Date post: | 17-Dec-2015 |
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UNIDAD 5: ENTROPIA
Entropa Medida de desorden molecular o aleatoriedad molecular.
A mayor desorden mayor entropa.
La entropa de una sustancia en mas baja en la fase slida.
La entropa de un sistema se relaciona con el nmero total de estados posibles de ese sistema y es llamada probabilidad termodinmica p, que se expresa por la relacin de Boltzmann como:
S = k ln p
donde k = 1.3806 x 10-23 J/K es la constante de Boltzmann
La entropa de un sistema aumenta siempre que la aleatoriedad de un sistema aumenta.
La entropa de una sustancia pura cristalina a una temperatura de cero absoluto es CERO. TERCERA LEY DE LA TERMODINAMICA
Entropa Para aplicar la segunda ley de la termodinmica a un
proceso debemos identificar una propiedad llamada entropa.
Consideremos la mquina reversible de Carnot operando sobre un ciclo consistente en:
1. Expansin Isotrmica.
2. Expansin Adiabtica Reversible.
3. Compresin Isotrmica.
4. Compresin Adiabtica Reversible.
La cantidad es la integral cclica de la transferencia de calor dividida por la temperatura absoluta a la cual se desarrolla la transferencia de calor.
TQ
En funcin a que la temperatura es constante durante la transferencia de calor, esta integral est definida por:
Para un ciclo de Carnot:
Si denotamos esta diferencial perfecta como , donde representa una funcin escalar que depende slo del estado del sistema. Denominaremos a esta propiedad extensiva como entropa; su diferencial esta dada por:
Integrando la expresin anterior:
0L
L
H
H
T
Q
T
Q
T
Q
L
L
H
H
H
L
H
L
T
Q
T
Q
T
T
Q
Q
dS S
revT
QdS
2
1 revT
QS
Consecuencias:
La condicin de equilibrio de un sistema aislado est
caracterizada por valores de sus parmetros tales que
S es mximo
La entropa de un sistema slo puede reducirse si interacta
con otros sistemas en un proceso tal que la entropa total del
conjunto aumente (o al menos, no se reduzca).
Imposible (el calor no va de una zona de menor a
mayor T)T
QdS
Definiciones
Irreversible
Reversible
T
QdS
T
QdS
Grfico Temperatura-Entropa en un ciclo Carnot:
El rea rectangular representa la transferencia neta de calor durante el ciclo de Carnot.
El rea tambin representa el trabajo neto desarrollado por el sistema durante el ciclo.
STWQ netnet
1. La primera ley de la termodinmica, para un cambio infinitesimal reversible, para un sistema cerrado implica que :
Se obtuvo esta expresin asumiendo un proceso reversible.
Sin embargo, en funcin a que ste involucra slo propiedades del sistema, la relacin anterior se mantiene para el caso de un proceso irreversible.
2. Relacin entre cambio de entropa y cambio de entalpa:
dUPdVTdS duPdvTds
Evaluacin de la entropa en funcin de la temperatura. RelacionesTds
vdPdhTds
Entropa para un gas ideal con calores especficos
constantes
Asumiendo gas ideal:
Con:
Integrando la ecuacin anterior (asumiendo calores especficos constantes):
Integrando la ecuacin para la entalpa:
v
dvR
T
dTc
T
Pdv
T
duds v
RTPvdTcdu v
1
2
1
212 lnln
v
vR
T
Tcss v
1
2
1
212 lnln
P
PR
T
Tcss p
NOTA: En funcin a que el cambio de una propiedad es
independiente del proceso utilizado para ir desde un estado a
otro, las relaciones anteriores se mantienen para cualquier
proceso, reversible o irreversible.
Si el cambio en la entropa es cero, como en un proceso adiabtico reversible, las ecuaciones anteriores pueden ser
utilizadas para obtener:
Combinando ambas ecuaciones:
k
kk
P
P
T
T
v
v
T
T1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
k
v
v
P
P
2
1
1
2
Ejercicio 1
Aire esta contenido en un volumen rgido aislado a 20 C y
200 kPa. Una rueda de paletas insertada en el volumen realiza
720 kJ de trabajo. Si el volumen es de 2 m3, calcule el
aumento de entropa asumiendo calores especficos constantes.
S = m Cv ln (T2/T1) = 1.851 kJ/K
T2 = 504 K
m = 4.76 kg
Ejercicio 2
Despus de un proceso de combustin en un cilindro la presin
es de 1200 kPa y la temperatura es de 350 C. Los gases son
expandidos a 140 kPa con un proceso reversible adiabtico.
Calcule el trabajo realizado por los gases asumiendo que
pueden ser aproximados por aire con calores especficos
constantes.
Datos: Para el aire:
k=1.4 Cv = 0.717 kJ/kg K
W = 205 kJ/kg T2 = 337 K
Entropa para un gas ideal con calores especficos
variables
P
dPR
T
dTc
T
vdP
T
dhds P
1
212 ln
2
1 P
PRdT
T
css P
T
T
dTT
cPT
T
2
112
La constante R puede ser sacada de la integral pero no
La integral depende solo de la T y podemos evaluar su magnitud de las
tablas de gas. Usando la funcin tabulada :
1
21212 ln
P
PRss
Esta expresin mas exacta es usada solo cuando se desea mayor precisin .
Regresando a la expresin
Cp=Cp(T)
As el cambio de entropa queda
Ejercicio 3:
Repita el ejercicio 1 asumiendo calores especficos variables.
KkJP
PRmSS /856.1
200
1.342ln287.0678.1222.276.4ln
1
21212
Ejercicio 4
Despus de un proceso de combustin en un cilindro la presin
es de 1200 kPa y la temperatura es de 350 C. Los gases son
expandidos a 140 kPa con un proceso reversible adiabtico.
Calcule el trabajo realizado por los gases asumiendo que
pueden ser aproximados por aire con calores especficos
variables.
W = 208.6 kJ/kg T2 = 341 K
Entropa para Sustancias tales como
Vapor, Slidos y Lquidos
fgfxsss
Para sustancias puras como vapor use Tablas del Agua
En la region de Mezclas Lquido-Vapor:
1
2lnT
Tc
TdTcs
Note que la entropa de agua lquida saturada a 0 C es arbitrariamente
igual a cero.
Para Slidos y Lquidos incompresibles dv=0 y vcpc
Ejercicio 5
Vapor esta contenido en un recipiente rigido a una presion
inicial de 100 psia y 600 F. La presion es reducida a 10
psia removiendo energia via transferencia de calor. Calcule
el cambio de entropia y la transferencia de calor.
Esquematice el proceso en un diagrama T-s.
s = -1.232 Btu/ lbm R q = -906 Btu/ lbm R
Diagrama T-s Diagrama h-s
. Diagrama de Mollier
fgfxsss
La desigualdad de Clausius
La desigualdad de Clausius
Comparando ambos ciclos: revWirrW
irrLQ
revLQ
0irrT
Q
0TQ
Aplicando primera ley
Para el ciclo irreversible:
Para todos los ciclos, reversibles o irreversibles
Esta es la desigualdad de Clausius, y es una
consecuencia de la segunda ley de la termodinmica.
Ejercicio
Se ha propuesto operar una planta de potencia de vapor simple como se muestra en la figura
siguiente. El agua es completamente vaporizada
en la caldera de modo que la transferencia de
calor QH ocurra a temperatura constante.
Cumple esta propuesta con la desigualdad de
Clausius?
Asuma que no ocurre transferencia de calor a travs de la bomba o de la turbina.
Cambio de entropa para un
proceso irreversibleConsidere un ciclo que esta compuesto de dos procesos reversibles
A y B.
Suponga que tambin regresamos del estado 2 al 1 usando un
proceso irreversible marcado como camino C.
Para el ciclo reversible tenemos que:
CprocesoBproceso
T
Q
T
Q1
2
1
2
0
1
2
2
1BprocesoAproceso
T
Q
T
Q
0
1
2
2
1CprocesoAproceso
T
Q
T
Q
Para el ciclo involucrando el proceso irreversible la desigualdad
Clausius demanda que:
Sustrayendo las ecuaciones anteriores se obtiene que:
Cambio de entropa para un
proceso irreversible
TQ
dSTQ
S
La igualdad se cumple para un proceso reversible
La desigualdad rige para un proceso irreversible.
El efecto de la irreversibilidad es aumentar la entropa del
sistema.
Para cualquier camino, representando cualquier proceso:
Principio de aumento de la
entropaEntropa y segunda ley son sinnimos en la misma forma que energa
y primera ley son sinnimos.
Consideremos un sistema aislado, un sistema que no intercambia ni
calor ni trabajo con los alrededores.
Para tal sistema la primera ley demanda que U2=U1 y
S 0
S = 0 Proceso Reversible
S > 0 Proceso Irreversible
Principio de Aumento de la Entropa
0alred
Ssist
Suniv
S
Considerando un sistema mas grande incluyendo tanto el sistema
bajo consideracin y sus alrededores, a menudo referido como el
universo, se tiene:
La igualdad aplica a un proceso reversible (ideal)
La desigualdad aplica a un proceso irreversible (real)
Ejercicio
Dos kilogramos de vapor sobrecalentado a 400 C y 600 kPa es
enfriado a presin constante transfiriendo calor desde un cilindro
hasta que el vapor es completamente condensado. Los alrededores
estn a 25 C. Determine el cambio neto de entropa del universo
debido a este proceso.
S univ = 5.9 kJ/K >0
La segunda ley aplicada a
un volumen de control
42.60
salrededorelos
deentropa
deCambio
sistemaal
entraqueEntropa
sistemadel
saleque
Entropa
controlde
volumen
delentropa
deCambio
01122
alred
alred
T
QsmsmvcS
Si dividimos la ecuacin anterior por t y se
utilizan puntos para sealar las velocidades:
01122alred
alred
vcT
QsmsmS
La igualdad esta asociada con un proceso reversible.
La desigualdad esta asociada con las irreversibilidades
Para un proceso con flujo estacionario la
entropa del volumen de control se
mantiene constante con el tiempo.
012
alred
alred
T
Qssm
Para un proceso adiabtico de flujo estacionario,
la entropa tambin aumenta desde la entrada a la
salida debido a las irreversibilidades:
12ss
Para el proceso adiabtico reversible la entropa de
entrada y la entropa de salida son iguales, o sea es un
proceso isoentrpico.
Velocidad de Produccin de Entropa
Esta velocidad de produccin es cero para procesosreversibles y positiva para procesos irreversibles.
alred
alredvcprod T
QsmsmSS
1122
EjercicioUn precalentador es usado para precalentar
agua en un ciclo de potencia como se muestra
en la figura. El vapor sobrecalentado est a una
temperatura de 250 C y el agua que entra esta
subenfriada a 45 C. Todas las presiones son
600kPa. Calcule la velocidad de produccin de
entropa.
Sprod = 0.630 kW/K
Eficiencia de equipos Se define como la razn entre el
rendimiento real del dispositivo y el
rendimiento ideal del mismo.
El rendimiento ideal es a menudoasociado con un proceso isoentrpico.
Por ejemplo, la eficiencia de unaturbina puede ser:
s
aT w
w
donde wa es el trabajo (especfico) real y
ws es el trabajo (especfico) asociado con un
proceso isoentrpico.
Para un difusor podramos usar elaumento en la presin y para una
tobera el aumento en la energa
cintica.
Para un compresor el trabajo realrequerido es mayor que el trabajo ideal
requerido para un proceso
isoentrpico.
Compresores y Bombas
a
sC w
w
Las eficiencias anteriores son tambin
llamadas eficiencias adiabticas dado
que cada eficiencia esta basada en un
proceso adiabtico.
Ejercicio
Vapor sobrecalentado entra a una turbina a 140 psia y 1000 F y sale a 2 psia. Si el flujo msico es de 4 lbm/s, determine la potencia de salida si el proceso es asumido ser reversible y adiabtico. Dibuje el proceso en un diagrama T-s.
W = 1748 Btu/s o 2473 hp
Ejercicio
La Turbina del ejemplo anterior tiene una
eficiencia del 80%. Determine la temperatura
a la salida. Dibuje el proceso en un diagrama
T-s.
T2 = 271 F
Ejercicio (Schaum, pag. 174, prob. 8.7)
Para el ciclo regenerativo mostrado en la figura
Determine la eficiencia trmica, el flujo msico de
vapor y la razn de calor rechazado a calor agregado.
Desprecie el trabajo de las bombas.
= 0.448 o 44.8% m 7= 15.59 kg/s
QC / QB = 0.522
Ejercicio (Schaums, pag. 176, prob.8.10)
La turbina de un ciclo Rankine operando entre 4 MPa y 10kPa
es 84% eficiente. Si el vapor es recalentado a 400 kPa y 400 C,
determine la eficiencia del ciclo. La mxima temperatura es
600 C. Calcule adems el flujo msico del agua de
enfriamiento del condensador si esta aumenta en 10 C cuando
pasa a travs del condensador cuando el flujo msico de vapor
en el ciclo es de 10kg/s.
=0.339 o 33.9% m = 583 kg/s