132

UNIDAD

n esta Unidad se estudian dos tipos de curvas: la elipse y la espiral que tienenidentidad propia, y los valos, ovoides y volutas que las imitan, cuya razn deser radica tanto en su belleza como en su facilidad de construccin.

La elipse es la representacin de la circunferencia situada en posicin oblicua respectoal plano de proyeccin, en el sistema didrico y en perspectiva, por lo que es precisoaprender a dibujarla con la mayor precisin posible.

Los trazados de esta Unidad adquieren gran complejidad por lo que es necesarioayudarse de la escuadra y el cartabn en la construccin de paralelas y perpendicularesa rectas dadas. Esto se ha tenido en cuenta en las ilustraciones, no dibujando trazos decomps en dichas construcciones.

El trazado de las cnicas requiere la determinacin de un nmero suficiente de puntospara dibujar la curva que pasa por ellos a mano alzada o con plantilla de curvas.

El sistema acotado es la primera incursin en los sistemas de representacin. Seutiliza en la representacin de terrenos mediante mapas planimtricos altimtricos, siendoimprescindible conocer las caractersticas esenciales del sistema para poder interpretarlos.

Los objetivos que nos proponemos alcanzar con esta Unidad son:

1. Ser capaz de construir la elipse y las curvas tcnicas a partir de los elementosque las definen.

2. Ser capaz de resolver sencillos problemas de relaciones punto, recta, plano, dedibujar tejados y de obtener perfiles de terrenos en el sistema acotado.

Elipse y curvas tcnicas.Sistema acotado6

E

133

Mapa conceptual

1. ELIPSE Y VALO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1341.1. Elipse: definicin y elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1341.2. Construccin de la elipse mediante haces proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351.3. valo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361.4. Construccin del valo dado su eje mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371.5. Construccin del valo dados sus ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371.6. Otra construccin del valo dados sus ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

2. OVOIDE, ESPIRAL Y VOLUTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392.1. Ovoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392.2. Construccin del ovoide dado el dimetro de la circunferencia de cabeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392.3. Construccin del ovoide a partir del eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.4. Construccin del ovoide dado el eje y el dimetro de la circunferencia de cabeza . . . . . . . . . . . . . . . 1402.5. Espiral de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.6. Construccin aproximada de la espiral de Arqumedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.7. Espiral logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422.8. Construccin de la espiral logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1432.9. Voluta del orden jnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1432.10. Construccin de la voluta del orden jnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3. SISTEMA ACOTADO: FUNDAMENTOS Y REPRESENTACIN DEL PUNTO Y LA RECTA . . . . . . . . . . 1453.1. Proyeccin y sistemas de representacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.2. Fundamentos del sistema acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.3. Representacin del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.4. Representacin de la recta. Pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.5. Graduacin de una recta. Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.6. Posiciones de la recta respecto al plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.7. Averiguar si dos rectas se cortan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4. SISTEMA ACOTADO: REPRESENTACIN DE PLANOS Y SUPERFICIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.1. Representacin del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.2. Interseccin de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.3. Representacin de tejados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.4. Representacin de terrenos. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.5. Trazado de perfiles de terrenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

N D I C E D E C O N T E N I D O S

Circunferencia Elipse

Construccin

valo Ovoide Voluta EspiralImitacin

Proyeccin

Acotado Didrico Cnico

Graduacin de la recta

Representacin del punto

Representacin de la recta

Representacin del plano

Horizontales de plano

Averiguar si dosrectas se cortan

Posicionesde la recta

Axonomtrico

Interseccin de planos Tejados

Curvas de nivelPerfiles deterrenos

Representacinde terrenos

134

1. Elipse y valo

1.1. Elipse: definicin y elementosLa elipse es el lugar geomtrico de los puntos cuya suma de distancias a dos

puntos fijos llamados focos es constante. As pues, una elipse est determinadadando la distancia entre los focos 2c y la constante 2a. Para un punto genrico P ser

siendo F y F los focos (Ilust. 1 a, b).

Los puntos V, V , que estn alineados con F y F , se llaman vrtices. Como, la distancia entre los vrtices .

Los puntos W y W , que equidistan de los focos, tambin se llaman vrtices. Ladistancia entre ellos es 2b y la distancia a los focos a.

Se puede formar un tringulo rectngulo con las distancias b, c como catetos ya de hipotenusa, por lo cual dadas dos distancias es posible determinar la tercera.

Los elementos caractersticos de la elipse pueden verse en la Ilust. 2 y son:

Cuerda, cuyos extremos son dos de sus puntos (por ejemplo EF). Dimetro, es el lugar geomtrico de los puntos medios de las cuerdas para-

lelas a una direccin (AB para las cuerdas paralelas a EF). Centro, es el punto medio de todos los dimetros y centro de simetra de la

elipse (O). Ejes, son los dimetros mximo VV y mnimo WW y sus longitudes son 2a

y 2b. Son ejes de simetra de la elipse.

VF VF VF FF a+ = + =' '2 2 VV a' = 2

PF PF a+ =' 2

ELIPSE Y CURVAS TCNICAS. SISTEMA ACOTADO

6UNIDAD

A

B

C

D

O

O

A C

BD

E

E

F

FF

F

V

V

O F

F

V

V

c

ba

W

W

P

2a(a)

(b) (c)

a

b

Ilustracin 1 Animacin

135

Dimetros conjugados, son un dimetro AB y el dimetro CD definido porlos puntos medios de las cuerdas paralelas a l. En la Ilust. 1 (c) puede verseuna circunferencia sobre el plano en la que se han trazado un par de di-metros perpendiculares AB y CD y las tangentes en sus extremos. Su pro-yeccin cilndrica sobre el plano es una elipse y las tangentes en los extre-mos forman un paralelogramo cuyas paralelas medias son los dimetrosconjugados AB y CD.

1.2. Construccin de la elipse mediantehaces proyectivos

Los datos para la construccin pueden ser tanto los ejes como una pareja de di-metros conjugados. En el primer caso se parte de los ejes VV y WW previamentedibujados (Ilust. 2 izquierda).

Se construye el rectngulo cuyos lados son las tangentes a la elipse en W, V ,W , V y cuyas paralelas medias son y . Se dividen en elmismo nmero de partes iguales, mayor cuanta ms precisin se desee, numern-dose las divisiones a partir de V . En la figura se ha dividido primero , trasladan-do las divisiones mediante arcos a , y despus .

Se obtienen puntos del arco V W en las intersecciones de los rayos W 1 conW 1, W 2 con W 2... Se procede anlogamente con el arco V W y se repite todo elproceso con la otra mitad de la curva. La elipse se traza a mano alzada o con plan-tilla, uniendo los puntos obtenidos.

Si los datos para la construccin son los dimetros conjugados AB y CD se pro-cede de manera anloga trazando el paralelogramo cuyos lados son las tangentes ala elipse en A, B, C, D y cuyas paralelas medias son (Ilust. 2 derecha).AB CDy

V P' V O'V Q'

VV ' WW' V P V Q V O' , ' 'y

V V

W

W

A

B

C

D1 1

1

1

3

3

3

3

2 2

2

2

2

2

2

2

3 3

3

3

1

1

1

1

1

1

2

2

33

3 32

2

1

1O

B

Q

P

Ilustracin 2

136

Justificacin razonada

Aplicacin

1.3. valo

El valo es una curva cerrada, plana y convexa, formada por arcos de circunfe-rencia tangentes en los puntos de enlace, que tiene dos ejes de simetra perpendi-culares. La construccin del valo de cuatro centros debe cumplir ciertas condicio-nes (Ilust. 3) que se derivan de su simetra y del enlace de sus arcos:

Los centros de los arcos deben estar en los ejes de simetra.

Los puntos de enlace T de dos arcos y sus centros deben estar alineados.

ELIPSE Y CURVAS TCNICAS. SISTEMA ACOTADO

6UNIDAD

V V

W

W

1 1

33

2 2

22

3 3

11

1 2 3 3 2 1

O

A

B B

La elipse se puede obtener como proyeccin cilndrica de unacircunferencia. Al proyectar una figura se mantienen las proporcio-nes entre los segmentos de cualquier recta y los puntos de intersec-cin de curvas y rectas siguen sindolo en la figura proyectada.

En la figura se ha dibujado una circunferencia cuya proyeccincilndrica es la Ilust. 2 izquierda. En ella los tringulos rectngulossombreados son iguales y tienen sus catetos perpendiculares,luego las hipotenusas tambin lo sern. Por tanto el punto B es unpunto de la circunferencia ya que el ngulo inscrito WBW mide 90.Su proyeccin ser un punto de la elipse, lo que justifica el procedi-miento utilizado.

Se desea obtener un par de dimetros con-jugados y los ejes de una elipse a partir deldibujo de la curva.

Se trazan dos cuerdas a, b paralelas y eldimetro AB que pasa por sus puntos medios.

El punto medio de AB es el centro O y porel pasa el dimetro CD, conjugado con AB,por ser paralelo a las cuerdas a, b.

Una circunferencia de centro O y radiocualquiera determina las cuerdas MN y NP,cuyas mediatrices son los ejes, por ser susextremos puntos simtricos.

abA

B

C

D

O

M N

P

137

Los tringulos AO1T4, del T3O2D y sus simtricos deben ser issceles.

1.4. Construccin del valo dado su eje mayor

Si se desea construir el valo a partir del eje mayor AB (Ilust. 4), se dividir steen tres partes iguales. Con centro en las dos divisiones intermedias O1, O3 y radioO1A se trazan dos de las circunferencias del valo. Sus puntos de corte sern loscentros O2, O4 de los otros dos arcos, que enlazarn en T1, T2, T3, T4, obtenidos alalinear los centros dos a dos.

1.5. Construccin del valo dados sus ejesSean AB y CD los ejes del valo, que se dibujarn perpendiculares entre s en

su punto medio.

La construccin (Ilust. 5) se inicia trazando cuatro arcos de radio menor que elsemieje menor y centros A, B, C, D, que cortan al eje mayor en O1 y O3, y al ejemenor en E y F. La mediatriz de corta al eje menor en O2. Obtenido O4 porFO3

O1 O3O2

O4

T1

T4

T2

T3

A

D

B

C

Ilustracin 3

O1 O3

O2

O4

T1

T4

T2

T3

A B

AB

Ilustracin 4

138

ELIPSE Y CURVAS TCNICAS. SISTEMA ACOTADO

6UNIDAD

simetra; O1, O2, O3 y O4 son los centros de los arcos del valo y las rectas O2O1,...las que determinan los puntos de enlace T4,...

1.6. Otra construccin del valo dados sus ejes

Sean AB y CD los ejes del valo, que se dibujarn perpendiculares entre s ensu punto medio. (Ilust. 6)

La construccin se inicia trazando la circunferencia de dimetro el eje mayor.Determinado F mediante el arco de radio AO y centro A, se halla O2 construyendo eltringulo DT4O2, semejante al issceles EFO. El lado T4O2, corta al eje mayor en O1.Por simetra se obtienen O4, O3 y los puntos de enlace alineando los centros dos ados.

O1 O3

O2

O4

T1

T4

T2

T3

A B

D

F

E

C

F

AB

CD

Ilustracin 5

O1 O3

O2

O4

T1

T4

T2

T3

A B

D

C

F

O

AB

CD

E

Ilustracin 6

139

2. Ovoide, espiral y voluta2.1. Ovoide

El ovoide es una curva cerrada, plana y convexa, formada por arcos de circun-ferencia tangentes en los puntos de enlace, que tiene un eje de simetra.

La construccin del ovoide de cuatro centros (Ilust. 7) debe cumplir ciertas con-diciones que se derivan de su simetra y del enlace de sus arcos:

Los centros de las circunferencias de cabeza y de pie deben estar en el ejede simetra y los de los arcos laterales sern simtricos respecto a l.

Los puntos de enlace T de dos arcos y sus centros deben estar alineados. Los tringulos T2O1T3, T1O2A y sus simtricos deben ser issceles.

2.2. Construccin del ovoide dado eldimetro de la circunferencia de cabeza

O1 O3

O2

O4

T1

T4

T2

T3

A

B

Ilustracin 7

O1 O3

O2

O4

T1

T4

T2

T3

A

B2r

r

Ilustracin 8

140

En esta construccin se consideran los centros O1, O4 y O3 alineados, estandosituados O1 y O3 en los extremos del dimetro perpendicular al eje.

El procedimiento (Ilust. 8) se inicia trazando la circunferencia de cabeza y dosdimetros perpendiculares, los extremos del horizontal son O1, O3 y el vertical serel eje del ovoide que corta a la circunferencia en O2. El arco de centro O2 se trazadespus de los de centros O1 y O3, determinando los puntos de enlace T2 y T1mediante las rectas O1O2 y O3O2.

2.3. Construccin del ovoide a partir del eje

Situado el eje AB en posicin vertical (Ilust. 9) se divide en seis partes iguales.Contando a partir de B, la divisin segunda es O4 y la quinta O2. Los centros O1 y O3 seobtienen, alineados con O4, mediante arcos de centro O4 y radio O4A. Los puntos de enla-ce T4 y T3 estn alineados con O1 y O3. Las rectas O1O2 y O3O2 permiten obtener T2 y T1.

2.4. Construccin del ovoide dado el eje yel dimetro de la circunferencia de cabeza

ELIPSE Y CURVAS TCNICAS. SISTEMA ACOTADO

6UNIDAD

O1 O3

O2

O4

T1

T4

T2

T3

A

B 1 2 3 4 5 6AB

Ilustracin 9

O1 O3

O2

O4

T1

T4

T2

T3

A

B

E F

AB

r

2r

Ilustracin 10

141

Se inicia la construccin (Ilust. 10) trazando la circunferencia de cabeza, un di-

metro, y el eje AB perpendicular a l. Con centro en T4, T3 y A, se trazan tres arcosde igual radio, pero menor que r, obteniendo los puntos E, F y O2. La mediatriz de

corta al dimetro T4T3 en O1. Obtenido O3 por simetra, se trazan los arcos hastalos puntos de enlace T1, T2, determinados por las rectas O1O2, O3O2 y el arco de pie.

2.5. Espiral de ArqumedesLa espiral es una curva generada por un punto P que se aleja de otro fijo O, lla-

mado polo, a la vez que gira alrededor de l.

Se llama espira a la porcin de curva comprendida entre dos posiciones sucesi-vas del punto P, por ejemplo A y B (Ilust. 11), que estn alineadas con el polo O. Paso

de la espiral es . Si la velocidad con que P gira alrededor de O es uniforme, y tam-bin lo es la velocidad con que se aleja de l, la espiral se llama de Arqumedes. Enella el paso es constante.

La construccin de la primera espira de la espiral de Arqumedes (Ilust. 11) se reali-za trazando ocho circunferencias, la primera con el radio deseado r, la segunda con radio2r, la tercera 3r, la cuarta 4r,... y numerndolas de dentro hacia afuera. Se dividen las cir-cunferencias en ocho arcos iguales trazando ocho radios numerados consecutivamente.Los sucesivos puntos de la curva a partir de O son aquellos en que coincide el arco 1 conel radio 1, 2 con 2,... Los puntos se unen a mano alzada o con plantilla de curvas.

2.6. Construccin aproximada de la espiralde Arqumedes

Existen construcciones aproximadas a la espiral de Arqumedes realizadasmediante arcos de circunferencia a partir de un polgono regular, o un segmento,situando los centros en los vrtices del polgono o en los extremos del segmento.

FO2

AB

1 2 3 4 5 6 7 8OP

1

2

3

4

5

6

7

8

A

B

Ilustracin 11

142

ELIPSE Y CURVAS TCNICAS. SISTEMA ACOTADO

6UNIDAD

En la Ilust. 12 derecha se ha elegido el hexgono regular para construir una espi-ral de este tipo. Dibujado el hexgono y numerados sus vrtices, se traza el primerarco con centro en 1 y radio el lado del hexgono, desde el vrtice 6 hasta el puntode corte con la recta 21 (punto de enlace A). El siguiente arco enlazar con el ante-rior en A y su centro ser 2, trazndose hasta el punto de corte con la recta 32. Y assucesivamente.

2.7. Espiral logartmicaSi la velocidad con que el punto gira alrededor de O es uniforme, y la velocidad

con que se aleja de l, es directamente proporcional a su distancia al polo, la espiralse llama logartmica. En ella el paso es variable.

En la Ilust. 13 se ha construido una espiral logartmica tal que la razn entre lasdistancias al polo, de dos puntos separados un paso (pulsacin radial), es el nme-ro de oro = 1,618... Desde una posicin cualquiera A, el punto genrico gira 90 y

1

2

3

4

5

6

A

B

Ilustracin 12

O A E

B

C

D

Ilustracin 13

143

se desplaza a una nueva posicin B, tal que . En general se obtiene

un nuevo punto multiplicando la distancia del anterior al polo por =1,128...

La poligonal directora ...A B C D..., cuyos vrtices son puntos consecutivos de laespiral, facilita su construccin, pues los ngulos A^ , B^ , C^ , ... = 90.

2.8. Construccin de la espiral logartmica

La espiral de la figura 14 est formada por arcos de circunferencia como el ACobtenidos a partir de cuadrados como el ABCD. En ella los puntos A, C, Q, R,... coin-ciden con los de una espiral logartmica, de la cual sta es una aproximacin. Paraconstruirla se parte del rectngulo de oro, llamado as por la belleza de sus propor-ciones, cuyos lados estn en razn . Este tiene la propiedad de que al sustraerleun cuadrado el resto es un rectngulo de idnticas proporciones.

Se construye el rectngulo ureo AFGD a partir de un cuadrado cualquiera ABCD,hallando el punto medio E de AB y trazando con centro en l y radio EC un arco quecorta a AB en F. El vrtice G se obtiene llevando sobre DC a partir de C.

Para ir sustrayendo cuadrados ordenadamente se utilizan las diagonales, prime-ro AC, despus CQ perpendicular a AC, luego QR perpendicular a CQ,... Y se obtie-ne una poligonal directora del tipo de la de la espiral de pulsacin radial . Por lti-mo, se trazan los arcos haciendo centro en los vrtices de los cuadrados que que-dan en el interior.

2.9. Voluta del orden jnicoLa voluta de orden jnico es una aproximacin a una espiral de paso variable,

realizada con arcos de circunferencia de radio creciente, que se utiliza en los capite-les del orden jnico.

OB OA= 4

4

BF

A B

CD

E F

G

M

Q

R

S

T

U

Ilustracin 14 Animacin

144

En el interior de la voluta (Ilust. 18 izquierda) se halla un crculo llamado ojo, deradio r, siendo 8r la distancia entre ste y el punto de arranque de la espiral P, situa-do en la prolongacin del dimetro vertical del ojo.

2.10. Construccin de la voluta del orden jnico

Para construirla (Ilust. 16) se dibuja el ojo con el radio deseado y en su interior un cua-drado inscrito, que presente una diagonal en posicin vertical. Se trazan las paralelasmedias del cuadrado y se dividen en seis partes iguales, numerndolas segn el dibujo.

Se traza el primer arco con centro en 1 y radio 1a hasta la recta 21, obteniendoel punto de enlace B. El segundo arco con centro en 2 y radio 2B hasta la recta 32(C). El tercero con centro en 3 y radio 3C hasta 43 (D). El cuarto con centro en 4 yradio 4D hasta 54 (E). Y as sucesivamente hasta completar tres espiras.

ELIPSE Y CURVAS TCNICAS. SISTEMA ACOTADO

6UNIDAD

152

6

37 4

8

910

1112 r

8 r

P

A

E

B

C

D

Ilustracin 15

152

6

37 4

8

910

1112

A

B

C

D

E

Ilustracin 16

145

3. Sistema acotado: fundamentos yrepresentacin del punto y la recta

3.1. Proyeccin y sistemas de representacin

La geometra descriptiva estudia los procedimientos para representar en el planoobjetos y espacios tridimensionales, y los organiza en sistemas. El mtodo comn atodos ellos es la obtencin de una o varias imgenes planas, cuya observacin ycomparacin permita imaginar el objeto. La proyeccin es el procedimiento paraobtener dichas imgenes.

En la Ilust. 17 se pueden ver los elementos que intervienen en la obtencin deuna imagen de un cubo en un soporte plano mediante proyeccin:

Centro de proyeccin es el punto V del espacio desde el cual se trazan lasrectas proyectantes. Define la posicin del observador y puede ser un puntoV ms o menos prximo (propio), o un punto del infinito (impropio) que se defi-ne dando su direccin v.

Rectas proyectantes, se trazan desde el centro de proyeccin V, o paralelasa la direccin v, y pasan por todos los puntos del cubo. Por ejemplo a y b sonrectas proyectantes de los vrtices A y B.

Planos proyectantes, estn formados por las rectas proyectantes de los pun-tos de una arista del cubo. Por ejemplo el plano definido por las rectas a y bes proyectante de la arista AB.

Proyeccin es la figura obtenida al cortar las rectas y planos proyectantes porun plano (plano del cuadro, o plano de proyeccin). Por ejemplo A', B' sonlas proyecciones de los puntos A, B y AB

___es la proyeccin de la arista AB.

v

AA

BB

AB

V

ba

mn p

q

pnm

AB

ab

Q

Ilustracin 17

146

ELIPSE Y CURVAS TCNICAS. SISTEMA ACOTADO

6UNIDAD

La proyeccin cilndrica (Ilust. 17 izquierda) tiene el centro de proyeccin en elinfinito, por lo que las rectas proyectantes son paralelas entre s, como las generatri-ces de un cilindro. Ser ortogonal si las rectas proyectantes son perpendiculares alplano de proyeccin y oblicua en caso contrario. En la proyeccin cilndrica las rec-tas paralelas lo siguen siendo en la imagen proyectada. As por ejemplo las aristasm, n, p, q del cubo se proyectan como m', n', p', q', que tambin son paralelas.

El centro de proyeccin de la proyeccin cnica (Ilust. 17 derecha) es un puntopropio, y las rectas proyectantes pasan por dicho punto, como las generatrices de uncono. En la proyeccin cnica las rectas paralelas a una direccin pasan a ser rec-tas convergentes en un punto de la imagen proyectada. As, por ejemplo, las aristasverticales del cubo se proyectan convergiendo en el punto Q'.

Los sistemas de representacin acotado, didrico y la axonometra ortogonal uti-lizan la proyeccin cilndrica ortogonal; la perspectiva caballera, la proyeccin ciln-drica oblicua; y la perspectiva cnica la proyeccin cnica.

3.2. Fundamentos del sistema acotadoEl sistema acotado se utiliza para representar objetos cuyas dimensiones hori-

zontales sean ms significativas que las verticales. Es el sistema ms adecuado pararepresentar el relieve de los terrenos y la configuracin de los tejados.

En la Ilust. 18 el cubo se ha situado con dos caras paralelas al nico plano deproyeccin H, que se sita en posicin horizontal y coincide con el del dibujo. Lainformacin que facilita su proyeccin cilndrica ortogonal sobre el plano horizontal(Ilust. 18 derecha) se complementa con la altura de los vrtices sobre l (cota),escrita entre parntesis.

El nico elemento del sistema es el plano horizontal (H) que debe elegirse demodo que los objetos representados queden sobre l, para evitar el uso de cotasnegativas.

H

AB

CD

E

F

G

H

B(8) F(5)

A(8) E(5) C(8) G(5)

D(8) H(5)

A(8) E(5)

D(8) H(5)

B(8) F(5)

C(8) G(5)

Ilustracin 18

147

3.3. Representacin del puntoUn punto A se representa mediante su proyeccin A1 sobre el plano horizontal,

acompaada de su cota escrita entre parntesis. sta se llama proyeccin acotadao montea del punto A, y se nombra con la misma letra mayscula que el punto realy el subndice 1.

En la ilust. 19 puede verse que la cota es positiva para el punto A, situado porencima del plano horizontal, cero para C que est contenido en l, y negativa para Bque est debajo.

3.4. Representacin de la recta. PendienteUna recta r se representa mediante su proyeccin r1 y la montea A1(5,4), B1(2,8)

de dos de sus puntos A, B (Ilust. 20).

El punto de corte de la recta r con el plano horizontal es la traza Hr. Su cota nose indica por ser siempre 0.

Se llama pendiente p de la recta r a la tangente del ngulo que sta forma conel plano horizontal. Su valor es p = h/d siendo h la diferencia de cota (distancia ver-

Ilustracin 19

r

r1

r1

Hr

A

B

A1(5,4)

B1(2,8)

h

d

A1(5,4) B1(2,8)

3,9

Ilustracin 20

148

ELIPSE Y CURVAS TCNICAS. SISTEMA ACOTADO

6UNIDAD

tical) entre dos de sus puntos y d la distancia entre sus proyecciones (distancia hori-zontal). En la Ilust. 20 se parte de los puntos A, B, siendo h = 5,4 - 2,8 = 2,6, d = 3,9

y la pendiente

3.5. Graduacin de una recta. IntervaloGraduar una recta es indicar una serie de puntos consecutivos de ella cuya cota

sea un nmero entero. La proyeccin de sta serie de puntos se llama escala de pen-diente de la recta.

Sea r1 la proyeccin de la recta r y A1(5,4), B1(2,8) la montea de sus puntos A, B(Ilust. 21).

Se hallan las dcimas que contiene la distancia vertical entre A y B h 10 ==(5,4 - 2,8) 10 = 26. Se traza una recta oblicua por B1 y se llevan sobre ella 26 seg-mentos iguales, que se corresponden con las cotas entre 2,8 y 5,4. Marcamos lasdivisiones correspondientes a las cotas enteras 3, 4, 5 y trazamos por ellas parale-las a la lnea que une la divisin 26 con A1, que cortan a r1 en las proyecciones C1,D1, E1, de los puntos de cota 5, 4, 3.

La distancia horizontal entre dos puntos cuyas cotas difieren en la unidad sellama intervalo. Transportado el intervalo D1E1 en ambos sentidos permite obtener losdems puntos de cota entera, incluido el de cota 0 que es la traza Hr .

3.6. Posiciones de la recta respecto al planohorizontal

Las rectas que son paralelas o perpendiculares a los planos de proyeccin(Ilust. 22) presentan caractersticas especiales en la proyeccin y montea de suspuntos:

p hd

= = =2 63 9

23

,,

.

Hr

A1(5,4)

B1(2,8)

r1

A1(5,4)

B1(2,8) 345

r1

C (5)1

E1(3)

F1(2)

G1(1)

Ilustracin 21

149

La recta vertical es proyectante, es decir, que la proyeccin horizontal detodos su puntos coincide en un nico punto del plano horizontal.

En la recta horizontal la distancia horizontal entre dos de sus puntos coincidecon la longitud real del segmento que determinan, la distancia vertical es 0 yla traza no existe.

3.7. Averiguar si dos rectas se cortanDos rectas se cortan si sus proyecciones tienen un punto comn, cuya cota es la

misma respecto de ambas.

Sean r1, s1 las proyecciones de las rectas r, s, que parecen cortarse en P, estan-do la primera graduada y la segunda no (Ilust. 23).

Para hallar la cota de P respecto de r se traza una recta oblicua por la cota 4, yse llevan sobre ella 10 segmentos iguales y proporcionales a las dcimas entre lascotas 4 y 5. La paralela por P1 a la lnea que une la divisin 10 con el punto de cota5, pasa por la divisin 8, dando una cota de 4,8.

Ilustracin 22

A1(7)

B1(2)

r1C (2,7)1

s1

P1

D1(-1,8)

4,8

2,74,8

A1(7)

r1C (2,7)1

s1

B1(-1,8)

B1(2)

P1

Q

Ilustracin 23

150

ELIPSE Y CURVAS TCNICAS. SISTEMA ACOTADO

6UNIDAD

Para hallar la cota de P respecto de s se trazan dos rectas perpendiculares a s1por C1, D1 y se llevan sobre ellas las cotas en sentidos contrarios por ser la de Dnegativa, tomando como unidad un segmento (tambin puede hacerse con la ayudade una regla). La recta que une los extremos de dichas cotas corta a la perpendicu-lar a s por P1 en Q, siendo P1Q = 4,8 la cota de P, que podemos leer en la prolon-gacin de la cota de C llevando los segmentos necesarios (o con una regla).

Al ser 4,8 la cota de P respecto de ambas rectas, stas se cortan.

4. Sistema acotado: representacinde planos y superficies

4.1. Representacin del planoUn plano queda definido mediante la representacin de una de sus lneas de

mxima pendiente p.

1

Hp

p

A

A1(5)

1

p

Hp

A1(5)

p

Hp1

p

1

2

3

4

5

12

34

5

H

H

a

b

c

d

e

1

1

2

3

4

5

pa

0a1

b1

c1

d1

e1

Hp

Ilustracin 24

151

En la Ilust. 24 se ven los elementos caractersticos del plano:

La lnea de mxima pendiente p del plano es la que forma el mximo ngu-lo posible con el plano horizontal. Se nombra con la letra minscula p acom-paada, como subndice, de la letra griega que identifica al plano. En laIlust. 24 se ha representado mediante su proyeccin p y las monteas de sutraza Hp y el punto A.

La traza 1 del plano es su recta de interseccin con el plano horizontal deproyeccin. Es perpendicular tanto a la lnea de mxima pendiente como a suproyeccin p y se nombra con la letra griega que identifica al plano y elsubndice 1.

Las horizontales de plano a, b, c, ... son las rectas de interseccin del plano con planos horizontales cuyos puntos tienen cotas 1, 2, 3, ... Graduando lalnea de mxima pendiente mediante los puntos de cotas 1, 2, 3, ... se obtie-ne su escala de pendiente. Las perpendiculares a sta por los puntos de cotas1, 2, 3, ... son las proyecciones a1, b1, c1, ... de dichas horizontales de plano.

4.2. Interseccin de planosLa recta de interseccin de dos planos est definida por los puntos de corte de

sus horizontales de plano de igual cota.

Sean los planos y representados por sus escalas de pendiente. (Ilust. 25)

Perpendiculares a las escalas de pendiente p y p, pasando por los puntos de cota0, se dibujan las trazas 1 y 1 que se cortan en la traza Hi de la recta interseccin i.

Perpendiculares a las escalas de pendiente p y p, pasando por los puntos decota 4, se dibujan dos horizontales de plano que se cortan en A1(4). La recta inter-seccin i queda representada por su proyeccin i1 y las monteas Hi y A1(4).

1

p

1

2

3

4

5

1

p

1

2

3

4

5

0

0

i1

Hi

A (4)1

p

1

2

3

4

5

pa

1

2

3

4

5

0

0

Ilustracin 25

152

ELIPSE Y CURVAS TCNICAS. SISTEMA ACOTADO

6UNIDAD

4.3. Representacin de tejadosPara representar un tejado se parte del permetro exterior de la superficie a

cubrir, que se toma como plano de proyeccin, as como del permetro interior de lospatios, si los hay. Se levantan planos inclinados (faldones), cuyas trazas son los bor-des de dichos permetros, con la pendiente elegida para cada uno de ellos. Las inter-secciones de dichos planos se llaman limas y pueden ser cncavas o convexas.

El forjado superior de una vivienda se desea cubrir con un tejado a cuatro aguas.La pendiente de todos los faldones del cuerpo principal es constante y est definidapor el intervalo a. Las pendientes en el cuerpo pequeo son ms acusadas y su inter-valo es b. (Ilust. 26)

Se considera el forjado como plano de proyeccin, estando su permetro forma-do por las trazas 1, 1, 1, ... de los planos de los faldones. Se dibujan las escalas dependiente de los faldones, con doble lnea, perpendiculares a las trazas y con elintervalo correspondiente.

Se trazan las horizontales de plano, de cota 4, de cada plano. Uniendo sus inter-secciones con las de las trazas de cada pareja de planos contiguos se obtienen laslimas. Uniendo las intersecciones de dos parejas de limas se obtienen las cumbre-ras (limas de faldones opuestos) de los dos cuerpos.

1 2 3 40

1 2 3 40 1234 0

1

2

3

4

0

1

23

4

0

1234 0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

1

1

1

1

1

1

1

1

a

b

Ilustracin 26

153

4.4. Representacin de terrenos. Curvas de nivelLa superficie terrestre est formada por montaas, valles, puertos, ... cuya repre-

sentacin es de gran importancia para el diseo de las obras pblicas. Se represen-tan los terrenos en el sistema de planos acotados mediante las curvas de nivel, queson el equivalente para las superficies alabeadas de las horizontales de plano.

Dichas curvas se obtienen cortando el terreno por planos horizontales y equidis-tantes entre s, cuyos puntos presenten cotas enteras (Ilust. 27). Como plano de pro-yeccin se elige la superficie del mar en calma en Alicante, prolongada por debajode las tierras. La equidistancia entre los planos de corte se mide en metros y su mag-nitud depende del grado de detalle que se necesite y de lo abrupto del terreno.

Las curvas de nivel se dibujan con trazo fino, pero cada cuatro o cinco curvas sedestaca una con trazo grueso que se llama curva directora, que lleva escrita su cota.La cota de las dems curvas de nivel se deduce a partir de las directoras. A los pla-nos que representan el terreno mediante curvas de nivel se les llama altimtricos.

760

800

840

880

920

960

0

760800840

880920960

Ilustracin 27

154

4.5. Trazado de perfiles de terrenosSe llama perfil de un terreno la seccin que en l produce un plano vertical o una

superficie cilndrica de generatrices verticales. Perfil realzado es aquel en el que seexagera el tamao de las alturas frente a las dimensiones horizontales.

Sea un planimtrico sobre el que se ha indicado la traza 1 del plano vertical queproduce el perfil realzado. (Ilust. 28)

Perpendicular por un extremo de la traza 1 se levanta un eje de alturas sobre elque se marcan las cotas de las curvas de nivel que aparecen en el planimtrico.Como se desea un perfil realzado y la escala del plano es 1:35000 se elige una esca-

ELIPSE Y CURVAS TCNICAS. SISTEMA ACOTADO

6UNIDAD

800

m

800

m

1 000

m

1000

m

1200 m1200 m

1000

m

800

m

800m

800m

800

m 800

m

a1

Escala 1:35000

Esc

ala

1:7

00

0

metros

Ilustracin 28

155

la mayor para las alturas, por ejemplo el quntuple, esto es 1:7000. En el plano, entredos cotas directoras de 800 y 1000 aparecen 4 curvas de nivel, que se correspondencon 840, 880, 920, 960. La equidistancia entre planos es 40 m, que a escala 1:7000

es que es igual a la distancia entre dos divisiones.

Por los puntos de corte de 1 con las curvas de nivel se trazan rectas verticales,obteniendo sobre ellas un punto del perfil, mediante una horizontal dibujada desde ladivisin que corresponde a su cota. La curva que representa el perfil del terreno sedibuja a mano alzada, pasando por los puntos obtenidos.

e m m mm= = =407000

0 0057 5 7, , ,

Recuerda

U Si son F y F ' los focos y P un punto genrico, en la elipse PF + PF ' = 2a, en la hipr-bola PF - PF ' = 2a.

U La proyeccin cilndrica de una circunferencia es una elipse, y dos dimetros perpen-diculares de aquella se proyectan como dos dimetros conjugados de sta.

U Las elipses y las espirales no son circunferencias y por tanto no se pueden trazar concomps.

U Los valos, ovoides y las aproximaciones de la espiral, son curvas formadas porarcos de circunferencias tangentes entre s, que se trazan con comps, determinan-do previamente los centros y los puntos de tangencia.

U Un punto A se representa mediante su montea, que incluye la proyeccin A1 y su cotaescrita entre parntesis.

U Una recta r se representa mediante su proyeccin r1 y la montea de dos de suspuntos.

U Un plano queda definido mediante la representacin de una de sus lneas demxima pendiente p.

156

ELIPSE Y CURVAS TCNICAS. SISTEMA ACOTADO

6UNIDAD

Actividades

1. Construir el ovoide inscrito en elrectngulo dado.

2. Construir la elipse conocidos los dimetrosprincipales.

VV

WW

3. Construir el valo conocidos losejes.

4. Hallar el perfil del terreno por el plano llevando las alturas con la misma escaladel plano.

AB

CD

Escala 1:35000

a1

GT35: -GT35: Es el lugar geomtrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.-GT39: Es una curva cerrada, plana y convexa, formada por arcos de circunferencia tangentes en los puntos de enlace, que tiene un eje de simetra. GT39: -GT40: Es una curva generada por un punto, que se aleja de otro fijo llamado polo, a la vez que gira alrededor de l.GT40: SG5: SG6: -SG7: -SG8: SG7: SG8: -SG5: -SG6: Inicio: ndice: Siguiente: Anterior: Imprimir: Ampliar: Reducir: Buscar: ilustracion3: animacion3: