Unidad 4 – Lección 4.1
La Integral Indefinida
22/10/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 16
Actividades 4.1
• Ejemplos para estudiar y Ejercicios de Práctica:
Sección 15.1: Antiderivadas; Ejemplos del 1 al 7;
problemas impares 1 – 35, 67 de las páginas 627-
629 (4ta Ed págs 635-636).
• Asignación 4.1: Resuelva problemas 26 y 68,
páginas 628 y 629 (4ta Ed págs 636-637).
• Referencias:
• Paul’s Online Note – Indefinite Integrals
• Visual Calc - Antiderivatives / Indefinite Integrals;
Tutorial sobre antiderivadas y el integral indefinido.
Table of Elementary Indefinite Integrals. Ejercicios de
práctica (Drill) usa Java.
• eMathLab – Indefinite Integrals
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Objetivo
• Describir la antiderivada de una función
• Usar la notación de la integral indefinida
para antiderivadas
• Identificar la antiderivada de funciones
exponenciales básicas.
• Usar las reglas básicas de integración para
encontrar la Integral Indefinida de una
función polinómica.
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Antiderivada
• Una función F es la antiderivada de f sobre un
intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x en I.
• Ejemplo:
• es una antiderivada de
• Otras son:
• En general, si F es una función antiderivada de f
sobre un intervalo I, cualquier otra antiderivada de f
será de la forma F(x) + c donde c es una constante.
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5)( 2 xxxF
12)( xxf
1)( 2
1 xxxF xxxF 2
2 )( xxxF 2
3 )(
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Integral indefinida
• La integral indefinida de f(x) se define como el
conjunto de todas las antiderivadas F de f(x).
donde c es una constante.
• Ejemplos:
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cxFdxxf )()(
dxx 12 xx 2 c
dxx3
4
4x c
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Reglas básicas de antiderivadas
• Recuerde
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ckxdxk
xndx xn1
n 1 c , n 1
dx 5 cx 5
dxx 3 cx
4
4
Ejemplos:
dx cx
Ejemplos:
dxx 21
cx
23
23
cx
3
2 23
cxx
3
2
dx cx
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Reglas básicas de antiderivadas …
• Si f, g son las funciones antiderivables en un
intervalo y k una constante. Entonces:
• Ejemplos:
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dxfkdxkf (x) (x)
dxx26 cx
36
3
dxx26 cx 32
dxx33- dxx 3 3
1
cx
13
13
13
1
cx
3
43
3
4
cx
4
93 4
cxx
4
9 3
7 de 16
Reglas básicas de antiderivadas …
• Si f, g son las funciones antiderivables. Entonces:
• Ejemplos:
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dxgdxfdxf (x) (x) g(x)](x)[
dxxx 122
dxxdxdxx 122
3
3x
22
2x x
cxxx 23
31
c
dx
x
21
cx
x
2
12
2
1
dxxdx 2
1
2 1
cxx 4
dxxdx 2
1
2 1
321 cccc
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Ejercicio #1
1.
2.
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dxxx 121 53
dxx 4 3
dxxdxxdx 53 12
cxxx 64 24
1
dxx 43
cx
4
7
47
cxx
7
4 4 3
cx
7
4 4
7
9 de 22
Antiderivadas para recordar ..
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dxx
1
dxe xcex
dxa x número,un es a Si ca
a x
ln
cx ||ln
dx 3- x dxx 3 cx
ln3 c
x
ln
3
Ejemplos:
dx
x
61 xdxdx
x
16 ||ln6 x c
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Ejercicio #2
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2ex dx
2ex c
dxx 32 cx
2ln
32
dxx
x
23
dx
xx
x 23
dxxx 2
1
2
1
23
dxxdxx 2 3 2
1
2
1
cxx
2
12
2
33
2
1
2
3
cxxx 42
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Ejemplo 3
• Encuentre f si si f(1) = 3
• Solución: f es una antiderivada de f’(x)
• si f(1) = 3, entonces
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225)(' xxxf
dxxxf 225 dxxxdxdx 225
x52
22x
3
3x
cxxx 32
3
15
c
3)1(3
1)1()1(5)1( 32 cf
33
115 c
3
4c
3
4
3
15)( 32 xxxxf
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Ejemplo 4
• El costo marginal de cierta empresa está dada por
𝐶′ 𝑥 = 18 − 0.05𝑥 + 0.005𝑥2. Si el costo de producir
200 unidades es de $25,400, encuentre
a) La función costo
b) Los costos fijos de la empresa
c) El costo de producir 450 unidades
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Ejemplo 4 (a)…
• 𝐶 𝑥 = 𝐶′ 𝑥 𝑑𝑥
Si el costo de producir 200 unidades es de $25,400,
Por tanto la función costo es:
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0.05𝑥2
2+
0.005𝑥3
3 + 𝑐
25400 = 18 200 +0.05(200)2
2+0.005(200)3
3+ 𝑐
25400 = 3600 + 1000 + 40,000
3+ 𝑐
25400 ≈ 17,933 + 𝑐
7,467 ≈ 𝑐
= (18 −0.05𝑥 + 0.005𝑥2)𝑑𝑥
= 18𝑥 −
C(𝑥) = 18𝑥 +0.05𝑥2
2+0.005𝑥3
3+ 7,467
Ejemplo 4 (b) y (c) …
• Si la función costo es:
• Los costos fijos son:
• El costo de producir 450 unidades es aproximadamente:
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C(𝑥) = 18𝑥 +0.05𝑥2
2+0.005𝑥3
3+ 7,467
$7,467
C(450) = 18(450) +0.05 450 2
2+0.005 450 3
3+ 7,467
= 8,100 + 5,062.50 + 151,875 + 7,467
≈ $172,505
Integral indefinido
• Observe
• Compare
• Recuerde: Al integrar, observe siempre con
respecto a qué variable lo está haciendo.
• ¡Observe el diferencial! … dx, dt, dz
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xdx3 tdt3 zdz3
cx
2
3 2
ct
2
3 2
cz
2
3 2
xdt3 tdx3 zdx3
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