𝟏𝟎𝟎𝑬𝑰
Δ1Y; θ3 =
𝒙
𝟒
–𝟑𝒙
𝟐+ 𝟔
𝑬𝑰𝒅𝒙
𝟑𝟐
𝟎 Δ1
Y; θ3
=
𝟏.𝟑𝟕𝟑
𝑬𝑰
II. θ1; 5 t.m = 𝒙𝟒−𝟏
𝒙𝟒− 𝟏
𝑬𝑰𝒅
𝟑𝟐
𝟎𝒙 θ1; 5 t.m =
𝟕𝟏
𝟓𝟎𝑬𝑰
θ1;Δ1Y
= 𝒙(−𝟏)𝑬𝑰
𝒅𝒙+ –𝟑𝒙𝟐
+ 𝟔 𝒙𝟒− 𝟏
𝑬𝑰+ 𝒅
𝟑𝟐𝟎 𝒙𝟔
𝟎 θ1; Δ1Y
= −𝟐𝟔𝟓𝟕
𝟏𝟎𝟎𝑬𝑰
θ1; θ1 =
−𝟏(−𝟏)𝑬𝑰
𝒅𝒙+ 𝒙𝟒
− 𝟏 𝒙𝟒
− 𝟏
𝑬𝑰+ 𝒅
𝟑𝟐𝟎 𝒙𝟔
𝟎 θ1; θ1 =
𝟑𝟕𝟏
𝟓𝟎𝑬𝑰
θ1; θ3 =
𝒙𝟒 𝒙𝟒− 𝟏
𝑬𝑰+ 𝒅
𝟑𝟐𝟎 𝒙 θ1; θ3 = −
𝟐𝟑
𝟏𝟎𝟎𝑬𝑰
III. θ3; 5 t.m = 𝒙𝟒−𝟏
𝒙𝟒
𝑬𝑰𝒅
𝟑𝟐
𝟎𝒙 θ3; 5 t.m = −
𝟐𝟑
𝟏𝟎𝟎𝑬𝑰
θ3;Δ1Y
= –𝟑𝒙𝟐
+ 𝟔 𝒙𝟒
𝑬𝑰+ 𝒅
𝟑𝟐𝟎 𝒙 θ3; Δ1
Y =
𝟏.𝟑𝟕𝟑
𝑬𝑰
θ3; θ1= 𝒙𝟒− 𝟏 𝒙
𝟒
𝑬𝑰+ 𝒅
𝟑𝟐𝟎 𝒙 θ3; θ1
= −
𝟐𝟑
𝟏𝟎𝟎𝑬𝑰
θ3; θ3= 𝒙𝟒 𝒙𝟒
𝑬𝑰+ 𝒅
𝟑𝟐𝟎 𝒙 θ3; θ3
=
𝟏𝟖𝟗
𝟓𝟎𝑬𝑰
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 47
9.- Ecuación de Compatibilidad
𝜟 = 𝑭 . 𝑸
0,2
0,050
=
+
2929
125𝐸𝐼+
123.41
𝐸𝐼+
543
100𝐸𝐼−
+7
50𝐸𝐼−
2657
100𝐸𝐼+
371
50𝐸𝐼−
−23
100𝐸𝐼−
1.373
𝐸𝐼−
23
100𝐸𝐼+
1.373
𝐸𝐼23
100𝐸𝐼189
50𝐸𝐼
.
5Δ1
Y
𝜃1
𝜃3
Resolviendo se tiene:
123.41Δ1Y + 5.43𝜃1 − 1.37𝜃3 = −116.96
−26.57Δ1Y + 7,42𝜃1 − 0,23𝜃3 = −0,65
−1.37Δ1Y − 0,23𝜃1 + 3,78𝜃3 = +1.15
Sistema de Ecuaciones con tres incógnitas. Resolviendo, obtenemos:
Δ1Y = −0,8169 t
𝜃1 = − 3,0182 𝑡.𝑚
𝜃3 = −0,1755 𝑡.𝑚
0.18 t.m
3
0,82 t
R3Y R3
X
3.02 t.m 4m
1 2 5 t.m
R1X
6m 4m
+ ΣM3 = 0
0.82 (10) – 3.02 + 5 – 0.18 + 4R1X = 0
R1X = - 2.50 t
+ ΣFH
= 0
-2.50 + R3X = 0
R3X = + 2.50 t
+ ΣFV
= 0
-0,82 + R3Y = 0
R3Y = + 0,82 t
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 48
0,82 t
3 2,50 t
0,82 t 2.50 t 0,18 t.m
3.02 t.m 2 6,90 t.m
2.50 t 1 2 2.50 t 0.82 t
0,82 t 1.90 t.m
Diagrama de Momento Flector (M)
3
3,02 0,18
2
1
1,90
6,90
3
1,19
1 2
0.82
Diagrama de Esfuerzos Cortantes (V)
+
-
-
-
+
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 49
EJEMPLO 3.-
2T/m
D 3 T/m 3m 6m B 3m C A 4m 4m Solución: 1- Grado de Indeterminación Estática
GIE = VE – 3(n) - VI
GIE = 4 – 3(1) – 0 GIE = 1 Vínculo Redundante 2- Escogencia de Redundantes (Sistema Isostático Estable)
1T/m D θD 1T/m
B 𝑄 = 32𝜃𝐷
C A 3- Sistema de Cargas Reales Unitarias Para Carga Distribuida Uniforme D Sistema I
1T/m x 3 B C 4m I 4m A
Resolver el Sistema Hiperestático
Indeterminado, aplicando el Método de las
Fuerzas por sección y hallar las reacciones que
genera la Estructura.
AE = ∞
AG = ∞
EI = ctte
+ ΣMD
= 0
-8 (4m) + 8RAY = 0
RAY = 4 T
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 50
Aplicando el Método de Secciones
Tramo AB Tramo BC 4T Tramo CD 8 T 1x 1x 1T/m
MAB 1T/m 1T/m C’ B MCD’ B x B’ x A MBC’ A C A 4T 4T 4T x x 4m 4m 4m Para Carga Distribuida Triangular D Sistema II
1T/m x 2 B C 4m II 4m A RA
Y Aplicando el Método de Secciones
Tramo AB Tramo BC 2T Tramo CD 2 T 0.25x x2/8 1T/m 1T/m
MAB C’ B MCD’ B x B’ x A MBC’ A C A 4/3T 4/3T 4/3T x x 4m 4m 4m
+ ΣMB’
= 0
-1x (x/2) + 4(x) + MAB’ = 0
MAB = 𝒙𝟐
𝟐− 𝟒𝒙
+ ΣMC’
= 0
4 (x+4) - 4(x+2) – 1x(x/2) + MBC’ = 0
MBC = 𝒙𝟐
𝟐− 𝟖
+ ΣMD’
= 0
4 (8m) - 8(4m) + MCD’ = 0
MCD = 0
+ ΣMD
= 0
-2 (4/3m + 4m) + 8RAY = 0
RAY = 4/3 T
+ ΣMB’
= 0
-x2/8 (x/3) + 4/3(x) + MAB’ = 0
MAB = 𝒙𝟑
𝟐𝟒−
𝟒𝒙
𝟑
+ ΣMC’
= 0
-2 (4/3+x) + 4/3(x+4) + MBC’ = 0
MBC = 𝟐𝒙
𝟑− 𝟖
+ ΣMD’
= 0
-2 (4/3+ 4m) – 4/3(8m) + MCD’ = 0
MCD = 0
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 51
Para Carga Momento (Variable Redundante) D Sistema III 1T.m x θD B C 4m III 4m A RA
Y Aplicando el Método de Secciones
Tramo AB Tramo BC Tramo CD
MAB C’ B MCD’ B x B’ x A MBC’ A C A 1/8 T 1/8T 1/8T x x 4m 4m 4m 4- Sistema de Cargas Virtuales Unitarias D Sistema V1 1T.m x θD B C 4m V1 4m A RA
Y
+ ΣMD
= 0
1 T.m + 8RAY = 0
RAY = 1/8 T
+ ΣMB’
= 0
-1/8 (x) + MAB’ = 0
MAB = 𝒙
𝟖
+ ΣMC’
= 0
-1/8 (x+4) + MBC’ = 0
MBC = 𝒙
𝟖+
𝟏
𝟐
+ ΣMD’
= 0
-1/8 (8m) + MCD’ = 0
MCD = 1
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 52
5- Momentos De Flexión
Momentos de Cargas Reales Unitarias
Momentos Cargas
Virtuales
TRAMO
MI
MII
MIII
MV1
AB
𝑥2
2− 4𝑥
𝑥3
24−
4𝑥
3
𝑥
8
𝑥
8
BC
𝑥2
2− 8
2𝑥
3− 8 𝑥
8+
1
2
𝑥
8+
1
2
CD
0
0
1
1
6- Determinación de los Coeficientes de Flexión 𝐹
ωe = 𝛚i = 𝑴𝑴´
𝑬𝑰𝒅
𝒍
𝟎𝒍
I. θD; 3 T.m = 𝑥2
2− 4𝑥
𝑥8
𝐸𝐼𝑑
5
0𝑥 +
𝑥2
2−8
𝑥8
+12
𝐸𝐼𝑑
5
0𝑥 θD; 3 T.m =
−𝟐𝟑.𝟑𝟖
𝑬𝑰
II. θD; 2 T.m = 𝑥3
24−
4𝑥3
𝑥8
𝐸𝐼𝑑
5
0𝑥 +
2𝑥3− 8
𝑥8
+12
𝐸𝐼𝑑
5
0𝑥 θD; 2 T.m =
−𝟔.𝟖𝟖
𝑬𝑰
III. θD; θD = 𝑥8
𝑥8
𝐸𝐼𝑑
5
0𝑥 +
𝑥8
+12
𝑥8
+12
𝐸𝐼𝑑
5
0𝑥 +
1 1
𝐸𝐼𝑑
6
0𝑥 θD; θD =
+𝟏𝟎.𝟏𝟏
𝑬𝑰
7- Ecuación de Compatibilidad
𝜟 = 𝑭 . 𝑸
0 = −23.38
𝐸𝐼−
6.88
𝐸𝐼+
10.11
𝐸𝐼 .
32𝜃𝐷
-70.17- 13.76 + 10.11 θD = 0
𝜽𝑫 = 𝟖,𝟑𝟎𝑻.𝒎+
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 53
Sistema Hiperestático Determinado
RDY
8.30T.m RDX 2T/m
D
3 T/m 3m 6m B 3m C A 4m 4m RA
Y
Determinación de las Reacciones
2º
D
25.18
25.18
3º
8.30
B
C A
8.30
Diagrama de Momento Flector (M)
+ ΣMD
= 0
8.30T.m – 24T(4m) – 4T(4/3m + 4m) + 8RAY = 0
RAY = +13,63 T
+ ΣFH
= 0
RDX = 0
RDX = 0
+ ΣFV
= 0
-24T + 4T + 13.63T + RDY = 0
RDY = +14,37 T
+ + +
-
Unidad III. - Método de las Fuerzas Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 54
Ejercicios Propuestos. 3T 2T 4T 2T
2m C
5T B 5m
AE =∞
AG =∞ 7m 2EI 1.5EI
6m EI = ctte D
A
5m 2m 5m 5m
2K/m
C D
D 3m 4K/m
B AE =∞ 5m 2K/m
AG = ctte
EI = ctte 5m B
4 K C
2
5 𝐿 3m
A A
3m 5m 6m 4m
1- Aplique el Método de las Fuerzas para determinar
la Matriz de Flexión de los Momentos ejercidos por
las cargas aplicadas. Dibuje diagrama de Momentos.
2- Halle la Indeterminación usando el Método de las
Fuerzas y determinar así la Matriz de Flexión de los
Momentos ejercidos por las cargas aplicadas.
Desprecie los esfuerzos axiales y de corte.
3- Hallar la indeterminación de la Estructura
aplicando el Método de las Fuerzas, a través de la
Ecuación de Compatibilidad consiga los coeficientes
de la Matriz [F] y calcule las reacciones de los
vínculos. Desprecie solo efectos axiales.
4- Determine las reacciones del sistema
Hiperestático, aplicando el Método de las Fuerzas y
hallar a través de la Matriz de Flexión de los
Momentos ejercidos por las cargas aplicadas. Dibuje
diagrama de Momentos. Considérese solo efectos de
flexión